Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 1. Конечные деформации

С использованием подходов рациональной механики континуума разработана математическая теория строгого построения и специализации общих определяющих соотношений простых по Ноллу изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности п (аналоги твердых тел Ривлина-Э...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Лепихин, П.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2009
Назва видання:	Проблемы прочности
Теми:	Научно-технический раздел
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48382
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 1. Конечные деформации / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2009. — № 2. — С. 27-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48382
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-483822013-08-19T11:29:34Z Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 1. Конечные деформации Лепихин, П.П. Научно-технический раздел С использованием подходов рациональной механики континуума разработана математическая теория строгого построения и специализации общих определяющих соотношений простых по Ноллу изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности п (аналоги твердых тел Ривлина-Эриксена сложности п) как наиболее важных представителей материалов с инфинитезимальной памятью формы траектории (памятью формы траектории на произвольно малом интервале "прошлого”). Деформации - конечные. Построена иерархия определяющих соотношений по уровню сложности реакции материала на деформирование. Із використанням підходів раціональної механіки континуума розроблено математичну теорію строгої побудови і спеціалізації загальних визначальних співвідношень простих по Ноллу ізотропних зміцнюваних пружно-пластичних матеріалів диференційного типу складності n (аналоги твердих тіл Рівліна-Еріксена складності n) як найбільш важливих представників матеріалів з інфінітезимальною пам’яттю форми траєкторії (пам’яттю форми траєкторії на довільно малому интервалі “минулого”). Деформації - скінченні. Побудовано іерархію визначальних співвідношень за рівнем складності реакції матеріалу на деформування. Using approaches of the rational continuum mechanics, we have developed a mathematical theory of strict construction and specialization of constitutive equations for simple (in Noll’s sense) isotropic strain-hardening elastoplastic materials of the differential type of complexity n (analogs of the Rivlin-Ericksen solids of complexity n) as the most important representatives of the materials with infinitesimal fading path shape memory (a fading path shape memory on an arbitrarily small interval of the “past”). The strains are assumed to be arbitrary. The hierarchy of the constitutive relations is constructed according to the level of complexity of the material response to deformation. 2009 Article Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 1. Конечные деформации / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2009. — № 2. — С. 27-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48382 539.37 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Лепихин, П.П. Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 1. Конечные деформации Проблемы прочности
description	С использованием подходов рациональной механики континуума разработана математическая теория строгого построения и специализации общих определяющих соотношений простых по Ноллу изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности п (аналоги твердых тел Ривлина-Эриксена сложности п) как наиболее важных представителей материалов с инфинитезимальной памятью формы траектории (памятью формы траектории на произвольно малом интервале "прошлого”). Деформации - конечные. Построена иерархия определяющих соотношений по уровню сложности реакции материала на деформирование.
format	Article
author	Лепихин, П.П.
author_facet	Лепихин, П.П.
author_sort	Лепихин, П.П.
title	Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 1. Конечные деформации
title_short	Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 1. Конечные деформации
title_full	Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 1. Конечные деформации
title_fullStr	Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 1. Конечные деформации
title_full_unstemmed	Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 1. Конечные деформации
title_sort	построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. сообщение 1. конечные деформации
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Научно-технический раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48382
citation_txt	Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 1. Конечные деформации / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2009. — № 2. — С. 27-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT lepihinpp postroenieopredelâûŝihsootnošenijizotropnyhupročnâûŝihsâuprugoplastičeskihmaterialovdifferencialʹnogotipasložnostinsoobŝenie1konečnyedeformacii
first_indexed	2025-07-04T08:48:23Z
last_indexed	2025-07-04T08:48:23Z
_version_	1836705544234074112
fulltext	УДК 539.37 Построение определяющих соотношений изотропных упрочняю щихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности п. Сообщение 1. Конечные деформации П . П. Л епихин Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина С использованием подходов рациональной механики континуума разработана математи ческая теория строгого построения и специализации общих определяющих соотношений простых по Ноллу изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференци ального типа сложности п (аналоги твердых тел Ривлина-Эриксена сложности п) как наиболее важных представителей материалов с инфинитезимальной памятью формы траек тории (памятью формы траектории на произвольно малом интервале "прошлого”). Дефор мации - конечные. Построена иерархия определяющих соотношений по уровню сложности реакции материала на деформирование. К л ю ч е в ы е с л о в а : математическая теория, определяющ ее соотнош ение, прос той по Ноллу упрочняющийся упругопластический материал дифференциаль ного типа сложности п, конечные деформации, изотропия. Ранее [1 -5 ] с использованием подходов рациональной механики конти нуума разработана математическая теория строгого построения и специали зации общ их определяющих соотнош ений простых по Ноллу упрочняющ их ся упругопластических материалов (тел, сплошных сред, континуумов) со сколь угодно длительным забыванием (затухающей памятью) формы траек тории при активном деформировании. В этих материалах пластические дефор мации имеют место сразу после приложения нагрузки или по достижении начальной поверхности нагружения и монотонно увеличиваются в процессе деформирования. Деформации и тип симметрии тела - произвольные. Для процессов деформирования, близких к пропорциональным, мало отличаю щихся от начального предела текучести или от ненапряженной и недефор- мируемой конфигурации, построены физические уравнения материалов, не обладающих памятью формы траектории, со слабой затухающей памятью, с затухающей памятью п-го порядка. С позиций затухающей памяти формы траектории дано определение упруго-идеально-пластического материала. На основе построенных определяющих соотнош ений получены зависимости для изотропных тел. Исходя из физических уравнений линейной теории упругопластичности при конечных деформациях [1 -3 , 5] в работах [3 -5 ] посредством принятия условия малости мер деформации в течение всего “прошлого” для отме ченных выше процессов деформирования разработана математическая теория строгого построения определяющих соотнош ений упрочняющихся упруго пластических материалов со сколь угодно длительной затухающей памятью формы траектории первого порядка для бесконечно малых деформаций. Тип симметрии тела - произвольный. О собое внимание уделено изотропным © П. П. ЛЕПИХИН, 2009 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 27 П. П. Лепихин сплошным средам. Определены условия приведения построенных соотнош е ний к эндохронной теории пластичности. Ряд используемых в технике материалов с упругопластическим пове дением проявляет память формы траектории на малом интервале прошлого [6 , 7]. Вместе с тем теория построения определяющих соотнош ений таких материалов недостаточно разработана. В работе с использованием подходов рациональной механики конти нуума разработана математическая теория строгого построения и специали зации общ их определяющих соотнош ений простых по Ноллу изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности п (аналоги твердых тел Ривлина-Эриксена сложности п) как наиболее важных представителей материалов с инфинитезимальной памятью формы траектории (памятью формы траектории на произвольно малом интер вале прошлого). Деформации - конечные. Построена иерархия определяющих соотнош ений по уровню сложности реакции материала на деформирование. Аналогично работам [8 -10] для вязкоупругих материалов изучим класс сплошных сред с упругопластическим поведением, в которых при активном деформировании на напряжения в материальной точке X тела влияет лишь путь (история) деформирования на произвольно малом интервале [£, £ + д] прошлого [11], где д - некоторое положительное число, £ - длина дуги тра ектории тензора деформаций Грина второго типа Е. Такие материалы назовем упругопластическими с инфинитезимальной памятью формы траектории [11]. История деформирования до лю бого заданного “момента” в прошлом не имеет значения для определения напряжений в рассматриваемом материале при текущем значении £. Будем изучать только те упругопластические мате риалы с инфинитезимальной памятью формы траектории, в которых напря жения определяются первыми п производными от градиента деформации Р по £ в точке X отсчетной конфигурации. Такой материал назовем упругоплас тическим материалом дифференциального типа, а п - его сложностью [11]. Тогда их определяющ ее соотнош ение можно представить так: Здесь о - тензор напряжений Коши; і - отображение ( п + 1)-го тензорного аргумента на симметричные тензоры; аргумент X не выписан; Из принципа материальной независимости от системы отсчета получим следую щ ую приведенную форму определяющего соотношения упругопласти ческого материала дифференциального типа сложности п [11]: о = і (Г (п), Р (п_1), . . . , Г (1), Г ). ( 1) (2 ) 28 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 Построение определяющих соотношений изотропных где g - в общ ем случае анизотропная функция, переводящая наборы из (п + 1)-го симметричного тензорного аргумента в симметричные тензоры; тензор A R определяется формулой A R = R т A f R; C = F тF - правый тензор Коши-Грина; R - ортогональный тензор поворота в полярном разложении градиента деформации F = R U = V R ; положительно определенные симметричные тензоры U и V удовлетворяют соотнош ению V = R U R т и называются соответственно правым и левым тензорами растя жения; C f - правый относительный тензор Коши-Грина. Здесь и далее верхний индекс “т” обозначает транспонирование. Тензоры А r назовем аналогами тензоров Ривлина-Эриксена, а тензоры- аргументы функции g в (2 ) - кинематическими тензорами [11]. Соотнош ение (2) можно получить из определяющего соотношения прос того по Ноллу упругопластического материала в форме [12] а R = a ( ( C f ) R ; C ) (3) посредством замены С f аналогами тензоров Ривлина-Эриксена A r при r = 1, n , где С f - история изменения правого относительного тензора К ош и- Грина; а ( ) - отображение ( ( C f ) R ; C ) на симметричные тензоры. Если упругопластический материал дифференциального типа изотропен, уравнение (2 ) принимает вид [ 11] a = k ( Ä b A 2 , . . . , A n , B ). (4) Соотнош ение (4) справедливо только при условии, что левый тензор Коши-Грина B = F F т вычислен по отношению к неискаженной конфигура ции твердого деформируемого тела. Функция k изотропна в том смысле, что k (Q A 1Q т , Q A 2Q т , . . . , Q A nQ т , Q B Q т ) = Q k (A b ~ 2 , . . . , A n , B )Q т (5) для всех аргументов функции к и всех ортогональных тензоров Q. Уравнение (4) назовем определяющим соотнош ением упругопластичес кого аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности п [11] (далее - аналог твердого тела Ривлина-Эриксена сложности п). ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 2 29 П. П. Лепихин Для изучения деформирования аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности п отождествим с системой отсчета неподвижную ортогональную декартову систему координат, введение которой устанавливает взаимно одно значное непрерывное соответствие м еж ду геометрическими точками трех мерного евклидова пространства и тройками чисел - координатами точек. Далее под конфигурацией будем понимать заданное соответствие мате риальных частиц исследуемого объема сплошной среды (далее - частиц) и точек пространства, которые частицы занимают при значении параметра £. В процессе деформирования тела его конфигурация непрерывно изменяется. В качестве отсчетной (начальной, основной) конфигурации % 0 выберем конфи гурацию сплош ной среды при £ = 0. Предположим, что в начальной конфигу рации среда находится в ненапряженном и недеформированном состоянии. Введем в % о независимую от £ и совпадающ ую с системой отсчета систему координат, с помощью которой каждой частице ставится в соответствие тройка чисел ( X 1, X 2 , X 3 ). Как и в работе [13], эту систему координат будем называть лагранжевой неподвижной системой координат. Конфигурацию д е формируемой сплош ной среды в момент £ назовем актуальной деформи рованной и обозначим %£. Определим положение тела в %£ координатами х г (г = 1, 3) в системе отсчета так, что для каждой его частицы х г есть функ ция от £. При £ = 0 координаты х { равны Х г. Тогда можно пометить каждую частицу тела координатами Х г и рассматривать х г как функции Х у и £. При таких предположениях деформирование упругопластического кон тинуума можно описать соотношением х 1 = % %( Х ] , £ X и у = 1 ,3- (6 ) В случае если три функции (6 ) известны, формоизменение сплошной среды полностью определено. Уравнения (6 ) дают при текущем значении £ положение х г (г = 1,3) материальной частицы, занимавшей при £ = 0 точку ( X 1, X 2 , X 3 ). Таким образом, эти зависимости можно трактовать как уста новление соответствия м еж ду точками отсчетной и актуальной деформиро ванной конфигураций. Предположим, что такое соответствие взаимно одно значно и непрерывно с непрерывными частными производными любого порядка, который потребуется. В момент £ перемещ ения и г частиц тела, занимавших при £ = 0 ~ ( 1) ^ х г положение Х г , равны х г — Х г , их “скорости” - ¥ г- = ~ : т , “ускорения” - йд ~ (2) ^ ~ (1) э ~ (1) ~ (1) э ~ (1) ~ (к) ( д V 2 = — !— = — г— + V 1 — — и их (к — 1) “ускорения” - Г>к) = \| — + г й£ д£ 1 д х 1 У Р г ^д£ (к—1) ~ ( 1) д¥ г- , где —- - производная по £ при х г постоянных. д£ ~ ( 1) д ^ + ~, ( ) — д х и Компоненты тензоров о , А 1, А 2 , . . . , А п, В , . . . в системе координат х г обозначим о гу , А (1\ А ^ р , ..., А (п \ В у , ... . 30 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 Построение определяющих соотношений изотропных Запишем выражение (4) в координатной форме в системе координат х ; : * тк _ к тк (А Ц ) , А В у ). (7) Здесь о тк - компонента тензора напряжения Коши при текущем значении к тк - симметричная изотропная тензорная функция; _ дХі д х у У д Х ; д Х ; (8) А (‘ А у г_1 / г \ Д Т~ (Г 5) Д Т~ (5) ( г )_ о ~ (г) . V I \ д ^г д ^г + 2 1 5_1 дху (9) где / д^~/г) д Г } г ] 1 + дху дх ; г _ 1, п; г ! і С 5 _ --------!----- 5 < Г г 5!(г _ 5 ) ! ’ (Здесь и далее повторяющийся индекс в одночленном выражении обозначает суммирование в заданном диапазоне изменения этого индекса.) Будем рассматривать свойство изотропии относительно группы орто гональных преобразований. При этом ограничимся, как и авторы [14, 15], скалярными и тензорными инвариантами, являющимися полиномиальными функциями. О боснование этого выбора дано в [14]. Далее скалярные инва рианты назовем инвариантами. Для заданной системы переменных (в нашем случае симметричных тензоров второго ранга) и заданной группы преобразований используем такие же, как и в [14], определения. Полиномиальный инвариант является приво димым, если его можно представить в виде полинома от других инвариантов, в противном случае он называется неприводимым. Совокупность полиноми альных инвариантов такая, что лю бой полиномиальный инвариант может быть выражен в виде полинома от членов данной совокупности, называется целым рациональным базисом; целый рациональный базис является мини мальным, если содержит наименьшее из возможных число членов. В се члены минимального целого рационального базиса являются неприводимыми. Инва рианты являются функционально независимыми, если ни один из них не может быть выражен как функция остальных. Система инвариантов образует функциональный базис, если лю бой инвариант можно представить как функ цию этих инвариантов. М ожно показать [14], что целый рациональный базис является также функциональным базисом; однако, вообщ е говоря, он не будет ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 31 П. П. Лепихин минимальным функциональным базисом. Функциональный базис является минимальным, если входящие в него инварианты будут функционально неза висимыми. Наиболее общий вид тензорной функции (7), обладающей свойст вами [14], назовем форм-инвариантом. Для матриц компонент тензора напряжения и кинематических тензоров (8), (9) введем обозначения: а = [а у ]; ( 10) В = [В у ]; А к = [а У ) ]. (11) Матрицы (11) назовем кинематическими, а проблемы тензорных функций (7) будем формулировать как проблемы функций от матриц [11, 15]. Для краткости иногда, как и в работе [14], будем говорить о тензорах а у , а и т.д., когда, строго говоря, имеем в виду тензоры, компоненты которых принимают эти значения в системе координат х {, или тензоры, с которыми матрицы а и другие связаны. Построим возможные формы специализации уравнения (7) при различ ных ограничениях на свойства материала и процессы его деформирования. Согласно данным [8 ], такие два вида специализации являются плодотвор ными в механике простых материалов. Далее при построении более простых, чем форм-инвариант, определя ющ их соотнош ений будем использовать изложенный в работе [16] подход, согласно которому тензор напряжения а как изотропную функцию N тензо ров можно представить в виде а = <р М , (12) где М г - произвольные линейно независимые тензоры из набора образу ющих соответствующий форм-инвариант тензоров; р г - коэффициенты, зави сящие от функционально независимых инвариантов, выбранных из целого рационального базиса для рассматриваемого форм-инварианта. Приведенные ниже результаты получены для процессов деформирова ния, т.е. когда тот или иной вид определяющего соотношения и условия его построения справедливы в течение конечного интервала изменения £. А н ал ог твердого тела Р и в л и н а-Э р и к сен а слож ности 0. Для этого тела напряжение в (7) является функцией только тензора В у : а тк = к тк( В у ) . (13) Согласно, например, монографии [14], форм-инвариант в этом случае имеет матричный вид: а = р 11 + р 2 В + р 3 В 2 , (14) где I - единичная матрица; р г (г = 1, 3) зависят от минимального целого рационального базиса, включающего следующ ие инварианты: 32 1ХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N2 2 Построение определяющих соотношений изотропных ґг В , ґг В 2 , ґг В 3 . (15) Здесь и далее ґг - след матрицы. В работе [15] показано, что в случае простого спектра тензора В (не равенства всех трех его главных значений) матрицы I, В, В - линейно независимые, а инварианты (15) - функционально независимые. Отсюда можно сделать вывод, что если тензор напряжений о является изотропной функцией только В, то при В ї ї й В 22 й В зз й В її образующ ие форм-инва- рианта - линейно независимые, а инварианты (15) представляют собой мини мальный целый рациональный базис, совпадающий с минимальным функци ональным базисом. Здесь и далее В п , В 2 2 , В 33 - главные значения тензора В, а черточка над тензором или его компонентой обозначает их значения в главных осях тензора В. Приведем пример дальнейшей специализации уравнения (13). Согласно данным [15, 16], в случае осесимметричности тензора В (наличие одной и только одной пары равных главных значений) линейно независимыми будут матрицы I и В, функционально независимыми - инварианты ґг В и ґг В . Следовательно, в соответствии с уравнением (12) выражение (13) может быть записано в матричном виде так: о = <р 1І + р 2В , (16) где р і (і = 1, 2) зависят от ґ г В и ґ г В 2 . (17) Из приведенных примеров видно, что если напряжение является изо тропной функцией только тензора В, при тех или иных ограничениях на свойства этого тензора можно получить пространства о различной, не пре вышающей трех, размерности. При этом, если размерность пространства выше двух, то определяющ ее соотнош ение всегда тензорно нелинейное. П режде чем перейти к дальнейшему изложению, отметим, что в работах [10, 15] для твердых тел Ривлина-Эриксена сложности п, аргументами кото рых помимо тензора В есть п + 1 тензор Ривлина-Эриксена, зависящий от параметра времени, доказан ряд теорем и построен набор определяющих соотношений. В рассматриваемом случае аналогов твердых тел Ривлина- Эриксена сложности п при доказательстве аналогичных теорем и построе нии подобных определяющих соотнош ений, несмотря на то что параметром деформирования является £, ничего не изменится. П оэтому для краткости будем ссылаться на работы [10, 15], учитывая, что их результаты справедливы и для аналогов тел Ривлина-Эриксена той или иной сложности. А н ал ог твердого тела Р и в л и н а-Э р и к сен а слож ности 1. Для рассмат риваемого тела напряжение в (7) является функцией В у и А ^ : 0 тк = к тк( В 1] ) - (18) ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 33 П. П. Лепихин Согласно, например, работам [14, 17], форм-инвариант в этом случае имеет такой матричный вид: О = р ї ї + р 2В + р з ̂ ~1 + р 4В 2 + р 5Л^ + р 6В * ̂ 1 + + р 7В 2 Л 1 + р 8В Л 2 + р 9В 2 Л ^ , (19) где р ,• ( і = 1 ,9 ) определяются целым рациональным базисом, включающим іт В , іт В 2 , іт В 3, £г^1, іг Л 2, і г Л \ , ї ї В А 1 , ітВ 2Л1, іт В Л і, іт В 2 А 2 ; (20) здесь и далее звездочка при обозначении произведения тензоров служит ~ 1 ~ ~ символом симметрирования: В Л1 = ^ (В Л 1 + Л1В ). Приведем примеры дальнейшей специализации уравнения (18). Если тензор В имеет простой спектр и ни один из недиагональных элементов ^1 в главных осях В не равен нулю, то, как показано в работе [15], линейно независимыми будут матрицы I, В, Ль В 2, В * Ль В 2 * Ль а функционально независимыми - инварианты ітВ, іт В 2, іт В 3, ІГЛ 1 , іг Л 2, ї ї В Л 1 , іт В 2Л1, іт В Л і, іт В 2Л 2 . (21) Тогда, согласно (12), возможна такая матричная форма записи уравнения (18): ~ ~ О = р 1І + р 2 В + р з Л1 + р 4 В 2 + р 5 В * Л1 + р 6 В 2 * Л1, (22) где коэффициенты р і ( і = 1, 6) зависят от инвариантов (2 1 ). Если тензор В обладает простым спектром, а В и ^ имеют одно и только одно общ ее главное направление, то, как установлено в работе [15], матрицы I , В, Л1, В будут линейно независимыми, инварианты ітВ, № В 2, іт В 3, іт Л 1 , іг Л 2, і г В Л ь іт В 2Л1 (23) - функционально независимыми. Тогда, согласно (12), соотнош ение (18) в матричном виде можно записать так: О = р 1І + р 2 В + р з ~ + р 4 В 2 , (24) где коэффициенты р і ( і = 1, 4) зависят от инвариантов (23). Далее предположим, что тензор В обладает простым спектром, а В и ^ соосны (имеют три общ их главных направления). Как установлено [15], при 34 ІХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 2 Построение определяющих соотношений изотропных этом тензор о как изотропная функция В и А1 также соосен В и Причем, согласно данным [18], о , В , А 1 и любые образованные из двух последних мультипликативные симметричные тензоры второго ранга имеют все три общ их главных направления, принадлежат трехмерному тензорному пространству симметричных тензоров второго ранга и, следовательно, каждые четыре из них будут линейно зависимыми. Рассмотрим два случая. Вначале выберем линейно независимыми тензо ры I , В , В . Как показано в [15], это справедливо тогда и только тогда, когда В имеет простой спектр. При принятых предположениях простота спектра В [15] является также необходимым и достаточным условием функциональной независимости инвариантов & В , & В 2 , № В 3 , ^ А 1 , гтВАъ & В 2А^ (25) Тогда, учитывая вышеизложенное и уравнение (12), соотнош ение (18) может быть записано в матричном виде так: о = <р ї ї + р 2 В + р з В , (26) где р г (г = 1, 3) зависят от инвариантов (25). Прежде чем перейти к рассмотрению второго случая, сформулируем теорем у Теорем а 1. Если тензор В осесимметричный в течение конечного интер вала изменения £, то ^1 имеет равные диагональные элементы с соответ ствующими паре равных главных значений В индексами. Доказательство этой теоремы приведено в работе [10]. Ч аст ны й случай т еорем ы . Если тензоры В и ^ соосны в течение конечного интервала изменения £, то доказательство теоремы не изменится. Однако при этом Аь как и В, будет осесимметричным, а главные плоскости, образованные парами равных главных значений В и А ъ будут совпадать. Тензоры I, В и А1 выберем линейно независимыми. При рассматрива емых ограничениях это справедливо только при 1 В 11 2 ° ) В 1 = 1 В 22 ■ г« ^22 1 В 33 г а) Азз * 0. (27) Анализ данных [10] свидетельствует, что простота спектра В в течение конечного интервала изменения £ является необходимым условием выполне ния (27). Аналогично [10] можно показать, что при выполнении условия (27) инварианты І&ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 35 П. П. Лепихин & Б , & Б 2, & В 3, 1гА-1, £гА 2, & В А Х (28) - функционально независимые. Тогда, как следует из уравнения (12), зависимость (18) можно записать в матричном виде так: * = р 11 + р 2 Б + р з (29) где р г (г = 1, 3) определяются инвариантами (28). В работе [15] приведены также другие допустимые тензорно нелинейные матричные формы специализации соотношения (18). Заметим, что с математической точки зрения уравнения (26) и (29) равноценны в смысле строгости описания процесса деформирования тела, напряжение в котором является изотропной функцией только тензоров В и ^1 , при условии соосности последних и простоты спектра В в течение рассматриваемого интервала изменения £. С прикладной точки зрения тен зорно линейное уравнение (29) является более предпочтительным, в част ности, потому, что в качестве образующ их включает члены, содержащие первые степени кинематических тензор-аргументов с ясным физическим смыслом. П оследнее облегчает анализ и применение определяющих соотно шений в приложениях, чего нельзя сказать об уравнении (26), содержащем тензорно нелинейный член. Отмеченное выше преимущ ество тензорно линейного определяющего соотношения (29) относится также к любым другим формам представления функции (7) и ограничениям на деформирование. Подтверждением такого преимущества является применение в подавляющем большинстве приклад ных исследований тензорно линейных определяющих уравнений. Анализ полученных результатов показывает, что тензорно линейные определяющие соотношения не всегда могут быть построены. Это может быть выполнено, если число тензор-аргументов функции (7) больше или равно уменьш енной на единицу размерности пространства напряжений. В противном случае допустимы только тензорно нелинейные зависимости. В связи с преимуществом тензорно линейных определяющих соотно шений с прикладной точки зрения, отсутствием в известных литературных источниках систематически построенных и имеющих строго заданную область применимости тензорно линейных форм специализации уравнения аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности п при конечных деформациях и различных ограничениях на его свойства и деформирование, а также учиты вая, что наиболее широко используемыми в приложениях являются тензорно линейные определяющие зависимости неупругих тел, основное внимание уделим продолжению построения и анализа таких уравнений. А налог твердого тела Р и вли на-Э ри к сена сложности 2. Для рассматри ваемого тела напряжение в (7) является функцией тензоров Б у , и ~ (2 ): * тк = к тк (А у 1, А \|2 ), Б у ). (30) 36 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 Построение определяющих соотношений изотропных Форм-инвариант и целый рациональный базис в случае тензора напряже ний а , зависящего от трех тензор-аргументов, построены в [14]. Как следует из [14], образующ ими форм-инварианта будут тензоры I, В, А1, А2 и другие, которые в силу громоздкости не приведены, а коэффициенты форм- инварианта определяются инвариантами t r B , t r B 2, t r B t r A r, t r A 2 , tr A)3 2 (3 t r B A r, t r B 2A1; t r AjA2, ^ ( r = 1, 2 ), (31) где - ряд смешанных образованных из элементов В, ^ и А2 инвариан тов, дополняющ их первые 13 инвариантов (31) до целого рационального базиса. Приведем пример построения более простой, чем форм-инвариант, спе циализации уравнения (30). Предположим, что в течение конечного интервала изменения длины дуги £ тензор В обладает простым спектром, а В и имеют одно и только одно общ ее главное направление. Тогда, согласно дан ным [15, 18], а , А2 и все образованные из В, А1 и А2 мультипликативные симметричные тензоры второго ранга будут иметь это же главное направле ние и принадлежать четырехмерному пространству симметричных тензоров второго ранга. Далее пусть матрицы I, В , А1 и А2 - линейно независимые. Н еобхо димым и достаточным условием выполнения последнего предположения в системе координат, совпадающей с главными осями В, будет B 2 = 1 B 11 ~ ( 1) A 11 ~ ( 2) A 11 1 B 22 ~ ( 1) a 22 ~ ( 2) a 22 1 B 33 ~ а)A33 ~ ( 2) A33 0 0 ~ ( 1) a 12 ~ ( 2) a 12 * 0. (32) r При записи (32) принято, что без ограничения общ ности ось х 3 являет ся общ ей главной осью В и А- ,̂ а следовательно, и А2 . Отметим, что необходимое условие выполнения (32), как следует из вышеизложенного, - простота спектра В. Аналогично работе [10] можно показать, что в случае линейной незави симости I , B , A i и À2 инварианты t r B , t r B 2, t r B 3, tr A i, tr A 2 , tr B A i, tr B A 2 , t r B 2 A i, tr A1A2 , t r A 2 , t r A 2 (33) будут функционально независимыми. Тогда в случае выполнения (32), согласно (12), уравнение (30) может быть записано в матричном виде так: ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, N2 2 37 П. П. Лепихин О — р 1/ + р 2 В + р з А 1 + р 4 А (34) где р г (г — 1, 4) зависят от инвариантов (33). Рассмотренные выше примеры зависимости тензора напряжений от В, ^1 и А 2 относятся, как следует из [19], к наиболее практически важным. Для полноты анализа рассмотрим специализацию функции (7), которая включает в общ ем случае п + 1 кинематический тензор-аргумент. А н ал ог твердого тела Р и в л и н а-Э р и к сен а слож ности п. Для такого тела напряжение в (7) является функцией тензоров В ^ , А (1\ А (2 \ . . , А \| п). Как установлено в [14], форм-инвариант для о , зависящего от ( п + 1)-го кинематического тензора, включает / , В, Аь А2 , ..., А п и другие тензоры, которые в силу громоздкости не приводятся, а коэффициенты форм-инва- рианта определяются следующ ими инвариантами: гг В, & В 2 , & В 3 , гтАт, гт В А т, & В 2 А г , гт А ^ т, гт В А ^ т, & В 2А А , ~ ~ ----- ~ ~ ^ ---------- (35) гтАп , гтВАп , гтА1А п , гтА2А п , гтА3 А п , гтА4А п , ^ 2 ( т — 1 п - 1), где - набор образованных из элементов ( п + 1)-й кинематической матри цы инвариантов, дополняющих совокупность из (6п + 3 )-х элементов (35) до минимального целого рационального базиса. Рассмотрим следующие случаи. Пусть В обладает простым спектром и ни один из недиагональных элементов ^ не равен нулю. Тогда кинематичес кие тензоры принадлежат шестимерному пространству симметричных тензо ров второго ранга. Выберем линейно независимыми / , В, А1, А2 , ..., А4 . Необходимым и достаточным условием выполнения линейной независимости в системе координат х { , совпадающей с главными осями В, будет В 3 — 1 В ц ~ ( 1) А 11 ~ ( 2) А 11 ~ ( 3) А 11 ~ ( 4)А 11 1 В 22 ~ а)а 22 ~ ( 2) а 22 ~ ( 3) а 22 А~(4) а 22 1 В 33 ~ а)А33 ~ ( 2) А33 ~ ( 3) А33 1 (4)А33 0 0 ~ ( 1) А23 ~ ( 2) А23 ~ ( 3) А23 ~ ( 4)А23 0 0 А~(1) А13 ~ ( 2) А13 ~ ( 3)А13 А~(4)А13 0 0 7 « а 12 ~ ( 2) а 12 ~ ( 3)а 12 ~ ( 4)а 12 * 0. (36) Можно показать [10, 15], что отсутствие совпадающих главных осей В и ^1 в течение конечного интервала изменения £ является необходимым усло вием выполнения неравенства (36). Из данных [10] следует, что в случае простоты спектра В , справедли вости (36) и отсутствии нулевых недиагональных элементов а ( 1 инварианты 38 /ХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 2 Построение определяющих соотношений изотропных & В , & В 2 , & В 3 , & Л г , & В Л г , & В 2 Л г , & А А , ( г В Л Л ,. , & В 2Л А , ~ ~ ---------- (37) & Л п , & в л п, 1г Л 1Л п , ггЛ2л п, ггЛ злп, (гЛ 4л п, г = 1, п — 1 будут функционально независимыми. Тогда, как установлено в [10], уравнение (7) в матричном виде может быть записано так: о = р 11 + р 2 В + р з Л1 + р 4Л 2 + р 5 Л 3 + р 6Л4 , (38) где р г (г = 1,6) зависят от инвариантов (37). Рассмотрим случай, когда в течение конечного интервала изменения £ тензор В имеет простой спектр и один из недиагональных элементов равен нулю. Сформулируем следующ ую теорему. Теорем а 2. Если в течение конечного интервала изменения £ тензор В имеет простой спектр и один из недиагональных элементов А1 равен нулю, то не сущ ествует конечного подынтервала изменения £, в течение которого соответствующие последнему недиагональные элементы А2 , А3 ,..., А п равны нулю. Доказательство теоремы приведено в [10]. При условии выполнения теоремы невозможно построить справедливое в течение конечного интервала изменения £ пятичленное тензорно линейное определяющ ее соотнош ение для зависящего от (п + 1)-го кинематического тензора (п > 3) тензора напряжений о , включающее в качестве образующ их I , В , А1, Л2 и Л3 , т.е. в этом случае отсутствие нулевых недиагональных элементов Л ( 1 не является необходимым условием справедливости неравен ства (36). При этом тензоры I, В, Л ъ Л2 , ..., Л4 образуют базис ш ести мерного пространства напряжений. М ожно показать [10], что в случае простоты спектра В, выполнения условия (36) и равенства нулю одного из недиагональных элементов Л ( 1 инварианты (гВ , ( г В 2, ( г В 3, & А Г, 1гВ Л г , ( г В 2А , (гЛл_Лг , & В Л 1Л г , ~ ~ ---------- (39) & Л п , (г В Л п , (г Л 1Л п , (гЛ 2Л п , ( г Л 3Л п , ( г Л 4Л п, г = 1, п — 1 будут функционально независимыми, а уравнение (7) принимает форму (38) с коэффициентами, зависящими от инвариантов (39). Предположим, что в течение конечного интервала изменения £ тензор В обладает простым спектром, а В и А1 имеют одно и только одно общ ее глав ное направление. Тогда, согласно данным [10, 18], о , все кинематические и любые образованные из последних мультипликативные симметричные тензоры второго ранга имеют это же общ ее главное направление, принадлежат четырех ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 39 П. П. Лепихин мерному тензорному пространству, а любые пять таких тензоров - линейно зависимы. Выбрав линейно независимыми I , В, А1 и А2 , т.е. удовлетворив условию (32), согласно (12) соотнош ение (7) можем записать в виде (34). Как установлено в [10], при условии справедливости уравнения (34) в случае о , зависящего от (п + 1)-го кинематического тензора (8), (9), функци онально независимыми будут 4п + 3 таких инварианта: ?г В, & В 2 , & В 3 , & А Г, & В А Г, & В 2 А г , , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ---------- (40) & А п , & В А п , & А 1А п , № А 2 А п , г = 1, п — 1. Следовательно, при принятых предположениях коэффициенты уравне ния (34) определяются инвариантами (40). Отметим, что при п = 2 (о зависит только от В, А1 и А2 ) инварианты (33) и (40) совпадают. Если предположить, что тензор В в течение конечного интервала изме нения £ обладает простым спектром, а В и А1 соосны, то, в соответствии с данными [10 , 18], о , все кинематические и любые образованные из послед них мультипликативные симметричные тензоры второго ранга тоже соосны, принадлежат трехмерному тензорному пространству, а любые четыре таких тензора - линейно зависимы. Выбрав линейно независимыми I , В, А1, т.е. удовлетворив условию (27), согласно (12) соотнош ение (7) может быть запи сано в виде (29). При этом, как и ранее, можно показать, что при выполнении условия (27) функционально независимыми в случае зависимости о от (п + 1)-го кинематического тензора (8), (9) будут 3п + 3 инварианта ?гВ, ( г В 2 , ( г В 3 , К А г , & В А г , г̂̂ ~1̂ ~г, г = 1, п. (41) При принятых предположениях коэффициенты уравнения (29) зависят от инвариантов (41). Отметим, что при п = 1 (о определяется только В и А1) инварианты (28) и (41) совпадают. Далее примем, что в течение конечного интервала изменения £, тензоры В и А1 осесимметричны. Тогда, согласно данным [10, 18], о , все кинемати ческие и любые образованные из последних мультипликативные симметрич ные тензоры второго ранга тоже осесимметричны, принадлежат двухмерному тензорному пространству, а при выборе линейно независимыми I и В в соответствии с (12) уравнение (7) может быть записано в виде (16). П одобно тому, как это сделано ранее, можно показать, что если спра ведливо уравнение (16), а о зависит от (п + 1)-го кинематического тензора (8), (9), то инварианты (гВ , ( г В 2, & А г , & В А г , г = 1, п (42) будут функционально независимыми. Следовательно, при принятых пред положениях коэффициенты уравнения (16) зависят от инвариантов (42). При п = 0 (о зависит только от В) ряд (42) приводится к инвариантам (17). 40 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 2 Построение определяющих соотношений изотропных Отметим, что приведенные в работе определяющие соотношения, как следует из данных [15], справедливы в течение всего процесса деформиро вания, за исключением, возможно, отдельных изолированных значений Р е з ю м е Із використанням підходів раціональної механіки континуума розроблено математичну теорію строгої побудови і спеціалізації загальних визначальних співвідношень простих по Ноллу ізотропних зміцнюваних пружно-пластич них матеріалів диференційного типу складності n (аналоги твердих тіл Рівліна-Еріксена складності n) як найбільш важливих представників мате ріалів з інфінітезимальною пам’яттю форми траєкторії (пам’яттю форми траєкторії на довільно малому интервалі “минулого”). Деформації - скін ченні. П обудовано іерархію визначальних співвідношень за рівнем склад ності реакції матеріалу на деформування. 1. Л епихин П. П . М оделирование затухающ ей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщ. 1. Конечные деформации // Пробл. прочности. - 2004. - № 5. - С. 63 - 77. 2. L epikhin P. P . Simulation o f Fading Path Shape M emory in Theory o f Simple Elastoplastically D eform ing M aterials // Abstracts Eurom ech (European M echanics Society) Colloquium 458. “Advanced M ethods in Validation and Identification o f Nonlinear Constitutive Equations in Solid M echanics”. - R ussian Foundation for B a sic R esearch , L om o n o so v M osk ow State University. - Institute o f M echanics. - M oskow: M oskow University Press, 2004. - 115 p. 3. Л епихин П. П . М оделирование затухающ ей памяти в теории простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведением // Прогрессивная техника и технология машиностроения, приборостроения и сварочного производства: Тр. М еждунар. науч.-техн. конф., посвященной 100-летию механико-маш иностроительного и 50-летию сварочного факультетов Нац. техн. ун-та Украины (2 5 -2 8 мая 1998 г.). - Киев: Национальный технический университет Украины (КПП), 1998. - Т. III. - С. 105 - 109. 4. Л епихин П. П . М оделирование затухающ ей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением. Сообщ. 2. Бесконечно малые деформации // Пробл. прочности. - 2004. - № 6 . - С. 87 - 98. 5. Л епихин П. П . М оделирование затухающ ей памяти формы траектории в теории простых материалов с упругопластическим поведением и началь ной поверхностью нагружения // Там же. - 2007. - № 4. - С. 5 - 18. 6 . Т рощ енко В. Т., К р а со вск и й А. Я ., П окровски й В. В. и др . Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Справочное пособие. - Киев: Наук. думка. - 1993. - Т. 1. - 286 с. 7. Т рощ енко В. Т., К р а со вск и й А. Я ., П окровски й В. В. и др . Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Справочное пособие. Киев: Наук. думка. - 1994. - Т. 2. - 701 с. ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 2 41 П. П. Лепихин 8 . T ru esde ll C. A First Course in Rational Continuum M echanics. - Baltimore: The Johns Hopkins University, 1972. 9. T ru esde ll C. a n d N o ll W. The Non-Linear Field Theories o f M echanics. - Springer, 1992. 10. Л епихин П. П . Теоретическое построение определяющ их соотнош ений простых начально изотропных неупругих твердых материалов. Конеч ные деформации / А Н Украины. Ин-т пробл. прочности. - Препр. - Киев, 1993. - 37 с. 11. Л епихин П. П . Структура определяющих соотношений вязкоупруговязко пластического состояния материалов: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - Киев, 1997. - 32 с. 12. Л еп ихи н П. П . М оделирование пропорционального деформирования простых по Н оллу континуумов с упругопластическим поведением. Сообщ. 1. Построение определяющих соотнош ений // Пробл. прочности. - 1998. - № 5. - С. 59 - 70. 13. П о зд ее в А. А ., Т русов П. В., Н яш ин Ю . И . Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с. 14. С п ен сер Э . Теория инвариантов. - М.: Мир, 1974. - 156 с. 15. R ivlin R. S. a n d E ricksen J. L . Stress-deform ation relations for isotropic materials // J. Rat. M ech. Analysis. - 1955. - 4, N o. 2. - P. 323 - 425. 16. П о б ед р я Б. E . Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. - 3-е изд. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. - 264 с. 17. R ivlin R. S. Further remarks o f the stress-deformation reations for isotropic materials // J. Rat. M ech. Analysis. - 1955. - 4, N o. 5. - P. 681 - 702. 18. Н овож и лов В. В. О формах связи м еж ду напряжениями и деформациями в первоначально изотропных неупругих телах (геометрическая сторона вопроса) // Прикл. математика и механика. - 1963. - 27, вып. 5. - С. 794 - 812. 19. Ф рейдент алъ А ., Г ей рин гер X . Математическая теория неупругой сплош ной среды. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. - 432 с. Поступила 01. 02. 2008 42 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 2

Репозитарії

Схожі ресурси