Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала
С использованием кинематической модели Прагера получены обобщенные дифференциальные уравнения пластического течения для материала с нелинейным упрочнением. Приведен пример численного анализа изменения напряжений при упругопластическом деформировании тонкостенного цилиндра из конструкционной угл...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48391 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала / И.В. Хромов // Проблемы прочности. — 2009. — № 3. — С. 58-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-48391 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-483912013-08-19T13:44:00Z Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала Хромов, И.В. Научно-технический раздел С использованием кинематической модели Прагера получены обобщенные дифференциальные уравнения пластического течения для материала с нелинейным упрочнением. Приведен пример численного анализа изменения напряжений при упругопластическом деформировании тонкостенного цилиндра из конструкционной углеродистой стали для различных моделей упругопластического материала. Із використанням кінематичної моделі Прагера отримано узагальнені диференціальні рівняння пластичної течії для матеріалу з нелінійним зміцненням. Наведено приклад числового аналізу зміни напруг за пружно-пластичного деформування тонкостінного циліндра з конструкційної вуглецевої сталі для різних моделей пружно-пластичного матеріалу. Using the Prager kinematic model, we have derived the unified plastic flow differential equations for materials with nonlinear hardening behavior. As an example, we provide the results of stress variation numerical analysis for a thin-walled carbon steel cylinder subjected to elastoplastic deformation, using various models of elastoplastic material. 2009 Article Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала / И.В. Хромов // Проблемы прочности. — 2009. — № 3. — С. 58-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48391 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Хромов, И.В. Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала Проблемы прочности |
| description |
С использованием кинематической модели Прагера получены обобщенные дифференциальные уравнения пластического течения для материала с нелинейным упрочнением. Приведен пример численного анализа изменения напряжений при упругопластическом деформировании тонкостенного цилиндра из конструкционной углеродистой стали для различных моделей упругопластического материала. |
| format |
Article |
| author |
Хромов, И.В. |
| author_facet |
Хромов, И.В. |
| author_sort |
Хромов, И.В. |
| title |
Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала |
| title_short |
Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала |
| title_full |
Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала |
| title_fullStr |
Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала |
| title_full_unstemmed |
Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала |
| title_sort |
анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48391 |
| citation_txt |
Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра
при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала / И.В. Хромов // Проблемы прочности. — 2009. — № 3. — С. 58-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT hromoviv analiznaprâžennogosostoâniâkruglogotonkostennogocilindraprisložnomnagruženiiinelinejnomupročneniimateriala |
| first_indexed |
2025-07-04T08:49:05Z |
| last_indexed |
2025-07-04T08:49:05Z |
| _version_ |
1836705588086571008 |
| fulltext |
УДК 539.3
Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра
при сложном нагружении и нелинейном упрочнении материала
И. В. Хромов
Севастопольский национальный технический университет, Севастополь, Украина
С и с п о л ь з о в а н и е м к и н е м а т и ч е с к о й м о д е л и П р а г е р а п о л у ч е н ы о б о б щ е н н ы е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е
у р а в н е н и я п л а с т и ч е с к о г о т е ч е н и я д л я м а т е р и а л а с н е л и н е й н ы м у п р о ч н е н и е м . П р и в е д е н п р и
м е р ч и с л е н н о г о а н а л и з а и з м е н е н и я н а п р я ж е н и й п р и у п р у г о п л а с т и ч е с к о м д е ф о р м и р о в а н и и
т о н к о с т е н н о г о ц и л и н д р а и з к о н с т р у к ц и о н н о й у г л е р о д и с т о й с т а л и д л я р а з л и ч н ы х м о д е л е й
у п р у г о п л а с т и ч е с к о г о м а т е р и а л а .
Ключевые слова : плоское напряженное состояние, кинематическая модель
упругопластических деформаций, уравнения пластического течения, нелиней
ное упрочнение.
Введение. Задача о сложном нагружении круглого тонкостенного ци
линдра является одним из примеров, используемых для сравнения различных
вариантов математической модели упругопластического материала. При воз
действии продольной силы Р и крутящего момента М материал круглого
цилиндра находится в условиях однородного плоского напряженного состоя
ния с компонентами напряжений о, г и деформаций е, у (рис. 1,а). Для
пластической стадии нагружения различают линейную и нелинейную, в том
числе ломаную, траектории деформирования. В первом случае деформации
материала возрастают пропорционально одному параметру (у/е = const, на
рис. 1,б луч OO\). Всякий другой путь является кусочно-нелинейным (на
рис. 1,б линии OAB, OC).
Рис. 1. Растяжение и кручение тонкостенного цилиндра: а - схема нагружения; б - траектории
деформирования материала.
При линейной траектории деформирования, как известно [1-4], доста
точно использовать деформационную теорию пластичности. Тогда в рассмат
риваемой задаче для идеального материала без упрочнения можно получить
следующие конечные соотношения (уравнения Генки):
© и . В. ХРОМОВ, 2009
58 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 3
Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра
О =
0\
1 +
Г =
О
1+
(1)
где b = у /е = const; а т - предел текучести, причем напряжения удовлетво
ряют условию текучести Мизеса а + 3т = а т .
Известно, что для процессов с нелинейной траекторией деформирования
применение деформационной теории может приводить к неудовлетворитель
ным результатам. При решении таких задач более эффективно использовать
теорию пластического течения [1-4]. Уравнения пластического течения явля
ются дифференциальными зависимостями, которые в общем случае не могут
быть приведены к конечным аналитическим формулам, т.е. напряжения в
конечном состоянии существенно зависят от всей “истории” деформирова
ния. Применительно к данной задаче в литературных источниках представ
лены два варианта уравнений пластического течения:
уравнения Прандтля-Рейса [1 ,3 ] для идеального несжимаемого матери
ала без упрочнения (на рис. Т диаграмма растяжения 1):
do = E
\
_ о ! '
1 О т /
ОГ
de — E —^ d y ,
о ̂
E
dr = —
3
—
3Г
О
ОГ
dy — E —т- de,
о т (2)
где Е - модуль упругости материала,
а, МПа
2000
1600
1200
..........
3
\
' 2
V
Î
800
«о
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
Рис. 2. Расчетные диаграммы растяжения холоднотянутой канатной проволоки (конструк
ционная углеродистая сталь) для различных вариантов модели упрочнения: 1 - без упрочне
ния; 2, 3 - соответственно линейное и нелинейное упрочнение.
и для идеального материала с линейным упрочнением [5] (на рис. 2 диаграм
ма растяжения 2):
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 3 59
b
3
т тb b
3 3
И. В. Хромое
do = Е
/ o 2 '
1 - К ~ т
От ,
ОТ
de — Е К ^ т d y ,
о т
E
dx = —
3
/
1 — К
\ o
ОТ
dy — ЕК — de , (3)
т I О
где K - функция, зависящая от коэффициента упрочнения материала Я =
1- Я
= const, K = -----------2 ; Ч - параметр, характеризующий предыдущую пласти-
(1 - Я Ч)
ческую деформацию материала.
Действительная диаграмма растяжения пластичных материалов за преде
лами упругого нагружения, в том числе конструкционной углеродистой стали
(на рис. 2 диаграмма 3), имеет явно выраженный нелинейный характер.
Поэтому расчеты напряженного состояния на основе уравнений (2), (3) могут
иметь погрешность, недопустимую для определенного класса задач техноло
гической механики.
Цель настоящей работы - теоретический анализ и численное решение
задачи о сложном нагружении тонкостенного круглого цилиндра с учетом
нелинейного характера упрочнения пластичного материала.
Методика анализа. Для наглядного представления изменения напряже
ний и вывода обобщенных уравнений используем традиционную геометри
ческую интерпретацию условия текучести в виде поверхности нагружения
(поверхности текучести). Поверхность нагружения в пространстве напря
жений о у разделяет в данном состоянии материала области упругих и
пластических деформаций (рис. 3). Начало координат O соответствует нуле
вым напряжениям. Догружение приводит либо к упругой деформации, если
вектор do у направлен внутрь поверхности или по касательной к поверх
ности, либо к пластической, если вектор do у направлен наружу. При нали
чии упрочнения материала поверхность нагружения может смещаться отно
сительно точки O и изменять свою форму (кинематическая модель Прагера)
[1, 5].
Рис. 3. Поверхность нагружения и кинематическая модель упругопластических деформаций.
Трансформация поверхности нагружения, т.е. связь между напряжениями
и деформациями, зависит от принятой модели упругопластического мате
риала. Далее используем гипотезу изотропного упрочнения, когда поверх
ность нагружения расширяется изотропно.
60 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 3
Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра ...
У равнения пластического течения для м атериала с нелинейным
упрочнением. Следуя указанной выше методике, рассмотрим вывод уравне
ний, описывающих связь между напряжениями и деформациями материала в
малой окрестности произвольной точки поперечного сечения тонкостенной
трубы. Для упрощения дальнейших преобразований используем:
безразмерные нормальное ~ = — и касательное ~ = — напряжения; (4)
о т г т 4 ’
приведенные деформации удлинения ~ = — и сдвига ~ = -У -, (5)
£ т У т
где £ т = о т / Е , у т = г т/ Є - деформации удлинения и сдвига, соответству
ющие пределам текучести материала.
Согласно модели Прагера, введем неподвижную ~ и подвижную ~
системы координат (рис. 4). Поверхность нагружения (окружность) соедине
на в точке О (рис. 4) с подвижной системой и описывается уравнением
(условие текучести)
где р = р (^ п) - переменный радиус окружности, зависящий от нормальной
составляющей полной деформации ^ п.
Рис. 4. Кинематическая модель пластического течения материала при совместном растяжении
и сдвиге.
(6)
т
п
0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 3 61
И. В. Хромое
Пусть в некоторый момент времени напряженное состояние опреде
ляется вектором ф с компонентами ~, которые удовлетворяют условию
пластичности (6). Зададим бесконечно малый вектор приведенной деформа
ции Зг] с компонентами М , dy. Вектор можно представить в виде суммы
= dе е + d ер . Из рис. 4 видно, что пластическая составляющая вектора
деформации dе р вызывает перемещение подвижной системы координат и
поверхности текучести в пространстве деформаций ~, а упругая состав
ляющая dе е - изменение вектора напряжений согласно закону Гука:
dp = dq e = dq — dq p . (7)
При этом изменение вектора напряжений происходит вследствие нейт
рального смещения по касательной к поверхности нагружения (поворот век
тора напряжений р) и расширения поверхности (изменение модуля вектора
напряжений dp = d<p n). Для учета нелинейного характера упрочнения (рас
ширения поверхности) введем понятие мгновенного коэффициента упроч
нения
U ч _ dP n _ dP _
q n dq n dq n ’
характеризующего интенсивность изменения радиуса поверхности текучести
ф(г п ).
Если функция (8) известна, то приращение пластической составляющей
вектора деформаций, как следует из рис. 4, определяется по формуле
^ р = ^ п - # п = ^ п - ^ (г п ) ̂ п = ( 1 - ^ (г п )) ^ п . (9)
Нормальную составляющую вектора приращения деформаций выразим
через нормальный единичный вектор и скалярное произведение векторов п и
dг (рис. 4):
dе п = (п • dГ) п = |Ф dГ — = —2 (<Ф ' dГ) Ф-
\Ф )Ф ф
Тогда равенство (9) с учетом (8) преобразуется к виду
dq p = | 1-
dp
dq n / p
- \ ( p • d q )p = К (q n ) (p • dq )p , (10)
где К (г п) - функция, учитывающая нелинейный характер упрочнения мате
риала,
К (q n ) = |1 —
dp
dq
1
n p ( q n )2
( ї ї )
Подставив (10) в (7), получим искомое соотношение между приращени
ями напряжений и деформаций в векторном виде:
62 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 3
Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра
dp = d q - К (j п ) (p - dj ) p . (12)
Спроектировав обе части этого равенства на оси координат (рис. 4),
получим безразмерные скалярные уравнения:
do = (1- K ( j п) 5 ) d° - K ( j п) o r dy;
d r = - 5 ° d ° + (1- К ( j n) ° 2 ) d y .
(13)
С учетом обозначений (4), (5) последние уравнения окончательно запи
шем в размерном виде:
/
do = E 1- К (j п )-
о
\ о
or
de - EK (j n) —2 dy;
т I
(14)
or E / 3 r2 ^
dr = -E K ( jn ^ * + — 1 - K ( j n ) _ 2о 2 3 \ о 2\
dy. (15)
Рассмотрим отмеченные выше два примера. Если в (11) принять Я =
d<p
= —— = 0 и p ( j ) = 1 (упрочнение отсутствует), то (13) преобразуются в
dj n
dcp
уравнения (2). При линейном упрочнении имеем Я = ----- = const, p ( j n ) =
dj n
= 1 + l j n. Тогда из (13) следуют уравнения (3). Таким образом, уравнения
пластического течения (13) с учетом (11) являются естественным обобще
нием известных уравнений для материала с произвольной функцией изотроп
ного упрочнения.
Численны й пример анализа напряженного состояния стального ци
линдра. Рассмотрим тонкостенный цилиндр из конструкционной углеродис
той стали. Предположим, что свойства стали моделируются с помощью
диаграмм растяжения, приведенных на рис. 2. Для аналитического описания
этих диаграмм использовали три варианта аппроксимирующих функций [6]:
для диаграммы 1: о = i f ( е < е т1, Ee, о т1), где о т1 =1608 МПа, Е =
= 2-105 МПа, Я = 0;
для диаграммы 2: о = i f (е < е т2, E e, о т2 + ЯE(е - е т2)), где о т2 =
= 1406 МПа, Я = 0Д;
для диаграммы 3: о = i f (е < е т3, Ee, о т3 + о 0(1 - а у(е-ет3))), где о т3 =
= 1009 МПа, о 0 = 723 МПа, а = 0,376, у = 213.
Пусть деформирование цилиндра происходит в два этапа (по аналогии с
нелинейной траекторией OAB на рис. 1,б): чистое растяжение до величины
относительного удлинения е 1 = 0,005 (е1 = е т3 для диаграммы 3, рис. 2) и
чистый сдвиг до деформации у 2 = 0,035. На первом этапе деформирования
материал цилиндра находится в упругом состоянии, и напряжения опреде
ляются согласно закону Гука. На втором этапе, в зависимости от принятой
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 3 63
И. В. Хромое
расчетной модели, материал может переходить из упругого состояния в
пластическое. Поэтому для расчета напряжений использовали дифференци
альные уравнения пластического течения (2), (3) и (14). Численное интегри
рование и графическую обработку результатов выполняли с помощью ком
пьютерных технологий. Расчетные зависимости нормальных и касательных
напряжений от деформации сдвига на втором этапе нагружения цилиндра
приведены на рис. 5.
а, МПа
1200
1000
800
600
«0
200
3 - 2
0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035
г , МПа
1000
800
600
400
200
!
3
X ...
1
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 у
б
Рис. 5. Расчетные зависимости изменения нормальных (а) и касательных (б) напряжений в
процессе упругопластической деформации сдвига при различных вариантах модели упроч
нения: 1 - без упрочнения; 2, 3 - соответственно линейное и нелинейное упрочнение.
а
Заклю чение. Результаты расчетов в переходной упругопластической
области, полученные на основе нелинейной модели упрочнения и обобщен
ных уравнений пластического течения, могут на 5...20% отличаться от дан
ных аналогичных расчетов с использованием упрощенных кусочно-линейных
диаграмм растяжения и соответствующих им уравнений течения. Таким
64 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 3
Анализ напряженного состояния круглого тонкостенного цилиндра
образом, применение нелинейной модели упрочнения при моделировании
сложного нагружения позволяет существенно уточнить результаты численно
го анализа напряженного состояния материала в упругопластической
области.
Р е з ю м е
Із використанням кінематичної моделі Прагера отримано узагальнені дифе
ренціальні рівняння пластичної течії для матеріалу з нелінійним зміцненням.
Наведено приклад числового аналізу зміни напруг за пружно-пластичного
деформування тонкостінного циліндра з конструкційної вуглецевої сталі для
різних моделей пружно-пластичного матеріалу.
1. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 420 с.
2. Соколовский В. В. Теория пластичности. - М.: Высш. шк., 1969. - 608 с.
3. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Т. 1. -
М.: Наука, 1975. - 832 с.
4. Reckling K. A. Plastizitätstheorie und ihre Anwendung auf Festigkeitsprobleme.
- Berlin: Springer-Verlag, 1967. - 361 s.
5. Хромов В. Г. Механика процесса холодной упругопластической дефор
мации стержня: Учеб. пособие. - Киев: УМК ВО, 1990. - 50 с.
6. Хромов В. Г., Хромов И. В. Выбор аппроксимирующей функции для
диаграммы растяжения материала в задачах технологической механики
стержня // Вестн. СевГТУ. Механика, энергетика, экология. - 2007. -
Вып. 80. - С. 20 - 22.
Поступила 08. 01. 2008
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 3 65
|