Связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов
Разработаны новые методы связанного математического моделирования скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов при растяжении. В качестве базовых зависимостей скорости установившейся ползучести и времени до разрушения от напряжения использованы две нелинейные дробно-степенные...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2008
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48277 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов / Н.А. Веклича, А.М. Локощенко, П.Н. Веклич // Проблемы прочности. — 2008. — № 4. — С. 25-35. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-48277 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-482772013-08-17T20:33:36Z Связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов Веклич, Н.А. Локощенко, А.М. Веклич, П.Н. Научно-технический раздел Разработаны новые методы связанного математического моделирования скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов при растяжении. В качестве базовых зависимостей скорости установившейся ползучести и времени до разрушения от напряжения использованы две нелинейные дробно-степенные функции с четырьмя материальными постоянными. Вычисление последних основано на оптимальном решении двух нелинейных и несовместных в обычном смысле систем уравнений методом минимизации квадратичных невязок. Описаны методы вычисления материальных постоянных, с помощью которых получены аналитические зависимости, оптимально аппроксимирующие результаты испытаний стали 10Х15Н27Т3МР при температуре 600°С и различных напряжениях. Предложен метод кусочно-линейной аппроксимации результатов испытаний на длительную прочность посредством двухзвенной ломаной. При этом как положение точек излома, так и другие числовые характеристики ломаной линии определяются из условия оптимального ее расположения относительно экспериментальных данных. Метод позволяет более полно учитывать разные механизмы накопления поврежденности стали при различных уровнях напряжений. Розроблено нові методи зв’язаного математичного моделювання швидкості сталої повзучості та тривалої міцності металів при розтязі. За базові залежності швидкості сталої повзучості та часу до руйнування від напруження використано дві нелінійні дробово-степеневі функції з чотирма матеріаль ними сталими. Визначення цих сталих базується на оптимальному розв’язку двох нелінійних і несумісних у звичайному розумінні систем рівнянь методом мінімізації квадратичних відхилень. Описано методи визначення матеріальних сталих, за допомогою яких отримано аналітичні залежності, що оптимально апроксимують результати досліджень сталі 10Х15Н27Т3МР за температури 600°С та різних напружень. Запропоновано метод кусково-лінійної апроксимації результатів досліджень на тривалу міцність за допомогою дволанкової ламаної. При цьому положення точок злому та інші числові характеристики ламаної лінії визначаються за умови її оптимального розташування відносно експериментальних даних. Метод дозволяє більш повно враховувати різні механізми накопичення пошкодженості сталі за різних рівнів напруження. We have developed new methods of associated mathematical simulation of steady-state creep rate and long-term strength of metals in ten sion. As base relations linking steady-state creep rate and time to fracture with stress level, two nonlinear fractional power functions with four material constants are used. The latter constants are determined by seeking an optimal solution of two nonlinear and incompatible in the usual sense sets of equations by the method of minimization of square-law discrepancies. We discuss techniques of calculation of the mate rial constants, which are used to obtain analytical relations optimally approximating test results for steel 10Kh15N27T3MR at temperature 600°C and different stress levels. We propose the method of piecewise linear approximation of creep test results by means of a two-part broken line. Both positions of break points, and other numerical characteristics of the broken line are determined from the condition of its optimal fit to the experimental data. The method provides a more comprehensive account of different mechanisms of damage accumulation in steel at different stress levels. 2008 Article Связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов / Н.А. Веклича, А.М. Локощенко, П.Н. Веклич // Проблемы прочности. — 2008. — № 4. — С. 25-35. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48277 539.376;539.42 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Веклич, Н.А. Локощенко, А.М. Веклич, П.Н. Связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов Проблемы прочности |
| description |
Разработаны новые методы связанного математического моделирования скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов при растяжении. В качестве базовых зависимостей скорости установившейся ползучести и времени до разрушения от напряжения использованы две нелинейные дробно-степенные функции с четырьмя материальными постоянными. Вычисление последних основано на оптимальном решении двух нелинейных и несовместных в обычном смысле систем уравнений методом минимизации квадратичных невязок. Описаны методы вычисления материальных постоянных, с помощью которых получены аналитические зависимости, оптимально аппроксимирующие результаты испытаний стали 10Х15Н27Т3МР при температуре 600°С и различных напряжениях. Предложен метод кусочно-линейной аппроксимации результатов испытаний на длительную прочность посредством двухзвенной ломаной. При этом как положение точек излома, так и другие числовые характеристики ломаной линии определяются из условия оптимального ее расположения относительно экспериментальных данных. Метод позволяет более полно учитывать разные механизмы накопления поврежденности стали при различных уровнях напряжений. |
| format |
Article |
| author |
Веклич, Н.А. Локощенко, А.М. Веклич, П.Н. |
| author_facet |
Веклич, Н.А. Локощенко, А.М. Веклич, П.Н. |
| author_sort |
Веклич, Н.А. |
| title |
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов |
| title_short |
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов |
| title_full |
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов |
| title_fullStr |
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов |
| title_full_unstemmed |
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов |
| title_sort |
связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48277 |
| citation_txt |
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести и длительной прочности металлов / Н.А. Веклича, А.М. Локощенко, П.Н. Веклич // Проблемы прочности. — 2008. — № 4. — С. 25-35. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT veklična svâzannoemodelirovanieskorostiustanovivšejsâpolzučestiidlitelʹnojpročnostimetallov AT lokoŝenkoam svâzannoemodelirovanieskorostiustanovivšejsâpolzučestiidlitelʹnojpročnostimetallov AT vekličpn svâzannoemodelirovanieskorostiustanovivšejsâpolzučestiidlitelʹnojpročnostimetallov |
| first_indexed |
2025-07-04T08:39:53Z |
| last_indexed |
2025-07-04T08:39:53Z |
| _version_ |
1836705010407178240 |
| fulltext |
УДК 539.376;539.42
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести
и длительной прочности металлов
Н. А. Веклича, А. М. Локощ енко6, П. Н. Веклич6
а Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина, Москва,
Россия
б Научно-исследовательский институт МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Разработаны новые методы связанного математического моделирования скорости уста
новившейся ползучести и длительной прочности металлов при растяжении. В качестве
базовых зависимостей скорости установившейся ползучести и времени до разрушения от
напряжения использованы две нелинейные дробно-степенные функции с четырьмя мате
риальными постоянными. Вычисление последних основано на оптимальном решении двух
нелинейных и несовместных в обычном смысле систем уравнений методом минимизации
квадратичных невязок. Описаны методы вычисления материальных постоянных, с помощью
которых получены аналитические зависимости, оптимально аппроксимирующие результа
ты испытаний стали 10Х15Н27Т3МР при температуре 600°С и различных напряжениях.
Предложен метод кусочно-линейной аппроксимации результатов испытаний на длительную
прочность посредством двухзвенной ломаной. При этом как положение точек излома, так и
другие числовые характеристики ломаной линии определяются из условия оптимального ее
расположения относительно экспериментальных данных. Метод позволяет более полно
учитывать разные механизмы накопления поврежденности стали при различных уровнях
напряжений.
К л ю ч е в ы е с л о в а : длительная прочность, скорость установившейся ползу
чести, невязка несовместной системы уравнений, оптимальное решение,
двухзвенная ломаная.
О б о з н а ч е н и я
£ * - время до разрушения образца в условиях ползучести
о - напряжение в образце
р - скорость установившейся ползучести образца
о ь - условный предел кратковременной прочности материала при
температуре испытаний
Д А, п - аппроксимирующие постоянные
* *
, о (к - экспериментальные значения времени до разрушения 1к при
напряжениях о (к
Р к , о рк - экспериментальные значения скорости установившейся ползучести р к
при напряжениях о рк
5 р - суммарная невязка теоретических значений р относительно
экспериментальных данных
5 £ - суммарная невязка теоретических значений £ относительно
экспериментальных данных
5 - суммарная невязка, 5 = 5 1 + 5 р
© Н. А. В ЕК Л И Ч , А. М. Л О К О Щ ЕН К О , П. Н. В ЕК Л И Ч , 2008
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4 25
Н. А. Веклич, А. М. Локощенко, П. Н. Веклич
1. П остановка задачи и основные соотношения. В [1] был предложен
аналитический метод прогнозирования длительной прочности хромонике
левых аустенитных сталей, математическую основу которого составляют два
соотношения, описывающие длительную прочность и процесс развития
деформации ползучести:
растягиваемом образце; р - скорость установившейся ползучести образца.
Аппроксимирующие постоянные о ъ (условный предел кратковременной
прочности материала при температуре испытаний), В , А и п подлежат
определению на основе соответствующих экспериментов и приняты безраз
мерными. Для получения размерных величин скорость установившейся
ползучести р , условный предел кратковременной прочности материала о ь
и время до разрушения г необходимо умножить на размерную единицу -
соответственно 1 ч-1, 1 МПа и 1 ч.
Выполнив потенцирование и умножение левой и правой частей уравне-
* * * в 17
ния (1) на (2), получим равенство р г = р , где р =10 А о ь . Назовем
величину р * предельной деформацией ползучести, которая накапливается
*
в образце за время г при ползучести с постоянной скоростью р . Согласно
(1), (2 ), разрушение материала наступает по достижении деформацией пол
*
зучести образца предельного значения р . Следовательно, данные урав
нения соответствуют деформационному критерию длительного разрушения.
Условный предел кратковременной прочности материала о ъ введен [1]
в формулы (1) и (2) существенно нелинейным образом. Это позволяет
аналитически описать известную из опытов на ползучесть и длительную
прочность особенность быстрого и неограниченного роста скорости ползу
чести р на установившейся стадии и резкого уменьшения времени до %
разрушения г (почти до нуля) при напряжениях о, приближающихся к
некоторому критическому значению, подлежащему определению. Роль этого
напряжения в (1), (2) играет величина о ъ. Наличие в данных формулах двух
общих постоянных о ъ и п позволяет учитывать влияние явлений, разви
вающихся в материале на установившейся стадии ползучести, на его дли
тельную прочность.
2. Н елинейные несовместные системы уравнений и методы их ре
шения. Ниже описан метод определения аппроксимирующих постоянных
о ъ , п, В и А.
*
Предположим, что для описания длительной прочности г имеются
результаты К экспериментов при различных напряжениях о в виде К пар
1п г * = В 1п 1 0 + 171п о ъ — п 1п
о ъ — о
( 1)
(2 )
где г * - время до разрушения образца при ползучести; о - напряжение в
26 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести
${с %
(о = о Л , г = г к ), к = 1, 2,. . . , К . Кроме того, есть результаты N эксперимен
тов на ползучесть, по которым можно вычислить скорости установившейся
ползучести р при напряжениях о, т.е. известны N пар (о = о рк , р = р к ),
к = 1,2,. . . , N . Напряжения о 1к и о рк в соответствующих испытаниях мо
гут существенно различаться.
части соотношений (1), (2) и получим две системы, состоящие из К и N
уравнений соответственно, для четырех величин - о ь, п , В и А:
Из-за возможного несоответствия уравнений (1), (2) с эксперименталь
ными данными и случайного разброса последних системы уравнений (3), (4)
являются, как правило, несовместными относительно о ъ, п , В и А.
Поскольку обе системы имеют две общие неизвестные величины о ь и
п , тогда как две другие неизвестные В и А входят только в одну систему,
соответственно (3) или (4), можно было бы предложить несколько методов
решения систем (3), (4). Однако с целью экономии места ограничимся
подробным описанием только одного основного метода. Его суть заклю
чается в том, что обе системы объединяются и рассматриваются как одна
система, состоящая из К + N уравнений. Для объединенной системы отыс
кивается оптимальное [2, 3] решение о ь , п , В , А. В качестве меры опти
мальности решения о ь , п, В , А используется значение суммарной невязки
д, которая равна сумме двух невязок простейшего вида [2 ] каждой отдельно
взятой системы (3) и (4):
Под оптимальным решением о ъ , п , В , А объединенной системы (3),
(4) будем понимать точку локального экстремума (точка локального мини
мума) суммарной невязки д = д (о ь , п , В , А) (5). Таким образом, задача
нахождения оптимального решения объединенной несовместной системы
*
Подставим поочередно пары (о ̂ , гк ) и (орк , р к ) в левую и правую
* о гк
1пгк = В 1п10+ 171поъ — п 1п , к = 1, 2,. . . , К ;
о Ь — о кЬ о гк
(3)
1п р к = 1п А + п 1п ------------- , к = 1, 2 , . . . , N .
о Ь — о рк
(4)
д = д г(о ь , п , В ) + д р (о ь , п , А) = д ( о ь , п , В , А); (5)
(6)
\2
д р (о ь , п , А) = ^ И п р к — 1пА — п 1п
о рк
(7)
о Ь о рк )
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4 27
Н. А. Веклич, А. М. Локощенко, П. Н. Веклич
(3), (4) значительно упрощается, поскольку сводится к определению точки
локального минимума невязки 6 = 6 (о ъ, п , В , А) по четырем аргументам
о ъ , п, В , А.
Для решения задачи минимизации невязки 6 = 6 ( о ь , п , В , А) приме
няются хорошо известные методы математического анализа. В качестве
необходимых условий локального экстремума приравняем нулю частные
производные невязки 6 по всем четырем аргументам о ъ , п, В , А. После
преобразований, сводящихся к исключению неизвестных п, В , А, получим
одно нелинейное уравнение относительно о ъ:
(17 п (о ь ) ̂ *
/ (о ь ) = ^ 1 ~ + ~ ----- ~ (1п (к - §1 - п(о Ь )§ 2(о Ь ) + п(о Ь )Р к (о ь )) -
к = Д ° Ь о Ь - о гк /
п( о ь )
- ^ ^ ----- ^ (1пР к - Я3 + п (о Ь)Я4( о Ь) - п (о Ь) а к ( о Ь)) = 0 (8)
к= 1 о ь - о рк
где
1 к К
1 * о к 1 1 1
§ 1 = к 1 п ^ к ( о ь ) = 1по — — ; § 2 ( о ь ) = к ^ к ( о ь );
К к =1 о Ь - о гк К к =1
1 N о 1 N
1 о рк I 1
§ 3 = N ^ 1п Р к ; а к (о Ь ) = 1п о - о ; § 4(о Ь ) = N ^ а к (о Ь ) ;
1У к =1 ь Рк к=1
п (о Ь ) = §5 ( о Ь V§ 6 ( о Ь ) ; (9)
К N
§ 5 (о Ь ) = Х ^ к (о Ь )(1п - § 1) - Х а к (о Ь )(1п р к - § 3 );
к=1 к =1
К N
§ 6 ( о Ь) = Х ^ к ( о Ь )(§ 2 ( о Ь ) - ^ к ( о Ь )) + ^ а к( о Ь)(§ 4( о Ь) - а к( о Ь))-
к=1 к=1
Уравнение (8) с одним неизвестным о ь решаем численным методом
деления отрезка на оси о ь пополам. После нахождения о ь остальные
материальные постоянные п , А, В вычисляются с помощью соотношений:
п = п (о ь ) ; А = ехР(§ 3 - п (о ь )§ 4 ( о ь )); ( 10)
в = [§ 1 + п(о ь )§ 2 (о ь ) - 171п о ь ] /1п 10.
Минимальное значение суммарной невязки 6 ( о ь , п , В , А) в основном
методе решения обозначим 6 (1). Полезно также определить отдельные
составляющие невязки 6 (1) = 6 г(о Ь , п, В ) и 6 ? = 6 р ( о Ь , п, A), вычислен
ные при оптимальных значениях о ь , п, В , А, при этом имеет место
равенство 6 (1) = 6 (1) + 6 Р1}.
28 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 4
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести
Если подставить оптимальные значения о ъ , п , Б , А в формулы (1), (2)
% %
и построить графики г = г (о ) и р = р (о ) на соответствующих коорди
натных плоскостях, то графики наилучшим образом расположатся относи
*тельно экспериментальных точек (о {к, гк ) и (о рк, р к ). Становится также
возможным проводить прогнозирующие расчеты и определять по формуле
(1) напряжение о , которое образец выдерживает в течение заданного вре-
*
мени г , а затем разрушается.
3. Результаты численных расчетов. Воспользуемся приведенными в [4]
результатами экспериментального определения скорости установившейся
*ползучести р и времени до разрушения г при различных напряжениях о.
Образцы изготовляли из хромоникелевой аустенитной стали 10Х15Н27Т3МР
(ЭП700), температура испытания составляла 600°С.
В табл. 1 при ] = 1 приведены N = 10 значений р ,при ] = 2 -средние
арифметические значения р при соответствующих напряжениях о. Резуль-
*
таты экспериментального определения времени до разрушения г при раз
личных напряжениях представлены в табл. 2 при і = 1 (К = 13), при і = 2
%
даны средние арифметические значения г (о ).
Т а б л и ц а 1
Экспериментальные (] = 1 и 2) и теоретические (] = 3 — 7) значения скорости
установившейся ползучести р при различных напряжениях
о, р, ч-', при ], равном
МПа
1 2 3 4 5 6 7
200 1,60-10“7 1,60-10“7 0,90-10“7 1,09-10“7 2,57-10“ 8 5,50 -10_8 7,00 -10_8
240 2,00-10“ 7 2,00 -10“ 7 1,75-10“ 7 1,92-10“7 7,64 -10“ 8 1,18-10“7 1,00-10“ 7
280 3,20-10“ 7 3,20-10“ 7 3,20-10“ 7 3,24 -10“ 7 2,00-10“ 7 2,35-10“ 7 3,00-10“ 7
320 3,16-10“7 3,16-10_7 5,70 -10_7 5,34 -10“ 7 4,78-10“7 4,49-10“ 7 6,00-10“ 7
550 4,80-10_6 1,17-10“5 1,60-10“5 1,24 -10“ 5 3,08-10“5 1,80-10“5 2,08-10“5
550 1,86-10“ 5 1,17-10“5 1,60-10“5 1,24 -10“ 5 3,08-10“5 1,80-10“5 2,08-10“5
600 4,65-10“5 5,60-10“5 4,10 -10_5 3,54 -10“ 5 7,08-10“5 4,90-10“5 5,08-10“5
600 6,54 -10“ 5 5,60-10“5 4,10 -10_5 3,54 -10“ 5 7,08-10“5 4,90-10“5 5,08-10“5
650 1,50-10“4 1,65-10“4 1,38-10“4 1,85-10“4 1,63-10“4 1,66-10“4 1,41-10“4
650 1,80-10“4 1,65-10“4 1,38-10“4 1,85-10“4 1,63-10“4 1,66-10“4 1,41-10“4
а ъ, МПа - - 755 700 1169 778 830
п - - 2,58 2,14 4,86 2,98 3,15
А, ч-1 - - 1,26-10_6 7,70-10“7 5,49-10“ 5 1,30 -10_6 2,50 -10_6
- - ^ = 2,47 ^ = 1,98 р̂з) = 8,58 ^ 4) = 3,49 ^ = 3,49
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4 29
Н. А. Веклич, А. М. Локощенко, П. Н. Веклич
Т а б л и ц а 2
Экспериментальные (» = 1 и 2) и теоретические (» = 3 — 7) значения времени*до разрушения г при различных напряжениях
о, *
г , ч, при г, равном
МПа
1 2 3 4 5 6 7
320 52126 52126 33277 35567 57299 48349 37792
550 1627 1075 1184 1075 890 1202 1042
862 1075 1184 1075 890 1202 1042
737 1075 1184 1075 890 1202 1042
600 670 400 460 536 387 443 427
434 400 460 536 387 443 427
308 400 460 536 387 443 427
189 400 460 536 387 443 427
650 246 176 138 103 168 130 154
211 176 138 103 168 130 154
177 176 138 103 168 130 154
144 176 138 103 168 130 154
101 176 138 103 168 130 154
а ь, МПа - - 755 700 1169 778 830
п - - 2,58 2,14 4,86 2,98 3,15
В - - —44,75 — 43,97 —49,46 —44,92 —45,69
5 - - 2II 0,24II
сТ
7,7II 8,2
гТII 5,9II
•7̂
5 = 5 + 5р - - 4,88 6,18 10,35 5,77 5,44
Для указанных числовых данных в результате решения уравнения (8) и
расчетов по формулам (10) получены оптимальные значения о ь, п, В , А,
приведенные в табл. 1 при ] = 3 и табл. 2 при г = 3 вместе с результатами
*расчета скоростей установившейся ползучести р, времени до разрушения г
и невязок 5 (1), 5 (1), 5 {р ) по формулам (1), (2), (5)-(7). Проведены также рас
четы напряжения о, которое образец выдерживает в течение заданного време-
* * 4
ни г , а затем разрушается. Например, при г = 10 ч имеем о = 407 МПа,
* ^
при г =10 ч - 245 МПа.
Ниже рассмотрены другие методы определения материальных констант
о ь , п, В и А для оптимального моделирования известных эксперимен
тальных данных.
Проанализируем оптимальное решение отдельно взятой системы (4),
т.е. результаты минимизации ее невязки 5 р (о ъ , п , А) (7) по аргументам о ъ,
п , А. Результаты этого решения приведены в табл. 1 при ] = 4. Минимальная
величина невязки в этом случае 5 р (о ь , п , А) = 5 (,2) = 1,98, что меньше соот
ветствующей составляющей 5 = 2,47, полученной основным методом,
5 р2) < 5 (1). Точность аппроксимации экспериментальных данных по устано
вившейся скорости ползучести р повысилась. Подставим найденные значе
30 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 4
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести
ния о ь и п в невязку 5 £ (о ь , п , В ) системы (3) и минимизируем эту невяз
ку по аргументу В . Минимальное по В значение невязки 5 £(о ъ , п , В ) =
= 5 (2) = 4,20 системы (3) и вычисленные по формуле (1) теоретические
значения £* приведены в табл. 2 при I = 4. Невязка 5 (2) значительно
превышает составляющую 5 (1) = 2,41, полученную по основному методу,
5 (2) > 5 (1). Кроме того, выполняется неравенство 5 (2) = 5 (2) + 5 р2) = 6,18 >
> 5 (1) = 4,88. Таким образом, принятая минимизация невязки 5 р сущест
венно снижает как точность аппроксимации значений £*, так и общую
точность решения по обеим системам.
Можно, наоборот, сначала наилучшим образом аппроксимировать зна-
%
чения £ (табл. 2, I = 1). Для этого следует оптимально решить систему
уравнений (3) относительно о ъ , п, В , т.е. минимизировать ее невязку
5 £ (о ъ , п , В ) по аргументам о ь , п, В. Затем полученные значения о ь и п
подставить в невязку 5 р (о ь , п , А) (7) и, используя экспериментальные
данные для р (табл. 1 при ] = 1), определить минимум этой невязки по
аргументу А. В результате получим оптимальное решение для системы
уравнений (4). В табл. 1 при ] = 5 и табл. 2 при I = 5 приведены результаты
расчетов р (о ), £ (о ) и минимальных невязок 5 р (о ь , п , А) = 5 рз),
5 £ ( о Ь , п, В ) = 5 (3) по этому методу. Для системы уравнений (3) получено
удовлетворительное решение с минимальной невязкой 5 (3) = 1,77. Однако
минимальная невязка системы (4) 5 рз) = 8,58 значительно выше по срав
нению с составляющей 5 р1} = 2,47. Можно заключить, что точность метода
последовательного наилучшего решения систем (3), (4) существенно ниже,
чем основного метода совместного решения этих систем, если учесть нера
венство 5 (3) = 5 (3) + 5 рз) = 10,35 > 5 (1) = 4,88.
В работе [4] по исходным данным для скорости установившейся ползу
чести (табл. 1, ] = 1) методом арифметического осреднения решений отдель
но взятых уравнений системы (4) были получены значения о ь = 778 МПа и
п = 2,98 при ] = 6. В табл. 1 приведены также результаты расчетов парамет
ра А, скорости ползучести р по формулам (10), (2) и невязки 5 р (о ь , п , А)
(5), которая в [4] не определялась. Дополнительно проведенные расчеты
показали, что 5 р (о ь , п , А) = 5 р4 ̂ = 3,49 > 5 (,1) = 2,47. В табл. 2 при 1= 6
представлены результаты расчета оптимального параметра В , времени до
разрушения £ и минимальной по В невязки 5 £ (о ь , п , В ) = 5 (4) = 2,28 <
< 5 (1) = 2,41. Последнее неравенство указывает на то, что в [4] получена
более точная аппроксимация экспериментальных результатов по длительной
%
прочности £ по сравнению с основным методом (табл. 2, I = 3). Однако в
[4] выполнена менее точная аппроксимация экспериментальных результатов
по установившейся скорости ползучести р . В целом решение [4] оказалось
вполне удовлетворительным. По точности аппроксимации оно превышает
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4 31
Н. А. Веклич, А. М. Локощенко, П. П. Веклич
результаты, приведенные в табл. 1 и 2 при j = 4, 5 и i = 4, 5, но уступает
основному методу минимизации суммарной невязки д ( о b , n , D , А): д (4) =
= 5,77 > д (1) = 4,88.
Отметим, что решение [4] можно несколько улучшить за счет выбора
других величин о ь и n , при которых сохраняется уровень невязки
д p (о ь , n , A) = д , а точность аппроксимации экспериментальных значений
%
t повышается. Определяя условный минимум невязки д t (о b , n , D ) при
дополнительном условии д p (о ь , n , A) = const = д p4 ,̂ находим величины о ь
и n. В табл. 1 и 2 при j = 7 и i = 7 приведены результаты определения
условного минимума невязки д t (о ъ , n , D ) методом множителей Лагранжа.
Сравнение невязок д t (о b , n , D ) при i = 6 и 7 (табл. 2) показывает, что
метод множителей Лагранжа позволяет найти наименьшее значение невязки
д t (о ь , n , D ) = д (5) =1,95 (i= 7) системы уравнений (3), если задано не
которое приемлемое (компромиссное) постоянное значение д p4 ̂ невязки
д p ( о ь , n , А) = д(,4) системы уравнений (4).
В связи с этим были проведены дополнительные расчеты по опре
делению условного минимума невязки д t (о ь , n , D ) при условии
д p (о ь , n , А) = const = C и различных значениях константы С . Расчеты пока
зали, что если задать константу C = д^, = 2,47, то условный минимум не
вязки д t (о ь , n , D ) будет равен д (1). Можно утверждать, что метод нахожде
ния условного минимума невязки д t (о ь , n , D ) при условии д p (о ь , n , А) =
= const по точности аппроксимации результатов испытаний равнозначен
основному методу. Однако он связан с более громоздкими математическими
выкладками, поэтому соответствующие расчетные формулы не приводятся.
4. Аппроксимация результатов испытаний на длительную проч
ность с помощью двухзвенной ломаной линии. Пусть имеются результаты
w *
N испытаний на длительную прочность t при различном напряжении о,
приложенном к образцу.
Перейдем к логарифмической системе координат и введем новые обо-
%
значения для экспериментально определенных величин: x = lg t ; y = lg о.
Полагаем, что результаты испытаний представлены в виде набора N точек
(x 1, у 1), . . . , (x n , У n ) на координатной плоскости (x, у), причем абсциссы
х пронумерованы в порядке возрастания: x 1 < x 2 ^ . . .^ x n . Поставим зада
чу о наилучшей аппроксимации экспериментальных данных с помощью
двухзвенной ломаной линии, которую зададим уравнением следующего
вида:
У = У о + *i(x - xo), x < x 0;
У = Уо + k 2 (x - x o), x - x o. (11)
В уравнения (11) входят четыре постоянные величины аппроксимации.
Две из них х о и у о обозначают абсциссу и ординату точки излома, ^ и
32 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 4
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести
к 2 - угловые коэффициенты, подлежащие определению при условии, соглас
но которому двухзвенная линия (11) наилучшим образом должна распола
гаться на плоскости (х, у ) относительно всех экспериментальных точек
(х ь у 1) , ..., ( х N , У N ) .
Если формально потребовать, чтобы линия прошла через все эти точки,
получим систему N уравнений относительно неизвестных х о, у о, к1 и к 2 -
У 1 = у о + к 1( х 1 — х о ), I = ^ у ;
( 12)
У 1 = У о + к 2 ( х 1 — х о ), I = у 1 7 + 2 , ..., N .
В уравнениях (12) величина у определяется из условия х у < хо < х у+1,
т.е. точка излома линии располагается на плоскости (х, у) между у-й и у + 1-й
экспериментальными точками. При этом предполагается, что индекс у
удовлетворяет неравенству 1 < у < N, тогда как нарушение этого неравенст
ва для индекса у означает, что результаты экспериментов аппроксимиру
ются с помощью одной прямой, а не двухзвенной ломаной линии.
Система уравнений (12) - нелинейная и в общем случае несовместна.
Ее решение будем искать в оптимальном смысле, добиваясь минимизации
невязки д = д(х о , у о , к 1, к 2 ):
у
д = д(х о , У о , кЬ к 2 ) = 2 ( Уп — У о — к1( х п — х о ))2 +
п=1
N
+ ^ (У п — Уо — к 2 (х п — х о))2. (13)
п=у'+1
В случае нарушения условия 1 < у < N одна из сумм, входящих в
формулу (13), полагается равной нулю.
Невязка д (13) зависит от аргументов у о, к 1 и к 2 достаточно просто
и допускает по ним частное дифференцирование. В точке локального мини
мума частные производные д по этим трем аргументам равны нулю:
дд
дк
у
= —2Х ( Уп — У о — к 1( х п — х о))( х п — х о) = о;
1 п=1
дд N
дк
дд
= —2 Х (Уп — У о — к 2 ( х п — х о ))(х п — х о ) = о;
дУ о
2 п=у+1
( у
■ = —2 ^
(14)
2 ( Уп — У о — к1( х п — х о )) +
п=1
N
+ Х ( Уп — У о — к 2 ( х п — х о))
п=у+ 1
= о.
0556-171Х. Проблемыг прочности, 2008, № 4 33
Н. А. Веклич, А. М. Локощенко, П. Н. Веклич
Решая систему уравнений (14) относительно у 0, ^ и к 2 , получаем
У о = У о( х о ) = а( х о ) / Ь ( х о) ;
к 1 = к 1(хо ) = (а 22(х о) - Уо(хо )а 12(хо)У а 11(хо); (15)
к 2 = к 2 (х о ) = (Ь22(х о ) - У о(хо ) Ь12(хо )V Ь11(хо X
где
N
(16)
а (хо ) = 2 Уп - а 12( х о ) а 22(х о V а 11(хо ) - Ь 12 (хо )Ь 22 (хоVЬ11(хо X
п=1
Ь( х о ) = N - ( а 12 (х о ))7 а 11( х о ) - ( Ь12( х о ))7 Ь11( х о) ;
] ]
а и ( х о) = 2 (хп - х о)2; а 12(хо) = 2 (хп - х о);
п=1 п=1
]
а 22 (х о ) = 2 Уп ( х п - х о) ;
п=1
N N
ь 11( х о) = 2 (хп - х о)2 ; ь 12(хо) = 2 (хп - х о );
п=у+1 п=у+1
N
Ь22( х о ) = 2 У п ( х п - х о )-
п=+1
Решения у о, к 1 и к 2 (15) будем называть оптимальными для невязки д
при произвольно заданной абсциссе х о точки излома. Подставив аналити
ческие выражения (15), (16) для оптимальных значений у о = У о( х о), к 1 =
= к1(хо), к 2 = к 2 (хо) в формулу (13) для невязки д, получим
У
д = 2 [Уп - Уо(хо) - к1(хо)(х п - х о )]2 +
п=1
N
+ 2 ^ У п - Уо(хо ) - к 2 (хо )(х п - х о )]2 = д(хо ) . (17)
п= + 1
Формула (17) для невязки д = д(х о) показывает, что д(х о) непрерывно
зависит от аргумента х о. Более того, д(х о) дифференцируема по аргументу
хо всюду, кроме узловых точек хо = х п , п = 1, 2 , . . . , N .
В узловых точках невязка д(х о) недифференцируема по аргументу х о,
поскольку в них происходит скачкообразное изменение величины ] , входя
щей в формулы (16). Это влечет за собой появление (или, наоборот, исчез
новение) отдельных слагаемых в суммах, входящих в формулы (16), (17) и
влияющих на невязку д(х о). В других (промежуточных) точках х о скачко
34 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4
Связанное моделирование скорости установившейся ползучести
образного появления (исчезновения) отдельных слагаемых нет, и невязка
6 (хо) непрерывна и дифференцируема по аргументу х о. Производная
невязки 6 (хо) по аргументу х 0 в узловых точках х 0 = х п (п = 1, 2 , . . . , И)
имеет разрыв первого рода с конечным скачком.
Поэтому для нахождения точки экстремума невязки 6 = 6 (х о) целе
сообразно воспользоваться одним только свойством непрерывности, не обра
щаясь к разрывной производной.
При вычислениях по формулам (15)-(17) при различных значениях
абсциссы х о на отрезке х і < х о ^ х и с достаточно мелким шагом Дхо
находим такое значение х о, при котором невязка 6 = 6 (х о) (17) наимень
шая. Зная х о, остальные параметры двухзвенной ломаной определяем с
помощью формул (15), (16).
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект о5-о1-оо226).
Р е з ю м е
Розроблено нові методи зв’язаного математичного моделювання швидкості
сталої повзучості та тривалої міцності металів при розтязі. За базові залеж
ності швидкості сталої повзучості та часу до руйнування від напруження
використано дві нелінійні дробово-степеневі функції з чотирма матеріаль
ними сталими. Визначення цих сталих базується на оптимальному розв’язку
двох нелінійних і несумісних у звичайному розумінні систем рівнянь мето
дом мінімізації квадратичних відхилень. Описано методи визначення мате
ріальних сталих, за допомогою яких отримано аналітичні залежності, що
оптимально апроксимують результати досліджень сталі ЮХ15Н27Т3МР за
температури боо° С та різних напружень. Запропоновано метод кусково-
лінійної апроксимації результатів досліджень на тривалу міцність за допо
могою дволанкової ламаної. При цьому положення точок злому та інші
числові характеристики ламаної лінії визначаються за умови її оптималь
ного розташування відносно експериментальних даних. Метод дозволяє
більш повно враховувати різні механізми накопичення пошкодженості сталі
за різних рівнів напруження.
1. А рш акуни А. Л ., Ш ест ери ков С. А . Прогнозирование длительной проч
ности жаропрочных металлических материалов // Изв. РАН. Механика
твердого тела. - 1994. - № 3. - С. 126 - 141.
2. Вент целъ Е. С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 572 с.
3. Тихонов А. Н . О задачах с приближенно заданной информацией //
Некорректные задачи естествознания. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. -
С. 8 - 14.
4. К аш елкин В. В ., К узн ец ова И. А ., Ш ест ери ков С. А . Метод прогно
зирования длительной прочности хромоникелевых аустенитных сталей
// Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2оо4. - № 1. - С. 182 - 187.
Поступила 12. о9. 2оо7
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 4 35
|