Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище

Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище

Розглянута задача закріплення пружного ґрунтового масиву методом нагнітання в нього в’яжучого розчину. Побудовані математичні моделі та алгоритми розв’язку для випадків плоско-вертикальної та осесиметричної постановок. Розв’язки отримано методом скінченних різниць з використанням числових конформних...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2010
1. Verfasser: Демчук, М.Б.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48771
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище / М.Б. Демчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 61-75. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48771
record_format dspace
spelling irk-123456789-487712013-09-03T03:03:44Z Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище Демчук, М.Б. Розглянута задача закріплення пружного ґрунтового масиву методом нагнітання в нього в’яжучого розчину. Побудовані математичні моделі та алгоритми розв’язку для випадків плоско-вертикальної та осесиметричної постановок. Розв’язки отримано методом скінченних різниць з використанням числових конформних відображень. The problem of soil tract reinforcing by means of grout injection in it is discussed. Mathematical models and solution algorithms are constructed for the cases of vertical plane and axis symmetry set ups. The solutions are obtained by the finite difference method with the usage of numerical conformal transformations. 2010 Article Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище / М.Б. Демчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 61-75. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48771 624.048-033.26:621.651 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Розглянута задача закріплення пружного ґрунтового масиву методом нагнітання в нього в’яжучого розчину. Побудовані математичні моделі та алгоритми розв’язку для випадків плоско-вертикальної та осесиметричної постановок. Розв’язки отримано методом скінченних різниць з використанням числових конформних відображень.
format Article
author Демчук, М.Б.
spellingShingle Демчук, М.Б.
Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Демчук, М.Б.
author_sort Демчук, М.Б.
title Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище
title_short Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище
title_full Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище
title_fullStr Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище
title_full_unstemmed Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище
title_sort математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2010
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48771
citation_txt Математичне моделювання процесу нагнітання в’яжучого розчину в пористе середовище / М.Б. Демчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 61-75. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT demčukmb matematičnemodelûvannâprocesunagnítannâvâžučogorozčinuvporisteseredoviŝe
first_indexed 2025-07-04T09:25:56Z
last_indexed 2025-07-04T09:25:56Z
_version_ 1836707905865252864
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 61 УДК 624.048-033.26:621.651 М. Б. Демчук, ст. викладач Національний університет водного господарства та природокористування, м. Рівне МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ НАГНІТАННЯ В’ЯЖУЧОГО РОЗЧИНУ В ПОРИСТЕ СЕРЕДОВИЩЕ Розглянута задача закріплення пружного ґрунтового маси- ву методом нагнітання в нього в’яжучого розчину. Побудовані математичні моделі та алгоритми розв’язку для випадків плос- ко-вертикальної та осесиметричної постановок. Розв’язки отримано методом скінченних різниць з використанням чис- лових конформних відображень. Ключові слова: нагнітання, різницевий метод, конформне відображення, пористе середовище, рухома межа. Вступ. Перед спорудженням будівельних об’єктів на ділянках, де на значній глибині від поверхні залягають слабкі ґрунти, необхідно створити штучну основу. Одним з прийомів є нагнітання через ін’єктор у ґрунтовий масив в’яжучого розчину. Важливо спершу промоделюва- ти процес нагнітання на комп’ютері, щоб встановити режим в якому він повинен виконуватись. Проводиться багато досліджень з математи- чного моделювання процесу поширення в’яжучого розчину при нагні- танні. У моделях, представлених в роботах [1—3], цю задачу відносять до класу задач про поширення забруднень. В одновимірній моделі, представленій в роботі [4], її без належного обґрунтування відносять до класу задач з вільними рухомими межами. У роботах [5, 6] цей під- хід узагальнено на випадки двовимірних відповідно плоско- вертикальної та осесиметричної моделей поширення в’яжучого розчи- ну в абсолютно твердому скелеті ґрунту. У роботі [7] дві останні задачі розв’язані для випадку пружного ґрунту. Однак моделі [5—7] дозво- ляють знайти розв’язок тільки із значною похибкою чисельного розра- хунку. У цій статті ми наводимо аргументи на користь останньої кла- сифікації та представляємо модифікацію моделі [7], яка дозволяє сут- тєво зменшити похибку чисельного розрахунку. Постановка задач. Формулювання моделей [1; 3] зводиться до крайових задач для рівнянь потоку та масопереносу. Оцінити поведі- нку функції концентрації розчину можна розглянувши одновимірне рівняння масопереносу 2 2 ,D c x V c x c t        (1) з такими початковими та крайовими умовами: © М. Б. Демчук, 2010 Математичне та комп’ютерне моделювання 62      ,0 0, , 0, 0, .c x c t c t c     (2) Тут D , V та c  — додатні константи. Точний аналітичний розв’язок цієї задачі має такий вигляд [1, с. 41] 1 exp , 2 2 2 c x Vt Vx x Vt erfc erfc c DDt Dt                     (3) де с с  — безрозмірна концентрація, а   2 0 1 2erfc e d       . Теорема 1. При 0x  , 0t  , 0D  та 0V  існує часткова по- хідна  c c x  для якої справедлива оцінка      2 2 4 41 1 . x Vt x Vt Dt Dt c c Vt x e e x x VtDt Dt             (4) Доведення. Згідно означення часткової похідної, теорем про по- хідну складної функції та про похідну інтеграла зі змінною верхньою межею можна стверджувати, що при 0t  існує часткова похідна    ,c c x x t  , яка дорівнює такому виразу    2 2 4 2 1 . x Vt Vx Dt D x Vt Dt c c V e e e d x Dt D                (5) Якщо 0x  , 0t  , 0D  та 0,V  то для другого доданку правої частини рівняння (5) справедливою є така оцінка  2 2 4 2 2 1 0 . x VtVx DtD x Vt Dt V Vt e e d e x VtD Dt           (6) Тому можна стверджувати, що при 0,x  0,t  0D  та 0V  справедливою є оцінка (4). Теорему доведено. Верхня та нижня межі оцінки (4) суттєво відрізняються від нуля тільки для таких значень просторової координати 8 8 .Vt Dt x Vt Dt    Тому концентраційний фронт при x Vt може бути різким тільки якщо 8 ,Vt Dt що для процесу нагнітання  LD a V  еквівален- тно умові 8 ,LV t a  (7) де La — коефіцієнт повздовжньої дисперсії, а V — швидкість час- тинок інфільтрату. Якщо розглядається задача нагнітання в’яжучого Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 63 розчину в насичене водою пористе середовище [2; 3], то при вико- нанні умови (7) концентраційний фронт можна апроксимувати різкою границею між двома рідинами, при переході через яку концентрація змінюється різко від концентрації розчину в першій рідині до нуля. При цьому в зв’язку з наближенням, прийнятим при введені в модель різкої границі замість перехідною зони, не можна порівнювати ре- зультати експериментальних вимірів в межах цієї зони з результата- ми модельних розрахунків [8, c. 235—236]. Отже, при виконанні умо- ви (7) задачу поширення в’яжучого розчину при нагнітанні можна вважати задачею з рухомою межею. Щоб бути в змозі закріпити суттєві об’єми ґрунту, в в’яжучий розчин додають суперпластифікатори, після чого він замість того, щоб проявляти властивості неньютонівської рідини, що є типовим, наприклад, для цементних розчинів, починає проявляти властивості ньютонівської рідини з в’язкістю такою як у води [2, с. 1197]. У цій роботі ми розглядаємо дві задачі. Для першої вважаємо, що під фундаментом ін’єктора зроблено довгу траншею ширини 02 r та глибини 0 ,h в яку під тиском 0p нагнітається в’яжучий інфільтрат (рис. 1) густини 0. У другій — осесиметричній задачі, замість тра- ншеї маємо свердловину радіуса 0r та глибини 0.h Необхідно знайти еволюцію фронту нагнітання. При цьому інфільтрат вважаємо нью- тонівською рідиною. Рис. 1. Фізична область G(t) нагнітання рідини в ґрунтовий масив Математичні моделі задач. Математичні моделі та алгоритми розв’язування цих задач подібні, тому ми спочатку описуємо модель та алгоритм розв’язування плоско-вертикальної задачі, після чого вказуємо, що потрібно змінити, щоб отримати те саме для осесимет- ричної. У випадку плоско-вертикальної постановки та відсутності зовнішніх навантажень напір 1 2( , , )h x x t в області  G t (рис. 1) задо- вольняє такому рівнянню та крайовим умовам [7, с. 271]:  2 2 2 2 1 2 1 2( , , ) ,a h t k h x x t k h x h x          (8) Математичне та комп’ютерне моделювання 64 1 2 3 41 2 0 0 20, 0, , .h n h n h p g h x              (9) Тут k — коефіцієнт фільтрації, 0 ,ca с g k  1 ,cc k ck — модуль пружності пористого середовища, 1 2,n n   — зовнішні нормалі до 1 та 2 відповідно. Для радіус-векторів точок вільної поверхні 4Г в моменти часу t і t dt справедливим є таке [5, с. 162]:       4 4 4 4 4, ,r t dt r t k h n dtn m            (10) де 4n  одиничний вектор нормалі до 4 , m — пористість ґрунту. При знаходженні функції напору, яка задовольняє (8)—(10), використову- ється різницевий метод з використанням числових конформних відо- бражень [9, с. 13—19]. При розрахунку еволюції фронту нагнітання в кожний момент часу область закріплення покривається рідкою конфо- рмною сіткою наслідком чого є те, що похибка апроксимації є суттєвою і припускається, що в межах цієї похибки фронт нагнітання можна опису- вати двічі неперервно-диференційованою функцією змінної 2x (рис. 1). Також припускається, що в межах цієї похибки у криволінійного чоти- рикутника № 1, сторонами якого є криві i , де 1,4i  , всі кути при вершинах є прямими. Внаслідок того, що кількість вузлів є незначною нехтується ймовірністю того, що в певний момент часу алгоритм по- будує сітку з хаотичним розміщенням вузлів. Коректність цих припу- щень перевіряється наступним числовим експериментом. Оскільки інформація про те, що фронт нагнітання змінює своє положення, по- ширюється за допомогою звукових хвиль, які внаслідок тертя між ґру- нтом та інфільтратом швидко затухають, то можна вибрати криву в межах закріпленої області і момент часу 0t починаючи з якого значен- ня функції напору в точках цієї кривої не залежать від часу. Тому мо- дифікуємо модель, використовуючи припущення про те, що функція напору залежить від часу тільки поблизу рухомої межі. І тому почина- ючи з деякого моменту часу 0t в рівняння (10), яке визначає еволюцію фронту нагнітання, замість функції напору підставляємо функцію, яка задовольняє такому рівнянню та крайовим умовам:  2 2 2 2 1 2 1 2( , , ) ,a h t k h x x t k h x h x          (11)   41 2 31 2 1 2 0 20, 0, , , , .h l h l h h x x t h x               (12) Тут 1 2 3 4, , ,      зображені на рис. 1, а 1 2,l l   — зовнішні нормалі до 1 та 2 відповідно. Положення 3 так само як і момент часу 0t підбираються експериментально так, щоб кінцеве положення фронту Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 65 нагнітання відрізнялось від відповідного положення отриманого ме- тодом [7, с. 269—282] на як можна меншу величину і щоб похибка ап- роксимації модифікованого методу була як можна меншою. При цьому якщо похибка чисельного розрахунку кінцевого положення фронту на- гнітання в рамках модифікованої моделі буде меншою ніж в рамках по- чаткової моделі, то можна вважати модельні припущення вірними. Для осесиметричної задачі, якщо ввести позначення, 1 ,x r 2 3,x x де 3,r x — циліндричні координати, а вісь 3x направлена вертикально вниз, то замість (8), (11) відповідно маємо 2 2 2 2 1 11 2 1 , h h h h a k t x xx x              (13) а (9), (10) та (12) залишаються без змін. Алгоритми розв’язування задач. Початкова форма рухомої межі області G(t) (рис. 1) невідома, але ми припускаємо, що її почат- кова форма не впливає на її кінцеву форму, якщо перша не надто си- льно відрізняється від форми ін’єктора. Припускаючи, що значення функції напору в початковий момент часу також можна вибрати до- вільним чином, розраховуємо його, наприклад вважаючи скелет ґру- нту абсолютно твердим [6, с. 209—214]. Алгоритм розв’язування першої задачі такий. Спочатку розв’язуємо задачу (8), (9) на момент часу 1t в деякій фіксованій обла- сті  1 .G t Потім згідно співвідношення (10) знаходимо положення фронту нагнітання 4 на момент часу 1 ,t t  після чого повертаємось до задачі (8), (9) вже в новій області  1G t t  і так діємо в мето- ді [7, с. 269—282] до кінцевого моменту часу, а в модифікованому до вище згаданого моменту часу 0.t t В останньому методі, починаючи з цього моменту часу, в рівняння (10), яке визначає еволюцію фронту нагнітання, підставляємо не розв’язок задачі (8), (9), а розв’язок зада- чі (11), (12). При цьому все інше робимо так само. Для розв’язання за- дач (8), (9) та (11), (12) використовуємо різницевий метод з викорис- танням числових конформних відображень [9, с. 13—19]. Цей метод пропонує алгоритм знаходження такої заміни змінних, яка конформно відображає відповідний криволінійний чотирикутник на параметрич- ний прямокутник G`(t) з сторонами 1 M та 1, де М — модуль прямо- кутника. Для нашої задачі більш зручним є нерухомий квадрат Q зі стороною рівною 1 (рис. 2). До нього від прямокутника G`(t) можна перейти за допомогою відображення   ,M t  ,  .t t При цьому вигляд рівнянь (8), (11) в нових змінних дещо зміниться, а кра- йові умови (9), (12) залишаться інваріантними: Математичне та комп’ютерне моделювання 66 2 2 1 2 3 42 2 , h h h h h K K K K t                          (14)           2 1 2 2 1 2 , , , k M t K t a x x            (15)       2 2 2 1 2 , , , k K t a x x            (16)          2 1 1 2 3 2 2 1 2 , , , M t x x t x x t K t x x                      (17)       1 1 2 2 4 2 2 1 2 , , , x x t x x t K t x x                      (18)   1 2 3 4 ' ' 0 20, 0, , 1, .h h h F h x                  (19) Тут       1 2, , , , , , , , ,h t h x t x t t      1 2 3 4, , ,       (рис. 2) є образами 1 2 3 4, , ,    для задачі (8), (9) і 1 2 3 4, , ,      для зада- чі (11), (12). У свою чергу для задачі (8), (9) 0 0 0F p g , а для за- дачі (11), (12)  0 00, , .F h t  (20) Розглянемо такі дві одновимірні крайові задачі: 2 2 2 4 , 0 , 1,u t K u K u             (21)        , , , , , ,0, 0, ,1, 0,p pu t h t u t u t              (22) 2 2 1 3 , 0 , 1,w t K w K w             (23)          1 0 2, , , , , 0, , , 1, , 1, , .p pw t u t w t F w t x t          (24) В рівняннях (21)—(24) 1,p pt t t   а в рівняннях (22), (24) 0 , 1.   Доведемо таку теорему. Теорема 2. Нехай існують такі функції  , ,u t  та  , , ,w t  та існує таке 0,  що ці функції є двічі неперервно-диференційованими на множині      ,1 ,1 ,p pt t                  і вони є розв’язками задач (21), (22) та (23), (24) відповідно. Нехай існує така функція  , , ,h t  яка є двічі неперервно-диференційованою на тій Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 67 самій множині і задовольняє (14), (19). Нехай, крім того, функції  , , ,iK t  де 1, 4,i  є неперервними на . Тоді можна стверджу- вати, що виконується таке:      2 1 1, , , , ,p pw t h t       (25)        1 1 1 10, , 0, , , 1, , 1, , ,p p p pw t h t w t h t         (26) при 0 , 1   та        2 2 1 1,0, , ,1, ,p pw t w t              (27) при 0 1.  Тут 1 .p pt t   Доведення. Рівність (26) безпосередньо слідує з (19) та (24). Оскі- льки при кожних фіксованих  0 ,1     та  0 ,1     функція  0 0, ,u t  є двічі неперервно-диференційованою функцією змінної t на інтервалі  , ,p pt t     то для будь-якої точки цього інтервалу існує окіл в якому виконується формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа. Крім того, оскільки 2 2 2 4, , ,u u K K     є непе- рервними на , то на основі (21), (22) можна стверджувати, що             0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 4 , , 2 2 2 0 0, , , , , , , 2 , , . p p p t p pt u t h t K h K h u t t t t                                       (28) Зауважимо, що оскільки функції  , ,u t  та  , ,h t  є двічі непе- рервно-диференційованими на , то при фіксованому  на основі (28) та теореми про суперпозицію неперервних функцій можна стве- рджувати, що існує таке 1, що 1 0   і що функція         0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 4 , , 2 2 , , , , , , 2 , t t t f t K h K h u t                          (29) є двічі неперервно-диференційованою на множині      1 1 1 1 1 1 1,1 ,1 , .p pt t                   Математичне та комп’ютерне моделювання 68 Аналогічно для функції  0 0, ,w t  можна написати, що            0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 32 , , 2 2 2 0 0, , , , , , , 2, , , p p p t p pt u u w t u t K K w t t t t                                         (30) З (14), (28) та (30) слідує, що            0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , 2 2 2 2 1 32 2 , , , , , , , , , . 2 p p p p t t t w t h t h t f f w K K t                                     (31) Оскільки функції  , , ,w t   , , ,h t   , ,h t t   є непере- рвно-диференційованими на , то на основі (31) можна стверджу- вати, що існує таке 2 , що 1 2 0   і функція        2 2 1 32 2 , , , , , , 1 , , , 2 t t t f f w g t K K t                       (32) є обмеженою разом зі всіма своїми похідними першого порядку на    2 2 2 2 2 2 2,1 ,1 , .p pt t                     Тому з рівнян- ня (31) слідує рівняння (25). Продиференціювавши праву і ліву частини рівняння (31) по , аналогічно отримуємо (27). Теорему доведено. Вектор зовнішньої нормалі 4n  до кривої 4 , який присутній у співвідношенні (10), та 1 ,x t  2 ,x t  які входять в (17), (18), об- числюються так само, як в роботі [7, с. 273—274]. Якщо ввести позначення 1 ,x r 2 3,x x де 3,r x — циліндри- чні координати, а вісь 3x направлена вертикально вниз, то для того, щоб отримати алгоритм для осесиметричної задачі, необхідно рів- няння (17), (18) замінити на        1 2 2 1 1 2 3 2 2 1 2 / / , M t k a x x x x t x x t K x x                       (33)     1 1 1 1 2 2 4 2 2 1 2 / / , k a x x x x t x x t K x x                       (34) а все інше залишити без змін. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 69 3 1 2 4 1 1       Рис. 2. Квадрат Q , в який відображається криволінійний чотирикутник при переході до змінних ,  . Для розв’язання пари крайових задач (21)—(24) використовуємо різницеву схему, яка представлена в роботі [7, с. 275—282]. Результати числових експериментів. Чисельний розрахунок кінцевого положення вільної поверхні при нагнітанні ньютонівської рідини в ґрунтовий масив для часу нагнітання 1 година виконується при наступних вхідних даних [7, с. 282]: 0,47,m  5 0 7 10 Па,p   3 0 1200 кг/м ,  54,0 10 м/сек,k   0 1,74 м,h  0 0,015 м.r  У випа- дку першої задачі вважаємо, що дно траншеї є пів-циліндром, а у випадку другої задачі півсферою з радіусами 0.r Як зазначено в роботі [7, с. 283] значення параметра a для реальних ґрунтів змінюється в межах від 6 -12,4 10 м до 5 -12,4 10 м , тому в даній роботі розрахунки прово- дяться при 6 -12,4 10 мa   та 5 -12, 4 10 м .a   Решту вхідних даних потрібно підбирати чисельно. Так абсолютна похибка положення вузла конформної сітки має таке значення 51,0 10 м.x   Щоб оцінити не- визначеність у кінцевому положенні фронту нагнітання пов’язану з кін- цевістю величини ,x ми обраховуємо його також при 61,0 10 м.x   Після чого обраховуємо максимальну відносну величину відхилення  1 між радіус-векторами точок, які лежать на відповідних кінцевих положеннях фронтів нагнітання та мають спільне значення координати 2.x Для отримання початкової форми вільної межі кожну точку  1 2,x x границі ін’єктора зміщуємо у випадку 2 00 x h  в горизонта- льному напрямку, а у випадку 0 2 0 0h x h r   в радіальному напрямку з центром в точці  00,h на відстань 0 0 2 0 02( ) / ,p gx   де g — прискорення вільного падіння, 0 — ефективний час рівний 0,004 сек. Математичне та комп’ютерне моделювання 70 Щоб оцінити невизначеність у кінцевому положенні фронту нагнітання пов’язану з кінцевістю величини 0 , ми обраховуємо його також при 0 0,008 сек.  Після чого обраховуємо максимальну відносну величину відхилення  2 між радіус-векторами точок, які лежать на відповідних кінцевих положеннях фронтів нагнітання та мають спільне значення координати 2.x Вважаючи скелет ґрунту абсолютно твердим функцію напору в початковий момент часу обчислюємо методом представленим в роботі [6, с. 209—214]. Щоб оцінити невизначеність у кінцевому поло- женні фронту нагнітання пов’язану з невизначеністю в початковому зна- ченні функції напору, обчислюємо перше також коли останнє задається наступним чином. Значення  , ,0h   на сторонах 3 та 4 квадрата Q задаються двома останніми умовами (19).  ,0,0h  та  ,1,0h  є лінійними функціями змінної , які узгоджені в крайніх точках відпові- дно 1 та 2 із значеннями  , ,0h   на 3 та 4. Значення  , ,0h   всередині квадрата Q обчислюються так          , ,0 0, ,0 1, ,0 ,0,0 ,1,0 4.h h h h h             Після чого обраховуємо максимальну відносну величину відхилення  3 між радіус-векторами точок, які лежать на відповідних кінцевих положеннях фронтів нагнітання та мають спільне значення координати 2.x Фронт нагнітання в любий момент часу інтерполюється тим локаль- ним сплайном [10, с. 38], значення якого в околі точки A (рис. 1) визна- чається більшою кількістю вузлових точок (сплайн № 1). Всі сплайни в даній роботі та їхні перші дві похідні є неперервними. Сплайн № 1 буду- ється по точкам відповідної конформної сітки, які знаходяться на 4 у відповідний момент часу. Щоб оцінити невизначеність у мірі, яку вибра- но для порівняння кінцевих положень фронтів нагнітання, пов’язану з невизначеністю у виборі сплайна, обраховуються вузлові точки кінцево- го положення фронту нагнітання. Після чого обраховуємо максимальну відносну величину відхилення  4 між радіус-векторами точок, які лежать на двох різних локальних сплайнах [10, с. 34—38], побудованих по вузловим точкам та мають спільне значення координати 2.x Обраху- нки виконуємо на сітці №1, яка створюється таким чином. Квадрат Q у випадку плоско-вертикальної задачі покривається рівномірною сіткою 9 9, при цьому крок по часу є таким 0,2 сек,  а у випадку осесиме- тричної задачі він покривається рівномірною сіткою 11 11 і крок по Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 71 часу є таким 0,05 сек.  Щоб оцінити невизначеність у кінцевому по- ложенні фронту нагнітання пов’язану з невизначеністю у величині , обчислюємо його також на сітці № 2, яка відрізняється від сітки № 1 удвічі більшим значенням . Після чого обраховуємо максимальну від- носну величину відхилення  5 між радіус-векторами точок, які лежать на відповідних кінцевих положеннях фронтів нагнітання та мають спіль- не значення координати 2x . Щоб оцінити похибку апроксимації, розра- хунки проводяться на сітці № 3, яка відрізняється від сітки № 1 тим, що квадрат Q покривається рівномірною сіткою 7 7 в обох випадках. Після чого обраховуємо максимальну відносну величину відхилення  6 між радіус-векторами точок, які лежать на кінцевих положеннях фронтів нагнітання одне з яких отримане на сітці № 1, а інше на сітці № 3 та мають спільне значення координати 2x . До цих пір і надалі у всіх випадках якщо не зазначено інше обрахунки виконуються на сітці № 1 при 51,0 10 м,x   0 0,004 сек,  при цьому фронт нагнітання в любий момент часу інтерполюється сплайном № 1, а початкове значення функції напору обчислюється для абсолютно твердого скелету грунту. Сумарна похибка розрахунку   оцінюється як корінь суми квадратів похибок з різних джерел [11, с. 102]. Значення похибок для різних пруж- них властивостей ґрунту та різних постановок наведені в таблиці 1. По- рівнюючи величини в цих таблицях, можна зробити висновок, що для обох значень коефіцієнта a та для обох задач виконується 6  . Це означає, що величини x , 0 та  є достатньо малими, підтверджує коректність вибору початкового значення функції напору і підтверджує те, що вибір сплайна не впливає на оцінку похибки розрахунку кінцевого положення фронту нагнітання. Таблиця 1 Результати числових експериментів 6 -1 , 10 м a  3 1, 10 %   2 ,% 3 3, 10 %   3 4 , 10 %   5 ,% 6 ,% ,% 1 24 6,9 0,12 7,0 7,9 0,91 5,0 5,0 2,4 6,7 0,13 7,3 7,0 0,82 5,2 5,3 2 24 5,9 0,17 6,1 13 1,15 6,9 7,0 2,4 5,8 0,18 6,6 7,8 1,25 7,2 7,3 На рис. 3 представлена еволюція фронту нагнітання для випадку осесиметричної задачі при 5 -12,4 10 мa   . Положення рухомої межі представлено на рисунку через кожні 10 хвилин. Вздовж осей відкладена Математичне та комп’ютерне моделювання 72 відстань від початку координат в метрах. На основі цього рисунку мож- на перевірити виконання умови (7), оцінивши V t як відстань між поча- тковим та кінцевими положеннями точки A (рис. 1) 1,524 м.Vt  Якщо порівнювати нагнітання цементного розчину в насичений водою грунт з нагнітанням його в сухий грунт при інших рівних умовах, то в останньому випадку відношення кількості частинок цементу, які знаходяться одночасно в зоні переходу в контакт з поверхнею скеле- ту ґрунту, до повної кількості частинок цементу, які знаходяться в зоні переходу, більшим ніж в першому випадку, тому при моделю- ванні сухого ґрунту в останньому випадку ґрунтом, насиченим фікти- вною невагомою рідиною нульової в'язкості, значення меншим ніж відповідне значення у першому випадку [8, с. 196—201]. Оскільки 22.0 10 мLa   [3, с. 5], то умова (7) виконується. Для зменшення по- хибки апроксимації розрахунки проводимо згідно модифікованої моделі. На основі рис. 3 можна зробити висновок, що досить довгий час довжи- ни сторін 1 та 2 криволінійного чотирикутника № 1 є суттєво мен- шими ніж довжини сторін 3 та 4 . Тому, виконуючи розрахунки мо- дифікованим методом у випадку другої задачі, замість сіток 1—3 вико- ристовуємо сітки 4—6. У випадках сіток № 4 та № 6 крок по часу є та- ким 0,05 сек  , а квадрат Q покривається рівномірними сітками 9 13 та 5 9 відповідно. Сітка № 5 відрізняється від сітки № 4 удвічі більшим значенням . У випадку ж першої задачі розрахунки модифіко- ваним методом виконуються на сітках 1—3 тому, що в цьому випадку фронт рухається набагато швидше. В якості 3 (див. рівняння (12)) ви- бираємо прообраз вертикальної середньої лінії квадрата (рис. 2), який є образом криволінійного чотирикутника № 1 в момент часу 0.t Цю криву інтерполюємо сплайном № 1. При розрахунках другим методом значен- ня параметру 0 ,t який входить в рівняння (12) змінюємо від 0 700 секt  до 0 2900 секt  з кроком 0 100 секt  у всіх випадках. Рис. 3. Еволюція фронту нагнітання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 73 При обчисленні 0F згідно (20), та при обчисленні  0, ,h t  ви- користовуємо такі формули двовимірної інтерполяції по восьми най- ближчим точкам, які у випадку коли всі вузли інтерполювання розмі- щені на одній прямій переходять в інтерполяційний многочлен Лагра- нжа [12, с. 194]. На рис. 4 6 — похибка апроксимації модифіковано- го методу,  — різниця між кінцевими положеннями фронтів нагні- тання отриманими відповідно першим методом та модифікованим. Лінії 1 та 2 представляють графіки функцій  0 ,t а лінії 3 та 4 пред- ставляють графіки функцій  6 0t для випадків плоско-вертикальної та осесиметричної задач відповідно. Рис. 4а відповідає розрахункам при 5 -12,4 10 м ,a   а рис. 4б — розрахункам при 6 -12, 4 10 м .a   На основі рис. 4 для кожного випадку вибираємо значення 0 0t t  при якому значення  різко зменшується, або хоча б, починаючи з якого,  стає меншим за , де  — похибка чисельного розрахунку пер- шим методом. Так для випадку першої задачі при 5 -12,4 10 мa   0 1300 сек,t  а при 6 -12,4 10 мa   0 1800 сек.t  При цьому відпо- відні функції  6 0t на відповідних відрізках 0 , 2900 секt   є приблиз- но постійними, тому в якості оптимального вибираємо в першому ви- падку 0 2400 сек,t  а в другому 0 2800 сек,t  оскільки при цих зна- ченнях відповідні  є мінімальними. У випадку другої задачі при 5 -12,4 10 мa   0 900 секt  , а при 6 -12,4 10 мa   0 1300 сек.t  Тут в якості оптимальних відповідно вибираємо 0 2200 секt  та 0 1900 сек,t  оскільки при них відповідні функції  6 0t на відповід- них відрізках 0 , 2900 секt   приймають мінімальні значення. Для оцін- ки похибки пов’язаної з невизначеністю величини 0t ми порівнюємо таким чином вибрані кінцеві положення фронтів нагнітання з кінцеви- ми положеннями отриманими при значенні 0t у всіх випадках крім останнього на 0t більшим, а в останньому на 02 t  меншим тому, що в цьому випадку відповідна функція  6 0t при такому значенні параметру має локальний мінімум. Після чого обраховуємо максима- льну відносну величину відхилення  7 між радіус-векторами точок, які лежать на відповідних кінцевих положеннях фронтів нагнітання та мають спільне значення координати 2.x Значення величин 1 та 3 , які відповідають розрахункам модифікованим методом, є значно мен- Математичне та комп’ютерне моделювання 74 шими за решту невизначеностей у всіх випадках і тому в таблиці 2 ми наводимо тільки значення ,i де 2,4,5,6,7i  та значення сумарної похибки  для обох задач та обох значень коефіцієнта .a Порівнюючи величини в таблиці 2, можна зробити висновок, що для обох значень коефіцієнта a та для обох задач виконується 6 ,i  де 1,2,3,4,7.i  Це означає, що величини ,x 0 , 0t є достатньо мали- ми, що кінцева форма закріпленої області не є чутливою до початкового значення функції напору і що вибір сплайна не впливає на оцінку похиб- ки розрахунку кінцевого положення фронту нагнітання. Той факт, що у всіх випадках модифікація методу приводить до зменшення сумарної похибки, свідчить про коректність всіх модельних припущень. Рис. 4. Залежність величин  та 6 від значення параметру 0t при різних пружних властивостях ґрунту. Таблиця 2 Результати числових експериментів на основі модифікованої моделі а, 10-6 2 ,% 4 ,% 5 ,% 6 ,% 7 ,% ,% 1 24 0,139 0,09 2,33 2,77 0,20 3,63 2,4 0,141 0,06 2,05 3,02 0,26 3,66 2 24 0,226 0,135 2,30 3,47 0,18 4,18 2,4 0,212 0,053 2,75 3,60 0,43 4,56 Висновок. Запропонована модель поширення в’яжучого розчину відноситься до класу задач з вільними рухомими межами. Вона дозво- ляє з прийнятною точністю отримати кінцеву форму закріпленої обла- сті у випадках плоско-вертикальної та осесиметричної постановок. Аналогічні розрахунки будуть виконуватись на густій сітці і по- рівнюватись з результатами даної роботи та з результатами польових досліджень. Отримана в даній роботі еволюція фронту нагнітання буде використовуватись для аналізу числових розв’язків моделі класу задач поширень забруднень. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 75 Список використаних джерел: 1. Honma S. A mathematical model for the analysis on the injection and distribu- tion of chemical grout in soils / S. A. Honma // Proceedings of the faculty of Engineering of Tokai University, 1986. — Vol. 12. — P. 13—79. 2. Bouchelaghem F. Mathematical and numerical filtration-advection-dispersion model of miscible grout propagation in saturated porous media / F. Bouchelaghem, L. Vulliet // Int. J. for Num. and analytical methods in Geomech, 2001. — № 12. — P. 1195—1227. 3. Chupin O. Numerical modeling of cement grout injection in saturated porous media / O. Chupin, N. Saiyouri, P. Y. Hicher // Proceedings 16th ASCE Engi- neering Mechanics Conference. University of Washington, Seattle. 4. Веригин Н. Н. Нагнетание вяжущих растворов в горные породы в целях повышения прочности и водонепроницаемости оснований гидротехниче- ских сооружений / Н. Н. Веригин // Изв. Акад. Наук СССР отд. техн. на- ук, 1952. — № 5. — С. 674—687. 5. Власюк А. П. Чисельне розв’язання однієї задачі укріплення основи гідроте- хнічного об’єкту / А. П. Власюк, М. Б. Демчук // Вісник Київського універси- тету, Серія фізико-математичні науки, 2005. — Вип. 1. — С. 158—166. 6. Власюк А. П. Укріплення основи гідротехнічного (енергетичного) об’єкта в осесиметричному випадку / А. П. Власюк, М. Б. Демчук // Вісн. Київ. ун-ту. Серія: фіз.-мат. науки, 2005. — Вип. 3. — С. 207—216. 7. Власюк А. П. Застосування числових конформних відображень до розв’язання крайової задачі з рухомою межею для рівняння параболічно- го типу в криволінійному чотирикутнику / А. П. Власюк, М. Б. Демчук, М. М. Обезюк // Вісник НУВГП. Збірник наукових праць — 2007. — Вип. 4 (40). — С. 268—286. 8. Bear J. Introduction to modeling of transport phenomena in porous media / J. Bear, Y. Bachmat // Kluwer Academic Publishers: Dordrecht, 1990. — 553 p. 9. Власюк А. П. Чисельне розв’язування одного класу задач з вільними ме- жами в криволінійних чотирикутниках для еліптичних систем рівнянь / А. П. Власюк, В. Г. Михальчук. — К., 1994. — 23 с. — (Препр. / НАН України, Ін-т математики; 94.36). 10. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику / В. С. Рябе- нький. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2000. — 294 с. 11. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок / Дж. Тейлор. — М. : «Мир», 1985. — 272 с. 12. Березин И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — М. : Государственное издательство физ.-мат. лит., 1959. — 464 с. The problem of soil tract reinforcing by means of grout injection in it is discussed. Mathematical models and solution algorithms are constructed for the cases of vertical plane and axis symmetry set ups. The solutions are obtained by the finite difference method with the usage of numerical con- formal transformations. Key words: grouting, finite difference method, conformal mapping, porous media, moving boundary. Отримано 6.10.2010 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <FEFF03a703c103b703c303b903bc03bf03c003bf03b903ae03c303c403b5002003b103c503c403ad03c2002003c403b903c2002003c103c503b803bc03af03c303b503b903c2002003b303b903b1002003bd03b1002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503c403b5002003ad03b303b303c103b103c603b1002000410064006f006200650020005000440046002003ba03b103c403ac03bb03bb03b703bb03b1002003b303b903b1002003b103be03b903cc03c003b903c303c403b7002003c003c103bf03b203bf03bb03ae002003ba03b103b9002003b503ba03c403cd03c003c903c303b7002003b503c003b903c703b503b903c103b703bc03b103c403b903ba03ce03bd002003b503b303b303c103ac03c603c903bd002e0020002003a403b10020005000440046002003ad03b303b303c103b103c603b1002003c003bf03c5002003ad03c703b503c403b5002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503b9002003bc03c003bf03c103bf03cd03bd002003bd03b1002003b103bd03bf03b903c703c403bf03cd03bd002003bc03b5002003c403bf0020004100630072006f006200610074002c002003c403bf002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002003ba03b103b9002003bc03b503c403b103b303b503bd03ad03c303c403b503c103b503c2002003b503ba03b403cc03c303b503b903c2002e> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f0074002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002c0020006a006f0074006b006100200073006f0070006900760061007400200079007200690074007900730061007300690061006b00690072006a006f006a0065006e0020006c0075006f00740065007400740061007600610061006e0020006e00e400790074007400e4006d0069007300650065006e0020006a0061002000740075006c006f007300740061006d0069007300650065006e002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ähnliche Einträge