Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации
В рамках теории бесконечно малых деформаций разработан метод специализации построенных ранее автором физических уравнений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n для конечных деформаций. С использованием метода получен ряд определяющих соотношений в...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2009
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48409 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2009. — № 4. — С. 29-47. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-48409 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-484092013-08-19T15:39:36Z Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации Лепихин, П.П. Научно-технический раздел В рамках теории бесконечно малых деформаций разработан метод специализации построенных ранее автором физических уравнений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n для конечных деформаций. С использованием метода получен ряд определяющих соотношений в виде иерархии по уровню сложности реакции материала на деформирование. При n = 1 установлены условия существования поверхности нагружения. У рамках теорії нескінченно малих деформацій розроблено метод спеціалізації побудованих раніше автором фізичних рівнянь ізотропних зміцнюваних пружно-пластичних матеріалів диференційного типу складності n для скінченних деформацій. Із використанням методу отримано ряд визначальних співвідношень у вигляді ієрархії за рівнем складності реакції матеріалу на деформування. При n = 1 установлено умови існування поверхні навантаження. Within the framework of the theory of infinitesimal strains, we have developed a method of specialization of the earlier constructed physical equations of isotropic strain-hardening elastoplastic materials of differential type of complexity n. The proposed method has been used for deriving a number of constitutive relations as a hierarchy by levels of complexity of the material response to deformation. For n = 1 we have specified the conditions of the loading surface existence. 2009 Article Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2009. — № 4. — С. 29-47. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48409 539.37 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Лепихин, П.П. Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации Проблемы прочности |
| description |
В рамках теории бесконечно малых деформаций разработан метод специализации построенных ранее автором физических уравнений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n для конечных деформаций. С использованием метода получен ряд определяющих соотношений в виде иерархии по уровню сложности реакции материала на деформирование. При n = 1 установлены условия существования поверхности нагружения. |
| format |
Article |
| author |
Лепихин, П.П. |
| author_facet |
Лепихин, П.П. |
| author_sort |
Лепихин, П.П. |
| title |
Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации |
| title_short |
Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации |
| title_full |
Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации |
| title_fullStr |
Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации |
| title_full_unstemmed |
Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации |
| title_sort |
построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа сложности n. сообщение 2. бесконечно малые деформации |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48409 |
| citation_txt |
Построение определяющих соотношений изотропных упрочняющихся
упругопластических материалов дифференциального типа
сложности n. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2009. — № 4. — С. 29-47. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT lepihinpp postroenieopredelâûŝihsootnošenijizotropnyhupročnâûŝihsâuprugoplastičeskihmaterialovdifferencialʹnogotipasložnostinsoobŝenie2beskonečnomalyedeformacii |
| first_indexed |
2025-07-04T08:50:37Z |
| last_indexed |
2025-07-04T08:50:37Z |
| _version_ |
1836705684960313344 |
| fulltext |
УДК 539.37
Построение определяющих соотношений изотропных упрочняю
щихся упругопластических материалов дифференциального типа
сложности п. Сообщение 2. Бесконечно малые деформации
П . П. Л епихин
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
В рамках теории бесконечно малых деформаций разработан метод специализации постро
енных ранее автором физических уравнений изотропных упрочняющихся упругопластических
материалов дифференциального типа сложности п для конечных деформаций. С исполь
зованием метода получен ряд определяющих соотношений в виде иерархии по уровню слож
ности реакции материала на деформирование. При п = 1 установлены условия существо
вания поверхности нагружения.
К л ю ч е в ы е с л о в а : определяющ ее соотнош ение, простой по Ноллу упрочня
ющийся упругопластический материал дифференциального типа сложности
п , бесконечно малые деформации, изотропия, поверхность нагружения.
Ранее [1] с использованием подходов рациональной механики контину
ума разработана математическая теория строгого построения и специали
зации общ их определяющих соотнош ений простых по Ноллу изотропных
упрочняющихся упругопластических материалов дифференциального типа
сложности п (аналоги твердых тел Ривлина-Эриксена сложности п) как
наиболее важных представителей материалов с инфинитезимальной памятью
формы траектории (памятью формы траектории на произвольно малом интер
вале прошлого). Деформации - конечные. П остроена иерархия определя
ющ их соотнош ений по уровню сложности реакции материала на деформи
рование.
В настоящей работе в рамках теории бесконечно малых деформаций
разработан метод специализации построенны х ранее [1] физических уравне
ний. С использованием метода получен ряд определяющих соотнош ений в
виде иерархии по уровню сложности реакции материала на деформирова
ние. При п = 1 установлены условия существования поверхности нагруже
ния.
П остроенные в [1] определяющие соотношения моделируют поведение
широкого класса простых по Ноллу упрочняющихся упругопластических
материалов с памятью формы траектории на произвольно малом интервале
прошлого. Эти соотнош ения являются весьма сложными. В ряде случаев они
могут быть упрощены посредством наложения ограничений на процесс д е
формирования и (или) свойства материала. В настоящей работе в качестве
ограничения на процесс деформирования примем условие малости переме
щений.
Построим, как и ранее [2], при заданном поле смещений и семейство
полей смещ ений ди и рассмотрим связанные с ним величины в пределе при
д ^ 0. Индекс д будем использовать для обозначения величин, определяемых
© П. П. ЛЕПИХИН, 2009
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 4 29
П. П. Лепихин
по полю ди. Например, для кинематических тензоров В - , Л у \ А (П
[1] получим
/ „ дЫ;
В и д —1д ;к + д ^ Х к )
ды -
д -к + 6 д Х к )
— д и +<5
( ды; ды -
+
хдХ д д Х ; )
+ 0( д 2 ); (1)
А ® - дЧ д
( д ¥ Р д -
1 +
\
дх - д х { (2)
А - ) - д-д
^ д г /г) д У } г) х
1 +
\
д х - д х ;
+ 0(д ), г — 2, п , (3)
где ы; — х ; — X ; - компоненты и; х ; и Х ; - координаты частицы тела в
системе отсчета в актуальной и отсчетной конфигурациях соответственно;
у / 1̂ , у / 2\ ..., У~/П) - “скорость”, “ускорение”, ..., ( п — 1)-е “ускорение” рас
сматриваемой частицы тела в системе х ; в “момент” £; £ - длина дуги
траектории тензора деформаций Грина второго типа; д - - компоненты
символа Кронекера, определяемые следующ им образом:
д — |1 , если I — У;
- [0, если у.
Далее для обозначения равенства с точностью до 0 (д 2 ) будем писать —.
Тогда имеем
' ды; д ы -
В у д - д У + д +
дХ - дХ (4)
А - — д- д дХ - дХ (5)
I
А ^ - д- д
д У ( г) дУУ
+
(г )
д Х - д Х
г — 2, п. (6)
Анализ выражений (4 )-(6 ) показал, что для заданного семейства полей
- * г> У(1) У(2) У(п)смещ ений ди кинематические тензоры В - , А - , А - ,..., А - при доста
точно малом д приближенно можно представить так:
30
В а д - д ч + 2 & « ; <7 )
0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 4
Построение определяющих соотношений изотропных
где
У , ) — \1у & ч -
Єу 2
\ ( д и ,• дм,
+
д Х , д Х і \ у 1
г = 1, п ,
1^дм,- д и ,
- +
2
(8)
(9)
~ (г ) — 1
£ ч — 2
I
д У - г ) д ¥ ]
+
(г)
\
д х , дх
а г е і,
1
(10)
е У (1) У (2)
е Ч , ІУ ’ е У -
А п) - тензоры бесконечно малой деформации, “скорости”,
“ускорения”, ..., ( п — 1)-го “ускорения” деформации, называемые далее кине
матическими тензорами бесконечно малых деф орм аций;--------- г-я производ-
ная по £ при X , постоянных.
Обозначим через р — (г)
Рі
Г(г)
1
троики ортонормированных векторов
главных направлений В у и Л - ( г = 1, п ) соответственно. В отсчетной
конфигурации, которая соответствует значению £ = 0 и в которой полагаем,
что среда находится в ненапряженном и недеформированном состоянии, по
— —(г) о " К — —(г) ложения р г- и р> не определены. В дальнейшем будем считать р г-, р> ,
~ ( г) —В у и Л У ( г = 1, п ) гладкими функциями £. Тогда аналогично работе [3]ч
(г)можно ввести тройки единичных векторов р г-, р / , которые определяются
— — (г) *как пределы р г-, р / при 0. Из вышеизложенного и соотнош ений (7 )-
(10) следует, что с точностью до 0 (6 2 ) главные оси того или иного тензора из
г, ~(1) ~(2) ~(п) ряда В у , Л у , Л у ,.. . , Л у совпадают с главными осями соответствующего
кинематического тензора бесконечно малых деформаций, а также что в
случае малости перемещ ений можно пренебречь отличием пространственных
координат от материальных и заменить Л величинами 2£у1'1 [4].
Теорию, в которой справедливы соотношения (7)—(10), а также принятые
— —(г) ~ (г) -----выше условия для р г-, р / , В у и Л у ( г = 1, п ) назовем теорией бесконечно
малых деформаций. Причем иногда для краткости эту теорию будем отож
дествлять с возможностью использования (7)-(10).
В рамках теории бесконечно малых деформаций уравнение (7) [1] запи
шем следующим образом [2]:
а — к ( е У(1) У (2) У(п))и тк ~ к тк Vе іу , с іу , с у , •••, с у ) . (11)
Здесь а тк - тензор напряжении Коши (в дальнейшем - просто тензор
напряжении); к тк - симметричная изотропная тензорная функция кинемати
ческих тензоров бесконечно малых деформации е у , ~ (1) у (2) Лп)
і ' У
Й Х # 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 4 31
У
П. П. Лепихин
Уравнение (11) назовем формальным приближением определяющ его
соотношения аналога твердого тела Ривлина-Эриксена сложности п. А нало
гично [1] матрицы тензоров о тк , е у , гё \ р , ..., г£ уП') обозначим так:
0 = [ о тк ] ; (12)
е = [£ у ]; ~т = [ ^ Г)], г = 1, п. (13)
(Здесь и далее будем рассматривать только симметричные тензоры второго
ранга в трехмерном физическом пространстве.)
Как и в [5], под произведением тензоров Ь и М следует понимать
композицию Ь М , матрица которой равна произведению матрицы тензора М
на матрицу тензора Ь. Скалярное произведение тензора аналогично [5] опре
делим следующ им образом:
ь - м = г т (ь м т ) = м - ь ,
где М т - транспонированный к М тензор.
Норма | Ь | тензора Ь определяется через скалярное произведение:
| Ь |= V ь - ь = л/гТьь^.
В компонентах запишем:
(Ь М ) у = [Пк м к ], ь - м = ь ) м { , ^ ^ . У к ■
В се последую щ ие результаты, как и ранее [1], получены для процессов
деформирования, т.е. в случае, когда тот или иной вид определяющего
соотношения и условия его построения справедливы в течение конечного
интервала изменения £.
Далее в качестве исходных примем уравнения [1]. Подставляя в эти
соотношения зависимости (7 )-(10 ), после преобразований получаем неко
торые формы специализации определяющих соотнош ений теории бесконечно
малых деформаций (формальные приближения определяющих соотношений).
А н ал ог твердого тела Р и в л и н а-Э р и к сен а слож ности 0. Приняв спра
ведливыми зависимости (7 )-(1 0 ), уравнение (14) [1] запишем так:
о = ] 11 + ] 2е + ] 3 е 2 , (14)
где I = || д у || - единичная матрица; ] { ( I = 1 , 3 ) с учетом ряда (15) [1]
определяются такими инвариантами:
32
гт е , гт е 2 , гт е 3 . (15)
0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 4
Построение определяющих соотношений изотропных
В соотнош ении (14) и далее вместо знака = будем писать = . При этом
учитываем, что уравнения теории бесконечно малых деформаций являются
аппроксимацией определяющих соотнош ений аналогов твердых тел Ривлина-
Эриксена различной сложности.
При принятых в теории бесконечно малых деформаций предположениях
уравнение (16) [1] можно представить в виде
0 = ^ 1 + ] 2£ (16)
где ] ,• ( I = 1, 2), принимая во внимание ряд (17) из [1], зависят от инвариантов
гг £ , К £ 2 .
А н ал ог твердого тела Р и в л и н а-Э р и к сен а слож ности 1. Для рассмат
риваемого тела форм-инвариант (19) [1] в рамках справедливости соотно
шений (7 )-(1 0 ) приводится к виду
О = ] 11 + ] 2 £ + ] 3 £ 1 + ] 4 £ 2 + ] 5 £ 12 + 7 ] 6 £ +
+ 7] 7 £ 2 * £ 1 + ] 8 £ * £ 12 + ] 9 £ 2 * £ 2 , (17)
где звездочка, как и ранее [1], здесь и далее служит символом симметри-
~ 1 ~ ~ —
рования, £ * £1 = ^ ( £ £ 1 + £1£ ); ] 1 ( I = 1 ,9) с учетом целого рационального
базиса (2 0 ) [1] зависят от инвариантов
2 3 ~ ~3 ~
гг £ , гг £ , гг £ , гг £1, гг £1 , г г £ 1 , гг ££1, гг £ £1, гг ££1 , гг £ £1 . (18)
При этом уравнение (22) [1] примет вид
0 = ] 11 + ] 2 £ + ] 3 £ 1 + ] 4 £ 2 + ] 5 £ * £ 1 + ] 6 £ 2 * £1, (19)
где ] I ( I = 1, 6 ) с учетом ряда (2 1 ) [1] зависят от инвариантов
2 3 ~ ~ 9~ ~9
гг £, гг £ , гг £ , гг £1, гг £ 1 , гг ££ 1, гг £ £1, гг ££1 , гг £ £1 . (2 0 )
Уравнение (24) [1] в рамках теории бесконечно малых деформаций
запишем так:
° = ] 1/ + ] 2£ + ] з ~£1 + ] 4 £ 2 , (2 1 )
где ] I ( I = 1, 4) с учетом ряда (23) [1] определяются инвариантами
2 3 2 2гг £, гг £ , гг £ , гг £1, гг £1 , гг ££ 1, гг £ £1. (2 2 )
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 4 33
П. П. Лепихин
Соотношение (26) с коэффициентами, определяемыми инвариантами (25)
[1], в рамках теории бесконечно малых деформаций преобразуется к виду (14)
с коэффициентами, зависящими от
2 3 ~ ~ 2~гг £, гг £ , гг £ , гг £ 1, гг ££1, гг £ £1. (23)
Тогда уравнение (29) [1] запишем следующ им образом:
а = г)11 + ] 2 £ + ] з « ь (24)
где ] I ( I = 1 , 3 ) с учетом ряда (28) [1] определяются инвариантами
2 3 2гг £, гг £ , гг £ , гг £ 1, гг £1 , гг ££1. (25)
А налог твердого тела Р и вли на-Э ри к сена сложности 2. Для рассматри
ваемого тела соотношение (34) [1] в рамках справедливости зависимостей (7 )-
(10) принимает вид
а = ] 1 1 + ] 2 £ + ] 3 £1 + ] 4 £ 2 , (26)
где ] I ( I = 1, 4) с учетом ряда (33) [1] зависят от инвариантов
2 3 2 2гг £, гг £ , гг £ , гг £1, гг £1 , гг ££ 1, гг ££2 , гг £ £1,
~ ~ ~ ~2
гг £1 £2 , гг £2 , гг £2 .
(27)
Как следует из [6], рассмотрением аналогов твердых тел Ривлина-Эрик
сена сложности 0, 1 и 2 можно ограничиться при построении наиболее
важных в приложениях определяющих соотнош ений простых по Ноллу изо
тропных упрочняющихся упругопластических твердых тел дифференциаль
ного типа. Для полноты анализа рассмотрим случай деформирования аналога
твердого тела Ривлина-Эриксена сложности п.
А н ал ог твердого тела Р и в л и н а-Э р и к сен а слож ности п. Ранее [1]
показано, что в рамках теории бесконечно малых деформаций форм-инва-
риант для тензора напряжений, зависящего от (п + 1)-го кинематического
тензора, включает I , £, £ 1, £ 2 , ..., £ п и другие тензоры, которые в силу
громоздкости не приводятся, а коэффициенты форм-инварианта определяют
ся, как следует из ряда (35) [1], следующ ими инвариантами:
2 3 2 2гг £, гг £ , гг £ , гг £г, гг ££г, гг £ £г, г г£ 1£г, гг ££1£г, гг £ £1£г,
гг £п , гг ££п, гг £ 1 £ п, гг £ 2£ п, гг £3£ п, гг £ 4 £п, 2 , г = 1, п — 1,
(28)
где - набор образованных из элементов (п + 1)-й кинематической матри
цы [1] в рамках теории бесконечно малых деформаций инвариантов, допол
няющих совокупность из (6п + 3)-х элементов (28) до полученных из целого
рационального базиса (35) инвариантов.
34 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 4
Построение определяющих соотношений изотропных
В рамках теории бесконечно малых деформаций уравнение (38) [1]
принимает вид
0 = 4 1 1 + 4 2« + 4 3 «1 + 4 4 «2 + 4 5 «3 + 4 6 «4 , (29)
где 4 ,• ( I = 1, 6 ) с учетом ряда (37) [1] зависят от инвариантов
2 3 2 2& £ , гг « , гг « , гг « г , гг « « г , гг « « г , гг «1« г , гг ««1 «г, гг « «1 « г ,
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ---------- (30)
гг « п , гг « « п , гг е ! е п, гг « 2 « п , гг « 3 «п , гг «4 «п, г = 1, п — 1.
Отметим, что соотношение (38) с коэффициентами, определяемыми инва
риантами (37) [1], справедливо для аналога твердого тела Ривлина-Эриксена
сложности п при выполнении в течение конечного интервала изменения £
(процессе деформирования) условия (36) [1] и отсутствии нулевых недиаго
нальных элементов А ( \ (Здесь и далее, как и в [1], черточка над тензором
или его компонентой обозначает их значение в главных осях Б у .)
В случае, когда в процессе деформирования выполняется условие (36) [1]
т ( 1)и один из недиагональных элементов Л у равен нулю, в рамках справедли
вости соотношений (7)—(10) опять приходим к уравнению (29) с коэффициен
тами, зависящими с учетом инвариантов (39) [1] от
2 3 2гг «, гг « , гг « , гг « г , гг « « г , гг « « г , гг «1 « г , гг ««1 « г ,
~ ~ ---------- (31)
гг « п , гг е е п , гг « 1 « п , гг « 2 « п, гг « 3 « п , г г « 4 « п , г = 1, п — 1.
Если для рассматриваемого тела в течение конечного интервала измене
ния £ тензор Б у обладает простым спектром, а Б у и Л у1 имеют одно и
только одно общ ее главное направление, то в рамках теории бесконечно
малых деформаций с учетом данных [1] приходим к уравнению (26) с
коэффициентами, определяемыми, как следует из ряда (40) [1], инвариантами
2 3 2гг «, гг « , гг « , гг « г , гг « « г , гг « «г , гг «1 « г ,
~ ~ --------- Г (32)
гг « п , гг « « п , гг «1 « п , гг «2 « п , г = 1, п — 1.
При п = 2 инварианты (32) и (27) совпадают.
Приняв во внимание данные [1], и, предположив в процессе деформи
рования простоту спектра тензора Б у , а также соосность Б у и Лу1̂ , в
рамках теории бесконечно малых деформаций приходим к уравнению (24) с
коэффициентами 4 , (г'= 1, 3), зависящими, как следует из (41) [1], от
2 3 ~ ~ ~ ~ -----гг «, гг « , гг « , гг « г , гг « « г , гг «1« г , г = 1, п. (3 3 )
При п = 1 инварианты (33) и (25) совпадают.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 4 35
П. П. Лепихин
Полагая тензоры В ^ и А ( 1 осесимметричными, т.е. имеющими равных
два и только два главных значения в течение конечного интервала изменения
£ , с учетом данных [1] в рамках теории бесконечно малых деформаций
получаем уравнение (16) с коэффициентами, определяемыми согласно (42)
[1] инвариантами
2 ~ ~ ----гг £, гг £ , & £ г , гг £ £ г , Г = 1, п. (34)
При п = 0 инварианты (34) приводятся к гг £ и гг £ .
При построении приведенных выше определяющих соотнош ений в рам
ках теории бесконечно малых деформаций принимаем, что все слагаемые в
уравнениях имеют одинаковый порядок малости.
Представленные выше определяющие соотношения получены при весьма
общ их предположениях о свойствах деформируемого тела, охватывают в
рамках теории бесконечно малых деформаций целые классы моделей прос
тых по Ноллу изотропных упрочняющихся упругопластических тел диффе
ренциального типа различной сложности и являются весьма сложными для
использования в приложениях. П оэтому выполним дальнейшее упрощ ение
определяющих соотношений.
П редп олож ен и е 1. Как и ранее [2], примем, что при построении опре
деляющих соотнош ений некоторого класса простых по Ноллу изотропных
упрочняющихся упругопластических тел дифференциального типа различ
ной сложности спецификой структуры тензорного пространства, связанной с
произведением тензоров, можно пренебречь.
Предположение 1, как следует из данных [7], позволяет исключить в
приведенных выше уравнениях все элементы, образованные посредством
умножения тензоров, т.е. оставить только “тензорно-линейные” слагаемые
(слагаемые в виде произведения некоторого скалярного коэффициента на ту
или иную матрицу из ряда I , £, ~ 1, ~ 2 , ..., ~ п) и инварианты в форме гг £,
гг ~1 , гг £ ~ 1 , гг £ I , I, к = 1, п.
В случае справедливости предположения 1 соотношения (14) и (16)
приводятся к форме (16) с зависящими от гг £ и гг £ коэффициентами.
Причем определяющ ее соотнош ение (16) становится тензорно-линейным для
всех процессов деформирования.
Поскольку уравнение (14) и инварианты (15) [1] представляют собой соот
ветственно форм-инвариант и функциональный базис, (16) с зависящими от
первых двух членов (15) коэффициентами описывает общий случай деформи
рования тела, подчиняющегося предположению 1 и уравнению (11) для п = 0.
При этом зависимости (17), (19), (21) и (24) не отличаются одна от
другой для сплош ной среды, подчиняющейся предположению 1 и формаль
ному приближению определяющего соотношения аналога твердого тела Рив-
лина-Эриксена сложности 1, а ее поведение в общ ем случае деформирования
описывается соотнош ением (24) с коэффициентами, определяемыми инвари
антами
~ 2 ~ ~ 2 гг £, гг £ 1, гг £ , гг ££1, гг £1 . (35)
36 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 4
Построение определяющих соотношений изотропных
В случае справедливости предположения 1 и уравнения (14) с завися
щими от ряда (23) коэффициентами приходим к соотнош ению (16) с коэф
фициентами, определяемыми первыми четырьмя инвариантами (35).
С математической точки зрения уравнения (26) и (29) [1] равноценны в
смысле строгости описания процесса деформирования аналога твердого тела
Ривлина-Эриксена сложности 1. С прикладной точки зрения предпочтение
отдавалось тензорно-линейному соотнош ению (29). П одобное заключение
относится, конечно, и к соответствующим формам записи (26) и (29) [1] в
виде (14) и (24) в рамках теории бесконечно малых деформаций. Однако
кроме отмеченного ранее [1] преимущества тензорно-линейного уравнения с
прикладной точки зрения при условии справедливости предположения 1
уравнение (24) приводится по сравнению с соотнош ением (14) к зависимости,
более полно описывающей особенности поведения тела. Действительно, из
(24) следует совпадающ ее с ним трехчленное соотнош ение, из (14) - двух
членное, включающее только два первых слагаемых (24). Причем коэффи
циенты последнего зависят лишь от первых четырех инвариантов ряда (35).
Выш еизложенное и анализ результатов [2] показывают, что при построе
нии определяющ их соотнош ений, подчиняющихся уравнению (11) и пред
положению 1 сплошных сред, в качестве исходных необходимо выбирать
формальные приближения тех или иных физических уравнений аналогов
твердых тел Ривлина-Эриксена различной сложности, правые части которых
содержат для данных набора тензор-аргументов и размерности пространства
напряжений максимально возможное число тензорно-линейных слагаемых,
включающих кроме члена с единичной матрицей члены с матрицами кине
матических тензоров бесконечно малых деформаций, расположенными в
порядке их следования в (13). Тогда физические уравнения наиболее полно
опишут особенности поведения тела и, как следует из [1], будут наиболее
пригодными для приложений. При этом в общ ем случае деформирования
достаточно рассмотреть только определяющ ее соотнош ение с числом слага
емых, равным размерности пространства напряжений. Далее физические
уравнения разрабатываются с соблюдением отмеченных правил их построе
ния.
С учетом вышеизложенного и данных [1] в общ ем случае деформи
рования тела, подчиняющегося предположению 1 и формальному приближе
нию физического уравнения аналога твердого тела Ривлина-Эриксена слож
ности 2, приходим к соотнош ению в форме (26) с коэффициентами, завися
щими, как следует из (27), от инвариантов
2 ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~2
гг £, гг £ , гг £1, гг £1 , гг ££1, гг ££2 , гг £1 £2 , гг £2 , гг £2 . (36)
Рассмотрим сплошную среду, подчиняющуюся предположению 1 и фор
мальному приближению определяющего соотношения аналога твердого тела
Ривлина-Эриксена сложности п.
В случае справедливости уравнения (29), выполнив аналогичный выше
изложенному анализ, получим, что это уравнение сохраняет свой вид, а его
коэффициенты определяются посредством инвариантов
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 4 37
П. П. Лепихин
гг £, гг £ 2, гг £ г, гг ££ г, гг £ ,£ г, гг £п, гг ££„, г г £1£ п,
~ ~ г ~ ~г „ Л п ,-------- л п (37)
гг £2 £п, гг £3 £п, гг £4 £п , г = 1, п — 1,
как для случая зависимости коэффициентов от ряда (30), так и (31).
Как показывает анализ, соотнош ение (29) с коэффициентами, опреде
ляемыми инвариантами (37), описывает общ ий случай деформирования тела,
подчиняющегося предположению 1 и уравнению (11).
При выполнении условий построения уравнения (26) с коэффициентами,
определяемыми инвариантами (32), приняв справедливым предположение 1,
приходим к сохранению формы последнего и зависимости коэффициентов от
гг £, гг £ 2, гг £ г, гг е ег, гг £ £ г, гг е п, гг е е п, гг £ £ п,
~ ~ ;-------- л (38)гг £2 £п, г = 1, п — 1.
При п = 2 ряд (38) приводится к инвариантам (36).
В случае справедливости уравнения (24) с коэффициентами, зависящими
от инвариантов (33), при выполнении предположения 1 получим сохранен
ную форму этого соотношения и зависимость его коэффициентов от
гг £, гг £ , гг £г, гг ££г, гг £1£г, г = 1, п. (39)
При п = 1 инварианты (35) и (39) совпадают.
Выполнив подобный вышеизложенному анализ для процессов деформи
рования, которые описываются соотнош ением (16) с определяемыми рядом
(34) коэффициентами, приходим к сохранению формы (16) и зависимости
коэффициентов от инвариантов (34). При п = 0 ряд (34) приводится к инва
риантам гг £, гг £ 2 .
П режде чем перейти к построению других форм специализации опре
деляющих соотношений, проанализируем некоторые особенности поведения
упругопластического материала при деформировании. Как следует из приня
того определения упругопластического материала [1], его ключевыми свойст
вами, в частности, являются возможность тем или иным способом разделить
деформацию на упругую и пластическую составляющие и наличие поверх
ности нагружения. Далее будем считать, что упругие компоненты деформа
ции подчиняются законам деформирования упругого тела.
Запишем определяющ ее соотнош ение упругопластического материала в
форме [8]
а = G (F * ), (40)
где F * - параметризованная посредством * история изменения градиента
деформации F (траектория деформирования).
Зафиксировав пластическую составляющую деформации, будем изменять
упругую. По определению для материалов с упругопластическим поведением
в этом случае имеет место пассивный (упругий) процесс деформирования на
38 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 4
Построение определяющих соотношений изотропных
поверхности нагружения и внутри нее. С помощью развитого в [9-11] спосо
ба разделения конечных упругих и пластических деформаций и принципа
независимости от системы отсчета [5] после преобразований получим
* _
а к = ~ (С е ), (41)
где С е - вычисленный относительно разгруженной конфигурации правый
*
тензор К ош и-Грина упругих деформаций; Я - тензор поворота главных
*
осей деформации в точке X разгруженной конфигурации к главным осям в
точке х актуальной конфигурации; ~ - тензорная функция тензорного
аргумента.
Уравнение (41) в общ ем случае включает зависимость упругих свойств
материала от истории изменения пластических деформаций.
Аналогично [9-11] можно показать, что для континуумов с зависящими
от истории изменения пластических деформаций и сохраняющими изотро
пию в процессе деформирования упругими свойствами уравнение (41) при
нимает вид
а = % (В е ), (42)
где % - изотропная тензорная функция тензорного аргумента; В е - левый
тензор Кош и-Грина упругих деформаций, В е = Я * С е ( Я т )*. Причем, как
показано в [9-11], в этом случае разгруженная конфигурация является неиска
женной, согласно терминологии [5], и свободной от напряжений.
В рамках теории бесконечно малых деформаций с учетом ненапряжен-
ности и неискаженности разгруженной конфигурации, а также допущ ения о
возможности линеаризации уравнения упругой связи соотнош ение (42) с
использованием подобного [5] подхода может быть с точностью до бесконеч
но малых второго порядка малости записано в матричном виде так:
а = № ( 1т е е )1 + 2^ Р £ е , (43)
где £ - матрица упругой составляющей тензора бесконечно малой дефор
мации; , /л^Р - зависящие от истории изменения пластической составля
ющей деформации коэффициенты, вычисленные относительно данной разгру
женной конфигурации и не изменяющиеся при фиксированном значении
пластической деформации, т.е. на поверхности нагружения и внутри нее. При
бесконечно малых деформациях не делают различия меж ду актуальной, раз
груженной и отсчетной конфигурациями и полагают первые две совпада
ющими с ненапряженной и недеформированной отсчетной конфигурацией.
В уравнении (43) и далее, как и ранее, в рамках теории бесконечно
малых деформаций знак = заменяем знаком = , учитывая приближенный
характер зависимостей такой теории.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N2 4 39
П. П. Лепихин
Для континуумов с независящими от истории изменения пластических
деформаций упругими свойствами уравнение (43) принимает вид
О = Я( гг £ е )1 + 2Ц£ е , (44)
где Я и л - постоянные Ламе, вычисленные относительно отсчетной кон
фигурации.
Аналогично [12] можно показать, что
^ РЕ £ Р
Я£ Р =
(1 + у £Р ) ( 1 - 2 г £Р )
; л £ Р = С £ Р =
Е £ Р
2(1 + г £Р)
(45)
где Е £ , у £ и С £ - коэффициенты, которые зависят от истории изменения
пластической деформации и не изменяются при постоянном ее значении.
Тогда уравнение (43) с учетом (45) может быть преобразовано следу
ющим образом:
о = 2 в £ £
Л Р
1 - 2г £ Р
(46)
а шаровые компоненты тензора напряжения с использованием уравнения (46)
определены так:
или
О ш = 3 О 01 = К £ 01
о 0 = 3К £ Р £ 0 ,
(47)
(48)
где О 0 , £ 0 - первые инварианты тензоров напряжений и упругих деформа
ций соответственно, О 0 = гг О, £ 0 = гг £ е;
К £Р = Я£Р + 2 л £Р -
3
(49)
модуль объемного сжатия, зависящий от истории изменения пластических
деформаций.
Тогда компоненты девиатора напряжения с учетом (43) и (47) могут быть
определены так:
1
(50)
где 5 и е е - матрицы девиаторов напряжений и бесконечно малых упругих
деформаций соответственно,
40 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 4
Построение определяющих соотношений изотропных
е е = £ е - 1 £ 01. (51)
В случае независимости упругих свойств материала от истории изме
нения пластической деформации уравнение (49) примет вид
р р 2
К р = К = к + - /л .
Разделим деформации на упругие и пластические составляющие. Тогда в
рамках теории бесконечно малых деформаций, как следует из [13], с точно
стью до бесконечно малых второго порядка малости в системе координат х *
можно записать
£ .. = £ е + £ р. '
'кк 'кк + £ (52)
е .. = е е + е Р
е Ч е Ч е У '
Здесь и далее индекс р обозначает пластическую составляющую деформации.
Формально можно предположить, что упругопластический материал в
разгруженном состоянии сжимаемый или несжимаемый.
В первом случае имеем
£ кк * 0 (53)
и £ кк согласно (52) включают в общ ем случае не равные нулю £ ̂ и £ Рр& .
Для несжимаемых в разгруженном состоянии упругопластических мате
риалов получим
£ кк = 0; £ кк = £ кк; £ кк = е кк' (54)
В последнем случае первый инвариант тензора деформации является упру
гим, а тензор пластических деформаций - девиатором.
Продолжим специализацию построенны х ранее определяющих соотно
шений. Рассмотрим уравнение (29) с зависящими от инвариантов (37) коэф
фициентами. Заменим о и каждую из матриц правой части (29):
1 1 ~ 1 ~ ( 1) ~
о = 3 о 01 + £ = 3 £ 01 + е; £ 1 = 3 £ 0 1 + е 1;
£ = 1 £ (2) I + е £ = 1 £ (п) I + е £2 3 £о 1 ' е2 , . . . , £п 3 £о 1 ' е п ,
1 1 ~ ( 1) 1 ~ ( 2) 1 ~ ( П) ~ ~ ~
где 3 £ о1 , 3 £0 '1 , 3 £о ' I , ..., 3 £0 ' I и е, е ь е 2 , ..., еп - шаровые и
девиаторные составляющие матриц кинематических тензоров бесконечно
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N2 4 41
П. П. Лепихин
х - ~(1) ~(1) . ~ ~(п) ~(п) . ~малых деформации; £ 0 = £ ц = & £, £ц = £ц = & £1, £ц £ II (г £ п -
первые инварианты кинематических тензоров бесконечно малых деформа
ции;
~ (1) 0 £ 0 ~ 0 е . ;£0 = ------—; е ' = — г , 1 = 1, п.
0 о ? 1 й£'
Выполнив преобразования, и, приравняв шаровые и девиаторные состав
ляющие правоИ и левоИ частеИ (29), получим
а 01 = %1/ + % 2 £ 01 + % 3~0(1) 1 + % 4~0(2) 1 + % 5~0(3) 1 + % б~04)1 , (55)
5 = %2е + %3~1 + %4~2 + %5~3 + %6~4 , (56)
где %' ( 1 = 1 , 6 ) зависят от инвариантов (37).
П редп олож ен и е 2. На основании данных [3, 14] полагаем, что девиатор
напряжении при упругопластическом деформировании не зависит от первых
инвариантов, а среднее напряжение - от девиаторных составляющих кине
матических тензоров бесконечно малых деформации. Это предположение для
рассматриваемого здесь случая малых средних деформации получило экспе
риментальное подтверждение в широком диапазоне изменения средних напря
жении [3].
С учетом предположения 2 соотношения (55) и (56) примут вид
а 01 = % 1/ + % 2 £ 01 + % 3£ 01) 1 + % 4 £ 02) 1 + % 5£ 03) 1 + % 6 £ 04) / ; (57)
5 =% 2 е +% 3 е 1 +% 4 е 2 +% 5 е 3 +% 6 e 4 , (58)
а их коэффициенты, принимая во внимание (37), зависят соответственно от
£ £ (1) £ (2) £ (п) и £ 0 , £ 0 , £ 0 , ... , £ 0 и
tr e , tree; r , tr e^e r , t r e e n , tr e l e n, tr e 2 e n, tr e 3 e n ,
. ~ 1-------- : (59)tr e 4 e n , r = 1, n — 1;
w ( i) d £ 0 ̂ d e . -
£ 0 = ^ r ~ i ; e i = i = 1, n; (60)
( О ^ ) 1 (О £и у
£ 0 и £ и - длины дуг траектории шарового тензора и девиатора бесконечно
малои деформации.
При записи коэффициентов уравнении (57), (58), подчиняющихся пред
положению 2, использовалось разложение кинематических тензоров беско
нечно малых деформации на шаровые и девиаторные составляющие.
42 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 4
Построение определяющих соотношений изотропных
Как следует из [2], физическое соотнош ение (58) с коэффициентами,
определяемыми инвариантами (59), допускает векторное представление, в
частности в пространстве Ильюшина [15-17]. Для ряда материалов возмож
ность такого представления обоснована экспериментально [16, 18-20].
П редполож ение 3. Полагаем, что предыстория изменения упругих состав
ляющих тензора деформации не влияет на напряжения в упругопластическом
материале.
Тогда уравнения (57) и (58) примут вид
О 01 = + ? 2 £ 01 + ?3 £ 1 + ?4 £ 0% 1 + ?5 £ 0% 1 + ?б £ 0% 1 , (61)
5 = П<2 е + ^ 3 е [ + ^ '4 в % +^ '5 е % +Ц'б е % , (62)
= е ■ 1 с \ - (1) - (2) - (п) , ,■ г \где (I = 1,6) зависят от £ 0 , £0 , £ 0 , ..., £0 ; ( 1 = 2 , 6 ) -
гг е , ?г е е 3 , гг е ( е %, гг ее п . гг е 1% е % = %2 е п
гг е % е %, г г е %е %, г = 1, п — 1;
(63)
;(!) - % $ е
I = 1, п;0
£ 0 и £ % - длины дуг траекторий шарового тензора и девиатора бесконечно
малой пластической деформации соответственно.
Под предысторией изменения упругих составляющих тензора деформа
ции следует понимать всю историю изменения упругой составляющей тензо
ра деформации, за исключением ее значения в конце процесса деформиро
вания.
П редполож ение 4. Полагаем упругопластический материал несжимаемым
в разгруженном состоянии (пластически несжимаемым). Такое предположе
ние экспериментально обосновано для целого ряда материалов [4, 21 -23 ].
При условии справедливости предположения 4 выполняются соотнош е
ния (54), уравнение (62) не изменится, а зависимость (61), с учетом данных
[24], с точностью до 0( 6 ) запишем так:
О 0 = 3К£ 0 . (64)
В (64) модуль объемного сжатия не зависит от истории изменения
пластических деформаций. Это следует из того, что при активном деформи
ровании среднее напряжение согласно предположению 2, как следует из (57),
зависит только от истории изменения шарового тензора бесконечно малой
деформации, включающего упругую и пластическую составляющие. Тогда
для материала, подчиняющегося предположению 3, среднее напряжение зави-
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 4 43
П. П. Лепихин
сит только от шарового тензора бесконечно малой деформации в конце
процесса деформирования и предыстории изменения его пластической состав
ляющей. При выполнении предположения 4 среднее напряжение зависит
только от упругой составляющей шарового тензора бесконечно малой дефор
мации в конце процесса деформирования и не зависит от истории изменения
пластической деформации. С учетом вышеизложенного получим
К *Р = К . (65)
Далее ограничимся рассмотрением аналога твердого тела Ривлина-Эрик-
сена сложности 1, для которого уравнение (62) примет вид
5 = ] 2 е + ] 3 е [ , (66)
где и ] 3 , как следует из (63), зависят от инвариантов
гг е 2, гг е е ( . (67)
При записи (67) принято во внимание условие
гг ( е р ) 2 = 1. (68)
Разложим в (66) и (67) девиатор деформации на упругую и пластическую
составляющие и выразим на основе закона Гука девиатор упругой составля
ющ ей деформации через девиатор напряжений. Затем, решив полученное
алгебраическое уравнение относительно девиатора напряжений, из (66) полу
чим
5 = I ( е Р , е 1Р X (69)
где вид и свойства тензорной функции I зависят от и ]3 (66).
Приведенные выше определяющие соотношения упругопластического
материала построены отдельно для активного и пассивного участков деф ор
мирования, что обусловлено различной реакций материала на этих участках.
Построенных определяющих соотношений не всегда достаточно для описания
произвольных процессов деформирования упругопластического материала. В
ряде случаев их необходимо дополнить условием текучести (поверхностью
нагружения) и законом течения. Возможность введения поверхности нагру
жения, как отмечалось ранее [1], следует из ключевых свойств упругопласти
ческого материала как материала с поверхностью нагружения. Для активных
процессов деформирования нет необходимости вводить поверхность нагру
жения. Это связано с тем, что в активных процессах деформирования напря
жения в упругопластическом материале в каждой точке траектории деф ор
мации соответствуют точке нагружения - точке, которая принадлежит по
верхности нагружения.
44 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, N 4
Построение определяющих соотношений изотропных
Далее ограничимся анализом физического уравнения (69).
Рассмотрим пятимерное девиаторное пространство напряжений. Распи
сав (69) покомпонентно, получим пять линейно независимых уравнений:
= f іу ( е к1; е 1тп (70)
Поскольку траекторию пластической деформации полагают заданной
вплоть до заданного £ р в конце процесса деформирования, все е р при
фиксированном значении £ р в правых частях (70) являются известными. В
левосторонней окрестности ( £ р — 0) конца рассматриваемой траектории
известны также все Є[тп ■ Таким образом, с помощью (70) получим вполне
определенную изображающ ую точку в девиаторном пространстве, соответст
вующую девиатору напряжений при заданном значении £ р .
Предположим, что дальнейший путь деформирования в правосторонней
окрестности ( £ р + 0) конца траектории пластической деформации не извес
тен. Тогда в правой части (70) имеем е рі - фиксированные параметры
(константы) и Єртп - произвольные или независимые параметры, причем
из-за условия нормировки (68) число независимых параметров равно четы
рем, т.е. на единицу меньше размерности рассматриваемого девиаторного
пространства напряжений. Таким образом, согласно [25] (70) представляют
собой уравнения параметрически заданной поверхности нагружения в девиа
торном пространстве напряжений для текущей изображающ ей точки £ р . В
общем случае на активном участке деформирования поверхность нагружения
для данного упрочняющ егося упругопластического материала будет изме
няться вместе с изменением £ р , на пассивном - оставаться неизменной.
Для более детального анализа свойств поверхности нагружения (замкну
тость, выпуклость, гладкость, выполнение или нарушение ассоциированного
закона течения и т.д.) необходима в большей или меньшей мере специали
зация функции f ij (70), что связано с заданием функций ^2 и (66).
Автор признателен В. А. Ромащенко за анализ уравнения (69).
Р е з ю м е
У рамках теорії нескінченно малих деформацій розроблено метод спеціалі
зації побудованих раніше автором фізичних рівнянь ізотропних зміцнюваних
пружно-пластичних матеріалів диференційного типу складності п для скін
ченних деформацій. Із використанням методу отримано ряд визначальних спів
відношень у вигляді ієрархії за рівнем складності реакції матеріалу на дефор
мування. При п = 1 установлено умови існування поверхні навантаження.
1. Л епихин П. П . П остроение определяющих соотнош ений изотропных
упрочняющ ихся упругопластических материалов дифференциального
типа. Сообщ. 1. Конечные деформации // Пробл. прочности. - 2009. - № 2.
- С. 27 - 42.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2009, № 4 45
П. П. Лепихин
2. Л епихин П. П . Структура определяющих соотношений вязкоупруговязко
пластического состояния материалов: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат.
наук. - Киев, 1997. - 32 с.
3. П о зд ее в А. А ., Т русов П. В., Н яш ин Ю . И . Большие упругопластические
деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.
4. К о л а р о в Д ., Б алт ов А., Б о т е в а Н . Механика пластических сред. - М.:
Мир, 1979. - 302 с.
5. T ru esde ll C. a n d N o ll W. The Non-Linear Field Theories o f M echanics. -
Berlin: Springer, 1992.
6. Ф рейдент алъ А., Г ей рин гер X . Математическая теория неупругой сплош
ной среды. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. - 432 с.
7. Н овож и лов В. В. О формах связи м еж ду напряжениями и деформациями
в первоначально изотропных неупругих телах (геометрическая сторона
вопроса) // Прикл. математика и механика. - 1963. - 27, вып. 5. - С. 794 -
812.
8. Л епихин П. П . Моделирование пропорционального деформирования прос
тых по Ноллу континуумов с упругопластическим поведением. Сообщ. 1.
Построение определяющих соотнош ений // Пробл. прочности. - 1998. -
№ 5. - С. 59 - 70.
9. L u cch esi M . a n d P o d io -G u id u g li P . Materials with elastic range: A theory
with a v iew toward applications. Pt. 1 // Arch. Rat. Mech. Analysis. - 1988. -
102. - P. 23 - 43.
10. L u cch esi M . a n d P o d io -G u id u g li P . Materials with elastic range: A theory
with a v iew toward applications. Pt. 2 // Ibid. - 1990. - 110. - P. 9 - 42.
11. L u cch esi M ., O w en D . R , a n d P o d io -G u id u g li P . Materials w ith elastic range:
A theory with a v iew toward applications. Pt. 3. Approximate constitutive
relations // Ibid. - 1992. - 117. - P. 53 - 96.
12. Б лох В. И . Теория упругости. - Харьков: И зд-во Харьк. ун-та, 1964. -
483 с.
13. C a sey J. Approximate kinematical relation in plasticity // Int. J. Solids Struct.
- 1985. - 21, N o. 7. - P. 671 - 682.
14. И лъюш ин А. А ., Л енски й В. С. О соотнош ениях и методах современной
теории пластичности // У спехи механики деформируемых сред. - М.:
Наука, 1975. - С. 240 - 255.
15. И лъюш ин А. А . Об основах общ ей теории пластичности // Вопр. теории
пластичности. - М.: И зд-во А Н СССР, 1961. - С. 3 - 29.
16. И лъюш ин А. А . Пластичность. Основы общ ей математической теории. -
М.: Изд-во А Н СССР, 1963. - 272 с.
17. И лъюш ин А. А . О связи м еж ду напряжениями и деформациями в меха
нике сплошных сред // Прикл. математика и механика. - 1954. - 18, № 6.
- С. 641 - 666.
18. Ш евченко Ю . Н ., Б абеш ко М . Е , Т ерехов Р. Г . Термовязкоупругоплас
тические процессы сложного деформирования элементов конструкций. -
Киев: Наук. думка, 1992. - 328 с.
46 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, N 4
Построение определяющих соотношений изотропных
19. Л ен ски й В. С. Экспериментальная проверка основных постулатов общей
теории упругопластических деформаций // Вопр. теории пластичности. -
М.: Изд-во А Н СССР, 1961. - С. 58 - 82.
20. O hashy Y. Effects o f complicated deformation history on inelastic deformation
behavior o f m etels // M em oirs o f the Faculty o f Engineering N agoya
University. - 1982. - 34, N o. 1. - P. 1 - 7 6 .
21. Олъш ак В ., М р у з 3 ., П еж и н а П . Современное состояние теории плас
тичности. - М.: Мир, 1964. - 243 с.
22. М алинин Н. Н . Прикладная теория пластичности. - М.: М ашиностроение,
1975. - 400 с.
23. Хилл Р . Математическая теория пластичности. - М.: Гос. изд-во техн.-
теорет. лит., 1956. - 407 с.
24. Трусделл C. Первоначальный курс рациональной механики сплошных
сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.
25. С м ирнов В. И. Курс высшей математики. - М.: Наука, 1974. - Т. 2. - 656 с.
Поступила 01. 02. 2008
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2009, № 4 47
|