Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек
Численное решение задач об упругом равновесии нетонких пластин и оболочек постоянной и переменной толщины базируется на использовании метода криволинейных сеток в сочетании с методом Векуа (редукция трехмерных уравнений теории упругости к рекуррентной последовательности граничных задач в двухмерной...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2008
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48251 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек / Е.А. Гоцуляка, Д.И. Чернопиский // Проблемы прочности. — 2008. — № 2. — С. 41-54. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-48251 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-482512013-08-17T15:06:29Z Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек Гоцуляка, Е.А. Чернопиский, Д.И. Научно-технический раздел Численное решение задач об упругом равновесии нетонких пластин и оболочек постоянной и переменной толщины базируется на использовании метода криволинейных сеток в сочетании с методом Векуа (редукция трехмерных уравнений теории упругости к рекуррентной последовательности граничных задач в двухмерной области). Для вычисления коэффициентов первой и второй квадратичных форм условной срединной поверхности используется метрика граничных лицевых поверхностей без производных от их локальных базисов. На конкретных численных примерах решения тестовых задач об изгибе толстых плит, допускающих точное или приближенное решения другими методами, показана эффективность (быстрая сходимость и точность) предложенного численного подхода. Получено численное решение задач об изгибе нетонкой пластины постоянной и переменной толщины из ортотропного материала и оболочки с кольцевой выемкой при осевом сжатии. Числовий розв’язок задач щодо пружної рівноваги нетонких пластин і оболонок постійної і змінної товщини базується на використанні методу криволінійних сіток у поєднанні з методом Векуа (редукція тривимірних рівнянь теорії! пружності до рекурентної послідовності граничних задач в двовимірній області). Для обчислення коефіцієнтів першої та другої квадратичних форм умовної серединної поверхні використовується метрика граничних лицевих поверхонь без відповідного диференціювання їх локальних базисів. На конкретних числових прикладах розв’язку тестових задач про згин товстих плит, що допускають точний або наближений розв’язок іншими методами, показано ефективність (швидка збіжність і точність) запропонованого числового підходу. Отримано числовий розв’язок задачі про згин ортотропної нетонкої пластини постійної і змінної товщини та товстої оболонки з кільцевою виїмкою при осьовому стиску. The numerical solution of problems of elastic balance of nonthin plates and shells of constant and variable thicknesses is based on the combined application of the method of curvilinear grids and the Vekua method (reduction of the three-dimensional equations of the theory of elasticity to recurrent sequence of boundary problems in a two-dimensional area). For calculation of factors of the first and second quadratic forms of a conditional median surface, the metrics of boundary front surfaces without derivatives from their local bases are used. Using particular numerical examples of test problems’ solution on bending of thick plates admitting exact or approximated solutions by other methods, we demonstrate the efficiency (fast convergence and accuracy) of the proposed numerical approach. A numerical solution is obtained for cases of bending of a nonthin plate of constant and variable thicknesses made from orthotropic material and for a shell with a ring groove subjected to axial compression. 2008 Article Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек / Е.А. Гоцуляка, Д.И. Чернопиский // Проблемы прочности. — 2008. — № 2. — С. 41-54. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48251 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Гоцуляка, Е.А. Чернопиский, Д.И. Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек Проблемы прочности |
| description |
Численное решение задач об упругом равновесии нетонких пластин и оболочек постоянной и переменной толщины базируется на использовании метода криволинейных сеток в сочетании с методом Векуа (редукция трехмерных уравнений теории упругости к рекуррентной последовательности граничных задач в двухмерной области). Для вычисления коэффициентов первой и второй квадратичных форм условной срединной поверхности используется метрика граничных лицевых поверхностей без производных от их локальных базисов. На конкретных численных примерах решения тестовых задач об изгибе толстых плит, допускающих точное или приближенное решения другими методами, показана эффективность (быстрая сходимость и точность) предложенного численного подхода. Получено численное решение задач об изгибе нетонкой пластины постоянной и переменной толщины из ортотропного материала и оболочки с кольцевой выемкой при осевом сжатии. |
| format |
Article |
| author |
Гоцуляка, Е.А. Чернопиский, Д.И. |
| author_facet |
Гоцуляка, Е.А. Чернопиский, Д.И. |
| author_sort |
Гоцуляка, Е.А. |
| title |
Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек |
| title_short |
Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек |
| title_full |
Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек |
| title_fullStr |
Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек |
| title_full_unstemmed |
Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек |
| title_sort |
об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48251 |
| citation_txt |
Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек / Е.А. Гоцуляка, Д.И. Чернопиский // Проблемы прочности. — 2008. — № 2. — С. 41-54. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT goculâkaea obodnompodhodekčislennomurešeniûzadačonaprâžennodeformirovannomsostoâniinetonkihplastinioboloček AT černopiskijdi obodnompodhodekčislennomurešeniûzadačonaprâžennodeformirovannomsostoâniinetonkihplastinioboloček |
| first_indexed |
2025-07-04T08:33:52Z |
| last_indexed |
2025-07-04T08:33:52Z |
| _version_ |
1836704630826860544 |
| fulltext |
УДК 539.3
Об одном подходе к численному решению задач о напряженно-
деформированном состоянии нетонких пластин и оболочек
Е. А. Гоцуляка, Д. И. Чернопиский6
а Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, Украина
6 Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, Украина
Численное решение задач об упругом равновесии нетонких пластин и оболочек постоянной и
переменной толщины базируется на использовании метода криволинейных сеток в соче
тании с методом Векуа (редукция трехмерных уравнений теории упругости к рекуррентной
последовательности граничных задач в двухмерной области). Для вычисления коэффици
ентов первой и второй квадратичных форм условной срединной поверхности используется
метрика граничных лицевых поверхностей без производных от их локальных базисов. На
конкретных численных примерах решения тестовых задач об изгибе толстых плит, допус
кающих точное или приближенное решения другими методами, показана эффективность
(быстрая сходимость и точность) предложенного численного подхода. Получено численное
решение задач об изгибе нетонкой пластины постоянной и переменной толщины из орто-
тропного материала и оболочки с кольцевой выемкой при осевом сжатии.
К л ю ч е в ы е с л о в а : нетонкая пластина и оболочка, постоянная и переменная
толщина, локальная выточка, изгиб, осевое сжатие, численное решение.
Введение. Для решения задач об упругом деформировании тонких
пластин и оболочек используются как точные, так и приближенные анали
тические методы [1] и др. К численным методам, применяемым к решению
задач о напряженно-деформированном состоянии (НДС) пластин и оболо
чек, следует отнести метод дискретной ортогонализации [2, 3], конечнораз
ностный [4]. В случае применения конечноразностной или конечноэлемент
ной схем аппроксимации основных соотношений теории упругости для
достижения приемлемых результатов при определении НДС необходимо
решать алгебраические системы с большим числом неизвестных путем
увеличения числа узловых точек в зонах концентрации напряжений. Это
сопряжено со слабой сходимостью, поскольку такие схемы аппроксимации
дифференциальных соотношений теории пластин и оболочек не учитывают
“жесткие смещения” вектора перемещений. Ранее [5, 6 ] в рамках конечно
разностного метода и метода конечных элементов с учетом жестких смеще
ний предложен подход с использованием криволинейных сеток аппрокси
мации разрешающих уравнений, что позволило эффективно решить ряд
задач в рамках теории тонких оболочек. На конкретных примерах [5, 6 ],
допускающих точное решение, показана быстрая сходимость численных
решений с учетом жестких смещений вектора перемещений. В данной рабо
те на основе [5] предложен эффективный численный алгоритм для решения
задач об упругом деформировании нетонких пластин и оболочек [7, 8].
Отнесем область ^ , занятую упругой оболочкой, к криволинейной
1 2 3системе координат 0х х х . Радиус-вектор произвольной точки области
оболочки представим в виде [7]
© Е. А. ГО Ц У Л Я К , Д. И. Ч Е РН О П И С К И Й , 2008
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2 41
E. A. Гоцуляк, Д. И. Чернопиский
R = r ( x l , x 2) + x 3n ( x l , x 2), ( 1)
1 2где x , x - гауссовы координаты срединной поверхности S оболочки; r ,
1 2n - соответственно радиус-вектор и орт-нормали в точке x , x Е S .
Граничные поверхности оболочки S + и S — описываются функциями
^ 1 2 1 2 соответственно h( x , x ) и h( x , x ), которые характеризуют толщину
оболочки и отсчитываются в направлении нормали n. При этом
— h(x 1, x 2 ) < x 3 < h(x 1, x 2 ).
Для каждой из поверхностей S + , S —, S путем дифференцирования по
1 2 3 3 3переменным x , x , x , фиксируя значение x = h , h , x = 0 , получаем
локальный базис вектор-функций [7]:
±
dR дг д h ± dn dR
----- = ------ ± ------ n ± h ------ ; — т = n , а = 1, 2 . (2 )а а а - .3 ’ ’dx dx dx dx dx
Локальный базис вектор-функций для каждой из поверхностей обозна
чим соответственно
± dR ± ± ± e ± X e ±
S --------- -- e а , e 3 = i-------------Г = n■> а а ’ 3 ̂ ^ w ±dx e± X e ±
dr e 1 X e 2
S ~ = e а , e 3 = " " = n.
dxа ^ 3 |e 1 X e 2 1
(3)
При ЭТОМ е ~ , \е а | ^1, \е 5" = \е з| = 1.
Заметим, что введенные выше локальные базисы вектор-функций для
каждой из поверхностей необходимы в дальнейшем для получения коэф
фициентов первой и второй квадратичных форм, которые входят в состав
выражений для компонент, характеризующих напряженно-деформированное
состояние оболочки. С этой целью воспользуемся формулой Вайнгартена
для производной от нормали (2 ):
дп д е з у 1 2
•ч а = -ч 3 = Ь а е V = ~ Ь ае 1 _ Ь а е 2 , (4)дх дх
откуда получим связь между локальными базисами вектор-функций для
поверхностей Б + и Б ~ и базисом для поверхности параметризации Б в
виде соотношений
+
+ д Н 5 , 2
е « = е а ^ Т а е 3 + Н(_ьа е 1 - Ь а е 2 )- (5)дх
42 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N2 2
Об одном подходе к численному решению задач
1 2В (4), (5) Ьа , Ьа - коэффициенты второй квадратичной формы поверхности
5.
Если на поверхности 5 ввести локальный базис, то из условий биорто
гональности
е ; • е 1 = & 1 (& { = 1, 1 = у , & { = 0 , 1 * у , 1, 1 = 1 ,2 ,3) (6)
для вектор-функции е 1 получим соотношения
е 3;
ік і к а — е ■ е ,
где
11 / а — а 2 2 1 а; 22а — а ц \ а; а
Зі 5 І .
12 21 — а - а і 2 І а;
і 3 Зі сі 2а — а — о з ; а — а ц а ^ — аі (7)
П1а 12 а 12 ■
Коэффициенты а 1у первой квадратичной формы поверхности 5 опре
делим из соотношений
а ай е «■ е в ; а в е ■ е ( (8)
Опуская промежуточные выкладки, из комбинации выражений (4), (5)
путем скалярного умножения левых и правых частей соответствующих
соотношений на е в ( в — 1 ,2) получаем выражения для коэффициентов
второй квадратичной формы в виде
Ь 2\ иа /
< е 1 ̂
е 2 а — 1, 2 (9)
или
и 1 NЬа
Л 2\ иа /
1 ( + —) | а 22 а 12
— 2ка (еа — еа ) ( а п — а Х1, '2
( Ю)
Таким образом, для определения коэффициентов второй квадратичной
формы получены выражения (9) или (10), которые в отличие от (4) не
содержат производных по координате и являются важными при применении
численных методов для решения граничных задач.
Для дальнейших выкладок введем вспомогательные выражения для
функций
' +Н( х 1, х 2 ) 1
/г(х1, х 2 ) 2
к ( х 1, х 2 ) ± к ( х 1, х 2 ) ( 11)
1
В теории нетонких оболочек [8] вектор перемещений и и напряжений
Р 1 представляются в виде разложений
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, М 2 43
Е. А. Гоцуляк, Д. И. Чернопиский
N
и( х 1 , X 2 , X 3) = 2 и (х 1, X 2 )Рк (С);
к=0
N I— к
а
Р 1 (X 1, X 2 , X 3) = ^ - Р 1 (X 1, х 2 )Рк(?)■
( 12)
Здесь и, Р 1 - моменты разложений,
т
и(X1, X2) = |к + 2 \ к / и (X 1, X2 , X3 ) Р к ( tl')dx'
к
р < (x > ,x 2 ) = ( к + и а р < (x >,
к
X 2 , X 3) Рк ( 3 ,
(13)
где — - дискриминант квадратичной формы; Рк (С) - полином Лежандра;
£ = к ^ 3 — к )■
Система уравнений равновесия в моментах имеет вид
I к \
— Р
V___ I
̂ адx
дк ка д к ка ___ р а т_____ р а
дx дx
т
Т (2к + 1)л/а — Р ( т) т (—1)\ 1 — р ( —.а (ез ) \ а (е3)
= 0 , (14)
где — = 2 кл/а; а т , а - соответственно дискриминанты первой квадратич
ной формы поверхностей Б т и Б —; Р(е+), Р( —) - векторы усилий, которые
заданы на лицевых поверхностях.
Моменты напряжений в (14) определяются так:
Г Я Г к—11
к к Г 21 к—2я к 2 \ к —2—]
Р а = к Р а Т (2к + 1 ) 2 Р а ; Р 1 = (2к т 1) 2 Р 1 ■ (15)
з=0з=1
Связь между вектором напряжений (12) и деформациями запишем в
виде [8 ]
N
44
Р 1 = 2 с 1]1тА'1 А '* а ]!т' и I Р к ( (16)
/БОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 2
п=0
к
Об одном подходе к численному решению задач ...
где с 1]т - упругие постоянные среды; остальные постоянные определяются
из соотношений
к _
3 г 3 г к д и 1 дк к 1 д к к к 1 к
А ] = а ] — х Ь] ; и а = ----- — --------- и'— - --------и'; и 3 = — и'. (17)
]- 3 3 ; а д х а к д х а к д х а 3 к ( )
Выражения для коэффициентов первой а ] и второй Ь] квадратичных
форм имеют вид (8), (9) или (10). Другие составляющие выражения (17)
определяются из формул
к к+\ к+3 к к к+2 к+4
и ' = (2к + 1)( и + и + ...); и" = к и + (2к + 1)( и + и + ...);
к к і к 2 к з
и = Мі е + и 2 е + и з е .
Согласно (16) для моментов вектора напряжений получим
к N { Л и Н
р ‘ = Д » + , )А 1 л т 'а Гтс ,1,тр к ( а д , (о * :
» 0 —к
0 ( х 3) = I£ = а * — х 3 Н * + (х 3 ) 2 К *,
V а
(18)
(19)
где а * = а|а | — а 2 а^; Н * = а|Ь | + а | Ь̂ — а 2 Ь^ — а^ Ь ̂ ; К * = Ь^Ь | — Ь1Ь^.
3 — 2Заменив х = к + £к и сохранив в выражениях (19) члены не выше £ ,
получим равенство
к к _ _ к±1 = { =1 к±2
Р 1 = ~ 1' 1т а]т '(~ и{ + 0 1г0 1г и{ + Б г Б г и{ ). (20)
Здесь введены следующие обозначения:
. , й $ $ О $ ~ ~ $ О й
~ = а — кН + к 2К ; Н = к(Н — 2кК ); К = к2К ;
= а\ + НЬ\ + к 2Ь Ь ; Ь ' = к(Ь\ + 2кЬ1гЬ гг );
В іВ і' = ~ * ( а і Ьі + а 1г Ь 1г ) — Н * а ‘ а 1 ;
В і В у = а *[к 2( а \ Ь 1г Ь гг + а 1'Ь1г Ь Г' ) + Ь ‘ ~і1 ] — На*( а1г Ъ 1г + а 1'а ‘1' ) + К ~ 1‘'а 1 ;
к±1 к + 1 к+ 1
и і 2к + 1 и і +
2 к + 1
к—1
и і ;
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2 45
Е. А. Гоцуляк, Д. И. Чернопиский
к± 2 (к + 1) ( к + 2 ) к+ 2 1
и 1 = --------------------- и 1 + --------
1 (2к + 1)(2к + 3) 1 2 к +1 2к - 1
к + ( к + 1)
и і +
2 к + 3
2 к
и і +
к ( к - 1)
(2к - 1)(2к + 1)
к—2
и і
Составляющие вектора напряжений находим из (20):
к к
пі. _ п і Л ~ і'/'І'т' ~ і ~ і _ к і к±1 і 1 г*1 лк±2 \ (91)
Р . Є s с а /т'(~ ~і'~і'£ + В і + -О і В іг£ ), ( )
где £ £ = М к ,.
Заметим, что в случае конкретизации ортотропии материала (прямо
угольная, цилиндрическая или сферическая) и системы координат, к которой
отнесены пластина или оболочка, выражения (2 1 ) для моментов состав
ляющих вектора напряжений приобретают конкретный вид:
1 ці к к к+1 к+1 к—1 к—1 к+2 к+2 к—2 к—2\
Р 1 = с11а | В 11 є 11 + В 11 є 11+ В 11 є 11 + В 11 є 11 + В 11 є 11 +
22 к | к к к+1 к+1 к—1 к—1 \
+ с12 а є 22 + с13|В 13 є 33 + В 13 є 33 + В 13 є 33^
Р 2 = с12 а 11« к1 +
22/ к к к+1 к+1 к—1 к—1 к+2 к+2 к—2 к—2
+ с 22 а |В 22 є 22+ В 22 є 22+ В 22 є 22+ В 22 є 22+ В 22 є 22 +
к к к+1 к+1 к—1 к—1 \
+ с23 |В 23 є 33 + В23 є 33 + В 23 є 33̂
к3 11/ к к к+1 к+1 к—1 к—1\
Р3 = с13а |В 13 є 11+ В13 є 11 + В13 є 11 +
+ с23а 221В
к+1 к+1 к—1 к—1 \
23 є 22 + В 23 є 22+ В 23 є 22 +
к к к+1 к+1 к—1 к—1 к+2 к+2 к—2 к—2\
+ с33 1 В33 є 33 + В33 є 33 + В 33 є 33 + В33 є 33 + В 33 є 33
(2 2 )
к к
Моменты деформаций £ц , є 22,
к к
., є 23 , є 33 определяются так:
к
є 11
/ к \
д и 1 дк к 1 дк к
и"— - ----- г и
дх к дх
\
к
є 31
1 к
и' Є ї ;
к
к д х 1
Є1;
к
є 23
/ к
д и
к
є 22
/ к
д и 1 дк к 1 дк к
и"— ------ ;г и'
дх
\
1 дк к 1 дк к
дх к дх
Є 3 •
к дх' Є 2 ;
(23)
к
є 33
1 к
и ' Є3-к
2
46 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2
Об одном подходе к численному решению задач
к к+1 к—\ к+2 к—2 к к—2
Выражения для В п , Б п , Б п , Б п , Б п , Б 13, Б 33 имеют вид,
например:
к—2 к( к — 1) 2 к—1 к ~
Б " = (2к — 1)(2к — 3) к к ' ( к ' — к 2 ); Б 11= 2к — 1 к(к ' — к2 )(1+ 2М 1);
к ~ 2 5 11 = 1 + / г ( - к 2 ) + Л к 1 (к 1 - к 2)
(к + 1)2 + к 2
(2к + 1)(2к + 3) (2к - 1)(2к +1)
к+ 1 к + 1 ~ к+ 2 (к + 1)( к + 2 ) 2
Б 1 1 = ^ ----- к(к 1 — к 2 )(1 + 2Нк1); Б 11 = — ------ ---------- - к к1(к1 — к 2),
11 2к + 3 v 1 2А 11 (2к + 3)(2к + 5) и 1 2 '
1 2где к 1 = , к 2 = Ь2 - главные кривизны срединной поверхности Б (в
случае пластины к 1 = к 2 = 0); с11, с12, ..., с 66 - упругие постоянные орто-
тропного материала согласно (2 2 ).
Таким образом, выражения для кривизн (9) или (10) полностью опре
деляют составляющие вектора напряжений (2 2 ) для случаев изотропных и
анизотропных нетонких пластин и оболочек с неканоническими гранич
ными поверхностями произвольной формы [8 ].
После редукции трехмерных уравнений равновесия для решения систе
мы дифференциальных уравнений относительно моментов перемещений
к 1 2и а (х , х ) используем численный алгоритм [5]. Заменим векторно-диффе-
к к к к
ренциальные соотношения относительно вектора перемещений и ( и1, и 2 , и з)
к
и моментов вектора напряжений Р 1 2 3
Р , Р , Р
\
в уравнениях равновесия
(14) конечноразностными аналогами в соответствующих узлах сеточной
области ®(0 < ё ^ ( I — 1)< /1; 0 < й ^2(у — 1)< 12; 0 < х 1 < /1; 0 < х 2 < 12), где
1 2/1 , 12 - размеры области, занятой поверхностью Б ( Ох , Ох ) пластины или
оболочки; г, у - номера узлов сеточной области; й 1 , й 2 - соответственно
1 2шаг сетки вдоль осей Ох , Ох . Обозначим через М О количество узлов
1 2 вдоль координаты х , через ЫО - вдоль координаты х . Количество членов
разложения вектора перемещений и напряжений в формулах (2 0 ) примем
равным N.
к к к к
Компоненты вектора перемещений и ( и1, и 2 , и 3 ) определяем в основ-
к к
ных узлах г, у области ®, векторы напряжений р 1, р 2 согласно разно ст-
к 1 к 2
ной схеме (рис. 1) - во вспомогательных узлах, т.е. р 1±0 5 у , р { у±о 5, а
к 3вектор р г у - в узле г, у путем суммирования его значений в соседних узлах
0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N2 2 47
Е. А. Гоцуляк, Д. И. Чернопиский
Рис. 1. Схема аппроксимации перемещений и моментов усилий в узлах сеточной области.
вспомогательного шаблона. В результате конечноразностной аппроксимации
уравнения равновесия (14) согласно вышеизложенной схеме (рис. 1) для
сеточной области имеют вид
к ( к \ /
р 1 - Л р 1 + £
Н
' 1 і+0,5; 7 \ / і -0,5; 7 \
дН к1 дН к1
— г р ч — 1 р 1
д х 1 = д х 1 -
к \
+ л/£ р 2
|'Ъ ,7 і; 7+0,5
к \
Л р 2 +
дН к2 дН к2
— Р 2 + - у Р 2
д х 2 = д х 2 -\
\ к \
_ £ р з
|
Н р-
|і,І і,І
+
+ (2к + 1)7^
а ' ,1а
— р . +) + ( - 1) к — р ( _)
а ( ) 4 7 а ( )
= 0 . (24)
к к
Векторы напряжений Р а , Р а , а = 1,2 (24), не содержащие производ-
1 2ные по переменным х , х в узле I, у, заменяем выражениями
р і,7= 0 ,5 1р 5+0,5; 7 + р І—0,5; 7 Ь р \ , Г 0,5| р 2; 7+0,5 + р 2; 7-0,5 )■ (25)
Другие составляющие компоненты уравнения равновесия (24) р , р + ,
(«+)’
р в узле і, 7 аппроксимируем согласно разностной схеме (рис. 1):
(е3 )
р 3,7 = 0 ,2 5 1р /+0,5,7+ р І-0,5,7+ р і,7+0,5 + р і,7-0,5 |> (26)
к
р (е+)і\./ 0 ,2 5 ( р () /+0,5,7 + р ( )і-0,5,7 + р (4)77+0,5 + р (е+)і,7-0,5 ^ (27)
48 І55М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2
Об одном подходе к численному решению задач
Следовательно, схемы аппроксимации (24)-(27) для моментов дефор
маций (28) в соответствующих узлах шаблона (рис. 1) имеют вид
к \
и
' /'±0,5, /
к \
£ 22
> і, /±0,5
' к \
д и 1 дк к 1 дк к
( е 1) і ± 0, 5, і ;—
д х 1 — 1 д х 1
и"
к д х 1
и'
\ / і ± 0, 5, /
к
д и 1 дк к 1 дк к
(е 2 ) і ,/±0,5—
дх 2 — ~к
к
2*д
и"
к дх 2
и'
\ ' і ,/±0,5
к \
(1 к
£ 33 = \ к
и' ( е 3 ) і±0,5, і ■
/ і±0 5,/ \ к і±0,5,/
(28)
Функции g , к, к , л[а, а ~ и их производные по переменным х ‘
х 2 , характеризующие геометрические характеристики пластины или оболоч
ки, определяются в тех же узлах вспомогательного шаблона согласно (24)-
(27).
Таким образом, векторы моментов усилий (24), не содержащие про
изводные по х 1, х 2, а также члены от заданной поверхностной нагрузки
Р ± на лицевых поверхностях Б + , Б — в узле I, у находим как средне-
(е3 )
арифметическое от их суммирования во вспомогательных узлах шаблона.
Проектируя последовательно уравнения равновесия (24) на локальный
базис (^1, е 2 , е 3) и используя соотношения (25)-(27), а также связь (21)
между составляющими от моментов векторов напряжений и компонентов
тензора деформаций, определяя их через перемещения, получаем систему
алгебраических уравнений относительно неизвестных моментов вектора
/ к—2 к—1 к к+1 к+2\
перемещений I и т , и т , и т , и т , и т (т = 1, 2 , 3) в основных узлах шаблона
(рис. 1).
Для определения неизвестных моментов вектора перемещений
к к \
Н\ Пі , и 2 , и 3
виде
в узловых точках имеем алгебраическую систему в блочном
к—2 к—2 к—1 к—1 к к к+1 к+1 к+2 к+2 к
О і ,/ и і і + д , , / и , / + д , , / и , 1 + ^ , 1 и , / + д , , / и , 1 = г , , / , (29),] і,і ',] і,і ,] і,і ,/ і,і і,І
для решения которой можно использовать модифицированный метод Зей-
деля блочных итераций. При этом коэффициенты при неизвестных моментах
к к±1 к±2
перемещений в матрицах алгебраической системы Q i у , Q i у , Q i у в (29)
зависят от упругих свойств, значений в узле г, у коэффициентов (7) первой
и (9) или (10) второй квадратичных форм, а также значений функций и их
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2 49
Е. А. Гоцуляк, Д. И. Чернопиский
производных, характеризующих переменную толщину пластины или обо
к I к к к \ _ 1 к / к к к \ - \
лочки. Здесь вектор-столбцы и 1 ] = \ ы1, и 2 , и 3 , F I ] = I ^ , ^ 2 , ^ 3
'1,1 \ 11,]
к
Правая часть F ; ,у системы алгебраических уравнений (29) определяется в
узловых точках значениями перемещений или усилий на боковых либо
лицевых поверхностях упругого тела, в других случаях - зависит от объем
ных сил, определяемых потенциальными или температурными, электро
магнитными полями.
Порядок алгебраической системы (29) определяется количеством узло-
1 2вых точек сеточной области МО, N 0 ( М О ~ х , N 0 ~ х ), которая покры
вает срединную поверхность 5 , и зависит от числа N полиномов Ле
жандра, удерживаемых в (12). Ее решение осуществляем модифицирован
ным методом Зейделя, задавая при этом погрешность решения £ и коли
чество итераций s, т.е. искомое решение должно удовлетворять условию
< £. Определив перемещения согласно (21), находим компо-к (я) к (3-1)
и 1 у - и 1 у
ненты тензора напряжений.
На основе вышеизложенного подхода выполнено численное решение
задачи, допускающей точное решение [9] о НДС квадратной изотропной
1 л х 1 л х 2
плиты при изгибе нагрузкой ± - q з т —— з т —— и удовлетворении на
2 '1 12
1 2боковых поверхностях х = 0 , /1; х = 0 , /2 (/1, / 2 - размеры плиты) гра
ничных условий свободного опирания.
В табл. 1 приведены значения нормального прогиба в центре плиты из
изотропного материала при ее изгибе на верхней, срединной и нижней
поверхностях. Геометрические размеры плиты следующие: /1 = / 2 = 30 см,
2к = 10 см; упругие постоянные: модуль упругости Е = 9,81 • 10 Па; коэффи
циент Пуассона V = 0,3. В расчетах варьировалось количество полиномов
Лежандра N , число узлов сеточной области М О X N 0 и количество итера
ций я для решения алгебраических систем относительно неизвестных мо
ментов перемещений в узловых точках. В табл. 1 в квадратных скобках
приведено значение прогиба для срединной поверхности в центре плиты,
которое отвечает точному решению [9], в круглых - процентное отклонение
численного решения от точного, в угловых - значение прогиба, полученное
экстраполированием числовых значений прогиба на двух последовательных
сетках т 1 и т ^2 согласно [10] с шагом 1 и ^ , имеющих общие узлы,
множество которых обозначим т 1 . Там же представлены числовые резуль
таты для плиты из ортотропного материала при ее изгибе. Размеры плиты
такие же, как и в случае изотропного материала. Ее упругие характерис
тики следующие: е 1]- = Су • 9,81 • 107; ~ 11 = 5,97; ~ 12 = ~ 13 = 1,26; ~ 23 = 1,30;
С22 = С33 = 3,36; С44 = 1,20; С55 = 1,13; С66 = С44-
50 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2
Об одном подходе к численному решению задач
Т а б л и ц а 1
Сравнение точного решения [9] с приближенными
N MO X NO s і, j х 3/ h
- 1 0 1
Изотропный материал
1 17Х 17 1 9, 9 0,03021 0,03021
(13,5%)
0,03021
3 5Х 5 2 3, 3 0,03116 0,03143
(10%)
0,03116
3 17Х 17 2 9, 9 0,03187 0,03305
[0,03492]
(5,3%)
<0,033158>
(5,1%)
0,03187
Ортотропный материал
1 9Х 9 1 5, 5 0,01009 0,01009 0,01009
3 9Х 9 2 5, 5 0,01033 0,01049 0,01033
В соответствии с [10], опустив промежуточные выкладки применитель
но к числовым значениям табл. 1, полученным для прогиба срединной
поверхности в центре плиты на двух последовательных сетках 5 X 5 и
17 Х17 при N = 3; Н1 = 7,5; Н2 = £; Н1 = 1,875 (£ = 0,25), экстраполирован
ное значение прогиба в центре плиты отклоняется от точного решения на
5,1% и равно
1 16
и 3 = - — 0,03143 + — 0,03305 = 0,033152.
15 15
Данные, приведенные в табл. 1, показывают достаточно высокую сходи
мость применяемого выше численного алгоритма для решения пространст
венных задач теории упругости, основанного на использовании метода
криволинейных сеток [5] с учетом жестких смещений.
В качестве другой тестовой задачи выполнено численное решение зада
чи об изгибе жестко защемленной по контуру плиты, находящейся под
действием постоянной нагрузки интенсивности q, приложенной к верхней
лицевой поверхности (нижняя поверхность свободна от усилий). Расчеты
выполнены (N = 3; M O X N O = 5 X 5, 9 X 9; s = 3) для изотропной плиты
( h = 12 = 30 см, 2h = 6 см) при Е = 9,81-107 Па, v = 0,25. В табл. 2 приве
дены значения прогиба в центре плиты, полученные с помощью предло
женного алгоритма и метода определяющих состояний [11].
Сравнение числовых значений прогиба, полученных при изгибе плиты
методом определяющих состояний [11] и на основе предлагаемого подхода,
показывает, что отклонение между ними составляет 3,8%.
Рассмотрим решение задачи об изгибе шарнирно опертой и жестко защем
ленной плиты переменной толщины, ограниченной лицевой поверхностью
■ I 1 2 1 _ _ 1 2
S ~ h (х , х ) = h + ax (h , a = const), S ~ h (x , x ) = h. Распределение
прогибов в срединной поверхности плиты показано на рис. 2 (линия АВ).
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2 51
Е. А. Гоцуляк, Д. И. Чернопиский
Т а б л и ц а 2
Значения прогиба для жестко защемленной плиты
МО X ЫО
(г>у)
х / к и3 Л1/ 4 = ахх Ы
Алгоритм [11] А, % Алгоритм [11] А, %
5Х 5
(3, 3)
1 —0,0731 — 0,0858 14,80 —3,591 —4,150 13,5
0 —0,0739 —0,0859 14,00 0 —0,048
— 1 —0,0731 — 0,0812 10,00 3,591 3,825 6,1
9Х 9
(5, 5)
1 — 0,0812 —0,0858 5,40 — 3,670 —4,150 11,6
0 —0,0827 —0,0859 3,70 0 —0,048
—1 —0,08119 — 0,0812 0,02 3,670 3,825 4,0
При изгибе плиты переменной толщины из изотропного или орто-
тропного материала (рис. 2 ) установлено, что существенное изменение ее
толщины значительно влияет на величину прогиба. Видно, что ортотропия
материала и условия опирания плиты влияют на величину ее прогиба при
изгибе.
Рассмотрим численное решение задачи о НДС цилиндрической толсто
стенной оболочки с кольцевой выточкой на внешней поверхности изотроп
ного материала при осевом сжатии на торцах х 3 = ± / усилием интенсив
ности р (рис. 3). Внешняя поверхность оболочки задана уравнением
к (х 1) = к0 [1 — еИ (х 1)], |х 1 < а ; к (х 1) = к0 , а <1 х 1 < /.
3 1Внутренняя поверхность оболочки гладкая, т.е. к(х ) = к0 , а < х < /. При
этом введены обозначения: ек0 - глубина выточки (х 1 = 0); 2а - ее ширина;
2/ - длина оболочки; е - безразмерный параметр. Уравнение поверхности
/ _ 1
1 1 1 выточки И (х ) описывается функцией И (х ) = -
лх
1 + С08-----
Числовые результаты расчетов НДС оболочки представлены для 1/8 ее
фрагмента при сетке М О X ЫО = 21X 5. Распределение перемещений и на
пряжений в осевом направлении (1/2 длины оболочки; на линии у = 3;
г = 1...21) на внешней поверхности х 3/ к = 1 оболочки с учетом симметрии
геометрических размеров и силовой нагрузки показано на рис. 3. При этом
графики для распределения “физических” напряжений а 1 1 р - осевые в
точке ( г + 0,5; у); а 22 р - окружные (г; у + 0,5); а 3 3 р - радиальные (г, у)
X X / X X /
относятся к левой шкале, в случае перемещений в точке г, у (и1 - осевые;
и3 - радиальные) - к правой шкале.
В случае оболочки [12] с кольцевыми выточками числовые результаты
сравниваются с данными, определенными экспериментально методом фото
упругости [13] и по теории Нейбера. Получено удовлетворительное их
совпадение.
52 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 2
а
Об одном подходе к численному решению задач
1 5 9 0 п о ОЛ 0,8 1 ,2 1,6 I
Рис. 2 Рис. 3
Рис. 2. Прогибы в плите переменной толщины (Ж = 3; 5 = 2; 17 X 17): 1, 2 - свободно опертые
плиты соответственно из изотропного и ортотропного материала; 3 - защемленная плита из
ортотропного материала (штриховая линия - защемленная плита постоянной толщины из
изотропного материала).
Рис. 3. Осевое распределение перемещений и напряжений на внешней поверхности цилинд
рической оболочки с кольцевой выточкой (у = 0,3, Е = 4,09-107 Па): I = 2 см; И = 0,2 см;
а = 0,19 см; є = 0,5; Я = 0,8 см; 2И0/Я = 0,5 (Я - радиус срединной поверхности оболочки).
Заключение. На основе редукции трехмерных краевых задач теории
упругости к рекуррентной последовательности задач в двухмерной области
методом Векуа предложен численный алгоритм решения задач о НДС нетон
ких пластин и оболочек с использованием конечноразностных аналогов
метода криволинейных сеток. На конкретных примерах показано быструю
сходимость числового решения по предложенному численному алгоритму
при учете небольшого количества узлов конечноразностной сетки и числа
полиномов Лежандра в представлении перемещений с точным и прибли
женным решениями в рамках пространственной теории упругости.
Р е з ю м е
Числовий розв’язок задач щодо пружної рівноваги нетонких пластин і
оболонок постійної і змінної товщини базується на використанні методу
криволінійних сіток у поєднанні з методом Векуа (редукція тривимірних
рівнянь теорії! пружності до рекурентної послідовності граничних задач в
двовимірній області). Для обчислення коефіцієнтів першої та другої квад
ратичних форм умовної серединної поверхні використовується метрика
граничних лицевих поверхонь без відповідного диференціювання їх локаль
них базисів. На конкретних числових прикладах розв’язку тестових задач
про згин товстих плит, що допускають точний або наближений розв’язок
іншими методами, показано ефективність (швидка збіжність і точність)
/Ж Ж 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 2 53
Е. А. Гоцуляк, Д. И. Чернопиский
запропонованого числового підходу. Отримано числовий розв’язок задачі
про згин ортотропної нетонкої пластини постійної і змінної товщини та
товстої оболонки з кільцевою виїмкою при осьовому стиску.
1. М ет о ды расчета оболочек: В 5 т. Т. 1. Теория тонких оболочек, ослаб
ленных отверстиями / А. Н. Гузь, И. С. Чернышенко, В. Н. Чехов и др. -
Киев: Наук. думка, 1980. - 634 с.
2. Г р и го р ен к о Я. М., П ан крат ова Н. Д . Обчислювальні методи в задачах
прикладної математики. - Київ: Либідь, 1995. - 280 с.
3. G rigoren ko Ya. M . a n d R o zo k I. S. Solving the problem of stress state of
transversally isotropic hollow cylinders with corrugations in a cross section
// Int. Appl. Mech. - 2005. - 41, No. 3. - P. 338 - 347.
4. L epikhin P. P ., R om ashenko V. A ., a n d B e in e r O. S. Numerical investigation
of the dynamic strength of thick-walled cylindrical shells with cracklike
technological defects // Strength Mater. - 2005. - 37, No. 1. - P. 55 - 63.
5. Гоцуляк Е. А ., Е рм иш ев В. Н ., Ж а д р а с и н о в Н. Т. Сходимость метода
криволинейных сеток в задачах теории оболочек // Сопротивление
материалов и теория сооружений. - 1981. - Вып. 39. - С. 80 - 84.
6 . Гоцуляк Є. О ., К ост и н а О. В . Про особливості застосування методу
скінченних елементів до розрахунку оболонок загального типу // Докл.
НАН Украины. - 1998. - № 11. - С. 72 - 75.
7. В екуа И. Н . Некоторые общие методы построения различных вариантов
теории оболочек. - М.: Наука, 1982. - 285 с.
8 . Х о м а И. Ю . Обобщенная теория анизотропных оболочек. - Киев: Наук.
думка, 1986. - 170 с.
9. В л асов Б. Ф. Об одном случае изгиба прямоугольной толстой плиты //
Вестн. Моск. ун-та. - 1957. - № 2. - С. 25 - 36.
10. С ам арски й А. А . Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. - 656 с.
11. Л исиц ы н Б. М . Расчет защемленных плит в постановке пространст
венной задачи теории упругости // Прикл. механика. - 1970. - 6 , № 5. -
С. 18 - 23.
12. Н ем иш Ю . Н ., Х о м а И. Ю., Зи рка А. И., Ч ернопиский Д . И . Сравни
тельный анализ пространственного напряженного состояния цилиндри
ческих оболочек с осесимметричными выточками // Там же. - 1991. -
27, № 5. - С. 44 - 50.
13. А л ексан дров А. Я ., А хм ет зян ов М . Х . Поляризацинно-оптические мето
ды механики деформируемого тела. - М.: Наука, 1973. - 576 с.
Поступила 16. 05. 2007
54 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 2
|