Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем

Вынужденные колебания балки описываются с помощью дискретной модели с двумя степенями свободы, а ее взаимодействие с существенно нелинейным гасителем - моделью с тремя степенями свободы. Анализируются движения балки, способствующие гашению колебаний, которые представляются нелинейными нормальн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Аврамов, К.В., Гендельман, О.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2009
Назва видання:	Проблемы прочности
Теми:	Научно-технический раздел
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48387
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем / К.В. Аврамов, О.В. Гендельман // Проблемы прочности. — 2009. — № 3. — С. 97-106. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48387
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-483872013-08-19T13:25:48Z Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем Аврамов, К.В. Гендельман, О.В. Научно-технический раздел Вынужденные колебания балки описываются с помощью дискретной модели с двумя степенями свободы, а ее взаимодействие с существенно нелинейным гасителем - моделью с тремя степенями свободы. Анализируются движения балки, способствующие гашению колебаний, которые представляются нелинейными нормальными формами колебаний в конфигурационном пространстве. Расчет движений проводится по методу Раушера. Исследуется устойчивость таких движений по Ляпунову. Вимушені коливання стрижня описуються за допомогою моделі з двома степенями вільності, а його взаємодія із суттєво нелінійним гасником - моделлю з трьома степенями вільності. Аналізуються рухи балки з точки зору гасіння коливань, які представляються нелінійними нормальними формами у конфігураційному просторі. Для їх дослідження використовується метод Раушера. Аналізується стійкість рухів по Ляпунову. Forced vibrations o f a beam are described using a discrete model with two degrees o f freedom, while its interaction with significantly nonlinear damper - using a model with three degrees of freedom. We analyze the beam movements, which enhance dampening of vibrations and are represented by nonlinear forms of vibrations in the configuration space. Calculation o f movements is performed by the Rauscher method. The stability o f such movements by Lyapunov is analyzed. 2009 Article Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем / К.В. Аврамов, О.В. Гендельман // Проблемы прочности. — 2009. — № 3. — С. 97-106. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48387 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Аврамов, К.В. Гендельман, О.В. Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем Проблемы прочности
description	Вынужденные колебания балки описываются с помощью дискретной модели с двумя степенями свободы, а ее взаимодействие с существенно нелинейным гасителем - моделью с тремя степенями свободы. Анализируются движения балки, способствующие гашению колебаний, которые представляются нелинейными нормальными формами колебаний в конфигурационном пространстве. Расчет движений проводится по методу Раушера. Исследуется устойчивость таких движений по Ляпунову.
format	Article
author	Аврамов, К.В. Гендельман, О.В.
author_facet	Аврамов, К.В. Гендельман, О.В.
author_sort	Аврамов, К.В.
title	Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем
title_short	Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем
title_full	Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем
title_fullStr	Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем
title_full_unstemmed	Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем
title_sort	вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Научно-технический раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48387
citation_txt	Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем / К.В. Аврамов, О.В. Гендельман // Проблемы прочности. — 2009. — № 3. — С. 97-106. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT avramovkv vynuždennyekolebaniâbalkissuŝestvennonelinejnymgasitelem AT gendelʹmanov vynuždennyekolebaniâbalkissuŝestvennonelinejnymgasitelem
first_indexed	2025-07-04T08:48:45Z
last_indexed	2025-07-04T08:48:45Z
_version_	1836705568712032256
fulltext	УДК 539.3 Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем К. В. А врамова, О. В. Гендельман6 а Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, Украина б Израильский технологический институт - Технион, Хайфа, Израиль В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я б а л к и о п и с ы в а ю т с я с п о м о щ ь ю д и с к р е т н о й м о д е л и с д в у м я с т е п е н я м и с в о б о д ы , а е е в з а и м о д е й с т в и е с с у щ е с т в е н н о н е л и н е й н ы м г а с и т е л е м - м о д е л ь ю с т р е м я с т е п е н я м и с в о б о д ы . А н а л и з и р у ю т с я д в и ж е н и я б а л к и , с п о с о б с т в у ю щ и е г а ш е н и ю к о л е б а н и й , к о т о р ы е п р е д с т а в л я ю т с я н е л и н е й н ы м и н о р м а л ь н ы м и ф о р м а м и к о л е б а н и й в к о н ф и г у р а ц и о н н о м п р о с т р а н с т в е . Р а с ч е т д в и ж е н и й п р о в о д и т с я п о м е т о д у Р а у ш е р а . И с с л е д у е т с я у с т о й ч и в о с т ь т а к и х д в и ж е н и й п о Л я п у н о в у . Ключевые слова: нелинейные гасители, метод Раушера, нелинейные нормаль ные формы колебаний. П остановка задачи. Конструкции и теория линейных гасителей колеба ний хорошо известны и широко представлены в литературных источниках [1]. К сожалению, такие устройства используются для гашения вынужденных колебаний только в узком частотном диапазоне. Нелинейные гасители коле баний являются эффективными в большем частотном диапазоне [2-5]. Работа системы с таким гасителем рассматривается в [6], там же представлены их различные конструкции. Виброударный гаситель с одной степенью свободы предложен в [7] для гашения вынужденных колебаний. В [8] показано, что нелинейный гаситель уменьшает амплитуды колебаний в широком диапазоне частоты возмущающей силы. Процессы перекачки энергии в существенно нелинейный гаситель исследуются в [9, 10]. В настоящей работе исследуется взаимодействие балки, совершающей вынужденные колебания, с существенно нелинейным гасителем. Движения балки описываются разложением по двум формам ее собственных колебаний. Для исследования полученной существенно нелинейной системы с тремя степенями свободы применяются методы Раушера и нелинейных нормальных форм. Исследуется устойчивость движения балки по Ляпунову. Нелинейные нормальные формы консервативных систем соответствуют синхронным периодическим движениям, при которых все массы достигают максимальных значений и проходят через нуль одновременно. Если дискрет ная система совершает колебания по нелинейной нормальной форме, то это движение имеет вид кривой в конфигурационном пространстве. Положитель ным для нелинейных нормальных форм колебаний является возможность описать движение системой с одной степенью свободы. Нелинейные нормаль ные формы очень важны при анализе вынужденных колебаний. Основные резонансы при вынужденных колебаниях в нелинейных системах в случае отсутствия внутренних резонансов происходят около нелинейных нормаль ных форм свободных колебаний. © К. В. АВРАМОВ, О. В. ГЕНДЕЛЬМАН, 2009 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 3 91 К. В. Аврамов, О. В. Генделъман Метод Раушера является эффективным при анализе вынужденных коле баний неавтономных систем с одной степенью свободы д [11]. Согласно подходу предполагается, что периодическая сила, действующая на этот осцил лятор, равняется нулю. В такой автономной системе аналитически отыски вается движение д(г). Затем это решение обращается в г = г(д) и вводится в неавтономную часть системы, которая представляет собой периодическую внешнюю силу. В результате получается псевдоавтономная динамическая система, которая может быть решена аналитически. Некоторое обобщение метода Раушера рассмотрено в [12]. В [11] предложено использовать поли номы Чебышева для аппроксимации функции г = г(д ). В [13] комбинацию метода Раушера и нелинейных нормальных форм использовали для анализа дискретных систем с произвольным числом степеней свободы. Рис. 1. Механическая система, состоящая из балки и гасителя. Рассматриваемая механическая система представлена на рис. 1. Гаситель системы связан с балкой существенно нелинейной пружиной, которая описы- А. 3 вается силой К = КД , где Д - перемещения пружины. Колебания балки возбуждаются с помощью периодической нагрузки, которая приложена в точке х = 1/п, где I - длина балки; п - произвольное число. Гаситель крепится в точке //2. В таком случае наблюдается наиболее эффективное гашение собственных колебаний первой формы. Данная механическая сис тема описывается нелинейным интегро-дифференциальным уравнением и обыкновенным дифференциальным уравнением [14]: й ЕА * 2 - й( I \ р А у ~й + + Е у Ж = ~22̂ у ХХ J - -^08(52) + + у (1) Мс[ = - К (2) 3I I 3I 98 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 3 Вынужденные колебания балки л дм л дм л л л ЕА л л 2 л где м і = х = — ; м(х , і ) - динамический прогиб балки; —— I мх dx д£ дх 21 "0 - продольная сила, возникающая вследствие умеренных перемещений; р , Е - плотность материала стержня и модуль Юнга; У, А - момент инерции и площадь поперечного сечения; д - обобщенная координата, описывающая динамику гасителя; М - масса гасителя; у - коэффициент вязкого сопротив ления. Рассматриваемая балка может моделировать, например, лопасть верто лета или руку манипулятора. Введем безразмерные переменные и параметры [15]: Г ^ . А Е ! (3) К = К і3 АЕ у г А і / р Е ’ — М М = рА і где г - радиус инерции поперечного сечения, г = Л ~ А . Динамическую систему (1), (2) запишем относительно безразмерных переменных и параметров: г 2 ( + М + мхххх) = ^ ^ + ^ 0^ (х - + + <5\|х - ^М К (1 V 3 (1 V 1 л 1 + у і л л 1 (4) М г 2 лл + к (1 VI 3 (1 V 1 л і + у _______і 1- ■55 1 = 0. (5) Колебания балки м (х, ґ) представим в виде разложения по двум формам собственных колебаний: м (х , ґ) = г [Мі(Овіпях + и2( 1)$т2 л х ], * > 1. (6) Координата гасителя удовлетворяет следующей замене переменных: д = г кб. В дальнейшем используем малый параметр £ = г 2к~ 2 < < 1 . Предположим, что масса гасителя значительно меньше массы балки: Й Х # 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 3 99 х К. В. Аврамов, О. В. Генделъман M = е И . (7) Анализ нелинейных нормальных форм колебаний производится без уче та диссипации [13]. Поэтому полагаем, что у = 0. Уравнение (6) введем в (4), (5) и будем решать его с помощью метода Бубнова-Галеркина. В результате получим следующую дискретную динамическую систему: л 4 u 1 + л 4и 1 + £ ~ ^ ( u \ + 4и2 )u 1 = e f о cosQt + е2К (в - м1)3; (8a) іі 2 + 1 6 л4 u 2 + е л 4( л + 4u 2)и 2 = e f о cos Qt; (8б) И в + К ( в - и1)3 = 0; (8в) e f о = V3 Fo r -2 - " . (8г) Из уравнения (8г) следует, что внешняя сила имеет тот же порядок малости по е, что и нелинейные члены дискретной модели балки (8а), (8б). Более того, значения линейных упругих и инерционных сил дискретной модели балки (8а), (8б) больше, чем периодической сосредоточенной силы. Нелинейная норм альная форма режима гаш ения колебаний. Рас сматриваются вынужденные колебания системы (8), соответствующие режи му гашения. Предположим, что амплитуды колебаний балки (u1, и2) явля ются малыми, а гаситель совершает колебания с большими размахами. Тогда величины обобщенных координат можно оценить так: u1 = О( е ); u 2 = О( е ); в = О(1). (9) Рассмотрим использование методов Раушера и нелинейных нормальных форм для анализа движений (9). Исследуем режим гашения в невозмущенной системе (8), е = 0. Движения (9) представим в виде u1 = u 2 = 0; И в + К в 3 = 0. (10) Решение уравнения (10) можно записать так: (11б) max / где X = J K l (2M ); 0 max - амплитуда колебаний; F (<p, k i) - эллиптический интеграл; ki - модуль эллиптического интеграла. 100 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, N2 3 Вынужденные колебания балки Уравнение (11а) может быть представлено в следующем виде: в —в max СП (tJ20 max.^, ^1), (12) где сп (л/2 в max%t, ^ 1) - функция Якоби. Уравнение (12) запишем так: 0 = 0 max cosР- (13) Следуя методу Раушера, нулевое приближение режима гашения коле баний (11а) введем в динамическую систему (8). В результате получим псевдо- автономную систему [3], которая приближенно описывает вынужденные коле бания. Решение (11а) введем в слагаемое e f 0 cosQt уравнения (8): е/ о cos Q t = e f оg (р ) = e f о cos Q 4 20r x X -F (р , k 1 ) (14) Функция g (р ) является периодической: g (р + 2л) = g (р ). Из этого усло вия получим значения частот возмущающей силы ^ : q = 0 max Xж 42k (k 1)' (15) Тогда функцию g (ер) запишем так: g (р ) = cos ж 2K ( k1) F ( Р , k1) (16) Для дальнейшего анализа функцию g (р ) представим в виде ряда Фурье: g(<p) — A 1 cosр + A3 cos3p + ... . (17) Гармоники ряда (17) получены аналитически [3] и имеют следующий вид: A1 = жл/2 жл/2 К\ V2 , sh ж A3 =' .2 1 3shf^2 к з Т 2 (18) Введем (13) в (17) и получим степенной ряд: g (0) = (A 1 - 3A 3 )- -+ 4A 3 п3 max + ... . (19) ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 3 101 1 2 3 К. В. Аврамов, О. В. Генделъман Систему уравнений (8) заменим следующей псевдоавтономной системой: м,- + т 2и{ + е л 4а , ( и 2 + 4и2 )и , = е /0g (в ) + е2Кр, ( в - и1)3 , , = 1, 2; (20а) м в + к ( в - и1)3 = о, (206) где ®2 = л 4; т 2 = 16л4; а 1 = 4 ; а 2 = 1; р 1 = 1; р 2 = 0. Нелинейная нормальная форма динамической системы (20) имеет вид [13] и 1 = и 1 (в ), , = 1, 2. (21) Теперь уравнения (20) представим в конфигурационном пространстве. Для этого воспользуемся следующими формулами: = и , ( в )в 2 + и \ ( в )в. (22) т С использованием (22) уравнение (206) запишем так: в в 2 = - 4 * 2 / [ в - и1(в)]3йв. (23) Формулы (206), (22) и (23) введем в (20а). В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в конфигурационном простран стве: в - 4 * 2и"(в ) f [в - в )]3 йв — 2* 2(в — и1 )3 и \(в ) + т 2и, + + є я 4а і ( u f + 4u ^)u i = є / 0g( б) + є2Кр i ( б - u ) 3 , i= 1 ,2 . (24) Согласно оценкам (9), режим гашения колебаний представим так: Ui = єщ (б ). (25) Уравнение (25) введем в (24) и проведем асимптотический анализ, в результате чего получим: - X 2Ui(б )[б4 - б m ax ]-2* 2б 3U (б) + ®2Ui = = / 0 g ( б) + 2р і б 3 + 0 (є ), і = 1, 2. (26) 102 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, N 3 Вынужденные колебания балки Для определения граничных условий уравнение в = ± в mx введем в (26). Оба граничных условия тождественны вследствие симметрии решений u i ( в ), i = 1, 2 и принимают следующий вид: 2 3 _ 2_ ~ 2Х в max u i ( в max) i u i ( в max ) = - f 0? ( 0 max) + 2 KP iОmax + О(£), (27) Решение системы (26), (27) представим так: u i — B (i), + B (i )д 3 + B + ... i = 1, 2, (28) п 0") п 0")где параметры Б{ , В 3 , ... подлежат определению. Ряд (28) введем в систему дифференциальных уравнений (26) и гранич ные условия (27). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях О, получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относи- П О") П О") П О") "Г>тельно параметров В^ , В 3 , В 5 , . . . . В данном анализе система ограничена четырьмя линейными алгебраическими уравнениями. Для краткости изложе ния система не приводится. В результате ее решения получим коэффициенты (І ) D(i )B { \ B з B 5і) , ... . Подставив их в (28) и (25), находим аналитически режим гашения. С целью краткости изложения он также не приводится. Теперь исследуем нелинейную нормальную форму (28) при квазистати- ческом изменении частоты возбуждения ^ . Нелинейную моду введем в урав нение (20б), в результате чего получим следующую динамическую систему: ' + 2Г - 3 £ ^ B 2i (1) о 2і+3 2 i+1° і —О + О(£ 2 ) — 0. (29) Период колебаний системы (29) определяется так: “ max T(0 max) = 4 / І C + r 1 2 £ ^ (2 i + 4) -1 B 21— 1 B (1) 0 2i+4 _ о 4 і—0 (30) 0 )4max — 1 2 £ ^ (2 i + 4) _ 1B_ 1 и (1) 0 2 i^4 2i+1° max і —0 Заметим, что при £ = 0 уравнения (15) и (30) совпадают. Амплитудно-частотная характеристика вынужденных колебаний рассчи тывается так. Задается значение в тах с некоторым шагом. Для каждого ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 3 103 К. В. Аврамов, О. В. Генделъман значения в тах определяется нелинейная нормальная форма режима гашения (28) и частота колебаний из (30). При расчетах использовались следующие значения параметров: £ = 0,1; / о = 1; К = 2; М = 1. Амплитудно-частотная характеристика нелинейной нормальной формы (28) показана на рис. 2 . 3 -3 Рис. 2. Амплитудно-частотная характеристика механической системы (28). При Q = 0,59641 и 0 mx = 0,5 проводилось прямое численное интегри рование нелинейной нормальной формы с использованием таких начальных условий: w1(0) = w 2(0) = 0 (0) = 0; w1(0) = £щ ( 0 max )’ и 2(0) = 2( 0 max); 0(0) = 0 max- Результаты расчета (рис. 3) представлены в конфигурационном простран стве (wi, 0). На рис. 3 приведена нелинейная нормальная форма режима гашения, полученная аналитически. Видно, что аналитические и численные результаты очень близки. и, (О Рис. 3. Результаты прямого численного моделирования нелинейной нормальной формы в конфигурационном пространстве, где по осям откладываются обобщенные координаты. 104 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 3 Вынужденные колебания балки Анализ устойчивости колебаний. Рассматривается устойчивость по Ляпунову нелинейной нормальной формы (25), (28). Введем малые отклоне ния Au1( t), A u 2( t ), Д в(t) от периодических траекторий u1( t ), u2( t), в ( t), которые удовлетворяют системе уравнений в вариациях: Дщ + л 4Au1 + 6еКв2( t)(A u1 - Д в) + O(е 2) = 0; (31a) A u2 + 16л 4 Au 2 + O( е 3) = 0; (31б) Дв + 6 2 [(2е в [^ - 1)в 2 + 2 еВ31)в 4 + 2 еВ51)в 6 ](Дu1 - Д в) = 0, (31в) где функция в ( t) имеет вид (13). Из уравнения (31б) следует, что переменная Au2( t) является независи мой. Более того, уравнения (31а), (31в) не зависят от Au2. Поэтому для даль нейшего анализа устойчивости система (31а), (31в) рассматривается отдельно от (31б). Для упрощения уравнений (31а), (31в) функцию в(t) представим так: 2Q 00 в ( t) = ^ c h -1 ^ ( j - 0,5)]cos[(2j - 1 ) Q t]. (32) * j =1 Систему (31а), (31в) запишем в виде Au-1 + л 4Au1 + 48eQ2M [G1 + G2 cos(2Qt)](Au1 - Дв) = 0; (33a) Дв + 6* 2[G3 + G4 cos(2Qt)](Au1 - Д в) = 0. (33б) Параметры G1, G2, G 3, G4 не приведены с целью краткости изложения. Для исследования устойчивости тривиальных решений фундаментальная матрица определяется прямым численным интегрированием при t = 2л Q - 1 [12]. Численно исследуем устойчивость периодических движений, которые представлены на рис. 2. Устойчивые и неустойчивые движения показаны на рис. 2 сплошными и штриховыми линиями соответственно. Заметим, что нормальная форма (рис. 3) соответствует области устойчивых колебаний, бифуркация типа “вилка” периодических движений [16] наблюдается при в max « 1,2 и - 1,2. Р е з ю м е Вимушені коливання стрижня описуються за допомогою моделі з двома степенями вільності, а його взаємодія із суттєво нелінійним гасником - моделлю з трьома степенями вільності. Аналізуються рухи балки з точки зору гасіння коливань, які представляються нелінійними нормальними фор мами у конфігураційному просторі. Для їх дослідження використовується метод Раушера. Аналізується стійкість рухів по Ляпунову. ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 3 105 К. В. Аврамов, О. В. Генделъман 1. Каудерер Г. Нелинейная механика. - М.: Изд-во иностр. лит., 1961. - 735 с. 2. Avramov K. V. and Mikhlin Yu. V. Damping of free elastic vibrations in linear systems // Int. Appl. Mech. - 2005. - No. 2. - P. 203 - 209. 3. Avramov K. V. and Mikhlin Yu. V. Snap-through truss as an absorber of forced oscillations // J. Sound Vibration. - 2006. - No. 29. - P. 705 - 722. 4. Михлин Ю. В., Решетникова С. Н. Анализ динамического поведения двухмассовой системы при существенно нелинейном виброгашении // Прикл. механика. - 2005. - № 1. - С. 102 - 111. 5. Mikhlin Yu. V. and Reshetnikova S. N. Dynamical interaction of an elastic system and essentially nonlinear absorber // J. Sound Vibration. - 2005. - No. 283. - C. 91 -120. 6. Nissen J. C , Popp K , and Schmalhorst R. Optimization of a non-linear vibration absorber // Ibid. - 1985. - No. 99. - P. 149 - 154. 7. Semecigil S. E , Lammers D , and Ying Z. A new tuned vibration absorber for wide-band excitations // Ibid. - 1992. - No. 156. - P. 445 - 459. 8. Natsiavas S . Steady state oscillations and stability of non-linear dynamic vibration absorbers // Ibid. - P. 227 - 245. 9. Gendelman O. V. Bifurcations of nonlinear normal modes of linear oscillator with strongly nonlinear damped attachment // Nonlinear Dynamics. - 2004. - No. 37. - P. 115 - 128. 10. Gendelman O. V., Gourdon E., and Lamarque C. H. Quasiperiodic energy pumping in coupled oscillators under periodic forcing // J. Sound Vibrations. - 2006. - No. 294. - P. 651 - 662. 11. Rauscher M . Steady oscillations of system with nonlinear and unsymmetrical elasticity // J. Appl. Mech. - 1938. - 5, A-169. 12. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. - М.: Изд-во иностр. лит., 1952. - 259 с. 13. Маневич Л. И., Михлин Ю. В., Пилипчук В. Н. Метод нормальных колебаний для существенно нелинейных систем. - М.: Наука, 1989. - 280 с. 14. Avramov K. V. Bifurcations at combination resonance and quasiperiodic vibration of flexible beams // Int. Appl. Mech. - 2003. - No. 8. - P. 976 - 982. 15. Nayfeh A. H. and M ook D. T. Nonlinear Oscillations. - New York: John Wiley and Sons, 1979. - 880 p. 16. Гукенхеймер Дж ., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические сис темы и бифуркации векторных полей. - М.: Ин-т компьютерных иссле дований, 2002. - 450 с. Поступила 10. 04. 2007 106 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 3

Вынужденные колебания балки с существенно нелинейным гасителем

Репозитарії

Схожі ресурси