Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория

Получены точные аналитические решения одномерной динамической задачи для несжимаемого упругого радиально-неоднородного спирально-ортотропного толстостенного цилиндра в условиях плоской деформации, нагруженного нестационарным давлением изнутри и (или) снаружи. Установлены необходимые и достаточные...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автор:	Ромащенко, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2006
Назва видання:	Проблемы прочности
Теми:	Научно-технический раздел
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48505
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория / В.А. Ромащенко // Проблемы прочности. — 2006. — № 2. — С. 114-123. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48505
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-485052013-08-20T11:00:43Z Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория Ромащенко, В.А. Научно-технический раздел Получены точные аналитические решения одномерной динамической задачи для несжимаемого упругого радиально-неоднородного спирально-ортотропного толстостенного цилиндра в условиях плоской деформации, нагруженного нестационарным давлением изнутри и (или) снаружи. Установлены необходимые и достаточные условия существования, единственности и физической адекватности решений. Аналитически доказана сходимость волновых решений для слабосжимаемых цилиндров к полученным аналитическим зависимостям для несжимаемых. Отримано точні аналітичні розв’язки одновимірної динамічної задачі для нестисливого пружного радіально-неоднорідного спірально-ортотропного товстостінного циліндра в умовах плоскої деформації, що знаходиться під дією нестаціонарного тиску зсередини та (або) зовні. Установлено необхідні і достатні умови існування, єдиності і фізичної адекватності розв’язків. Аналітично доказано збіжність хвильових розв’язків для слабостисливих циліндрів до отриманих аналітичних залежностей для нестисливих. We have obtained precise analytical solutions of one-dimensional dynamic problem for an incompressible elastic radially-heterogenic spirally-orthotropic thick-walled cylinder under plane strain conditions, which is loaded by internal and/or external nonsteady pressures. We have identified the necessary and sufficient conditions of the existence, uniqueness and physical adequacy of the solutions. We provide analytical proof of the convergence of wave solutions obtained for weakly compressible cylinders as to the analytical relationships obtained for incompressible ones. 2006 Article Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория / В.А. Ромащенко // Проблемы прочности. — 2006. — № 2. — С. 114-123. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48505 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Ромащенко, В.А. Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория Проблемы прочности
description	Получены точные аналитические решения одномерной динамической задачи для несжимаемого упругого радиально-неоднородного спирально-ортотропного толстостенного цилиндра в условиях плоской деформации, нагруженного нестационарным давлением изнутри и (или) снаружи. Установлены необходимые и достаточные условия существования, единственности и физической адекватности решений. Аналитически доказана сходимость волновых решений для слабосжимаемых цилиндров к полученным аналитическим зависимостям для несжимаемых.
format	Article
author	Ромащенко, В.А.
author_facet	Ромащенко, В.А.
author_sort	Ромащенко, В.А.
title	Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория
title_short	Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория
title_full	Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория
title_fullStr	Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория
title_full_unstemmed	Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория
title_sort	динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. сообщение 1. теория
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Научно-технический раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48505
citation_txt	Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория / В.А. Ромащенко // Проблемы прочности. — 2006. — № 2. — С. 114-123. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT romaŝenkova dinamičeskaâzadačadlânesžimaemogomnogoslojnogocilindrasvintovojanizotropiejsoobŝenie1teoriâ
first_indexed	2025-07-04T09:02:24Z
last_indexed	2025-07-04T09:02:24Z
_version_	1836706425715294208
fulltext	УДК 539.3 Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория В. А. Ромащенко Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина Получены точные аналитические решения одномерной динамической задачи для несжи маемого упругого радиально-неоднородного спирально-ортотропного толстостенного ци линдра в условиях плоской деформации, нагруженного нестационарным давлением изнутри и (или) снаружи. Установлены необходимые и достаточные условия существования, единст венности и физической адекватности решений. Аналитически доказана сходимость волно вых решений для слабосжимаемых цилиндров к полученным аналитическим зависимостям для несжимаемых. К лю ч е в ы е с л о в а : спиральная ортотропня, несжимаемость, многослойный толстостенный цилиндр, динамика. В технике широко используются конструкции в виде многослойных цилиндрических толстостенных оболочек, слои которых выполнены из спи рально-армированных композитных материалов (КМ). В ряде случаев они деформируются упруго вплоть до разрушения. Обычно такие слои рассмат риваются в цилиндрических координатах (х, р , г) как спирально-ортотроп- ные упругие среды, одна из главных осей анизотропии которых всегда совпадает с направлением радиальной координаты г, а две другие повер нуты на некоторый угол армирования а относительно продольной х и окружной р осей [1]. Угол армирования, плотность и упругие характе ристики КМ могут быть кусочно-непрерывными функциями радиуса. В ряде случаев такие конструктивные элементы испытывают осесимметричное ди намическое нагружение импульсом давления (внутренний взрыв и т.п.). Часто представление о нестационарном напряженно-деформированном состоянии (НДС) в подобных конструкциях можно получить на основании одномерных динамических расчетов для бесконечно длинных цилиндров в условиях плоской деформации [2-4]. Аналитические решения для сжимае мых материалов даже в случае изотропии весьма громоздкие и записыва ются либо в рядах, либо в виде несобственных комплексных интегралов, содержащих специальные цилиндрические функции [4]. Если сжимаемостью слоев можно пренебречь, то, как будет показано далее, решения удается записать в квадратурах в общем случае, а для многих частных видов нагру жения и радиальной неоднородности, имеющих прикладное значение, - в элементарных функциях. Точные одномерные аналитические решения для многослойных упру гих полых цилиндров из изотропных несжимаемых материалов, нагружа емых нестационарным давлением, получены [3] путем развития подхода, описанного в [2]. В данной работе полученные ранее результаты [3] будут обобщены на случай слоев с винтовой ортотропией и произвольной ради альной неоднородностью. © В. А. РОМАЩЕНКО, 2006 114 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 2 Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра Рассмотрим несжимаемый бесконечно длинный толстостенный одно родный, неоднородный либо многослойный цилиндр в условиях плоской деформации, нагруженный импульсным осесимметричным давлением Р \(г) на внутренней и Р2 (г) на наружной поверхностях, где г - время. В началь ный момент времени ( г = 0) цилиндр ненапряжен и неподвижен, контакт между слоями в случаях Ж-слойного цилиндра полагается идеальным. Урав нение движения в цилиндрических координатах с учетом осевой симметрии и плоской деформации имеет вид до дг г + 0 г 0 <р 2д и ’д 2" (1) где р - плотность материала в рассматриваемой точке; и - радиальное перемещение; о г, о ^ - компоненты тензора напряжений. Для компонент тензора деформаций выполняются геометрические соот ношения Коши: ди/ дг и /г у хг У хр У гр 0гр (2) Касательные напряжения г хг и г Г(р отсутствуют. Остальные компо ненты тензоров напряжений и деформаций связаны между собой физи ческими уравнениями теории упругости спирально-ортотропного тела, кото рые в векторной форме можно записать так [5]: х ,ё р ,ё г ,У хр } [С ]{ох , 0 р ,0 г , ̂ хр }• (3) Здесь квадратная матрица С размерности 4 х 4 симметрична (С ^ = С ̂ ), и ее элементы равны: 4соэ а I '11 ■ + 1 хр у4^хр 2Е Х I с12 = с13 1 2у \ 1 ---- 1--------V Е х Е р Е хр ґх ґ х р } р эш2 2а Vхр 4 с 23 = • 2 2 V гр эш а + у гх соэ а Е ’Е г V гр соэ2 а + V гх э т 2 а Е с14 I ■ 2 2эш а соэ а V Е р + 2у хр ґ \ ґ х р соэ2а э т 2 а 2 с22 = ■ + хр \4 0 х р 2Ех 42 соэ а яп 2а + Е р (4а) 1 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 2 115 В. А. Ромащенко с24 / со8 а 8ш а V Е Р 2v хр с33 = У Е г ; с34 О\ Охр V — V^ гх ^ гр . -8т2а; со82а 8ш2а со82 2а / с44 = ■ + ' хр Е г 1 2v1 ----- 1--------+ Е х Е р Е . хр 8ш2 2а, 2 (46) где Е г, О у , VII (г, у = х , р , г; г * 7) - технические характеристики упру гости ортотропного материала в главных осях анизотропии при нулевом угле армирования (а = 0), т.е. в случае цилиндрической ортотропии. Для любой ортотропной среды также выполняются три равенства [5]: Е гV у = Е 7 V у , (5) и, следовательно, количество независимых упругих характеристик равно девяти. Для несжимаемых материалов кроме (5) должны выполняться следу ющие три равенства: Vij + v 1к = 1, г * у * к * г. (6) Решая систему (5), (6) относительно V у , получаем 1 + ЕгV 7 = - + Е 2 е 7 7 2 2Еу 2 Е гЕ хЕ р (7) Таким образом, если в сжимаемом ортотропном теле есть девять не зависимых характеристик упругости [5], то в несжимаемом - шесть. Если за основные (базовые) принять модули Юнга и сдвига в соответствующих главных направлениях, то все коэффициенты поперечной деформации (Пу ассона) однозначно можно определить по формулам (7). Можно также показать, что для несжимаемого спирально-ортотропного материала элементы матрицы податливости (4) удовлетворяют тождественно по а следующим четырем равенствам: Ст1 + Ст 2 + Ст 3 0т 2 + с т 3 т = 1, 2, 3, 4. (8) Закон Гука (3) для плоской деформации (2) и несжимаемого спирально- ортотропного материала (4)-(8) можно преобразовать к виду \| £ г + £ р 0; и (£ г — £р ) = 24 (о г — О р ) ; (9а) 116 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 2 Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра \ В о X ~°<р (с14с24 с 44с12 ) + ° г (с 14с34 с44с13 ); [Вг хр = [с33 с24 - с 22с34 + с23 (с24 - с34 )](° г — ° р X где В — С44 Сц С14 , А — ( 2 ч + ~ 2 2 (10) А — С44(С22С33 С23 ) + 2с23с24с34 С22С34 С33С24 и все V ц должны определяться согласно (7). Подставим (2) в первое равенство (9), в результате чего получим диффе ренциальное уравнение для прогиба: ди/ дг + и /г — 0. Решая последнее, находим и( г , г) — У( г)/ г. ( 11) Рассмотрим случай, когда выполняется условие А В > 0. (12) Как будет показано ниже, ситуация А В < 0 лишена физического смысла и будет приводить к парадоксальным либо неоднозначным решениям. При выполнении требования (12) из (2), (11) и второго уравнения (9) следует о г - о ^ — - В У ( г ) /( А г 2). (13) Подставляя (11) и (13) в уравнение движения (1), имеем до г У" (г) . В У ( г) , , дг — р г + А г 3 ' (14) Интегрируя (14) по г от внутреннего Я до внешнего Я 2 радиуса оболочки с учетом граничных условий о г ( Я , г) — - р ( г), I —1,2, (15) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции У ( г): У " + т 2У — Б ( г), (16) где Р ( і ) = [Ж О - р2 (01 М 1; (17а) /55# 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 2 117 В. А. Ромащенко 2 М = f р г -1 йг; \ 2 М -1 f БЛ -1 г -3 й г ; (176) величины р , А и В внесены под знак интегрирования, так как могут зависеть от текущего радиуса. Интегрируя (16) с нулевыми начальными условиями У (0) = У '(0) = 0, получаем [6] г У ( г) = ® -1 / Г ( £ ) в т о ( г - £ )й£. (18) о Определив У( г), напряжения можно найти по следующей схеме. Из (14) и (16) следует до 2 р БУ = ( Г - о 2У ) ^ + т т . (19) дг г Л г 3 Интегрируя (19) по г от внутреннего радиуса Я 1 до рассматриваемой точки, получаем г(г, г) = - Р \ ( г ) [ Г ( г ) - о 2У( г)]/ р г 1й г + У ( г ) f БЛ 1г 3йг. (20) После этого о у определится из (13), о х и г ̂ - из последних двух равенств (9), деформации - из (2) и (11): £<р = - г = У (г)/ г 2. Таким образом, поставленная задача для случая (12) решена полностью. Для довольно обширного класса функций нагрузок Г ( г) временной инте грал (18) записывается в элементарных функциях [6]. Пространственные интегралы в (17), (20) также в ряде случаев вычисляются точно: например, для Ж-слойного цилиндра, когда р , А и В есть кусочно-постоянными вдоль радиальной координаты. Рассмотрим случай Л Б < 0 (21) я я я я на примере однослойного полого несжимаемого цилиндра (плотность, угол армирования и упругие константы не зависят от г). Для определен ности нагрузки Р \( г) и р 2( г) будем полагать такими, что Г ( г) > 0 и ТО 0 < f Г ( г)й г< « . Как отмечалось выше, случай (21) лишен физического 0 смысла. Если кроме требований положительности и ограниченности моду лей упругости Е х, Е г, Е р и модуля сдвига не накладывать на них 118 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, N 2 Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра дополнительных ограничений, то можно строго показать, что при выпол нении (21) в несжимаемом цилиндре возможны следующие семь случаев. 1. A B < 0. Деформации и перемещения неограниченно возрастают с увеличением времени, напряжения определяются однозначно. Примером такого гипотетического материала может служить цилиндрически ортотроп- ный материал, для которого E r j E x = E р j E x = 5. 2. B Ф 0; A = 0. Деформации и перемещения тождественно равны нулю, все компоненты тензора напряжений определяются неоднозначно. Пример гипотетического материала - цилиндрически ортотропный, E r / E x = E E x = = 4. 3. B = 0; с14 Ф 0; c 44c12 Ф c14с 24. Деформации и перемещения неогра ниченно возрастают с увеличением времени, напряжения определяются однозначно. Пример гипотетического материала - спирально-ортотропный, а = л / 4; E x /E ^ = 2; E ^ E ^ = 12; G x<pl E р = 420. 4. B = 0; c14 Ф 0; с 44c12 = c14с 24. Деформации и перемещения ограни чены, напряжения определяются неоднозначно - бесчисленное множество решений для о х и т<рх. Пример гипотетического материала - спирально- ортотропный, а = л / 6; E x / E r =16; E x/ E р = 9. 5. B = c14 = c 44 = 0; c13 Ф 0. Деформации и перемещения неограниченно возрастают с увеличением времени, напряжения определяются однозначно. Пример гипотетического материала - спирально-ортотропный, а = л / 6; e <p I E x = 2; E f / E r = 6 ,5 E J G x(p= 1,5- 6. B = c14 = c 44 = c13 = 0. Деформации и перемещения ограничены, на пряжения определяются неоднозначно - бесчисленное множество решений для хр х . Пример гипотетического материала - спирально-ортотропный, а = л / 4; E р / E r = E x / E r = 4 7. B = c14 = cn = 0. Деформации и перемещения неограниченно возрас тают с увеличением времени, напряжения определяются однозначно. При мер гипотетического материала - спирально-ортотропный, удовлетворяю щий условиям: E p l E x = tg 4 а ; Е р (у G xp + 1/ E r ) = cos2 2 а / cos4 а; а Ф л и / 4; n Е Z. Приведенные примеры гипотетических материалов, для которых будут реализовываться случаи 1-7, не единственны. Подробности доказательств указанных положений опущены. Таким образом, моделировать спирально- ортотропный материал в задачах с цилиндрической симметрией несжима емым упругим телом можно только при выполнении условия (12). Если это требование не выполняется, то подобное моделирование может приводить либо к неустойчивым, либо к неоднозначным решениям. Случаи 1-7, лишенные физического смысла, возникают вследствие особенностей, связанных с несжимаемостью упругого анизотропного мате риала. Классическая теория упругости анизотропной среды [5] построена в предположении положительной определенности удельной потенциальной энергии упругого деформирования W . Если материал несжимаем, то этот постулат нарушается: всегда можно подобрать такую нагрузку, при которой деформации будут тождественно равны нулю при ненулевых напряжениях, т.е. W = 0, когда не все о { и х j равны нулю. В случае существенно анизотропных несжимаемых материалов ситуация может измениться более ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 2 119 В. А. Ромащенко резко: из-за требования (7) некоторые Vу могут оказаться отрицательными, некоторые - больше единицы. Вследствие этого Ж может принимать даже отрицательные значения. При условии конечной работы внешних сил, т.е. энергии Э, полученной системой извне за время и в результате действия внешней нагрузки, упругая потенциальная энергия цилиндра П будет отри цательной, а кинетическая энергия К - положительной. При этом кроме энергетического баланса (Э = П + К ) будет выполняться П — — ----> -ю ; К — — ---- >+ю. (22)г^+ю ’ г^+ю у ’ Случаю (22) как раз и соответствуют вышеотмеченные случаи 1, 3, 5 и 7. В остальных случаях (2, 4, 6, а также (12)) удельная потенциальная энергия Ж может принимать нулевые значения на некоторых ненулевых тензорах напряжений, деформации и перемещения при этом однозначны и ограничены, а однозначное решение по напряжениям получается только в случае (12). Таким образом, в случае цилиндров с винтовой анизотропией необхо димым условием получения адекватных решений по модели несжимаемого материала является строгое неравенство (12). Путем предельного перехода можно показать, что (12) - также достаточное условие. На примере изотроп ного однородного цилиндра очертим кратко путь доказательства. В случае многослойных анизотропных оболочек выкладки усложняются, но суть доказательства при этом принципиально не изменяется. Сформулируем краевую задачу для изотропного слабосжимаемого ци линдра в перемещениях: ч2„и д \ д - + - ) = — Т Г , (23)д г \ д г г ) а 2 дг 2(1 ^ ) О где а - скорость распространения продольных волн, а = —— 2~у; V - коэффициент Пуассона; О - модуль сдвига. Начальные условия таковы: и = д и / дг = 0 при г = 0, (24) граничные условия: ди V (д и и \ _ - P l ( г) Т г + 1 —^ 1дТ+ “Р" г = Я 1 ■ 1 = 1 Д (25) Можно проверить, что требование (12) для такой задачи удовлетворя ется. Поскольку рассматривается случай V, близких к 1/2, обозначим: д = 1 - V> 0. (26) 120 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 2 Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра Тогда для а будем иметь а = я/л/<5; Я = д/ в ( <5 + 0,5)/ Р , а граничные условия (25) преобразуются следующим образом: ди и 1 (д и и \ д Г - Г + + г ) = - р ^ г = ^ / = 1, 2- (27) (28) Краевую задачу (23), (24), (28) решаем методом интегрального преобра зования Лапласа по времени [7]: [ и ( г , г) — и ( г , 5); 1 р ( г) - Ф і (5), I = 1,2. (29) Уравнение движения (23) в изображениях (29) запишем так: д и2 д 2и + г- дг - и І 2 2 ' 5 г 1 + — ^ \ а = 0, его общее решение таково: и ( г , 5) = В / ( 5) / 1( 5г/ а ) + В к ( 5)К і( 5г/ а ), (30) где 1п ( 2 ) - модифицированная функция Бесселя п-го порядка; К п ( 2 ) - функция Макдональда п-го порядка [8]; В 1 (я) и В к (^) - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. Для их определения запишем граничные условия (28) в изображениях. С учетом известных свойств цилиндрических функций и их производных [8] получим - Ф і (5)1О = В 1 (5) 5 ( 5Я, ' М (1 + М )/о \- Т 2 - Т і 1 1 5Яі - В к ( 5) 5 С І 5&1 Ъ Л (1+ 2 й ) к о \- Г 2 15^1 + — к 1І 1я а I =1,2. (31) При 6 ^ + 0 аргументы цилиндрических функций в (30) и (31) в силу (27) также будут бесконечно малыми порядка 4 6 . Используя известные разложения цилиндрических функций в окрестности нуля [8] и решая систе му (31), можно показать, что при малых 6 будут выполняться оценки: В } (5) = О ( 4 6 1п 6); (32а) /SSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 2 121 В. А. Ромащенко 2^л/д[Ф !(5) - Ф 2(5)] , , Б к (5) = -------------- , 1 2------2̂ л 2 , + 0 ( д 1п д). (326) 0 [ 5 1п(Я 2 / ^ ) + 4 ^ 2( Я - 2 - Я - 2 )Д] 1 ; Подставляя (32) в (30) и используя разложения цилиндрических функ ций при малых аргументах, получаем гг/ ч Ф 1(5) - Ф 2(5) . п , ГГ, и (Г , 5) = , 2 ,----2м „ \ + 0 ( ^ д 1П д )’ (33)гр( 5 +Ю ) 1п( Я 2 І Я і) V } где (о = л\2Є р - 1(Я - 2 - Я - 2 )Д п(Я 2 / Я і ) , что совпадает с (17). Обращение главной (конечной) части (33) совпадает с (11), (17), (18) [7]. Учитывая также непрерывность функции и ( г , г) по каждому из аргументов, приходим к выводу, что предельный переход 1/2 - 0 приводит решение краевой задачи (23)-(25) к решению (11), (17), (18), что и требовалось доказать. Как видно из (11), (17) и (18), действующие (активные) нагрузки в формулу для перемещения входят только в виде разности [Р ^ г) - Р2 ( і)]. Таким образом, перемещения, а значит, и тензор деформаций в несжи маемом цилиндре не изменятся, если вместо граничных давлений Р ^ г) и Р 2(г) задать [Р1( г) + / ( г)] и [Р2( г) + / ( г)] соответственно ( / ( г) - любая функция, одинаковая для внутренней и внешней поверхностей оболочки). Это подтверждает известный факт, что однозначно восстановить тензор напряжений в несжимаемом теле, зная только перемещения (либо дефор мации), невозможно. Так, например, равномерное обжатие цилиндра по внутренней и наружной поверхностям одновременно (Р1( г) = Р2( г)) не при ведет ни к каким перемещениям и деформациям, хотя тензор напряжений при этом, естественно, нулевым не будет. Однозначно определить напря жения в несжимаемом цилиндре, например по вышеизложенной схеме (20), можно, если известны силовые граничные условия. Сходимость решений нестационарных краевых задач для цилиндров из слабосжимаемых материалов к полученным аналитическим зависимостям, справедливым в предположении несжимаемости, можно проиллюстрировать с привлечением численных методов интегрирования гиперболических крае вых задач. Этому вопросу, а также некоторым инженерным приложениям полученных решений будет посвящено следующее сообщение. Р е з ю м е Отримано точні аналітичні розв’язки одновимірної динамічної задачі для нестисливого пружного радіально-неоднорідного спірально-ортотропного товстостінного циліндра в умовах плоскої деформації, що знаходиться під дією нестаціонарного тиску зсередини та (або) зовні. Установлено необхідні і достатні умови існування, єдиності і фізичної адекватності розв’язків. Аналітично доказано збіжність хвильових розв’язків для слабостисливих циліндрів до отриманих аналітичних залежностей для нестисливих. 122 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 2 Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра 1. Григоренко Я. М ., В асиленко А. Т., П анкрат ова Н. Д . Задачи теории упругости неоднородных тел. - Киев: Наук. думка, 1991. - 216 с. 2. А габабян Е. X . Напряжения в трубе при внезапном приложении нагруз ки // Укр. математический журн. - 1953. - 5, № 3. - С. 4 - 8. 3. Л епихин П. П ., Д ем ен к о В. Ф., Р ом ащ енко В. А ., Б абич Ю . Н . Напря женно-деформированное состояние двухслойных цилиндрических мат риц для штамповки бризантными взрывчатыми веществами и электро- гидравлической штамповки // Авіац.-косм. техніка і технологія. - 2002. - Вип. 33. - С. 118 - 127. 4. Л епихин П. П . Решение динамической задачи для двухслойного толсто стенного цилиндра // Вопр. механики деформируемого твердого тела. - Харьков, 1977. - Вып. 1. - С. 55 - 60. 5. Л ехницкий С. Г . Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977. - 416 с. 6. С м ирнов В. И . Курс высшей математики. - М.: Наука, 1974. - Т. 2. - 656 с. 7. Д и т ки н В. А ., П рудников А. П . Интегральные преобразования и опера ционное исчисление. - М.: Наука, 1974. - 544 с. 8. Н икиф оров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. - М.: Наука, 1978. - 320 с. Поступила 25. 05. 2005 /55Ы 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 2 123

Динамическая задача для несжимаемого многослойного цилиндра с винтовой анизотропией. Сообщение 1. Теория

Репозитарії

Схожі ресурси