Теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення

Доведено деякі теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Гнатюк, В.О., Гнатюк, Ю.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48795
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення / В.О. Гнатюк, Ю.В. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 60-76. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48795
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-487952013-09-04T03:02:24Z Теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В. Доведено деякі теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень. We prove some existence theorems of extreme elements for the problem of the best in the sense of convex continuous functions uniform approximation of continuous compact-valued mapping by the set of continuous single-valued mappings. 2011 Article Теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення / В.О. Гнатюк, Ю.В. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 60-76. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48795 517.5 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Доведено деякі теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення множинами неперервних однозначних відображень.
format	Article
author	Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В.
spellingShingle	Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В. Теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Гнатюк, В.О. Гнатюк, Ю.В.
author_sort	Гнатюк, В.О.
title	Теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення
title_short	Теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення
title_full	Теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення
title_fullStr	Теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення
title_full_unstemmed	Теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення
title_sort	теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48795
citation_txt	Теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відображення / В.О. Гнатюк, Ю.В. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 60-76. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT gnatûkvo teoremiísnuvannâekstremalʹnogoelementadlâzadačínajkraŝoíurozumínníopukloíneperervnoífunkcíírívnomírnoíaproksimacííneperervnogokompaknoznačnogovídobražennâ AT gnatûkûv teoremiísnuvannâekstremalʹnogoelementadlâzadačínajkraŝoíurozumínníopukloíneperervnoífunkcíírívnomírnoíaproksimacííneperervnogokompaknoznačnogovídobražennâ
first_indexed	2025-07-04T09:31:51Z
last_indexed	2025-07-04T09:31:51Z
_version_	1836708280812961792
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 60 Робота присвячена проблемі опису нерівноважних кореляцій квантових багаточастинкових систем. Побудовано розв'язок задачі Коші нелінійної квантової ієрархії рівнянь ББГКІ у формі розкладу по групах частинок, еволюція яких описується відповідного порядку кумулянтом груп нелінійних операторів ієрархії рівнянь фон Неймана. Ключові слова: нелінійна квантова ієрархія ББГКІ, ієрархія фон Неймана, кореляційний оператор, квантові багаточастинкові системи. Отримано: 06.05.2011 УДК 517.5 В. О. Гнатюк, канд. фіз-мат. наук, Ю. В. Гнатюк, канд. фіз-мат. наук Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’нець-Подільський ТЕОРЕМИ ІСНУВАННЯ ЕКСТРЕМАЛЬНОГО ЕЛЕМЕНТА ДЛЯ ЗАДАЧІ НАЙКРАЩОЇ У РОЗУМІННІ ОПУКЛОЇ НЕПЕРЕРВНОЇ ФУНКЦІЇ РІВНОМІРНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ НЕПЕРЕРВНОГО КОМПАКНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ Доведено деякі теореми існування екстремального елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції рівномірної апроксимації неперервного компакнозначного відо- браження множинами неперервних однозначних відображень. Ключові слова: найкраща у розумінні опуклої неперервної функції рівномірна апроксимація, компакнозначне відобра- ження, екстремальний елемент, теореми існування. Вступ. У статті для задачі найкращої у розумінні опуклої непе- рервної функції рівномірної апроксимації неперервного компактноз- начного відображення множинами неперервних однозначних відо- бражень доведено деякі теореми існування екстремального елемента, які узагальнюють на випадок цієї задачі відповідні теореми існування екстремального елемента для задачі найкращого у розумінні опуклої функції наближення елемента лінійного нормованого простору опук- лою множиною цього простору, встановлені у праці [1], розглянуто допоміжні твердження, які представляють і самостійний інтерес. Постановка задачі. Нехай S -компакт, X -лінійний над полем дій- сних чисел нормований простір,  ,C S X — лінійний над полем дійс- них чисел нормований простір однозначних відображень g компакта S в X , неперервних на S , з нормою  max s S g g s   ,  K X — су- © В. О. Гнатюк, Ю. В. Гнатюк, 2011 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 61 купність всіх непорожніх компактів простору X ,   ,C S K X — множина багатозначних відображень компакта S в X таких, що для кожного s S    sa s K K X  і вони неперервні на S відносно метрики Хаусдорфа на  K X ,  ,V C S X , p — задана на X дійс- нозначна опукла неперервна функція. Задачею найкращої у розумінні функції p рівномірної апрокси- мації відображення   ,a C S K X множиною  ,V C S X будемо називати задачу відшукання величини       * inf sup sup .V g V s S y a s a p y g s      (1) Якщо існує відображення g V таке, що   V a      sup sup s S y a s p y g s     , то його будемо називати екстремальним елементом для величини (1). Актуальність теми. Виникають задачі наближення, в яких міра відхилення між елементами лінійного нормованого простору оціню- ється не з допомогою норми, а з допомогою деякої опуклої непере- рвної функції. Клас таких задач досить широкий. Він включає в себе задачі наближення по нормі, переднормі, функціоналу Мінковського, сублінійному функціоналу, функціоналу повільного зростання та ни- зку інших задач (див., наприклад, [1—4]). Вищеназвані задачі є част- ковими випадками задачі відшукання величини (1). Результати зага- льного характеру, отримані при дослідженні задачі відшукання вели- чини (1), становлять самостійний інтерес, а також слугуватимуть від- правним пунктом для отримання відповідних результатів для конкре- тних задач, що включаються у схему її постановки. Мета роботи. Для   ,a C S K X встановити властивості функ- ції         sup sup , , ,a s S y a s g p y g s g C S X       та довести з їх використа- нням деякі теореми існування екстремального елемента для величини (1). Деякі означення та допоміжні твердження. Нехай Y — ліній- ний над полем дійсних чисел нормований простір, Y — простір, спряжений з Y , F — дійснозначна функція, задана на Y . Полярою F функції F , або функцією, спряженою з F , назива- ється функція, задана на Y , означена рівністю       * sup , , y Y F f f y F y f Y     (див., наприклад, [3, с. 306]). Математичне та комп’ютерне моделювання 62 Множина    * : ,domp f f X p f    називається ефекти- вною множиною функції p (див., наприклад, [3, с. 306]). Нехай C — замкнена опукла множина в Y . Асимптотичним конусом C множини C називається множина таких точок y Y , що 0x ty C  для довільної точки 0x C і довільного 0t  (див., на- приклад, [3, с. 345]). Нехай F — задана на Y опукла напівнеперервна знизу дійсно значна функція. Функція     * sup , , f dom F F y f y y Y    називається асимптотичною функцією для F (див., наприклад, [3, с. 346, 347]). Твердження 1. Нехай   A h  — сім’я заданих на лінійному нормованому просторі Y опуклих неперервних дійснозначних функ- цій, де A — деякий компакт. Якщо відображення    , x A Y h x    неперервне на ,A Y то для функції    max , A h x h x x Y    , має місце рівність           * * sup sup sup sup , A A A f domh f domh h y h y f y f y y Y                   . (2) Доведення. Перш за все зазначимо, що функція   ,h x x Y , є опуклою та неперервною на Y функцією (див., наприклад, [3, с. 330]). Тоді (див., наприклад, [3, с. 346, 347])         * 0 0 0 sup sup , t y domh h x ty h x h y f y t       де 0x — довільна фіксована точка простору Y . Оскільки * , ,dom h dom h A   то . A dom h dom h   Звідси випливає, що           * sup sup , . f domh f domh h y f y f y h y y Y          Тому      sup , . A h y h y y Y      Переконаємось, що      sup , . A h y h y y Y      (3) Припустимо, що для деякого y Y      sup . A h y h y     Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 63 Тоді існує таке число a , що      sup . A h y a h y      Звідси випливає, що    h y a   для всіх .A  Тому    0 0 0 sup , , t h x ty h x a A t         і, отже,    0 0 , , 0. h x ty h x a A t t         (4) З другого боку           0 0 0 0 0 0 sup max max sup . t A A t h x ty h x a h y t h x ty h x t                  Звідси випливає, що існує 0t  і t A  такі, що        0 0 0 0max max max tA A A h x ty h x h x ty h x a t t                    0 0 ,t t h x ty h x t     що суперечить (4). Отже, для всіх y Y справедлива рівність (3). Оскільки         * * sup sup sup sup , , A A A f domh f domh h y f y f y y Y                 то з (3) випливає рівність (2). Твердження доведено. Твердження 2. Нехай s S . Відображення    , ,y g X C S X     p y g s  є неперервним на  , .X C S X Доведення. Нехай    0 0, , , 0.y g X C S X    Оскільки функ- ція p є неперервною на X , то вона неперервна в точці  0 0y g s . Тоді існує окіл  0y точки 0y та окіл   0g s точки  0g s прос- тору X такі, що          0 0 0 0, , .p y z p y g s y y z g s      (5) Математичне та комп’ютерне моделювання 64 Оскільки відображення    ,g C S X g s  є неперервним на  ,C S X то для околу   0g s існує окіл  0g точки 0g просто- ру  ,C S X такий, що     0g s g s для всіх  0g g . З ураху- ванням (5) звідси одержимо, що          0 0 0 0, , .p y g s p y g s y y g g      Це й означає, що відображення       , , ,y g X C S X p y g s    є неперервним на  , .X C S X Твердження доведено. Твердження 3. Нехай   ,a C S K X , s S ,  y a s . Відо- браження     , ,g C S X p y g s   є опуклим та неперервним на  , .C S X Доведення. Для    1 2, , , 0,1g g C S X   з урахуванням опук- лості функції p на X одержимо, що             1 2 1 21 1p y g g s p y g y g s                    1 21 .p y g s p y g s      Це й означає, що відображення     ,g C S X p y g s   є опуклим на  , .C S X Неперервність цього відображення на  ,C S X випливає з твердження 2. Твердження доведено. Твердження 4. Нехай   ,a C S K X . Тоді: а) для кожного s S ,  ,g C S X існує     max ; y a s p y g s   б) відображення         , , max y a s s g S C S X p y g s      є неперервним на  , .S C S X Доведення. Переконаємось у справедливості твердження а). Згі- дно з твердженням 2 для s S і  ,g C S X відображення   y X p y g s   є неперервним на X . Оскільки  a s — ком- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 65 пакт простору X , то відповідно до узагальненої теореми Вейєрштра- сса (див., наприклад, [5, с. 28]) існує     max . y a s p y g s   Доведемо твердження б). Нехай    0 0, , ,s g S C S X A R   і      0 0 0max . y a s p y g s A    Звідси випливає, що     0 0 0, .p y g s A y a s   (6) Внаслідок неперервності функції p на X , співвідношення (6) для  0y a s існує окіл  y точки y та окіл   0 0y g s точки  0 0g s простору X такі, що       0 0, , .yp z t A z y t g s    (7) Легко переконатись, що відображення      , ,s g S C S X g s   є неперервним на  ,S C S X . Тому існує окіл  0y s точки 0s компакта S та окіл  0y g точки 0g простору  ,C S X такі, що     0 0yg s g s для всіх  0 ,ys s  0yg g . З урахуванням цього та співвідношення (7) робимо висновок, що для  0y a s         0 0, , , .< y yp z g s A z y s s g g    (8) Оскільки       0 0 y a s y a s    і  0a s є компактом простору X , то з відкритого покриття    0, ,y y a s  компактна  0a s можна виді- лити скінченне підпокриття    0, , 1, ,i iy y a s i m   тобто    0 1 . m i i a s y    (9) Нехай        1 0 0 0 0 1 1 , , i i m m y y i i s s g g               1 0 0 1 , , . m i i z y s s g g      Тоді існує індекс  1,...,zi m такий, що   ,zi z y Математичне та комп’ютерне моделювання 66 Зрозуміло, що    0 0, . z iz i ys s g g  З урахуванням (8) звід- си робимо висновок, що         1 0 0 1 , , , . m i i p z g s A z y s s g g        (10) Оскільки   ,a C S K X і має місце співвідношення (9), то іс- нує окіл  2 0s точки 0s компакта S такий, що      2 0 1 , . m i i a s y s s     (11) Покладемо      1 2 0 0 0s s s    . Тоді з (10), (11) одержимо, що         0 0, , , .p y g s A s s y a s g g     (12) Це й означає, що відображення         , , max y a s s g S C S X p y g s      є напівнеперервним зверху у точці  0 0,s g . Переконаємося, що воно напівнеперервне знизу у цій точці. Не- хай B R і           0 0 0 0 0 0 0 0max , .> y a s p y g s p y g s B y a s      (13) Внаслідок неперервності функції p на X та співвідношення (13) існує окіл  0 точки 0 та окіл   0 0g s точки  0 0g s просто- ру X такі, що       0 0 0, 0 , .p y z t B z t g s     (14) Оскільки   ,a C S K X , а відображення      , ,s g S C S X g s   є неперервним на  ,S C S X , то існує окіл  0s точки 0s компакта S та окіл  0g точки 0g простору  ,C S X такі, що      0 0 ,a s a s      0 0 ,g s g s (15) для всіх  0s s ,  0g g . Оскільки  0 0y a s , то внаслідок (15) для кожного  0s s існують  sy a s та  0sz  такі, що 0 s sy y z  . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 67 Звідси та з (14), (15) одержимо, що    ,sp y g s B   0 ,s s  sy a s ,  0g g . Тому і     max , y a s p y g s B     0 ,s s  0g g . Цей означає, що відображення         , , max y a s s g S C S X p y g s      є напівнеперервним знизу у точці  0 0,s g . Вище було встановлено, що воно напівнеперервне зверху в цій точці. Тому відображення         , , max y a s s g S C S X p y g s      є не- перервним в точці  0 0,s g . Оскільки точку  0 0,s g вибрано довіль- но із  ,S C S X , то воно неперервне на  ,S C S X . Твердження доведено. Основні результати. Теорема 1. Нехай   ,a C S K X . Тоді:  для кожного s S функція       , max y a s g C S X p y g s     є опуклою і неперервною на  ,C S X ;  для кожного  ,g C S X існує     max max s S y a s p y g s    ;  функція       max maxa s S y a s g p y g s      ,  ,g C S X , є опуклою та неперервною на  ,C S X . Доведення. Нехай   ,a C S K X , s S ,  ,g C S X . Згідно з твердженням 4 існує     max y a s p y g s   . Для s S ,  y a s функція     ,g C S X p y g s   є опук- лою та неперервною на  ,C S X (див. твердження 3). Тоді функ- ція       , max y a s g C S X p y g s     також є опуклою на  ,C S X , як максимум опуклих функцій (див., наприклад, [6, с. 180]). Згідно з твердженням 4 відображення         , , max y a s s g S C S X p y g s      Математичне та комп’ютерне моделювання 68 є неперервним на  , .S C S X Звідси випливає, що для кожного s S функція       , max y a s g C S X p y g s     є неперервною на  ,C S X , для кожного  ,g C S X функція     max y a s s S p y g s     є неперервною по s на S . Оскільки S — компакт, то відповідно до узагальненої теореми Вейєрштасса (див., наприклад, [5, с. 28]) для кожного  ,g C S X існує     max max s S y a s p y g s    . З урахуванням вищезазначеного та теореми 6.4.9 [3, с. 330] фун- кція       max maxa s S y a s g p y g s      ,  ,g C S X , є неперервною та опуклою на  ,C S X як максимум неперервних та опуклих функцій       , max y a s g C S X p y g s     , де s S , таких, що відображення         , , max y a s s g S C S X p y g s      є неперервним на  , .S C S X Теорему доведено. З урахуванням теореми 1 для   ,a C S K X задачу відшукан- ня величини (1) можна записати у такому вигляді       * inf max max .V g V s S y a s a p y g s      (16) Елемент g V будемо називати екстремальним для величи- ни (16), якщо        max max .V s S y a s a p y g s     Надалі, як і вище, для   ,a C S K X через a будемо позна- чати функцію на  ,C S X , яка задається рівністю       max maxa s S y a s g p y g s      ,  ,g C S X . Твердження 5. Для будь-якого  ,h C S X справедлива рівність       supa s S h p h s     . (17) Доведення. Маємо, що    max ,s a a s S g g      ,g C S X , де для s S       maxs a y a s g p y g s     ,  ,g C S X . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 69 Оскільки  s a s S  — сім’я заданих на лінійному нормованому просторі  ,C S X опуклих неперервних дійснозначних функцій (див. теорему 1), для якої відображення      , , s as g S C S X g   не- перервне на  ,S C S X (див. твердження 4), то згідно з твердженням 1        sup s a a s S h h      ,  ,h C S X . (18) Маємо, що для s S      ,maxs s y a a y a s g g     ,  ,g C S X , де для кожного  y a s     , ,s y a g p y g s    ,g C S X . Оскільки    ,s y a y a s  — сім’я заданих на  ,C S X опуклих не- перервних дійснозначних функцій (див. твердження 3), для якої відо- браження      ,, , ,s y ay g X C S X g   є неперервним на  ,X C S X (див. твердження 2),  a s — компакт, то згідно з твер- дженням 1 та твердженням 6.8.3 [3, с. 346] для s S          ,sups s y a a y a s h h                        , , 0 0 0 0 0 0 sup sup sup sup s y s y a a y a s t y a s t g th g t p y g s th s p y g s t                (19)        sup , y a s p h s p h s       де 0g — довільний фіксований елемент простору  ,C S X . З (18), (19) випливає рівність (17). Твердження доведено. Твердження 6. Нехай V — опукла замкнена локально компа- ктна множина, в тому числі і скінченновимірний простір,   1m m g   — необмежена послідовність множини V , для якої числова послідов- ність    1a m m g    обмежена зверху. Тоді існує ненульовий елемент h множини V такий, що   sup 0. s S p h s    Математичне та комп’ютерне моделювання 70 Доведення. Оскільки функція  a g ,  ,g C S X , є опуклою і неперервною на  ,C S X ( див. теорему 1), то згідно з лемою 2 [1] існує ненульовий елемент h множини V такий, що     0.a h    Відповідно до твердження 5       supa s S h p h s     . Тому   sup 0. s S p h s    Твердження доведено. Твердження 7. Нехай V — опукла замкнена локально компа- кна множина, в тому числі і скінченновимірний підпростір,    , lim max . g V s S g p g s       (20) Якщо mg V , 1, 2,...,m  і числова послідовність    1a m m g    обмежена зверху, то послідовність   1m m g   є обмеженою послідовністю. Доведення. Припустимо, що послідовність   1m m g   необмеже- на. Тоді внаслідок твердження 6 існує ненульовий елемент h V такий, що   sup 0. s S p h s    Тому (див., наприклад, [3, с. 347])           0 1 0 1 0 0 sup sup 0. t s S g th g h p h s t            Звідси випливає, що    0 1 0 1 , 0.g th g t     (21) Оскільки h V і 1g V , то 1g th V  при 0,t  причому 1 1g th t h g     при t   . Тоді згідно з (20)        0 1 1lim lim max t t s S g th p g s th s           , що суперечить (21). Одержана суперечність доводить, що послідовність   1m m g   є обмеженою. Твердження доведено. Надалі будемо позначати через Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 71    : supmax s Sg V M f domp f g s            . Твердження 8. Якщо M   , то  * V a   для всіх   ,a C S K X . Доведення. Нехай 0f M і   ,a C S K X . Тоді для всіх s S ,   ,y a s g V  з урахуванням теореми Фенхеля-Моро (див., наприклад, [6, с. 186]) одержимо, що            * max f dom p p y g s f y f g s p f              0 0 0 .f y f g s p f   Тому              * 0 0 0max max max max max . s S y a s s S y a s s S p y g s f y f g s p f          Звідки для всіх   ,a C S K X       * inf max maxV g V s S y a s a p y g s               * 0 0 0max max supmax s S y a s s Sg V f y f g s p f         , оскільки   0sup max s Sg V f g s    . Твердження доведено. Наслідок 1. Якщо 0 dom p , то   V a   для всіх   ,a C S K X . Теорема 2. Нехай V — опукла замкнена локально компактна множина, в тому числі і скінченновимірний підпростір, M   ,    , lim max , g V s S g p g s       то для будь-якого   ,a C S K X V є множиною існування екстремального елемента для величини (16). Доведення. Нехай   1m m g   є мінімізуючою послідовністю для величини (16), тобто    lim , , 1,2,... .a m V m m g a g V m      (22) Математичне та комп’ютерне моделювання 72 ОскількиM   , то   V a R  . Зі співвідношення (22) тоді ви- пливає, що послідовність    1a m m g    є обмеженою. Згідно з твер- дженням 7 обмеженою буде також послідовність   1m m g   . Оскільки V є локально компактною множиною, то існує збіжна пі- дпослідовність   1jm j g   послідовності   1m m g   . Нехай lim . jm j g g   Внаслідок замкненості V .g V Оскільки    lim ja m V j g a    і функція   ,a g  ,g C S X , є неперервною на  ,C S X (див., тео- рему 1), то          * max max .a V s S y a s g p y g s a       Це й означає, що g є екстремальним елементом для величини (16). Теорему доведено. Теорема 3. Нехай V — опукла замкнена локально компакна множина, в тому числі і скінченновимірний підпростір, M   ,   sup 0 s S p h s    для всіх , 0,h V h  то для будь-якого   ,a C S K X V є множиною існування екстремального елемента для величини (16). Доведення. Переконаємось, що за умов теореми    , lim max . g V s S g p g s       (23) Припустимо супротивне. Тоді існує c R та послідовність   1m m g   , , 1, 2,..., limm m m g V m g      , такі, що   max m s S p g s c    . Згідно з твердженням 6 існує ненульовий елемент h V , для якого   sup 0 s S p h s    , що суперечить умові теореми. Отже, рів- ність (23) має місце. Згідно з теоремою 2 V є множиною існування. Теорему доведено. Наслідок 2. Якщо V — опукла замкнена локально компактна множина, що містить 0, в тому числі і скінченновимірний підпростір, M   ,   sup 0 s S p g s    для всіх , 0,g V g  то для будь-якого Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 73   ,a C S K X V є множиною існування екстремального елемента для величини (16). Доведення. Нехай h V , 0h  . Тоді 0 th th V   для всіх 0t  в тому числі і для 1t  . Отже , 0.h V h  Згідно з умовою теореми   sup 0. s S p h s    Тоді згідно з теоремою 3 V є множиною існування екстремального елемента для величини (16). Наслідок доведено. Теорема 4. Нехай V — скінченновимірний підпростір простору  ,C S X ,    1 : 0,V g V p g s s S    — підпростір, M   . Тоді для будь-якого   ,a C S K X V є множиною існування екст- ремального елемента для величини (16). Доведення. Нехай 2V — підпростір V , що доповнює 1V до V . Тоді кожна точка g V подається у вигляді 1 2g g g  , де 1 1g V , 2 2g V . Тому, враховуючи теорему Фенхеля-Моро (див., наприклад, [6, с. 186]), властивості точної верхньої межі і зазначене вище для s S ,  y a s та 1 2 ,g g g V   1 1g V , 2 2g V , можна записа- ти наступні співвідношення        1 2p y g s p y g s g s             * * 2 1max f dom p f y g s p f f g s                * * * 2 1max sup f dom p f dom p f y g s p f f g s                2 1 2 .p y g s p g s p y g s     Звідси випливає, що             2 2 * 2 inf max max inf max max . V g V s S y a s g V s S y a s a p y g s p y g s             (23) З іншого боку, оскільки 2V V , то             2 2 * 2 inf max max inf max max . V g V s S y a s g V s S y a s a p y g s p y g s             (24) Математичне та комп’ютерне моделювання 74 З (23), (24) маємо, що             2 2 * 2 inf max max inf max max . V g V s S y a s g V s S y a s a p y g s p y g s             (25) Звідси випливає, що для завершення доведення теореми достат- ньо переконатися, що існує екстремальний елемент для величини      2 2 2inf max max . g V s S y a s p y g s     (26) Нехай 2 2g V і 2 0g  . Оскільки підпростір 2V доповнює підп- ростір 1V до V , то 2 1g V  . Звідси випливає, що існує точка 2gs S така, для якої   22 0gp g s   . Тому і   2sup 0 s S p g s    . Згідно з теоремою 3 2V є множиною існування екстремального елемента для величини (26). Оскільки має місце рівність (25), то кож- ний екстремальний елемент для величини (26) буде також екстрема- льним елементом для величини (16). Теорему доведено. Теорема 5. Якщо V — слабко компактна множина простору  ,C S X , M   ,то для будь-якого   ,a C S K X екстремальний елемент для величини (16) існує. Доведення. Нехай V — слабко компактна множина простору  ,C S X ,   ,a C S K X і   1 , , 1, 2,...,m mm g g V m     — мінімізую- ча послідовність для величини (16), тобто         lim lim max maxa m m V m m s S y a s g p y g s a         . (27) Оскільки M   , то   V a R  (див. твердження 8). Внаслідок того, що V є слабко компактною множиною просто- ру  ,C S X і , 1, 2,...,mg V m  то існує підпослідовність   1jm j g   послідовності   1 ,m m g   яка слабко збігається до g V . Переконає- мося, що          * max maxa V s S y a s g p y g s a       . (28) Припустимо, що     * a Vg a  . Тоді існує 0  таке, що Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 75    * * a Vg a    . (29) Розглянемо множину       : , , a aD g g C S X g V      . Згідно з (29) g M . З неперервності та опуклості функції    , ,a g g C S X  , і властивостей точної нижньої межі випливає, що множина D є непорожньою замкненою опуклою множиною. За теоремою про відокремлення замкненої опуклої множини і точки (див., наприклад, [7, с. 31]) існують ненульовий функціонал   ,C S X та число c такі, що    g c g    , g D . (30) Маємо    lim ja m a j g V    (див. (27)). Звідси випливає, що існує номер 0j N такий, що jmg D для всіх 0j j . Згідно з (30) тоді     jmg c g    , 0j j . (31) Оскільки . * j сл m j g g   , то    lim jm j g g     . Тому з (31) матимемо, що     g c g    . Одержана суперечність доводить, що має місце рівність (28). Це означає, що g є екстремальним елементом для величини (16). Теорему доведено. Висновок. Для задачі найкращої у розумінні опуклої непере- рвної функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозна- чного відображення множинами неперервних однозначних відобра- жень доведено деякі теореми існування екстремального елемента, низку допоміжних тверджень, які становлять і самостійний інтерес. Список використаних джерел: 1. Гнатюк В. А. Общие свойства наилучшего приближения по выпуклой непрерывной функции / В. А. Гнатюк, В. С. Щирба // Укр. мат. журн. — 1982. — 4, №5. — С. 608—613. 2. Демьянов В. Ф. Приближенные методы решения экстремальных задач / В. Ф. Демьянов, А. М. Рубинов. — Л. : Изд-во Ленинградского универси- тета, 1968. — 178 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 76 3. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация/ П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с. 4. Бейко И. В. Обобщенная L — проблема моментов и метод ее решения / И. В. Бейко, В. А. Гнатюк, В. В. Мойко // Укр. мат. журн. — 1978. — 30, № 2. — С. 147—154. 5. Канторович Л. В. Функциональный анализ/ Л. В. Канторович, Г. П. Аки- лов. — М. : Наука, 1977. — 742 с. 6. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихоми- ров. — М. : Наука, 1974. — 480 с. 7. Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программиро- вании и ее приложения / Е. Г. Гольштейн. — М. : Наука, 1971. — 352 с. We prove some existence theorems of extreme elements for the prob- lem of the best in the sense of convex continuous functions uniform ap- proximation of continuous compact-valued mapping by the set of continu- ous single-valued mappings. Key words: the best in the sense of convex continuous functions uniform approximation, theorem existence, extreme element, compact-valued mapping. Отримано: 05.04.2011 УДК 517.5 У. В. Гудима, канд. фіз.-мат. наук Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський КРИТЕРІЇ ЕКСТРЕМАЛЬНОСТІ ЕЛЕМЕНТА ДЛЯ ЗАДАЧІ НАЙКРАЩОЇ У РОЗУМІННІ ОПУКЛОЇ ЛІПШІЦЕВОЇ ФУНКЦІЇ РІВНОМІРНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ НЕПЕРЕРВНОГО КОМПАКТНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ СКІНЧЕННОВИМІРНИМ ПІДПРОСТОРОМ У статті встановлено критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного ві- дображення скінченновимірним підпростором неперервних однозначних відображень. Ключові слова: компактнозначне відображення, найкра- ща у розумінні опуклої ліпшіцевої функції рівномірна апрокси- мація, скінченновимірний підпростір. Вступ. Проблеми відновлення функціональних залежностей, які не означені точно, приводять до задачі найкращої у деякому розумін- ні апроксимації багатозначного відображення множинами однознач- них відображень. © У. В. Гудима, 2011 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e007400720075002000760069007a00750061006c0069007a00610072006500610020015f006900200074006900700103007200690072006500610020006c0061002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f0061007201030020006100200064006f00630075006d0065006e00740065006c006f007200200064006500200061006600610063006500720069002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Institution

Ähnliche Einträge