Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі
Методом порівняння розв'язків, одержаних для сепаратної системи з модифікованих диференціальних рівнянь Фур'є, Ейлера та Бесселя методом функцій Коші й методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено сім'ю невласних поліпараметричних інтегралів за власними елемен...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48775 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі / І.М. Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 100-113. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-48775 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-487752013-09-03T03:03:55Z Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі Конет, І.М. Ленюк, М.П. Методом порівняння розв'язків, одержаних для сепаратної системи з модифікованих диференціальних рівнянь Фур'є, Ейлера та Бесселя методом функцій Коші й методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено сім'ю невласних поліпараметричних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі. By the method of comparison of the decisions got for the separate system from the modified differential evening by the Four'e, Eylera and Besselya method of functions Coshi and method of the proper hybrid integral transformation, family of unown poliparametrichnih integrals after the own elements of hybrid differential operator Four'e – Eylera – Besselya is calculated on limited matter of Cartesian semiaxis. 2010 Article Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі / І.М. Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 100-113. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48775 517.443 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом порівняння розв'язків, одержаних для сепаратної системи з модифікованих диференціальних рівнянь Фур'є, Ейлера та Бесселя методом функцій Коші й методом відповідного гібридного інтегрального перетворення, обчислено сім'ю невласних поліпараметричних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі. |
| format |
Article |
| author |
Конет, І.М. Ленюк, М.П. |
| spellingShingle |
Конет, І.М. Ленюк, М.П. Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Конет, І.М. Ленюк, М.П. |
| author_sort |
Конет, І.М. |
| title |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі |
| title_short |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі |
| title_full |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі |
| title_fullStr |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі |
| title_full_unstemmed |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі |
| title_sort |
обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора фур'є – ейлера – бесселя на обмеженій справа декартовій півосі |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48775 |
| citation_txt |
Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі / І.М. Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 100-113. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT konetím občislennânevlasnihíntegralívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatorafurêejlerabesselânaobmeženíjspravadekartovíjpívosí AT lenûkmp občislennânevlasnihíntegralívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatorafurêejlerabesselânaobmeženíjspravadekartovíjpívosí |
| first_indexed |
2025-07-04T09:26:16Z |
| last_indexed |
2025-07-04T09:26:16Z |
| _version_ |
1836707927757422592 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
100
УДК 517.443
І. М. Конет*, д-р фіз.-мат. наук,
М. П. Ленюк**, д-р фіз.-мат. наук
*Кам’янець-Подільський національний університет
імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський,
**Національний технічний університет «ХПІ», м. Харків
ОБЧИСЛЕННЯ НЕВЛАСНИХ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ВЛАСНИМИ
ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО
ОПЕРАТОРА ФУР'Є – ЕЙЛЕРА – БЕССЕЛЯ НА ОБМЕЖЕНІЙ
СПРАВА ДЕКАРТОВІЙ ПІВОСІ
Методом порівняння розв'язків, одержаних для сепаратної
системи з модифікованих диференціальних рівнянь Фур'є, Ей-
лера та Бесселя методом функцій Коші й методом відповідно-
го гібридного інтегрального перетворення, обчислено сім'ю
невласних поліпараметричних інтегралів за власними елемен-
тами гібридного диференціального оператора Фур'є – Ейлера –
Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі.
Ключові слова: невласні інтеграли, функція Коші, головні
розв’язки,гібридне інтегральне перетворення, основна тото-
жність, умова однозначної розв’язності.
Вступ. Елементи конструкцій композитного типу, як правило, зна-
ходяться в короткочасовому стаціонарному режимі, на який вони вихо-
дять після стрибкоподібного температурного або силового навантажен-
ня. Вивчення їх фізико-технічних характеристик приводить до задач
термомеханіки (механіки) кусково-однорідних середовищ [1—5]. Прак-
тика показує, що навіть у найпростіших випадках величини, які характе-
ризують стаціонарний режим композита, зображаються поліпараметри-
чним невласним інтегралом, який може умовно збігатися навіть тоді,
коли зображає аналітичну функцію. Звідси виникає природне бажання
замінити невласний інтеграл його результатом збіжності (функцією), що
особливо важливо при інженерних розрахунках [6; 7]. Обчисленню одні-
єї сім'ї невласних інтегралів присвячена пропонована робота.
Основна частина. Розглянемо задачу про побудову обмеженого
на множині
2 1 1 2 2 3 1 3{ : ( , ) ( , ) ( , ), 0, }I r r R R R R R R R
розв'язку сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь
Фур'є, Ейлера та Бесселя для модифікованих функцій
2 2
1 1 1 12 ( ) ( ), ( , ),d q u r g r r R
dr
© І. М. Конет, М. П. Ленюк, 2010
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4
101
1
2
* 2
2 2 2 1 2
2
, 3 3 3 2 3
( ) ( ), ( , ),
( ) ( ), ( , )
B q u r g r r R R
B q u r g r r R R
(1)
з крайовими умовами
3
3 31
22 22 30, 0,1; ( )
k
Rk
r Rr
d u dk u r gdrdr
(2)
та умовами спряження
1 1 2 2 1( ) ( ) , , 1,2.
k
k k k k
j j k j j k r R jk
d du r u r j kdr dr
(3)
У рівностях (1)—(3) 0jq , 3
22 0 , 3
22 0 , 3 3
22 22 0 ,
1 2 0k kc c , 2 1 1 2
k k k k
jk j j j jc , 0m
jk , 0m
jk ;
2
2
d
dr
— дифе-
ренціальний оператор Фур'є [8];
1
*B – диференціальний оператор
Ейлера [8],
2,B — диференціальний оператор Бесселя [9]:
1
2* 2 2
1 12 (2 1)d dB r r drdr ,
2
2 2
2 2 2
, 2 2
2 1
,d dB drdr r r
2 1
1 , 2 1 02 .
Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рів-
няння Фур'є
2 2
12( ) 0d q v
dr
утворюють функції 1 1 1exp[ ( )]v q r R
та 2 1 1exp[ ( )]v q r R [8]; фундаментальну систему розв'язків для
диференціального рівняння Ейлера
1
* 2
2( ) 0B q v утворюють функ-
ції 1 2
1
qv r та 1 2
2
qv r [8]; фундаментальну систему розв'язків
для диференціального рівняння Бесселя
2
2
, 3( ) 0B q v утворюють
модифіковані функції Бесселя
21 , 3( )v I q r та
22 , 3( )v K q r [9].
Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє побуду-
вати розв'язок крайової задачі (1)-(3) методом функцій Коші [8; 10]:
1
1 1( )
1 1 1 1 1( ) ( , ) ( ) , ( , )
R
q r Ru r A e E r g d r R
,
2
1 2 1 2 1
1
2 1*
2 2 2 2 2 1 2( ) ( , ) ( ) , ( , )
R
q q
R
u r A r B r E r g d r R R ,(4)
Математичне та комп’ютерне моделювання
102
3
2
2 2
2
2 1
3 3 , 3 3 , 3 3 3 2 3( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) , ( , ).
R
R
u r A I q r B K q r E r g d r R R
У рівностях (4) ( , )jE r — функції Коші [8; 10]:
0 0( , ) ( , ) 0,j r j rE r E r (5)
0 0
( , ) ( , ) 1
,
( )
j j
r r j
dE r dE r
dr dr
де 1 22 1 2 1 * 2
1 2 3 2 2( ) 1, ( ) , ( ) , ( ) ( )r r r r r g r r g r .
Нехай функція Коші
1 1( )
1 1 1
1
1 2 1 1 2 1 1 1
, ,
( , )
( ) ( ), .
q r RE C e r R
E r
E C chq r R D shq r R r R
Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему рівнянь:
1 1( )
2 1 1 2 1 1 1( ) ( ) 0,q RC chq R D shq R C e
1 1( )
2 1 1 2 1 1 1
1
1( ) ( ) .q RC shq R D chq R C e q
Звідси отримуємо співвідношення:
1 1
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1( ), ( ).C C q shq R D C q chq R (6)
Доповнимо рівності (6) алгебраїчним рівнянням
1
1 1 1 1
11 11 1 11 2 11 1 20 : 0.r R
d E C q Ddr
(7)
Із алгебраїчної системи (6), (7) знаходимо, що
)(
),(
)()(
)(
1
1
111
1
111
111
1
11
11
1
11111
1
111
111
1
111
1
qq
qRq
RshqRchqq
qq
C .
Цим функція Коші 1( , )E r визначена й внаслідок симетрії від-
носно діагоналі r має структуру:
1 1
1 1
1
11 1 1 1 1
1 1 1 1
1 11 1 11 11 1 1 1 1
, , , ,1
( , )
( ) , , , .
q r R
q r R
e q R q r R
E r
q q e q R q r r R
(8)
Введемо до розгляду функції:
1 2
1
1 1
; 2 1 2, , 1,2qm m m
jk m jk jk m mZ q R R q R m
;
1 2
1
2 1
; 2 1 2, , , 1,2qm m m
jk m jk jk m mZ q R R q R j k
,
1 1 1
1 1
11 22
; 2 1 2 ; 2 2 1 ; 1 2 2
12 21
; 2 2 1 ; 1 2 2
, , , ,
, , ,
jk j k
j k
q R R Z q R Z q R
Z q R Z q R
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4
103
1 2 1 2
1 1 1
* 2 1
; 2 ; 2 ; 2, , ,q qm m m
jk jk m jk mq r Z q R r Z q R r
.
Безпосередньо перевіряється, що функція Коші
1 1
1 1 1
1* 2*
;12 2 ;11 2 1 2
2 1* 2*
2 ;11 2 1 2 ;12 2 ;11 2 1 2
, , , ,1
( , )
2 , , , , , .
q r q R r R
E r
q q R R q q r R r R
(9)
Припустимо, що функція Коші
2 2
2 2
3 1 , 3 1 , 3 2 3
3
3 2 , 3 2 , 3 2 3
( ) ( ), ,
( , )
( ) ( ), .
E C I q r D K q r R r R
E r
E C I q r D K q r R r R
Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему
2 22 1 , 3 2 1 , 3( ) ( ) ( ) ( ) 0,C C I q D D K q
2
2 2
12 1
2 1 , 3 2 1 , 3 3( ) ( ) ( ) ( ) .C C I q D D K q q
Звідси знаходимо співвідношення:
2 2
2 2
2 2
2 1 , 3 2 1 , 33 3( ), ( ).C C q K q D D q I q
(10)
Доповнимо рівності (10) алгебраїчними рівняннями
2 2 2
2 2
3
2 2 21 22
12 12 3 , ;12 3 2 1 , ;12 3 2 1
31 32
3 3 , ;22 3 3 2 , ;22 3 3 2
22 22 3
( ) 0 : ( ) ( ) 0,
( ) ( ) 0.( ) 0 :
r R
r R
d E U q R C U q R Ddr
U q R C U q R Dd Edr
(11)
Із алгебраїчної системи (10), (11) знаходимо, що
2
2
2
2
2 22
, ;12 3 23 3*
1 , ;22 3 3 3
, ;12 3 2 3 3
( )
( , )
( , )
q U q R
C q R q
q R q R
,
2
2
2
2
2 21
, ;12 3 23 3*
1 , ;22 3 3 3
, ;12 3 2 3 3
( )
( , )
( , )
q U q R
D q R q
q R q R
.
Цим функція Коші 3 ( , )E r визначена й внаслідок симетрії від-
носно діагоналі r має структуру:
2
2
2 2
2 2
2
3
3
, ;12 3 2 3 3
2* 3*
, ;12 3 2 3 , ;22 3 3 3 2 3
2* 3*
, ;12 3 2 3 , ;22 3 3 3 2 3
( , )
( , )
( , ) ( , ), ,
( , ) ( , ), .
q
E r
q R q R
q R q r q R q R r R
q R q q R q r R r R
(12)
У рівностях (11), (12) беруть участь функції:
2 2 2 2 2
21 32 22 31
, ; 2 3 2 3 3 , ; 2 3 2 , ;22 3 3 , ; 2 3 2 , ;22 3 3( , ) ( ) ( ) ( ) ( ),j j jq R q R U q R U q R U q R U q R
Математичне та комп’ютерне моделювання
104
2 2 2 2 2
* 1 2
, ; 2 3 3 , ; 2 3 , 3 , ; 2 3 , 3( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2,m m m
j m j m j mq R q r U q R K q r U q R I q r j
2 2 2
1 22
, ; 2 3 2 2 , 3 2 3 1, 1 3( ) ( ) ( )m m m m
j m j j m j m m
m
U q R I q R R q I q R
R
,
2 2 2
2 22
, ; 2 3 2 2 , 3 2 3 1, 1 3( ) ( ) ( )m m m m
j m j j m j m m
m
U q R K q R R q K q R
R
.
Умови спряження (3) та крайова умова в точці 3r R для визна-
чення п'яти величин jA й ( 1,3; 2,3)kB j k дають неоднорідну ал-
гебраїчну систему з п'яти рівнянь:
1 1
1 1 11 12
1 1 1 1 ; 2 2 1 2 ; 2 2 1 2 1 2 12( ) ( , ) ( , ) , 1, 2;j j j j j jq A Z q R A Z q R B G j
2 2
21 22 21 22
1 2 2 2 1 2 2 2 , ; 2 3 2 3 , ; 2 3 2 3 2 2 23( , ) ( , ) ( ) ( ) ;j j j j j jZ q R A Z q R B U q R A U q R B G
2 2
31 32
, ;22 3 3 3 , ;22 3 3 3( ) ( ) .RU q R A U q R B g (13)
У системі (13) беруть участь функції
1 21 1
1 1
1
11
2*( )
;11 2 2 121
12 11 1 21 1 2 1
;11 2 1 211 1 11 1
,
( ) ( )
, ,
R Rq R
R
qce
G c g d g d
q R Rq R
,
2
1 1
1
11
3
2 2
2
22
1*
;12 2 2 112
23 22 1
;11 2 1 22
3*
, ;22 3 3 3 2 122
32 1
, ;12 3 2 3 32
,
( )
, ,
,
( )
,
R
R
R
R
qc
G g d
q R RR
q R qc
g d
q R q RR
та символ Кронекера 2 12 22( 0, 1)j [11].
Введемо до розгляду функції:
1 1 1
1 1 1 1
; 11 1 11 ;2 2 1 2 21 1 21 ;1 2 1 2, , , , , 1,2;j j jA q q R R q q R R j
3 2 1
3 2 1
,( ); , ;22 3 2 3 3 ; 1 2 1 2
, ;12 3 2 3 3 ; 2 2 1 2
, , ,
, , , ;
j q j
q j
B q R q R q R R
q R q R q R R
1 1 1
1 1 1* 1 1 1*
;1 11 1 11 ;22 2 21 1 21 ;12 2 1 2( , ) , ( , ), ( ) , ;r q q q r q q r
3 2 1 3 2 1
2* 2*
,( );2 , ;12 3 2 3 3 ;21 2 , ;22 3 2 3 3 ;11 2( , ) , , , , .q qr q q R q R q r q R q R q r
Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності кра-
йової задачі (1)-(3): визначник алгебраїчної системи (13)
1 2 1 2,( ) ;1 , ;22 3 2 3 3 ;2 , ;12 3 2 3 3
1 1 1 1
11 1 11 ,( );2 21 1 21 ,( );1 1 2
( ) , ,
( ) ( ) 0, ( ) , .
q A q R q R A q R q R
q B q q B q
(14)
Визначимо головні розв'язки крайової задачі (1)—(3):
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4
105
1) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна
1 1 1 1,( );2 ,( );1( ) ( )1 1
,( );11 ,( );21
,( ) ,( )
( , ) , ( , )
( ) ( )
q r R q r R
B B
R r q e R r q e
q q
;
1 1
21
( )1 2 21
,( );12 , ;22 3 2 3 32 1
,( )1
2 1
( , ) ( , ) ;
( )
q r Rq c
R r q q R q R e
qR
1 1
21
( )1 2 21
,( );22 , ;12 3 2 3 32 1
,( )1
2 1
( , ) ( , )
( )
q r Rq c
R r q q R q R e
qR
;
1 1 1 1
2 221 1 21 11 1 11
,( );11 ,( );2 ,( );21 ,( );2
,( ) ,( )
( , ) ( , ), ( , ) ( , );
( ) ( )
q q
R r q r q R r q r q
q q
2 2
1 1
, ;22 , ;122 2
,( );12 ;1 ,( );22 ;1
,( ) ,( )
( , ) ( , ), ( , ) ( , );
( ) ( )
R r q r q R r q r q
q q
21
1 1
3 3*2 12 21 1 21
,( );11 , ;22 3 3 32 1
,( )2
2
( , ) ( , );
( )
q c q
R r q q R q r
qR
(15)
21
1 1
3 3*2 12 11 1 11
,( );21 , ;22 3 3 32 1
,( )2
2
( , ) ( , );
( )
q c q
R r q q R q r
qR
1
2
;23 3*
,( );12 , ;22 3 3 3
,( )
( , ) ( , );
( )
A
R r q q R q r
q
1
2
;13 3*
,( );22 , ;22 3 3 3
,( )
( , ) ( , )
( )
A
R r q q R q r
q
;
2) породжені неоднорідністю системи функції впливу
1 1
1 1
( ) 1
,( );2 11 1 1 1
,( );11 ( ) 1
1 ,( ) ,( );2 11 1 1 1
( ) ,1
( , , )
( ) ( ) ,
q r R
q R
e B q q R q
H r q
q q e B q q R q r
1
,( );1 21 1 1 1 1
1
,( );1 21 1 1 1 1
( ) , ,
;
( ) , ,
B q q R q r R
B q q R q r r R
1 1
1
( )21
,( );12 ,( );22 1
,( )1
1
( , , ) ( , );
( )
q r Rc
H r q e r q
qR
1 1
22 1
( )
3*22 2 21
,( );13 , ;22 3 3 32 1 2 1
,( )2 1
2
( , , ) ( , );
( )
q r Rc q c e
H r q q R q
qR R
1 1( )11
,( );21 ,( );2
,( )
( , , ) ( , );
( )
q Rc
H r q e r q
q
(16)
Математичне та комп’ютерне моделювання
106
1
1
;1 ,( );2 1 2
,( );22
;1 ,( );2 1 22 ,( )
( , ) ( , ),1
( , , ) ;
( , ) ( , ),2 ( )
r q q R r R
H r q
q r q R r Rq q
1 22
3*22
,( );23 ;1 , ;22 3 3 32 1
,( )2
1
( , , ) ( , ) , ;
( )
c
H r q r q q R q
qR
1 1
21
( ) 3*2 12 11
,( );31 , ;22 3 3 32 1
2 ,( )
2
( , , ) , ;
( )
q Rq c c
H r q e q R q r
R q
1 21
3*12
,( );32 ;1 , ;22 3 3 32 1
,( )2
1
( , , ) ( , ) , ;
( )
c
H r q q q R q
qR
2
2 1 2
2 1 2
3* 2*2
, ;22 3 3 3 ;1 , ;22 3 2 3
3
,( );33 3* 2*
,( ) , ;22 3 3 3 ;1 , ;22 3 2 3
, ,
( , , )
( ) ( , ) ( , )
q R q A q R q rq
H r q
q q R q r A q R q
1 2
1 2
2*
;2 , ;12 3 2 3 2 3
2*
;2 , ;12 3 2 3 2 3
, ,
, ,
A q R q r R r R
A q R q R r R
;
3) породжені крайовою умовою в точці 3r R функції Гріна
1 1
1 2 2
( )2 21 22
,( );31 2 1 2 2 1
,( )1 3 2
2 1
( , ) ;
( )
q r Rq c c
W r q e
qR q R
12 2
22
,( );32 ;12 2 1
,( )3 2
1
( , ) ( , );
( )
c
W r q r q
qq R
(17)
1 2 1 2
2* 2*
,( );33 ;1 , ;22 3 2 3 ;2 , ;12 3 2 3
,( )
1
( , ) , ,
( )
W r q A q R q r A q R q r
q
.
У результаті однозначної розв'язності алгебраїчної системи (13)
й підстановки отриманих значень jA та kB у формули (4) маємо
єдиний розв'язок крайової задачі (1)-(3):
2
,( ); ,( );3
, 1
( ) ( , ) ( , )j
j mk mk j R
m k
u r R r q W r q g
1 2
1
1
2 1
,( ); 1 1 ,( ); 2 2( , , ) ( ) ( , , ) ( )
R R
j j
R
H r q g d H r q g d
(18)
3
2
2
2 1
,( ); 3 3( , , ) ( ) , 1,3
R
j
R
H r q g d j
.
Побудуємо тепер розв'язок крайової задачі (1)-(3) методом інте-
грального перетворення, породженого на множині 2I гібридним ди-
ференціальним оператором (ГДО)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4
107
1 2
2 *
,( ) 1 1 2 2 3 ,2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .dM R r r R R r B r R R r B
dr (19)
Диференціальний оператор ,( )M самоспряжений і має одну
особливу точку r . Тому його спектр дійсний та непере-
рвний [12]. Можна вважати, що спектральний параметр (0, ) .
Йому відповідає спектральна вектор-функція
3
,( ) ,( );1 1 1 ,( );
2
( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ).k k k
k
V r V r R r r R R r V r
(20)
При цьому функції ,( ); ( , )jV r є розв'язками відповідно диферен-
ціальних рівнянь Фур'є, Ейлера та Бесселя для звичайних функцій [13]
2 2
2 1 ,( );1 1( , ) 0, ( , ),d b V r r R
dr
1
* 2
2 ,( );2 1 2( , ) 0, ( , ),B b V r r R R (21)
2
2
, 3 ,( );3 2 3( , ) 0, ( , )B b V r r R R
з однорідними крайовими умовами та однорідними умовами спря-
ження, де 2 2 1/2( ) ( ) , 0, 1,3j j jb k k j .
Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння
Фур'є
2 2
12( ) 0d b v
dr
утворюють функції 1 1cosv b r та 2 1sinv b r ;
фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Ей-
лера
1
* 2
2( ) 0B b v утворюють функції 1
1 2cos( ln )v r b r та
1
2 2sin( ln )v r b r [8]; фундаментальну систему розв'язків для дифе-
ренціального рівняння Бесселя
2
2
, 3( ) 0B b v утворюють функції
Бесселя
21 , 3( )v J b r та
22 , 3( )v N b r [9].
Якщо покласти
,( );1 1 1 1 1 1( , ) cos sin , ( , ) ,V r A b r B b r r R
1 1
,( );2 2 2 2 2 1 2( , ) cos( ln ) sin( ln ), ( , )V r A r b r B r b r r R R
,(22)
2 2,( );3 3 , 3 3 , 3 2 3( , ) ( ) ( ), ( , )V r A J b r B N b r r R R ,
то умови спряження (3) при 0jk та крайова умова в точці 3r R
при 0Rg дають однорідну лінійну алгебраїчну систему з п'яти рів-
нянь відносно шести невідомих:
1 1
11 12 11 12
1 1 1 1 1 1 1 1 ; 2 2 1 2 ; 2 2 1 2( ) ( ) ( , ) ( , ) 0, 1,2;j j j jv b R A v b R B Y b R A Y b R B j
Математичне та комп’ютерне моделювання
108
1 1 2 2
21 22 21 22
; 1 2 2 2 ; 1 2 2 2 , ; 2 3 2 3 , ; 2 3 2 3( , ) ( , ) ( ) ( ) 0;j j j jY b R A Y b R B u b R A u b R B (23)
2 2
31 32
, ;22 3 3 3 , ;22 3 3 3( ) ( ) 0.u b R A u b R B
Алгебраїчна система (23) сумісна. Візьмемо
2
32
3 0 , ;22 3 3( )A A u b R ,
2
31
3 0 , ;22 3 3( )B A u b R , де 0A підлягає визначенню.
Розглянемо стосовно 2A , 2B алгебраїчну систему рівнянь
1 1 2 2
2 2 2
21 22 21 32
; 1 2 2 2 ; 1 2 2 2 0 , ; 2 3 2 , ;22 3 3
22 31
, ; 2 3 2 , ;22 3 3 0 , ; 2
( , ) ( , ) [ ( ) ( )
( ) ( )] ( ), 1, 2.
j j j
j j
Y b R A Y b R B A u b R u b R
u b R u b R A j
(24)
Визначник алгебраїчної системи (24)
1
1 1 1 1 1
(2 1)21 22 21 22
;11 2 2 ;21 2 2 ;21 2 2 ;11 2 2 2 12 2( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0.q Y b R Y b R Y b R Y b R b c R
Отже, алгебраїчна система (24) має єдиний розв'язок [11]:
2 1 2 1
1
2 1 2 1
1
22 220
2 , ;22 3 2 3 3 ;11 2 2 , ;12 3 2 3 3 ;21 2 2
21 210
2 , ;22 3 2 3 3 ;11 2 2 , ;12 3 2 3 3 ;21 2 2
[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )],
( )
[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )].
( )
A
A b R b R Y b R b R b R Y b R
q
A
B b R b R Y b R b R b R Y b R
q
(25)
При визначених 2A , 2B розглянемо алгебраїчну систему стосо-
вно 1A та 1B :
1
11 12 1
1 1 1 1 1 1 1 1 0 ,( );( ) ( ) [ ( )] ( ),j j jv b R A v b R B A q b (26)
де
2 1 2 1,( ); , ;22 ; 1 , ;12 ; 2( ) , 1,2;j j jb j
1 1 1 1 1
11 22 12 21
; 2 1 2 ; 2 2 1 ; 1 2 2 ; 2 2 1 ; 1 2 2( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), , 1,2.jk j k j kb R R Y b R Y b R Y b R Y b R j k
Визначник алгебраїчної системи (26)
11 12 11 12
11 1 1 21 1 1 21 1 1 11 1 1 11 1( ) ( ) ( ) ( ) 0v b R v b R v b R v b R c b .
Отже, алгебраїчна система (26) має єдиний розв'язок:
1 1
11 1 12 2
1 ,( );2 1 ,( );1 0 11 1 2 1
2
( ); ( ), ( )
c b c b
A B A c b q
R
, (27)
1 1
,( ); ,( );1 1 1 ,( );2 1 121 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1, 2j j
j b v b R b v b R j .
Підставивши визначені величини jA , jB згідно формул (25), (27)
та вибору 0A у рівності (22), маємо функції:
,( );1 ,( );2 1 ,( );1 1( , ) ( ) cos ( )sinV r b r b r ;
2 1 2 1
2 2
,( );2 11 1 , ;22 3 2 3 3 ;11 2 , ;12 3 2 3 3 ;21 2( , ) [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]V r c b b R b R b r b R b R b r
1 1
1 1 1
2 22 21
; 1 2 ; 1 2 2 2 ; 1 2 2 2( , ) ( , ) cos( ln ) ( , ) sin( ln )j j jb r Y b R r b r Y b R r b r
, (28)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4
109
2 2 2 21
31 3212 2
,( );3 11 1 , ;22 3 3 , 3 , ;22 3 3 , 32 1
2
( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]
c b
V r c b u b R N b r u b R J b r
R .
Цим вектор-функція ,( ) ( , )V r повністю визначена.
Введемо до розгляду величини
1 1 ,
1
21
2 2 1
11 1
1c
c R
,
1
1 2
2 1
21 22 2
3 2 1 2 1
11 12 1 2
1
,
Rc c
c c R R
вагову функцію
1 22 1 2 1
1 1 1 2 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r R r r R R r r r R R r r
та спектральну щільність (густину)
11 2 2
,( ) 1 ,( );1 ,( );2( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )]b
.
Наявність спектральної вектор-функції ,( ) ( , )V r , вагової фун-
кції ( )r та спектральної щільності ,( ) ( ) дозволяють визначити
пряме ,( )H та обернене 1
,( )H
гібридне інтегральне перетворення
(ГІП), породжене на множині 2I ГДО ,( )M [13]:
3
,( ) ,( )( ) ( ) ( , ) ( ) ( ),
R
H g r g r V r r dr g
(29)
1
,( ) ,( ) ,( )
0
2
( ) ( ) ( , ) ( ) ( ),H g g V r d g r
(30)
де ( )g r — вектор-функція із області визначення ГДО.
При цьому справедлива основна тотожність ГІП ГДО ,( )M :
22 13
2 2 3 3
,( ) ,( ) ,( );3 33
1 22
[ [ ( )]] ( ) ( ) ( , )j j R
j
R
H M g r g k g V R g
2
,( );12 2 ,( );22 1
1
[ ( ) ( ) ],k k
k k k
k
h Z Z
(31)
де
1 2
1
1
2 1
1 1 ,( );1 1 2 2 ,( );2 2( ) ( ) ( , ) , ( ) ( ) ( , )
R R
R
g g r V r dr g g r V r r dr
,
3
2
2
2 1
3 3 ,( );3 3( ) ( ) ( , )
R
R
g g r V r r dr
, 12 11 1
1 1 11 2 2 122,h c h R c ;
,( ); 2 2 2 ,( ); 1( ) ( , ) ; , 1, 2
k
k k k
j j j k r R
dZ V r j kdr .
Математичне та комп’ютерне моделювання
110
Згідно з роботою [14] запишемо систему (1) в матричній формі
1
2
2 2
1 12
1
* 2
2 2 2
2 3
, 3 3
( )
( )
( ) ( ) .
( )
( )
d q u r
dr g r
B q u r g r
g r
B q u r
(32)
Інтегральний оператор ,( )H , який діє за правилом (29), зобра-
зимо у формі операторної матриці-рядка
1 2
1
3
1 2
2
,( ) ,( );1 1 ,( );2
2 1 2 1
2 ,( );3 3
[ ] ( , ) ( , )
( , ) .
R R
R
R
R
H V r dr V r
r dr V r r dr
(33)
Застосуємо операторну матрицю-рядок (33) до системи (32) за
правилом множення матриць. Внаслідок основної тотожності (31)
одержуємо алгебраїчне рівняння
2
3
2 12 2 2 3 1
3 22 ,( );3 33
1
[ ( ) ] ( ) ( ) ( , )j j j R
j
u q k g R V R g
2
,( );12 2 ,( );22 1
1
[ ( ) ( ) ]k k
k k k
k
h Z Z
. (34)
Припустимо, не зменшуючи загальності, що 2 2 2
1 2 3max{ ; ; }q q q
2
3 0q . Покладемо 2
3 0k , 2 2 2
1 3 1 0k q q , 2 2 2
2 3 2 0k q q . Алге-
браїчне рівняння (34) набуває вигляду
2
2 2
3 ,( );12 2 ,( );22 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k
k k k
k
q u g h Z Z
22 13 1
3 22 ,( );3 3 3( ) ( , ) RV R R g
.
Звідси одержуємо, що функція
2
2
,( );12 ,( );22
2 12 2 2 2 2 2
13 3 3
,( );3 3 2 1
3 33 2 2
22 3
( ) ( )( )
( )
( , )
.
( )
k k
k k k
k
R
Z Zg
u h
q q q
V R
R g
q
(35)
Інтегральний оператор 1
,( )H
згідно правила (30) як обернений
до (33) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4
111
,( );1 ,( )
0
1
,( ) ,( );2 ,( )
0
,( );3 ,( )
0
2
( , ) ( )
2
[ ] ( , ) ( ) .
2
( , ) ( )
V r d
H V r d
V r d
(36)
Застосувавши операторну матрицю-стовпець (36) за правилом
множення матриць до матриці-елемента [ ( )]u , де функція ( )u визна-
чена формулою (35), маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1)-(3):
,( ); ,( )
0
2
( ) ( ) ( , ) ( )j ju r u V r d
1
,( ); ,( );1
,( ) 1 12 2
30
( , ) ( , )2
( ) ( )
R
jV r V
d g d
q
2
1
1
,( ) 2 1
,( ); ,( );2 2 22 2
30
( )2
( , ) ( , ) ( )
R
j
R
V r V d g d
q
3
2
2
,( ) 2 1
,( ); ,( );3 3 32 2
30
( )2
( , ) ( , ) ( )
R
j
R
V r V d g d
q
2
,( );12
,( ); ,( ) 22 2
1 30
( )2
( , ) ( )
k
k j k
k
Z
h V r d
q
(37)
,( );22
,( ); ,( ) 12 2
30
( )2
( , ) ( )
k
j k
Z
V r d
q
2,( ) 2 1
,( ); ,( );3 3 3 33 2 2
22 30
( )2
( , ) ( , ) ; 1,3
( )
j R
d
V r V R R g j
q
.
Порівнюючи розв'язки (18) та (37) крайової задачі (1)—(3) в на-
слідок теореми єдиності, отримуємо формули обчислення поліпара-
метричних невласних інтегралів:
,( )
,( ); ,( ); ,( );2 2
30
( )2 1
( , ) ( , ) ( , , ); , 1,3;j k jk
k
V r V d H r q j k
q
(38)
,( ) 1
,( );12 ,( ); ,( );22 2
30
( )2
( ) ( , ) ( , ) ; 1,2, 1,3;k j
j k kZ V r d R r q h k j
q
(39)
Математичне та комп’ютерне моделювання
112
,( ) 1
,( );22 ,( ); ,( );12 2
30
( )2
( ) ( , ) ( , ); 1,2, 1,3;k j
j k kZ V r d h R r q k j
q
(40)
2
,( )
,( );3 3 ,( ); ,( );33 2 2 2 1
22 3 3 30
( )2 1
( , ) ( , ) ( , ); 1,3.
( )j jV R V r d W r q j
q R
(41)
Підсумком виконаних у статті досліджень є твердження.
Теорема. Якщо функція 1 2
*
1 2 , 3( ) ( ); ( ) ; ( )f r g r B g r B g r
неперервна на множині 2I , а функції ( )jg r задовольняють крайові
умови
1 ,( );1 1 ,( );1lim [ ( ) ( , ) ( ) ( , )] 0
r
g r V r g r V r
,
3
3 3
22 22 3 r R R
d g gdr
та умови спряження (3) і виконується умова (14) однозначної розв'яз-
ності крайової задачі (1)—(3), то справджуються формули (38)—(41)
обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними
елементами ГДО ,( )M , визначеного рівністю (19).
Зауваження 1. Аналіз одержаних формул (38)-(41) в залежності
від параметрів 1q , 2q , 3q , 3
22 , 3
22 , k
jm , k
jm , які беруть участь у
формулюванні задачі (1)—(3), здійснюється безпосередньо.
Зауваження 2. Якщо 2 2 2 2
1 2 3 2max{ ; ; } 0q q q q , то покладаємо
2 2 2
1 2 1 0k q q , 2
2 0k , 2 2 2
3 2 3 0k q q і замість виразу 2 2
3( )q
буде вираз 2 2
2( )q .
Зауваження 3. Якщо 2 2 2 2
1 2 3 1max ; ; 0q q q q , то покладаємо
2
1 0k , 2 2 2
2 1 2 0k q q , 2 2 2
3 1 3 0k q q і вираз 2 2
3( )q замінить-
ся на вираз 2 2
1( )q .
Висновки. Обчислено нові класи невласних поліпараметричних ін-
тегралів за власними елементами гібридного диференціального операто-
ра Фур'є – Ейлера – Бесселя на обмеженій справа декартовій півосі.
Список використаних джерел:
1. Подстригач Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Под-
стригач, В. А. Ломакин, Ю. М. Коляно. — М. : Наука, 1984. — 368 с.
2. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднород-
ного тела / Ю. М. Коляно. — К. : Наук. думка, 1992. — 280 с.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4
113
3. Ленюк М. П. Температурні поля в плоских кусково-однорідних ортотропних
областях / М. П. Ленюк. — К. : Ін-т математики НАН України, 1997. — 188 с.
4. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в ортотроп-
них сферичних областях / І. М. Конет. — К. : Ін-т математики НАН Укра-
їни, 1998. — 209 с.
5. Конет І. М. Температурні поля в кусково-однорідних циліндричних обла-
стях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2004. – 276 с.
6. Конет И. М. Вычисление несобственных интегралов по собственным
элементам гибридного дифференциального оператора Бесселя-Фурье-
Эйлера на полярной оси / И. М. Конет, М. П. Ленюк // Materialy IX
Miedzynarodnowej naukowi-praktycznej konferencij «Naukowy potencial
swiata — 2008». — Przemysl : Nauka i studia, 2008. — Tym 9. — S. 69—77.
7. Конет И. М. Вычисление несобственных интегралов по собственным
элементам гибридного дифференциального оператора Бесселя-Эйлера-
Фурье на полярной оси / И. М. Конет, М. П. Ленюк // Materialy V
Miedzynarodnowej naukowi-praktycznej konferencij «Dynamika naukowych
badan — 2009». — Przemysl : Nauka i studia, 2009. — Vol. 9. — S. 7—16.
8. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. —
М. : Физматгиз, 1959. — 468 с.
9. Ленюк М. П. Исследование основных краевых задач для диссипативного
волнового уравнения Бесселя / М. П. Ленюк. — К., 1983. – 62 с. —
(Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 83. 3).
10. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс /
Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с.
11. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1971. — 432 с.
12. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежандра) /
М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ. думка, 2004. — 368 с.
13. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення типу (Фур'є, Конторови-
ча-Лєбєдєва) — Лежандра / М. П. Ленюк, М. Л. Янчишин. — Чернівці :
Прут, 2002. — 76 с.
14. Ленюк М. П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інте-
гральних перетворень (Фур'є, Бесселя, Лежандра) / М. П. Ленюк. — Чер-
нівці : Прут, 2005. — 368 с.
By the method of comparison of the decisions got for the separate sys-
tem from the modified differential evening by the Four'e, Eylera and Bes-
selya method of functions Coshi and method of the proper hybrid integral
transformation, family of unown poliparametrichnih integrals after the own
elements of hybrid differential operator Four'e – Eylera – Besselya is cal-
culated on limited matter of cartesian semiaxis.
Key words: not own integrals, functions Cauchy, the main decisions,
hybrid integrated transformation, the basic identity, condition of unequivo-
cal resolvability.
Отримано 21.09.2010
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <FEFF05d405e905ea05de05e905d5002005d105d405d205d305e805d505ea002005d005dc05d4002005db05d305d9002005dc05d905e605d505e8002005de05e105de05db05d9002000410064006f006200650020005000440046002005e205d105d505e8002005d405e605d205d4002005d505d405d305e405e105d4002005d005de05d905e005d4002005e905dc002005de05e105de05db05d905dd002005e205e105e705d905d905dd002e002005de05e105de05db05d90020005000440046002005e905e005d505e605e805d5002005e005d905ea05e005d905dd002005dc05e405ea05d905d705d4002005d105d005de05e605e205d505ea0020004100630072006f006200610074002005d5002d00410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002005d505d205e805e105d005d505ea002005de05ea05e705d305de05d505ea002005d905d505ea05e8002e>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <FEFF00410020006800690076006100740061006c006f007300200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0020006d00650067006200ed007a00680061007400f30020006d0065006700740065006b0069006e007400e9007300e900720065002000e900730020006e0079006f006d00740061007400e1007300e10072006100200073007a00e1006e0074002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b0061007400200065007a0065006b006b0065006c0020006100200062006500e1006c006c00ed007400e10073006f006b006b0061006c00200068006f007a006800610074006a00610020006c00e9007400720065002e0020002000410020006c00e90074007200650068006f007a006f00740074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e00740075006d006f006b00200061007a0020004100630072006f006200610074002000e9007300200061007a002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020007600610067007900200061007a002000610074007400f3006c0020006b00e9007301510062006200690020007600650072007a006900f3006b006b0061006c0020006e00790069007400680061007400f3006b0020006d00650067002e>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d002000650072002000650067006e0065007400200066006f00720020007000e5006c006900740065006c006900670020007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500740073006b007200690066007400200061007600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002e>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|