Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі

Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі

Методом порівняння розв'язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Ейлера, Фур'є та (Конторовича-Лєбєдєва) на сегменті [R0,R3] полярної осі з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного скінченного гібрид...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2010
Автор: Ленюк, О.М.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48776
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі / О.М. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 114-132. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48776
record_format dspace
spelling irk-123456789-487762013-09-03T03:03:17Z Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі Ленюк, О.М. Методом порівняння розв'язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Ейлера, Фур'є та (Конторовича-Лєбєдєва) на сегменті [R0,R3] полярної осі з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного скінченного гібридного інтегрального перетворення (СГІП), підсумовано поліпараметричну сім'ю функціональних рядів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора (ГДО). By comparison of the boundary problem for a system of Euler differential equations, Fourier and (Kontorovich-Lebedev) segment [R0,R3] of the polar axis with two point of interface, built on the one hand, by Cauchy functions, and on the other hand, using the corresponding finite hybrid integral transform (FHIT), summarized polyparametric family of functional series in its own elements corresponding hybrid differential operator (HDO). 2010 Article Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі / О.М. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 114-132. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48776 517.443 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Методом порівняння розв'язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Ейлера, Фур'є та (Конторовича-Лєбєдєва) на сегменті [R0,R3] полярної осі з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Коші, а, з другого боку, методом відповідного скінченного гібридного інтегрального перетворення (СГІП), підсумовано поліпараметричну сім'ю функціональних рядів за власними елементами відповідного гібридного диференціального оператора (ГДО).
format Article
author Ленюк, О.М.
spellingShingle Ленюк, О.М.
Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Ленюк, О.М.
author_sort Ленюк, О.М.
title Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі
title_short Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі
title_full Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі
title_fullStr Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі
title_full_unstemmed Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі
title_sort підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора ейлера — фур'є — (конторовича–лєбєдєва) на сегменті [r0, r3] полярної осі
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2010
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48776
citation_txt Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Фур'є — (Конторовича–Лєбєдєва) на сегменті [R0, R3] полярної осі / О.М. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 114-132. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT lenûkom pídsumovuvannâfunkcíonalʹnihrâdívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatoraejlerafurêkontorovičalêbêdêvanasegmentír0r3polârnoíosí
first_indexed 2025-07-04T09:26:22Z
last_indexed 2025-07-04T09:26:22Z
_version_ 1836707933099917312
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 114 УДК 517.443 О. М. Ленюк, канд. фіз.-мат. наук Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ПІДСУМОВУВАННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РЯДІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЕЙЛЕРА — ФУР'Є — (КОНТОРОВИЧА–ЛЄБЄДЄВА) НА СЕГМЕНТІ [R0, R3] ПОЛЯРНОЇ ОСІ Методом порівняння розв'язку крайової задачі для системи диференціальних рівнянь Ейлера, Фур'є та (Конторовича- Лєбєдєва) на сегменті 0 3[ , ]R R полярної осі з двома точками спряження, побудованого, з одного боку, методом функцій Ко- ші, а, з другого боку, методом відповідного скінченного гібрид- ного інтегрального перетворення (СГІП), підсумовано поліпа- раметричну сім'ю функціональних рядів за власними елемента- ми відповідного гібридного диференціального оператора (ГДО). Ключові слова: функціональні ряди, функції Коші, головні розв'язки крайової задачі, умова однозначної розв'язності, вла- сні елементи гібридного диференціального оператора, основ- на тотожність, логічна схема. Постановка проблеми та її аналіз. Тонкостінні елементи конс- трукцій композитного типу, як правило, знаходяться в короткочасо- вому режимі, на який вони виходять після стрибкоподібного темпе- ратурного або силового навантаження. Вивчення їх фізико-технічних характеристик приводить до задач термомеханіки (механіки) куско- во-однорідних середовищ. Практика показує, що навіть у найпрості- ших випадках величини, які характеризують стаціонарний режим елемента, зображаються поліпараметричним функціональним рядом, який може бути умовно збіжним навіть тоді, коли зображає аналітич- ну функцію. Звідси природне бажання замінити функціональний ряд його результатом збіжності (функцією), що особливо важливо для інженерних розрахунків. Підсумовуванню однієї сім'ї функціональ- них рядів присвячена дана робота. Основна частина. Побудуємо обмежений на множині 2 0 1 1 2 2 3 0 3{ : ( , ) ( , ) ( , ); 0, },I r r R R R R R R R R       розв'язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Ейлера, Фур'є та Конторовича-Лєбєдєва для модифікованих функцій  1 * 2 1 1 1 0 1( ) ( ), ( , ),B q u r g r r R R     © О. М. Ленюк, 2010 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 115  2 2 2 2 2 1 22 ( ) ( ), ( , )d q u r g r r R R dr     , (1)  2 2 3 3 3 2 3( ) ( ), ( , )B q u r g r r R R     з крайовими умовами 0 3 0 0 3 3 11 11 1 0 22 22 3( ) , ( ) R r R r R d d u r g u r g dr dr                     (2) та умовами спряження 1 1 2 2 1( ) ( ) , , 1, 2. k k k k k j j k j j k jk r R d d u r u r j k dr dr                         (3) У системі (1) беруть участь диференціальні оператори Ейлера 1 2* 2 2 1 12 (2 1)d dB r r drdr      [1], Фур'є 2 2 d dr [1] та Конторо- вича-Лєбєдєва 2 22 2 2 2 2 22 (2 1)d dB r r rdrdr        [2]; 2 j  , 1 0  (0, )   . Припустимо, що виконані умови на коефіцієнти: 1 0q  , 2 0q  , 3 0q  ; 0 11 0  , 0 11 0  , 0 0 11 11| | 0   ; 3 22 0  , 3 22 0  ; 3 3 22 22 0   ; 0m jk  , 0m jk  , 1 2 0k kc c  , 2 1 1 2 k k k k jk j j j jc      , , 1, 2j k  . Фундаментальну систему розв'язків для рівняння Ейлера 1 * 2 1( ) 0B q v   складають функції 1 1 1 qv r   та 1 1 2 qv r   [1]; фу- ндаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Фу- р'є 2 2 22( ) 0d q v dr   складають гіперболічні функції 1 2v chq r та 2 2v shq r [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціа- льного рівняння Конторовича-Лєбєдєва 2 2 3( ) 0B q v   складають функції Бесселя уявного аргументу першого роду 3 2, ( )qI r  та друго- го роду 3 2, ( )qK r  [2]. Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє побуду- вати розв'язок крайової задачі методом функцій Коші [1; 3]: 1 1 1 1 1 1 0 2 1* 1 1 1 1 1( ) ( , ) ( ) R q q R u r A r B r E r g d             , Математичне та комп’ютерне моделювання 116 2 1 2 2 2 2 2 2 2( ) ( , ) ( ) R R u r A chq r B shq r E r g d      , (4) 3 2 3 2 3 2 2 2 1* 3 3 , 3 , 3 3( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) R q q R u r A I r B K r E r g d           . Тут * 2( ) ( ) , 1,3j jg r g r r j  ; ( , )jE r  — функції Коші [1; 3]: 0 0( , ) ( , ) 0j r j rE r E r       (5) 0 0 ( , ) ( , ) 1 , 1,2,3 ( ) j j r r j dE r dE r j dr dr             , де функція 12 1 1    , функція 2 1  , функція 22 1 3    . Припустимо, що функція Коші 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 0 1 , ( , ) , q q q q E C r D r R r R E r E C r D r R r R                               . Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь: 1 1 1 1 2 1 2 1( ) ( ) 0q qC C D D         1 1 1 1 12 2 1 1 1 2 1 1 1( )( ) ( )( )q qC C q D D q               Звідси отримуємо співвідношення: 1 1 1 11 1 2 1 1 2 1 1(2 ) , (2 )q qC C q D D q           (6) Доповнимо рівності (6) алгебраїчними рівняннями:             0 1 1 1 1 1 0 0 01 02 11 11 1 ;11 1 0 1 ;11 1 0 1 11 12 1 1 ;11 1 1 2 ;11 1 1 2 11 11 1 0 : , , 0, , , 0.0 : r R r R d E Z q R C Z q R Ddr Z q R C Z q R Dd Edr                      (7) Алгебраїчна система (7) внаслідок рівностей (6) набуває вигляду: 1 1 1 1 1 01 02 ;11 1 0 1 ;11 1 0 1 11 12 1 1* ;11 1 0 1 ;11 1 0 1 1 ;11 1 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) (2 ) ( , ) Z q R C Z q R D Z q R C Z q R D q q            (8) Згідно правил Крамера [4] із алгебраїчної системи (8) маємо: 1 1 1 02 ;11 1 0 1* 1 ;11 1 1 ;11 1 0 1 ( , ) ( , ), 2 ( , , ) Z q R C q q q R R        Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 117 1 1 1 01 ;11 1 0 1* 1 ;11 1 1 ;11 1 0 1 ( , ) ( , ) 2 ( , , ) Z q R D q q q R R       . Цим функція Коші 1( , )E r  визначена й внаслідок симетрії від- носно діагоналі r  має структуру: 1 1 1 1 1 1 1 ;11 1 0 1 0* 1* ;11 1 ;11 1 0 1 0* 1* ;11 1 ;11 1 0 1 1 ( , ) 2 ( , , ) ( , ) ( , ), , ( , ) ( , ), . E r q q R R q r q R r R q q r R r R                         (9) У рівностях (7)—(9) беруть участь функції: 1 1 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 1 1 1( , ) [( ) ] qm m m m j m j m j j m mZ q R R R q R            , 1 1 1 2 1 1 ; 1 1 1 1 1 1 1( , ) [( ) ] qm m m m j m j m j j m mZ q R R R q R            , 1 1 1 1 1 01 12 02 11 ; 1 1 0 1 ;11 1 0 ; 1 1 1 ;11 1 0 ; 1 1 1( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )j j jq R R Z q R Z q R Z q R Z q R       , 1 1 1 1 1 1 1 * 2 1 ; 1 1 ; 1 1 ; 1 1( , ) ( , ) ( , )q qm m m j j m j mq r Z q R r Z q R r           . Нехай функція Коші 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 , , ( , ) , . E C chq r D shq r R r R E r E C chq r D shq r R r R                   Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь: 2 1 2 2 2( ) 0C C chq D shq    , 1 2 1 2 2 2 2( )C C shq D chq q      . Звідси знаходимо співвідношення: 1 1 2 1 2 2 2 2 2, .C C q shq D q chq      (10) Доповнимо алгебраїчні рівності (10) алгебраїчними рівняннями: 1 2 1 1 11 12 12 12 1 12 2 1 1 12 2 1 1 2 2 21 22 11 11 1 11 2 2 2 11 2 2 2 0 : ( ) ( ) 0 . 0 : ( ) ( ) 0 r R r R d E V q R C V q R D dr d E V q R C V q R D dr                            (11) Внаслідок співвідношень (10) алгебраїчна система (11) набуває вигляду: Математичне та комп’ютерне моделювання 118 11 12 12 2 1 1 12 2 1 1 21 22 1 2 11 2 2 1 11 2 2 1 2 11 2 2 2 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( , ). V q R C V q R D V q R C V q R D q q R q       (12) Розв'язок алгебраїчної системи (12) одержуємо за правилами Крамера [4] 12 212 2 1 1 11 2 2 2 2 11 2 1 2 2 ( ) ( , ) ( , ) V q R C q R q q q R q R     , 1 11 22 12 2 1 1 11 2 2 2 11 2 1 2 2 ( ) ( , ) ( , ) q V q R D q R q q R q R      . Цим функція Коші 2 ( , )E r  визначена й внаслідок симетрії від- носно діагоналі r  має структуру: 2 2 11 2 1 2 2 1 2 12 2 1 2 11 2 2 2 1 2 1 2 12 2 1 2 11 2 2 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), , ( , ) ( , ), . E r q q R q R q R q r q R q R r R q R q q R q r R r R                    (13) У рівностях (11)—(13) беруть участь функції: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ; ( ) ; m m m jk m jk m jk m m m m jk m jk m jk m V q R q shq R chq R V q R q chq R shq R         11 22 12 21 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ); , 1, 2jk j k j kq R q R V q R V q R V q R V q R j k    ; 2 1 2 2 2 2 2 2( , ) ( ) ( )m m m jk m jk m jk mq R q r V q R chq r V q R shq r   . Нехай функція Коші 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 , 1 , 2 3 3 3 2 , 2 , 2 3 ( ) ( ), , ( , ) ( ) ( ), . q q q q E C I r D K r R r R E r E C I r D K r R r R                            Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь: 3 2 3 22 1 , 2 1 ,( ) ( ) ( ) ( ) 0,q qC C I D D K       2 3 2 3 2 12 1 2 1 , 2 1 ,( ) ( ) ( ) ( ) .q qC C I D D K            Звідси знаходимо співвідношення: 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 , 2 1 ,( ), ( ).q qC C K D D I           (14) Доповнимо рівності (14) алгебраїчними рівняннями: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 119     2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 12 12 3 3 3 22 22 3 21 22 , ;12 2 1 , ;12 2 1 31 32 , ;22 3 2 , ;22 3 2 0 : 0 : ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0. r R r R q q q q d Edr d Edr U R C U R D U R C U R D                           (15) Внаслідок співвідношень (14) алгебраїчна система (15) набуває вигляду: 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 21 22 , ;12 2 1 , ;12 2 1 231 32 3* , ;22 3 1 , ;22 3 1 , ;22 3 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( , ). q q q q q U R C U R D U R C U R D R                   (16) Розв'язавши алгебраїчну систему (16) за правилами Крамера [4], маємо: 2 3 2 3 2 3 2 2 22 , ;12 2 3* 1 , ;22 3 , ;12 2 3 ( ) ( , ) ( , ) q q q U R C R R R               , 2 3 2 3 2 3 2 2 21 , ;12 2 3* 1 , ;22 3 , ;12 2 3 ( ) ( , ) ( , ) q q q U R D R R R              . Цим функція коші 3 ( , )E r  визначена й внаслідок симетрії від- носно діагоналі r  має структуру: 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 , ;12 2 3 2* 3* , ;12 2 , ;22 3 2 3 2* 3* , ;12 2 , ;22 3 2 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), , ( , ) ( , ), . q q q q q E r R R R r R R r R R R r R r R                                 (17) У рівностях (15)—(17) беруть участь функції: 3 2 3 2 3 2 1 3 2 , ; 2 , 1, 1 3 3 ( ) ( ) ( ), ; m m m jk m jk jk m m m jk m m U R R I R R I R q                             3 2 3 2 3 2 2 3 2 , ; 2 , 1, 1 ( ) ( ) ( ), m m m jk m jk jk m m m jk m m U R R K R R K R                           Математичне та комп’ютерне моделювання 120 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 21 32 , ; 2 2 3 , ; 2 2 , ;22 3 22 31 , ; 2 2 , ;22 3 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), j j j R R U R U R U R U R                     3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 * 1 , ; 2 , ; 2 , 2 , ; 2 , ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ). m m j m j m m j m R r U R K r U R I r                     Повернемося до формул (4). Крайові умови (2) та умови спря- ження (3) для визначення величин , ( 1,3)j jA B j  дають алгебраїч- ну систему із шести рівнянь: 1 1 1 1 3 2 3 2 01 02 ;11 1 0 1 ;11 1 0 1 0 11 12 11 ; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 2 2 1 2 12 2 2 1 2 1 2 12 21 22 21 1 2 2 2 1 2 2 2 , ; 2 2 3 22 , ; 2 2 3 2 2 23 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( ) ( ) , 1,2, ( ) ( ) ( ) ( ) , j j j j j j j j q j q j j j Z q R A Z q R B g Z q R A Z q R B V q R A V q R B G j V q R A V q R B U R A U R B G U                            3 2 3 2 31 32 , ;22 3 3 , ;22 3 3( ) ( ) .q q RR A U R B g    (18) У системі (18) беруть участь функції 1 1 1 1 10 2 1 0* ;11 1 2 111 12 12 1 ;11 1 0 11 2 11 2 2 2 21 2 11 2 2 2 2 ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) ( ) , ( , ) R R R R qc G g d q R RR q R q c g d q R q R                        2 1 3 3 2 2 2 3 22 1 12 2 1 2 23 12 2 11 2 1 2 2 3* , ;22 3 2 122 32 1 , ;12 2 32 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) R R R q qR q R q G c g d q R q R Rc g d R RR                           та символ Кронекера 2j [4] 12 22( 0, 1)   . Введемо до розгляду функції: 1 1 1 ; ;11 1 0 1 2 2 1 2 2 ;21 1 0 1 1 2 1 2 2 ( ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ), j j j A q q R R q R q R q R R q R q R          2 3 2 3 2 ; , ;22 2 3 1 2 1 2 2 , ;12 2 3 2 2 1 2 2 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ); j q j q j B q R R q R q R R R q R q R              Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 121 1 1 1 1 ;1 ;21 1 0 1 12 2 1 2 1 ;11 1 0 1 22 2 1 2 ( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ), r q q R R q R q r q R R q R q r           2 3 2 3 2 2 ;2 , ;22 2 3 11 2 2 2 2 , ;12 2 3 21 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). q q r q R R q R q r R R q R q r               Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності крайової задачі (1)—(3): для будь-якого ненульового вектора  1 2 3; ;q q q q   ви- значник алгебраїчної системи (18) відмінний від нуля, тобто 1 3 2 1 3 2 2 1 2 1 ( ) ;1 , ;22 2 3 ;2 , ;12 2 3 ;2 ;11 1 0 1 ;1 ;21 1 0 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) 0. q qq A q R R A q R R B q q R R B q q R R                        (19) Визначимо головні розв'язки крайової задачі (1)—(3): 1) породжені крайовою умовою в точці 0r R функції Гріна 2 1 2 1 1* 1* ( );11 ;2 ;11 1 ;1 ;21 1 ( ) 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) W r q B q q r B q q r q            , 21 1 11 ( );12 ;2 1 22 1 ( )1 2 ( , ) ( , ), ( ) ( , ) ( ) q c W r q r q R q             , (20) 3 21 3*12 2 1 11 ( );13 , ;22 32 1 ( )1 2 ( , ) ( , ) ( ) q c q q c W r q R r R q           ; 2) породжені крайовою умовою в точці 3r R функції Гріна 122 0*21 2 22 ( );31 ;11 12 12 ( )2 1 ( , ) ( , ) ( ) c q c W r q q r qR        , 122 22 ( );32 ;12 12 ( )2 1 ( , ) ( , ) ( ) c W r q r q qR         , (21) 1 3 2 1 3 2 2* ( );33 ;1 , ;22 2 ( ) 2* ;2 , ;12 2 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ; q q W r q A q R r q A q R r                 3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна 2 2 1 1 ;2 ;11 0* 1 0* ( );11 ;11 1 ( );21 ;11 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( ) ( ) B B R r q q r R r q q r q q                , 3 2 1 1 0*21 2 ( );12 , ;22 2 3 ;11 1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) q c q R r q R R q r q         , Математичне та комп’ютерне моделювання 122 3 2 1 1 0*21 2 ( );22 , ;12 2 3 ;11 1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) q c q R r q R R q r q          , 1 1 2 2 ;21 ;112 2 ( );11 ;2 ( );21 ;2 ( ) ( ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( ) ( ) R r q r q R r q r q q q                  , 3 2 3 2 1 1 , ;22 , ;122 2 ( );12 ;1 ( );22 ;1 ( ) ( ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( ) ( ) q q R r q r q R r q r q q q                  , 1 3 2 3 3*12 2 ( );11 ;21 1 0 1 , ;22 3 ( ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( ) q c q R r q q R R R r q         , (22) 1 3 2 3 3*12 2 ( );21 ;11 1 0 1 , ;22 3 ( ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( ) q c q R r q q R R R r q          , 1 3 2 1 3 2 ;23 3* ( );12 , ;22 3 ( ) ;13 3* ( );22 , ;22 3 ( ) ( , ) ( , ), ( ) ( , ) ( , ); ( ) q q A R r q R r q A R r q R r q                    4) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу 1 1 0* ;11 1 ( );11 0 1 ( );11 0* 1 ;11 1 ( );11 0 1 ( , ) ( , ), ,1 ( , , ) 2 ( , ) ( , ), , q r W q R r R H r q q q W r q R r R                     1 2 0*21 ( );12 ;11 1 ;2 ( ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) c H r q q r q q         , 1 3 22 0* 3*21 2 22 ( );13 ;11 1 , ;22 32 1 ( )2 ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) q c q c H r q q r R R q             , 1 21 0*11 ( );21 ;11 1 ;22 1 ( )1 1 ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) c H r q q r q qR            , 1 2 1 2 ;1 ;2 1 2 ( );22 ;1 ;2 1 22 ( ) ( , ) ( , ), ,1 ( , , ) ( , ) ( , ), ,( ) r q q R r R H r q q r q R r Rq q                      1 3 22 3*22 ( );23 ;1 , ;22 32 1 ( )2 1 ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) q c H r q r q R qR             , (23) 1 3 21 0* 3*12 2 11 ( );31 ;11 1 , ;22 32 1 ( )1 ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) q c q c H r q q R r R q              , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 123 1 3 2 3*12 ( );32 ;1 , ;22 3 ( ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) q c H r q q R r q           , 3 22 3 2 3* ( );33 , ;22 3 2 32 ( );33 3* ( );33 , ;22 3 2 3 ( , ) ( , ), , ( , , ) ( , ) ( , ), . q q W r q R R r R H r q W q R r R r R                         У результаті однозначної розв'язності алгебраїчної системи (18), підстановки одержаних значень jA , jB у формули (4) та низки елеме- нтарних перетворень маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1)—(3): 1 2 1 0 1 3 2 2 2 ( );1 0 ( );3( ); , 1 2 1 ( ); 1 1 ( ); 2 2 2 1 ( ); 3 3 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) , 1,3. j j j mk j Rmk m k R R j j R R R j R u r W r q g R r q W r q g H r q g d H r q g d H r q g d j                                    (24) Побудуємо тепер розв'язок крайової задачі (1)—(3) методом ін- тегрального перетворення, породженого на множині 2I гібридним диференціальним оператором (ГДО) 1 2 * ( ) 0 1 2 1 2 2 32 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , M r R R r B dr R R r r R R r B dr                    (25) де ( )x — одинична функція Гевісайда [3]. Оскільки ГДО ( )M  самоспряжений і на множині 2I не має особливої точки, то його спектр дійсний та дискретний [5]. Спектра- льному параметру  відповідає спектральна функція 3 ( ) 1 ( ); 1 ( , ) ( ) ( ) ( , )m m m m V r r R R r V r         . Для знаходження власних елементів (власних чисел й відповід- них їм власних функцій) ГДО ( )M  розглянемо задачу Штурма- Ліувілля: побудувати ненульовий розв'язок системи звичайних дифе- ренціальних рівнянь Ейлера, Фур'є та Конторовича-Лєбєдєва  1 * 2 1 ( );1 0 1( , ) 0, ( , )B b V r r R R     ,  2 2 2 ( );2 1 22 ( , ) 0, ( , )d b V r r R R dr     , (26) Математичне та комп’ютерне моделювання 124  2 2 3 ( );3 2 3( , ) 0, ( , )B b V r r R R     з однорідними крайовими умовами 0 3 0 0 11 11 ( );1 3 3 22 22 ( );3 ( , ) 0, ( , ) 0 r R r R d V r dr d V r dr                       (27) та однорідними умовами спряження 1 1 ( ); 2 2 ( ); 1( , ) ( , ) 0, , 1,2 k k k k k j j k j j k r R d d V r V r dr dr j k                           (28) де 2 2 2 jb k  , 2 0jk  , 1,3j  . Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рів- няння Ейлера 1 * 2 1( ) 0B b v   складають функції 1 1 1cos( ln )v r b r та 1 2 1sin( ln )v r b r [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Фур'є  2 2 22 0d b v dr   складають три- гонометричні функції 2cosb r та 2sin b r [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння (Конторовича-Лєбєдєва) 2 2 3( ) 0B b v   складають дійсні функції 2 3( , )C r b  та 2 3( , )D r b  [2]. Природно відшукувати функції ( ); ( , )mV r  як лінійну комбіна- цію фундаментальної системи розв'язків: 1 1 ( );1 1 1 1 1( , ) cos( ln ) sin( ln )V r A r b r B r b r       , ( );2 2 2 2 2( , ) cos sinV r A b r B b r    , (29) 2 2( );3 3 3 3 3( , ) ( , ) ( , )V r A C r b B D r b      . Крайові умови (27) та умови спряження (28) для визначення ше- сти величин , ( 1,3)j jA B j  дають однорідну алгебраїчну систему із шести рівнянь: 1 1 1 1 01 02 ;11 1 0 1 ;11 1 0 1 11 12 ; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 ( , ) ( , ) 0; ( , ) ( , )j j Y b R A Y b R B Y b R A Y b R B         11 12 2 2 1 2 2 2 1 2 21 22 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) 0, 1,2; ( ) ( ) j j j j v b R A v b R B j v b R A v b R B       (30) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 125 2 2 2 2 21 22 ; 2 2 3 3 ; 2 2 3 3 31 32 ;22 3 3 3 ;22 3 3 3 ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) 0. j jX R b A X R b B X R b A X R b B              У системі (30) беруть участь функції:       1 1 1 1 ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) cos ln sin ln , m m m j m j j m m m m j m m Y b R R b R b R b R R                     1 1 2 1 ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) sin ln cos ln , m m m j m j j m m m m j m m Y b R R b R b R b R R               1 2 2 2 2( ) sin cos ,m m m jk m jk m jk mv b R b b R b R    2 2 2 2 2( ) cos sin ,m m m jk m jk m jk mv b R b b R b R       2 2 1 ; 2 3 3 2 2 3, , ; 1,2, 2,3 m m m m j j j r R d X R b C r b j m dr              ;     2 2 2 ; 2 3 3 2 2 3, , m m m m j j j r R d X R b D r b dr            . Алгебраїчна система (30) має ненульові розв'язки тоді й тільки тоді, коли її визначник рівний нулю [4]: 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ;1 ;22 ;2 ;12 ;11 ;2 ;21 ;1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. a a b b                              (31) У рівностях (31) прийняті позначення         1 1 1 1 1 01 12 02 11 ; 1 ;11 1 0 ; 1 1 1 ;11 1 0 ; 1 1 1( ) , , , ,j j jY b R Y b R Y b R Y b R        ,          11 22 12 21 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2, ; , 1, 2jk j k j kb R b R v b R v b R v b R v b R j k    ;         2 2 2 2 2 21 32 ; 2 ; 2 2 3 ;22 3 3 22 31 ; 2 2 3 ;22 3 3 ( ) , , , , , j j j X R b X R b X R b X R b                   1 1 1; ;11 2 2 1 2 2 ;21 1 2 1 2 2( ) ( ) , ( ) ,j j ja b R b R b R b R          ,     2 2 2; ;22 1 2 1 2 2 ;12 2 2 1 2 2( ) ( ) , ( ) ,j j jb b R b R b R b R          . Ми одержали трансцендентне рівняння (31) для обчислення вла- сних чисел ГДО ( )M  . Корінь n рівняння ( ) ( ) 0   підставимо в систему (30) й відкинемо останнє рівняння внаслідок лінійної залеж- ності. Візьмемо 1 02 1 0 ;11 1 0( , )nA A Y b R , 1 01 1 0 ;11 1 0( , )nB A Y b R  , де 0A Математичне та комп’ютерне моделювання 126 підлягає визначенню. Перше рівняння системи стає тотожністю, а всі інші рівняння утворюють дві алгебраїчні системи по два рівняння в кожній;  1/22 2 jn n jb k  , 1,3j  . Розглянемо алгебраїчну систему стосовно 2A , 2B :     1 11 12 2 2 1 2 2 2 1 2 0 ; 1( ), 1, 2.j n j n j nv b R A v b R B A j     (32) Визначник алгебраїчної системи (32)        11 12 11 12 1 12 2 1 22 2 1 22 2 1 12 2 1 21 2( ) 0.n n n n n nq v b R v b R v b R v b R c b     Алгебраїчна система (32) має єдиний розв'язок [4]:         1 1 1 1 1 12 12 2 0 1 ;21 12 2 1 ;11 22 2 1 1 11 11 2 0 1 ;21 12 2 1 ;11 22 2 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) . n n n n n n n n A A q v b R v b R B A q v b R v b R                        (33) Розглянемо алгебраїчну систему стосовно 3A , 3B :     2 2 1 21 22 1 ; 2 2 3 3 ; 2 2 3 3 0 1 ;, , ( ), 1,2j n j n j nX R b A X R b B A q a j       . (34) Визначник алгебраїчної системи (34) 2 2 2 2 222 21 22 21 22 22 3 ;12 ;22 ;22 ;12 2 12 2 ( ) ( ) 0.n n c sh b X X X X q R                Алгебраїчна система (34) має єдиний розв'язок [4]: 23 ( );2 3 ( );1 0 1( ); ( ), ( ) ( )n n n nA B A q q           , (35) 1 2 1 2 21 21 ( ); ;1 ;22 2 3 ;2 ;12 2 3( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )j n n n na X R b a X R b           . Якщо тепер підставити визначені величини jA , jB згідно фор- мул (33) та (35) у рівності (29), то одержимо функції  ( ); ,m nV r  :      1 2 1 02 ( );1 1 ;11 1 0 1, ( ) ( ) , cos lnn n n n nV r q q Y b R r b r           1 1 01 ;11 1 0 1, sin ln ,n nY b R r b r         2 1 1 1 ( );2 ;21 12 2 1 2 1 ;11 22 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) , ( ) , , n n n n n n n n V r q b R b r b R b r                      1 12 11 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2, cos sinj n n j n n j n nb R b r v b R b r v b R b r   , 1, 2j  ,       2 2( );3 ( );1 3 ( );2 3, ( ) , ( ) ,n n n n nV r D r b C r b            . (36) Отже, спектральна вектор-функція ( ) ( , )nV r  визначена. Згідно з роботою [6] сформулюємо твердження. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 127 Теорема 1 (про власні числа). Корені n трансцендентного рів- няння (31) складають дискретний спектр ГДО ( )M  : дійсні, різні, си- метричні відносно 0  й на півпрямій 0  утворюють монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною граничною точкою    . Визначимо величини 2 1 2 1 11 12 2 1 2 1 21 22 1 Rc c c c R      , 22 112 2 2 22 c R c   , 3 1,  вагову функцію             1 2 2 1 0 1 1 1 2 1 2 2 2 3 3 ( )r r R R r r r R R r r R R r r                          (37) та квадрат норми власної функції         3 0 1 1 0 32 2 1 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 1 ( );1 1 2 2 2 1 ( );2 2 ( );3 3 ( , ) , ( ) , , , . R n n R R n R RR n n R R V r V r r dr V r r dr V r dr V r r dr                                       (38) Теорема 2 (про власні функції). Система власних функцій  ( ) 1 ( , )n n V r    ортогональна на множині 2I з ваговою функцією ( )r , повна й замкнена. Теорема 3 (про зображення рядом Фур'є). Будь-яка вектор- функція ( )g r із області визначення ГДО ( )M  зображається за сис- темою  ( ) 1 ( , )n n V r    власних вектор-функцій абсолютно й рівномі- рно збіжним на множині 2I рядом Фур'є 3 0 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) . ( , ) R n n n R n V r g r g V d V r                 (39) Якщо перейти до ортонормованої системи функцій    1 ( ) ( ) ( ) 11 ( , ) ( , ) ( , )n n n nn V r V r v r          то ряд Фур'є (39) набуває вигляду Математичне та комп’ютерне моделювання 128     3 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) , R n n n R g r g v d v r             . (40) Ряд Фур'є (40) визначає пряме ( )H  та обернене 1 ( )H   скінченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП) типу Ейлера — Фур'є — Бесселя, породжене на множині 2I ГДО ( )M  :   3 0 ( ) ( )[ ( )] ( ) , ( ) , R n n R H g r g r v r r dr g      (41)  1 ( ) ( ) 1 [ ] , ( ).n n n n H g g v r g r         (42) Теорема 4 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція   1 2 * 1 2 3( ) ( ) ; ( ); ( )f r B g r g r B g r     неперервна на множині 2I , а функції ( )jg r задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3), то справджується основна тотож- ність СГІП ГДО ( )M  :         1 2 2 ( ) ( ) 3 1 2 12 0 11 ( );1 0 1 00 1 1 2 13 22 3 ( );3 33 2 ( );12 2 ( );22 1 1 [ ] , , ( ) ( ) . n n i ni n i n R k k k n k n k k H M g g k g v R R g R v R g d Z Z                                              (43) У рівності (43) беруть участь функції та величини: 1 2 1 0 1 2 1 1 1 ( );1 1 2 2 ( );2 2( ) ( , ) , ( ) ( , ) R R n n n n R R g g r v r r dr g g r v r dr         , 3 2 2 2 1 3 3 ( );3 3( ) ( , ) R n n R g g r v r r dr      , 12 1 1 1 11 2 2 121 : , :d R c d c   ; ( ); 2 2 2 ( ); 1( ) ( , ) , , 1,2k k k i n i i k n k d Z v r i k r Rdr            . Формули (41), (42) та (43) складають математичний апарат для розв'язання крайової задачі (1)—(3) за відомою логічною схемою [7]. Запишемо систему (1) в матричній формі: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 129       1 2 * 2 1 1 1 2 2 2 2 22 32 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) B q u r g r d q u r g r dr g r B q u r                          (44) Інтегральний оператор ( )H  згідно правила (41) зобразимо у ви- гляді операторної матриці-рядка: 1 2 1 0 1 3 2 2 2 1 ( ) ( );1 1 ( );2 2 2 1 ( );3 3 [ ] ( , ) ( , ) ( , ) . R R n n R R R n R H v r r dr v r dr v r r dr                            (45) Застосуємо за правилом множення матриць операторну матри- цю-рядок (45) до системи (44). Внаслідок основної тотожності (43) отримуємо алгебраїчне рівняння:           1 2 3 1 2 12 2 2 0 11 ( );1 0 1 00 1 1 2 13 22 3 ( );3 33 2 ( );12 2 ( );22 1 1 , , ( ) ( ) . n i i ni n n i n R k k k n k n k k k q u g v R R g R v R g d Z Z                                        (46) Припустимо, що  2 2 2 2 1 2 3 1max ; ; 0q q q q  . Покладемо 2 1 0k  , 2 2 2 2 1 2 0k q q   , 2 2 2 3 1 3 0k q q   , 1 2 3n n n nu u u u      . Із алгебраїчно- го рівняння (46) знаходимо, що функція              1 2 2 ( );1 0 2 1 1 002 2 0 2 2 1 11 1 1( );3 3 2 1 2 13 22 3 ( );3 33 33 2 2 22 1 2 ( );12 2 ( );22 1 1 , , , ( ) ( ) . nn n n n n R n R n k k k n k n k k v Rg u R g q q v R R g R v R g q d Z Z                                            (47) Оператор 1 ( )H   згідно формули (42) як обернений до (45) зобра- зимо у вигляді операторної матриці-стовпця: Математичне та комп’ютерне моделювання 130 ( );1 1 1 ( ) ( );2 1 ( );3 1 ( , ) [ ] ( , ) . ( , ) n n n n n n v r H v r v r                                          (48) Застосувавши за правилом множення матриць операторну мат- рицю-стовпець (48) до матриці-елемента [ ]nu , де функція nu визна- чена формулою (47), маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1)—(3):  1 1 0 2 1 ( ); ( );1 2 1 1 12 2 1 1 ( ); ( );2 2 22 2 1 1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) R j n n j n nR R j n n n nR v r v u r g d q v r v g d q                                                  3 2 2 1 ( ); 2 1 ( );3 3 32 2 1 1 ( );1 0 2 1 ( ); 1 000 2 2 1 11 1 , , ( ) , , R j n n n nR n j n n n v r v g d q v R v r R g q                                       (49)        2( );3 3 2 1 ( ); 33 2 2 1 22 1 , ,n j n R n n v R v r R g q                   2 ( );12 ( ); 22 2 1 1 1 ( );22 ( ); 12 2 1 1 ( ) , ( ) , , 1,3, k n k j n k k n n k n j n k n n Z d v r q Z v r j q                                        Порівнюючи розв'язки (24) та (49) внаслідок теореми єдиності, одержуємо такі формули підсумовування функціональних рядів:       1 1( );1 0 2 1 ( ); 1 ( );100 2 2 1 11 1 , ( , ) ( , ); 1,3,n j n j n n v R v r R W r q j q                  (50)      2 1( );3 3 2 1 ( ); 3 ( );333 2 2 1 22 1 , ( , ) ( , ); 1,3,n j n j n n v R v r R W r q j q                 (51) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 131  ( ); 1 ( );12 ( );22 2 1 1 , ( ) ( , ); 1,2, 1,3,j n jk n k k n n v r Z d R r q k j q               (52)  ( ); 1 ( );22 ( );12 2 1 1 , ( ) ( , ); 1, 2, 1,3,j n jk n k k n n v r Z d R r q k j q                (53)      ( ); 1 ( ); ( );2 2 1 1 , , , , ; , 1,3.j n k n k jk n n v r v H r q j k q                 (54) Функції Гріна  ( );1 ,jW r q визначені формулами (20), функції Гріна  ( );3 ,jW r q визначені формулами (21), функції Гріна  ( ); ,j ikR r q умов спряження визначені формулами (22), а функції впливу  ( ); , ,jkH r q  — формулами (23);  1 2 3, ,q q q q . Зауваження 1. Якщо 2 2 2 2 1 2 3 2max{ ; ; } 0q q q q  , то 2 2 2 1 2 1k q q   0 , 2 2 0k  , 2 2 2 3 2 3 0k q q   і замість 2 2 1( )n q  стане вираз 2 2 2( )n q  . Якщо 2 2 2 2 1 2 3 3max{ ; ; } 0q q q q  , то 2 2 2 1 3 1 0k q q   , 2 2 2 2 3 2 0k q q   , 2 3 0k  і замість виразу 2 2 1( )n q  всюди стоятиме вираз 2 2 3( )n q  . Зауваження 2. Оскільки праві частини у формулах (50)—(54) не залежать від нерівностей  2 2 0j mq q  , то при необхідності можна покласти 2 2 2 2 1 2 3 0 0q q q q    . Результатом виконаного в роботі дослідження є таке твердження. Основна теорема. Якщо вектор-функція ( )g r задовольняє умо- ви теореми про основну тотожність та виконується умова (19) одноз- начної розв'язності крайової задачі (1)—(3), то справедливі формули (50)—(54) підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами ГДО ( )M  , визначеного рівністю (25). Висновок. Одержані формули (50)—(54) поповнюють довідкову математичну літературу в розділі підсумовування функціональних рядів від суперпозиції спеціальних функцій математичної фізики. Список використаних джерел: 1. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М. : Физматгиз, 1959. — 468 с. 2. Ленюк М. П. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва / М. П. Ленюк, Г. І. Міхалевська. — Чернівці : Прут, 2002. — 280 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 132 3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. 4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1971. — 432 с. 5. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежанд- ра). Частина 1 / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ. думка, 2004. — 368 с. 6. Комаров Г. М. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку / Г. М. Комаров, М. П. Ленюк, В. В. Мороз. — Чернівці : Прут, 2001. — 228 с. 7. Ленюк М. П. Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридних диференціальних операторів (Фур'є, Бес- селя, Лежандра). Том VI / М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2006. — 376 с. By comparison of the boundary problem for a system of Euler differen- tial equations, Fourier and (Kontorovich-Lebedev) segment 0 3[ , ]R R of the polar axis with two point of interface, built on the one hand, by Cauchy func- tions, and on the other hand, using the corresponding finite hybrid integral transform (FHIT), summarized polyparametric family of functional series in its own elements corresponding hybrid differential operator (HDO). Key words: functional series, features the Cauchy principal of the boundary problem, the solvability conditions of the unique, custom items hybrid differential operator, the main identity logic circuit. Отримано 16.09.10 УДК 519.6 О. М. Литвин, д-р фіз.-мат. наук, Л. С. Лобанова, канд. фіз.-мат. наук, Г. В. Залужна, ст. викладач Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків ПРО ОДИН МЕТОД ПОБУДОВИ ТОЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ РІВНЯННЯ НЕСТАЦІОНАРНОЇ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ В ОБЛАСТІ СКЛАДНОЇ ФОРМИ У роботі пропонується загальний метод побудови точних розв’язків крайових задач для диференціальних рівнянь пара- болічного типу в областях складної форми, що складаються з об’єднання прямокутників. Розглянуто приклад. Ключові слова: нестаціонарна задача теплопровідності, сплайн-інтерлінація функцій двох змінних. У праці [1] запропоновано загальний метод побудови точних розв’язків крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку еліптичного типу в областях складної © О. М. Литвин, Л. С. Лобанова, Г. В. Залужна, 2010 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f006200650020005000440046002000700072006f00660065007300730069006f006e006e0065006c007300200066006900610062006c0065007300200070006f007500720020006c0061002000760069007300750061006c00690073006100740069006f006e0020006500740020006c00270069006d007000720065007300730069006f006e002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200061002000760069007300750061006c0069007a006100e700e3006f002000650020006100200069006d0070007200650073007300e3006f00200063006f006e0066006900e1007600650069007300200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d0065007200630069006100690073002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси