Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения

Анализируются известные аналитические методы и результаты исследования колебаний упругих тел с билинейной асимметричной характеристикой восстанавливающей силы, моделирующей поведение локальной несплошности материала типа закрывающейся трещины усталости. Предложен приближенный аналитический метод опр...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автор:	Матвеев, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2004
Назва видання:	Проблемы прочности
Теми:	Научно-технический раздел
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48535
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения / В.В. Матвеев // Проблемы прочности. — 2004. — № 4. — С. 5-20. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48535
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-485352013-08-20T20:34:15Z Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения Матвеев, В.В. Научно-технический раздел Анализируются известные аналитические методы и результаты исследования колебаний упругих тел с билинейной асимметричной характеристикой восстанавливающей силы, моделирующей поведение локальной несплошности материала типа закрывающейся трещины усталости. Предложен приближенный аналитический метод определения вибродиагностических параметров колебательного процесса рассматриваемой нелинейной системы в области слабых супергармонических резонансов. Проаналізовано відомі аналітичні методи і результати дослідження коливань пружних тіл із білінійною асиметричною характеристикою відновлювальної сили, що моделює поведінку локальної несуцільності матеріалу типу тріщини втомленості, що закривається. Запропоновано наближений аналітичний метод визначення вібродіагностичних параметрів коливального процесу досліджуваної нелінійної системи в області слабких супергармонічних резонансів. We analyze the available analytical methods and results of investigation of vibrations of elastic bodies with bilinear asymmetric characteristics of recovery force, which models the behavior of a material local discontinuity flaw of a fatigue crack type. We propose an approximate analytical method for determination of vibrodiagnostical parameters of oscillatory process of the nonlinear system under study in the region of weak superharmonic resonances. 2004 Article Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения / В.В. Матвеев // Проблемы прочности. — 2004. — № 4. — С. 5-20. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48535 534.08.620.178.5 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Матвеев, В.В. Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения Проблемы прочности
description	Анализируются известные аналитические методы и результаты исследования колебаний упругих тел с билинейной асимметричной характеристикой восстанавливающей силы, моделирующей поведение локальной несплошности материала типа закрывающейся трещины усталости. Предложен приближенный аналитический метод определения вибродиагностических параметров колебательного процесса рассматриваемой нелинейной системы в области слабых супергармонических резонансов.
format	Article
author	Матвеев, В.В.
author_facet	Матвеев, В.В.
author_sort	Матвеев, В.В.
title	Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения
title_short	Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения
title_full	Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения
title_fullStr	Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения
title_full_unstemmed	Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения
title_sort	приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. сообщение 1. существующие и предлагаемый методы решения
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2004
topic_facet	Научно-технический раздел
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48535
citation_txt	Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения / В.В. Матвеев // Проблемы прочности. — 2004. — № 4. — С. 5-20. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT matveevvv približennoeanalitičeskoeopredelenievibrodiagnostičeskihparametrovnelinejnostiuprugihtelobuslovlennojnaličiemzakryvaûŝejsâtreŝinysoobŝenie1suŝestvuûŝieipredlagaemyjmetodyrešeniâ
first_indexed	2025-07-04T09:04:54Z
last_indexed	2025-07-04T09:04:54Z
_version_	1836706583136960512
fulltext	НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ У Д К 534.08.620.178.5 Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров нелинейности упругих тел, обусловленной наличием закрывающейся трещины. Сообщение 1. Существующие и предлагаемый методы решения В. В. М атвеев Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина Анализируются известные аналитические методы и результаты исследования колебаний упругих тел с билинейной асимметричной характеристикой восстанавливающей силы, моде лирующей поведение локальной несплошности материала типа закрывающейся трещины усталости. Предложен приближенный аналитический метод определения вибродиагности ческих параметров колебательного процесса рассматриваемой нелинейной системы в области слабых супергармонических резонансов. Ключевые слова : вынужденные колебания, нелинейные колебания, высшие гармоники, основной и супергармонические резонансы, билинейная харак теристика восстанавливающей силы, трещина усталости, вибродиагностика усталостного повреждения. Введение. Одним из весомых, но менее исследованным вибродиагности- ческим признаком нарушения сплошности материала упругого тела типа закрывающейся трещины усталости нормального отрыва, которая при цикли ческом деформировании тела на полуцикле одного знака раскрыта, а на полуцикле другого - схлопнута, т.е. закрыта, и тело ведет себя как сплош ное, является обусловленное нелинейностью колебательной системы иска жение гармоничности колебательного процесса. В качестве индикаторов повреждения, более существенно проявляющих ся при резонансных режимах колебаний, рассматриваются параметры спект рального анализа - постоянная составляющая и амплитуды высших гармо ник [1-13], а также такие нелинейные эффекты, как суб- и супергармо нические резонансы [5, 7, 10, 11, 14-17], из которых наиболее предста вительными считаются последние. Супергармонические резонансы возбуж даются при значительно меньшей нелинейности, чем субгармонические, и ориентация на суперрезонансный метод изначально предопределяет высо кую чувствительность к возникновению повреждения, которая более чем в десять раз превышает чувствительность традиционных частотно-резонанс ных подходов и исключает необходимость проведения весьма трудоемкой процедуры паспортизации резонансных частот диагностируемой конструк ции [16, 17]. © В. В. МАТВЕЕВ, 2004 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 5 В. В. Матвеев Вопросы практической диагностики требуют проведения предваритель ных исследований для установления соответствующих соотношений между указанными параметрами и эффектами нелинейности и параметрами тре щин, т.е. их размерами и местом расположения. Естественное стремление найти определяющие соотношения в явном виде встречает определенные трудности, что связано в основном со слож ностью аналитического решения задачи о вынужденных колебаниях таких нелинейных систем. А нализ существующих методов и результатов исследований. Для установления рассматриваемых диагностических параметров непригодны методы линеаризации, которые позволяют определять эквивалентную собст венную частоту и амплитуду моногармонических колебаний системы. Упругое тело при условии относительно малых размеров трещины, позволяющем пренебречь некоторым различием между формами колебаний на полуциклах деформирования разного знака, можно представить для за данной собственной формы его колебаний механической моделью системы с одной степенью свободы (рис. 1 ,а), вынужденные колебания которой описы ваются дифференциальным уравнением вида d 2 и dt du 2 2 + 2 я —- + о [1 - 0,5а(1 + и )]и = q 0 в т vt. 2 dt ( 1 ) Здесь о - собственная частота колебаний неповрежденного тела; а - пара метр, интегрально характеризующий относительное изменение жесткости тела, К - К т а = ---- , К т < К , (2 ) К где К - жесткость тела с закрытой трещиной, которая принимается равной жесткости неповрежденного тела (в данном случае на полуцикле и < 0 ); К т - жесткость тела с открытой трещиной (и > 0 ). Примеры определения параметра а для стержневых элементов с тре щиной нормального отрыва при продольных и изгибных колебаниях рас смотрены ранее [5, 18]. а б Рис. 1. Модель колебательной системы с трещиной нормального отрыва. ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 46 Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров Модель упругого тела с асимметричной билинейной характеристикой восстанавливающей силы Б (и ) - рис. 1 ,б представляет специфический класс нелинейных систем, относящихся к существенно нелинейным, но точно интегрируемым системам [19]. Для случая свободных колебаний (д 0 = 0) известно простое аналити ческое решение уравнения ( 1 ), соответствующее методу припасовывания при начальных условиях и(0) = 0 и и(0) = V о [1, 19]: и( 0 = р ( 0 м( (). (3) Здесь р ( () = е~ы ; g( ї) = V О — Л - ^ в т ю ї, - — < ї < О; ю ю V О _ Л 81П Ют ї , 0 < ї < , ют ют ̂ т — Н ; т т - частота свободных колебаний тела с открытой трещиной, т т = = д /т 2 — Н2 . Период свободных колебаний упругого тела с закрывающейся несплош но стью находится как сумма полупериодов — Л Л То = - + — ю ют и соответственно частота свободных колебаний _ 2 л 2 юют юО = ■=- =О г — . — То ю + ют Если пренебречь влиянием параметра И на частоту колебаний, то собственная частота тела с закрывающейся трещиной будет равна 2 юю т ю О = ----------. (4) 0 ю + ю т (4) К К т Принимая во внимание, что т = * — и т т = л ---- (ш - приведенная V ш \ ш масса), выражение (4) с учетом (2) можно преобразовать к виду 2 >/1 — X т о = ^ Д------т (5)1 + -V 1 — X ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 4 7 В. В. Матвеев Решение вида (3) удовлетворяет условию Дирихле и допускает разло жение в ряд Фурье. Для удобства дальнейшего анализа значения коэффи циентов Фурье, приведенные в [13] при к = 0, представим по отношению к амплитуде первой синусоидальной гармоники и выразим через параметр а [3]. Тогда эш т о ї + Ь1 соэ т о ї + а о + Х ( Ьп соэ пт 0 ї + ап э т пт 0 ї ) п=2,3,... (6 ) где а 0 = ( в 2 - 1)(Я 2 - 1 ) л в ( в 2 - 1 )(я 2 - 1 ) ( в 2 - п 2 )(Я 2 - п 2) : ( в 2 - 1 )( Я 2 - 1 ) Ьп = 1 + СОЭ пл в ( в 2 - п 2)(Я 2 - п 2> іп пл в (7) в 1 + V1 —а 2 Я = в л/Т а При значениях а < 0,01, представляющих интерес для диагностики ран них стадий развития трещин, имеем Ь < 0 ,0 1 1 , и основная гармоника факти чески определяется амплитудой А при синусоиде. Из высших гармоник наиболее значима вторая с определяющей амплитудой, как и для остальных четных гармоник при косинусоиде. Для нечетных гармоник определяющими являются амплитуды при синусоиде, однако их величина существенно мень ше амплитуд четных гармоник. Так, а 3 / Ь2 ^ 0,0011, а 5 / Ь2 ^ 0,00012 при а 5 / Ь2 ^ Ьц/Ь2 ^ 0 ,0 2 . Таким образом, для практического использования выражение (6 ) можно упростить, приняв ап = э т т о ї + а 0 +0 соэ пт 0 ї п=2,4, (8 ) Однако в случае исследования вынужденных колебаний использование метода припасовывания, как показано в работе [19], значительно усложня ется. Нахождение периодического решения требует априори задавать после довательность прохождения системой отдельных участков нелинейной упру гой характеристики, т.е. областей с жесткостью К и К т (рис. 1,6), и, как правило, сводится к достаточно сложным и громоздким системам транс цендентных уравнений, не относящихся к категории удобных для анализа и требующих численного решения. Получаемые в конечном итоге соотно шения справедливы только при оговоренной последовательности прохожде- 8 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров ния системой таких участков, а полный анализ поведения системы требует рассмотрения всех возможных типов решения и определения областей су ществования каждого из них. Для установления параметров вынужденных колебаний широко исполь зуется метод построения решения в рядах Фурье [19-22], который при более простых подходах обеспечивает получение приближенных решений с не обходимой точностью. Метод с успехом применяется также при анализе суб- и супергармонических резонансов. Однако, как и для получения точного решения, необходимо предварительно выбрать возможную последователь ность прохождения системой отдельных участков упругой характеристики и в соответствии с ней описать нелинейную функцию восстанавливающей силы. Решение, представляемое в виде полного ряда Фурье, подставляется в исходное дифференциальное уравнение ( 1 ) при восстанавливающей силе, которая записана согласно принятому характеру движения, определяющему моменты переключения жесткости системы. Составленные уравнения энергетического баланса и уравнения, пред ставляющие запись решения для моментов переключения жесткости, явля ются полной системой уравнений для нахождения амплитуд гармонических составляющих решения, произвольно выбранного сдвига фазы возмуща ющей силы и угла, определяющего моменты переключения жесткости систе мы. В полученные уравнения искомые амплитуды гармоник входят линейно. Однако ввиду относительной громоздкости уравнений их решение практи чески возможно только при использовании ЭВМ и ограничении количества учитываемых гармоник. Так, приведенные в [19, 20] резонансные кривые основного и супергармонических резонансов 2- и 3-го порядков для случая И = 0 вычислялись при учете лишь первых трех членов решения. Чтобы ответить на вопрос физической реализуемости тех или иных периодических решений, необходимо проанализировать их устойчивость. Несколько иной вариант приближенного аналитического решения рас смотрен в работах [1 0 , 1 1 ], где первоначально отыскивается трехчленное периодическое решение. Исходное дифференциальное уравнение, аналогич ное ( 1 ), путем замены переменной и(г) при разложении несимметричной восстанавливающей силы в ряд Фурье приводится к нелинейному уравнению с переменными коэффициентами. Переменная и( г) представляется суммой, состоящей из решения линейного уравнения с эквивалентной собственной частотой (4) и с корректируемым впоследствии сдвигом фазы и новой переменной у ( г ) с независимой переменной г = ют г. Затем в окрестности частот, удовлетворяющих приближенно условию ю 0 = ну (п = 1, 2, 3, ...), отыскивается приближенное резонансное решение в виде постоянной составляющей Аоп, п-й гармоники с амплитудой А п и сдвигом фазы у п. Параметры Аоп, А п и у п этого решения приближенно вычисляются из со ставляемых уравнений гармонического баланса с разложением в ряд Фурье ранее полученных выражений коэффициентов Фурье при разложении вос станавливающей силы. Получаемая система трех трансцендентных урав нений решается для фиксированного значения п. Неаналитичность подынтегральных выражений коэффициентов разложения в двойной ряд Фурье не позволяет найти явные выражения для искомых параметров. Вы ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 9 В. В. Матвеев полненные в [1 0 , 1 1 ] численно-аналитические исследования при значении то = 1 показали, что слабый резонанс (амплитуда второй гармоники Л2 K - K т меньше амплитуды первой Л 1 ) наступает при ---- -------= 1...5 [11], т.е. когда 2hK а / h ~ 2 ...1 0 . Известны попытки найти замкнутое решение уравнения вынужденных колебаний (1). Так, в [23] значение скачкообразно изменяющегося квадрата 2 2собственной частоты колебательной системы т ( t) = т [1 - 0,5а(1 + sign и )] выражалось через функции единичных прямоугольных импульсов ф 1 ( t), 2 2 2 ф 2 ( t): т ( t ) = т ф 1 ( t) + ттф 2 ( t). Прямоугольные импульсы длительностью л /v и частотой следования, равной частоте v вынуждающей силы, сдвину ты по фазе для одной функции относительно другой на угол л / v , равный половине периода вынуждающей силы. Решение уравнения (1) при h = 0 и начальных условиях u(0) = U(0) = 0 представлялось в виде суммы незави- 2 2 2 2 симых решений уравнения при т ( t) = т ф 1 ( t) и т ( t) = ттф 2 ( t) с после дующим разложением функций ф 1 ( t) и ф 2 ( t) в ряд Фурье. При этом решение рассматривается в предположении v < < т т . Это условие приемле мости использования данного метода решения конкретизируется в [7] значе нием v/т 0 < 1/5...1/6. В работах [22, 24] решение уравнения (1) также представляется в виде двух стационарных решений для полупериодов разного знака, т.е. решений линейных вариантов уравнения ( 1 ) при собственной частоте т и т т , кото рые в отличие от решений для случая свободных колебаний (3) не припа сованы по скорости в момент изменения знака перемещения. Полученное для периода T = 2 л /т 0 решение раскладывается в ряд Фурье с опреде лением амплитуд гармонических составляющих. Такое решение обусловли вает не соответствующее действительности наличие двух резонансных час тот т и т т и не выявляет нелинейные резонансы. Функция прямоугольных импульсов ф ( t) применялась также в работе [25] при исследовании вынужденных колебаний консольного стержня с краевой закрывающейся трещиной с использованием метода конечных эле ментов и метода гармонического баланса. Процесс открытия-закрытия тре щины моделировался функцией прямоугольных импульсов ф (t). Эта функ ция определяет изменение жесткости конечного элемента с трещиной с периодом следования импульсов, также равным периоду гармонической вынуждающей силы. Для того чтобы применить далее метод гармоничес кого баланса, функцию ф( t) и искомое решение для рассматриваемой балки как системы с конечным числом степеней свободы представляли в виде рядов Фурье. Такой подход весьма эффективен для быстрого вычисления гармоник отклика системы. Аналогичные подходы к моделированию тре щины использовались в [26, 27]. Однако в [7] было показано, что предло женная в [25] модель трещины неверно описывает поведение колебательной системы, особенно в области супергармонических резонансов, когда система может изменять свою жесткость более чем один раз за период колебаний. Особенно значимое отличие результатов [25] от решения, полученного пря мым численным интегрированием, наблюдается при частотах возбуждения, 10 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 4 Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров близких к 1 /2 ®о, 1/4®о и т.д., когда весьма значительны амплитуды соответ ствующих супергармоник. Так, например, если v = 1/2®о, то отклик систе мы должен содержать гармоники с частотой 1 /2 ®о, ®о и т.д., а функция прямоугольных импульсов не содержит гармоники с частотой 2 v = ®о. Наряду с поиском приближенных аналитических решений для опре деления параметров супергармонического резонанса используется также метод электрического моделирования. Так, в работе [17] приводятся резуль таты исследования на электрической модели супер- и субгармонических колебаний стержня при наличии трещины. Было также установлено [16], что наиболее интенсивным из супергармонических резонансов является резо нанс порядка 2/1, а из субгармонических - порядка 1/2. Если первый про является при любом сколь угодно малом значении параметра а, то второй оказывается возможным лишь при определенной его величине. Рассмотренные приближенные аналитические методы не позволяют получить выражения для диагностических параметров в явном виде, за исключением случая свободных колебаний (6 ), (7). Однако при условии слабой нелинейности колебательной системы (а < о,3) можно, используя асимптотический метод нелинейной механики, найти в явном виде прибли женные выражения амплитуд гармонических составляющих колебательного процесса как для свободных колебаний, так и для основного резонанса Амплитуда А и фаза р = vt + у определяются из уравнений первого приближения: а периодическая функция угла р с периодом 2 л второго приближения £Ы1 (Л ,р ) - из выражения (9) где ( 1 Q) получаем решение уравнения ( 1 ) во втором приближении: u = A sin р + £u1 (A ,<р). ( 1 1 ) dA dt £u 1 (A, р ) = - g о(А) + ^ g n (A)cos np + p n (A)sin np „ 2n 2 - 1 (13) n=2,3,... ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 4 11 В. В. Матвеев Здесь 2 л 2лШ г Ш г В 1 (А )= 2 ^ J / о ( А>р)й п р # ; ° 1 (А )= 2 ^ а ■» ^ о (А р )соэ(ра(р; 2 л -* 2л г о(А) = : ^ / / 0 (А. р )ёр; ё п (А) = — / / о( А р )соэ пр ёр; 2л о л о 1 2 л ^п (А) = — / / о( А, р )я п п р ё р , л о где / о (А, р ) = / (А э т р ) = —о,5аА[1 + sign(sin р ) ]э т р . (15) Подставляя (15) в выражение для ^ ( А ) , получаем А) = —о,25аш. Принимая для режима резонанса у = — л / 2 и учитывая, что при V = ш о ё р /Л = шо, из второго выражения ( 1 2 ) находим приближенное значение частоты собственных колебаний тела с закрывающейся трещиной ш о = (1 — о,25а)ш, (16) которое при а < о,25 отличается от полученного по формуле (5) значения менее чем на 1 %. Подставив (15) в выражения (14), после интегрирования в соответствии с (11) и (13) найдем полное решение во втором приближении: и = А э т р + а о + ^ ап соэ пр п=2,4,... (17) где А о а А 1 л А п А 2 а 1 л ( п — 1 ) 2 А, = А. (18) Значения полученных явных выражений для относительных величин постоянной составляющей а о и высших гармоник а п (18) при а < о , 1 отличаются от более точных значений (7) менее чем на 5% и соответствуют как стационарному режиму свободных колебаний (д = к = о), так и режиму основного резонанса (V = шо). П риближенный аналитический метод определения диагностичес ких параметров при супергармоническом и основном резонансах. Рас сматривая нелинейную математическую модель упругого тела ( 1 ) с асим метричной билинейной упругой характеристикой при синусоидальном внеш нем воздействии с частотой V, будем учитывать характерную особенность нелинейной системы, заключающуюся в возможности возникновения наря ду с основным резонансом супергармонического резонанса 5 -го порядка, когда v = шо/ 5 (^ = 2 ,3 , ...). Полагаем, что при v ^ ш о / 5 кроме основной а ао п 12 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров (первой) гармоники А х з т (v t + у 1 ), относительная амплитуда которой соот ветствует решению вынужденных колебаний линейной системы с собствен ной частотой (5) А 1 Ч о ( 1 + V1 _ а ) 2 4(1 - а ) О 1 - ( 1 + V 1 - а ) 2 / V 4(1 - а ) О + (1 + 7 1 - а ) 4 / Л \2^ 4(1- а ) 2 \ о О (19)2 возникают колебания со спектром гармонических составляющих при основ ном резонансе (17), (18), т.е. соответствующим спектру свободных коле баний. Таким образом, решение уравнения (1) в области супергармонического резонанса 5 -го порядка отыскиваем в виде и( і ) = А 0 + А 1 §ш( vt + у 1) + +А, 2 а — "2----- 2 ®ІП п( + у 5 ) п=2,4,... л ( П - 1 ) (2 0 ) где А0 - постоянная составляющая, значение которой согласно (18) пропор ционально амплитуде первой гармоники, а Ао = ~ А1 - л (2 1 ) Следует заметить, что выбранное значение Ао мало отличается от полученного в [ 1 2 ] при нахождении решения уравнения ( 1 ) в приближении основной гармоники методом гармонического баланса, которое в наших обозначениях имеет следующий вид: Ао = 2 а ( 2 - а )л А1 . Для определения неизвестных параметров А5, у 1 и у 5 используем описанный ранее [5] подход, суть которого заключается в том, что решение (2 0 ) подставляется в уравнение ( 1 ) в моменты времени , когда знак перемещения и(II), определяющий значение упругой характеристики, заве домо известен. В отличие от [5], сдвиг фазы у ̂ также подлежит опреде лению. Выбрав необходимое количество таких характерных моментов вре мени за один период основной (первой) гармоники и потребовав выпол нения уравнения ( 1 ) в эти моменты, получим систему уравнений для опре деления искомых параметров. ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 13 В. В. Матвеев Рассмотрим наиболее важный с точки зрения диагностики усталостного повреждения вариант соотношения амплитуд гармонических составляющих, когда Л5 < Л1 (рис. 2), т.е. случай слабого резонанса. В качестве характер ных моментов времени примем ,, P - Y 1 л - ( 3 + у О t1 — ; t1 — ; „ л + ( 3 - У 0 2 л - СЗ + у 1 ) t2 — V ; t 2 — V ! (2 2 ) которым на первой гормонике соответствуют точки 1 ', 1 '', 2 ', 2 ” (рис. 2 ). Значение угла 3 в (22), т.е. фазы первой гармоники (fi — v t + у i), соот ветствует условию A 1 sinЗ > As (23) и может выбираться в интервале 3 о — 3 — л / 2 , где З о отвечает условию A1 sin 3 о — As. Рис. 2. Основные гармоники колебательного процесса. Как видно, согласно принятому закону изменения восстанавливающей силы (9) точки Г и 1", для которых и( ) > 0, определяют ее значение 2 2 (1—а)т и , точки 2' и 2" - т и. Подставляя для выбранных моментов времени решение (2 0 ) в уравнение ( 1 ) с учетом указанного значения вос станавливающей силы, получаем две пары исходных уравнений: 14 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 4 Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров (1 - а ) А о + ( 1 - “ ) - 'ю э т уР ± 2 И —2 С 0 8 Р \|А 1 + ю + 1 ( ± 1 ) э- 1 ( 1 - а ) - ю [ЭШ С0Э(у 5 - эу 1 ) ± С0Э эР Эт(у 5 - эу 1 )] + эу + (± 1 ) 5 2 И— 2 [с0 э эР С0 э(у 5 - эу 1) + э т эР эт(у 5 - эу 1)]± ю ~ ( 1 - а ) - п . 2 а \ю ЭУ я 2 1 \ 2 п=2,4,. (п 2 - 1 ) ■ ^08 пэ3 С0 Э н(у 5 - эу 1 ) + ЭШ ПэР ЭШ п(у 5 - эу 1)] + ЭУ + . Ип , 4а ю 2 ^ ----^ г [^ п пф С0 Э п(у 5 - эу 1) ± С0 Э пэр э т п(у 5 - эу 1)] я н=2,4,... (п 1) А э = ю (э т Р С0 Э у 1 + С0 Э Р э т у 1); СМ ") Ао 1 - 1 ^У ю э т Р ± 2И —2 С0 Э Рг А1 ю Ч ( + 1 ) 5-1 1 - \| — ю [эт эР С0 Э(у 5 - эу 1 ) ± С0 Э эР эт(у 5 - эу 1 )] - ЭУ (+ 1 )5 2 И—2 [с0 э эР с0 э(у 5 - эу 1) + э т эР эт(у 5 - эу 1)]- ю эу „ 1 - п '2а V ю , / , ----- 2------ ^ [ с 0 э нэР С0 эп(у 5 - эу 1) + э т п э р э т п (у 5 - эу 1)]: п=2,4,. эу . Ип , 4а ю 2 / , ----^ [ э ^ п НэР С0 Э п(у 5 - эу 1) ± С0 Э пэР э т п(у 5 - эу 1)] я 1=2,4,... (Н 1) Аэ = = - -Ч°Г ( э т Р С0 Э у 1 + С0 Э Р э т у 1). ю (2 ', 2 ") ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 4 15 2 2 2 2 2 2 В. В. Матвеев Для удобства дальнейшего анализа приведенные уравнения пронумерованы в соответствии с обозначением точек на первой гармонике. Здесь верхние знаки относятся к уравнениям (1'), (2'), нижние - к (1"), (2"). Далее будем использовать выражения этих уравнений при замене тригонометрических функций угла $ их средними значениями на интервале изменения угла $ от $ о до л / 2 : (sin Л ^)ср = (cos ОДср = n/ 2 2 f sin Nfldfi lo________= n - 2 i o nj 2 2 f cos Nfldfi ________ П - 2;3 o 2(cos N n j2 - cos Nft 0) N ( n - 2 i o ) 2(sin N n /2 - sin Nf$ 0 ) N( n - 2 i o) ' (24) Указанные средние значения будем обозначать чертой снизу. Произведя почленное алгебраическое суммирование уравнений (Г)-(Т') + (2 ')-(2 ''), получаем уравнение 1 - І — [ 2 + ( - 1 )s - ( - 1 )s 1 ]sinФ cos(y ̂ - sy і) - 2 - « { [ ! - ( - ! ) S 1 ]sinsicos(ys - sy 1 ) + [1 + ( - 1 )s 1 ]cossisin (ys - sy 1 ) } - sv „ 4a ^ 1 4h — [ 1 + ( -1 ) ]sm Ф sin(ys - sy 1 ) - — — Г72x ® 2 n n = t t ( n - 1 ) 2 x< ( 2 - a ) - 2 n 2 sv O sv Isin n(y s - sy 1 ) + 4hn — 2 cos n(y s - sy 1) f sin nsp = o, O (25) 2 которое не содержит искомых параметров Ao и As и может быть исполь зовано для определения сдвига фазы y s - sy 1 . В результате почленного сложения уравнений (1') + (1") + (2') + (2") получим уравнение, которое при известном значении отношения A ^ jA и найденном из (25) сдвиге фазы y s - sy 1 определяет при условии sin i o = ~ A s/A 1 основной диагностический параметр: x [ 2 + ( - 1 ) s - ( - 1 ) s 1 ]c o s s i s i n ( y s - sy 1 ) - a { [ 1 + ( - 1 ) s 1 ] s in s i c o s (y s - sy 1) + 16 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, N 4 A — = - 2 A1 Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров + [1 - ( - 1 ) s 1 ]cossßsin(у s - sy i)} + 4h—2 [ 1 + ( - 1 ) s ]cOSsßcos(у s - sy i) + O sv + 2 2 2 a =2 a... л (n 2 - 1 ) 2 ( 2 - a ) - 2 n z \| sV cosn(Уs - sy 1 ) ' sv - 4 h n —2 sinn(у s - sy 1 )rCOSnsß O - 1 (26) При известных значениях А ^ я 0 и А 5 /А^ сдвиг фазы у 1 основной гармоники определяется из баланса подводимой АЖдо и поглощаемой за цикл колебаний энергий. Для рассматриваемого случая моногармо- нического возбуждения и вязкого трения исследуемой системы имеем AWq0 = - л < ? 0 A1 sin У1 ’ (27) AWh = 2 л h v 1 + \| - л 2 n=2,4, 2n \| а : 2 ( 2 1Л4 ( n - 1) \ А ц A 1 (28) Из условия AWqo = AWh при учете (19) находим ( 1 + V1 - a ) 2hv 2 ( 1 - a )o 2 Sin у J 1+ 4 a л 2 n=2,4, (n 2 - 1 ) 4 1 - (1 + V1 - a ) 2 / v 4(1 - a ) + (1 W 1 - a ) 4 \| h f ( v 4 ( 1 - a ) 2 I A s] 2 \ А ц 2 Г ) (29) Зная tg(у s - sy 1) и sin у 1; определяем сдвиг фазы у s = arctg(у s - sy 1) + s arcsin у 1. (30) Заключение. Анализ известных аналитических методов нахождения периодических решений дифференциального уравнения вынужденных коле баний диссипативной системы с несимметричной билинейной характерис тикой восстанавливающей силы, описывающего колебания упругого тела с ‘дышащей” несплошностью материала типа закрывающейся трещины уста лости, свидетельствует о наличии значительных трудностей в получении удобных для анализа решений. Системы сложных определяющих уравнений в конечном итоге требуют численного решения. Имеющиеся замкнутые решения не описывают или ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 4 17 2 n 2 2n 2 В. В. Матвеев искажают поведение системы в области нелинейных резонансов, а иногда искажают ее поведение и в области основного резонанса. Представленный приближенный аналитический метод нахождения пара метров искомого в виде определенного тригонометрического ряда решения основан на удовлетворении нелинейного дифференциального уравнения вы нужденных колебаний в моменты известного значения билинейной харак теристики восстанавливающей силы. Получены общие исходные уравнения для определения вибродиагностических параметров колебательного процесса в области слабого супергармонического резонанса s-го порядка. Р е з ю м е Проаналізовано відомі аналітичні методи і результати дослідження коли вань пружних тіл із білінійною асиметричною характеристикою відновлю- вальної сили, що моделює поведінку локальної несуцільності матеріалу типу тріщини втомленості, що закривається. Запропоновано наближений аналітичний метод визначення вібродіагностичних параметрів коливального процесу досліджуваної нелінійної системи в області слабких супергармо- нічних резонансів. 1. Kapaceв В. А., Ройтман А. Б. Доводка эксплуатируемых машин. Вибро- диагностические методы. - М.: Машиностроение, 198б. - 192 с. І . Матвеев В. В. К анализу эффективности метода спектральной вибро диагностики усталостного повреждения элементов конструкций. ^ о б щ . 1. Продольные колебания, аналитическое решение // Пробл. прочности. - 1997. - № б. - C. Б - 20. 3. Матвеев В. В., Бoвcyнoвcкuй А. П. К анализу эффективности метода спектральной вибродиагностики усталостного повреждения элементов конструкций. ^ о б щ . 4. Анализ искажения гармоничности цикла коле баний стержневых элементов при наличии закрывающихся попереч ных трещин // Там же. - 2000. - № 1. - C. З - 12. 4. Матвеев В. В., Бoвcyнoвcкuй А. П. К определению вибрационных харак теристик стержня с закрывающейся трещиной при изгибных колеба ниях // Там же. - № 3. - C. З - 23. З. Матвеев В. В., Бoвcyнoвcкuй А. П. Некоторые аспекты колебаний упругого тела с “дышащей” несплошностью материала // Там же. - № З. - C. 44 - б0. 6. Rivola A. and White P. R. Bispectral analysis of the bilinear oscillator with application to the detection of fatigue cracks // J. Sound Vibration. - 1998. - 216, No. З. - P. 889 - 910. 7. Ruotolo R., Surace C., Crespo P., and Storer D. Harmonik analysis of the vibrations of cantilevered beam with a closing crack // Comp. Struct. - 199б. - 61, No. б. - P. 10З7 - 1074. 8 . Tsyfansky S. L. and Beresnevich V. I. Detection of fatigue cracks in flexible geometrically non-linear bars by vibration monitoring // J. Sound Vibration. - 1998. - 213, No. 1. - P. 1З9 - 1б8. 18 ISSN Ü556-171X. Проблемы 2ÜÜ4, № 4 Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров 9. Bouraou N. and Gelman L. Low-frequency vibro-acoustical method of forced oscillation // Computer Methods and Inverse Problems in Non destructive Testing and Diagnostics. - Minsk, 1998. - P. 33 - 40. 10. Плахтиенко H. П. К диагностике кусочно-постоянной жесткости при не линейных резонансах // Прикл. механика. - 1991. - 27, № 10. - С. 112 - 1 2 0 . 11. Плахтиенко Н. П. Резонанс второго порядка пластины, содержащей протяженные дефекты целостности // Пробл. прочности. - 2001. - № 1. - С. 105 - 116. 12. Анпилогов Д. И. Постоянная составляющая колебаний поврежденной лопатки // Проблеми динаміки і міцності в газотурбобудуванні: Тези доп. міжнар. наук.-техн. конф. - Київ: Ін-т пробл. міцності НАН України, 2001. - С. 5 - 6 . 13. Ройтман А. Б., Пылов А. А , Александрова Н. Б. Продольные колебания консольного стержня с поперечной трещиной. Сообщ. 1. Малые коле бания // Пробл. прочности. - 1999. - № 2. - С. 23 - 34. 14. Krawczuk M. and Ostachowicz W. Damage indicators for diagnostic of fatigue cracks in structures by vibration measurements - a survey // J. Theor. Appl. Mech. - 1996. - 34, No. 2. - P. 307 - 326. 15. Cheng S. M., Swamidas A. S. J., Wu X. J., and Wallace W. Vibrational response of a beam with a breathing crack // J. Sound Vibration. - 1999. - 225, No. 1. - P. 201 - 208. 16. Цыфанский С. Л., Бересневич В. И., Магоне М. А. Вибродиагностика усталостных трещин в несущих поверхностях летательных аппаратов на основе использования нелинейных эффектов // Дефектоскопия. - 1993. - № 2. - С. 87 - 94. 17. Цыфанский С. Л., Магоне М. А., Ожиганов В. М. Об использовании нелинейных эффектов для обнаружения трещин в стержневых элемен тах конструкций // Там же. - 1985. - № 3. - С. 77 - 82. 18. Матвеев В. В., Бовсуновский А. П. К анализу эффективности метода спектральной вибродиагностики усталостного повреждения элементов конструкций. Сообщ. 3. Аналитическое и численное определение собст венных частот продольных и изгибных колебаний стержней с попереч ными трещинами // Пробл. прочности. - 1999. - № 4. - С. 1 9 - 3 1 . 19. Крюков Б. И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. - М.: Машиностроение, 1984. - 216 с. 20. Maezawa S . Superharmonic resonance in piecewise-linear system with unsymmetrical characteristics // Tp. V Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. - Т. 1. Аналитические методы теории нелинейных коле баний. - Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1970. - С. 401 - 422. 21. Maezawa S. and Furukawa S. Superharmonic resonance in piecewise-liner system // Bull. ISME. - 1973. - 16, No. 96. - P. 931 - 941. 22. Ройтман А. Б., Пылов А. А , Александрова Н. Б. Продольные колебания консольного стержня с поперечной трещиной. Сообщ. 2. Кусочно линейная модель // Пробл. прочности. - 1999. - № 5. - С. 78 - 85. ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 4 19 В. В. Матвеев 23. Chu Y. C. and Shen M.-H. H. Analysis of forced bilinear oscillators and the application o f cracked beam dynamics // AIAA J. - 1992. - 30, No. 10. - P. 2512 - 2519. 24. Ройтман А. Б., Александрова H. Б., Христенко Т. А. Вибрационная диагностика “дышащих” трещин в изделиях // Техн. диагностика и неразрушающий контроль. - 2000. - № 1. - С. 58 - 67. 25. Krawczuk M. Coupled longitudinal and bending forced vibration of Timoshenko cantilever beam with a closing crack // Mech. Teoret. Stosowana. - 1994. - 32, No. 2. - P. 463 - 482. 26. Abraham O. N. L. and Brandon J. A. A piece wise linear approach for modelling of a breathing crack // Proc. 17th Int. Seminar on Modal Analysis (Belgium, Leuven). - 1992. - 1 . - P. 4 1 7 - 4 3 1 . 27. Shen M.-H. H. and Chu Y. C. Vibrations of beams with a fatigue crack // Comp. Struct. - 1992. - 45, No. 1. - P. 79 - 93. Поступила 29. 10. 2003 20 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 4

Репозитарії

Схожі ресурси