Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження

Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження

Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі з двома точками спряження в припущенні, що спектральний параметр бере участь і в крайових умовах і в умовах спряження....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2010
Автор: Пилипюк, Т.М.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2010
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48780
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження / Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 154-175. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48780
record_format dspace
spelling irk-123456789-487802013-09-03T03:04:13Z Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження Пилипюк, Т.М. Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі з двома точками спряження в припущенні, що спектральний параметр бере участь і в крайових умовах і в умовах спряження. The method of delta-like sequences (Cauchy kernel) introduces hybrid integral transformation of Legendre — Bessel — Fourier series in polar axis with two point of interface with the assumption that the spectral parameter is involved in conjugation. 2010 Article Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження / Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 154-175. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48780 517.91:532.26 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) запроваджено гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі з двома точками спряження в припущенні, що спектральний параметр бере участь і в крайових умовах і в умовах спряження.
format Article
author Пилипюк, Т.М.
spellingShingle Пилипюк, Т.М.
Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Пилипюк, Т.М.
author_sort Пилипюк, Т.М.
title Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження
title_short Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження
title_full Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження
title_fullStr Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження
title_full_unstemmed Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження
title_sort гібридне інтегральне перетворення типу фур'є — лежандра — бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2010
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48780
citation_txt Гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження / Т.М. Пилипюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 154-175. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT pilipûktm gíbridneíntegralʹneperetvorennâtipufurêležandrabesselânapolârníjosíízspektralʹnimparametromvkrajovihumovahtaumovahsprâžennâ
first_indexed 2025-07-04T09:26:41Z
last_indexed 2025-07-04T09:26:41Z
_version_ 1836707953942462464
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 154 УДК 517.91:532.26 Т. М. Пилипюк, викладач Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ ФУР'Є — ЛЕЖАНДРА — БЕССЕЛЯ НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ ІЗ СПЕКТРАЛЬНИМ ПАРАМЕТРОМ В КРАЙОВИХ УМОВАХ ТА УМОВАХ СПРЯЖЕННЯ Методом дельта-подібної послідовності (ядро Коші) за- проваджено гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є — Лежандра — Бесселя на полярній осі з двома точками спря- ження в припущенні, що спектральний параметр бере участь і в крайових умовах і в умовах спряження. Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, гібри- дне інтегральне перетворення, ядро Коші, функції впливу, спект- ральна функція, інтегральне зображення, основна тотожність. Аналіз та ціль статті. Вивчення фізико-технічних характерис- тик композитних матеріалів, які знаходяться в різних умовах експлу- атації, математично приводить до задачі інтегрування сепаратної сис- теми диференціальних рівнянь другого порядку на кусково- однорідному інтервалі. Одним із ефективних методів побудови аналі- тичних розв'язків таких задач є метод гібридних інтегральних перет- ворень, започаткованих в роботі Я. С. Уфлянда [1]. Основні поло- ження гібридних інтегральних перетворень (ГІП) закладено в робо- ті [2]. Ця стаття присвячена запровадженню одного з типів ГІП із спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження. Основна частина. Запровадимо на множині  2 1 1 2 2: (0, ) ( , ) ( , )I r r R R R R      інтегральне перетворення, породжене гібридним диференціальним оператором (ГДО) 2 ( ) 2 , 1 1 12 2 2 2 2 ( ) 2 3 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , d M r R r a r R dr R r a r R a B                      (1) де ( )x — одинична функція Гевісайда [3]. У рівності (1) бере участь диференціальний оператор Фур'є 2 2 d dr [4], 2 22 1 2 ( ) 2 1 1 4 2 1 1 d d cthr dr chr chrdr               — диференціальний © Т. М. Пилипюк, 2010 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 155 оператор Лежандра [5] та диференціальний оператор Бесселя 2 1 2 2 2 , 2 (2 1) ( ) d d B r r drdr           [6]; 1 2    , 0ja  , 1,3j  , 1 2( ) ( , )   , 1 2 0   . Означення. За область визначення ГДО ( ) ,vM   приймемо множи- ну G вектор-функцій  1 2 3( ) ( ); ( ); ( )g r g r g r g r з такими властивостя- ми: 1) вектор-функція   1 ( ) 2 , 3( ) ( ); ( ) ; ( )f r g r g r B g r       непере- рвна на множині 2I  ; 2) функції ( )jg r задовольняють крайові умови 0 0 11 11 1 0 3( ) 0, lim ( ) 0;r r d g r r g r dr                (2) 3) функції ( )jg r задовольняють умови спряження 1 1 2 2 1( ) ( ) 0, , 1,2. k k k k k j j k j j k r R d d g r g r j k dr dr                            (3) У рівностях (2), (3) беруть участь величини 2 2 2 2 2( ), ( ); 0k k k k k k jm jm jm jm jm jm                 . Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: 0k jm  , 0k jm  , 0k jm  , 0k jm  , 1, 2 1 1 2 k k k k j k j j j jc      , 11, 21, 0k kc c  , 2, 2 1 1 2 0k k k k j k j j j jc       ; 1 2 2 1 1 2 2 1 k k k k k k k k j j j j j j j j          ; , , 1, 2j m k  ; 0 11 0  , 0 11 0  , 0 0 11 11 0   , 0 11 0  , 0 11 0  . Визначимо числа 11 11 22 21 12 k k k k ka         , 21 11 22 21 12 k k k k ka        , 12 11 22 21 12 k k k k ka        , 22 11 22 21 12 k k k k ka         . Безпосередньо встановлюємо рівності: 1) 11 21 21 11 11, k k k k kc        , 2) 22 11 12 21 11, 21, k k k k k ka a a a c c      . Будь-які дві функції ( )u r G та ( )v r G зв'язані умовами спряження (2): 1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )k k k k j k k j k k j k k j k ku R u R u R u R          , (4) 1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )k k k k j k k j k k j k k j k kv R v R v R v R          . (5) Із алгебраїчної системи (4) знаходимо співвідношення: Математичне та комп’ютерне моделювання 156 21 1 22 1 11, 1 ( ) ( ) ( )k k k k k k k k k u R a u R a u R c        , 11 1 12 1 11, 1 ( ) ( ) ( )k k k k k k k k k u R a u R a u R c        . (6) Із алгебраїчної системи (5) знаходимо співвідношення: 21 1 22 1 11, 1 ( ) ( ) ( )k k k k k k k k k v R a v R a v R c        , 11 1 12 1 11, 1 ( ) ( ) ( )k k k k k k k k k v R a v R a v R c        . (7) Наявність співвідношень (6), (7) дозволяє встановити базову то- тожінсть: 21, 1 1 1 1 11, ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]. k k k k k k k k k k k k k k k k k k u R v R u R v R c u R v R u R v R c           (8) Введемо до розгляду величини 2 1 11,1 11,2 1 2 1 2 21,1 21,2 2 1 c c shR R c c shR a     , 2 1 11,2 2 2 2 21,2 2 2 1c R c shR a     , 3 2 3 1 a   , вагову функцію 2 1 1 1 1 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r R r r R R r shr r R r                 та скалярний добуток   1 2 1 2 1 1 1 0 0 2 1 2 2 2 3 3 3 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . R R R R u r v r u r v r r dr u r v r dr u r v r shrdr u r v r r dr                 (9) Покажемо, що ГДО ( ) ,vM   самоспряжений. Дійсно, за рівністю (9) для u G та v G маємо, що       1 2 1 2 2 ( ) 2 , 1 1 1 12 0 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 1 3 , 3 3 3 [ ], ( ) ( ) [ ] ( ) [ ( )] ( ) . R R R R d M u v a u r v r dr dr a u v r shrdr a B u r v r r dr                            (10) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 157 Проінтегрувавши в рівності (10) під знаками інтегралів два рази частинами, одержимо:     1 2 1 2 ( ) 2 1 1 , 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )3 3 3 3 3 3 , [ ], , [ ] . R R R R du dv M u v a v u dr dr du dv a shr v u dr dr du dv a r v u u M v dr dr                                  (11) Якщо 0 11 0  , то     0 01 1 1 1 1 1 1 11 11 1 0 00 0 11 11 1 10 0 0 01 11 11 1 11 1 11 1 (0) (0) 0 (0) 0 (0) 0. r r du dv du v u v u u dr dr dr dv v v u dr                                                В силу базової тотожності (8) маємо: 1 1 2 21 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 21,12 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 11,1 0, r R r R du dv du dv a v u a shr v u dr dr dr dr c du dv a a shR v u c dr dr                                    тому що внаслідок вибору чисел 1 , 2 21,12 2 1 1 2 2 1 11,1 2 1 11,1 11,2 21,1 11,22 11 2 2 1 21,1 21,2 2 11,1 21,2 2 0, c a a shR c c c c cshR R R shR c c shR c c shR             2 2 2 2 2 1 3 32 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 3 21,22 2 2 1 3 3 2 2 2 3 3 2 3 3 11,2 0, r R r R du dvdu dv a shR v u a R v u dr dr dr dr c du dv a shR a R v u c dr dr                                     тому що внаслідок структури 2 , 3 2 1 11,22 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 21,2 2 c R a shR a R c shR         Математичне та комп’ютерне моделювання 158 21,2 2 1 2 1 2 2 2 11,2 (1 1) 0. c shR R R c        В силу умови обмеження існує таке число  , що 2 1 3 3 3 3lim 0 r du dv r r v u dr dr              . Таким чином, рівність (11) набуває вигляду    ( ) ( ) , ,[ ], ( ) ( ), [ ( )] .M u v r u r M v r      (12) Рівність (12) показує, що ГДО ( ) ,M    самоспряжений [7]. Звідси випливає, що спектр ГДО ( ) ,M    дійсний. Оскільки ГДО ( ) ,M    на множині 2I  має одну особливу точку r   , то його спектр непере- рвний. Можна вважати, що спектральний параметр (0, )   . Йому відповідає дійсна спектральна вектор-функція ( )( ) , 1 , ;1 ( ) ( ) 1 2 2, ;2 , ;3 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ). V r r R r V r r R R r V r r R V r                             При цьому функції ( ) , ; ( , )jV r    повинні задовільняти відповідно диференціальні рівняння 2 ( )2 1 1, ;12 ( , ) 0, (0, ) d b V r r R dr              ,   ( )2 ( ) 2 1 2, ;2 ( , ) 0, ( , )b V r r R R        , (13)   ( )2 , 3 2, ;3 ( , ) 0, ( , )B b V r r R         , крайові умови (2) та умови спряження (3); 2 2 2 2( )j j jb a k  , 2 0jk  . Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівнян- ня 2 2 12 0 d b v dr         складають тригонометричні функції 1 1cosv b r та 2 1sinv b r [4]; фундаментальну систему розв'язків для диференціа- льного рівняння  2 ( ) 2 0b v   складають дві дійсні функції 2 ( ) 1/2 ( )ibA chr   та 2 ( ) 1/2 ( )ibB chr   [5]; фундаментальну систему розв'яз- ків для диференціального рівняння  2 , 3 0B b v    складають зви- чайні функції Бесселя , 3( )J b r  та , 3( )N b r  [6]. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 159 Якщо в силу лінійності задачі (13) покласти ( ) 1 1 1 1, ;1( , ) cos sinV r A b r B b r      , 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2, ;2 1/2 1/2( , ) ( ) ( )ib ibV r A A chr B B chr           , (14) ( ) 3 , 3 3 , 3, ;3 ( , ) ( ) ( )V r A J b r B N b r         , то крайова умова в точці 0r  й умови спряження в точках 1 2,R R для визначення шести величин , ( 1,3)j jA B j  дають однорідну ал- гебраїчну систему з п'яти рівнянь: 0 0 11 1 1 11 1 0,b B A   (15)         2 2 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ),11 ( ),12 1 2 1 21/2 ; 2 1/2 ; 2 0, 1,2, j j ib j ib j v b R A v b R B Y chR A Y chR B j                    2 2 ( ),21 ( ),22 2 2 2 21/2 ; 1 1/2 ; 1 21 22 , ; 2 3 2 3 , ; 2 3 2 3 0. ib j ib j j j Y chR A Y chR B u b R A u b R B               У системі (15) беруть участь функції: 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) cos sin cosj j j j j r R d v b R b r b b R b R dr                  , 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) sin cos sinj j j j j r R d v b R b r b b R b R dr                 , 2 2 ( ), 1 ( ) 1/2 ; 1/2( ) ( ) m m m m m jk jkib jk ib r R d Y chR A chr dr               , 2 2 ( ), 2 ( ) 1/2 ; 1/2( ) ( ) m m m m m jk jkib jk ib r R d Y chR B chr dr               , 21 2 2 2 2 , ; 2 3 2 2 2 , 3 2 2 3 2 1, 1 3 2 2 ( ) ( ) ( )j j j ju b R J b R b R J b R R                      , 22 2 2 2 2 , ; 2 3 2 2 2 , 3 2 2 3 2 1, 1 3 2 2 ( ) ( ) ( )j j j ju b R N b R b R N b R R                      . Зауважимо, що алгебраїчна система (15) сумісна [7]. Покладемо 0 1 11 1 0A b A  , 0 1 11 0B A   . Перше рівняння системи стає тотожністю. Для знаходження 2A , 2B маємо алгебраїчну систему з двох рівнянь:     2 2 ( ),11 ( ),12 1 2 1 2 0 11/2 ; 2 1/2 ; 2 ( ), 1, 2.jib j ib jY chR A Y chR B A j         (16) Математичне та комп’ютерне моделювання 160 Тут прийнято, що    0 11 0 12 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1( )j j jb v b R v b R      , 0A — підлягає визначенню. Визначник алгебраїчної системи (16) 2 2 2 2 21,1( ),11 ( ),12 ( ),11 ( ),12 ( ) 1/2 ;12 1/2 ;22 1/2 ;22 1/2 ;12 1 ( ) 2 1 ( ) 0, ( )ib ib ib ib c q Y Y Y Y shR S b                        1 2 13 ( ) 2 2 ( ) 2 1 22 2 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) , 2(1/ 2 ) (1/ 2 ) b sh b S b ib ib                            ,     1 2 ( ) 2 2 1 2 cos 2 ( ) cos cos 2 sh b b ch b            . Алгебраїчна система (16) має єдиний розв'язок [7]         2 2 2 2 ( ),12 ( ),121 2 0 ( ) 21 1 11 11/2 ;12 1/2 ;22 ( ),11 ( ),111 2 0 ( ) 21 1 11 11/2 ;12 1/2 ;22 ( ) ( ) , ( ) ( ) . ib ib ib ib A A q Y chR Y chR B A q Y chR Y chR                                  (17) При відомих 2 2,A B розглянемо алгебраїчну систему стосовно 3 3,A B :    21 22 1 , ; 2 3 2 3 , ; 2 3 2 3 0 ( ) ( ); ( ).j j ju b R A u b R B A q a        (18) В алгебраїчній системі (18) прийняті позначення:         2 2 2 2 ( ),11 ( ),22 ( ); 1 21/2 ; 2 1/2 ; 1 ( ),12 ( ),21 1 21/2 ; 2 1/2 ; 1 ( ) , kj ib k ib j ib k ib j Y chR Y chR Y chR Y chR                   ( ); 21 ( );1 11 ( );2( ) ( ) ( ) ( ) ( ); , 1, 2j j ja j k             . Визначник алгебраїчної системи (18)         21 22 , , ;12 3 2 , ;22 3 2 21,221 22 , ;22 3 2 , ;12 3 2 2 2 1 3 2 ( ) 2 0. q u b R u b R c u b R u b R b R                     Алгебраїчна система (18) має єдиний розв'язок [7]: ( ) ( ) 3 3 0 ( ) ,, ;2 , ;1( ), ( ), ( ) ( )A B A q q                ; (19)    2 2( ) , ; ( );2 3 2 ( );1 3 2, ;12 , ;22( ) ( ) ( ) , 1, 2j j j a u b R a u b R j             . Підставивши визначені величини jA , jB згідно формул (17) та (19) у рівності (14), одержуємо функції ( ) , ; ( , )jV r    :  ( ) 0 0 11 1 1 11 1 ( ) ,, ;1( , ) cos sin ( ) ( )V r b b r b r q q            , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 161     2 2 ( ) ( ),1 , 21 1, ;2 1/2 ;12 ( ),1 11 11/2 ;22 ( , ) ( ) ( ) , ( ) , , ib ib V r q f chR chr f chR chr                     ( ) ( ) ( ) , 3 , 3, ;3 , ;1 , ;2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )V r N b r J b r                 ; (20)       2 2 2 2 2 ( ),1 ( ),11 ( ) 1 11/2 ; 2 1/2 ; 2 1/2 ( ),12 ( ) 11/2 ; 2 1/2 , ( ) ( ). ib j ib j ib ib j ib f chR chr Y chR B chr Y chR A chr                   Отже, спектральна функція ( ) , ( , )V r    визначена. Введемо до розгляду спектральну щільність 12 2( ) ( )( ) 2 , 3 , ;1 , ;2( ) ( ) ( )b                            . (21) Наявність спектральної вектор-функції ( ) , ( , )V r    , вагової функ- ції ( )r та спектральної щільності ( ) , ( )    дає можливість запрова- дити пряме ( ) ,H    та обернене ( ) ,H     гібридне інтегральне перетво- рення (ГІП), породжене на множині 2I  ГДО ( ) ,M    , визначеного рів- ністю (1) [2]: ( ) ( ) , , 0 [ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( )H g r g r V r r dr g             , (22) ( ) ( ) ( ) , , , 0 [ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( )H g g V r d g r                   , (23) де ( )g r G (область визначення ГДО ( ) ,M    ). Математичним обґрунтуванням формул (22), (23) є твердження. Теорема 1 (про інтегральне зображення). Якщо функція       1/2 1 1 2 2( ) ( ) 1 ( ) ( )f r r R r r R R r shr r R r g r               неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варіацію на множині (0, ) , то для будь-якого 2r I  справджується інтегральне зображення ( ) ( ) ( ) , , , 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )g r g V d V r d                            . (24) Доведення теореми виконаємо методом дельта-подібної послі- довності — ядро Коші: фундаментальна матриця розв'язків задачі Коші для сепаратної системи рівнянь з частинними похідними пара- болічного типу [8], породженої ГДО ( ) ,M    . Математичне та комп’ютерне моделювання 162 Розглянемо задачу про побудову обмеженого в області  2 2( , ) : (0, );D t r t r I     розв'язку сепаратної системи диферен- ціальних рівнянь параболічного типу [8]   2 2 21 1 1 1 1 12 0, 0, u u u a r R t r          ,  2 22 2 2 2 ( ) 2 1 2[ ] 0, , , u u a u r R R t         (25)  2 23 3 3 3 , 3 2[ ] 0, , , u u a B u r R t          з початковими умовами 1 0 1 1 2 0 2 1 2( , ) ( ), (0, ); ( , ) ( ), ( , );t tu t r g r r R u t r g r r R R     (26) 3 0 3 2( , ) ( ), ( , );tu t r g r r R    крайовими умовами  0 11 1 0 3[ ] 0, lim ( , ) 0r r L u r u t r       (27) та умовами спряження  1 2 1( , ) ( , ) 0; , 1,2 k k k j k j k r RL u t r L u t r j k          . (28) У рівностях (27), (28) беруть участь диференціальні оператори , 0,1, 2; , 1, 2m m m m m jk jk jk jk jkL m j k t r t                 . Припустимо, що вектор-функція  1 2 3( , ) ( , ); ( , ); ( , )u t r u t r u t r u t r є оригіналом Лапласа стосовно t [9]. У зображенні за Лапласом параболі- чній задачі (25)—(28) відповідає крайова задача: побудувати обмежений на множині 2I  розв'язок сепаратної системи звичайних диференціаль- них рівнянь Фур'є, Лежандра та Бесселя для модифікованих функцій 2 2 * 2 1 1 1 12 ( , ) ( ) d q u p r a g r dr          ,  2 * 2 ( ) 2 2 2 2( , ) ( )q u p r a g r     , (29)  2 * 2 , 3 3 3 3( , ) ( )B q u p r a g r     з крайовими умовами  0 0 * 0 0 0 * 11 11 1 0 11 11 1 11 1 3(0) (0); lim ( , ) 0r r d u g g r u p r dr                 (30) та умовами спряження Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 163 * * 1 1 2 2 1( , ) ( , ) k k k k k j j k j j k jk r R d d u p r u p r dr dr                        , (31)    1 1 2 1 2 1( ) ( )k k k k jk j k k j k k j k k j k kg R g R g R g R            . Можна вважати, що початкові функції ( )jg r такі, що 0 11 0  та 0jk  . Якщо це не так, то переходимо до нових початкових даних 1 1 1 1( ) ( )g g r a r b   , 2 2 2 2( ) ( )g g r a r b   , (32) 3 3 3( )g g r b  і числа 1 2,a a , 1 2 3, ,b b b знайдемо із алгебраїчної системи     0 0 0 11 1 11 1 11 1 1 1 2 2 1 2 1 3, 0k k k k k k j k j k j k j k j k j k jk a b R a b R a b a                          (33) У системі (29) 1 1/2( )j j jq a p   , * 0 ( , ) ( , ) pt j ju p r u t r e dt    , m m m jk jk jk p    , m m m jk jk jk p    , Re 0jq  . Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рів- няння Фур'є  2 2 12 0d q v dr   утворюють гіперболічні функції 1 1v chq r та 2 1v shq r [4]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Лежандра  2 ( ) 2 0q v   утворюють функції 2 ( ) 1 1/2 ( )qv P chr   та 2 ( ) 2 1/2 ( )qv L chr   [5]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Бесселя  2 , 3 0B q v    утворюють модифіковані функції Бесселя першого роду , 3( )I q r  й другого роду , 3( )K q r  [6]. Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє побуду- вати розв'язок крайової задачі (29)—(31) методом функцій Коші [3; 4]: 1 * * 1 1 1 1 1 1 1 0 ( , ) ( , , ) ( ) R u p r A chq r B shq r E p r g d      , 2 2 2 1 ( ) ( )* * 2 2 2 2 21/2 1/2( , ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) R q q R u p r A P chr B L chr E p r g sh d            , Математичне та комп’ютерне моделювання 164 2 * * 2 1 3 3 , 3 3 3( , ) ( ) ( , , ) ( ) R u p r B K q r E p r g d           , (34)  2( ) ( ), 1,3j j jg a g j   . Під знаком інтегралів стоять функції Коші [3; 4]:    * * 0 0, , , , 0j r j rE p r E p r       , * * 0 0 ( , , ) ( , , ) 1 ( ) j j r r j dE p r dE p r dr dr r           , (35) 2 1 1 2 3( ) 1, ( ) , ( )sh            . Безпосередньо перевіряється, що за функції Коші можна взяти функції:     0 1 11 1 11 1 1 1 1* 1 0 1 1 1 1 11 1 11 1 1 1 1 ( , ) , , 01 ( , , ) ( ) ( , ) , , 0 q r q R q r R E p r q q q q R q r r R                   , (36) 0 12 0 11 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1 0 0 0 11 1 11 1 1 11 1 ( ) ( ) ( ), 1, 2; ( , ) ; j j jq V q R q V q R j q q chq shq                         2 2 2 2 2 ( ) 2* 2 ( ) 1 2;11 ( ),1 ( ),2 1 2 1 2;12 ;11 ( ),1 ( ),2 1 2 1 2;12 ;11 ( ) ( , , ) , , , , , , , , B q E p r chR chR F chR chr F chR ch R r R F chR ch F chR chr R r R                           (37) 2 2 2 2 2 ( ) ( );11 ( );22 1 2 1 2; ; 2 ; 1 ( );12 ( );21 1 2 2 2; 2 ; 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ), ; 2 jk j k j k chR chR Z chR Z chR Z chR Z chR q                   2 * 3 3 22 , ;12 3 2 2* , 3 , ;12 3 2 3 2 2* , 3 , ;12 3 2 3 2 ( , , ) ( ) ( ) ( , ), . ( ) ( , ), q E p r U q R K q q R q r R r K q r q R q R r                               (38) Всі інші функції, які беруть участь у формулах (36)—(38), зага- льноприйняті [2; 10]. Крайова умова в точці 0r  та умови спряження (31) для визна- чення величин ( 1, 2)jA j  й ( 1,3)kB k  дають неоднорідну алге- браїчну систему з п'яти рівнянь: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 165 0 0 11 1 11 1 1 0,A q B   2 2 ( );11 ( );1211 12 * 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 12; 2 ; 2( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2,j j jj jV q R A V q R B Z chR A Z chR B G j         2 2 ( );21 ( );22 22 * 2 2 2 2 , ; 2 3 2 3 2 23; 1 ; 1( ) ( ) ( ) .j jj jZ chR A Z chR B U q R B G        (39) У системі (39) беруть участь функції 1 2 2 1 2 * 0 * 11 11 1 12 1 1 10 ( ),2* 2;1121 2( ) 1 1 2;11 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) , ( , ) R R R c q G g d q F chR chc g sh d shR chR chR                     2 2 1 2 ( ),1* 1;12* 12 23 2( ) 2 1 2;11 ( , ) ( ) ( , ) R R F chR chc G g sh d shR chR chR           2 * , 3 2 1 22 322 2 1 , ;12 3 2 2 ( ) ( ) ( )R K q c g d U q R R                та символ Кронекера 2j ( 12 0  , 22 1  ) [7]. Введемо до розгляду функції: 2 2 ( )( ) 22 , ; 1 2 , ;22 3 2; 1 ( ) 22 1 2 , ;12 3 2; 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ), j j j A p chR chR U q R chR chR U q R             2 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 2; ;2 ( ) 2 1 1 2;1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ), 1, 2, j j j B p q chR chR q chR chR j              2 2 ( ),1 ( ),1 ( );1 2 1 1 1 1 1;12 ;22( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )r p q F chR chr q F chR chr         , 2 2 ( ) ( ),222 , ;12 3 2 2, ;2 ;21 ( ),222 , ;22 3 2 2;11 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ). r p U q R F chR chr U q R F chR chr               Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності кра- йової задачі (29)—(31): для p is  із 0Re p    , де 0 — абс- циса збіжності інтегралу Лапласа, та Im ( , )p s    визначник алгебраїчної системи (39) 2 2 ( ) ( )( ) 22 22 , , ;22 3 2 , ;12 3 2;1 ;2 ( ) ( ) 1 1 2 1, ;2 , ;1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. p U q R B p U q R B p q A p q A p                         (40) Математичне та комп’ютерне моделювання 166 Визначимо породжені неоднорідністю системи (29) функції впливу: ( )0 1 11 1 21 1 1 1, ;1( )* , ;11 ( ) ( )0 1 1 , 11 1 21 1 1 1, ;1 ( ) 1 11 1 1 1 1, ;2 ( ) 1 11 1 1 1 1, ;2 ( , ) ( ) ( , )1 ( , , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) , 0 , ( ) ( , ) , 0 , q r A p q R q H p r q p q A p q R q r A p q R q r R A p q R q r r R                                             * ( )* ( )021 11 1, ;12 , ;2( ) 1 , ( ) 1 ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) c p H p r q r r p shR p              , * * ( )* 021 22 11 1 , 3, ;13 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 , ( ) ( ) 1 ( , , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) c p c p H p r q r K q B q shR R p                 , 1 * ( )* ( )11 , ;2, ;21 ( ) 1 , ( ) 1 ( , , ) ( ) ( , ) ( ) c p H p r P ch r p shR p             , (41) ( ) ( );1 1 2, ;2( ) 2( )* , ;22 ( ) ( ) , ( );1 1 2, ;2 ( , ) ( , ),( ) ( , , ) ( ) ( , ) ( , ), r p p R r RB q H p r p p r p R r R                               , * ( )* 22 ( );1 , 3, ;23 2 1 ( ) 2 , ( ) 1 ( , , ) ( , ) ( ) ( ) c p H p r r p K q R p                ; * * ( )* 011 12 11 1 , 3, ;31 ( ) ( ) 2 2 , ( ) ( ) 1 ( , , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) c p c p H p r q K q r B q shR p             , * ( )* 12 ( );1 , 3, ;32 ( ) 2 , ( ) 1 ( , , ) ( , ) ( ) ( ) c p H p r p K q r shR p             , 2 2 2 2 ( ) 2* 2 , 3 , ;12 3 2 3;2( )* 3 , ;33 ( ) ( ) 2* , , 3 , ;12 3 2 3;2 ( ) 2* , ;22 3 3 3 2;1 ( ) 2* , ;22 3 2 3 2;1 ( ) ( ) ( , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) , ( ) ( , ) , K q B p q R q rq H p r p K q r B p q R q B p q R q r R r B p q R q R                                               . r    Підставивши обчислені значення jA та kB у формули (34), піс- ля низки елементарних перетворень маємо єдиний розв'язок крайової задачі (29)—(31): Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 167 1 2 1 2 ( )** 2 1 1, ; 1 0 ( )* 2 2 2, ; 2 ( )* 2 2 1 3 3, ; 3 ( , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) , 1,3. R j j R j R j R u p r H p r a g d H p r a g sh d H p r a g d j                                    (42) Повертаючись до оригіналу, маємо єдиний розв'язок параболіч- ної крайової задачі (25)—(28): 1 2 1 2 ( ) 2 1 1, ; 1 0 ( ) 2 2 2, ; 2 ( ) 2 2 1 3 3, ; 3 ( , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) , 1,3. R j j R j R j R u t r H t r a g d H t r a g sh d H t r a g d j                                    (43) У рівностях (43) за означенням [9] 0 0 ( ) ( )* , ; , ; 1 ( , , ) ( , , ) , , 1,3. 2 i pt jk jk i H t r H p r e d j k i                   (44) Особливими точками функцій впливу ( )* , ; ( , , )jkH p r    є точки галуження 2 2 2 1 2 3, ,p p p        та p   . Метод контурного інтегралу в поєднанні з лемою Жордана й теоремою Коші [9] приво- дить формули (44) до «робочої форми»:   2 2 ( ) , ; ( )* 2 2 ( ) , ; 0 ( , , ) 2 Im ( ), , ; , 1,3, jk i t jk H t r H e r e d j k                            (45) де  2 2 2 2 1 2 3max ; ;    . Виконавши зазначені у формулах (45) операції, одержуємо: 2 2 ( ) , ; ( )( ) ( ) ( ) 2 , ; ,, ; 0 ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) ; , 1,3. jk t j k kk H t r e V r V d a j k                          (46) Математичне та комп’ютерне моделювання 168 Розв'язок (43) параболічної задачі (25)—(28) набуває вигляду: 12 2 ( )( ) ( ) ( ) , ; 1 1 ,, ;1 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) R t j ju t r e V r g V d d                      22 2 1 ( )( ) ( ) ( ) , ; 2 2 ,, ;2 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) R t j R e V r g V sh d d                       (47) 2 2 2 ( )( ) ( ) 2 1 ( ) , ; 3 3 ,, ;3 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ; 1,3.t j R e V r g V d d j                          Внаслідок початкових умов (26) та властивостей ядра Коші як дельта- подібної послідовності отримуємо із (47) інтегральні зображення: 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ,, ;1 , ;1 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) R g r V r g V d d                   , (48) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ,, ;2 , ;2 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) R R g r V r g V sh d d                    , (49) 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) 3 3 3 ,, ;3 , ;3 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) . R g r V r g V d d                      (50) Інтегральні зображення (48)—(50) рівносильні інтегральному зображенню (24). Теорему доведено. Застосування запровадженого формулами (22), (23) ГІП до роз- в'язання відповідних задач математичної фізики неоднорідних сере- довищ базується на основній тотожності ГІП ГДО ( ) ,M    . Теорема 2 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція  1 ( ) 2 , 3( ) ( ); [ ( )]; [ ( )]f r g r g r B g r    неперервна на множині 2I  , а функції ( )jg r задовольняють крайові умови 0 0 11 11 1 0 0 3( ) , lim ( ) 0r r d g r g r g r dr                та умови спряження 1 1 2 2 1( ) ( ) , , 1, 2 k k k k k j j k j j k r R jk d d g r g r j k dr dr                            , то справджується основна тотожність ГІП ГДО ( ) ,M    : ( ) ( ) 2 , , [ ( )] ( )H M g r g              Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 169   3 1 ( )2 0 2 1 11 1 0, ;1 1 2 ( ), ( ), 2 1, ;12 , ;22 1 ( ) (0, ) ( ) ( ) j j j k k k k k k k g a V g d Z Z                                (51) У рівності (51) прийняті позначення: 1 ( ) 1 1 1, ;1 0 ( ) ( ) ( , ) R g g r V r dr      , 2 1 ( ) 2 2 2, ;2( ) ( ) ( , ) R R g g r V r shrdr      , 2 ( ) 2 1 3 3 3, ;3( ) ( ) ( , ) R g g r V r r dr         , 2 2 1 1 1 11,1 2 2 2 2 11,2: , :d a c d a shR c   ,  ( ), ( ) 2 2, ; 2 , ; 1( ) ( , ) , , 1, 2 k k k k i i r Ri k dZ V r i kdr             . Доведення тотожності (51) проводиться стандартним способом (за відомою логічною схемою) [11]. Логічну схему застосування запровадженого формулами (22), (23) ГІП до розв'язання відповідних задач математичної фізики покажемо на типових задачах квазістатики й динаміки. Задача квазістатики. Побудувати обмежений в області 2D ро- зв'язок параболічної системи 2 2 21 1 1 1 1 1 12 ( , ), (0, ) u u u a f t r r R t r          , 2 22 2 2 2 ( ) 2 2 1 2[ ] ( , ), ( , ) u u a u f t r r R R t         , (52) 2 23 3 3 3 , 3 3 2[ ] ( , ), ( , ) u u a B u f t r r R t          з нульовими початковими умовами, крайовими умовами 0 0 0 0 11 11 11 11 1 0 0 3 ( , ) ( ), lim ( , ) 0 r r u t r g t t r t r u t r                         (53) та умовами спряження Математичне та комп’ютерне моделювання 170 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ( , ) ( , ) ( ); , 1,2 k k k k k k j j j j k j j k k j j k jk k u t r t r t t r u t r t j k r Rt                                                (54) Розв'язання. Запишемо систему (52) й початкові умови в мат- ричній формі: 2 2 2 1 1 12 1 1 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 3 3 2 2 3 3 , 3 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , ( , ) 0 . ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) a u t r t r f t r u t r a u t r f t r u t r t f t r u t r t a B u t r t                                                                    (55) Інтегральний оператор ( ) ,H    згідно правила (22) зобразимо у ви- гляді операторної матриці-рядка: 1 2 1 2 ( ) ( )( ) , 1 2, ;1 , ;2 0 ( ) 2 1 3, ;3 [ ] ( , ) ( , ) ( , ) . R R R R H V r dr V r shrdr V r r dr                                   (56) Припустимо, що  2 2 2 2 1 2 3 1max ; ; 0     . Покладемо 2 1 0k  , 2 2 2 2 1 2 0k     , 2 2 2 3 1 3 0k     . Застосуємо до задачі (55) за прави- лом множення матриць операторну матрицю-рядок (56). Внаслідок основної тотожності (51) одержуємо задачу Коші:   1 ( )2 2 2 0 1 1 1 11 0, ;1 2 ( ), ( ), 2 1 0, ;12 , ;22 1 ( , ) ( , ) (0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , ) 0.k k k k k t k d u t f t a V g t dt d Z t Z t u t                                           (57) Розв'язком задачі Коші (57) є функція 2 2 1( )( ) 0 ( , ) ( , ) t tu t e f d          2 2 1( )( )2 1 1 ( ) , 0 0 ( ) ( ) ( ) t ta q q e g d              (58) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 171 2 2 1 2 ( ), ( )( ) 2, ;12 1 0 ( ) ( ) t k t k k k d Z e d                   2 2 1( ), ( )( ) 1, ;22 0 ( ) ( ) . t k t kZ e d                 Інтегральний оператор ( ) ,H     згідно правила (23) як обернений до (56) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця: ( ) ( ) ,, ;1 0 ( )( ) ( ) , ,, ;2 0 ( ) ( ) ,, ;3 0 ( , ) ( ) [ ] ( , ) ( ) . ( , ) ( ) V r d H V r d V r d                                                           (59) Застосуємо операторну матрицю-стовпець (59) за правилом множення матриць до матриці-елемента  ( , )u t  , де функція ( , )u t  визначена формулою (58). У результаті низки елементарних перетво- рень маємо єдиний розв'язок параболічної задачі (52)—(54): 1 2 1 ( ) ( ) 1 1, ; 1 , ; 2 0 0 0 ( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) R Rt t j j j R u t r H t r f d d H t r                     2 ( ) 2 1 2 2 3 3, ; 3 0 2 ( ) ( ), 0 2, ;1 , ;12 10 0 ( , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) t j R t t kj k kj k f sh d d H t r f d d W t r g d d R t r d                                                 (60) ( ), 1, ;22 0 ( , ) ( ) ; 1,3 t kj kR t r d j             . У формулах (60) беруть участь головні розв'язки параболічної крайової задачі (52)—(54): 1) породжені неоднорідністю системи (52) функції впливу 2 2 1 ( ) , ; ( )( ) ( ) ( ) , ; ,, ; 0 ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) ; , 1,3; jk t j k H t r e V r V d j k                          Математичне та комп’ютерне моделювання 172 2) породжені крайовою умовою в точці 0r  функції Гріна 2 2 1 ( ) , ;1 ( ) 2 ( ) ( ) 1 1 ( ) , , ; , 0 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ; 1,3; j t j W t r e a q q V r d j                            3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна 2 2 1 ( ), , ; 2 ( ),( ) ( ) ( ) , ; ,, ; 2 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ; , 1,2; 1,3. kj i kt ji R t r e Z V r d i k j                          Зауважимо, що при 0k ij  та 0k ij  маємо розв'язок параболі- чної задачі в припущенні, що межа області 2D жорстка по відно- шенню до відбиття хвиль. Інтегральне зображення (60) аналітичного розв'язку параболіч- ної задачі (54)—(54) носить алгоритмічний характер, що дозволяє успішно його застосовувати як в теоретичних дослідженнях, так і в інженерних розрахунках. Формули (60) поліпараметричні. Вибором параметрів m jk , m jk , m jk , m jk можна безпосередньо виділити із загальних структур будь- який практично важливий випадок (в рамках даної моделі). Задача динаміки. Побудувати обмежений в області 2D розв'я- зок гіперболічної системи 2 2 2 21 1 1 1 1 1 12 2 ( , ), (0, ) u u u a f t r r R t r          , 2 2 22 2 2 2 ( ) 2 2 1 22 [ ] ( , ), ( , ) u u a u f t r r R R t         , (61) 2 2 23 3 3 3 , 3 3 22 [ ] ( , ), ( , ) u u a B u f t r r R t          з нульовими початковими умовами, крайовими умовами 2 2 0 0 0 0 11 11 11 11 1 0 02 2 3 ( ), lim ( , ) 0 r r u g t rt t r u t r                            (62) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 173 та умовами спряження 2 2 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 12 2 ( , ) ( , ) ( ); , 1,2. k k k k k j j j j k k k k k j j j j k jk r R u t r rt t u t r t rt t j k                                                     (63) Розв'язання. Запишемо систему (61) й початкові умови в мат- ричній формі: 2 2 2 2 1 1 12 2 12 2 2 2 2 ( ) 2 22 3 2 2 2 3 3 , 32 1 1 2 2 0 03 3 ( , ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 , 0 0 0t t a u t r f t r a u f t r t f t r a B u t u u u u t u u                                                                               .       (64) Застосуємо до задачі (64) за правилом множення матриць опера- торну матрицю-рядок (56). Внаслідок основної тотожності (51) в припущенні, що  2 2 2 2 1 2 3 1max ; ; 0     , маємо задачу Коші:     2 1 ( )2 2 2 0 1 1 1 11 0, ;12 2 ( ), ( ), 2 1, ;12 , ;22 1 ( , ) ( , ) (0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ),k k k k k k d u t f t a V g t dt d Z t Z t F t                                           (65) 0 0( , ) 0, 0.t t du u t dt      (66) Безпосередньо перевіряється, що розв'язком задачі Коші (65), (66) є функція 2 2 1 2 2 0 1 sin ( ) ( , ) ( , ) . t t u t F d               (67) Математичне та комп’ютерне моделювання 174 Визначимо головні розв'язки гіперболічної задачі (61)—(63): 1) породжені неоднорідністю системи (61) функції впливу ( ) , ; 2 2 1 ( )( ) ( ) , ; ,, ;2 2 0 1 ( , , ) sin ( , ) ( , ) ( ) ; , 1,3; jk j k H t r t V r V d j k                             2) породжені крайовою умовою в точці 0r  функції Гріна   ( ) , ; 2 2 11 ( )( ) 2 0 ( ) , ; 1 1 11 ,, ;12 2 0 1 ( , ) sin ( , ) (0, ) ( ) ; j j W t r t V r a V d                               3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна ( ), , ; 2 2 2 1 ( ), ( ) ( ) , ; ,, ; 22 2 0 1 ( , ) sin ( ) ( , ) ( ) , , 1,2; 1,3. kj i k k ji R t r t d Z V r d i k j                            Застосувавши до матриці-елемента  ( , )u t  , де функція ( , )u t  визначена формулою (67), за правилом множення матриць оператор- ну матрицю-стовпець (59), після низки елементарних перетворень отримуємо єдиний розв'язок даної гіперболічної задачі: 1 2 1 ( ) 1 1, ; 1 0 0 ( ) 2 2, ; 2 0 ( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ) Rt j j Rt j R u t r H t r f d d H t r f sh d d                                2 ( ) 2 1 3 3, ; 3 0 ( , , ) ( , ) t j R H t r f d d                 (68) 2 ( ), ( ), 2 1, ;12 , ;22 1 0 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) t t kj kj k k k k d R t r d R t r d                            ( ) , ; 0 0 ( , ) ( ) , 1,3. t jW t r g d j        Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 4 175 Зауваження, зроблені стосовно параболічної задачі, повторю- ються. Неважко змінити головні розв'язки якщо  2 2 2 1 2 3max ; ;    2 2 0  або  2 2 2 2 1 2 3 3max ; ; 0     . Висновок. Дослідження, наведені в роботі, поповнюють список наявних ГІП й можуть бути використані для розв'язання досить ши- рокого класу крайових задач математичної фізики кусково- однорідних середовищ. Список використаних джерел: 1. Уфлянд Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их приложениях к задачам математической физики / Я. С. Уфлянд // Вопро- сы математической физики. — Л., 1976. — С. 93—106. 2. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежанд- ра). Частина 1 / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ. думка, 2004. — 368 с. 3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. 4. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М. : Физматгиз,1959. — 468 с. 5. Конет І. М. Інтегральні перетворення типу Мелера—Фока / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2002. — 248 с. 6. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 62 с. — (Пре- принт / АН УССР. Ин-т математики; 83. 3). 7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1971. — 432 с. 8. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М. : Наука, 1972. — 735 с. 9. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М. : Наука, 1987. — 688 с. 10. Ленюк М. П. Підсумовування функціональних рядів за власними елемен- тами гібридних диференціальних операторів / М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2010. — Том VII. — 424 с. 11. Ленюк М. П. Гібридне інтегральне перетворення типу Ейлера — (Фур'є, Бесселя) / М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2009. — 76 с. The method of delta-like sequences (Cauchy kernel) introduces hybrid integral transformation of Legendre — Bessel — Fourier series in polar axis with two point of interface with the assumption that the spectral pa- rameter is involved in conjugation. Key words: hybrid differential operators, hybrid integral transform ker- nel Cauchy function of, spectral function, spectral density, the main identity. Отримано 21.09.10 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c00200064006500740061006c006a006500720065007400200073006b00e60072006d007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500640073006b007200690076006e0069006e006700200061006600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e> /DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси