Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів

Робиться короткий огляд результатів, які стосуються фундаментальних розв’язків задачі Коші для деяких ультрапараболічних рівнянь. Ці рівняння узагальнюють класичне рівняння дифузії з інерцією А. М. Колмогорова. Їх можна трактувати як рівняння Фоккера-Планка-Колмогорова відповідних вироджених дифузій...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Івасишен, С.Д., Івасюк, Г.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48799
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів / С.Д. Івасишен, Г.П. Івасюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 116-126. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48799
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-487992013-09-04T03:02:54Z Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П. Робиться короткий огляд результатів, які стосуються фундаментальних розв’язків задачі Коші для деяких ультрапараболічних рівнянь. Ці рівняння узагальнюють класичне рівняння дифузії з інерцією А. М. Колмогорова. Їх можна трактувати як рівняння Фоккера-Планка-Колмогорова відповідних вироджених дифузійних процесів. A short survey of the results over fundamental solutions of the Cauchy problem for some ultraparabolic equations. These equations generalize the classical Kolmogorov equation of diffusion with inertia. They may be interpreted as the Fokker-Planck-Kolmogorov equations for the appropriated degenerated diffusion processes. 2011 Article Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів / С.Д. Івасишен, Г.П. Івасюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 116-126. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48799 517.956.4+519.217.4 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Робиться короткий огляд результатів, які стосуються фундаментальних розв’язків задачі Коші для деяких ультрапараболічних рівнянь. Ці рівняння узагальнюють класичне рівняння дифузії з інерцією А. М. Колмогорова. Їх можна трактувати як рівняння Фоккера-Планка-Колмогорова відповідних вироджених дифузійних процесів.
format	Article
author	Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П.
spellingShingle	Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П. Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Івасишен, С.Д. Івасюк, Г.П.
author_sort	Івасишен, С.Д.
title	Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів
title_short	Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів
title_full	Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів
title_fullStr	Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів
title_full_unstemmed	Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів
title_sort	про фундаментальні розв’язки задачі коші для рівнянь фоккера-планка-колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48799
citation_txt	Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів / С.Д. Івасишен, Г.П. Івасюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 116-126. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT ívasišensd profundamentalʹnírozvâzkizadačíkošídlârívnânʹfokkeraplankakolmogorovadeâkihvirodženihdifuzíjnihprocesív AT ívasûkgp profundamentalʹnírozvâzkizadačíkošídlârívnânʹfokkeraplankakolmogorovadeâkihvirodženihdifuzíjnihprocesív
first_indexed	2025-07-04T09:32:11Z
last_indexed	2025-07-04T09:32:11Z
_version_	1836708304371318784
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 116 УДК 517.956.4+519.217.4 С. Д. Івасишен, д-р фіз.-мат. наук, професор, Г. П. Івасюк, канд. фіз.-мат. наук Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, м. Київ, *Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ПРО ФУНДАМЕНТАЛЬНІ РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ РІВНЯНЬ ФОККЕРА-ПЛАНКА-КОЛМОГОРОВА ДЕЯКИХ ВИРОДЖЕНИХ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ Робиться короткий огляд результатів, які стосуються фун- даментальних розв’язків задачі Коші для деяких ультрапара- болічних рівнянь. Ці рівняння узагальнюють класичне рівнян- ня дифузії з інерцією А. М. Колмогорова. Їх можна трактувати як рівняння Фоккера—Планка—Колмогорова відповідних ви- роджених дифузійних процесів. Ключові слова: дифузійний процес, рівняння Фоккера- Планка-Колмогорова, вироджене параболічне рівняння, фун- даментальний розв’язок задачі Коші. У статті наводиться короткий огляд результатів, що стосуються побудови та дослідження властивостей фундаментального розв’язку задачі Коші (ФРЗК) для деяких класів вироджених параболічних рів- нянь, які можна трактувати як рівняння Фоккера—Планка— Колмогорова відповідних вироджених дифузійних процесів. При цьому висвітлюється зв’язок дифузійних процесів з параболічними рівняннями з частинними похідними другого порядку. Огляд ґрунту- ється в основному на працях [1—4]. 1. У теорії марковських випадкових процесів дифузійні процеси (ДП) займають одне з центральних місць. Це спричинено тим, що, по- перше, ДП є досить точними моделями важливих фізичних процесів, зокрема моделлю руху дифундуючої частинки в рідині — явища, від- критого в 1828 р. англійським ботаніком Р. Броуном, а, по-друге, са- ме ДП є зв’язуючою ланкою між теорією випадкових процесів і тео- рією диференціальних рівнянь із частинними похідними (ДРЧП). При цьому чітко простежується взаємність впливів цих теорій: при ви- вченні властивостей ДП використовуються аналітичні результати з теорії ДРЧП і, навпаки, при вивченні задачі Коші та крайових задач для ДРЧП застосовуються імовірнісні методи. Однією із важливих задач теорії ДП є розробка методів побудови ДП за відомими характеристиками дифузії: матриці дифузії A , вектора © С. Д. Івасишен, Г. П. Івасюк, 2011 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 117 переносу a і коефіцієнта обриву 0a . З точки зору явища дифузії вектор переносу a — це макроскопічна швидкість руху рідини, а матриця ди- фузії A характеризує випадкові переміщення частинки, які є результа- том зіткнень з молекулами рідини, що перебувають у тепловому русі. Природними питаннями, які тут виникають, є наступні питання. Які умо- ви слід накласти на матричнозначну функцію A і векторну функцію a , щоб можна було побудувати ДП, для якого локальні характеристики ру- ху (дифузійні коефіцієнти) збігалися б із заданими функціями A і a ? Що означає факт існування локальних характеристик руху для деякого ДП? Уперше на ці питання відповів А. М. Колмогоров у 1931 р. У праці [1] він виділив клас неперервних марковських процесів, які пізніше були названі дифузійними. Це процеси із значеннями в N , 1N  , і функці- єю ймовірностей переходу  , ; ,P t   , 0 t  , N  ,  — боре- льова множина в N , для яких виконуються такі умови: а) для будь-якого 0    0 {\| \| } ,lim , ; , 0 t x P t t t dx          б) існують такі функції a і A , що для деякого 0               0 {\| \| } 2 0 {\| \| } lim , ; , , , lim , , ; , , , , t x t x x P t t t dx a t x P t t t dx A t                                (1) де  — довільна точка з N ,  ,  — скалярний добуток в N . Функції A і a , які визначені формулами (1), і є локальними ха- рактеристиками руху. Очевидно, що матриця A є невід’ємно визна- ченою. У згаданій праці А. М. Колмогоров показав, що ДП тісно пов’язані з ДРЧП другого порядку параболічного типу. А саме, якщо функція P визначає імовірність переходу ДП з матрицею дифузії A і вектором переносу a , то за певних умов функція    , : ( ) , ; , , [0, ), N Nu x P t dx t           , (2) задовольняє рівняння     , 1 1 1 , , 0 2 j l j N N jl j j l j u a u a u                 (3) та умову  lim , ( ), ,N t u           (4) Математичне та комп’ютерне моделювання 118 де jla — елементи матриці A , ja — координати вектора a , а j — координати точки  . Крім рівняння (3), в праці [1] одержане так зване пряме рівнян- ня, яке є формально спряженим до рівняння (3). При цьому рівняння (3) називають оберненим. Зауважимо, що пряме рівняння для деяких окремих випадків дещо раніше одержане фізиками Фоккером і Планком, які вивчали явище дифузії. Тому його називають і рівнянням Фоккера—Планка або рівнянням Фоккера—Планка—Колмогорова. Результати А. М. Колмогорова вказували шлях, ідучи яким, мо- жна знайти розв’язок задачі про побудову ДП за заданими дифузій- ними характеристиками. Цей шлях передбачає наявність низки важ- ливих аналітичних результатів, пов’язаних із вивченням задачі Коші (3), (4). Насамперед це: 1) існування ФРЗК; 2) властивості ФЗРК (оцінки ФРЗК та його похідних, додатність, нормальність, формула згортки); 3) властивості інтеграла Пуассона та об’ємного потенціала, поро- джених ФРЗК; 4) умови інтегрального зображення розв’язків; 5) коректна розв’язність задачі Коші у відповідних функціональних просторах. Природним є прагнення одержувати такі результати за мініма- льних припущень на коефіцієнти рівняння. Розвитком і застосуванням аналітичних методів побудови ДП за їх локальними характеристиками за різних припущень займалось чи- мало авторів, серед них такі, як Н. Вінер, А. М. Колмогоров, В. Фел- лер, М. В. Крилов, Х. Танака, І. І. Гіхман, А. В. Скороход, М. І. Пор- тенко. Їх зусиллями отримані не тільки різні твердження про існування ДП за досить загальних припущень на дифузійні коефіцієнти, але й різні узагальнення самого поняття ДП (див., наприклад, [5]). Зауважимо, що рівняння (3) є параболічним. Якщо воно є неви- родженим, то невиродженим слід вважати відповідний ДП, а якщо воно вироджується, то й ДП є виродженим. 2. Розглянемо випадок вироджених ДП, які пов’язані з так зва- ними виродженими параболічними рівняннями типу Колмогорова, які є природними узагальненнями класичного рівняння дифузії з іне- рцією А. М. Колмогорова, що вперше виникло при вивченні моделей броунівського руху. У класичній теорії броунівського руху, яку розвинули А. Ейнш- тейн і М. Смолуховський [6] нехтується інерцією броунівської части- нки, тобто фактично вважається, що маса цієї частинки дорівнює ну- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 119 лю. У цій теорії броунівська частинка не має скінченної швидкості. За такого припущення моделлю броунівського руху вільної частинки є вінеровський випадковий процес, а для фізичної системи — непере- рвний марковський процес у просторі її координат. Недиференційовність броунівських траєкторій в теорії Ейнш- тейна—Смолуховського тісно пов’язана із введеною у цій теорії ідеа- лізацією (нехтування інерцією), що робить цю теорію непридатною на дуже малих проміжках часу. У застосуванні до найпростішого ви- падку броунівського руху вільної частинки теорія, що враховує вже й інерцію частинки, була в 1930 р. розвинута Г. Е.Уленбеком і Л. С. Орнштейном [7]. У цій уточненій теорії траєкторії частинок виявляються вже диференційовними, але вони не мають другої похі- дної, так що тепер нескінченним є прискорення частинки. У 1934 р. А. М. Колмогоров [2] узагальнює уточнену теорію броунівського руху на довільну фізичну систему з n степенями віль- ності. Врахування інерції досягається тим, що стан системи задається значеннями n координат 1,..., nq q . Моделлю броунівського руху сис- теми є неперервний марковський процес у 2n -вимірному фазовому просторі координат і швидкостей. У праці [2] припускається, що коли відомі значення  1: ,..., nq q q і  1: ,..., nq q q   у момент часу t , то може бути визначена густина ймовірності  , , ; , ,G t q q t q q    можливих значень q і q координат системи і їх похідних за часом у довільний момент часу t t  . Вва- жається, що G не залежить від поведінки системи перед моментом t (відсутня післядія, процес є марковським). Доводиться, що функція G є ФРЗК диференціального рівняння Фоккера—Планка       1 1 , 1 , , , , . j j j l n n n t j q q j q q jl j j j l g q g f t q q g k t q q g                             (5) У випадку 1n  це рівняння має вигляд      2, , , , .t q q qg q g f t q q g k t q q g                    (6) Якщо f і k сталі, то, як показав А. М. Колмогоров, ФРЗК для рів- няння (6) визначається формулою                    121 2 2 3 21 1 , , ; , , 2 3 exp 4 3 2 , , , , , . G t q q t q q k t t k t t q q f t t k t t q q t t q q t t q q q q                                           (7) Математичне та комп’ютерне моделювання 120 Це класична формула для ФРЗК для рівняння з інерцією А. М. Кол- могорова. Рівняння (5), (6) є прототипом сім’ї еволюційних рівнянь, які виникають у кінетичній теорії газу. У найбільш загальному вигляді такі рівняння записують у формі ( ).Su I u (8) Тут функція 2 ( , )n x u t x    є густиною частинок, які мають у момент часу t швидкості 1,..., nx x і координати 1 2,...,n nx x : 1 : n j n t j x j Su x u       є так званою повною похідною від u , а ( )I u описує різного роду зіткнення. Вираз ( )I u може мати як лінійну, так і нелінійну форму. Наприклад, у випадку звичайного рівняння Фоккера—Планка маємо      0 , 1 1 ( ) , , , . j l j n n jl x x j x j l j I u a t x u a t x u a t x u           У рівнянні Фоккера—Планка—Ландау нелінійний оператор зіткнень має вигляд     , 1 ( ) , , . j l n x jl x j j l I u a z u u a z u      При вивченні математичних моделей опціонів виникає рівняння вигляду     , 1 , 1 1 1 , , 0, 2 j l l j d N d jl x x jl l x j x t j l j l j a t x u b x u b t x u u               (9) де   , 1 , : N jl j l d N B b    — стала матриця, а  1: ,..., Nb b b — вектор такий, що 1 ... 0d Nb b    . Останнім часом дослідженню математи- чних моделей опціонів присвячено чимало праць (див. огляд [8] і на- ведену там бібліографію). У праці [9] розглядається фізична задача, математичний апарат якої близький до запропонованого в [2]. У ній розглядається рух частинки P маси m в полі сил F . Припускається, що середовище, в якому відбува- ється рух, заповнене однорідними частинками маси  , з якими частинка P може зіштовхуватися, змінюючи свою траєкторію за законом пруж- ного зіткнення. Вважається, що розподіл швидкостей частинок середо- вища заданий і не залежить від руху частинки P , а число зіткнень за час t являє собою процес Пуассона з параметром a . За таких припущень місцезнаходження ( )X t і швидкість ( )X t  частинки P в момент часу Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 121 t утворюють у сукупності марковський процес  ( ), ( )X t X t   . Дово- диться, що при ,a  / 2 consta A   і при незмінній температурі T цей процес збігається до процесу броунівського руху в фазовому про- сторі, густина ймовірності переходу якого є ФРЗК для рівняння       1 1 2 1 1 ( ) / / 9 1/ 3 . j j j j n n t j x j x j j n n x j x j j u x u F x u A m T m u x u                              (10) Відомо [10; 11], що невироджені ДП з досить регулярними хара- ктеристиками мають гладку перехідну густину. Виродження матриці дифузії, взагалі кажучи, призводить до відсутності густини в перехі- дної функції. Однак існують деякі класи вироджених процесів, у яких є гладка перехідна густина. До таких процесів відносяться процеси броунівського руху з інерцією, які розглянуті А. М. Колмогоровим, А. М. Ільїним і Р. З. Хасьмінським та ін. У праці І. М. Соніна [12] вивчається клас ДП, які є природним узагальненням процесу дифузії з інерцією. Перехідна густина цих процесів будується як ФРЗК для рівняння вигляду             , 1 1 1 1 1/ 2 , , , , , , , , , , , , , , , , j l j j j n n t jl y y j y j l j n n n j x j z j j u a t x y z a t x y z b t x y z c t x y z u x y z                          (11) де  , , ,jb t x y z улаштовані “приблизно” як jy , а  , , ,jc t x y z — як jx . Існування ФРЗК для рівняння (11) доведено в припущенні, що коефіцієнти рівняння є досить гладкими функціями. Рівняння (5), (6), (8)—(11) є виродженими параболічними рів- няннями з частинними похідними. Вони містять за частиною просто- рових змінних у сенсі теорії параболічних рівнянь тільки молодші похідні. Такі рівняння відносяться до класу ультрапараболічних рів- нянь. Їх ще називають рівняннями Фоккера—Планка—Колмогорова відповідних вироджених процесів. Розвиток теорії ультрапараболічних рівнянь типу Колмогорова здій- снювався в напрямку знаходження найслабших умов, за яких існує ФРЗК, одержання точніших оцінок ФРЗК, ускладнення структури рівняння. За різних припущень на коефіцієнти рівнянь дослідження ФРЗК та коректної розв’язності задачі Коші для вироджених параболічних рів- нянь типу Колмогорова займались М. Вебер, А. М. Ільїн, І. М. Сонін, Математичне та комп’ютерне моделювання 122 Я. Й. Шатиро, Л. П. Купцов, С. Д. Ейдельман, Г. П. Малицька, Л. М. Ти- чинська, С. Д. Івасишен, Л. М. Андросова, В. С. Дронь та ін. (див. [3]). У великому циклі праць італійських математиків (див. огляд [13]) вивчаються рівняння типу Колмогорова вигляду       0 0 , 1 1 , 1 : , , , 0, j l j l p p jl x x j x j l j N jl j x t j l Lu a t x u a t x u c t x u b x u u                   (12) де 01 p N  , матриця   0 0 , 1 : p jl j l A a   симетрична та додатно визначе- на, а матриця , 1: ( )N jl j lB b  зі сталими дійсними елементами має вигляд 1 2 0 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... r B B B                     Тут jB матриці розміру 1j jp p  , ранг яких дорівнює jp , де 0 1, ,..., rp p p — натуральні числа такі, що 0 1 ... 1rp p p    , 0 1 ... rp p p N    , а —блоки є довільними. Зауважимо, що за накладених на матрицю B умов для операто- ра L із (12) з фіксованими в кожній точці ( , )t x коефіцієнтами вико- нується умова гіпоеліптичності Л. Хермандера. У монографії [3] наведено результати побудови й дослідження властивостей ФРЗК для рівняння типу (11) за значно слабших, ніж у [12], умов на їх коефіцієнти. У наступному пункті коротко опишемо найновіші результати, що стосуються ФРЗК для рівнянь типу (11). 3. Об’єктом дослідження в цьому пункті є ФРЗК деяких виро- джених параболічних рівнянь, який природно визначає перехідну густину ймовірності відповідних ДП зі значеннями в n -вимірному фазовому просторі n точок x з трьома групами фазових координат    1: ,..., , 1,2,3s s n s s snx x x s   , де 1 2 3 3 2 1, 1n n n n n n n      . Розглянемо рівняння з дійснозначними коефіцієнтами           1 1 1 1 1 0 , 1 1 (0, ] , , , , 0, , , j l j n n jl x x j x j l j T S a t x a t x a t x u t x t x                     (13) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 123 і відповідне спряжене до нього рівняння                   1 1 1 1 1 , 1 1 0 [0, ) , , , , , , , 0, , , j l j n n jl j j l j T S v a v a v a v                                (14) де  : ( , ) \| , n H t x t H x    , якщо ;H T  — задане додатне число; S — диференціальний вираз, який визначений формулою 32 2 31 2 1 1 : j j nn t j x j x j j S x x          або похідна Лі відносно векторного поля, заданого цим виразом, а S — спряжений до S диференціальний вираз. Щоб сформулювати припущення щодо коефіцієнтів рівнян- ня (13), введемо такі позначення: 3 1/(2 1) 1/2 1 ( ; ) : , ( , ; , ) : ( ; )s s s s d x x d t x t d x             відстані між точками x і  , ( , )t x і ( , )  відповідно; ( , ) : ( , ) ( , )x f x f x f       , , , ( , , ) : ( , , ) ( , , );t x f t x f t x f          1 2 3( ) : ( ), ( ), ( )X t X t X t X t , 1 1( ) :X t x ,  1( ) : ( ),..., ( ) , {1, 2,3} ss s snX t X t X t s  , 2 2 1( ) :j j jX t x tx  , 1 2 3 3 2 1( ) : 2j j j jX t x tx t x   . Для коефіцієнтів рівняння (13) використовуватимемо такі умови: А1) існує така стала 0  , що для довільних [0, ]( , ) Tt x  і 1 1 n  справджується нерівність 1 2 1 1 1 , 1 ( , ) n jl j l j l a t x       ; А2) коефіцієнти jla , ja і 0a обмежені та неперервні за Гельде- ром з показником (0,1)  в [0, ]T ; А3) існують обмежені та неперервні за Гельдером з показником (0,1)  в [0, ]T похідні 1 1j lx x jla  і jx ja . Правильною є така теорема. Теорема. Якщо виконуються умови А1 і А2, то для рівняння (13) існує ФРЗК Z , для якого справджуються оцінки 1 1 1 \| \|/2 1( , ; , ) ( ) ( , ; , ), \| \| 2,k M k cx Z t x C t E t x k         Математичне та комп’ютерне моделювання 124 1( , ; , ) ( ) ( , ; , ),M cSZ t x C t E t x       1 1 1 (\| \| )/2 1 1 /2 ( , ; , ) ( ( ; )) ( ) ( ( , ; , ) ( , ; , ) ), \| \| 2, ( , ; , ) ( ( ; )) ( ) ( ( , ; , ) ( , ; , ) ), k M kx x x c c x M x c c Z t x C d x x t E t x E t x k SZ t x C d x x t E t x E t x                                        1 1 1 (\| \| )/2 1 1 /2 ( , ; , ) ( ) , 0 \| \| 2, ( , ; , ) ( ) , n n k k x Z t x d C t k SZ t x d C t                          в яких 0 t T   ,  , , nx x    , C і c — додатні сталі, 1: (M n  2 33 5 ) / 2n n  ,    23 1 2 1 exp, ; , : ( ) ( ) .s sscE t x c t X t          За додаткової умови 3A ФРЗК Z має такі властивості: 1) він є нормальним, тобто функція       , ; , : , ; , , 0 , , ,nZ t x Z t x t T x          є ФРЗК для спряженого рівняння (14); 2) правильна формула згортки      , ; , , ; , , ; , , n Z t x Z t x y Z y dy        0 , { , } ;nt T x       3) існує лише один нормальний ФРЗК для рівняння (13); 4) коефіцієнти рівняння (14) виражаються через функцію Z за та- кими формулами:       1 1 1 1 1 1lim2 ,, ( ) , ; , n jl j j l l t a t x t y x y x Z t x y dy                         1 1 1lim, , ,; , n j j j t a t x t xt y x Z y dy                 0 1 (0, ]lim( , ) , ; , 1 , ( , )( ) ; nt t Ta t x d Z t x y dy t xt                       5) функція Z додатна; Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 125 6) існує число  0,T таке, що для будь-яких 0 [0, ]t T  ,    0 0,, t tt x   і  00, t t   існують числа 0  і 0  , з яки- ми справджується така оцінка знизу:     0 2 ,, ; , exp \| \| , ( , ) .t tZ t x              4. Зробимо деякі прикінцеві зауваження. 1) Неперервність за Гельдером, яка фігурує в умовах 2A і 3A , потребує уточнення. Її зміст повністю розкрито в [3]. Як відзначено в праці [14], у теоремі з пункту 3 стверджується про існування фунда- ментального розв’язку, взагалі кажучи, не в класичному сенсі, а в сенсі так званого L -розв’язку. 2) У праці [15] знайдена явна формула для ФРЗК для рівняння (13), в якому коефіцієнти jla , ja і 0a є сталими. 3) Рівняння (13) містить три групи просторових змінних 1x , 2x і 3x . Якщо є тільки дві групи 1x і 2x , то у відповідному рівнянні відсу- тня сума з похідними за 3x (див. вираз для S ). Для такого рівняння є правильними результати, які одержуються з вищенаведених резуль- татів для рівняння (13), якщо взяти формально 3 0n  . 4) У статті [16] отримано явну формулу та досліджено властиво- сті ФРЗК для рівняння вигляду , 1 1 1 ( , ) 0, j l j j n n m t jl x x j x j y j l j j a x x u t X                      0, : ( , ) ,n mt X x y    де , , , ,n m jlx y m n a     – дійсні сталі, причому jl lja a ,    , 1, ,j l n  , і виконується умова параболічності 2 , 1 0 : \| \| . n n jl j l j l a            Список використаних джерел: 1. Kolmogoroff A. N. Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeits- rechnung / A. N. Kolmogoroff // Math. Ann. — 1931. — Т. 104, № 3. — S. 415— 458. 2. Kolmogoroff A. N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewe- gung) / A. N. Kolmogoroff // Ann. Math. — 1934. — Т. 35. — S. 116—117. 3. Eidelman S. D. Analytic methods in the theory of differential and pseudo- differential equations of parabolic type / S. D. Eidelman, S. D. Ivasyshen, A. N. Kochubei // Operator Theory: Adv. and Appl. — 2004. — Т. 152. — 390 p. Математичне та комп’ютерне моделювання 126 4. Ivasyshen S. D. The Fokker—Planck—Kolmogorov equations for some de- gene-rate diffusion processes / S. D. Ivasyshen, I. P. Medynsky // Theory of stochastic prosesses. — 2010. — 16(32), № 1. — P. 57—66. 5. Портенко Н. И. Обобщённые диффузионные процессы / Н. И. Портен- ко. — К. : Наук. думка, 1982. — 208 с. 6. Эйнштейн А. Броуновское движение : сб. ст. / А. Эйнштейн, М. Смолу- ховский. — М. ; Л. : ОНТИ, 1936. 7. Uhlenbeck G. E. On the theory of the Brownian motion / G. E. Uhlenbeck, L. S. Ornstein // Phys. Rev. — 1930. — Т. 36. — P. 823—841. 8. Pascucci A. Kolmogorov equations in physics and in finance / A. Pascucci // Progress in nonlinear differential equations and their applications. — Birk- hдuser, 2005. — Т. 63. — P. 313—324. 9. Ильин А. М. Об уравнениях броуновского движения / А. М. Ильин, Р. З. Хасьминский // Теория вероятн. и её примен. — 1964. — Т. 9, № 3. — С. 466-491. 10. Дуб Дж. Вероятностные процессы / Дж. Дуб. — М. : Изд-во иностр. лит., 1958. 11. Дынкин Е. Б. Марковские процессы / Е. Б. Дынкин. — М. : Физматгиз, 1963. 12. Сонин И. М. Об одном классе вырождающихся диффузионных процессов / И. М. Сонин // Теория вероятн. и её примен. — 1967. — Т. 12, № 3. — С. 540—547. 13. Pascucci A. Linear and nonlinear ultraparabolic equations of Kolmogorov type arising in diffusion theory and in finance / A. Pascucci, S. Polidoro, E. Lan- conelli // Nonlinear Problems in Mathematical Physics and Related Topics. — 2002. — Т. 2. — P. 243—265. 14. Івасишен С. Д. Задача Коші для деяких вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова / С. Д. Івасишен, В. В. Лаюк // Мат. методи та фіз.-мех. поля. — 2007. — Т. 50, № 3. — С. 56—65. 15. Івасишен С. Д. Про властивості розв’язків деяких ультрапараболічних рівнянь типу Колмогорова на необмежених часових інтервалах / С. Д. Івасишен, Г. П. Івасюк, Т. М. Фратавчан // Наук. вісник Чернівець- кого нац. ун-ту ім. Юрія Федьковича. Сер.: математика : зб. наук. пр. — Чернівці : Чернівецький нац. ун-т, 2011. — Т. 1, № 1—2. — С. 47—56. 16. Бабич О. О. Фундаментальний розв’язок задачі Коші для виродженого па- раболічного рівняння зі зростаючими коефіцієнтами групи молодших чле- нів / О. О. Бабич, С. Д. Івасишен, Г. С. Пасічник // Там само. — С. 13—24. A short survey of the results over fundamental solutions of the Cauchy problem for some ultraparabolic equations. These equations generalize the classical Kolmogorov equation of diffusion with inertia. They may be in- terpreted as the Fokker—Planck—Kolmogorov equations for the appropri- ated degenerated diffusion processes. Key words: diffusion process, Fokker—Planck—Kolmogorov equa- tion, degenerate parabolic equation, Cauchy problem, fundamental solu- tion. Отримано: 07.04.2011 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c00200064006500740061006c006a006500720065007400200073006b00e60072006d007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500640073006b007200690076006e0069006e006700200061006600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e007400720075002000760069007a00750061006c0069007a00610072006500610020015f006900200074006900700103007200690072006500610020006c0061002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f0061007201030020006100200064006f00630075006d0065006e00740065006c006f007200200064006500200061006600610063006500720069002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Про фундаментальні розв’язки задачі Коші для рівнянь Фоккера-Планка-Колмогорова деяких вироджених дифузійних процесів

Репозитарії

Схожі ресурси