Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстройкой
Исследуются случайные гармонические колебания рабочей ступени паровой турбины с учетом расстройки. Предложен подход к определению математического ожидания и спектральной плотности перемещений исследуемой системы на основе модели одного сектора....
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48349 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстройкой / В.А. Жовдак, А.А. Ларин, А.Ф. Кабанов // Проблемы прочности. — 2008. — № 5. — С. 105-113. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-48349 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-483492013-08-18T16:50:12Z Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстройкой Жовдак, В.А. Ларин, А.А. Кабанов, А.Ф. Научно-технический раздел Исследуются случайные гармонические колебания рабочей ступени паровой турбины с учетом расстройки. Предложен подход к определению математического ожидания и спектральной плотности перемещений исследуемой системы на основе модели одного сектора. Досліджуються випадкові гармонічні коливання робочого ступеня парової турбіни з урахуванням розладу. Запропоновано підхід до визначення математичного сподівання і спектральної щільності переміщень системи на основі моделі одного сектора. Random harmonic vibrations of a mistuned steam turbine cascade have been investigated. We propose a new approach for determination of the expectation and spectral density of the system displacement based on a single-sector model. 2008 Article Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстройкой / В.А. Жовдак, А.А. Ларин, А.Ф. Кабанов // Проблемы прочности. — 2008. — № 5. — С. 105-113. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48349 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Жовдак, В.А. Ларин, А.А. Кабанов, А.Ф. Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстройкой Проблемы прочности |
| description |
Исследуются случайные гармонические колебания рабочей ступени паровой турбины с
учетом расстройки. Предложен подход к определению математического ожидания и спектральной
плотности перемещений исследуемой системы на основе модели одного сектора. |
| format |
Article |
| author |
Жовдак, В.А. Ларин, А.А. Кабанов, А.Ф. |
| author_facet |
Жовдак, В.А. Ларин, А.А. Кабанов, А.Ф. |
| author_sort |
Жовдак, В.А. |
| title |
Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстройкой |
| title_short |
Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстройкой |
| title_full |
Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстройкой |
| title_fullStr |
Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстройкой |
| title_full_unstemmed |
Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстройкой |
| title_sort |
статистическая динамика рабочих колес турбомашин с технологической расстройкой |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48349 |
| citation_txt |
Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с
технологической расстройкой / В.А. Жовдак, А.А. Ларин, А.Ф. Кабанов // Проблемы прочности. — 2008. — № 5. — С. 105-113. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT žovdakva statističeskaâdinamikarabočihkolesturbomašinstehnologičeskojrasstrojkoj AT larinaa statističeskaâdinamikarabočihkolesturbomašinstehnologičeskojrasstrojkoj AT kabanovaf statističeskaâdinamikarabočihkolesturbomašinstehnologičeskojrasstrojkoj |
| first_indexed |
2025-07-04T08:45:35Z |
| last_indexed |
2025-07-04T08:45:35Z |
| _version_ |
1836705368192843776 |
| fulltext |
УДК 539.3
Статистическая динамика рабочих колес турбомашин с
технологической расстройкой
В. А. Жовдака, А. А. Ларина, А. Ф. Кабанов6
а Национальный технический университет “Харьковский политехнический инсти
тут”, Харьков, Украина
6 ОАО “Турбоатом”, Харьков, Украина
Исследуются случайные гармонические колебания рабочей ступени паровой турбины с
учетом расстройки. Предложен подход к определению математического ожидания и спект
ральной плотности перемещений исследуемой системы на основе модели одного сектора.
К лю ч е в ы е с л о в а : лопатка, расстройка, случайные колебания, модель одного
сектора.
Введение. Вибрационная прочность современных турбомашин во мно
гом определяется напряженно-деформированным состоянием рабочих колес,
которые, несмотря на свое многообразие, обладают общим свойством цикли
ческой симметрии. В рабочем колесе, как в циклически симметричной
системе, можно выделить сектор, который, будучи повернутым на любой
угол, кратный 2я / N (Ы - количество секторов), сохранит инвариантность
совокупности своих характеристик [1 ]. Исследование таких систем может
быть сведено к решению задачи на основе одного сектора с помощью
сложных моделей, позволяющих проводить детальный численный анализ
напряженно-деформированного состояния (НДС) всех конструктивных эле
ментов исследуемого объекта. Вместе с тем реальные конструкции всегда
отклоняются от строгой симметрии в большей или меньшей степени. В этом
случае необходимо проводить моделирование всей конструкции. Современ
ные численные методы решения задачи динамики базируются на применении
конечноэлементного подхода, согласно которому для получения достоверных
данных о вибрационных характеристиках используются модели большой
размерности, что значительно затрудняет получение численных результатов.
Кроме того, действующие на рабочие колеса газодинамические нагруз
ки имеют явно выраженный случайный характер. Поэтому актуальной явля
ется проблема решения задачи о случайных вынужденных колебаниях рабо
чих колес турбомашин с учетом их расстройки.
1. Решение задачи стохастической динамики системы со строгой
циклической симметрией на основе модели одного сектора. Определение
вероятностных характеристик отклика исследуемой системы на случайное
нагружение в рамках корреляционного подхода сводится к отысканию мате
матического ожидания (МО) и спектральной плотности обобщенных пере
мещений. Эти характеристики случайного поведения системы определяются
выражениями [2]
{ ^ (ю)} = [А( ю)][А( «)]*{£ / (ю)}, ({?}) = [А(« ) ] ( { /} ) , ( 1 )
© В. А. ЖОВДАК, А. А. ЛАРИН, А. Ф. КАБАНОВ, 2008
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5 105
В. А. Жовдак, А. А. Ларин, А. Ф. Кабанов
где ( . . . ) - оператор МО; [А(о)] = [Х(о )] 1 - матрица динамической подат
ливости (МДП) всей системы; {д}, { / } - векторы амплитуд перемещений и
нагрузки; {5 / (о )} - спектральная плотность нагрузки.
В настоящей работе предлагается построение матрицы [А(о)] для сис
темы со строгой циклической симметрией на основе модели одного сектора.
Как показано в [1], для собственных колебаний компоненты вектора ампли
туд перемещений всей циклически симметричной системы (ЦСС) выража
ются через компоненты вектора амплитуд перемещений сектора:
( 2 я 2я 2 я 1 *
(— Н (— 2Н (— (N —1)Н I
{?} = 1 {?}, , { <?Ье N , {<?Ье N , ■■■, { <?Ье N \ , (2)
где Н - волновое число (индекс цикличности), Н = — N 2, N 1 2. Из выра
жения (2) следует, что собственные колебания ЦСС допускают множество
частных решений, определяемых числом Н.
Для случая вынужденных гармонических колебаний вектор амплитуд
перемещений удовлетворяет условиям (2), если вектор амплитуд нагружения
удовлетворяет аналогичным условиям [3]:
2я
{ / / = { / } , е 'т Н ° ~ п - (3)
В этом случае решение, соответствующее числу Н волн деформаций в
форме колебаний для j- г о сектора, может быть определено с помощью МДП
или на основе метода разложения по собственным формам [3]:
{д}(Н) = [Ан (о ) ] { / } / , {д}(Н) = ^ { и } кг ( { и }Н) 1Н ( ш , ц )Н
Vг=1
{ / } / , (4)
где Н ( т , ц )Н - передаточная функция; ц г - коэффициент демпфирова
ния; {и}Н - комплексный вектор собственных форм колебаний сектора
ЦСС; черта сверху над вектором обозначает комплексное сопряжение.
Приравнивая правые части выражений (4), получаем Н-ю матрицу дина
мической податливости одного сектора системы:
[Ан(о )], = % { и } кг ({и}Н)Н к о ,ц ) Н для Н е [0, N/2]; (5)
Г = 1
т
[Ан(о )], = 2 ^ ({и}Н)Н ш , ц ) Н для Н е [— N /2 ,0 ]. (6)
Г = 1
106 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5
Статистическая динамика рабочих колес турбомашин
Тогда МДП системы с циклической симметрией определяется следующим
образом [3]:
[А( ю)] —
М і . •• [ ^
. . [ Ь \
2п ,
- і-а к (у-1)
И——п,/2
Следовательно, решение задачи стохастической динамики ЦСС может
быть сведено к построению матрицы динамической податливости на основе
модели одного сектора и последующего вычисления спектральной плот
ности по выражению ( 1 ).
2. Стохастическая динамика системы с нарушенной циклической
симметрией на основе модели одного сектора. При решении задачи слу
чайных колебаний системы с расстройкой также можно воспользоваться
выражениями (1). Для отыскания МДП рассматриваемой системы на основе
модели одного сектора определяется рекуррентное соотношение, содержа
щее компоненты, характеризующие симметричную часть системы и ее рас
стройку. Данный подход базируется на представлении матрицы динами
ческой жесткости всего колеса [2(а )] в виде суммы матрицы динамической
жесткости № 0 (а)] ЦСС, которая может быть построена на основе модели
одного сектора, и матрицы расстройки [ДZ(а)]:
[% ( о ) Ш = ([2 0 (ю)] + [ М ю )]){*} — { / }. (8)
Для нахождения матрицы [А(а)] необходимо обращение указанной
суммы матриц, которое может быть сведено к рекуррентному соотношению,
полученному на основе формулы Шермона-Моррисона-Вудбари [3]:
[А( ю)] (У+1)
1
= [А( а ) ] ( ) ) -----------------1----------у ({а( а ) } ) ) ({г( а ) } ) [А( а ) ] ()))), (9)
1 + {V (а ) } ) {а( а ) } ) ) (9)
где {а(а ) } ) ) - у-я строка МДП, определенной на у-й итерации; {у (а )}у - у-я
строка матрицы расстройки. В качестве начального значения в приведенных
рекуррентных соотношениях используется МДП системы со строгой цикли
ческой симметрией.
Заметим, что технологическая расстройка рабочих колес турбомашин
отмечается только в локальных областях, а распределение динамических
напряжений, как правило, необходимо определять в областях их концент
рации. В связи с этим в соотношениях (1), (7), (9) можно ограничиться
рассмотрением только тех узлов, в которых существует расстройка, прило
жена внешняя поверхностная нагрузка и имеет место концентрация НДС.
0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5 107
В. А. Жовдак, А. А. Ларин, А. Ф. Кабанов
3. Результаты численных исследований. На основе разработанного
подхода проведены численные исследования случайных колебаний лопаточ
ного аппарата первой ступени цилиндра низкого давления (ЦНД) паровой
турбины ПТ-325, рабочая лопатка которой обладает связью в виде цельно
фрезерованной бандажной полки, расположенной на периферии лопатки.
Бандажные полки соседних лопаток соединены специальными вставками.
Хвостовик лопатки двухопорный “грибовидной” формы. Венец состоит из
136 рабочих лопаток. Направляющий аппарат содержит 62 лопатки, что
определяет характер возбуждаемых форм колебаний.
Конечноэлементная модель исследуемой лопатки и бандажной полки
приведена на рис. 1, где 1, 3, 5 - точки пера лопатки, в которых определяется
максимальный разброс амплитуд колебаний. Модель в основном представ
лена в виде регулярной сетки гексаидральных элементов, а локальные облас
ти сочленения пера с хвостовиком и бандажной полкой - из тетраэдраль
ных элементов.
Вставка
бандажной полки
а б
Рис. 1. Конечноэлементная модель лопатки (а) и бандажной полки (б).
3.1. С обст венны е и случайны е вы нуж денны е колебания лопат очного
аппарат а как циклически сим м ет ричной сист емы. Первая ступень ЦНД
функционирует в широком диапазоне режимов эксплуатации при сравни
тельно больших перепадах давления и температуры. При этом на выходной
кромке направляющего аппарата образуются турбулентные кромочные сле
ды. Рабочий аппарат ступени находится на значительном расстоянии от
выходной кромки регулирующей мембраны и поэтому испытывает влияние
только дальнего следа, который можно считать свободной турбулентной
струей. Осредненная скорость течения в турбулентной струе меньше, чем в
основном потоке, вследствие чего вращающийся лопаточный аппарат перио
дически попадает в область с меньшим давлением. Осредненные харак
теристики такого турбулентного потока в соответствии с методикой [4]
раскладывали в ряд Фурье.
В табл. 1 приведены результаты расчета собственных частот колебаний
модели ЦСС лопаточного аппарата и осредненных амплитуд внешних сил,
которые прикладывали в каждый узел конечного элемента сетки пера лопатки.
108 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5
Статистическая динамика рабочих колес турбомашин
Т а б л и ц а 1
Результаты определения характеристик спектра возмущения
и собственных частот колебаний модели ЦСС лопаточного аппарата
М 1 Частота
возмущения,
Гц
Амплитуда
возмущения, Н
М2 Собственная
частота,
Гц
сз" £
х у
1 3100 6,74 6,440 1 2272,8 36,66
2 3331,1 53,73
2 6200 1,05 1,004 3 4737,3 38,20
4 6386,1 51,50
5 7594,4 61,20
3 9300 — 1,94 — 1,860 6 8457,6 45,47
7 10501,0 56,46
Примечание. Мх - номер гармоники возбуждения колебаний при частоте вращения ротора
50 Гц; М 2 - номер собственной частоты колебаний, соответствующий форме с 31-м узловым
диаметром (с учетом количества направляющих лопаток); Й - частота вращения ротора, при
которой в системе возникает резонанс.
Анализ приведенных данных показывает, что область опасных вынуж
денных частот турбулентных пульсаций в кромочном следе принадлежит
инерционной подобласти [5], в которой пространственный энергетический
спектр подчиняется закону Колмогорова-Обухова и может быть представлен
в виде выражения
— 5/3
( 10)
і /
где а - постоянная Гейзенберга (для исследуемой области спектра а — 0,45
согласно [5]); є - функция, характеризующая диссипацию энергии; V -
осредненная скорость потока; к і - характеристическое волновое число
потока; к - волновое число турбулентного потока.
На основании выражения (10) были определены спектральные плот
ности скорости потока и давления (рис. 2).
, (м/с) -с ,Н2 - с
Рис. 2. Спектральные плотности скорости потока и давления в турбулентном следе.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 5 109
В. А. Жовдак, А. А. Ларин, А. Ф. Кабанов
Для рассмотренного случайного нагружения была решена задача слу
чайных колебаний модели ЦСС лопаточного аппарата. На рис. 3 и 4 приве
дены математические ожидания и спектральные плотности амплитуд пере
мещений для 1- и 3-й точек среднего сечения пера лопатки (рис. 1,а),
полученные согласно ( 1 ).
(д) ■ 10 7, м (д) ■ 10 7, м
а б
Рис. 3. Математическое ожидание амплитуд перемещений вынужденных случайных коле
баний ЦСС лопаточного аппарата для 1- (а) и 3-й (б) точек.
■10_21,м2 ■ с ■10_22,м2 ■ сЧ Ч
Рис. 4. Спектральная плотность амплитуд перемещений вынужденных случайных колебаний
ЦСС лопаточного аппарата для 1- (а) и 3-й (б) точек.
Видно, что в исследуемой системе доминируют только первые две
собственные формы колебаний, соответствующие Н = 31. Для резонансных
областей по спектральным плотностям были определены МО, дисперсии и
максимальные разбросы амплитуд колебаний, значения которых приведены
в табл. 2 .
Сравнительный анализ представленных данных свидетельствует о том,
что учет случайной составляющей нагрузки приводит к значительному
разбросу амплитуд колебаний на второй частоте, который может достигать
14% относительно среднего значения.
110 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5
Статистическая динамика рабочих колес турбомашин
Т а б л и ц а 2
Значения МО, дисперсий и максимального разброса амплитуд колебаний
№
точки
на
рис. 1,а
№
возбуждаемой
формы
колебаний
Дисперсия.
м2
Максимальный
разброс,
м
Математи
ческое
ожидание,
м
Процентное
отношение,
%
1 2 5,02 -10—23 2,12 -10—11 2,15 -10—9 0,988
3 1 3,11 -10—20 5,29 - 10—10 0,51-10—9 1,040
3 2 7,13 - 10—23 2,53 - 10—11 9,55-10—9 0,265
5 2 1,33 -10—21 1,09 - 10—10 0 ,80-10—9 13,670
д -10- (д) ’ 10 7, м
Бд -10- -21 м2 - С
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,Л
0,2
0.1
і і і
4 5
б
с 1 л—21 2Ьа -10 , м - с
! ;
<......!■
т.....
!Ч.....!■
Л
і>
м
і ';
1
■ >1
■ і :
И ...!■ ....... ...... ' 1 і
■ | і
...... ......
І 1 :
;. . \ ; 1
;....V: .... ...
:..... V
N .... ...../ ..... і.....••••/■••...... л....
V
ч
---- ■ — -
•1.... Г
и, кГц
* і ..... '
1
/І
|!!!!!!!!! 7 > ’
і )
і 1
:::::::::::::::::::
1 1 И
І * ; 1 1 /н
і П
и ■ Ч
' ї ї ........
і (1
.....V г ......I I .................... і .........
\ л . .
.......... I V ......
2 л т д
л
5 со. кГц (о. кГц
Рис. 5. Результаты решения задачи вынужденных случайных колебаниях лопаточного аппа
рата с учетом расстройки: а, б - МО амплитуд перемещений для 1-й точки первого и пятого
секторов соответственно; в, г - спектральная плотность 1-й точки первого и пятого секторов
соответственно. (Штриховые линии - результаты для ЦСС.)
м
3.2. С лучайны е колебания лопат очного аппарат а с расст ройкой . Про
веденные ранее [6] исследования показывают, что технологические особен
ности сборки лопаток значительно влияют на характер статического напря
женно-деформированного состояния и спектр собственных частот цикли
чески симметричной модели ступени. В настоящей работе предполагается,
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, N 5 111
В. А. Жовдак, А. А. Ларин, A. Ф. Кабанов
что расстройка исследуемого рабочего колеса обусловлена наличием техно
логических зазоров в бандажном соединении, что вызывает нарушение
симметрии бандажной полки по изгибной жесткости. Был проведен качест
венный анализ динамического поведения такой колебательной системы под
действием вышеописанной случайной нагрузки (рис. 5).
Возникновение большого числа резонансных пиков в математическом
ожидании амплитуд перемещений и спектральной плотности можно объяс
нить проявлением двух процессов, характерных для систем с нарушенной
циклической симметрией, а именно: расслоением кратных частот и потерей
ортогональности между пространственной формой нагрузки и собствен
ными формами колебаний расстроенной системы. Формы вынужденных
случайных колебаний, соответствующие дополнительным резонансным пи
кам, обладают четко выраженной локализацией. Таким образом, эффект
локализации форм колебаний в системах с расстройкой имеет место как при
случайном воздействии, так и при детерминированном [7].
В ы в о д ы
1. Предложен подход к решению задачи случайных колебаний системы
с нарушенной циклической симметрией на основе модели одного сектора.
2. Решена задача статистической динамики на основе моделей лопа
точного аппарата, представляющих системы с конструктивной циклической
симметрией и с расстройкой, в рамках корреляционной теории.
3. Показано, что в расстроенных системах могут возникать новые
опасные резонансные состояния, вызванные расслоением спектра собствен
ных частот колебаний и потерей ортогональности между пространственной
формой нагрузки и собственными формами колебаний.
Р е з ю м е
Досліджуються випадкові гармонічні коливання робочого ступеня парової
турбіни з урахуванням розладу. Запропоновано підхід до визначення мате
матичного сподівання і спектральної щільності переміщень системи на
основі моделі одного сектора.
1. И ванов В. П . Колебания рабочих колес турбомашин. - М.: Машино
строение, 1983. - 224 с.
2. Б олот ин В. В . Случайные колебания упругих систем. - М.: Наука, 1979.
- 336 с.
3. P etrov E. P ., San litu rk K. Y., a n d E w ins D. J. A new method for dynamic
analysis of mistuned blade disk based on the extract relationships between
tuned and mistuned systems // Trans. ASME, J. Eng. Gas Turb. Power. -
2002. - No. 4. - P. 586 - 597.
4. К ост ю к А. Г . Динамика и прочность турбомашин. - М.: Машино
строение, 1982. - 264 с.
5. Х и н ц е И. О. Турбулентность. Ее механизм и теория. - М.: Физматгиз,
1963. - 680 с.
112 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2008, № 5
Статистическая динамика рабочих колес турбомашин
6. Ж о вд а к В. А., К абанов А. Ф., Л арин А. А ., С т епченко А. С. Исследо
вание влияния бандажного соединения на статические и динамические
характеристики лопаточного аппарата на основе трехмерных моделей //
Вестн. НТУ “ХПИ”. - 2005. - № 21. - С. 9 - 16.
7. Зиньковский А. П., Бусленко И. Н ., М ат веев В. В. Локализация коле
баний бандажированного лопаточного венца рабочего колеса турбо
машины // Пробл. прочности. - 1994. - № 7. - С. 53 - 61.
Поступила 25. 10. 2007
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2008, № 5 113
|