Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами

Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами

Разработана методика аналитического расчета минимальных собственных частот колебаний цилиндрических оболочек, подкрепленных стрингерами и шпангоутами. Предложен новый подход, который позволяет учитывать в оболочках наличие осесимметричных несовершенств определенного типа и продольной сжимающей нагру...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2009
Hauptverfasser: Гавриленко, Г.Д., Мацнер, В.И., Кутенкова, О.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2009
Schriftenreihe:Проблемы прочности
Schlagworte:
Научно-технический раздел
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48375
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами / Г.Д. Гавриленко, В.И. Мацнер, О.А. Кутенкова // Проблемы прочности. — 2009. — № 2. — С. 125-138. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48375
record_format dspace
spelling irk-123456789-483752013-08-19T10:51:29Z Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами Гавриленко, Г.Д. Мацнер, В.И. Кутенкова, О.А. Научно-технический раздел Разработана методика аналитического расчета минимальных собственных частот колебаний цилиндрических оболочек, подкрепленных стрингерами и шпангоутами. Предложен новый подход, который позволяет учитывать в оболочках наличие осесимметричных несовершенств определенного типа и продольной сжимающей нагрузки. В общем случае удается проанализировать 17 форм колебаний, соответствующих возможным типам деформаций, и выделить минимальный параметр частоты. Исследованы гладкие, стрингерные и стрингерно-шпангоутные оболочки. Проведено сравнение расчетных данных с экспериментальными при отсутствии сжимающих продольных сил. Оценено влияние начальных прогибов и сжимающих нагрузок на минимальные параметры колебаний. Используемый подход позволяет уточнять параметры критических нагрузок и частот, что приводит к сближению теоретических и экспериментальных величин. Розроблено методику аналітичного розрахунку мінімальних власних частот коливань циліндричних оболонок, що підкріплені стрингерами і шпангоутами. Запропоновано новий підхід, який дозволяє враховувати наявність в оболонках осесиметричних недосконалостей визначеного типу і поздовжнього стиску. У загальному випадку можна проаналізувати 17 форм коливань, які відповідають можливим типам деформування, і визначити мінімальний параметр частоти. Досліджено непідкріплені, стрингерні і стрингерно-шпангоутні оболонки. Виконано порівняння результатів розрахунку з даними експериментальних досліджень за відсутності стискальних поздовжніх сил. Оцінено вплив початкових прогинів і поздовжнього стиску на мінімальні параметри коливань. Запропонований підхід дозволяє уточнювати параметри критичних навантажень і частот коливань, що зближує теоретичні й експериментальні величини. We present a procedure of analytical calculation of the minimum natural frequencies of cylindrical shells stiffened with stringers and ribs. A new approach is put forward which allows for the presence of some axisymmetric imperfections in shells and a longitudinal compressive load. In the general case, one can analyze 17 vibration modes corresponding to possible types of deformation and select the minimum frequency parameter. Smooth, stringered, and stringer-rib stiffened shells are studied. The calculated data are compared to experimental results for the case of no longitudinal compressive forces. The effect of initial deflections and compressive loads on the minimum vibration parameters is assessed. The proposed approach makes it possible to define more precisely the parameters of critical loads and frequencies, thus improving correlation between calculated and experimental data. 2009 Article Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами / Г.Д. Гавриленко, В.И. Мацнер, О.А. Кутенкова // Проблемы прочности. — 2009. — № 2. — С. 125-138. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48375 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Научно-технический раздел
Научно-технический раздел
spellingShingle Научно-технический раздел
Научно-технический раздел
Гавриленко, Г.Д.
Мацнер, В.И.
Кутенкова, О.А.
Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами
Проблемы прочности
description Разработана методика аналитического расчета минимальных собственных частот колебаний цилиндрических оболочек, подкрепленных стрингерами и шпангоутами. Предложен новый подход, который позволяет учитывать в оболочках наличие осесимметричных несовершенств определенного типа и продольной сжимающей нагрузки. В общем случае удается проанализировать 17 форм колебаний, соответствующих возможным типам деформаций, и выделить минимальный параметр частоты. Исследованы гладкие, стрингерные и стрингерно-шпангоутные оболочки. Проведено сравнение расчетных данных с экспериментальными при отсутствии сжимающих продольных сил. Оценено влияние начальных прогибов и сжимающих нагрузок на минимальные параметры колебаний. Используемый подход позволяет уточнять параметры критических нагрузок и частот, что приводит к сближению теоретических и экспериментальных величин.
format Article
author Гавриленко, Г.Д.
Мацнер, В.И.
Кутенкова, О.А.
author_facet Гавриленко, Г.Д.
Мацнер, В.И.
Кутенкова, О.А.
author_sort Гавриленко, Г.Д.
title Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами
title_short Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами
title_full Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами
title_fullStr Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами
title_full_unstemmed Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами
title_sort свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами
publisher Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate 2009
topic_facet Научно-технический раздел
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48375
citation_txt Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами / Г.Д. Гавриленко, В.И. Мацнер, О.А. Кутенкова // Проблемы прочности. — 2009. — № 2. — С. 125-138. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series Проблемы прочности
work_keys_str_mv AT gavrilenkogd svobodnyekolebaniâprodolʹnosžatyhpodkreplennyhoboločeksosesimmetričnymivmâtinamiivypučinami
AT macnervi svobodnyekolebaniâprodolʹnosžatyhpodkreplennyhoboločeksosesimmetričnymivmâtinamiivypučinami
AT kutenkovaoa svobodnyekolebaniâprodolʹnosžatyhpodkreplennyhoboločeksosesimmetričnymivmâtinamiivypučinami
first_indexed 2025-07-04T08:47:46Z
last_indexed 2025-07-04T08:47:46Z
_version_ 1836705505857241088
fulltext УДК 539.3 Свободные колебания продольно сжатых подкрепленных оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами Г. Д . Г аври л ен к оа, В. И . М ац нера, О. А . К утен кова6 а Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, Украина 6 Украинский государственный химико-технологический университет, Днепропет­ ровск, Украина Разработана методика аналитического расчета минимальных собственных частот коле­ баний цилиндрических оболочек, подкрепленных стрингерами и шпангоутами. Предложен новый подход, который позволяет учитывать в оболочках наличие осесимметричных несо­ вершенств определенного типа и продольной сжимающей нагрузки. В общем случае удается проанализировать 17 форм колебаний, соответствующих возможным типам деформаций, и выделить минимальный параметр частоты. Исследованы гладкие, стрингерные и стрин- герно-шпангоутные оболочки. Проведено сравнение расчетных данных с экспериментальными при отсутствии сжимающих продольных сил. Оценено влияние начальных прогибов и сжима­ ющих нагрузок на минимальные параметры колебаний. Используемый подход позволяет уточнять параметры критических нагрузок и частот, что приводит к сближению теоре­ тических и экспериментальных величин. К л ю ч е в ы е с л о в а : подкрепленные оболочки, осесимметричные несоверш ен­ ства, минимальные частоты колебаний. В ведение. В известных литературных источниках в основном рассмат­ риваются колебания идеальных гладких и ребристых оболочек. Первые ре­ зультаты исследования свободных и вынужденных колебаний пластин и гладких оболочек изложены в [1 -3 ]. Обзор задач по динамике пологих оболо­ чек при больших амплитудах прогибов и данные экспериментов представ­ лены в [4, 5]. Методики расчета подкрепленных оболочек предложены в [6-11]. В работе [9] описана методика расчета свободных колебаний ребристых цилинд­ рических оболочек с учетом усилий взаимодействия оболочки и ребер, а также эксцентриситета ребер. Получена аналитическая формула для опреде­ ления собственных частот колебаний. Приведены данные для оболочек с различными типами подкреплений. Обнаружено, что наибольшее влияние на минимальную частоту собственных колебаний оказывает количество шпан­ гоутов, с увеличением количества стрингеров она уменьшается. Обзор работ по исследованию динамических характеристик оболочек с дискретными вклю­ чениями содержится в сообщ ении [12]. Влияние начальных несоверш енств формы на динамические характерис­ тики реальных оболочек изучалось в [7, 11], где приведены результаты экспериментальных и теоретических исследований колебаний неидеальных ребристых цилиндрических оболочек. Показано, что учет начальных проги­ © Г. Д. ГАВРИЛЕНКО, В. И. МАЦНЕР, О. А. КУТЕНКОВА, 2009 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 2 125 Г. Д. Гавриленко, В. И. Мацнер, О. А. Кутенкова бов приводит к увеличению частот свободных колебаний рассмотренных оболочек. Удовлетворительное согласование меж ду расчетными (с учетом начальных прогибов) и экспериментальными значениями частот наблюдалось для гладких и стрингерных оболочек. Для оболочек с поперечными ребрами такое соответствие имело место только при минимальных частотах. Эти результаты использовались в качестве иллюстраций в [7]. Методика численного расчета устойчивости и колебаний ребристых ци­ линдрических оболочек при нелинейном неоднородном основном состоянии изложена ранее [13-15]. Методики расчета на устойчивость и определения частот колебаний ребристых оболочек вращения представлены в [13-23]. Этот подход позво­ ляет учитывать не только влияние нелинейности основного состояния на критические нагрузки и частоты колебаний, но и наличие в оболочках про­ извольных начальных несовершенств формы. Наличие несовершенств формы, даже осесимметричных, влияет на величины собственных частот колебаний и требует их учета. Кроме того, реальные оболочки не свободны от нагрузок. На них действуют различные внешние силы, что, в свою очередь, сущ ест­ венно изменяет их частоту и зависимость последней от нагрузки. В настоя­ щей работе рассматриваются оболочки, сжатые вдоль продольной оси. Извест­ ны единичные исследования таких оболочек. В [22] изучались свободные колебания подкрепленных цилиндрических и конических оболочек замкнутых и с прямоугольными отверстиями, под­ верженных продольному сжатию. При этом учитывается дискретность под­ креплений. Эксцентриситет ребер и их жесткость при изгибе в окружном направлении не учитываются. Оболочки считаются идеальными. Задача р е­ шается смешанным энергетическим методом в предположении малости пере­ мещений и безмоментности напряженно-деформированного состояния. Экспе­ риментально и теоретически исследовались оболочки из сплава АМ гбМ . Теоретически показано, что для цилиндрических оболочек с отверстиями минимальные частоты колебаний размещаются значительно ниже экспери­ ментальных, особенно при росте сжимающей нагрузки. Экспериментальные данные для идеальных замкнутых оболочек приведены без сравнения с теоретическими результатами. Влияние сжимающих сил на частоты колебаний замкнутых ребристых оболочек исследовалось в работе [23]. Рассматривались сжатые круговые цилиндрические оболочки, усиленные двумя перекрестными системами р е­ бер. Расчетные формулы получены энергетическим методом с учетом ди с­ кретного размещения ребер и их эксцентриситета при одночленной аппрок­ симации перемещений. Приведены теоретические зависимости минимальных собственных час­ тот от величины параметра сжимающей силы для различных случаев дефор­ мации. Описаны результаты испытаний ш ести оболочек при росте параметра нагрузки. Теоретическая кривая для минимального параметра частоты коле­ баний / т |п размещается ниже экспериментальной. Как теоретически, так и экспериментально установлено, что влияние сжатия на / т |п только при нагрузках, меньших 80% расчетной, оказывается несущественным. 126 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 Свободные колебания нагруженных осевыми сжимающими силами М етодика аналитического расчета частот колебаний и критических нагрузок подкрепленны х цилиндрических оболочек с осесим м етричны м и вм ятинам и и вы пучинам и. Нагруженные осевыми сжимающими силами цилиндрические оболочки, подкрепленные ребрами жесткости в двух направ­ лениях, имеют осесимметричные начальные прогибы в виде вмятин и выпу- чин (рис. 1). Части оболочки / п+ 1 - / п (п = 1 , 2 , 3 , . . . , Ы, где N - число вмятин) вследствие наличия начальных прогибов искривлены вдоль обра­ зующ ей по радиусам р п и являются, по сути, оболочками, близкими по форме к цилиндрическим с радиусами кривизны г, р п. Полагаем, что изме­ нение радиуса г столь незначительно, что его можно считать постоянным по всей длине оболочки. При расчете оболочку с начальными прогибами будем рассматривать как систему, состоящую из двух цилиндрических подкреплен­ ных оболочек длиной /1 и / — / п + 1 и п оболочек, близких по форме к цилиндрическим длиной / п+1 — /п. р2 Предполагается, что оболочка подвержена равномерному продольному сжатию и в ней в безмоментном основном состоянии возникают следующ ие усилия: продольное Ых и окружные ( N е ) п: 7 [1, 0 при Х £ [0 , / 1 ] П Х £ [/п , / ], {Ых , (Ы " )п } = 1 [1, - Гп при х £ [ /п , /п+ 1 ], (1) где о - докритическое сжимающ ее нормальное напряжение; а 1 = 1 + Р 8/Н /8; - площадь поперечного сечения стрингера; /5 - расстояние м еж ду стрин­ герами, /8 = 2 л ^ к 8; к 8 - число стрингеров; гп = г / р п; п = 1, 2, 3 , . . . , N . Расчетные формулы получены энергетическим методом. Полную потен­ циальную энергию рассматриваемой системы V запишем как сумму потен­ циальных энергий V2 и ^ 2 : V = V2о + V2s + V2 г + А г = V2 + ^ 2 , (2) где V2о , V25, V2г - соответственно потенциальная энергия обшивки, стрин­ геров и шпангоутов; А - работа внешних сил; ШБЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 127 Г. Д. Гавриленко, В. И. Мацнер, О. А. Кутенкова К 2? л [( ды д - —V ды ( д - —V 1 — м ( ды д - у 2 — Т / Л Ь + ~ — т 1 — 2 0 - м ) - \ — — - 1 + — + - 1 + 2 2 ды д — дХ — д х 2 + а . ду дх \ гдв г ) 2 \ г д в дх ( 2 — — — ------- дв г д — д - + — дв 2 дв г d x d в + р» 2я I + В / / 2 0 0 ду2 2 д — д — кд х 2 + г 2д в 2 + г 2дв — 2(1 — м) д 2— 2 . 2 г дх 2 д — д - + — дв 2 дв ( д 2 — д- гдхдв гдх \ 2 " / - 2 V2 ( 2 + д — + Р г д — ) 1дх 2 , кг 2дв 2 + ( 2 2 д — ^гдхдву + + Р хвг ( 2 2 д — д - + г 2дхдв гдв Ж 1 2^ 1п + 1 гdxdв+ К 2 - 1- / / 2 , Рп—1 г I — п 0 1п — ды 2 м ( д­ -----— 2 — + — \ — ■ р п дх г \дв + а , ( ды V2 ( дых( + — \ — + — I — 2а „\ — + 2 ,.— Р п V * дх ) Ч * дх ( д ы д 2—VI I ----— 2 , ----- 1Г Г? Д дх дх ) >гdxdв + 1 7 7 1 [ 1 (дыV2 ды д 2 — 2м ды — I + 2- + — 2 п—1 р п о I [ Р п \ дх) дх д х 2 г 2 дх 2 д — д- + — дв2 дв + ды + 2(1—М ) г дв ( д 2 — д- ды 2 ------- + 2 — + дхдв дх р пдв) ды дх ( ды д — + 2 уР пдх дх' + + Р —Кхв" гдх ( д 2 — д- 2 ------- + дхдв р пдх >гdxdв: (3) К о 2 ^ 2 ——~2 е а 1(1—м ) 2я I 0 0 N 2я 1п+1 П Ь I гdxdв— 2 гп / / 1 гд в ) Ы хМ п—1 0 д— V ■ (4) Кинетическая энергия такой оболочки имеет вид I 2я г И 2 0 0 \2 \2 \ 2 ды) (д-V \ д—I \ д £ / \ д £ / \ д £ / г d x d в + 2 2 128 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 Свободные колебания нагруженных осевыми сжимающими силами + Р sF s 2 l s l 2 я f f 0 0 . ди s_ d t + d w s d t rdxdQ + Р rF r 2 lr l 2я f f 0 0 d v r d t + d w r dt rdxdd. (5 ) Здесь приняты следующ ие обозначения: l, r, h - соответственно длина, радиус и толщина оболочки; a x = 1 + а s ; a s = E sF s / K l s ; a 1s = F s / h l s ; а в = 1 + а r ; a r = E rF r l K l r ; P s = E sI s / D ls ; P x = 1+ P s ; P r = E rI r / D lr ; P e = 1+ P r ; P хв = P xds ^ P xdr; P xds = G sI kps/D ls ; P x9r = G r1 kpr / D lr ; F s , I e s, Ikps , z s - соответственно площадь поперечного сечения стрингера, момент инерции, момент инерции при кручении и эксцентриситет s-го стрин­ гера (расстояние от оси стрингера до срединной поверхности обшивки); F r , I x r , Ikpr , z r , k r , l r - аналогичные величины шпангоутов; l r = l / (k r + 1); K = E ^ ( 1 - f t 2 ); D = K h 2/12; E, ц - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала обшивки; E s , E r , G s , G r - модули упругости и модули сдвига соответственно стрингеров и шпангоутов; р ъ , р s, р r - плотность материала обшивки, стрингеров и шпангоутов соответственно. Выражения для компонент перемещ ений, удовлетворяющ их условия шарнирного опирания, выбираем в виде и = ( uuj cos i1 в + и 2ij sin i2в )cos X x /r cos <at; ' v = ( v 1 j sin i1 в + v 2 j cos i2 в )sin X x /r cos (at; (6 ) w = ( W1j sin i1в + w 2j cos i2 в )sin X x /r cos a t , где и щ , V , w 1ij , и 2 у , V2 у , ^ 2 у - произвольные постоянные; Х = ]пт/1; у - число полуволн по длине; \ и г2 - числа окружных волн; (а - собственная частота; г - временная координата. Функции Ыщ, V1j , w 1j описывают изгиб ребер, и 2у , V 2 у , W2ij - их кручение, причем используются они раздельно, а не вместе. В последующ их формулах индексы 1 и 2 опускаются. П осле подстановки выражения (6 ) в (3 )-(5 ) получим К л \ \ 2 1 - Л 2 V2 = Н и у Х - Ы у + П у ) + 2(1 - л )и у ( - w i j ) + — ^ ( - и ^ + v у Х) + + а я( Х иу - г 8Гх 2 w ij )2 + а г ( 1 - 2 ГГ) - w ij ( 1 - i 2 2 ГГ)]2 + + а {[^2 + І2 - ]2 + 2(1 - Л )[Х2w ij( - i 2w i j ) - ( ^ у - i 2w i j )2 ] + ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 2 129 Г. Д. Гавриленко, В. И. Мацнер, О. А. Кутенкова + Р г ( - * ) + Р 8Х + Рхвз* Х + Р хвг ( + 1и1] ) } + + 5 12 ̂ + 2 5 п АиуЫ у - 2 ^ 5 \\W ij ( IV у - Ыц-) + а п ( ̂ - г 8г Х и^ )2 + + 2а 85 11( щ,- - г 8гХ иа )(Х и а - г 8гХ ) + 1 [ 5 12х 2 и1 + 2 5 11 х 3 и а™ц + + 2ц 5 11 Хиу ( г2 - Ы ц ) + 2 ( 1 - ц ) [ 5 21 Шц(2 Х ™ц - 2^ у ) + 5 22и2' ] + + Р 8Х иу (Х иц5 12 + Х25 11 ) + Р х в 8 (5 12Х^у - 2 5 21*Х^ц ) ] г; (7) 0 2 .2 2 2 А 2 = - ^ — р ( 1 - ц )« 1(Х - * 5 11К / ;4 г Е Р Ь ПО ^ I 2 2 2 Т = ------ ;------- (а 11и + а 22v + а 33ы ), 4 г (8) (9) где Р 8 Р 8 , Р г Р г8 8 г г 8 8 г г « 1 1 = 1 +-------- т ^ ; а 22 = 1 +-------- гг - ; а зз = 1 +-------- ~ — I-------- гт~ Р Ь П18 22 N Р ь М. N N зз Р Ь П18 Р Ь П1г N 5 11 гп1 1п ; 5 12 1 1п; 5 21 гп^2п ; 5 22 1 2п; п=1 п=1 п=1 п=1 2 Ч 1 2 Хх 2 Ч 1 2 Хх г . 81п — г - 1 ~~~ 1 I Г1п 2 2 Х х dx; 1 2 п = ~ J со8 — dx; а = 12г2 Условия экстремума полной системы (V + Т) приводят к системе алгебра­ ических уравнений для определения критических значений нагрузок: (А 11 - (О 2а 11)и ц + А 12 v ij + А13 Ыц = 0 А 21и ц + (А 22 - О 2а 22 ) v ц + А23 = 0; А31иц + А32 v ц + (А33 - О 2а 33 )ыц = °5 (10) где Азз = Азз з ° 1 Е; 2А 11 = а XХ2 + *2 + а 8г г8Х2( ̂ 8г5 12 - 2 5 11) + а [Р хХ2 5 12 + ( 11а) + 2(1 - Ц )!2522]; 130 ^55N 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 2П Свободные колебания нагруженных осевыми сжимающими силами . 1 + и гЯ Л 12 = -гЯ 2 а [иБ 11 + 2(1 - и ) Б 21 ]; Л13 = Я[и + а хБ 11 - а я2 яг(Я + Б 12 - 2 ягЯ2Б 11)] + Я + а [(Я"уЗ х + и 2 ) б 11 + 2(1- и У Б 21];2 Л22 = 1 и Я2 + с 0 12 + ^ [ г 2 ;30 + 2(1- и ) Я2 ]; 2 Л23 = -г (1 + и Б 11 ) - а (^ 0 г 2 + (2 - и )Я ) - г« г (1 - 2 гг )(1 - ^ 2 гг ) ; (116) Л33 = 1 + « хБ 12 + 2и Б 11 + « я2 ягЯ2( 2 ягя2 - 2Б 11) + « г ( 1 - г'2 2 гг )2 + 2 + а (^ х Я* + ^ 0 г4 + 2Я /^ (1+ /3 х 0 )); 12-2, - 2 Р оАг 2 т = — к — т ; 2 яг = 2 я /г; А33 = (1 - и 2 )«1(Я2 - г2Б 11); = 2 г 1 г ; с 0 = 1 + « г ( 1 - 2 гг) 2 - Нетривиальное реш ение полученной системы уравнений возможно лишь при выполнении условия — 2Л п т Л Л 12 13 Л12 Л22 - а 22 т 2 13 23 Л 23 Л 33 — 2 « 33 т = 0. (12) — 2Уравнение (12) приводит к уравнению третьей степени относительно т ' Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только минимальные корни этого уравнения, то, линеаризуя его, получаем ( т 2 ) = Л33(Л11Л22 Л122 ) + 2Л12Л13Л23 Л11Л23 Л22Л 13 ( 13) г а 11(Л22Л33 - Л22) + а 22(Л11Л33 - Л123 ) + а 33(Л11Л22 - л22 ) При этом возможен ряд форм колебаний (случаев деформации), для которых собственные частоты зависят только от некоторых параметров ж ест­ кости ребер. Рассмотрим следующ ие случаи деформации. О бщ ий (все стрингеры и шпангоуты работают на растяжение-сжатие, изгиб и кручение) и восем ь част ны х, каждый из которых имеет свой под- случай: п ервы й (стрингеры работают на растяжение-сжатие и изгибаются, шпан­ гоуты работают аналогично общ ему случаю), первый подслучай отличается от первого случая тем, что в нем не учитывается жесткость стрингеров и шпангоутов при растяжении-сжатии; 1ББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 131 Г. Д. Гавриленко, В. И. Мацнер, О. А. Кутенкова вт орой (стрингеры только закручиваются, шпангоуты учитываются ана­ логично общ ему случаю), второй подслучай отличается от второго случая тем, что в нем не учитывается жесткость шпангоутов при растяжении-сжатии; т рет ий (стрингеры работают как в общем случае, а в шпангоутах не учи­ тывается жесткость при кручении), третий подслучай отличается от третьего случая тем, что дополнительно не учитывается жесткость стрингеров и шпангоутов при растяжении-сжатии; чет верт ы й (стрингеры работают как в общ ем случае, шпангоуты рабо­ тают только на кручение), четвертый подслучай аналогичен четвертому слу­ чаю, но в нем не учитывается жесткость стрингеров при растяжении-сжатии; пят ы й (стрингеры работают на растяжение-сжатие и изгиб, шпангоуты - только на кручение), пятый подслучай аналогичен пятому случаю, но в нем не учитывается жесткость стрингеров при растяжении-сжатии; ш ест ой (стрингеры только закручиваются, шпангоуты работают на рас­ тяжение-сжатие и изгиб), ш естой подслучай аналогичен ш естому случаю, но в нем не учитывается жесткость шпангоутов при растяжении-сжатии; седьм ой (стрингеры и шпангоуты работают на растяжение-сжатие и изгиб), седьмой подслучай аналогичен седьмому случаю, но в нем не учиты­ вается жесткость при растяжении-сжатии как стрингеров, так и шпангоутов; восьм ой (стрингеры и шпангоуты только закручиваются), в восьмом подслучае учитываются только ограничения на вид деформации. Далее эти случаи обозначим следующ им образом: 0(111-111); 1(110-111); 2(001-111); 3(111-110); 4(111-001); 5(110-001); 6(001-110); 7(110-110); 8(001- 001). Аналогично обозначим и подслучаи. Для каждого случая потери устой­ чивости применяются специальные условия, которые накладываются на число волн и полуволн, связанных с числом ребер [6- 8 ]. Эти условия следую щ ие для каждого случая (для подслучаев они те же, что и для соответствую щ его случая): 0 ( 2 iФ t 1[ns ], j Ф 12 [n r + 1]); 1 (2i = t 1[ns ], j Ф Ф 12 [n r + 1]); 2 (2i = t 1[ns ], j Ф 12 [n r + 1]); 3 (2 iФ t 1[ns ], j = 12 [n r + 1]); 4 (2 iФ Ф Ь [пЛ j = 12 [nr + 1 ] ) ; 5 (2i = t1[nsL j = 12 [nr + 1 ] ) ; 6 (2i = t 1[ns ] , j Ф 12 [nr +1] ); 7 (2i = t 1 [n s 1 j Ф 12 [nr + 1]); 8 (2 i = t 1 [ns ], j = 12 [nr + 1]), где t1 = 0, 1, 2, 3, ...; 12 = 1, 2 3, ■■■ ■ Результаты аналитического исследования зависимости м инимальны х частот колебаний от п арам етра сж им аю щ их сил. Исследовались оболочки, изготовленные из листового проката АМ гбМ [9] (таблица). Ребра выполнены из уголков размерами (4 X 4 X 0 ,45) • 10 3 м (стрингеры) и (6 X 6 X 0 ,45) • 10 3 м (шпангоуты). Граничные условия близки к шарнирному опиранию. Использо­ вались приведенные ранее [9] результаты экспериментального исследования ненагруженных оболочек. Проанализированы все указанные выше формы колебаний при заданных конкретных величинах параметра нагрузки p = P /P ci , где Р - заданная нагрузка; P d = 0 ,6 0 5 E F h /r ; F - площадь поперечного сечения оболочки. Для этих форм колебаний определены частоты колебаний и наименьшая мини­ мальная частота f j = r n j2я - min minimorum. На рис. 2 -5 представлены зависимости минимальных частот от пара­ метров нагрузки f j = f ( p ) для всех рассматриваемых оболочек (таблица). На рис. 2 такая зависимость приведена для гладкой оболочки (№ 1 в таблице). 132 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 2 Свободные колебания нагруженных осевыми сжимающими силами Полагается, что оболочки могут иметь два типа локальных прогибов длиной = 0,17 каждый, расположенные посредине, причем безразмерные ампли­ туды их следующие: 1 - w 1| Н = w 3 / Н = 0,5 (вмятина), w 2 | Н = - 0 , 5 (выпучи- на); 2 - ^ 1)Н = ^ 3 / Н = - 0 , 5 (выпучина), w 2 | Н = - 0,5 (вмятина). На рис. 2 -5 величины минимальных частот, полученные экспериментально [9], для нена- груженных оболочек показаны точками. Они служат своего рода реперами для оценки того, что происходит с минимальной частотой при росте пара­ метра нагрузки. Сведения о геометрии и типах оболочек № оболочки Характеристика 1, м Л-10“3, м 1 Неподкрепленная оболочка 0,83 0,50 2 32 внешних стрингера 0,43 0,45 3 32 внутренних стрингера 0,43 0,44 4 32 внешних стрингера 0,83 0,43 5 32 внутренних стрингера 0,83 0,44 6 32 внешних стрингера и 9 внутренних шпангоутов 0,83 0,44 7 32 внутренних стрингера и 9 внешних шпангоутов 0,83 0,45 120 80 40 0 0 0,2 0 ,4 0 ,6 0,8 р Рис. 2. Неподкрепленная оболочка, 1/г = 5,19; гД = 320. (Здесь и на рис. 3-5: сплошные жирные линии - зависимость наименьшей частоты колебаний от параметра нагрузки для идеальной оболочки, т.е. при отсутствии несовершенств формы; 1 и 2 - аналогичные зависи­ мости для двух неидеальных оболочек.) Экспериментальные величины (при р = 0) расположены выше, полу­ ченных теоретически. Отличие теоретической величины от эксперименталь­ ной составляет около 10%. Частоты колебаний идеальной гладкой оболочки сущ ественно изменяются с ростом р (довольно быстро снижаются). Уже при р = 0,8 частота уменьшается вдвое. Наличие прогибов 1- и 2-го типов при­ водит к повышению частоты колебаний, при прогибе 2 -го типа и р = 0,8 первоначальная частота (ненагруженная оболочка) уменьшилась приблизи­ тельно на 10%. Начальные прогибы этих типов повышают частоты колебаний ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 133 Г. Д. Гавриленко, В. И. Мацнер, О. А. Кутенкова при р < 0,8 и лишь прогибы 1-го типа могут снизить частоты колебаний по сравнению с таковыми для идеальной оболочкой при р > 0 ,8. На рис. 3, 4 представлены зависимости / у = / ( р ) для стрингерных оболочек. Оболочки (№ 2 -4 в таблице) несколько различались толщиной. На рис. 3,а данные приведены для оболочки с г/Н = 356, на рис. 3 ,б - с г/Н = 364. На рис. 4,а величина г/Н = 372, на рис. 4 ,б - г/Н = 364. а б Рис. 3. Оболочка, подкрепленная стрингерами, //г = 2,69; кх = 32. а б Рис. 4. Оболочка, подкрепленная стрингерами, //г = 5,19; кх = 32. Как и в случае гладких оболочек, на зависимостях / у = / ( р ) для идеаль­ ных стрингерных оболочек наблюдается сильное влияние параметра нагрузки р на / у . С приближением р к критическому значению (р = 0,85) мини­ мальная частота резко уменьшается. Для ненагруженных стрингерных оболо­ чек экспериментальные / у (на рис. 3, 4 точки) расположены выше, полу­ ченных теоретически (сплошные жирные линии). Данные эксперимента и 134 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 Свободные колебания нагруженных осевыми сжимающими силами расчета могут отличаться примерно на 20% (рис. 3,а и 4 ,а), для других оболочек эта величина может значительно уменьшаться. При наличии проги­ бов 1-го и особенно 2 -го типов теоретические значения / у возрастают. Расхождение меж ду теоретическими значениями / у и экспериментальными при р = 0,8 составляет не более 10% для коротких оболочек (рис. 3) и более 30% для длинных (рис. 4). На рис. 5 представлена зависимость / у = / ( р ) для стрингерно-шпан- гоутных оболочек (№ 5, 6 в таблице). Экспериментальные данные достаточно близки к теоретическим / у для ненагруженных оболочек. Расхождение м еж ду ними находится в пределах 10%. С ростом р характер кривых (на рис. 5 сплошные жирные линии) изменяется медленно, и только при прибли­ жении р к р кр происходит их резкое снижение. При наличии начальных прогибов 1- и 2-го типов частоты возрастают. В случае прогибов 2-го типа для оболочки № 5 (таблица) теоретические значения / у приближаются к экспериментальным (рис. 5,а, р = 0). Л;' ГП 500 400 300 200 100 2 1 ~ ~ I 500 400 300 200 100 2 О __1__ __1__ __1__ __1__ __1__ 0 0,2 0,4 0,6 0,! а О 0,2 0,4 0,6 0,8 б Рис. 5. Оболочка, подкрепленная стрингерами и шпангоутами, 1/г = 2,69; кх = 32; кг = 9. На рис. 5 ,б кривые 1 и 2 располагаются выше сплошной жирной линии, и расчетное значение / у при р = 0 больше экспериментального / у при том же значении р . Следовательно, в реальных оболочках, характер распреде­ ления несоверш енств которых неизвестен, имели место прогибы. Прогибы могут уменьшать частоту колебаний. Это, в свою очередь, приводит к тому, что экспериментальные значения / у при р = 0 меньше всех расчетных при том же р. Это, возможно, вызвано тем, что исследование ограничено осесим ­ метричными несовершенствами, а реальные прогибы чаще бывают несим ­ метричными. В ы в о д ы 1. Предложен аналитический метод определения минимальных собствен­ ных частот колебаний продольно сжатых ребристых цилиндрических оболо­ чек с осесимметричными начальными прогибами. ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 2 135 Г. Д. Гавриленко, В. И. Мацнер, О. А. Кутенкова 2. Оценено влияние продольного сжатия и несовершенств формы оболо­ чек на минимальную собственную частоту. 3. Наличие начальных прогибов рассмотренного типа в основном повы­ шает собственные частоты колебаний. 4. При росте параметра сжимающей нагрузки частоты снижаются, осо­ бенно для гладких и стрингерных оболочек. 5. Для оболочек с продольно-поперечным подкреплением с увеличением нагрузки частота изменяется мало и только вблизи р кр она приближается к нулю. Следовательно, эти оболочки в широком диапазоне нагружения слабо подвержены воздействию низких возбуждающ их частот, и переход к опас­ ному резонансному реж иму значительно затруднен. Р е з ю м е Розроблено методику аналітичного розрахунку мінімальних власних частот коливань циліндричних оболонок, що підкріплені стрингерами і шпангоута­ ми. Запропоновано новий п ідхід, який дозволяє враховувати наявність в оболонках осесиметричних недосконалостей визначеного типу і поздовж ­ нього стиску. У загальному випадку можна проаналізувати 17 форм коли­ вань, які відповідають можливим типам деформування, і визначити мінімаль­ ний параметр частоти. Д осліджено непідкріплені, стрингерні і стрингерно- шпангоутні оболонки. Виконано порівняння результатів розрахунку з даними експериментальних досліджень за відсутності стискальних поздовжніх сил. Оцінено вплив початкових прогинів і поздовжнього стиску на мінімальні параметри коливань. Запропонований п ідхід дозволяє уточнювати параметри критичних навантажень і частот коливань, що зближ ує теоретичні й експе­ риментальні величини. 1. В ольм ир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.: Наука, 1972. - 432 с. 2. Г ри гол ю к Э. И . О колебаниях круговой цилиндрической панели, испыты­ вающей конечные прогибы // Прикл. математика и механика. - 1955. - 19, № 3. - С. 376 - 382. 3. Г ри гол ю к Э. И . Нелинейные колебания и устойчивость пологих оболочек и стержней // Изв. АН СССР. От-ние техн. наук. Механика и машино­ строение. - 1955. - № 3. - С. 33 - 68. 4. Г р и го р ен к о Я. М ., Г уля ев В. И . Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения (обзор) // Прикл. механика. - 1991. - 27, № 10. - С. 3 - 23. 5. К убен к о В. Д ., К овал ьч ук П. С. Нелинейные задачи колебаний тонких оболочек (обзор) // Там же. - 1998. - 34, № 8. - С. 3 - 31. 6. А м и ро И. Я ., Заруцкий В. А . М етоды расчета оболочек. Т. 2. Теория ребристых оболочек. - Киев: Наук. думка, 1980. - 368 с. 7. А м и ро И. Я ., Заруц ки й В. А., П алам арч ук В. Г . Динамика ребристых оболочек. - Киев: Наук. думка, 1983. - 207 с. 136 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 Свободные колебания нагруженных осевыми сжимающими силами S. À м и рo И. Я ., Зaрyцкий В. À., P eвyц ки й В. Н. и др . Колебания ребристых оболочек вращения. - Киев: Наук. думка, 19SS. - 172 с. 9. Г алака П. И ., Зaрyцкий В. À., M aц н eр В. И., Н осачен ко À. M . Свободные колебания ребристых цилиндрических оболочек // Прикл. механика. - 1974. - 10, № 7. - С. 49 - 55. 10. Зaрyцкий В. À . О комплексных экспериментальных исследованиях устой­ чивости и колебаний конструктивно-неоднородных оболочек // Там же. - 2ОО1. - 37, № 7. - C. З8 - 67. 11. K y карина À. И., M aц н eр В. И., С ивак Э. Ф. О влиянии начальных погибей на собственные частоты колебаний ребристых цилиндрических оболочек // Там же. - 19S2. - 1S. - № 4. - С. 5S - 6З. 12. À н д р eeв Л . В., Д ы ш к о À. Л ., П авленко И. Д . Динамические характе­ ристики оболочек с дискретными включениями // Гидроаэромеханика и теория упругости. - 19S1. - № 2S. - С. 54 - 65. 13. Г аври лен ко Г. Д . Устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при неоднородном напряженно-деформированном состоянии. - Киев: Наук. думка, 19S9. - 176 с. 14. Г аври лен ко Г. Д ., Ф иалко С. Ю . Колебания нагруженных ребристых цилиндрических оболочек при нелинейном неоднородном напряженно- деформированном состоянии // В сесою з. симп. по нелинейной теории оболочек и пластин: Тр. В сесою з. симп. - Казань: Изд. Казан. ун-та, 198О. - С. 1О5 - 1О6. 15. Г аври лен ко Г. Д ., Ф иалко С. Ю . Исследование свободных колебаний ребристых цилиндрических оболочек // Сопротивление материалов и теория сооружений. - 19S1. - № З8. - С. 25 - ЗО. 16. Г аври лен ко Г. Д ., Tрyбицинa О. À . Устойчивость сферических поясов при действии внешнего давления // Прикл. механика. - 1996. - 32, № З. - С. 52 - 56. 17. Г аври лен ко Г. Д ., Tрyбицинa О. À . Колебания и устойчивость гладких и ребристых сферических поясов // Пробл. прочности. - 1996. - № 2. - С. S6 - 91. 1S. Г аври лен ко Г. Д ., T рyбицинa О. À , M aц н eр В. И . Собственные колебания сферических поясов с кольцевыми подкрепляющими ребрами // Там же. - 199S. - № З. - С. 124 - 127. 19. Г аври лен ко Г. Д ., Tрyбицинa О. À., M aц н eр В. И., Сит ник À. С. Колебания и устойчивость предварительно нагруженных сферических поясов // Докл. НАН Украины. - 1994. - № 5. - С. 5З - 57. 20. Г аври лен ко Г. Д ., M aц н eр В. И ., Сит ник À. С. и др . М етодика расчета и исследование устойчивости оболочек вращения с учетом деформирова­ ния за пределом упругости // Прикл. механика. - 1994. - 30, № 6. - С. 65 - 72. 21. G a -ry le n k o G. D . a n d T ru bitsin a O. A . Vibrations o f pre-loaded smooth and ribbed spherical bands // Adv. Vibr. Eng. - 2ОО7. - 2, N o. 2. - P. 89 - 9З. ISSN Ü556-171X. Проблемы прочности, 2ÜÜ9, № 2 137 Г. Д. Гавриленко, В. И. Мацнер, О. А. Кутенкова 22. П алъчевский А. С., П ря дко А. А., К апля П. Г . и др . Колебания продольно сжатых цилиндрических и слабоконических оболочек // Прикл. механика. - 1980. - 16, № 9. - С. 56 - 63. 23. Г алака П. И ., Заруцкий В. А , К ап ля П. Г. и др . Исследование влияния осевых сжимающих сил на частоты и формы колебаний ребристых цилиндрических оболочек // Там же. - 1975. - 11, № 8. - С. 41 - 48. Поступила 09. 10. 2007 138 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2

Ähnliche Einträge