Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами

Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами

Для багаточастотної системи рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і лінійними нетеровими крайовими умовами для швидких змінних досліджено існування і єдиність розв’язку. На скінченному проміжку одержано оцінку похибки методу усереднення для повільних і швидких змінних, яка явно залежить від мал...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2011
Hauptverfasser: Бігун, Я.Й., Березовська, І.В.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48791
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами / Я.Й. Бігун, І.В. Березовська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 10-19. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48791
record_format dspace
spelling irk-123456789-487912013-09-04T03:01:53Z Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами Бігун, Я.Й. Березовська, І.В. Для багаточастотної системи рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і лінійними нетеровими крайовими умовами для швидких змінних досліджено існування і єдиність розв’язку. На скінченному проміжку одержано оцінку похибки методу усереднення для повільних і швидких змінних, яка явно залежить від малого параметра. We researched the existence and uniformity of solution for multifrequency system with linearly transformed argument with linear noether boundary conditions for fast variables. We obtained averaging method error estimates evidently dependent on small parameter for slow and fast variables on finite interval. 2011 Article Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами / Я.Й. Бігун, І.В. Березовська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 10-19. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48791 517.929 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Для багаточастотної системи рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і лінійними нетеровими крайовими умовами для швидких змінних досліджено існування і єдиність розв’язку. На скінченному проміжку одержано оцінку похибки методу усереднення для повільних і швидких змінних, яка явно залежить від малого параметра.
format Article
author Бігун, Я.Й.
Березовська, І.В.
spellingShingle Бігун, Я.Й.
Березовська, І.В.
Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Бігун, Я.Й.
Березовська, І.В.
author_sort Бігун, Я.Й.
title Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами
title_short Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами
title_full Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами
title_fullStr Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами
title_full_unstemmed Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами
title_sort усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2011
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48791
citation_txt Усереднення в багаточастотній системі диференціальних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і нетеровими крайовими умовами / Я.Й. Бігун, І.В. Березовська // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 10-19. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT bígunâj userednennâvbagatočastotníjsistemídiferencíalʹnihrívnânʹízlíníjnoperetvorenimargumentomíneterovimikrajovimiumovami
AT berezovsʹkaív userednennâvbagatočastotníjsistemídiferencíalʹnihrívnânʹízlíníjnoperetvorenimargumentomíneterovimikrajovimiumovami
first_indexed 2025-07-04T09:31:16Z
last_indexed 2025-07-04T09:31:16Z
_version_ 1836708250869825536
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 10 УДК 517.929 Я. Й. Бігун, д-р фіз.-мат. наук, І. В. Березовська, аспірант Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці УСЕРЕДНЕННЯ В БАГАТОЧАСТОТНІЙ СИСТЕМІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ЛІНІЙНО ПЕРЕТВОРЕНИМ АРГУМЕНТОМ І НЕТЕРОВИМИ КРАЙОВИМИ УМОВАМИ Для багаточастотної системи рівнянь із лінійно перетворе- ним аргументом і лінійними нетеровими крайовими умовами для швидких змінних досліджено існування і єдиність розв’язку. На скінченному проміжку одержано оцінку похибки методу усереднення для повільних і швидких змінних, яка яв- но залежить від малого параметра. Ключові слова: метод усереднення, малий параметр, крайо- ва задача, нетерові крайові умови, повільні і швидкі змінні. Вступ. Математичними моделями коливних процесів досить ча- сто є системи диференціальних рівнянь, в яких частина змінних ево- люціонує з часом повільно (повільні або амплітудні змінні), а інші — швидко (швидкі або фазові змінні). У багатьох випадках, увівши ма- лий параметр 0  такі системи можна записати у вигляді      , , , , , , , da d X a a Y a dt dt           (1) де t  , a D , D — обмежена область в nR , mR  , вектор- функції X і Y — 2π-періодичні за змінними  , 1,...,m  ; ( , )a  — вектор частот, a — вектор повільних, а  — швидких змінних. Якісне дослідження і розв’язування системи (1) ускладнюється ре- зонансними явищами, умовою яких у точці ( , )a є виконання точної  , ( , ) 0k a   (2) або наближеної рівності, де mk Z , 1|| ||: | | ... | | 0mk k k    , ( , )  — скалярний добуток. Зокрема, відхилення повільних змінних систе- ми (1) й усередненої за швидкими змінними системи      0 0, , , , , da d X a a Y a dt dt               2 2 0 1 0 0 1 , ... , , ... , , , (2 ) mm F a F a d d F X Y            може набувати значень (1)O на інтервалі часу довжиною 1L  . © Я. Й. Бігун, І. В. Березовська, 2011 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 11 Перший результат з обґрунтування методу усереднення для сис- теми рівнянь (1), коли 2m  , ( )a  , X і Y — аналітичні функції змінних a і  , доведено В. І. Арнольдом [1]. Ряд результатів з об- ґрунтування методу усереднення одержано у працях А. І. Нейштад- та [2], М. Додсона [3], Є. О. Грєбенікова [4], М. М. Хапаєва [5] та ін- ших математиків. Новий підхід із дослідження багаточастотних сис- тем запропонований А. М. Самойленком у праці [6]. Для цього сис- тема (1) записується вигляді       , , , , , , , ada d X a Y a d d            (3) і вводиться осциляційний інтеграл, для якого будується оцінка, явно залежна від параметра  . Як наслідок, одержується оцінка похибки методу усереднення. Зокрема, для вектора частот ( )   оцінка має порядок m  . Для широких класів багаточастотних систем зви- чайних диференціальних рівнянь із початковими та крайовими умо- вами метод усереднення обґрунтовано у працях А. М. Самойленка і Р. І. Петришина (див. монографію [7] та бібліографію в ній). Для адекватнішого опису коливних процесів необхідно врахову- вати ефект післядії, викликаний інформаційним або технологічним запізненням, запізненням розвитку тощо. Асимптотичні методи для таких систем розвинуті в працях В. П. Рубаника [8], Ю. О. Митро- польського і Д. І. Мартинюка [9] та ін. Нетерові крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь із запізненням досліджувались у працях А. М. Самойленка, О. А. Бойчука та інших математиків (див. монографію [10] та бібліо- графію в ній). Деякі питання для багаточастотних систем із нетеро- вими крайовими умовами вивчались в [11]. Метод усереднення для багаточастотних систем із запізненням об- ґрунтовано у роботах Я. Й. Бігуна і А. М. Самойленка [12], Я. Й. Бігуна [13; 14] та ін. Деякі критичні випадки для систем із лінійно перетворе- ним аргументом розглянуто у роботі Р. І. Петришина і Я. Й. Бігуна [15]. У даній роботі розглянуто систему із лінійно перетвореним аргуме- нтом, розв’язок якої задовольняє двоточкові та інтегральні крайові умо- ви. Причому крайові умови для швидких змінних є нетеровими. Такого типу крайові задачі для багаточастотних систем раніше не розглядались. 1. Постановка задачі. Нехай: i і j — числа з напівінтервалу (0,1] , 110 ... 1r     , 210 ... 1r     , ( ) ( ) i ia a    ,  ( ) j j     ,  1 1 ,..., r a a a   ,  1 2 ,..., r     . Математичне та комп’ютерне моделювання 12 Розглянемо m -частотну систему диференціальних рівнянь із лі- нійно перетвореним аргументом  , , , da X a d      (4)  ( ) , , d Y a d           , (5) де a D , mR  , [0, ]L  , вектор-функції X і Y — 2π-періодичні за змінними j , 21,...,j r . Якщо 1 2 1r r  і 1 1 1   , то одержи- мо систему рівнянь (3). Системи, коли 1 2 2r r  , 1 2 1   і 1 2 1   , розглядались в роботах [13; 14]. Задамо для системи (4), (5) крайові умови [16]  0 0 1 0 , ( ), ( ) , L L A a A a f s a s s ds d        (6) 0 0 1 0 0 1 2 0 0 | | ( ) ( ) | | ( ) , L L L LB B B s s ds g a g a g a s ds              (7) де f — задана n -вимірна функція 2π-періодична за компонентами  , 0A , 1A — сталі ( )n n , 0B , 1B — сталі ( )q m — матриці, а B такої ж розмірності вектор-функція, d — заданий n -вектор, 0 1 2, ,g g g — сталі ( )q n — матриці. Відповідна (4), (5) усереднена за швидкими змінними система рівнянь набуває вигляду  0 , , da X a d    (8)  0 ( ) , d Y a d         . (9) Ця система хоч і містить запізнення при 0  , але праві частини не залежать від швидких змінних і знаходження компоненти розв’язку ( )  зводиться до інтегрування, якщо задано початкове значення (0) і відомо ( )a  . Для розв’язку усередненої системи рівнянь (8), (9) задаються крайові умови  0 0 1 0 0 | | , ( ) , L LA a A a f s a s ds d      (10) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 13 0 0 1 0 0 1 2 0 0 | | ( ) ( ) | | ( ) . L L L LB B B s s ds g a g a g a s ds              (11) Під розв’язком задачі (4)—(7) розумітимемо вектор-функцію  ( ), ( )a    , яка задовольняє систему рівнянь (4), (5) і крайову умову (6) у класичному розумінні, а крайову умову (7) як псевдорозв’язок [10]. Тобто при підстановці  , , ,y     ,  0, , ,y    , в умо- ву (7) початкове значення  знаходитиметься як вектор, що мінімі- зує евклідову норму нев’язки і норма якого, при цьому, найменша. 2. Умови і допоміжні результати. Умовою резонансу частот у системі (4), (5) в точці  є виконання рівності [12; 14]:  2 ( ) 1 ( ) : , ( ) 0 r j l j j j l         , (12) де ( )j ml Z , 2 ( ) 1 0 r j j l   . Якщо 2 1r  і 1 1  , то маємо умову (2). Припустимо, що виконуються наступні умови: 01 . Вектор-функція 1 , 1( , )aF C G    , де 1 2[0, ] r mrG L D R   ,  : , ,F X Y f , сталою 1 обмежені норми вектор-функції F та її похідних за  і a ; 02 .  1 1,qF C G    ,  2 1,qF C G a        ;  3 2 1,qF C G a        ,  3 2 1( ) ,q i F C G a a       , 11,..., , 1,..., ;i r n   1 2 3 2min 2, 1,q q q mr   ; 03 . Умови «незастрягання» системи на резонансі: 1 2[0, ],pC L p mr   , 1 2( ( ) ( )) ( )T p p pW W W     , [0, ]L  , (13) де 2( ) ( )pW p mr   — матриця, (( 1) )m k   -й стовпець якої утво- рений елементами ( )k j k d d    , ( )j j    , 0,..., 1k p  , 1,...,m  , 21,...,j r . Якщо 2p mr , то det ( )pW  — визначник Вронського за системою функцій     21 ,..., r      . Наприклад, для 2m  , 2 2r  і 4p  маємо: Математичне та комп’ютерне моделювання 14 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 1 1 2 2 24 1 1 2 22 2 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 23 3 3 3 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d d d d d d d dW d d d d d d d d d d d d                                                            .                      Як показано в [13], при виконанні умов 01 , перших двох умови 02 і 03 для досить малого 1 0(0, ]  на проміжку [0, ]L існує єди- ний розв’язок системи рівнянь (4), (5) з тими ж початковими умовами ( , )y  , що і для розв’язку усередненої системи, для всіх [0, ]L  і 1(0, ]  виконується оцінка         1, , , , , , , , , ,a y a y y y c                 , (14) де 1p  , 1 0c  і не залежить від  . Якщо ж виконуються і дві останні умови 02 , то така ж оцінка пра- вильна і для похідних відхилення розв’язків за початковими умовами y і  . Вважатимемо, що для цієї оцінки коефіцієнт також дорівнює 1c . 3. Обґрунтування методу усереднення Теорема. Нехай: 1) виконуються умови 0 01 3 ; 2) існує єдиний розв’язок ( , )a a y , (0, )a y y крайової задачі (8), (10), який лежить в D разом із деяким  -околом; 3) матриця  1 0 1 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) La L y a s y M A A f s a s y ds y y        — неви- роджена, а 2 0 1 0 ( ) L M B B B s ds    — ( )q m -матриця повного ран- гу, причому q m . Тоді знайдуться такі стала 10 0c  і 2 0  , що для кожного 2(0, ]  існує єдиний розв’язок крайової задачі (4)—(7), причому для швидких змінних  як псевдорозв’язок, і для всіх [0, ]L  і 2(0, ]  виконується оцінка         10, , , , , , , , , ,a y a y y y c                 . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 15 Доведення. Оцінка відхилення повільних змінних одержується згідно зі схемою доведення роботи [13], з нерівності             , , , , , , , , , , , a y a y a y a y a y a y                         (15) де nR  знаходиться із умови того, що вектор-функція  , , ,a y    задовольняє крайову умову (6). Якщо виконуються умови 1) і 2) теореми, то існує єдине значення  , причому 2|| || c   , якщо 1 0    . Тоді з нерівності (15) й оцінки для  маємо     3, , , ,a y a y c         , і ця оцінка правильна для всіх [0, ]L  , 2(0, ]  і mR  . Розглянемо тепер питання про оцінку відхилення швидких змін- них  , , ,y    та ( , , , )y    . Нехай     . Підставивши ( , , , )y    в крайові умови (7) і віднявши від одержаної рівності (11), матимемо             0 1 1 0 1 0 0 0 ( ) , , , , , , , ; , ; L L B B B s ds B L y L y B Y L a s y Y L a s y ds                                        0 ( ) , , , , , , L B s s y s y ds                       1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 ( ) , ; , ; sL B s Y s a s y Y s a s y ds ds                      0 1 2 1 0 0, , , 0, , , , , , , , , : , , . L g a y a y g a L y a L y g a s y a s y ds                               Звідси маємо  , ,     , де    2 1, , , ,M        , 2M  — псевдообернена за Муром- Пенроузом матриця до матриці 2M і має вигляд   1 2 2 2 2 T TM M M M   . Математичне та комп’ютерне моделювання 16 Виберемо  із деякої кулі радіусом 4c  , де 4c буде вказано нижче. Побудуємо оцінку для вектор-функції ( , , )   . На підставі умови 01 маємо 0 5 ( , ) sup Y y c a      . При виконанні умови 02 , як по- казано в [12], 6 ( , ) sup a y c y    . Враховуючи одержані оцінки та оцінку (14), отримуємо   4, , c      , де 4 2 1 1 2 5 6 1 1 2 5 6 7 0 0 ( ) ( ) , L L c M B c c c c L B c B s ds c c c B s dsL c               7 3 0 1 2|| || || || || ||c c g g g L   . Покажемо, що  , ,   є відображенням стиску. Справді,             2 1 0 , , ( , , , , , , ( ) , , , , , , L M B L y L y B s s y s y ds                                                    0 0, , , 0,g a y a y                        1 2 0 , , , , , , , , . L g a L y a L y g a s y a s y ds                            Звідси одержується нерівність 1 2 1 0 1 2 8 0 ( , , ) || || || || || ( ) || || || || || || || . L c M B B s ds g g g L c                        Якщо 1 2 1 8 1min , 2c               , то ( , , ) 1 2        для всіх ,  із відповідних куль і 2[0, ]  . Таким чином існує єдина неру- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 17 хома точка  відображення  . Отже, існує єдиний розв’язок крайо- вої задачі (4)—(7), причому     9, , , , , ,y y c               , де 9 1 4 5 6 2c c c c c c L   . Оцінка в теоремі одержується, якщо поклас- ти 10 3 9max( , )c c c . Зауваження. Якщо визначник Вронського має нулі на [0, ]L , кратність яких не перевищує s , то асимптотика оцінки для відхилен- ня розв’язків систем (4), (5) і (8), (9) матиме порядок 21 ( )mr s  . Ця оцінка одержується повторним доведенням аналогічної оцінки для систем з одним запізненням [14]. Тоді й відповідна оцінка для відхи- лення розв’язків цих систем із крайовими умовами (6), (7) і (10), (11) відповідно матиме такий же порядок. 4. Приклади. Проілюструємо одержаний у теоремі результат на модельних прикладах. Приклад 1. Для системи рівнянь 2 1 1 cos 4 , , 2 da d d d           задамо початкові і крайові умови 0(0) , (0) (1) 1, 3 (0) 2 (1) 2.a a          Оскільки 1( ) 2   , то є резонанс при 0  і функція ( ) 2   має простий нуль. Із крайових умов знаходимо псевдо- розв’язок (0) 0  . Для відхилення повільних змінних при 1  на підставі асимптотики інтеграла Френеля маємо: 1 2 0 || (1, ) (1) || cos ( )a a d O        . Приклад 2. Розглянемо двочастотну систему рівнянь  1 1, 2 21 2 cos 3 2 , [0,1]; 4 6 1 1 1 , 1 , . 5 2 2 da d d d d d                                   Задамо початкові і крайові умови 0 1 2 1 1 1 1 (0) , (0) (0), (0) (1) 1, (0) (1) 2. a a             У точці 0  досягається резонанс, оскільки 2( ) 16 5   . За системою функцій  1 1 2( ), ( 2), ( )      визначник Вронського Математичне та комп’ютерне моделювання 18  23 320 9 40 0  при [0,1]  , тому умова 03 виконується. Із кра- йових умов як псевдорозв’язок знаходимо 1 3 19 (0) 4 5     . Тоді для відхилення повільних змінних маємо: 3 0 || ( , ) ( ) || cosa a d          . Для 1  різниця є величиною порядку 3  . 5. Випадок класичного розв’язку. Запишемо крайову умову (7) у вигляді 0 0 1 2 0 | | ( ) , L Lg a g a g a s ds        де 0 0 1 0 | | ( ) ( ) L LB B B s s ds         — лінійний обмежений нете- ровий оператор. Умова, що забезпечує існування розв’язку системи (4), (5), який би задовольняв умову (7) в класичному розумінні одержана в [10] і має вигляд 0 0 1 2 0 ( | | ( ) ) 0 L LP g a g a g a s ds       , де P  — ортопроектор на ядро ker  оператора  , спряженого до оператора  . Список використаних джерел: 1. Арнольд В. И. Условия применимости и оценка погрешности метода ус- реднения для систем, которые в процессе эволюции проходят через резо- нанс / В. И. Арнольд // Докл. АН СССР. — 1965. — № 1. — С. 9—12. 2. Нейштадт А. И. Об усреднении в многочастотных системах / А. И. Нейш- тадт // Докл. АН СССР. — 1976. — № 6. — С. 1295—1298. 3. Dodson M. Averaging in multifrequency systems / M. Dodson, B. P. Rynne, J. A. G. Vickers // Nonlinearly. — 1989. — № 1. — P. 137—148. 4. Гребеников Е. А. Новые качественные методы в небесной механике / Е. А. Гребеников, Ю. А. Рябов. — М. : Наука, 1971. — 444 с. 5. Хапаев М. М. Усреднение в теории устойчивости / М. М. Хапаев. — М. : Наука, 1986. — 192 с. 6. Самойленко А. М. К вопросу обоснования метода усреднения для много- частотных колебательных систем / А. М. Самойленко // Дифференц. уравнения. — 1987. — № 2. — С. 267—278. 7. Самойленко А. М. Математичні аспекти теорії нелінійних коливань / А. М. Самойленко, Р. І. Петришин. — К. : Наукова думка, 2004. — 474 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 19 8. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием / В. П. Рубаник. — М. : Наука, 1969. — 287 с. 9. Митропольский Ю. А. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием / Ю. А. Митропольский, Д. И. Мартынюк. — К. : Вища шк., 1979. — 309 с. 10. Бойчук А. А. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые задачи / А. А. Бойчук, В. Ф. Журавлев, А. М. Самойленко. — К. : Ин-т матема- тики НАН Украины, 1995. — 318 с. 11. Самойленко В. В. Нетерові крайові задачі з повільно змінними частотами / В. В. Самойленко // Доповіді НАН України. — 1998 — № 4 — С. 54—59. 12. Бигун Я. И. Обоснование принципа усреднения для многочастотных сис- тем дифференциальных уравнений с запаздыванием / Я. И. Бигун, А. М. Самойленко // Дифференц. уравнения. — 1999. — № 1. — С. 8—14. 13. Бігун Я. Й. Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастот- них задач із запізненням / Я. Й. Бігун // Укр. мат. журн. — 2007. — № 4. — С. 435—446. 14. Бігун Я. Про усереднення початкової і крайової задачі з лінійно перетво- реним аргументом / Я. Бігун // Математичний вісник НТШ. — 2008. — Т. 5. — С. 23—35. 15. Петришин Р. І. Про усереднення в системах із лінійно перетвореним аргуме- нтом в резонансному випадку / Р. І. Петришин, Я. Й. Бігун. // Наук. вісн. Чер- нів. ун-ту : зб. наук. пр. — Чернівці : Рута, 2008. — Вип. 421. — С. 84—89. 16. Bandyrskii B. Eigenvalue Problem for the Second Order Differential Equation with Nonlocal Conditions. / B. Bandyrskii, I. Lazurchark, V.Makarov, M. Sa- pagovas // Nonlinear Analysis: Modelling and Control. — 2006. — Vol. 11, № 1. — P. 13—32. We researched the existence and uniformity of solution for multifre- quency system with linearly transformed argument with linear noether boundary conditions for fast variables. We obtained averaging method er- ror estimates evidently dependent on small parameter for slow and fast variables on finite interval. Key words: averaging method, small parameter, boundary-value problem, noether boundary conditions, slow and fast variables. Отримано: 02.06.2011 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <FEFF005400690063006100720069002000620065006c00670065006c006500720069006e0020006700fc00760065006e0069006c0069007200200062006900720020015f0065006b0069006c006400650020006700f6007200fc006e007400fc006c0065006e006d006500730069002000760065002000790061007a0064013100720131006c006d006100730131006e006100200075007900670075006e002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002e> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ähnliche Einträge