Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій

Побудова адаптивних алгоритмів методу граничних елементів (МГЕ) набуває все більшого інтересу. На сьогодні опубліковано значну кількість різноманітних підходів та методів такої побудови. Проте, у більшості із цих алгоритмів критерій адаптації базується на нев’язці граничного інтегрального рівняння,...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Дияк, І.І., Макар, І.Г., Ящук, Ю.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48772
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій / І.І. Дияк, І.Г. Макар, Ю.О. Ящук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 76-85. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48772
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-487722013-09-03T03:03:01Z Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій Дияк, І.І. Макар, І.Г. Ящук, Ю.О. Побудова адаптивних алгоритмів методу граничних елементів (МГЕ) набуває все більшого інтересу. На сьогодні опубліковано значну кількість різноманітних підходів та методів такої побудови. Проте, у більшості із цих алгоритмів критерій адаптації базується на нев’язці граничного інтегрального рівняння, або на різниці між результатами на різних сітках. У даній роботі ми пропонуємо використати в якості критерію адаптації оцінку кривини розв’язку. Ця величина визначає похибку апроксимації невідомих функцій на границі, яка і робить основний внесок у похибку результату МГЕ. Для визначення кривини запропоновано використати результати, отримані на попередньому кроці ітеративного процесу адаптації. На основі цих ідей розроблено h-адаптивну версію прямого МГЕ для розв’язування плоскої задачі пружності. Також застосовано нову техніку апостеріорної оцінки похибки скінченноелементного розв’язку, що використовує скінченноелементну та граничноелементну апроксимацію напружень. Достовірність алгоритмів підтверджується тестовими прикладами. The construction of adaptive algorithms for boundary element method (BEM) is currently gaining increasing interest. Various approaches and methods have been published recently. However, in most of the existing algorithms the criteria of adaptivity is based on the residual of the boundary integral equation or the relationship between the numerical results on different meshes. In this paper we propose to use the estimation of the solution’s curvature as an adaptive criteria. This quantity determines the approximating error of the unknown functions on the boundary, which makes the main contribution to the final error of the BEM. To define the curvature we use the results, obtained on the previous step of the iterative adaptive process. An h-adaptive scheme of direct BEM for solving 2-D elasticity problem was developed using these ideas. A new technique for the a posteriori error estimation for the finite element solution of the linear elasticity is used both finite and boundary element approximation of stresses also. The validity of the algorithms was verified by solving example problems. 2010 Article Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій / І.І. Дияк, І.Г. Макар, Ю.О. Ящук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 76-85. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48772 517.958:519.6 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Побудова адаптивних алгоритмів методу граничних елементів (МГЕ) набуває все більшого інтересу. На сьогодні опубліковано значну кількість різноманітних підходів та методів такої побудови. Проте, у більшості із цих алгоритмів критерій адаптації базується на нев’язці граничного інтегрального рівняння, або на різниці між результатами на різних сітках. У даній роботі ми пропонуємо використати в якості критерію адаптації оцінку кривини розв’язку. Ця величина визначає похибку апроксимації невідомих функцій на границі, яка і робить основний внесок у похибку результату МГЕ. Для визначення кривини запропоновано використати результати, отримані на попередньому кроці ітеративного процесу адаптації. На основі цих ідей розроблено h-адаптивну версію прямого МГЕ для розв’язування плоскої задачі пружності. Також застосовано нову техніку апостеріорної оцінки похибки скінченноелементного розв’язку, що використовує скінченноелементну та граничноелементну апроксимацію напружень. Достовірність алгоритмів підтверджується тестовими прикладами.
format	Article
author	Дияк, І.І. Макар, І.Г. Ящук, Ю.О.
spellingShingle	Дияк, І.І. Макар, І.Г. Ящук, Ю.О. Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Дияк, І.І. Макар, І.Г. Ящук, Ю.О.
author_sort	Дияк, І.І.
title	Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій
title_short	Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій
title_full	Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій
title_fullStr	Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій
title_full_unstemmed	Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій
title_sort	побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48772
citation_txt	Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій / І.І. Дияк, І.Г. Макар, Ю.О. Ящук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 76-85. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT diâkíí pobudovatadoslídžennâčiselʹnihrozvâzkívzadačteoríípružnostínaosnovíhadaptivnihaproksimacíj AT makaríg pobudovatadoslídžennâčiselʹnihrozvâzkívzadačteoríípružnostínaosnovíhadaptivnihaproksimacíj AT âŝukûo pobudovatadoslídžennâčiselʹnihrozvâzkívzadačteoríípružnostínaosnovíhadaptivnihaproksimacíj
first_indexed	2025-07-04T09:26:00Z
last_indexed	2025-07-04T09:26:00Z
_version_	1836707911122812928
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 76 УДК 517.958:519.6 І. І. Дияк, канд. фіз.-мат. наук, І. Г. Макар, канд. фіз.-мат. наук, Ю. О. Ящук, аспірант Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів ПОБУДОВА ТА ДОСЛІДЖЕННЯ ЧИСЕЛЬНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ НА ОСНОВІ h-АДАПТИВНИХ АПРОКСИМАЦІЙ Побудова адаптивних алгоритмів методу граничних еле- ментів (МГЕ) набуває все більшого інтересу. На сьогодні опу- бліковано значну кількість різноманітних підходів та методів такої побудови. Проте, у більшості із цих алгоритмів критерій адаптації базується на нев’язці граничного інтегрального рів- няння, або на різниці між результатами на різних сітках. У да- ній роботі ми пропонуємо використати в якості критерію ада- птації оцінку кривини розв’язку. Ця величина визначає похиб- ку апроксимації невідомих функцій на границі, яка і робить основний внесок у похибку результату МГЕ. Для визначення кривини запропоновано використати результати, отримані на попередньому кроці ітеративного процесу адаптації. На основі цих ідей розроблено h-адаптивну версію прямого МГЕ для розв’язування плоскої задачі пружності. Також застосовано нову техніку апостеріорної оцінки похибки скінченноелемент- ного розв’язку, що використовує скінченноелементну та гра- ничноелементну апроксимацію напружень. Достовірність ал- горитмів підтверджується тестовими прикладами. Ключові слова: метод граничних елементів, метод скін- ченних елементів, h-адаптивність, оцінка похибки. Вступ. Незважаючи на велику кількість публікацій на відповідну тему, чисельне розв’язування задач математичної фізики за допомогою методу граничних елементів (МГЕ) становить значний інтерес для су- часних досліджень в аспекті оптимізації цього методу. Як відомо, для підвищення ефективності алгоритму та раціоналізації використання обчислювальних ресурсів зручно використовувати адаптивні підходи, що дозволяють локально керувати похибкою результатів. Такі підходи поділяють на h-адаптивні, p-адаптивні, r-адаптивні та їх комбінації. Р- адаптивні схеми передбачають локальне підвищення або пониження порядку апроксимуючих функцій; h-адаптивні — локальне подрібнен- ня або об’єднання граничних елементів; r-адаптивні — зміщення вузлів сітки граничних елементів без зміни порядку апроксимацій чи кількос- ті елементів. Значна увага серед цих схем приділяється саме h-адап- тивним варіантам за рахунок їх наочності та ефективності при розв’я- зуванні задач із сингулярностями. Найпоширеніші з цих схем для оцін- © І. І. Дияк, І. Г. Макар, Ю. О. Ящук, 2010 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 77 ки похибки використовують або нев’язку граничного інтегрального рівняння, або порівнюють результати двох окремих обчислень, що від- різняються сіткою, порядком апроксимацій тощо [5]. І хоча такі підхо- ди показали позитивні результати при застосуванні, у них є значний недолік: для обчислення значення критерію адаптації на всій поверхні необхідно розв’язати задачу, співрозмірну за складністю із вихідною. Це приводить до значного збільшення обчислювальних затрат та часу, необхідних для отримання адаптованої сітки. У даній роботі запропо- новано алгоритм, що дозволяє проводити перебудову сітки граничних елементів за дуже незначної кількості додаткових обчислень. Здійсне- но ряд чисельних експериментів, які підтверджують ефективність представленого підходу в застосуванні до задач із сингулярностями для виявлення зон особливостей. Та все ж на даний час найпоширенішим чисельним засобом для розв’язування задач пружності залишається метод скінченних елемен- тів (МСЕ). Порівнюючи МСЕ та МГЕ, перш за все необхідно сказати, що розмірність задачі МГЕ є меншою на одиницю за рахунок дискре- тизації лише границі, а не внутрішності тіла. З точки зору побудови адаптивного алгоритму важливим є той факт, що напруження, обчис- лені за МГЕ та МСЕ, мають різний порядок точності — у МСЕ нижчий на одиницю за рахунок чисельного диференціювання переміщень. Це є підставою використати таку різницю для побудови h-адаптивного ал- горитму. У цій роботі представлено оцінку похибки у вигляді приведе- ної різниці напружень — результатів МСЕ та МГЕ. Підтверджено мо- жливість її використання в якості критерію адаптації. МГЕ та ідея адаптації. Розглянемо двовимірну задачу дефор- мації деякого пружного тіла із внутрішністю  та границею  :   0, ,u grad divu x       (1) 0 0 , , , . u p u u x p p x     (2) Тут     1 2,u u x u x та     1 2,p p x p x — відповідно пере- міщення та зусилля в деякій точці x ; ,  — сталі Ляме; u p    , u p    . Для розв’язання задачі (1)-(2) використаємо прямий МГЕ [1, c. 114]. Нагадаємо вигляд співвідношення, що виражає переміщення будь-якої точки  на границі через переміщення та зусилля, визначені на  :          1 , , , , 1, 2 2 j ij i ij iu G x p x d F x u x d i j           , (3) Математичне та комп’ютерне моделювання 78 де ijG та ijF позначають відповідні фундаментальні розв’язки. Цей вираз записаний для неперервних функцій u та p , тож вони підля- гають дискретизації. Для цього границю  розбивають на елементи i , i i    , i j    для i j . На кожному з граничних еле- ментів переміщення та зусилля апроксимують за допомогою, напри- клад, поліномів Лагранжа  rN  :         , , , . qr r q r qr r q r u u N p p N             (4) Підставивши (4) у (3), отримують систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих qru та qrp . Апроксимація (4) — це єдиний необхідний етап МГЕ, що вносить похибку в результат. Звичайно, на практиці реалізація алгоритму МГЕ включає в себе такі елементи як обчислення інтегралів за допомогою квадратурних фор- мул, що теж накладає свою похибку [3], та все ж першоджерелом залишається похибка апроксимацій у (4). Якщо ця похибка прямува- тиме до нуля, то результат МГЕ прямуватиме до точного розв’язку (за умови достатньої точності обчислення інтегралів та машинних обчислень). Тому виникає ідея побудувати адаптивний алгоритм, що базується на оцінці похибки апроксимацій. Оцінка похибки та адаптивний алгоритм. В подальшому для визначеності вважатимемо, що нас цікавить точність u , а не t , тому будуватимемо викладки в контексті переміщень. Тим не менше, за- уважимо, що вибір зусиль за основу теж може мати місце. Нехай для апроксимації переміщень або зусиль використову- ються кусково-лінійні функції. Сформулюємо теорему про похибку такої апроксимації. Теорема. Нехай на проміжку 1 2[ , ]x x функція  f x апроксиму- ється прямою         1 1 2 1 , x x f x f x f x f x h     (5) де 2 1h x x  . Тоді похибку такої апроксимації можна оцінити так:         1 21 2 2 [ , ][ , ] max min , 2 x x xx x x h f x f x f x f x           (6) для 1 2[ , ]x x x . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 79 Доведення. Функцію  f x можна розвинути в точці 1 2[ , ]x x x у ряд Тейлора згідно формули:          21 1 1 1 1 2 f x f x f x x x f x x      , (7) де 1 2[ , ]x x  . Аналогічно         2 2 1 1 1 , 2 f x f x f x h f h    (8) де 1 2[ , ]x x  . Позначимо 1dx x x  . Виразивши з (8)  1f x та під- ставивши у (7), отримаємо:              2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 dx dx f x f x f x f x f x x h f h h h         . (9) Віднімемо (5) від останнього співвідношення та оцінимо dx h :               2 21 . 2 2 h f x f x f dx f dxh f f           (10) Звідси отримуємо (6). На практиці зручніше використовувати іншу оцінку, що випли- ває безпосередньо з цієї теореми. Наслідок. Похибку лінійної апроксимації у вигляді (5) на про- міжку 1 2[ , ]x x можна оцінити так:       1 2 2 [ , ] max . x x x f x f x h f x    (11) Таким чином, переходячи до МГЕ, можна сказати, що похибка ап- роксимацій переміщень (позначимо її на елементі i через iu ) на гра- ниці є менша на тому граничному елементі, на якому  u x є меншим. Отже, для побудови адаптивного алгоритму залишається оцінити  u x на граничному елементі. Для такої оцінки можна використати результа- ти, отримані на попередній ітерації адаптивного процесу. Нехай на де- якому етапі маємо граничні елементи i з кінцями у вузлах ix та 1ix  . За допомогою МГЕ у цих вузлах отримали значення iu та 1iu  . Щоб оцінити  u x на елементі, оцінимо спочатку  iu x у вузлах наступ- ним чином. Проведемо параболу через точки  1 1, ,i ix u   , ,i ix u  1 1,i ix u  , як зображено на рис. 1. Коефіцієнт при старшому члені такої параболи і візьмемо за наближене значення  iu x , тобто: Математичне та комп’ютерне моделювання 80 1 1 1 1 1 / ,i i i i i i i i i u u u u u h h h h               (12) де ih — довжина i-го граничного елемента. Знайшовши таким чином наближені значення у вузлах, візьмемо за оцінку  u x на елементі середнє арифметичне значень у його кінцях. Рис. 1. Схема для обчислення iu  Отже, отримали наступний вираз для оцінки похибки апрокси- мацій переміщень на елементі i :   2 1 . 2 i i i i i h u u u u         (13) Сформулюємо тепер повністю h-адаптивний алгоритм МГЕ: 1. Задаємо початкову сітку граничних елементів. 2. Розв’язуємо задачу на даній сітці за допомогою МГЕ. 3. Для кожного вузла обчислюємо iu за формулою (12). 4. Для кожного елемента i обчислюємо iu  за формулою (13). 5. Елемент, на якому iu  перевищує деяке наперед задане значен- ня, розбиваємо на два рівні елементи. 6. Якщо жоден елемент не було розбито — кінець, інакше перехо- димо на крок 2. Чисельні результати. Слід зауважити, що під час реалізації будь-якого h-адаптивного МГЕ потрібно враховувати наступний ню- анс. Якщо утворена сітка граничних елементів є такою, що великі за розміром елементи межують із малими, то це може призвести до втрати чисельної точності. Для уникнення цього у [6, c. 161] запро- поновано використовувати так зване правило сумісності: якщо від- ношення двох сусідніх елементів не лежить в проміжку  0, 25;4 , то більший з них слід розділити на два. Це правило було використане нами при реалізації вищезгаданого алгоритму. Запропоновану вище схему було апробовано на двох задачах деформації двовимірних тіл, зображених на рис. 2. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 81 Рис. 2. Схеми тестових задач Задача а) має в лівому верхньому куті «проблемну» зону — стриб- кову зміну граничних умов. Задача б) має сингулярність в околі внутрі- шнього кута. Алгоритм адаптації повинен виділяти ці особливості. Для згаданих задач, задавши ліміт похибки апроксимацій пере- міщень 410 , було отримано адаптовані сітки граничних елементів, зображені на рис. 3. Рис. 3. Адаптовані сітки граничних елементів для тестових задач Як бачимо, результуюча сітка є густішою у передбачених зонах, що підтверджує коректність роботи алгоритму адаптації граничное- лементної сітки. h-адаптація в МСЕ та мортарні функції. При реалізації h- адаптивних схем МСЕ практично неможливо уникнути утворення несумісних сіток, тобто таких, де вузол деякого елемента лежить на стороні іншого (не є його вузлом). Для розв’язування задач на таких сітках використовують спеціальні підходи, зокрема метод мортарних функцій [2]. Суть його полягає в наступному. Нехай область  роз- бита на підобласті i , що не перекриваються. На кожній із підоблас- Математичне та комп’ютерне моделювання 82 тей задано сумісне скінченноелементне розбиття. Спільну границю двох підобластей ij i j    називатимемо інтерфейсом. Оскі- льки умови на сумісність розбиттів двох сусідніх областей на їх інте- рфейсі не накладаються, то неперервність переміщень на ij може порушуватись. Тому накладається умова слабкої неперервності:   0; 1,..., , ij i j k iju u d k M      (14) де  k k x  , ijx — набір базисних мортарних функцій на де- якому розбитті інтерфейсу ij , конкретний вигляд яких можна знай- ти, наприклад, у [7]. Позначивши через iV простір, натягнутий на базисні функції скінченноелементного розбиття підобласті i ;  — простір, натягнутий на k , можна записати варіаційне формулюван- ня вихідної задачі наступним чином. Знайти такі    , ,h hu X   , що:         , , , , , 0, , h h h h h h h h h a u v b v f v v X b u         (15) де  ,a   та  f  — відповідні білінійна та лінійна форми задачі (1)—(2), білінійна форма  b  відповідає за умову слабкої неперервності:    , . ij i j ijb u u u d      (16) Задачу (15) можна розв’язати методом Гальоркіна. Критерій адаптації. Введемо ефективне значення тензора на- пружень  в точці за формулою: 2 2 2 2 11 22 33 122 .eff        (17) Позначивши через  F x та  B x напруження, обчислені від- повідно за допомогою МСЕ на МГЕ, визначимо ефективне значення різниці так:       1/2 2 2 2 33 33 , 1 .FB Fij Bij F B i j x                  (18) Тоді норма такої різниці матиме вигляд: 2 . e e FB FB ed       (19) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 83 Для того, щоб порівнювати точність обчислень на різних скін- ченних елементах, розглянемо приведене значення різниці напру- жень, визначене для деякого елемента: ,e FB e FB B          (20) де  та e — площі тіла та елемента відповідно. Цю величину і дослідимо на можливість використання в якості критерію адаптації. Для цього обчислюватимемо так звані індекси ефективності: ,e e FB FT         (21) де FT — ефективне значення різниці між результатом МСЕ та точним розв’язком, за який можна прийняти, наприклад, результат МГЕ, отриманий на досить густій сітці. Чисельні результати. Дослідження проводились для задачі б), див. рис. 1. Нагадаємо, ця задача має сингулярність в околі внутріш- нього кута, тому обчислення проводились також на розбиттях, які мали згущення в цій зоні. Для розв’язування на утворених несуміс- них сітках використовувались мортарні функції. Рівномірні розбиття складалися із 12, 48, 192 прямокутних скінченні елементи. Результати на одному з них приведені на рис. 4. Рис. 4. Рівномірні розбиття: а) Приведені різниці FB ; б) Індекси ефективності  . Як бачимо, на більшості елементів індекс ефективності є близь- ким до одиниці, що означає, що приведені різниці адекватно відо- бражають реальні похибки напружень МСЕ. На елементі, що знахо- Математичне та комп’ютерне моделювання 84 диться безпосередньо у внутрішньому куті області, індекс є най- меншим — 0.69, але це значення теж можна вважати прийнятним. На рис. 5 приведено результати на одному з несумісних розбит- тів. Область тіла розділено на три підобласті з рівномірними розбит- тями; з’єднання відбувається за допомогою мортарних функцій. Рис. 5. Нерівномірні розбиття: а) Приведені різниці FB ; б) Індекси ефективності  . Результати показують, що на нерівномірних розбиттях приведе- на різниця FB навіть краще відображає реальну похибку, ніж на рів- номірних. Елемент у внутрішньому куті залишається найгіршим з точки зору оцінки похибки. Висновки. Таким чином, ми запропонували ефективний h-адаптив- ний алгоритм МГЕ, що потребує дуже незначних обчислювальних ресу- рсів. Для перебудови сітки граничних елементів виконується лише два цикли нескладних обчислень для оцінки кривини розв’язку. Критерій адаптації теоретично обґрунтовано відповідною теоремою. Наведені результати чисельних досліджень підтверджують ефективність алгорит- му для «пошуку» зон з особливостями та відповідної адаптації сітки. Запропоновано також алгоритм оцінки похибки напружень МСЕ за допомогою результатів МГЕ. Чисельні дослідження демонструють, що приведена різниця напружень, обчислених за МСЕ та МГЕ, адек- ватно відображає їх реальну похибку. Таким чином, різниця напру- жень, отриманих різними чисельними методами, може бути викорис- тана в якості критерію адаптації сітки. Список використаних джерел: 1. Бенерджи П. Методы граничных элементов в прикладных науках / П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. — М. : Мир, 1984. — 406 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 85 2. Дияк І. Адаптивний алгоритм для задачі теорії пружності на основі гібрид- них апроксимацій / І. Дияк // Вісник Львівського університету. — 1998. — № 50. — С. 78—80. 3. Дияк І. Обчислення гіперсингулярних інтегралів у реалізаціях числових алгоритмів розв’язання задач математичної фізики / І. Дияк, І. Макар // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. — 2007. — Вип. 5. — С. 98—108. 4. Bernardi C. A new non conforming approach to domain decomposition: The mortar element method / C. Bernardi, Y. Maday, A. Patera // Nonlinear partial differential equations and their applications. — 1994. — P.13—51. 5. Kita E. Error estimation and adaptive mesh refinement in boundary element method, an overview / E. Kita, N. Kamiya // Engineering Analysis with Boun- dary Elements. — 2001. — Vol. 25. — P. 479—495. 6. Paulino G. H. Symmetric Galerkin Boundary Element Method / A. Sutradhar, G. H. Paulino, L. J. Gray // Springer-Verlag. — 2008. — 276 p. 7. Wohlmuth B.I. A mortar finite element method using dual spaces for the La- grange multiplier / B.I. Wohlmuth // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 2000. — Vol. 38, Issue 3. — P. 989—1012. The construction of adaptive algorithms for boundary element method (BEM) is currently gaining increasing interest. Various approaches and methods have been published recently. However, in most of the existing algorithms the criteria of adaptivity is based on the residual of the bound- ary integral equation or the relationship between the numerical results on different meshes. In this paper we propose to use the estimation of the so- lution’s curvature as an adaptive criteria. This quantity determines the ap- proximating error of the unknown functions on the boundary, which makes the main contribution to the final error of the BEM. To define the curvature we use the results, obtained on the previous step of the iterative adaptive process. An h-adaptive scheme of direct BEM for solving 2-D elasticity problem was developed using these ideas. A new technique for the a poste- riori error estimation for the finite element solution of the linear elasticity is used both finite and boundary element approximation of stresses also. The validity of the algorithms was verified by solving example problems. Key words: boundary element method, finite element method, h- adativity, error estimation. Отримано 17.09.2010 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <FEFF03a703c103b703c303b903bc03bf03c003bf03b903ae03c303c403b5002003b103c503c403ad03c2002003c403b903c2002003c103c503b803bc03af03c303b503b903c2002003b303b903b1002003bd03b1002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503c403b5002003ad03b303b303c103b103c603b1002000410064006f006200650020005000440046002003ba03b103c403ac03bb03bb03b703bb03b1002003b303b903b1002003b103be03b903cc03c003b903c303c403b7002003c003c103bf03b203bf03bb03ae002003ba03b103b9002003b503ba03c403cd03c003c903c303b7002003b503c003b903c703b503b903c103b703bc03b103c403b903ba03ce03bd002003b503b303b303c103ac03c603c903bd002e0020002003a403b10020005000440046002003ad03b303b303c103b103c603b1002003c003bf03c5002003ad03c703b503c403b5002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503b9002003bc03c003bf03c103bf03cd03bd002003bd03b1002003b103bd03bf03b903c703c403bf03cd03bd002003bc03b5002003c403bf0020004100630072006f006200610074002c002003c403bf002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002003ba03b103b9002003bc03b503c403b103b303b503bd03ad03c303c403b503c103b503c2002003b503ba03b403cc03c303b503b903c2002e> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Побудова та дослідження чисельних розв’язків задач теорії пружності на основі h-адаптивних апроксимацій

Репозитарії

Схожі ресурси