Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учетом депланации поперечного сечения
Исследуются нелинейные изгибно-изгибно-крутильные колебания закрученных стержней, описываемые системой трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. В уравнениях учитывается депланация поперечного сечения стержня и предполагается, что центр тяжести и жесткости находятся в...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48376 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учетом депланации поперечного сечения / К.В. Аврамов, О.С. Галас, О.К. Морачковский, К. Пьер // Проблемы прочности. — 2009. — № 2. — С. 112-124. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-48376 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-483762013-08-19T11:02:14Z Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учетом депланации поперечного сечения Аврамов, К.В. Галас, О.С. Морачковский, О.К. Пьер, К. Научно-технический раздел Исследуются нелинейные изгибно-изгибно-крутильные колебания закрученных стержней, описываемые системой трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. В уравнениях учитывается депланация поперечного сечения стержня и предполагается, что центр тяжести и жесткости находятся в разных точках. Для дискретизации системы колебания представляются в виде ряда по собственным формам линейной задачи. Свободные колебания исследуются с помощью нелинейных нормальных форм Шоу-Пьера. Досліджуються нелінійні згинно-згинно-крутні коливання стрижнів, які описуються системою трьох нелінійних іитегро-диференційних рівнянь із частинними похідними. У цих рівняннях ураховується депланація поперечного перерізу стрижня та припускається, що центри ваги та жорсткості знаходяться у різних точках. Для дискретизації системи коливання розкладаються у ряд за власними формами лінійної задачі. Вільні коливання досліджуються за допомогою нелінійних нормальних форм Шоу-П’єра. We present results of the investigations on flexural/ flexural-torsional nonlinear vibrations of twisted rotating beams described by the system of three nonlinear integro-differential equations expressed in partial derivatives. The equations take into account the cross-sectional deplanation of beams, and it is assumed that the beam centers of gravity and shear do not coincide. Vibrationsystems are expressed as expansions by free forms of the linear problem. Free vibrations are studied via the Show-Pierre nonlinear normal modes. 2009 Article Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учетом депланации поперечного сечения / К.В. Аврамов, О.С. Галас, О.К. Морачковский, К. Пьер // Проблемы прочности. — 2009. — № 2. — С. 112-124. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48376 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Аврамов, К.В. Галас, О.С. Морачковский, О.К. Пьер, К. Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учетом депланации поперечного сечения Проблемы прочности |
| description |
Исследуются нелинейные изгибно-изгибно-крутильные колебания закрученных стержней, описываемые системой трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. В уравнениях учитывается депланация поперечного сечения стержня и предполагается, что центр тяжести и жесткости находятся в разных точках. Для дискретизации системы колебания представляются в виде ряда по собственным формам линейной задачи. Свободные колебания исследуются с помощью нелинейных нормальных форм Шоу-Пьера. |
| format |
Article |
| author |
Аврамов, К.В. Галас, О.С. Морачковский, О.К. Пьер, К. |
| author_facet |
Аврамов, К.В. Галас, О.С. Морачковский, О.К. Пьер, К. |
| author_sort |
Аврамов, К.В. |
| title |
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учетом депланации поперечного сечения |
| title_short |
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учетом депланации поперечного сечения |
| title_full |
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учетом депланации поперечного сечения |
| title_fullStr |
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учетом депланации поперечного сечения |
| title_full_unstemmed |
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учетом депланации поперечного сечения |
| title_sort |
анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся закрученных стержней с учетом депланации поперечного сечения |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48376 |
| citation_txt |
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний
вращающихся закрученных стержней с учетом депланации
поперечного сечения / К.В. Аврамов, О.С. Галас, О.К. Морачковский, К. Пьер // Проблемы прочности. — 2009. — № 2. — С. 112-124. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT avramovkv analiznelinejnyhizgibnoizgibnokrutilʹnyhkolebanijvraŝaûŝihsâzakručennyhsteržnejsučetomdeplanaciipoperečnogosečeniâ AT galasos analiznelinejnyhizgibnoizgibnokrutilʹnyhkolebanijvraŝaûŝihsâzakručennyhsteržnejsučetomdeplanaciipoperečnogosečeniâ AT moračkovskijok analiznelinejnyhizgibnoizgibnokrutilʹnyhkolebanijvraŝaûŝihsâzakručennyhsteržnejsučetomdeplanaciipoperečnogosečeniâ AT pʹerk analiznelinejnyhizgibnoizgibnokrutilʹnyhkolebanijvraŝaûŝihsâzakručennyhsteržnejsučetomdeplanaciipoperečnogosečeniâ |
| first_indexed |
2025-07-04T08:47:51Z |
| last_indexed |
2025-07-04T08:47:51Z |
| _version_ |
1836705510918717440 |
| fulltext |
УДК 539.3
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний
вращающихся закрученных стержней с учетом депланации
поперечного сечения
К. В. А вр ам ова, О. С. Г алас6, О. К. М орач ковск и й 6, К. П ьер в
а Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, Харьков,
Украина
б Национальный технический университет “Харьковский политехнический институт”,
Харьков, Украина
в Университет Мак-Гила, Монреаль, Канада
Исследуются нелинейные изгибно-изгибно-крутильные колебания закрученных стержней, опи
сываемые системой трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных про
изводных. В уравнениях учитывается депланация поперечного сечения стержня и предпола
гается, что центр тяжести и жесткости находятся в разных точках. Для дискретизации
системы колебания представляются в виде ряда по собственным формам линейной задачи.
Свободные колебания исследуются с помощью нелинейных нормальных форм Шоу-Пьера.
К л ю ч е в ы е с л о в а : изгибно-изгибно-крутильные колебания, метод нелинейных
нормальных форм, скелетные кривые.
В ведение. Вращающиеся стержни являются элементами лопастей верто
летов, манипуляторов, рабочих лопаток паровых и газовых турбин, лопастей
воздушных винтов. В эксплуатации такие стержневые конструкции часто
совершают колебания, которые могут обусловить усталостные повреждения.
Исследование колебаний этих систем осложняется тем, что они имеют несим
метричные поперечные сечения. В этом случае центр тяжести и центр изгиба
поперечного сечения не совпадают.
Предпринимались попытки исследования нелинейных колебаний стерж
ней с несимметричным поперечным сечением. С. П. Тимошенко [1] получил
уравнения линейных изгибно-крутильных колебаний прямых незакрученных
стержней с несимметричным поперечным сечением. В работах [2, 3] были
получены уравнения линейных изгибно-изгибно-крутильно-продольных коле
баний закрученных вращающихся стержней с учетом депланации попереч
ного сечения при сдвиге и кручении. В [4] представлена система уравнений в
частных производных, описывающая геометрически нелинейные изгибно-
изгибно-крутильно-продольные колебания вращающегося стержня. В этих
уравнениях учитывалось, что центр тяжести поперечного сечения и центр
жесткости находятся в одной точке. В [5, 6 ] получены уравнения, описы
вающие изгибно-изгибно-крутильные колебания стержня с учетом нерастя-
жимости срединной линии. При этом предполагалось, что центр тяжести
поперечного сечения и центр жесткости находятся в одной точке. Систе
матическое изложение теории гибких стержней содержится в монографии [7].
В данной работе представлена система трех нелинейных интегро-диф
ференциальных уравнений в частных производных, описывающая изгибно-
© К. В. АВРАМОВ, О. С. ГАЛАС, О. К. МОРАЧКОВСКИЙ, К. ПЬЕР, 2009
112 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутилъных колебаний
изгибно-крутильные колебания гибкого вращающегося стержня с учетом
депланации поперечного сечения. При выводе уравнений предполагалось, что
центр тяжести поперечного сечения и центр жесткости находятся в разных
точках. Получена дискретная нелинейная динамическая система, аппрокси
мирующая указанные колебания. Движения системы исследую тся с помощью
метода нелинейных нормальных форм колебаний. Анализируется влияние
депланации на колебания.
У равнения колебаний. Рассмотрим стержень, вращающийся с посто
янной угловой скоростью й (рис. 1). Для описания движения стержня
используем неподвиж ную систему координат х уг. Упругие перемещ ения
вдоль осей х , у , 2 обозначим через и (х , ї ), у ( х , ї ), х , ї ) соответственно.
Для объяснения уравнений колебаний предположим, что выполняется гипо
теза плоских сечений. Однако в дальнейшем будет учитываться депланация
поперечных сечений стержня. С плоским сечением стержня свяжем новую
систему координат с ортами £ , г , £. Орты г и £ лежат на главных цент
ральных осях. Ориентацию системы координат £г£ относительно осей х уг
опишем тремя последовательными поворотами на углы в х, в у , в 2 .У гол в х
описывает крутильные колебания стержня. Этот поворот происходит вокруг
центра изгиба поперечного сечения. В сечении стержня вводится система
координат ( г 10 1£ 1), которая связана с центром изгиба (рис. 1). Центр тяжести
поперечного сечения О в системе ( ^ О ^ О определяется координатами
0 ( г (1), £ (1)).
Рис. 1. Закрученный стержень.
Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения в частных производ
ных, описывающие изгибно-изгибно-крутильные колебания с учетом депла
нации поперечного сечения гибких стержней, получены в работах [8 , 9]:
Е ( єіп2а)" + Е І £ ( у" соє2 а)" + Е І^ ( у" єіп2 а)" + т у — т в хе єіпа +
( і
+ т (20 ,у + й х ) у " + т й ( ев єіп а — у )"
х
2
2
0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 113
К. В. Аврамов, О. С. Галас, О. К. Морачковский, К. Пьер
— е т ^ ( 0 х 8Іп а )" (4 і + ) + вш & 6 х 8Іпа ( ^ — 2і") — т & V +
х Ь х
/ Лх 1/ іЛ ~ — 2тО, / ( v'V' + м'м')Лх —+ -
лсл 2 2 х Ь4ъ2 т
ЕА
— 2тО,в/ — ( 0 хі" яп а — 0 хм" со8 а )й х + Е ( / £ — / у )(0 хм" соэ2а)" —
— Е (/ £ — / у ) ( 0 xv" 8Іп2а)" + Е С 1 ( 0 х0"х соэа)" = 0; ( 1а)
Е / £ ( м" яп а)" + Е / у ( м "соэ а)" + Е ----- ------ ( V" эт 2 а )" + т м +
Ь
+ т 0 хе соэ а + ^ т ( 2 і + йх)м" — тО .(м + е 0 х соэ а)"
Ь2 — х 2
V х
+
+ em Q ( 0 х соэ а ) ( 4 і + й х ) + Ю .ет 0 хі ' соэ а + Е ( / £ — / у ) (0 хі" соэ2а)" +
+ Е ( / £ — / у ) (0 хм" эт 2 а )" — Е С * ( 0х соэ а)" = 0; (16)
(1) " 2— (Б | 0 'х )" — е т і э т а + е т м с о э а + 0 х [ т е + р ( / £ + / у )] +
+ т ^ е ( і" э т а — м" соэ а )
Ь2 — х 2
+ і е т э т а + р
V х
+ ^ х т е (м"соэа — і" э т а ) +
э т 2а + Е э т ( 2а ) ( м "2 — і " 2 ) +
+ Е ( / £ — / у )со8 (2а )і" м" + Е С 1 0х і" соэ а —
— Е С * [соэ а ( м" — 0 хі" — е0х2 яп а)]" + Е С Ц " = 0; (1в)
Д р = 0, —р / —п | з = уп £ — £п у , С 1 = / / £рЛуЛ£, С 1 = / / р 2 ЛуЛ£,
где т - масса единицы длины стержня; 5 = 5 (£, у ) - уравнение контура
поперечного сечения стержня с нормалью п(п£ , п у ); Ь - длина стержня; е -
расстояние м еж ду центрами тяжести и жесткости поперечного сечения;
р (£, у ) - функция депланации; а ( х ) - угол закрутки стержня. Для получения
системы ( 1) определялась кинетическая и потенциальная энергия стержня и
0
2
2 2
А А
114 ІЇЗМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний
использовался вариационный принцип Остроградского-Гамильтона. В резуль
тате применения последнего получена система трех нелинейных интегро-
дифференциальных уравнений в частных производных.
В систему уравнений (1) входит уравнение для функции кручения, или
депланации поперечного сечения, которую можно предварительно вычис
лить. Например, для поперечного сечения (рис. 2), где центры жесткости и
тяжести обозначаются через S.C. и C.G. соответственно, функцию кручения
представим так:
р ( V, Q = B io V + B i2 v t + B зо г , (2 )
где B kn - коэффициенты, подлежащ ие определению с помощ ью метода
минимизации функционала [10 ]:
і = П ^ - t .
I д р
+ b - v + v , d tjd t , (3)
где t s , V s - координаты центра изгиба.
Рис. 2. Поперечное сечение стержня.
П осле подстановки (2) в (3) из уравнений ------- = 0 получим систему
дВ кп
линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов В м̂ . Для
профиля (рис. 2 ) коэффициенты В кп принимают следующ ие значения: В ш =
= 4 ,7 1 2 -1 0 “ 5 м; В 12 = - 0 , 7 6 7 м _1 ; В 30 = 2 ,8 1 7 -1 0 _3 м _ 1 .
Д и ск р етн ая м одель колебаний . И сследуем колебания закрученного
стержня на примере лопасти вертолета. Параметры этой лопасти приведены в
[9]. Ее поперечное сечение показано на рис. 2. В [9] представлен анализ
линейных свободны х колебаний лопасти. При дискретизации системы (1)
использовались 16 собственных форм линейных колебаний, которые отве
чают первым 16 собственным частотам. Поскольку центры тяжести и ж ест
кости лежат на оси симметрии поперечного сечения, то линейные изгибные
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 2 115
К. В. Аврамов, О. С. Галас, О. К. Морачковский, К. Пьер
колебания V(х , г) не связаны с колебаниями х , г) и в х (х , г), а функции
м ( х , г), в х(х , г) связаны меж ду собой. Собственные формы линейных изгиб-
но-изгибно-крутильных колебаний представим так:
4 х , О = 2 ( 0 ^ ( х ); 0 х ( х , 0 = 2 0 ^ ( х )
V =
2
; (х , 0 = 2 ^^+14( № V (х ) .
у=1 г=1
2 (4 )
У=1
Разложив систему (1) в виде функции (2), применим к ней метод Буб-
нова-Галеркина. В результате получим дискретную нелинейную динамичес
кую систему с 16 степенями свободы:
16 16 7 16
2 м ц + 2 ( к щ + ^ 2 к ц ) ) ^ ц + 2 2 А ц+7,іч ц+7 ч і +
ц=1 ц=1 ц=1 у=1
2 14
+ ^ 2 2 В /І+14,уЧ у4 Ц+14 - 2 Ац+7ч Ц+7 = 0 ^ = 1. 7 ; (5)
ц=1 У=1 ц=1
16 16 16 16
2 м гЛ ч г + 2 ( К і ,, + ^ + ^ 2с + ^ 2 2 ^ 2 ч г ч 2 +
16 16 7 2
+ 2 2 А,1г2 Ч,1 Чг2 + ^ 2 ^>і +7,г2+14 Чг1+7 Чг2+14 +
7 7 16
+ 2 2 Ж1+7,г2+7Чг1+7Чг2+7 + 2 ^ ЧА = 0 і = 8 , і 4 ; (6 )
Г =1 г =1 Г =1
16 16
У=1 V=i
16 16 7 7
+ ^^2 В V«)ЧVчц + -^1/+7,цчv+7чц +
v = l ц=1 v=1 ц=1
+ 2 2 ̂ + 7 , ц+14 ч v+7 ч ц+14 + 2 2 ̂ + 7 , ц+7 ч v+7 ч ц+7 = 0, у = 15, 16. (7)
v=1 ц=1 v=1 ц=1
7
Г1 =1 г2 = і
Г1 =1 г2 = і Г1 =1 г2 =і
116 ТЖОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний
Коэффициенты системы уравнений (5 )-(7 ) не приводятся с целью крат
кости изложения. Данную систему представим в матричном виде:
( М )д + ( К )д + ( д , д ) + Ф ( д ) + Р 0 + (V )д + Ж ( д ) = 0, (8)
где
( М ) =
М
М =
2
М 11 М 12 М 1,16
М 14,1 М 14,2 ... М 14,16
М =
М 15,1 М 15,2 ... М 15,16
М 1б,1 М 1б,2 ... м 116,16
М 'р = М р + 0 , 2 М р , у = 15,16 , у = 1,16;
д 1
' г (0)'
/ 1 к 11 . .. К 1,16 '
д =
д 16
; Р =
г (0)
/1 6
; ( к ) =
К 16,1 . .. К 16,16_
К ̂ = К ̂ + Я 2 Я ) , v = 1,16, л = 1 ,16;
/ 1 Р 1
( д , д ) + Ф ( д ) = ^ +
. / 16. _Р16.
2 14 16 16
Л = 2 2 ̂ 14+ ц , ] д ] д 14+ц , ^ = 1 , 7 ; / г = 2 2 ̂ $ д V д ? , 1 = 8 ,16;
,“=1 у=1
7 2
v=1 /г=1
7 7
(P v = 2 2 А ̂ 7 ,1 4 +у д г+7 д14+у + 2 2 А /^7,7-д г+7 д у , ^ ъ 7; 15,16;
7 7
=1
2 2
Р I АГ/2 д Г д ,2 + - 2 А 14+г1,14+г2 д 14+г1 д 14+г2 +
к =1г =1 Г1 =1г2 =
2 7
+ 2 2 < + , Г2 д 14 + ?1 д ?2 ’ I = 8,14;
г =1 г =1
/.ХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 117
К. В. Аврамов, О. С. Галас, О. К. Морачковский, К. Пьер
Уп = Р ( 1\ ] = 8,14; Ук1 = 0, к = 15,16;
w l
Ж = ... ; w v = 0 , у = 1Л ;
. ̂ 6 .
7 2 7 7
w l = 2 2 ЖП+7,г2+14ЧА +7Чг2+14 + 2 2 ^ + 7 ,г 2+7Чп +7Чг2+7 , 1 = 8 14;
7 7
^ = 2 2 ^ + 7 , г+7Чv+7Чц+7 , ] = 15, 16
v=1 /г=1
Некоторые параметры системы уравнений (8) не приводятся с целью крат
кости изложения.
Из-за вращения стержень подвергается действию центробежных сил.
П оэтому в закрученном стержне имеют место статические деформации, кото
рые описываются вектором р системы (8). Статические перемещения стерж
ня представим так: w = ч [0)w 1(x ); V = ч {0)V 1( х ); в х = ч 80)в 1( х ). Подставим
эти выражения в уравнения (8) и получим систему трех нелинейных алгебра-
(0) (0) (0)
ических уравнений относительно , Ч8 , Ч15 :
Рассмотрим нелинейные колебания стержня относительно положения
( (0) (0) (0К тт
статического равновесия (4 1 , Ч 8 , Ч15 )■ Для этого введем замену перемен
ных:
(9)
I = 1 ,1 6 ; Ч1(0) ^ 0;
чV0) = 0 (V = 2, 7; 9,14; 16).
(10)
118 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний
В новых переменных систему (8) запишем следующ им образом:
( М )в + (К )в + & Р ( в , в ) + Ф ( в ) + (V )в + Ж ( в ) = 0. (11)
В системе (11) два последних слагаемых описывают депланацию попереч
ного сечения стержня. Преобразуем систему уравнений (9):
( М )в + (К 1)в + ^ Р ( в , в ) + Ф 1( в ) = 0, (12)
где К 1 = К + V ; Ф 1 = Ф + Ж .
Н ели ней н ы е норм альны е ф орм ы колебаний. Для исследования дина
мики системы (12) воспользуемся нелинейными нормальными формами Ш оу-
Пьера [11]. Введем модальные координаты: Н = ( Л ) -1 в , Н = ( Н1, ..., Н16),гд е
Л - матрица форм линейных колебаний. Справедливо следующ ее соотнош е
ние:
( М ) - 1(К 1) = ( Л ) ( Р ) ( Л ) - 1; ( Л ) = (Яу ) Д 1* ; ( Р ) = ^ ( р 2 , . . . , р 2,) .
П осле преобразований система (12) примет такой вид:
Ні + р 2 Ні + Q Q i ( Н, Н) + П г ( Н) = 0, г = 1,16, (13)
где
16 16 16 16
Q и ( Н, Н ) = Е Е Ггри) НгН р ; П и (Н)= Е Е 1 Грі) НН , и = ъ 16;
г=1 р=1 г=1 р=1
16 16
тг(р) = Е г н ( у ) - ~ (и) = У г В ) ( и г р ) = 1 161 гр / л А и^11 гр ; гр / л А и^в гр , , г , р ) 1 16?
У=1 У=1
( г ) = ( Л ) - 1 ( М ) - 1 ; ( г ) = ( Г у ) іг } ^ >;
2 14
в % ] = Е Е Д 1(4І и,у Я уг Я14+и ,р , * = ї" 7 , г = 1,16, р = Ц б ;
и=11=1
16 16
в ( р) = Е Е ^ Ї Я^гЯир, 1 = 8 , 1 6 г = 1 , 1 6 р = 1 16;
у=1 и=1
7 2 7 7
Н грі = А /и+7,14+уЯи+7,гЯ14+у,р Аи+7,уЯи+7,гЯур ’
и=1 у=1 и=1 у =1
г = 1,16, р = 1,16, у = 1, 7;
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 2 119
К. В. Аврамов, О. С. Галас, О. К. Морачковский, К. Пьер
7 7 2 2
Н гр 2 2 А г1г2 5 г1 г 5 г2р + 2 2 А14+Г1,14+Г2 ̂ 14+^ ,г5 14+г2,р +
г =1 г =1 г =1 г =1
2 7 7 2
+ 2 2 А14+г1,г2'^14+г1,г5 г2,р + N 7 + г1,14+г25 7+г1,г5 14+г2,р +
Г =1 г2 =1 г1 =1 г2 =1
7 7
+ 2 2 N 7 + г1,7+г2 5 7+г1,г5 7+г2,р , 1 = 8, 14;
7 2 7 7
н (т) = 2 2 А (т ) 5 5 + 2 2 А(т) 5 5 +
Н гр 2 2 А«+7,14+ул «+7,гл 14+у,р + 2 2 А«+7,7л «+7,г5 ур +
«=1 у=1 «=1 у =1
7 7
+ 2 2 4 Й ,« + 7 Я^+7,г5 «+7,р , т = 15,16, г = 1,16, Р = 1 ,16
у =1 «=1
Нелинейные нормальные формы колебаний представим так:
н , = ф , ( нк , ё к ) = а 3 } к 1 + а 4 у нкёк + а ̂ ё к + а 6у ^ ! +
, (к Ь 2 , (к) , 2 , (к) з ,
+ а 7,г нк ё к + а 8,г Ч Е к + а 9,1 ё к + ...;
(14)
ё , = я,-( ^к, ё к ) = ь 3к) + ь 4к) Н кёк + ь 5к) ё ! + ь 6к} ьк + ь 7 } нк ё к +
,(к)ь „2 , а (к) 3
+ Ь8,} Нк ё к + Ь9,} ё к + . . . , } = 1,16, }* к .
Нелинейные нормальные формы колебаний описываются системой урав
нений в частных производных [ 11]:
ЭФ • ЭФ •
= ^ Г ё к + ^ТЛ-[ - Р к нк - ^ б к (н, ё ) - П к (н )];
э н к Эё к
Р } Ф , ( нк , ё к ) + ^ б , (н, ё ) + П ,•(н ) = (15)
Э5 Э5
= - Э и ~ ё к + Э ^ [ Р 2 нк + ^ б к (н , ё ) + П к (н )] .
э н к Эё к
Для решения системы (15) подставим в нее разложения (14). Приравняв
слагаемые при одинаковых степенях, получим систему линейных алгебра
ических уравнений относительно неизвестных коэффициентов рядов (14). С
целью краткости изложения данная система не приводится, а ее решение
запишем так:
г1 =1 г2 =1
120 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний
(к) = ( р ! _ 2Рк )Н кк . (к) = 0 Г кк) . (к) = _ кНкк .
а 3,1 = 2/л 2 2ч ’ а 4,1 = . 2 2 ; а 5,1 = 2/л 2 2ч •
Р1 (4Рк _ Р, ) 4Рк _ Р1 Р1 (4Рк _ Р, )
, (к) р 'к0 ^ <кк (к) 2Н кк) , (к) (к)
И3,,' = _ 7 ^ ------ ^ 64,г- = 7 ^ ------ ^ И5,,' = а 4,1 ;
4Рк _ р , 4Рк _ Р1
(к) = д(;1к)(Р 2 _ 7Р ? ) + Р ? (Р 2 _ 3Р? )А(6к) _ 2Р 4А£ ;
^ (Р? _ 9р ? ) ( р ! _ р ? ) ’
(к) = (3р? _ р? Ц А ^ _ 3А(к ] + 6 р 4А(4) _ 2р?Р?А (7) ;
7.1 ( р? _ р ? )( р? _ 9 р Ъ ;
(к) = _ 2Р 2А(6к} + 6А(к + А ^ (3 Р 2 _ р 2) ;
8.1 ( р? _ р ? )( р? _ 9 р Ъ ;
(к) = 2А(1к _ 6А(к) + (Р? _ 3Р? )а (7 + А й:)(7 Р? _ Р ? ) ;
а9,,‘ (Рк2 _ Р ?)(Р ? _ 9р?)
ь (к) = А%)(7 Р ? Р 2 _ Р,4) _ А?к Р ? (3Р? _ Р 2) _ 6Р 6А<,к) + 2Р 4Р 2Аа?
6., (Р? _ Р 2)(Р 2 _ 9Рк)
ь (к) = (Р,2 _ 3Р ? )[Р,2 а (6 + 3А(к ] _ 2Р? Р,2 А(к ;
7.,‘ ( р ? _ р к )( р ? _ 9 р ?) ’
, (к) = А(4к}(3р 2р к _ 9р 4 ) _ ркРА*,2 _ 6А(к}]_ р 2(Р,2 _ 3Р? )А(,к) ;
8 ̂ ( р ? _ р 2)( р ,2 _ 9 р 2) ;
. (к) = _ 2Р? А<к + 6А?к + А(к)(3Р? _ Р ? )
(Р,2 _ Р ? )(Р,2 _ 9Р к)
(16)
^ 7)Параметры А , к , . . . , А к не приводятся с целью краткости изложения.
Итак, нелинейные нормальные формы колебаний получены. Теперь иссле
дуем движение, соответствующее этой форме. Рассмотрим к-е уравнение
системы (13). П осле некоторых преобразований представим его так:
ьк + Р ? ь к + н ккк к к + 0 '̂кк Ьк К + Р 3,0ьк + р 0,3ь к +
+ Р 1,2 ЬкЬк + Р 2,1ькьк = 0 (17)
где
16 16
Р = о У г ( к ) И (к) + ^ а (к)[ £~(к) + ~ ( к ) ] .
Р 3,0 о / ̂ ̂кр И3,Р + ^ а 3,Р [Н р,к + Н кр ];
р = 1
р^к
р =1
р^к
16
Р = 0 У ~ ( к) а (к )•Р0,3 = ° ^ А гк а 5,г •
г=1
г ̂ к
0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 121
К. В. Аврамов, О. С. Галас, О. К. Морачковский, К. Пьер
16 16 16
л , 2 = о 2 ! ,£ > - к ’ + « 2 ^ + 2 - + < ] ;
г- 1 р - 1 р - 1
г Тк рТк рТк
16 16 16
ъ - о 2 !Тк’ - ( к / + о 2 гкк ’ * 4 3 + 2 - 4 > р к + кр’ ]■
г- 1 р -1 р -1
гТк рТ к рТк
Из-за малости нелинейных слагаемых в системе (17) ее можно записать
так:
кк + р ! к к + £ [Н кк к к + кк^к + р з,ок к + Р0 ,зкк +
+ Л , 2М 2 + Р ц к к ] - 0 , £ < < 1. (18)
Решаем уравнение (18) с помощью метода многих масштабов [12]:
к к - к к ,0 (Т0 , Т1 , ■■■) + £кк,1(Т0 , Т1 , ■■■) + ■■■, (19)
где Т0 - V; Т1 - £t■
Стандартные преобразования метода многих масшабов позволяют полу
чить следующ ую систему модуляционных уравнений:
3
-1 + (зР ),з рк2 + Р ц ) ^ - - 0;
2 (2 0 )
- 1-
у - (3Рз,0 + р ! Р ^ ) ^
Из соотнош ений (20) получим выражение, которое определяет зависи
мость частоты свободных колебаний от их амплитуды, так называемую
скелетную кривую:
ю к - р к + 8 р к (ЗРз,0 + р 2 Р 1,2 )—2 ■ (21)
На рис. з представлены первые три скелетные кривые свободных коле
баний стержня. Характер первых двух скелетных кривых при учете депла-
нации поперечного сечения не изменяется (рис. з ,а ,б ) . Однако если третья
скелетная кривая без учета депланации была жесткой, то при ее учете она
становится мягкой (рис. з,в).
Известно [1з], что если характер скелетной кривой мягкий, то в коле
бания упругой системы больший вклад вносит нелинейная инерционность,
если жесткий - геометрическая нелинейность конструкции. Анализ скелет
ных кривых на рис. з,в показывает, что учет депланации приводит к прева
лирующ ему вкладу нелинейной инерционности в колебания стержня, неучет
депланации - геометрической нелинейности.
122 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2
Анализ нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний
a
8
6
4
2
О
а
a • 106
•106 a1
о
330 335 340 345 350 355 360 365 СОк
б
•106
в
Рис. 3. Скелетные кривые свободных колебаний стержня. (Сплошные линии - без учета
депланации, штриховые - с учетом депланации.)
Р е з ю м е
Досліджую ться нелінійні згинно-згинно-крутні коливання стрижнів, які опи
суються системою трьох нелінійних іитегро-диференційиих рівнянь із час
тинними похідними. У цих рівняннях ураховується депланація поперечного
перерізу стрижня та припускається, що центри ваги та жорсткості знахо
дяться у різних точках. Для дискретизації системи коливання розкладаються
у ряд за власними формами лінійної задачі. Вільні коливання досліджуються
за допомогою нелінійних нормальних форм Ш о у -П ’єра.
1. Тим ош енко С. П . Колебания в инженерном деле. - М.: Физматгиз, 1959.
- 450 с.
2. В о р о б ь ев Ю . С ., Ш о р р Б. Ф. Теория закрученных стержней. - Киев:
Наук. думка, 1983. - 188 с.
3. В о р о б ь ев Ю . С. Уточнение уравнений свободных колебаний вращаю
щихся стержней // Рабочие процессы в турбомашинах и прочность их
элементов. - Киев: Наук. думка, 1965. - С. 1 1 - 2 7 .
4. H o d g e s D . H. a n d D o w e ll E. H . Nonlinear Equations o f M otions for the
Elastic Bending and Torsion o f Twisted Nonuniform Rotor Blades. - N A SA
T N D -7818, 1974. - 52 p.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 2 123
К. В. Аврамов, О. С. Галас, О. К. Морачковский, К. Пьер
2. В о р о б ь ев Ю . С ., Ш о р р Б. Ф. Теория закрученных стержней. - Киев:
Наук. думка, 1983. - 188 с.
3. В о р о б ь ев Ю . С. Уточнение уравнений свободных колебаний вращаю
щихся стержней // Рабочие процессы в турбомаш инах и прочность их
элементов. - Киев: Наук. думка, 1965. - С. 11 - 27.
4. H o d g e s D . H. a n d D o w e ll E. H . Nonlinear Equations o f M otions for the
Elastic Bending and Torsion o f Twisted Nonuniform Rotor Blades. - N A SA
T N D -7818, 1974. - 52 p.
5. C respo da S ilva M . R. M . a n d G lynn C. C. Nonlinear flexural-flexural-
torsional dynamics o f inextensional beams. I: Equations o f m otion // J. Struct.
M ech. - 1978. - N o. 6. - P. 437 - 448.
6. C respo da S ilva M . R. M . a n d G lynn C. C . Nonlinear flexural-flexural-
torsional extensional dynam ics o f beam s // Int. J. Solids Struct. - 1988. -
N o. 12. - P. 1225 - 1234.
7. Г уля ев В. И ., Г а й д а ч ук В. В ., К ош кин В. Л . Упругое деформирование,
устойчивость и колебания гибких криволинейных стержней. - Киев:
Наук. думка, 1992. - 343 с.
8. А вр а м о в К. В., Г а л а с О. С., П ьер К . М одель геометрически нелинейных
изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся стержней с уче
том депланации поперечного сечения // Пробл. машиностроения. - 2007.
- № 2. - С. 70 - 76.
9. A v ra m o v K . V., P ie r re C., a n d S h yria ieva N. Flexural-flexural-torsional
nonlinear vibrations o f pretwisted rotating beams with asymmetric cross
section // J. Vibr. Control. - 2007. - N o. 13. - P. 329 - 364.
10. Ф илиппов А. П ., Б ул га к о в В. Н ., В о р о б ь ев Ю . С. и др . Численные методы
в прикладной теории упругости: - Киев: Наук. думка, 1968. - 250 с.
11. А вр а м о в К . В ., П ь ер К., Ш и ряева Н. В . Нелинейные нормальные формы
колебаний системы с гироскопическими силами // Доп. НАН Украши. -
2006. - № 11. - С. 7 - 10.
12. N ayfeh A. H. a n d M o o k D . T. Nonlinear Oscillations. - N ew York: John
W iley and Sons, 1979. - 840 p.
13. Б олот ин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. - М.: Гостех-
издат, 1956. - 500 с.
Поступила 23. 10. 2007
124 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 2
|