Гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками
Исследуется стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубке с недеформируемыми пористыми стенками в применении к течению растительного сока по проводящей системе листьев растений. По мере движения жидкость фильтруется через стенку в окружающую среду, в которой поддерживаетс...
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2003
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4850 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками / Н.Н. Кизилова // Прикладна гідромеханіка. — 2003. — Т. 5, № 1. — С. 28-35. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4850 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-48502009-12-28T12:00:49Z Гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками Кизилова, Н.Н. Исследуется стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубке с недеформируемыми пористыми стенками в применении к течению растительного сока по проводящей системе листьев растений. По мере движения жидкость фильтруется через стенку в окружающую среду, в которой поддерживается постоянное давление. Отток состоит из двух компонент: зависящей и независящей от давления в трубке (пассивный и активный транспорт соответственно). Проведен анализ полного гидравлического сопротивления системы и неоднородности оттока жидкости. Для ряда граничных условий исследованы параметры оптимальной трубки, которая производит доставку жидкости с минимальными затратами. Показано, что при различных условиях оттока решение оптимизационной задачи для трубок с проницаемыми и непроницаемыми стенками приводит к сходным соотношениям, и различные гидромеханические факторы могут лежать в основе соответствия структуры систем дальнего транспорта жидкости в растительных и животных тканях. Дослiджується стацiонарна течiя в'язкої нестисливої рiдини по цилiндричнiй трубцi з пористою стiнкою, яка не деформується, у застосуваннi до течiї рослинного соку по провiднiй системi листкiв рослин. Пiд час руху рiдина фiльтрується крiзь стiнку у зовнiшнє середовище, де пiдтримується постiйний тиск. Стiк складається з двох частин: залежної та незалежної вiд тиску у трубцi (пасивний та активний транспорт вiдповiдно). Проведено аналiз повного гiдравлiчного опору системи та неоднорiдностi стоку рiдини. Для ряду граничних умов дослiдженi параметри оптимальної трубки, яка забезпечує доставку рiдини з мiнiмальними витратами. Показано, що для рiзних умов стоку рiшення оптимiзацiйної задачi для трубок з проникливими та непроникливими стiнками призводить до подiбних спiввiдношень, тому рiзнi гiдромеханiчнi фактори можуть лежати в основi подiбностi структури систем транспорту рiдини в рослинних та тваринних тканинах. Stationary motion of a viscous incompressible liquid through a cylindrical tube with rigid permeable as applied to sap flow through conducting system of plant leaves is investigated. As the liquid moves it is filtered through the wall in the surrounding medium where a constant pressure is supported. The outflow consists of two components - dependent and independent from pressure in a tube (passive and active transport respectively). The analysis of full hydraulic resistance of system and nonuniformity of outflow of the liquid is carried out. For a number of boundary conditions parameters of an optimum tube providing delivery of the liquid at minimal costs are investigated. It is shown, that solutions of the optimal problem for the tubes with permeable and nonpermeable walls lead to similar relations and various hydromechanical factors may underlie similarity of structures of long-range water transport systems in plant and animal tissues. 2003 Article Гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками / Н.Н. Кизилова // Прикладна гідромеханіка. — 2003. — Т. 5, № 1. — С. 28-35. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4850 532.54 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследуется стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубке с недеформируемыми пористыми стенками в применении к течению растительного сока по проводящей системе листьев растений. По мере движения жидкость фильтруется через стенку в окружающую среду, в которой поддерживается постоянное давление. Отток состоит из двух компонент: зависящей и независящей от давления в трубке (пассивный и активный транспорт соответственно). Проведен анализ полного гидравлического сопротивления системы и неоднородности оттока жидкости. Для ряда граничных условий исследованы параметры оптимальной трубки, которая производит доставку жидкости с минимальными затратами. Показано, что при различных условиях оттока решение оптимизационной задачи для трубок с проницаемыми и непроницаемыми стенками приводит к сходным соотношениям, и различные гидромеханические факторы могут лежать в основе соответствия структуры систем дальнего транспорта жидкости в растительных и животных тканях. |
| format |
Article |
| author |
Кизилова, Н.Н. |
| spellingShingle |
Кизилова, Н.Н. Гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками |
| author_facet |
Кизилова, Н.Н. |
| author_sort |
Кизилова, Н.Н. |
| title |
Гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками |
| title_short |
Гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками |
| title_full |
Гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками |
| title_fullStr |
Гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками |
| title_full_unstemmed |
Гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками |
| title_sort |
гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4850 |
| citation_txt |
Гидравлические свойства ветвящихся трубопроводов с проницаемыми стенками / Н.Н. Кизилова // Прикладна гідромеханіка. — 2003. — Т. 5, № 1. — С. 28-35. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kizilovann gidravličeskiesvojstvavetvâŝihsâtruboprovodovspronicaemymistenkami |
| first_indexed |
2025-07-02T08:01:54Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:01:54Z |
| _version_ |
1836521424846585856 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 1. �. 28 { 35��� 532.54�������������� �������� ����������������������� � ������������ ���������. �. ��������� à쪮¢áª¨© 樮 «ìë© ã¨¢¥àá¨â¥â ¨¬.�.�.� à §¨ , � à쪮¢�®«ã祮 03.06.2002 � �¥à¥á¬®â८ 16.01.2003�áá«¥¤ã¥âáï áâ 樮 ஥ â¥ç¥¨¥ ¢ï§ª®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¯® 樫¨¤à¨ç¥áª®© âà㡪¥ á ¥¤¥ä®à¬¨à㥬묨¯®à¨áâ묨 á⥪ ¬¨ ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª â¥ç¥¨î à áâ¨â¥«ì®£® ᮪ ¯® ¯à®¢®¤ï饩 á¨á⥬¥ «¨áâ쥢 à á⥨©. �®¬¥à¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®áâì 䨫ìâàã¥âáï ç¥à¥§ á⥪㠢 ®ªà㦠îéãî á।ã, ¢ ª®â®à®© ¯®¤¤¥à¦¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï®¥¤ ¢«¥¨¥. �â⮪ á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ª®¬¯®¥â: § ¢¨áï饩 ¨ ¥§ ¢¨áï饩 ®â ¤ ¢«¥¨ï ¢ âà㡪¥ (¯ áá¨¢ë© ¨ ªâ¨¢ë©âà ᯮàâ ᮮ⢥âá⢥®). �஢¥¤¥ «¨§ ¯®«®£® £¨¤à ¢«¨ç¥áª®£® ᮯà®â¨¢«¥¨ï á¨áâ¥¬ë ¨ ¥®¤®à®¤®á⨮â⮪ ¦¨¤ª®áâ¨. �«ï àï¤ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¨áá«¥¤®¢ ë ¯ à ¬¥âàë ®¯â¨¬ «ì®© âà㡪¨, ª®â®à ï ¯à®¨§¢®¤¨â¤®áâ ¢ªã ¦¨¤ª®áâ¨ á ¬¨¨¬ «ì묨 § âà â ¬¨. �®ª § ®, çâ® ¯à¨ à §«¨çëå ãá«®¢¨ïå ®â⮪ à¥è¥¨¥ ®¯â¨¬¨-§ 樮®© § ¤ ç¨ ¤«ï âàã¡®ª á ¯à®¨æ ¥¬ë¬¨ ¨ ¥¯à®¨æ ¥¬ë¬¨ á⥪ ¬¨ ¯à¨¢®¤¨â ª áå®¤ë¬ á®®â®è¥¨ï¬, ¨à §«¨çë¥ £¨¤à®¬¥å ¨ç¥áª¨¥ ä ªâ®àë ¬®£ãâ «¥¦ âì ¢ ®á®¢¥ ᮮ⢥âá⢨ï áâàãªâãàë á¨á⥬ ¤ «ì¥£® âà ᯮà-â ¦¨¤ª®á⨠¢ à áâ¨â¥«ìëå ¨ ¦¨¢®âëå ⪠ïå.�®á«i¤¦ãõâìáï áâ æi® à â¥çiï ¢'離®ù ¥áâ¨á«¨¢®ù ài¤¨¨ ¯® 樫i¤à¨çi© âàã¡æi § ¯®à¨áâ®î áâiª®î, ïª ¥¤¥ä®à¬ãõâìáï, ã § áâ®á㢠i ¤® â¥çiù à®á«¨®£® ᮪㠯® ¯à®¢i¤i© á¨á⥬i «¨áâªi¢ à®á«¨. �i¤ ç á àãåã ài¤¨ äi«ìâàãõâìáï ªài§ì áâiªã ã §®¢ièõ á¥à¥¤®¢¨é¥, ¤¥ ¯i¤âਬãõâìáï ¯®áâi©¨© â¨áª. �âiª ᪫ ¤ õâìáï§ ¤¢®å ç áâ¨:§ «¥¦®ù â ¥§ «¥¦®ù ¢i¤ â¨áªã ã âàã¡æi (¯ ᨢ¨© ⠪⨢¨© âà ᯮàâ ¢i¤¯®¢i¤®). �஢¥¤¥® «i§ ¯®¢®£®£i¤à ¢«i箣® ®¯®àã á¨á⥬¨ â ¥®¤®ài¤®áâi á⮪ã ài¤¨¨. �«ï àï¤ã £à ¨ç¨å 㬮¢ ¤®á«i¤¦¥i ¯ à ¬¥âਠ®¯â¨-¬ «ì®ù âà㡪¨, ïª § ¡¥§¯¥çãõ ¤®áâ ¢ªã ài¤¨¨ § ¬ii¬ «ì¨¬¨ ¢¨âà â ¬¨. �®ª § ®, é® ¤«ï ài§¨å 㬮¢ á⮪ãàiè¥ï ®¯â¨¬i§ æi©®ù § ¤ çi ¤«ï âàã¡®ª § ¯à®¨ª«¨¢¨¬¨ â ¥¯à®¨ª«¨¢¨¬¨ áâiª ¬¨ ¯à¨§¢®¤¨âì ¤® ¯®¤i¡¨åá¯i¢¢i¤®è¥ì, ⮬ã ài§i £i¤à®¬¥å içi ä ªâ®à¨ ¬®¦ãâì «¥¦ ⨠¢ ®á®¢i ¯®¤i¡®áâi áâàãªâãਠá¨á⥬ âà ᯮàâãài¤¨¨ ¢ à®á«¨¨å â ⢠ਨå ⪠¨ å.Stationary motion of a viscous incompressible liquid through a cylindrical tube with rigid permeable as applied to sap
ow through conducting system of plant leaves is investigated. As the liquid moves it is �ltered through the wall in thesurrounding medium where a constant pressure is supported. The out
ow consists of two components - dependent andindependent from pressure in a tube (passive and active transport respectively). The analysis of full hydraulic resistanceof system and nonuniformity of out
ow of the liquid is carried out. For a number of boundary conditions parameters of anoptimum tube providing delivery of the liquid at minimal costs are investigated. It is shown, that solutions of the optimalproblem for the tubes with permeable and nonpermeable walls lead to similar relations and various hydromechanicalfactors may underlie similarity of structures of long-range water transport systems in plant and animal tissues.���������̈ ¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥ ¥¨ï ¨£à îâ ¢ ¦ãîà®«ì ¢ ¤ «ì¥¬ âà ᯮà⥠¦¨¤ª®á⨠ã à á⥨© ¨¦¨¢®âëå. �®áâ ¢«ï¥¬ ï ¦¨¤ª®áâì ¯¥à¥¬¥é ¥â-áï ¯® á¯¥æ¨ «¨§¨à®¢ ë¬ ¯à®¢®¤ï騬 á¨á⥬ ¬,á®áâ®ï騬 ¨§ ⮪¨å ¤«¨ëå âàã¡®ª, ª®â®à륮¡à §ãîâ ¢¥â¢ï騥áï âàã¡®¯à®¢®¤ë. �âàãªâã-à âàã¡®¯à®¢®¤®¢ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â à ¢®¬¥àãî ¤®-áâ ¢ªã ¦¨¤ª®á⨠ª à á¯à¥¤¥«¥®© á¨á⥬¥ ¯®âà¥-¡¨â¥«¥© (ª«¥â®ª). �«ï ®¯¨á ¨ï £¥®¬¥âਨ ¯à®-¢®¤ïé¨å á¨á⥬ ¢¢®¤¨âáï 㬥à æ¨ï ¯®à浪®¢ ¢¥-⢫¥¨ï; ¯à¨ í⮬ áç¨â ¥âáï, çâ® âà㡪¨ i+1-£®¯®à浪 ¯à¨ ᮥ¤¨¥¨¨ ®¡à §ãîâ âà㡪ã i-£® ¯®-à浪 , â ª çâ® ¬ ªá¨¬ «ìë© ®¬¥à ¯®à浪 ¢¥-⢫¥¨ï nmax ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á ¬ë¬ â®ª¨¬ âàã¡-ª ¬, ç «ì ï âà㡪 ¨¬¥¥â ¯®à冷ª i = 1 [1,2]. �® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥¨ï ®¬¥à ¯®à浪 à ¤¨ãáëRi ¨ ¤«¨ë Li ¯à®¢®¤ïé¨å í«¥¬¥â®¢ ¯®á«¥¤®¢ -â¥«ì® ã¬¥ìè îâáï. �¢¨¦¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨠¯à®¨á-室¨â § áç¥â à §¨æë ¤ ¢«¥¨© ¢å®¤¥ ¢ á¨-
á⥬㠨 ¢ë室¥ ¨§ ¥¥, ¢ ª®¥çëå á¥ç¥¨ïåâàã¡®ª ¯®á«¥¤¥£® ¯®à浪 ¢¥â¢«¥¨ï. �¥â «ì륨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯à¥¯ à ⮢ àâ¥à¨ «ìëå ¨ ¢¥®§-ëå àãᥫ ¯®ª § «¨, çâ® ¬¥¦¤ã ¤«¨ ¬¨ ¨ ¤¨ ¬¥-âà ¬¨ á®á㤮¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯®à浪®¢ áãé¥-áâ¢ãîâ ®¯à¥¤¥«¥ë¥ á®®â®è¥¨ï [3{7]. � ª, ¯à¨¢¥â¢«¥¨¨ á®á㤠á à ¤¨ãᮬ Ri ¤¢ ¤®ç¥à¨åRi+1;1; Ri+1;2 (¤¨å®â®¬¨ç¥áª®¥ ¢¥â¢«¥¨¥) ¢ë¯®«-ï¥âáï ãá«®¢¨¥ R
i = R
i+1;1 + R
i+1;2 (§ ª® �îà-à¥ï). �«ï á।¨å ¨ ¬ «ëå ªà®¢¥®áëå á®á㤮¢,â¥ç¥¨¥ ¢ ª®â®àëå ¡«¨§ª® ª « ¬¨ ஬ã,
= 3,¤«ï ªàã¯ëå àâ¥à¨©
=2:3� 2:7 [5{8]. � á«ãç ¥á¨¬¬¥âà¨ç®£® ¢¥â¢«¥¨ï Ri+1;1 = Ri+1;2 = Ri+1¨§ § ª® �îàà¥ï á«¥¤ã¥â Ri+1 = 2�1=3Ri, â ªçâ® ¤«ï ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¤¨å®â®¬¨ç¥áª¨ ¢¥â¢ïé¥-£®áï âàã¡®¯à®¢®¤ Ri= 2�(i�1)=3R1. �â® á®®â®-襨¥ ¡ë«® ¯®«®¦¥® ¢ ®á®¢ã ¨áâ®à¨ç¥áª¨ ¯¥à¢®©¬®¤¥«¨ ¢¥â¢ï饣®áï àâ¥à¨ «ì®£® àãá« (�.�£,1809£.) [1]. �¯¥æ¨ «ìë¥ ¨§¬¥à¥¨ï ¯à¥¯ à -â å ¯®ª § «¨, ç⮠祬 ¢ëè¥ ¯®«®¦¥¨¥ ®á®¡¨ í¢®«î樮®© èª «¥, ⥬ ¡«¨¦¥ ¯®ª § â¥«ì § ª®- �îàà¥ï ª § 票î
=3 [7].28 c
�. �. �¨§¨«®¢ , 2003
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 1. �. 28 { 35�«ï ¤«¨ ¯à®¢®¤ïé¨å í«¥¬¥â®¢ १ã«ìâ âë ¨§-¬¥à¥¨© ¯à¨¢®¤ïâ ª § ¢¨á¨¬®á⨠Li = aRbi , £¤¥b=0:86�1:03, ®âªã¤ ¤«ï ᨬ¬¥âà¨çëå àãᥫ á«¥-¤ã¥â Li+1=2�b=3Li=2�b(i�1)=3L1 [8, 9]. �®áª®«ìªãb ¡«¨§ª® ¢ ¥¤¨¨æ¥, ⮠㪠§ ë¥ á®®â®è¥¨ï «¥-¦ â ¢ ®á®¢¥ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨ï àâ¥à¨ «ìëå àãᥫª ª á ¬®¯®¤®¡ëå (äà ªâ «ìëå) á¨á⥬, ¯à®¨§-¢®«ì ï ç áâì ª®â®àëå, ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® í«¥-¬¥â j-£® ¯®à浪 ¢¥â¢«¥¨ï, ¯®¤®¡ ¨á室®¬ãàãá«ã [10].�ᮡ¥®á⨠£¥®¬¥âਨ àâ¥à¨ «ìëå àãᥫ®â¢¥ç îâ àï¤ã ¯à®áâëå ¯à¨æ¨¯®¢, á¢ï§ ëåá ¬®¤¥«ìî ®¯â¨¬ «ì®£® âàã¡®¯à®¢®¤ , ª®â®àë©®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¤®áâ ¢ªã ¦¨¤ª®áâ¨ á ¬¨¨¬ «ì묨§ âà â ¬¨ í¥à£¨¨ ¢ ¥¤¨¨æ㠢६¥¨ [11]:W = ZV �dV ! min; V = const; (1)£¤¥ V { ¯®«ë© ®¡ê¥¬ âàã¡®¯à®¢®¤ ; � { ¤¨áá¨-¯ æ¨ï. �¥è¥¨¥ íªáâ६ «ì®© § ¤ ç¨ (1) á ®£à -¨ç¥¨¥¬ ¢ ¢¨¤¥ à ¢¥á⢠¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì¯ à ¬¥âàë ®¯â¨¬ «ì®£® âàã¡®¯à®¢®¤ ¤«ï à §-ëå ०¨¬®¢ â¥ç¥¨ï [3, 5, 7, 11, 12]. �«ï ¯ã -§¥©«¥¢áª®£® â¥ç¥¨ï ¢ï§ª®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®-á⨠¯® ¥¤¥ä®à¬¨à㥬®© âà㡪¥ ªà㣮¢®£® á¥ç¥-¨ï á à ¤¨ãᮬ R ¨ ¤«¨®© L ¨¬¥¥¬ W = Q2Z,£¤¥ Zp = (8�L)=(�R4) { ¯ã §¥©«¥¢áª®¥ ᮯà®-⨢«¥¨¥ âà㡪¨; V = �R2L; � { ¢ï§ª®áâì ¦¨¤-ª®áâ¨; Q { ®¡ê¥¬ë© à á室. �ਠâ¥ç¥¨¨ ᧠¤ ë¬ à á室®¬ ¢ëà ¦¥¨¥ (1) íª¢¨¢ «¥â®ãá«®¢¨î Z ! min. � å®¤ï ¬¨¨¬ã¬ äãª-樨 W (R) ¨§ ãá«®¢¨© W 0R = 0, W 00R > 0, ¯®«ã-ç ¥¬, çâ® ¢ ®¯â¨¬ «ì®© âà㡪¥ Q = �R3, £¤¥�=p(�2�)=(16�). �âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ¤¨å®-⮬¨ç¥áª®£® ¢¥â¢«¥¨ï, ®¡à §®¢ ®£® âà㡪 ¬¨á à ¤¨ãá ¬¨ Ri; Ri+1;1; Ri+1;2, ª ¦¤ ï ¨§ ª®â®àë宯⨬ «ì ¢ á¬ëá«¥ ªà¨â¥à¨ï (1), ¢ ¬¥á⥠¢¥-⢫¥¨ï ¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¥¯à¥à뢮á⨠à á-室 Qi=Qi+1;1 + Qi+1;2, ¡ã¤¥â ¢¥à¥ § ª® �îà-à¥ï á
= 3 ¢ á«ãç ¥ ¥á«¨ �; � = const. �®¤¥«ì®¯â¨¬ «ì®£® ¢ á¬ëá«¥ ªà¨â¥à¨ï (1) âàã¡®¯à®-¢®¤ á ¯à®¨§¢®«ìë¬ ç¨á«®¬ ¯®à浪®¢ ¢¥â¢«¥¨ï¨áá«¥¤®¢ « áì ¤«ï ¯ã §¥©«¥¢áª®£® â¥ç¥¨ï ìîâ®-®¢áª®© ¦¨¤ª®á⨠¢ âà㡪 å á ¥¤¥ä®à¬¨à㥬묨á⥪ ¬¨ [12], ¤«ï â¥ç¥¨ï ¥ìîâ®®¢áª®© ¦¨¤ª®-á⨠á ãç¥â®¬ íä䥪â � à¥ãá ¢ ¬ «ëå àâ¥à¨ïå[13], ¤«ï à §¢¨â®£® âãà¡ã«¥â®£® â¥ç¥¨ï ¢ ªàã¯-ëå ªà®¢¥®áëå á®á㤠å [14], ¤«ï ¥áâ 樮 à®-£® â¥ç¥¨ï ªà®¢¨ ¢ á।¨å ¨ ¬ «ëå á®á㤠å [9] ¨¤«ï áâ 樮 ண® â¥ç¥¨ï ¢ âà㡪 å ¨§ ªâ¨¢-®£® ¡¨®«®£¨ç¥áª®£® ¬ â¥à¨ « [15]. � «®£¨çë¥(1) ®¯â¨¬¨§ æ¨®ë¥ § ¤ ç¨ ¢®§¨ª îâ ¨ ¢ á¢ï§¨á â¥å¨ç¥áª¨¬¨ ¯à¨«®¦¥¨ï¬¨ ¯à¨ à áç¥â å ®à®-
á¨â¥«ìëå ¨ ¤à¥ ¦ëå á¨á⥬, ¢ ç áâ®áâ¨, ¯à¨®¯à¥¤¥«¥¨¨ ®¯â¨¬ «ìëå £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯ à -¬¥â஢ ª «®¢ á ¯¥à¥¬¥ë¬ à á室®¬ (®âªàë-âë¥ àãá« ) ¨ ¤à¥ ¦¥© [12, 16].� ¯à®æ¥áᥠä®à¬¨à®¢ ¨ï ®¯â¨¬ «ìëå àâ¥-ਠ«ìëå àãᥫ ¢ ¡¨®«®£¨ç¥áª¨å ⪠ïå ¯à¨¨-¬ ¥â ãç á⨥ á¨á⥬ ®¡à âëå á¢ï§¥©, ®á®¢ - ï à ¡®â¥ ¬¥å ®à¥æ¥¯â®à®¢ ªà®¢¥®áëå á®-á㤮¢, ª®â®àë¥ ¯®§¢®«ïîâ ¯®¤¤¥à¦¨¢ âì á।¥¥ ¯à殮¨¥ ᤢ¨£ á⥪¥ ¢ áâண® ®¯à¥¤¥-«¥®¬ ¤¨ ¯ §®¥ § 票© [5, 6]. �ਠ¯ã §¥©-«¥¢áª®¬ â¥ç¥¨¨ ¯à殮¨¥ á⥪¥ âà㡪¨�w = 4Q= ��R3�, ¯®í⮬㠤«ï á®á㤠, ¢ ª®â®à®¬ § áç¥â ॣã«ïâ®àëå ¯à®æ¥áᮢ ¯®¤¤¥à¦¨¢ ¥âáï�w = const, ¢ë¯®«ï¥âáï á®®â®è¥¨¥ Q=R3 == const, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¯â¨¬ «ì®© âà㡪¥.�®áª®«ìªã à §¢¨â¨¥ àâ¥à¨ «ì®£® àãá« ¢ à áâã-饬 ®à£ ¥ ¯à®â¥ª ¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ¯à -¢«¥¨¨ ¢®§à áâ ¨ï ®¬¥à ¯®à浪 ¢¥â¢«¥¨ï, â®®¡à â ï á¢ï§ì ¯®á।á⢮¬ à ¡®âë ¬¥å ®à¥æ¥¯-â®à®¢ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ãá«®¢¨¥ «®ª «ì®© ®¯â¨¬ «ì-®áâ¨, ª®â®à®¥ ¤«ï áâ 樮 àëå â¥ç¥¨© ¯à¨ ¬ -«ëå ç¨á« å �¥©®«ì¤á ᮢ¯ ¤ ¥â á ãá«®¢¨¥¬ (1)£«®¡ «ì®© ®¯â¨¬ «ì®á⨠âà ᯮà⮩ á¨áâ¥¬ë¢ æ¥«®¬ [3, 9, 12].�஢®¤ïé ï á¨á⥬ «¨áâ à á⥨ï â ª¦¥¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¢¥â¢ï饥áï âà ᯮà⮥ àã-á«®, § ª®®¬¥à®á⨠áâ஥¨ï ª®â®à®£® «®£¨ç-ë § ª®®¬¥à®áâï¬, ®¡ àã¦¥ë¬ ¢ àâ¥à¨ «ì-ëå á¨á⥬ å ¦¨¢®âëå [17]. � ®â«¨ç¨¥ ®â à-â¥à¨©, ¯à¨ ¢¥â¢«¥¨¨ ¯à®¢®¤ïé¨å í«¥¬¥â®¢ «¨-áâ à áâ¥¨ï ®â í«¥¬¥â i-£® ¯®à浪 ®â室ïâ ª ªí«¥¬¥âë i + 1-£® ¯®à浪 , â ª ¨ ¢á¥å ¯®á«¥¤ãî-é¨å ¯®à浪®¢ ¢¯«®âì ¤® ¯®á«¥¤¥£® (®¡ëç® i=5... 9). �⨠¢¥â¢«¥¨ï à ᯮ«®¦¥ë ¢¤®«ì ¡®ª®-¢®© ¯®¢¥àå®áâ¨ í«¥¬¥â ¨ ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ ¬ áá®-®¡¬¥ á ⪠ﬨ «¨áâ , ª®â®àë© ¯à®¨á室¨â ¢®¢á¥å âà㡪 å, ç¨ ï á i=1 (à¨á. 1). � àâ¥à¨- «ìëå àãá« å á⥪¨ á®á㤮¢ ¥¯à®¨æ ¥¬ë¥, ¬ áá®®¡¬¥ ¢®§¬®¦¥ «¨èì ¢ í«¥¬¥â å ¯®á«¥¤¥-£® ¯®à浪 (®¡ëç® i=15 ... 25). �â⮪ ¢ ¡®ª®¢ë¥®â¢¥â¢«¥¨ï ¯à®â¥ª ¥â ã à á⥨© ¥ ⮫쪮 ¯ á-ᨢ®, § áç¥â à §¨æë £¨¤à®áâ â¨ç¥áª¨å ¤ ¢«¥-¨© ¢ ¯à®¢®¤ïé¨å í«¥¬¥â å ¨ ®ªà㦠îé¨å ⪠-ïå, ® ¨ ªâ¨¢®, § áç¥â ¢ãâਪ«¥â®çëå ¬¥å -¨§¬®¢ âà ᯮàâ ¦¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ á¯¥æ¨ «ìãîá¨á⥬㠯®à. �஢®¤ï騥 í«¥¬¥âë ¯à¥¤áâ ¢«ï-îâ ᮡ®© ¥¤¥ä®à¬¨àã¥¬ë¥ âà㡪¨, ®¡à §®¢ 륪«¥â®ç묨 á⥪ ¬¨, «¨è¥ë¬¨ ª«¥â®ç®£® á®-¤¥à¦¨¬®£®, ¯®í⮬ã ᤢ¨£®¢ë¥ ¯à殮¨ï, ª ª¨ ¤à㣨¥ 䨧¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë, á¢ï§ ë¥ á â¥-票¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨, ¥ ¬®£ãâ ॣ¨áâà¨à®¢ âìáï ¥-¯®á।á⢥® ¢ ¯à®¢®¤ïé¨å í«¥¬¥â å. � ᨫãí⮣® ¯à¨ç¨ë á室á⢠¯à¨æ¨¯®¢ ®à£ ¨§ 樨�. �. �¨§¨«®¢ 29
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 1. �. 28 { 35á¨á⥬ ¤ «ì¥£® âà ᯮàâ ¦¨¤ª®á⨠ã à á⥨©¨ ¦¨¢®âëå [18], â ª¦¥ ¬¥å ¨§¬ë ä®à¬¨à®¢ -¨ï ¯à®¢®¤ïé¨å á¨á⥬, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬®¤¥«¨®¯â¨¬ «ì®£® âàã¡®¯à®¢®¤ , ®áâ îâáï ¥¨§¢¥áâ-묨. �®¬¨¬® í⮣®, áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ à á¯à¥¤¥-«¥¨ï ®â®è¥¨© Ri+1=Ri ¨ fNkgnmaxk=i+1 (§¤¥áì Nk{ ç¨á«® ¯à®¢®¤ïé¨å í«¥¬¥â®¢, ª®â®àë¥ ®â室ïâ®â á®á㤠¯®à浪 k), ¨¤¥â¨çë ¤«ï ¯à®¢®¤ïé¨åí«¥¬¥â®¢ «¨áâ쥢 à §ëå ⨯®¢ ¨ ¤«ï ¯à¨â®ª®¢à¥çëå á¨á⥬ [19]. �ã᫠४ ¤¥ä®à¬¨àãîâáï,¨ ¨å ä®à¬¨à®¢ ¨¥ á¢ï§ ® á ¯à®æ¥áá ¬¨ ¯¥à¥-¬¥é¥¨ï ®á®¢ ¨ ¨§¬¥¥¨ï è¥à®å®¢ â®á⨠¤ § áç¥â £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ä ªâ®à®¢ [20]. �â¥-á¨¢ë¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯®á«¥¤¨å «¥â ¯®ª §ë¢ îâ,çâ® ¨¬¥® íâ¨ ä ªâ®àë «¥¦ â ¢ ®á®¢¥ ä®à¬¨-஢ ¨ï à¥çëå á¨á⥬, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬®¤¥«¨®¯â¨¬ «ì®£® âà ᯮà⮣® àãá« , ®â¢¥ç î饣®ªà¨â¥à¨î (1) ¨ àï¤ã ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ëå ªà¨â¥à¨-¥¢, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¬¨¨¬ «ìãî ®¡éãî ¤¨áᨯ -æ¨î ¢ à¥ç®© á¨á⥬¥ [21{23].
�¨á. 1. �奬 áâ஥¨ï ®¤¨®ç®£® ¤¨å®â®¬¨ç¥áª®£®¢¥â¢«¥¨ï ¯à®¢®¤ï饩 á¨áâ¥¬ë «¨áâ ; p1�3 {£¨¤à®áâ â¨ç¥áª¨¥ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨åá¥ç¥¨ïå âàã¡®ª, i { ®¬¥à ¯®à浪®¢ ¢¥â¢«¥¨ï�¤¥â¨ç®áâì £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯ à ¬¥â஢ âà -ᯮàâëå àãᥫ, ¤¢¨¦¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨠¢ ª®â®àë宯¨áë¢ ¥âáï ®á®¢¥ à §ëå 䨧¨ç¥áª¨å ¬®¤¥-«¥©, á¢ï§ë¢ îâ á ®¯à¥¤¥«ïî騬 ¢«¨ï¨¥¬ £¨¤à®-¬¥å ¨ç¥áª¨å ä ªâ®à®¢ ä®à¬¨à®¢ ¨¥ ¢¥â¢ï-饣®áï àãá« . �â £¨¯®â¥§ ¡ë« ¢á¥áâ®à®¥ ¨á-á«¥¤®¢ ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª àâ¥à¨ «ìë¬ á¨á⥬ ¬[3, 5{9, 11{15] ¨ ¡ áᥩ ¬ ४ [19, 21{23], ®¤ ª®¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ à áᬠâਢ « áì ¤«ï ¯à®¢®¤ïé¨åá¨á⥬ à á⥨©. � áâ®ï饩 à ¡®â¥ ¨áá«¥¤ã¥âá¨ï¨¥ ®á®¡¥®á⥩ â¥ç¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ âà㡪¥á ¯à®¨æ ¥¬ë¬¨ á⥪ ¬¨ ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¤¢¨¦¥-¨î ¦¨¤ª®á⨠¯® ¯à®¢®¤ï饩 á¨á⥬¥ «¨áâ쥢 à -
á⥨©, â ª¦¥ à¥è ¥âáï ®¯â¨¬¨§ 樮 ï § ¤ -ç (1). �ਠí⮬ ®â⮪ ¨§ âà㡪¨ i-£® ¯®à浪 ¢®¢á¥ ®â¢¥â¢«¥¨ï ¯®à浪 j>i+1 à áᬠâਢ ¥âáïª ª 䨫ìâà æ¨ï ç¥à¥§ ¯®à¨áâãî á⥪ã âà㡪¨ ¯®-à浪 i, ¢á¥ í«¥¬¥âë ®¤®£® ¯®à浪 ¢¥â¢«¥¨ï¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë¥ ¤«¨ë ¨ à ¤¨ãáë. �®¤®¡ë©¯®¤å®¤ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ £¨¤à®¬¥å ¨ª¥ ¯à¨ ¬®¤¥«¨-஢ ¨¨ â¥ç¥¨ï ¢ ®à⥠¨ ¥á¨¬¬¥âà¨çëå àâ¥-ਠ«ìëå àãá« å [1].1. ������� � ��������������������ᯮ«ì§®¢ ¢ å à ªâ¥àë¥ § ç¥¨ï ¯«®â®áâ¨� �= 1:01 � 1:5 ª£=¬3, ¢ï§ª®á⨠� = (1:01 � 1:4) �103 � �á ¨ á।¥© ᪮à®á⨠¤¢¨¦¥¨ï V � � 10�5�10�4 ¬/á ¦¨¤ª®á⥩, ¤¢¨¦ãé¨åáï ¯® âà ᯮàâ-®© á¨á⥬¥ à á⥨©, ¯à®¤®«ìëå L � 10�2 �10�1 ¬ ¨ ¯®¯¥à¥çëå R � 10�4� 10�3 ¬ à §¬¥à®¢¯à®¢®¤ïé¨å í«¥¬¥â®¢ [2], ¯®«ã稬 ®æ¥ª¨ ¤«ï ç¨-á« �¥©®«ì¤á Re � 10�3�10�1 ¨ ®â®á¨â¥«ì®£®à §¬¥à í«¥¬¥â®¢ R=L � 10�3 � 10�1. �ªá¯¥à¨-¬¥â «ìë¥ ¨§¬¥à¥¨ï ¯®ª § «¨, çâ® ¢ ¤¨ ¯ §®¥ä¨§¨®«®£¨ç¥áª¨å § 票© ®¡ê¥¬®£® à á室 £¨-¤à ¢«¨ç¥áª®¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¢ë¤¥«¥ëå ¨§ ⪠-¨ ¯à®¢®¤ïé¨å í«¥¬¥â®¢ à á⥨© ᮮ⢥âáâ¢ã-¥â ¯ã §¥©«¥¢áª®¬ã Zp [24]. �®¤¥«¨àãï ¯à®¢®¤ï-騥 í«¥¬¥âë âà㡪 ¬¨ ªà㣮¢®£® á¥ç¥¨ï á ¯®-à¨á⮩ ¯®¢¥àå®áâìî, à áᬮâਬ ãáâ ®¢¨¢è¥-¥áï ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¥ â¥ç¥¨¥ (~v = (Vr; 0; Vx)) ¢®â¤¥«ì®© âà㡪¥, á ª®â®à®© á¢ï¦¥¬ 樫¨¤à¨ç¥-áªãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â. �¨¤ª®áâì ¤¢¨¦¥âáï § áç¥â à §¨æë ¤ ¢«¥¨© ª®æ å âà㡪¨ p1 6= p2¨ ®â⥪ ¥â ç¥à¥§ á⥪ã âàã¡ë ¢ ®ªà㦠îéãîá।ã, ¢ ª®â®à®© ¯®¤¤¥à¦¨¢ ¥âáï ¯®áâ®ï®¥ ¤ -¢«¥¨¥ p� (à¨á. 2), ¯à¨ç¥¬ ᪮à®áâì ®â⮪ ¬ « w=U � 1, £¤¥ U = Q=(�R2) { á।ïï ᪮à®áâ좮 ¢å®¤®¬ á¥ç¥¨¨. �ª®à®áâì ®â⮪ ¯à¥¤áâ ¢¨¬¢ ¢¨¤¥ ¤¢ãå á« £ ¥¬ëå, ®¤® ¨§ ª®â®àëå ¥ § ¢¨-á¨â ®â ¤ ¢«¥¨ï ( ªâ¨¢ë© âà ᯮàâ), ¤à㣮¥«¨¥©® § ¢¨á¨â ®â à §®á⨠¤ ¢«¥¨© ¢ âà㡪¥ ¨¢ ®ªà㦠î饩 á।¥ [25]. � á«ãç ¥ áâ 樮 à®-£® â¥ç¥¨ï ¢ï§ª®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¤«¨-®© ⮪®© âàã¡¥ (R=L � 1) ªà㣮¢®£® á¥ç¥¨ï á¯à®¨æ ¥¬ë¬¨ á⥪ ¬¨ ¯à¨ Re � 1 ãà ¢¥¨ï�â®ªá ¨ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤:1r @@r (rVr) + @Vx@x = 0;dpdx = ��@2Vx@r2 + 1r @Vx@r � ; (2)Vx��r=R = 0; @Vx@r ��r=0 = 0; (3)30 �. �. �¨§¨«®¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 1. �. 28 { 35
�¨á. 2. �¨«¨¤à¨ç¥áª¨© ¯à®¢®¤ï騩 í«¥¬¥âá ¯®à¨á⮩ ¯®¢¥àå®áâìîVr��r=0 = 0; Vr��r=R = w(x) + k(p(x) � p�);p��x=0 = p1; p��x=L = p2; (4)£¤¥ p(x) { ¤ ¢«¥¨¥ ¢ âà㡪¥; k { ¯à®¨æ ¥¬®áâìá⥪¨ âà㡪¨. �⥣à¨àãï ãà ¢¥¨ï (2) á ãç¥-⮬ ãá«®¢¨© (3), ¯®«ãç ¥¬:Vx = � 14� dpdx �R2 � r2� ; (5)Vr = 116� d2pdx2 �2R2r � r3� : (6)�®« £ ï ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (6) r=R ¨ ¨á¯®«ì§ãï ãá«®-¢¨ï (3), 室¨¬ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¤ ¢«¥-¨ï: d2pdx2 = 16�w(x)R3 + �2 (p� p�) ; (7)£¤¥ � = p16k�=R3. �¥è ï ¯®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (4) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®©äãªæ¨¨ w(x), á ãç¥â®¬ (5)-(6) ¯®«ãç ¥¬:p(x) = p� + �1ch (�x) + �2k �(x; �) +Bsh (�x);Vr(r; x) = �216� �2R2r � r3� (�1ch (�x)++Bsh (�x) + �2k �(x; �) + w(x)k � ;Vx(r; x) = �4� �r2 �R2� (�1sh (�x)++Bch (�x) + 12k� 0x(x; �)� ; (8)£¤¥ �(x; �) = e�x xR0 e��xw(�)d� � e��x xR0 e�xw(�)d�,B= ��2 � �2k�(L; �)� (sh (�L))�1 � �1cth (�L),�1=p1 � p�, �2=p2 � p�.
�¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (2){(4) ¨áá«¥¤®¢ «®áì ¯à¨ k=0,w = const > 0, w(x) = a(1 � x=L) [25], ¯à¨ k 6= 0¢ á«ãç ¥ ¬ «®£® ¨ ᨫ쮣® ®âá®á (¢¤ã¢ ) ¤«ï â¥-票© ¢ âàã¡ å â¥å¨ç¥áª¨å ãáâனá⢠[26]. � á-á®®¡¬¥ ç¥à¥§ ¯à®¨æ ¥¬ãî á⥪㠯®§¢®«ï¥â ¨§-¬¥ïâì ª®íää¨æ¨¥â ᮯà®â¨¢«¥¨ï ãáâனá⢠,ã¯à ¢«ïâì ¯®£à ¨çë¬ á«®¥¬, ¨â¥á¨ä¨æ¨à®-¢ âì ⥯«®®â¤ çã ¨ ᪮à®áâì 䨧¨ª®-娬¨ç¥áª¨å¯à¥¢à 饨© à ¡®ç¨å ¯®¢¥àå®áâïå. � ¯à¨-¬¥¥¨¨ ª ¡¨®«®£¨ç¥áª¨¬ âà ᯮàâë¬ á¨áâ¥-¬ ¬ § ¤ ç (2){(4) ¯®ï¢«ï¥âáï ¢ ®¢®¬ ᯥªâ¥.�à¨ï¢ ¢® ¢¨¬ ¨¥, çâ® ¤«ï á¨á⥬ ¤ «ì¥£®âà ᯮàâ ¦¨¤ª®á⨠㠦¨¢ëå ®à£ ¨§¬®¢ ¢ ¦-묨 ä ªâ®à ¬¨ ïîâáï ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¤¢¨¦¥-¨î ¨ à ¢®¬¥à®¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤®áâ ¢«ï¥¬®©¦¨¤ª®á⨠¬¥¦¤ã ª«¥âª ¬¨ ⪠¨ (®à£ ) [2, 6, 7,12], à ááç¨â ¥¬ £¨¤à ¢«¨ç¥áª®¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥ Zâà㡪¨ ¨ ¡¥§à §¬¥àë© ¯ à ¬¥âà �, å à ªâ¥à¨-§ãî騩 ¥®¤®à®¤®áâì ¯®áâ㯫¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢®ªà㦠îéãî á।㠧 áç¥â ¥à ¢®¬¥à®£® ®ââ®-ª ç¥à¥§ á⥪ã, ¯® ä®à¬ã« ¬:Z = p1 � p2Q ; � = Vr(R; 0)� Vr(R;L)hVri ;Q = 2� RR0 rVx(r; 0)dr; hVri = 1L LZ0 Vr(R; x)dx;(9)£¤¥ Q { ®¡ê¥¬ë© à á室 ¢ ç «ì®¬ á¥ç¥¨¨;hVri { á।ïï ¯® âà㡪¥ ᪮à®áâì ®â⮪ ç¥à¥§á⥪ã.� â¥å¨ç¥áª®© «¨â¥à âãॠ¢¬¥á⮠ᮯà®â¨¢«¥-¨ï Z ®¡ëç® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ª®íää¨æ¨¥â £¨¤à ¢-«¨ç¥áª®£® ᮯà®â¨¢«¥¨ï �c=4R(p1 � p2)=(�LU2)[16, 20], ¢¥«¨ç¨ ª®â®à®£® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï £¥®¬¥-âਥ© á¥ç¥¨ï ¨ ०¨¬®¬ â¥ç¥¨ï. � «¨â¥à âã-à¥, ¯®á¢ï饮© £¨¤à®¬¥å ¨ª¥ ªà®¢®®¡à é¥¨ï ¨¬®¤¥«¨à®¢ ¨î âà ᯮàâ ¦¨¤ª®á⨠ã à á⥨©,®¡ëç® ¨á¯®«ì§ãîâáï £¨¤à ¢«¨ç¥áª®¥ ᮯà®â¨¢«¥-¨¥ Z ¨«¨ ¯à®¢®¤¨¬®áâì Y =Z�1 [1, 3, 5{7, 10{13,15{18]. �⨠¢¥«¨ç¨ë ¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï ¡®«¥¥ 㤮¡-묨 ¢ ᨫ㠬¥å ®-í«¥ªâà¨ç¥áª¨å «®£¨© ¯à¨ «®£®¢®¬ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¨ àâ¥à¨ «ìëå àãᥫ, â ª¦¥ ¤«ï ¨â¥à¯à¥â 樨 ¨§¬¥à塞ëå £¥¬®¤¨ -¬¨ç¥áª¨å ¯ à ¬¥â஢ [1]. �஬¥ ⮣®, ¢ Z ï¢ë¬®¡à §®¬ ¢å®¤ïâ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë âàã¡-ª¨, çâ® ¯®§¢®«ï¥â à¥è âì ®¯â¨¬¨§ 樮ãî § ¤ -çã (1).� áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ ¢áï ¯®áâ㯠îé ï ¢âà㡪㠦¨¤ª®áâì ¯® ¬¥à¥ ¤¢¨¦¥¨ï 䨫ìâàã¥âáïç¥à¥§ á⥪ã, â ª çâ® âà㡪 ¥ § ¯ãá⥢ ¥â ¨Q=�, £¤¥ �=2�RLhVri { á㬬 àë© ¯®â®ª ¦¨¤-ª®á⨠ç¥à¥§ á⥪ã. �®£¤ ¨§ á®®â®è¥¨© (8){(9)�. �. �¨§¨«®¢ 31
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 1. �. 28 { 35¯®«ã稬:Z = Zp ; = th(�L)�L �� �(L)2�L20@k�1 sh (�L)�L + 1L LZ0 w(x)ch (�(x� L))dx1A :(10)�ਠí⮬ ª®íää¨æ¨¥â £¨¤à ¢«¨ç¥áª®£® ᮯà®-⨢«¥¨ï âà㡪¨ ¨¬¥¥â «®£¨çë© ¢¨¤ �c=�0 ,£¤¥ �0 = 64=Re. �ਠw = 0, k ! 0 ¨§ ¢ëà ¦¥-¨ï (10) ¯®«ã稬 Z = Zp. �ਠw= 0 Z = Z(�L) {¬®®â®® ã¡ë¢ îé ï äãªæ¨ï ¨ Z � Zp.� à ¬¥âàë ; � § ¢¨áï⠮⠢¨¤ äãªæ¨¨ w(x).�§¬¥à¥¨¥ ᪮à®á⥩ ®â⮪ ¢ ¬®£®ç¨á«¥ë¥¡®ª®¢ë¥ ®â¢¥â¢«¥¨ï ¯à®¢®¤ï饣® í«¥¬¥â ª ª¤«ï àâ¥à¨©, â ª ¨ ¤«ï ¯à®¢®¤ïé¨å ¯ã⥩ à -á⥨© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â â¥å¨ç¥áª¨ á«®¦ãî § ¤ -çã. � ¯®á«¥¤¥¥ ¢à¥¬ï ¯®ï¢¨«¨áì ¯¥à¢ë¥ íªá¯¥-ਬ¥â «ìë¥ ¤ ë¥ ® à á室ëå å à ªâ¥à¨áâ¨-ª å ®â¤¥«ìëå ªàã¯ëå á®á㤮¢, ¢ë¤¥«¥ëå ¨§«¨áâ쥢 à á⥨© [24]. � é¥ ¢á¥£® ¨á¯®«ì§ãîâáïª®á¢¥ë¥ ®æ¥ª¨ ¡®ª®¢®£® ®â⮪ ¯ã⥬ ¡«î¤¥-¨ï § ᪮à®áâìî à á¯à®áâà ¥¨ï ªà á¨â¥«ï ¯®®â¢¥â¢«¥¨ï¬ ¯à®¢®¤ï饣® ¯ãçª «¨áâ [27]. �à¨í⮬ ¤«ï ®¯¨á ¨ï ¡®ª®¢®£® ®â⮪ ¨á¯®«ì§ãîâ-áï à §«¨çë¥ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 w(x) á⥯¥ë¬¨ ¨íªá¯®¥æ¨ «ì® ã¡ë¢ î騬¨ äãªæ¨ï¬¨, ¢ë¡®àª®â®àëå ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®á®¢¥ ª®«¨ç¥á⢥ëå¤ ëå ® ¯«®â®áâïå fNk=Lignmaxk=i+1 à á¯à¥¤¥«¥¨ï®â¢¥â¢«¥¨© à §ëå ¯®à浪®¢ k > i ¢¤®«ì ¯®¢¥àå-®á⨠¯à®¢®¤ï饣® í«¥¬¥â á ®¬¥à®¬ i [1, 28].�¥â «ìë¥ ¤ ë¥ â ª®£® த ¤«ï «¨áâ쥢 à §ëå⨯®¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ [19, 29]. �® ¬¥à¥ ¢¥â¢«¥¨ïá®á㤨á⮣® ¯ãçª «¨á⠮⠥£® ®â室ï⠢ᥠ¡®-«¥¥ ⮪¨¥ í«¥¬¥âë, â ª çâ® ®â⮪ ç¥à¥§ áâ¥-ªã âà㡪¨ ã¡ë¢ ¥â á à®á⮬ x ¯® ¬¥à¥ ¯à®¤¢¨¦¥-¨ï ¦¨¤ª®áâ¨. �á®¢ë¢ ïáì ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ïåà á¯à¥¤¥«¥¨©, ¯à¨¢¥¤¥ëå ¢ [19, 29], ¢ ª ç¥á⢥£à ¨çëå ãá«®¢¨© ¤«ï Vr à áᬮâਬ á«¥¤ãî騥á«ãç ¨: I: w(x) = w� = const > 0;II: w(x) = a (1� x=L) ;III: w(x) = be��x: (11)�«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¢«¨ï¨ï £¥®¬¥âਨ ¯ à -¬¥âàë ; � âà㡪¨ ¢ë¡¥à¥¬ ¯®áâ®ïë¥ a; b; c â ª,ç⮡ë á㬬 àë© ¯®â®ª � ¢ á«ãç ïå I-III ¡ë«®¤¨ ª®¢ë¬. �®£¤ ¤«ï ¯ à ¬¥â஢ ¢ á®®â®è¥-¨ïå (11) ¨¬¥¥¬ a = w�=a�, b = w�=b�, £¤¥
a� = 1 + (1 � ch (l))=(lsh (l)); b� = (e�l�(sh (l) ++�ch (l))��)=((1��2)sh (l)); l=�L; �=�=�. �à¨í⮬ ¯®«ã稬 á«¥¤ãî騥 ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ¢¥«¨ç¨ ¨ �:I: (1) = th(l)l � F (l)1 + �(1) ; �(1) = l2f(l);II: (2) = th(l)l � 1� sh (l)(1� ch (l) + lsh (l)(1 + �(2))l ;�(2) = A12l(1 + �(2))sh (l) + l2 � 2ch (l) + 2 ;III: (3) = th(l)l � (1� �2)(ch (l) � 1)e�l�A2 ;�(3) = A3(1 + �(3)) (�ch (l) � sh (l) � �e��l) sh (l) :(12)A1 = 2l2(1 + �(2))(ch (l) � 1) + lsh (l)(2 + l2)++2l2ch (l);A2 = �(3)lsh (l)(1 � �2) + �le�l�(sh (l) + lch (l));A3 = l �(1 + �(3)) (ch (l) � 1)(�ch (l)� sh (l)) ++�ch (l) (�sh (l)� ch (l) + 1) +A4e��l� ;A4 = (1 + �(3))(1 � ch (l))� + �ch (l)���ch 2(l)(1 + �);£¤¥ F (x)=(ch (x)�1)=(x �sh (x)); �=k�1=w(0) { ®â-®è¥¨¥ ᪮à®á⥩ ¯ áᨢ®£® ¨ ªâ¨¢®£® âà á-¯®àâ ¢ ç «ì®¬ á¥ç¥¨¨ âà㡪¨; �(1)=k�1=w�,�(2)=�(1)a�; �(3)=�(1)b�.�¥§ã«ìâ âë à áç¥â®¢ (1�3)(l) ¨ �(1�3)(l) ¯® ¢ë-à ¦¥¨ï¬ (12) ¤«ï àï¤ § 票© �; � ¯à¨¢¥¤¥ë à¨á. 3, 4 ᮮ⢥âá⢥®. � á«ãç ¥ � = 1( ªâ¨¢ë© âà ᯮàâ ®âáãâáâ¢ã¥â) § ¢¨á¨¬®á⨠(1�3)(l) ¨ �(1�3t)(l) ᮢ¯ ¤ îâ (ªà¨¢ë¥ 1 à¨á.3, 4). �ਠí⮬ ᮯà®â¨¢«¥¨¥ Z = Zp ¬ ªá¨-¬ «ì® ¨ ¯à¨ l= 0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯ã §¥©«¥¢áª®¬ã( = 1), ¥®¤®à®¤®áâì ®â⮪ ¬¨¨¬ «ì ¨�(j) = 0 ¯à¨ l= 0. �ਠl ! 0 ¯®«ã稬 Z(1) = Z=2,Z(2) = Z=3, Z(3) = Z=�2. �¥®¤®à®¤®áâì ®â⮪ �(3)(l) á« ¡® § ¢¨á¨â ®â �(2). �ਠ� < 1 �(3)<�(2), ¯à¨ �>1 á®®â®è¥¨¥ ¬¥¦¤ã �(2) ¨ �(3) § ¢¨á¨â®â l ¨ ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å � �(3)>�(2). � 㢥-«¨ç¥¨¥¬ � ᮯà®â¨¢«¥¨¥ âà㡪¨ 㬥ìè ¥âáï, ¥®¤®à®¤®áâì ®â⮪ ¦¨¤ª®á⨠ç¥à¥§ á⥪ã à -áâ¥â. � 㢥«¨ç¥¨¥¬ ¤®«¨ ªâ¨¢®£® âà ᯮàâ (á à®á⮬ �(j)) ᮯà®â¨¢«¥¨¥ ¬®®â®® ã¡ë¢ ¥â¤«ï ¢á¥å £à ¨çëå ãá«®¢¨© (11), ¤®á⨣ ï ¢ ª -¦¤®¬ á«ãç ¥ ¬¨¨¬ «ì®£® § ç¥¨ï ¯à¨ �(j) = 0(ç¨áâ® ªâ¨¢ë© âà ᯮàâ, k = 0). � ª¨¬ ®¡à -§®¬, ¯à¨ ®¤¨ ª®¢®¬ á㬬 ஬ ®â⮪¥ � £¨¤à ¢-32 �. �. �¨§¨«®¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 1. �. 28 { 35
�¨á. 3. � ¢¨á¨¬®á⨠(1)(l) ¯à¨ �(1)=1; 1; 0 (ªà¨¢ë¥1{3 ᮮ⢥âá⢥®); (2)(l) ¯à¨ �(2)=1; 0 (ªà¨¢ë¥4{5), (3)(l) ¯à¨ �=0:5, �(3)=1; 0 (ªà¨¢ë¥ 6{7)
�¨á. 4. � ¢¨á¨¬®á⨠�(1)(l) (ªà¨¢ ï 1); �(2)(l) ¯à¨�(2)=1; 0 (ªà¨¢ë¥ 2-3 ᮮ⢥âá⢥®); �(3)(l) ¯à¨�(3)=1; 0, �=0:5 (ªà¨¢ë¥ 4{5) ¨ �=6 (ªà¨¢ë¥ 6{7)«¨ç¥áª®¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥ âà㡪¨ § ¢¨á¨â ®â à á-¯à¥¤¥«¥¨ï ᪮à®á⨠®â⮪ ¢¤®«ì á⥪¨ âà㡪¨ ¨®â á®®â®è¥¨ï ᪮à®á⥩ ªâ¨¢®£® ¨ ¯ áᨢ®-£® âà ᯮàâ . �஬¥ ⮣®, ¢ á«ãç ¥ w(x)=const§ 票¥ �(1) ¥ § ¢¨á¨â ®â �, (1)(�) { ¢®§à áâ -îé ï äãªæ¨ï, â® ¥áâì § áç¥â 㢥«¨ç¥¨ï ¤®«¨ ªâ¨¢®£® âà ᯮàâ ¢ ®¡é¥¬ ®â⮪¥ ¦¨¤ª®á⨬®¦® ᨧ¨âì ᮯà®â¨¢«¥¨¥ âà㡪¨ ¯à¨ ¥¨§-¬¥®© ¥®¤®à®¤®á⨠®â⮪ .�஢®¤ï ®æ¥ªã ¯ à ¬¥âà l, ¨§ ãá«®¢¨ï � =Q
¯®«ãç ¥¬ k � (V �)2R=(2L�1), ®âªã¤ ¤«ï �1 �105 � 10�5<l<1. �¤¥áì ¢¥àåïï £à ¨æ ¤¨ ¯ -§® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ªàã¯ë¬ «¨áâìï¬ ¤«¨®© ¯®-à浪 0.5{1 ¬. �ਠí⮬ ¤«ï ¡®«ìè¨á⢠¬¥«-ª¨å «¨áâ쥢 á ⮪¨¬¨ ¯à®¢®¤ï騬¨ í«¥¬¥â ¬¨l � 0:1. �âáãâá⢨¥ ¤®áâ â®ç®£® íªá¯¥à¨¬¥-⠫쮣® ¬ â¥à¨ « ¥ ¯®§¢®«ï¥â áà ¢¨âì ¯®«ã-ç¥ë¥ ⥮à¥â¨ç¥áª¨¥ ®æ¥ª¨ á ¤ 묨 ¨§¬¥à¥-¨©. �®¯à®á ® ª®«¨ç¥á⢥®¬ á®®â®è¥¨¨ ¬¥¦-¤ã ¤¢ã¬ï ¢¨¤ ¬¨ âà ᯮàâ ¢ ⪠ïå à á⥨©¯®ª ¥¤®áâ â®ç® ¨áá«¥¤®¢ ª ª ¤«ï «¨áâ쥢, â ª¨ ¤«ï ®à£ ®¢ á ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ £¥®¬¥âਥ© ª®à¥© ¨á⥡«¥©. �§¢¥áâ®, çâ® ªâ¨¢ë© âà ᯮàâ ¦¨¤-ª®á⨠å à ªâ¥à¥ ¤«ï í¢®«î樮® ¬®«®¤ëå ¢¨¤®¢à á⥨©, ¢¥«¨ç¨ � ¨¬¥¥â áãé¥áâ¢¥ë¥ áã-â®çë¥ ¨ ᥧ®ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¨ ¨§¬¥ï¥âáï ¯®¤¤¥©á⢨¥¬ àï¤ ¬¨¥à «ìëå ¨ ॣã«ïâ®àëå ä ª-â®à®¢ [30].�¨ ¯ §® l > 1 å à ªâ¥à¥ ¤«ï â¥å¨ç¥áª¨åãáâனá⢠(¤à¥ ¦ëå á¨á⥬), ¤«ï ª®â®àëå, â -ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®áâ ¢«¥ § ¤ ç ®¯â¨-¬¨§ 樨 ¢ ¢¨¤¥ Z ! min, � = const ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ®¯â¨¬ «ìëå ãá«®¢¨© ®â⮪ á⥪¥. �à¨ä®à¬¨à®¢ ¨¨ ¡¨®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®¢®¤ïé¨å á¨á⥬áâàãªâãà ¢¥â¢«¥¨© «¨áâ ¤ ®£® ¢¨¤ ¦¥á⪮¤¥â¥à¬¨¨à®¢ [29], ¯®í⮬㠨¬¥¥â á¬ëá« £®-¢®à¨âì ® § ¤ ç¥ ®¯â¨¬¨§ 樨 ¢ ¯®áâ ®¢ª¥ (1)¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ®¯â¨¬ «ì®© £¥®¬¥âਨ âà㡪¨, â ª¦¥ á ¬®¯®¤®¡®£® ¢¥â¢ï饣®áï àãá« , ®¡à §®-¢ ®£® â ª¨¬¨ âà㡪 ¬¨ [12].2. ������������ ���������� ����-������� �������®áâ ¢¨¬ ¤«ï â¥ç¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ âà㡪¥ á¯à®¨æ ¥¬ë¬¨ á⥪ ¬¨ ®¯â¨¬¨§ 樮ãî § ¤ -çã (1). �ᯮ«ì§®¢ ¢ ¢ëà ¦¥¨¥ (8), ¢ëç¨á«¨¬ ¢ï§-ªãî ¤¨áᨯ æ¨î �:� = 2� LZ0 dx RZ0 �ikvikrdr;£¤¥ vik { ⥧®à ᪮à®á⥩ ¤¥ä®à¬ 樨; �ik=2�vik{ ⥧®à ¢ï§ª¨å ¯à殮¨©; ¯® ®¤¨ ª®¢ë¬ ¨-¤¥ªá ¬ ¯à®¢®¤¨âáï á㬬¨à®¢ ¨¥. �«ï à¥è¥¨ï(1) § ¯¨è¥¬ äãªæ¨î � £à ¦ � = � + �V ,£¤¥ V = �R2L, � = const ¨ ¨§ ãá«®¢¨ï �0R;L = 0¯®«ã稬 âà á楤¥â®¥ ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì-® R;L. �ਠ§ ¤ ¨¨ ª®ªà¥â®£® ¢¨¤ äãª-樨 Vr(R; x) ¨ ¯ à ¬¥âà � íâ® ãà ¢¥¨¥ ¬®¦¥â¡ëâì à¥è¥® ç¨á«¥ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨. �ç¨âë¢ ï®âáãâá⢨¥ ¤®á⮢¥àëå íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¤ -ëå, à áᬮâਬ ¯à¥¤¥«ìë¥ á«ãç ¨ �= 0;1 ¤«ï�. �. �¨§¨«®¢ 33
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 1. �. 28 { 35£à ¨çëå ãá«®¢¨© (11). �®£¤ ¯à¨ �= 0 ( ªâ¨¢-ë© âà ᯮàâ) ¤«ï � ¯®«ã稬:I:�(1) = �p(1� �+ 13�2);II:�(2) = �p(1� 43�+ 815�2);III:�(3) = �p(1 + 21 + �2 (�� ��2)): (13)�ਠ�=1 (¯ áá¨¢ë© âà ᯮàâ) ¨¬¥¥¬:�(0) = �p �12 �1 + ch (l) sh (l)l �� (�� 1++ch (l)) sh (l)l + (�� 1 + ch (l))2g(l)� ; (14)£¤¥ �p = 8�LQ2=(�R4) { ¤¨áᨯ æ¨ï ¤«ï â¥ç¥¨ï�ã §¥©«ï ¢ ¥¯à®¨æ ¥¬®© âà㡪¥;g(x) = ch (x)sh (x) � x2xsh 2(x) ; � = �Q:�«ï à áᬠâਢ ¥¬®£® á«ãç ï Q = � ¨§ ¢ëà -¦¥¨© (13) ¯®«ã稬 �(1) = �p=3, �(2) = �p=5,�(3) = �p(3 � 2� + �2)=(1 + �2). � ª¨¬ ®¡à -§®¬, �(1�2) ®â«¨ç îâáï ®â �p⮫쪮 ª®áâ ⮩, �p { ¥ § ¢¨áï騬 ®â R;L ¬®¦¨â¥«¥¬, ¯®íâ®-¬ã à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (1) ¯à¨¢®¤¨â ª á®®â®è¥¨îQ=R3 = const, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ âà㡪¨ á ¥¯à®¨-æ ¥¬ë¬¨ á⥪ ¬¨. �§ ãà ¢¥¨ï (14) ¯à¨ � = 1¨¬¥¥¬ �(0) = �p�(l), £¤¥ �(l) = (ch (l)sh (l) ��l)=(2lsh 2(l)). �¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (1) ¢ í⮬ á«ãç ¥¤ ¥â á«¥¤ãîéãî § ¢¨á¨¬®áâì Q(R; l):Q2R6 f(l) = const;f(l) = �(l) = l�=(l) = lch (l)� sh (l)sh 3(l) :�âáî¤ ¤«ï ¢¥â¢«¥¨ï, ®¡à §®¢ ®£® ®¯â¨-¬ «ì묨 ¢ á¬ëá«¥ ªà¨â¥à¨ï (1) âà㡪 ¬¨, ¨§ãá«®¢¨ï ¥¯à¥à뢮á⨠à á室 Qi = Qi+1;1 +Qi+1;2 (§¤¥áì Qi, Qi+1;1, Qi+1;2 { ®¡ê¥¬ë© à á-室 ¢ ®á®¢®© ¨ ¤®ç¥à¨å âà㡪 å ᮮ⢥âá⢥-®) ¯®«ã稬 ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ë© § ª® �îàà¥ï ¢¢¨¤¥ R3ipf(li) = R3i+1;1pf(li+1;1) + R3i+1;2pf(li+1;2) : (15)� á«ãç ¥ ¬ «ëå § 票© l, à ᪫ ¤ë¢ ï f(l) ¢àï¤ ¯® l, ¯®«ã稬 f(l) = 1=3 + o(l2). � ¤¨ ¯ §®¥
jlj � 0:5, ª®â®àë© á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ¡®«ìè¨áâ¢ã «¨-áâ쥢 á L � 0:1¬, ¨§¬¥¥¨ï f(l) «¥¦ â ¢ ¤¨ ¯ §®-¥ �f(l) � 0:03 ¨«¨ �f(l) � 10%. �®ç®áâì ¨§¬¥à¥-¨© R;L ¯® ¤ ë¬ [18] á®áâ ¢¨« 2%, ®âªã¤ ¤«ï¯®£à¥è®á⨠§ 票© l = 4Lp�kR�3=2¨ f(l) ¯®-«ã稬 �l � 6%, �f(l) � 12%. � ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ãª § ®© â®ç®á⨠¨§¬¥à¥¨© á®®â®è¥¨¥ ¬¥¦-¤ã Ri, Ri+1;1, Ri+1;2 ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì § ª®ã�îàà¥ï ¢ ª« áá¨ç¥áª®© ä®à¬¥ á
= 3. �஢¥àª á®®â®è¥¨ï (15) ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¯®«¥ ®á®-¢ ¨¨ ¤ ëå ¨§¬¥à¥¨© ¤«ï ªàã¯ëå «¨á⮢ë寫 á⨮ª (L � 0:5 ¬), ¯à¨¬¥à, âய¨ç¥áª¨å à -á⥨©.�����������¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ® ¤¢¨¦¥¨¨ ¢ï§ª®© ¦¨¤ª®á⨠¯®á¨á⥬¥ âàã¡®ª á ¯à®¨æ ¥¬ë¬¨ á⥪ ¬¨ ¯à¨ -«¨ç¨¨ ¤¢ãå ª®¬¯®¥â ®â⮪ ç¥à¥§ á⥪㠯®§¢®-«ï¥â ¨áá«¥¤®¢ âì £¨¤à ¢«¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨á¨á⥬ ¤ «ì¥£® âà ᯮàâ ¦¨¤ª®á⨠¢ ⪠ïåà á⥨©. �¥§ã«ìâ âë à áç¥â®¢ ¯à¨ à拉 ã¯à®é -îé¨å ¯à¥¤¯®«®¦¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ᪮à®á⨠®â-⮪ á⥪¥ ¨ á®®â®è¥¨ï ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ª®¬-¯®¥â ¬¨ ®â⮪ { § ¢¨áï饩 ¨ ¥ § ¢¨áï饩 ®â¤ ¢«¥¨ï ¢ âà㡪¥ { ¯®ª § «¨, çâ® £¨¤à ¢«¨ç¥áª®¥á®¯à®â¨¢«¥¨¥ á¨á⥬ë ᨦ ¥âáï ¯® ¬¥à¥ 㢥-«¨ç¥¨ï ¥à ¢®¬¥à®á⨠®â⮪ ¯® ¤«¨¥ âàã¡-ª¨. � ®á®¢¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥®© ¬®¤¥«¨ ¨ ¤ ë娧¬¥à¥¨© ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®¢¥¤¥ë áà ¢¨â¥«ì륨áá«¥¤®¢ ¨ï £¨¤à ¢«¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠¯à®¢®¤ïé¨åá¨á⥬ à §ëå ⨯®¢ [29], ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¤«ï ¢¨¤®¢,§ ¨¬ îé¨å à §ë¥ ¯®«®¦¥¨ï í¢®«î樮®©èª «¥. �®¤®¡ë¥ ®æ¥ª¨ ¥®¤®ªà â® ¯à®¢®¤¨-«¨áì ¤«ï àâ¥à¨ «ìëå àãᥫ ¨ á⨬㫨஢ «¨ ¨á-á«¥¤®¢ ¨¥ ¬¥å ¨§¬®¢ í¢®«î樮®© ®¯â¨¬¨§ -樨 [3, 4, 6, 7]. �¥è¥¨¥ ®¯â¨¬¨§ 樮®© § ¤ ç¨(1) ¤«ï âà㡪¨ á ¯à®¨æ ¥¬ë¬¨ á⥪ ¬¨ ¯à¨ ¯à¨-ïâëå ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ïå ®â®á¨â¥«ì® ãá«®¢¨© â¥-ç¥¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª ⮬㠦¥ á®®â®è¥¨î Q � R3,ª®â®à®¥ ¯®«ã祮 ¯à¨ à¥è¥¨¨ «®£¨ç®© § ¤ -ç¨ ¤«ï ¯ã §¥©«¥¢áª®£® â¥ç¥¨ï ¢ âà㡪¥ á ¥¯à®¨-æ ¥¬ë¬¨ á⥪ ¬¨ ¨ ¤«ï â¥ç¥¨© ¢ ®âªàëâëå àã-á« å à¥çëå á¨á⥬ ¯à¨ à拉 ã¯à®é îé¨å ¯à¥¤-¯®«®¦¥¨©.�¥ç¥¨¥ ªà®¢¨ ¢ á®áã¤ å ¨¬¥¥â ¢®«®¢®© å -à ªâ¥à, ᮯ஢®¦¤ ¥âáï á«®¦ë¬¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï¬¨á⥮ª ¨ «®¦¥¨¥¬ ¬®£®ç¨á«¥ëå ®âà ¦¥-ëå ¢®« [1]. �®®â¢¥âá⢨¥ áâàãªâãàë àâ¥à¨- «ì®£® àãá« á®®â®è¥¨ï¬, á«¥¤ãî騬 ¨§ ¬®¤¥-«¨ áâ 樮 ண® ¯ã §¥©«¥¢áª®£® â¥ç¥¨ï, 㪠§ë-¢ ¥â â®, çâ® ¬¥å ¨§¬ë ä®à¬¨à®¢ ¨ï ®¯â¨-¬ «ìëå àâ¥à¨ «ìëå àãᥫ ¬®£ãâ ¡ëâì á¢ï§ -34 �. �. �¨§¨«®¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2003. �®¬ 5 (77), N 1. �. 28 { 35ë á ¯®¤¤¥à¦ ¨¥¬ ¢ ®¯à¥¤¥«¥®¬ ¤¨ ¯ §®¥ § -票© á।¥£® § ¯¥à¨®¤ ¯à殮¨ï ᤢ¨£ á⥪¥ á®á㤠[5, 6, 12]. � ¯à¥¤áâ ¢«¥®© ¢ ¤ ®©à ¡®â¥ ¬®¤¥«¨ ¥ ãçâ¥ë ®á®¡¥®á⨠¤¢¨¦¥¨ï¦¨¤ª®á⨠¯® ¯à®¢®¤ï饩 á¨á⥬¥ à á⥨©, á¢ï-§ ë¥ á ¡¨®å¨¬¨ç¥áª®© ॣã«ï樥©. �®«ã祮¥á®®â¢¥âá⢨¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ¤ ëå ® áâàãªâã-ॠ¯à®¢®¤ï饩 á¨áâ¥¬ë ¨ ⥮à¥â¨ç¥áª¨å १ã«ì-â ⮢ 㪠§ë¢ ¥â â®, çâ® ¬¥å ¨§¬ë ä®à¬¨-஢ ¨ï ®¯â¨¬ «ìëå âà ᯮàâëå àãᥫ ¢ à -áâ¨â¥«ìëå ⪠ïå ¬®£ãâ ¡ëâì á¢ï§ ë á ®á।-¥ë¬¨ ¯® á¨á⥬¥ £¨¤à®¬¥å ¨ç¥áª¨¬¨ ¯ à ¬¥-âà ¬¨, ¯à¨¬¥à, á ¯ à ¬¥â஬ �, ®¯à¥¤¥«ïî騬ᮮâ®è¥¨¥ ¬¥¦¤ã ¯à¨â®ª®¬ ¦¨¤ª®á⨠¯® ¯à®¢®-¤ï饬ã í«¥¬¥âã ¨ ¥¥ ¯®âॡ«¥¨¥¬ ª«¥âª ¬¨ ¯®¬¥à¥ ®â⮪ ç¥à¥§ á⥪ã í«¥¬¥â . �®¤¤¥à¦ ¨¥§ 票ï � ¢ ®¯à¥¤¥«¥®¬ ¤¨ ¯ §®¥ § 票© ¢å®¤¥ à®áâ «¨á⠯ਢ¥¤¥â ª ä®à¬¨à®¢ ¨î ¯à®¢®-¤ï饣® í«¥¬¥â á ®¯â¨¬ «ì묨 ¢ á¬ëá«¥ ªà¨â¥-à¨ï (1) ᢮©á⢠¬¨. �¯à ¢¥¤«¨¢®áâì í⮩ £¨¯®â¥-§ë ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®¤â¢¥à¦¤¥ ¯ã⥬ íªá¯¥à¨¬¥-⠫쮣® ¨áá«¥¤®¢ ¨ï § ª®®¬¥à®á⥩ ¤ «ì¥£®âà ᯮàâ ¦¨¤ª®á⨠¯® ¯à®¢®¤ï騬 á¨á⥬ ¬ áà §®© £¥®¬¥âਥ©.1. Milnor W. R. Hemodynamics.{ Baltimore: Williams,Wilkins, 1989.{ 419 p.2. �¨§¨«®¢ �. �. �à ᯮàâ ï á¨á⥬ ¨ à®á⫨áâ // �®¢à¥¬¥ë¥ ¯à®¡«¥¬ë ¡¨®¬¥å ¨-ª¨. �ë¯.10. �¨®¬¥å ¨ç¥áª¨¥ ᯥªâë à®áâ ¨¬®à䮣¥¥§ .{ �.:� 㪠, 2000.{ �. 379{405.3. �®§¥ �. �à¨æ¨¯ ®¯â¨¬ «ì®á⨠¢ ¡¨®«®£¨¨.{ �.:�¨à, 1969.{ 215 á.4. �®è¥ª® �. �., �®«ã¡ì �. �., �த �. �. ¨ ¤à. �à-å¨â¥ªâ®¨ª ªà®¢¥®á®£® àãá« .{ �®¢®á¨¡¨àáª:� 㪠, 1982.{ 183 á.5. La Barbera M. Principles of design of
uid transportsystems in zoology // Science.{ 1990.{ 249.{ P. 992{1000.6. Popescu A. I. Bionics, biological systems and theprinciple of optimal design // Acta Biotheor.{ 1999.{46.{ P. 299{310.7. Zamir M., Bigelov D. C. Cost of depature from opti-mality in arterial branching // J. Theor.Biol.{ 1984.{109.{ P. 410{409.8. Dawson C. A., Krenz G. S., Karau K. L. Structure-function relationships in the pulmonary arterialtree // J.Appl.Physiol.{ 1999.{ 86.{ P. 569{583.9. �ਣ®àï C. C., �®æ¨à¨¤§¥ �. �. �¯â¨¬ «ì- ï ®à£ ¨§ æ¨ï ¢¥â¢ï饩áï á®á㤨á⮩ á¥â¨ ¯à¨¯ã«ìá¨àãî饬 ¯®â®ª¥ // �¥å ¨ª ¡¨®«®£¨ç¥áª¨åᯫ®èëå á।.{ �.:�§¤-¢® ���, 1986.{ �. 125{131.10. Mandelbrot B. B. The fractal geometry of Nature.{N.-Y.: W.H.Freedman, Co, 1982.{ 427 p.11. Murray C. D. The physiological principle of minimumwork. I.The vascular system and the cost of bloodvolume // Proc.Nat.Acad.USA.{ 1926.{ 12.{ P. 207{214.
12. �¥à®ãá쪮 �. �. �¯â¨¬ «ì ï áâàãªâãà ¢¥â¢ï-é¨åáï âàã¡®¯à®¢®¤®¢ // �ਪ«. ¬ ⥬. ¬¥å ¨ª .{1977.{ 41.{ �. 376{383.13. Sherman T. F.On connecting large vessels to small //J.Gen.Physiol.{ 1981.{ 78.{ P. 431{453.14. Uylings H. B. M. Optimization of diameters andbifurcation angles in lung and vascular tree struc-tures // Bull.Math.Biol.{ 1977.{ 39.{ P. 509{519.15. Taber L. A. An optimization principle for vascularradius including the e�ects of smooth muscle tone //Biophys.J.{ 1998.{ 74.{ P. 109{114.16. � ⨯®¢ �. �., � îá㯮¢ �. � àãá«®¢ëå ¯®â®-ª å á ¯¥à¥¬¥ë¬ à á室®¬.{ � 誥â: �§¤-¢®"���", 1979.{ 192 á.17. �¨§¨«®¢ �. �., �®¯®¢ �. �. �áá«¥¤®¢ ¨¥ âà á-¯®àâëå á¨á⥬ «¨áâ쥢 à á⥨© // �஡«¥¬ë¡¨®¨ª¨. � à쪮¢.{ 1999.{ 51.{ �. 84{95.18. �¨§¨«®¢ �. �., �®¯®¢ �. �. �à¨â¥à¨¨ ®¯â¨¬ «ì-®£® äãªæ¨®¨à®¢ ¨ï ¢¥â¢ïé¨åáï âà ᯮàâ-ëå á¨á⥬ ¦¨¢®© ¯à¨à®¤ë // �¥á⨪ � à쪮¢-᪮£® 㨢¥àá¨â¥â .�¥à¨ï "� ⥬ ⨪ , ¯à¨ª« ¤- ï ¬ ⥬ ⨪ ¨ ¬¥å ¨ª ".{ 1999.{ 444.{ �. 148-156.19. Pelletier J. D., Turcotte D. L. Shapes of rivernetworks and leaves: are they statistically simi-lar? // Philos.Trans.R.Soc.Lond.B.Biol.Sci.{ 2000.{355.{ P. 307{311.20. �à¨è ¨ �. �. �̈ ¤à ¢«¨ç¥áª®¥ ᮯà®â¨¢«¥¨¥¥áâ¥á⢥ëå àãᥫ.{ ��¡.: �̈ ¤à®¬¥â¥®¨§¤ â,1992.{ 183 á.21. Sun T., Meakin P., Jossang T. Minimum energy dis-sipation river networks with fractal boundaries //Phys.Rev.Ser.E.{ 1995.{ 51.{ P. 5353{5359.22. Sinclair K., Ball R. C. Mechanism for global opti-mization of river networks from local erosion rules //Phys.Rev.Lett.{ 1996.{ 76.{ P. 3360{3363.23. Giacometti A. Local minimal energy landscapesin river networks // Phys.Rev.Ser.E.{ 2000.{ 62.{P. 6042{6051.24. Ellerby D. J., Ennos A. R. Resistances to
uid
owof model xylem vessels with simple and scalariformperforation plates // J.Experim.Botany.{ 1998.{ 49.{P. 979{985.25. �¥£¨à¥à �. �. � ¯à¨¡«¨¦¥®© ⥮ਨ â¥ç¥¨ï¢ï§ª®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢ âàã¡ å á ¯à®-¨æ ¥¬ë¬¨ á⥪ ¬¨ // �ãà.â¥å¨ç.䨧¨ª¨.{1960.{ 30.{ �. 639{643.26. �à®è¥ª® �. �., � ©ç¨ª �. �. �̈ ¤à®¤¨ ¬¨ª ¨â¥¯«®¬ áá®®¡¬¥ ¯à®¨æ ¥¬ëå ¯®¢¥àå®áâïå.{�.: � 㪠, 1984.{ 274 á.27. Dayanandan P., Subbiah V. R., Ebenezer A. I.Move-ment of water in glass leaf blades // Amer.J.Bot..{1994.{ 81, Suppl.{ P. 21{22.28. �¥£¨à¥à �. �., �âã誨 �. �., � ¤à¨ �. �.� â¥ç¥¨¨ ªà®¢¨ ¢ ª ¯¨««ïன á¥â¨ ¬ëèæë //�§¢¥áâ¨ï �� ����. �¥à.���.{ 1986.{ 6.{ �. 79{93.29. Hickey L. J. Classi�cation of the architecture ofdycotyledonous leaves // Amer.J.Bot.{ 1973.{ 60.{P. 17{33.30. �î⣥ �., �¨£¨¡®â ¬ �. �¥à¥¤¢¨¦¥¨¥ ¢¥é¥á⢢ à á⥨ïå.{ �.: �®«®á, 1984.{ 408 á.�. �. �¨§¨«®¢ 35
|