Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления

Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления

Рассматривается ступенчатая задача оптимального управления, описываемая 2-D дискретными системами. При предположении открытости области управления получены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2011
Автори: Мансимов, К.Б., Насияти, М.М.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48803
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления / К.Б. Мансимов, М.М. Насияти // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 162-179. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48803
record_format dspace
spelling irk-123456789-488032013-09-04T03:03:11Z Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления Мансимов, К.Б. Насияти, М.М. Рассматривается ступенчатая задача оптимального управления, описываемая 2-D дискретными системами. При предположении открытости области управления получены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков. A stepwise optimal control problem described by 2-D discrete systems is considered. Under assumptions of openness of a control domain, necessary optimality conditions of first and second order are obtained. 2011 Article Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления / К.Б. Мансимов, М.М. Насияти // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 162-179. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48803 517.977.56 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Рассматривается ступенчатая задача оптимального управления, описываемая 2-D дискретными системами. При предположении открытости области управления получены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков.
format Article
author Мансимов, К.Б.
Насияти, М.М.
spellingShingle Мансимов, К.Б.
Насияти, М.М.
Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Мансимов, К.Б.
Насияти, М.М.
author_sort Мансимов, К.Б.
title Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления
title_short Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления
title_full Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления
title_fullStr Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления
title_full_unstemmed Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления
title_sort необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2011
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48803
citation_txt Необходимые условия оптимальности в одной многоэтапной дискретной задаче управления / К.Б. Мансимов, М.М. Насияти // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 162-179. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT mansimovkb neobhodimyeusloviâoptimalʹnostivodnojmnogoétapnojdiskretnojzadačeupravleniâ
AT nasiâtimm neobhodimyeusloviâoptimalʹnostivodnojmnogoétapnojdiskretnojzadačeupravleniâ
first_indexed 2025-07-04T09:32:33Z
last_indexed 2025-07-04T09:32:33Z
_version_ 1836708327121223680
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 162 УДК 517.977.56 К. Б. Мансимов*, д-р физ.-мат. наук, профессор, М. М. Насияти**, аспирант *Бакинский государственный университет, г. Баку, **Институт кибернетики НАН Азербайджана, г. Баку НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ОДНОЙ МНОГОЭТАПНОЙ ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ Рассматривается ступенчатая задача оптимального управ- ления, описываемая 2-D дискретными системами. При пред- положении открытости области управления получены необхо- димые условия оптимальности первого и второго порядков. Ключевые слова: дискретная двухпараметрическая сис- тема, ступенчатая задача управления, необходимое условие оптимальности, особые в классическом смысле управления, классическая экстремаль. Введение. Дискретные динамические модели управляемых сис- тем представляют собой важный как в теоретическом, так и в практи- ческом отношении, класс математических моделей, позволяющий охватить очень широкий круг реальных объектов. Подобные модели возникают при моделировании многих реальных процессов с дискретным временем, а также при дискретизации непре- рывных моделей для практических расчетов и построении различных итерационных вычислительных процедур (см., напр., 1—10). Среди задач оптимального управления особое место занимают многоэтапные или же ступенчатые задачи оптимального управления (см., напр., 11—18, где имеется дальнейшие ссылки). Предлагаемая работа посвящена выводу необходимых условий оптимальности в одной 2-D дискретной двухпараметрической сту- пенчатой задаче управления. Отметим, что различные необходимые и достаточные условия оптимальности для дискретных 2-D систем управления получены в работах 8; 19—24 и др. Постановка задачи. Допустим, что управляемый процесс опи- сывается следующей дискретной двухпараметрической системой уравнений              1, 1 , , , , 1, , , 1 , , , , , 1,3 i i i i i i i z t x f t x z t x z t x z t x u t x t x D i        (1) с краевыми условиями    1 0 1 0 0, , , 1, ... ,z t x x x x x X   , © К. Б. Мансимов, М. М. Насияти, 2011 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 163    1 0 1 0 0 1, , , 1, ... ,z t x t t t t t   ,         2 1 1 1 0 0 2 0 2 1 1 2 , , , , 1, ... , , , , , 1, ... , , z t x z t x x x x X z t x t t t t t       (2)    3 2 2 2 0 0, , , , 1, ... ,z t x z t x x x x X   ,    3 0 3 2 2 3, , , 1, ... ,z t x t t t t t   ,    1 0 1 0x t  ,    1 1 0 2 1, ,z t x t    2 2 0 3 2,z t x t . Здесь   1 1 0 0, : , 1, ... , 1; , 1, ... , 1i i i iD t x t t t t x x x X        , 1,3i  , где 0 , , , 1,3ix X t i  заданы,  , , , , ,i i i i if t x z a b u , 1,3i  за- данные n -мерные вектор-функции непрерывные по совокупности пере- менных вместе с частными производными по  , , ,i i i iz a b u , 1,3i  до второго порядка включительно,  1 x ,  i t , 1,3i  — заданные n - мерные дискретные вектор-функции, а  ,iu t x , 1,3i  r -мерные век- тор-функции управляющих воздействий со значениями из заданных не- пустых, ограниченных и открытых множеств r iU R , 1,3i  , т.е.  , r i iu t x U R  ,  , it x D , 1,3i  . (3) Тройку         1 2 3, , , , , ,u t x u t x u t x u t x   с вышеприведенны- ми свойствами будем называть допустимым управлением, а соответ- ствующее ему решение         1 2 3, , , , , ,z t x z t x z t x z t x   краевой задачи (1)—(2) допустимым состоянием процесса. При этом пару     , , ,u t x z t x назовем допустимым процессом. Задача заключается в минимизации функционала      3 1 ,i i i i S u z t X    , (4) определенного на решениях краевой задачи (1)—(2), порожденных всевозможными допустимыми управлениями. Здесь  i iz , 1,3i  — заданные дважды непрерывно диффе- ренцируемые скалярные функции. В дальнейшем задачу о минимуме функционала (4) при ограни- чениях (1)—(3) будем называть задачей (1)—(4). Допустимый же процесс     , , ,u t x z t x , являющееся решени- ем задачи (1)—(4) назовем оптимальным процессом. Математичне та комп’ютерне моделювання 164 Вспомогательные факты и вариации критерия качества. Пусть     , , ,u t x z t x фиксированный допустимый процесс. В даль- нейшем будут использованы следующего типа обозначения:    , , , , , , , , , , ,i i i i i i i i i i i iH t x z a b u f t x z a b u   ,           , , , , 1, , , 1 , ,, i i i i ii i i f t x z t x z t x z t x u t xf t x a a       ,             , , , , 1, , , 1 , , , ,, i i i i i ii i i H t x z t x z t x z t x u t x t xH t x z z       ,             22 2 2 , , , , 1, , , 1 , , , ,, i i i i i ii i i H t x z t x z t x z t x u t x t xH t x z z       , где  ,i i t x  , 1,3i  n -мерные вектор-функции сопряженных переменных, являющихся решениями задачи        , 1, , 1 1, 1 i i i i i i i H t x H t x H t x t x z a b               , 1,3i  , (5)       1 1 1 1 1 2 1 1 , 1, 1 1, 1 z t X t X t X z            ,        1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1, 1, 1, 1 1, 1 , H t x H t x t x t x a a                   1 1 1 1, 1 1, 1 H t X t X b         ,       2 2 2 2 2 3 2 2 , 1, 1 1, 1 z t X t X t X z            ,        2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 1, 1, 1, 1 1, 1 , H t x H t x t x t x a a                   2 2 2 , 1 1, 1 H t X t X b        ,     3 3 3 3 3 3 , 1, 1 z t X t X z         ,   3 3 3 3 3 1, 1, 1 H t x t x a         ,    3 3 3 , 1 1, 1 H t X t X b        . (6) Используя схему, например, из 20; 25; 26 можно показать, что первая и вторая вариации (в классическом смысле) функционала (4) имеют соответственно вид Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 165       1 0 13 1 1 1 , ; , , i i t X i i i t t x x i H t x S u u u t x u                      (7)                                  1 0 23 2 2 1 2 213 1 2 1 2 2 2 , ; , , , , , , 1, , , , , 1, 1, 1, i i i i i i i i i i i t X i i i i i i i t t x x i ii i i i i i i i i i z t X S u u z t X z t X z H t x H t x z t x z t x z t x z t x a zz H t x H t x z t x z t x z t x z t x z a a                                                                              2 2 2 2 2 , , , , 1 , 1 , , , , 1 , 1 1, , 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i ii H t x H t x z t x z t x z t x z t x z b b z H t x H t x z t x z t x z t x z t x a bb                                 (8)                               2 2 2 2 2 2 , , , 1 1, 2 , , , , 2 , 1, 2 , , 1 , , , , i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i H t x H t x z t x z t x u t x z t x b a u z H t x H t x u t x z t x u t x z t x u a u b H t x u t x u t x u                                        где    , , , , 1,3r i iu t x R t x D i    произвольная ограниченная век- тор функция, называемая допустимой вариацией управления  , ,iu t x 1,3i  , а  ,iz t x вариация траектории  ,iz t x , являющиеся реше- нием уравнения в вариациях                   , , 1, 1 , 1, , , , 1 , , 1,3, i i i i i i i i i i i i i f t x f t x z t x z t x z t x z a f t x f t x z t x u t x i b u                        (9) с краевыми условиями     1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 0, , 1,..., , , 0, , 1, ..., , z t x x x x X z t x t t t t         Математичне та комп’ютерне моделювання 166       2 1 1 1 0 0 2 0 1 1 2 , , , , 1,..., , , 0 , , 1..., , z t x z t x x x x X z t x t t t t          (10)       3 2 2 2 0 0 3 0 2 2 3 , , , , 1,..., , , 0 , , 1,..., . z t x z t x x x x X z t x t t t t          Система разностных уравнений (9) является линейной и неодно- родной. Поэтому (см., 20; 23; 24) решение задачи (9)—(10) можно представить в виде         0 0 1 1 1 1 1 1 1 , , , ; , , t x t s x f s z t x R t x s u s u              , (11)               1 0 0 1 0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 , , , ; , , , , ; , , , t x t s x t x t s x f s z t x Q t x s u s u f s R t x s u s u                               (12)                     1 0 0 2 1 0 2 0 1 1 1 3 2 1 1 1 1 2 3 2 2 1 1 3 3 3 3 , , , ; , , , , ; , , , , ; , , , t x t s x t x t s x t x t s x f s z t x Q t x s u s u f s Q t x s u s u f s R t x s u s u                                               (13) где по определению               1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 , ; , , ; 1, 1 , ; , 1, , ; 1, 1 , ; 1, , ; , , x s Q t x s R t x t x R t x s f t R t x t R t x t R t s a                                         2 3 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 1 2 1 3 , ; , , ; 1, 1 , ; , 1, , ; 1, 1 , ; 1, , ; , . x s Q t x s R t x t x Q t x s f t R t x t R t x t Q t s a                                           3 3 2 2 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 3 , ; , , ; 1, 1 , ; , 1, , ; 1, 1 , ; 1, , ; , . x s Q t x s R t x t x R t x s f t R t x t R t x t R t s a                             Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 167 Здесь  , ; ,iR t x s , 1,3i   n n матричные функции, являю- щиеся решениями следующих задач:               , , ; 1, 1 , ; , 1, , 1 , ; 1, , ; , 1 , i i i i i i i i i i f s R t x s R t x s z f s f s R t x s R t x s a b                              1 1, , ; 1, 1 , ; 1, i i i i f t s R t x t s R t x t s a        ,      , 1 , ; 1, 1 , ; , 1 i i i i f x R t x x R t x x b           ,  , ; 1, 1iR t x t x E   , ( E —  n n единичная матрица). Пусть     , , ,u t x z t x оптимальный процесс. Тогда вдоль этого процесса для всех вариаций  ,u t x управления  ,u t x первая ва- риация (7) функционала (4) должна равняться нулю, а вторая (8) дол- жен быть неотрицательный, т.е.  1 ; 0S u u   , (14)  2 ; 0S u u   . (15) Соотношения (14) и (15) являются неявными необходимыми ус- ловиями первого и второго порядков соответственно. В следующем параграфе, используя эти соотношения, получены явные необходимые условия оптимальности, выраженные непосред- ственно через параметры поставленной задачи. Необходимые условия оптимальности. Из (14) с учетом пред- ставления (7) в силу независимости вариаций  ,iu t x , 1,3i  управления следует, что вдоль оптимального процесса  , 0i i H u     , для всех  , iD   , 1,3i  . (16) Соотношение (16), представляющее собой необходимое условие оптимальности первого порядка, является аналогом уравнения Эйле- ра для задачи (1)—(4). Каждое допустимое управление  ,u t x , удовлетворяющее уравне- нию Эйлера (16), назовем классической экстремалью в задаче (1)—(4). Математичне та комп’ютерне моделювання 168 Используя неравенство (15) в ряде случаев можно получить яв- ное необходимое условие оптимальности второго порядка. С этой целью предположим, что в системе (1)      , , , , , , , , , ,i i i i i i i i i if t x z a b u B t x b F t x z a u  . (17) Положим                        2 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 2 1 2 2 22 2 2 3 3 3 3 3 3 32 3 , , , ; , , ; , , , ; , , ; , , , ; , , ; , z t X K s R t X R t X s z z t X Q t X Q t X s z z t X Q t X Q t X s z                                                      1 1 21 1 1 1 1 12 1 max , 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 12 max , 1 1 1 , , , , , , , , , , , , 1, , , 1, , , , , , , 1, , , 1, , , , t X t x s t X t x s H t x R t x R t x s R t x z H t x H t x R t x s R t x R t x s z a a z H t x R t x R t x s a Q t                                                                    2 1 21 1 2 1 12 max , 1 2 , , , , ; , , ; , t X t t x s H t x x Q t x s Q t x z                                                3 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 12 2 21 1 3 2 2 22 max , 1 3 2 3 2 2 3 3 , , 1, , , 1, , , , , , , 1, , , 1, , , , , , , , , , , , , , 1, , , t X t t x s H t x H t x Q t x s Q t x Q t x s z a a z H t x Q t x Q t x s a H t x Q t x Q t x s Q t x z H t x Q t x s Q z a                                                           2 3 2 3 3 , 1, , , , , , H t x t x Q t x s a z               2 3 2 22 3 , 1, , , 1, , , , H t x Q t x Q t x s a           (18) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 169                 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 3 3 3 3 3 3 32 3 , , , ; , , ; , , , ; , , ; , z t X K s R t X R t X s z z t X Q t X Q t X s z                                              2 2 21 1 2 2 2 22 1 max , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 22 max , 1 2 , , ; , , ; , , ; , , , 1, ; , 1, ; , , ; , , 1, ; , 1, ; , t X t x s t X t x s H t x R t x R t x s R t x z H t x H t x R t x s R t x R t x s z a a z H t x R t x R t x s a                                                         (19)                           3 2 21 1 3 3 3 32 max , 1 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 32 3 , , ; , , ; , , ; , , , 1, ; , 1, ; , , ; , , 1, ; , 1, ; , , t X t t x s H t x Q t x Q t x s Q t x z H t x H t x Q t x s Q t x Q t x s z a a z H t x Q t x Q t x s a                                                       2 3 3 3 3 3 3 3 32 3 , , , ; , , ; , z t X K s R t X R t X s z                              3 21 1 3 3 3 32 max , 1 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 , , ; , , ; , , ; , , , 1, ; , 1, ; , , ; , t X t x s H t x R t x R t x s R t x z H t x H t x R t x s R t x R t x s z a a z                                      (20)         3 21 1 3 3 32 max , 1 3 , 1, ; , 1, ; , . t X t x s H t x R t x R t x s a                 Используя, дискретные варианты линейчатых вариаций 27, до- казывается следующая теорема. Теорема 1. Если множества iU , 1,3i  открыты, то при сделан- ных предположениях для оптимальности классической экстремали Математичне та комп’ютерне моделювання 170  ,u t x , в задаче (1)—(4), (17) необходимо, чтобы выполнялись сле- дующие соотношения 1)                           0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 12 1 , , , , , 2 1, ; , , 0 X X x s x X x x x s x x x x f f s v K s v s u u H x f s v x R x s v s u a u H x v x v x u                                                 (21) для всех  1 rv x R , 0 0, 1,..., 1x x x X   ,  1 0 0 1, 1,..., 1T t t t     , 2)                           0 0 0 0 1 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 211 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 22 2 , , , , , 2 1, ; , , 0 X X x s x xX x x s x x x x f f s v K s v s u u H x f s v x R x s v s u a u H x v x v x u                                                (22) для всех  2 rv x R , 0 0, 1,..., 1x x x X   ,  2 1 1 2, 1,..., 1T t t t     , 3)                           0 0 0 0 1 0 1 1 3 3 3 3 3 3 3 211 3 3 3 3 3 3 3 3 21 3 3 32 3 , , , , , 2 1, ; , , 0 X X x s x xX x x s x x x x f f s v K s v s u u H x f s v x R x s v s u a u H x v x v x u                                                (23) для всех  3 rv x R , 0 0, 1,..., 1x x x X   ,  3 2 2 3, 1,..., 1T t t t     . Доказательство. Используя произвольность допустимых вариа- ций управления         1 2 3, , , , , ,u t x u t x u t x u t x , положим    1 1 0 0 1 0 0 , ; , 1,..., 1, , 0, ; , 1,..., 1. v x t T x x x X u t x t x x x X                (24)    , 0, , , 1,2i iu t x t x D i     . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 171 Здесь  1 rv x R , 0 0, 1,..., 1x x x X   произвольная ограничен- ная вектор-функция, а  1 0 0 1, 1,..., 1T t t t     произвольная точка. Через         1 2 3, , , , , ,z t x z t x z t x z t x       обозначим ре- шения задач (9)—(10) соответствующие, специальной вариации (24) управления. Из представлений (11)—(13) следует, что         0 0 0 0 0 1 11 1 1 0 0 1 0, , 1,..., ; , 1,..., , ,, , ; , , 1; , 1,..., , x s x t t t x x x X f sz t x R t x s v s t x x x X u                     (25)         0 1 1 2 1 1 1 1 2 0 1 , , , ; , , , 1,..., ; , ..., x s x f s z t x Q t x s v s t t t t x x X u             , (26)         0 1 1 3 2 1 2 2 3 0 1 , , , ; , , , 1,..., ; , ..., x s x f s z t x Q t x s v s t t t t x x X u             . (27) С учетом (8), (20), (24) из (15) получаем, что для оптимальности классически особого управления         1 2 3, , , , , ,u t x u t x u t x u t x в задаче (1)—(4), (17) необходимо, чтобы неравенство                  1 0 23 2 1 2 213 1 2 1 , , , , ,1 , , , 2 i i i i i i i i i i i t X i i i i i i t t x x i ii z t X z t X z t X z H t x H t x z t x z t x z t x z az                                               2 , 1, 1, , 1,i i i i i i i H t x z t x z t x z t x z t x a z                  (28)                       1 1 0 0 0 2 21 1 1 1 12 1 1 2 21 1 1 1 1 1 12 1 1 1 , , 1, 2 , , , , , 1, 0, t x i i t t x xi X x x H t x H t x z t x u t x z t x u za H t x H t x u t x z t x v x v x u a u                                          выполнялось для всех  1 rv x R , 0 0, 1,..., 1x x x X   . Далее используя представления (25)—(27) получаем, что            0 0 23 1 1 1 12 1 1 , , , , X X i i i i i i i i x s xi z t X f z t X z t X v uz                       Математичне та комп’ютерне моделювання 172                 2 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 2 2 2 1 2 2 32 2 , , ; , , ; , , ; , , , ; , , ; , z t X R t X R t X s Q t X z z t X Q t X s Q t X z                         (29)          2 3 3 3 1 2 3 12 13 , , , ; , . z t X f s Q t X s v s uz         По схеме работ 22; 23 и др. будем иметь                       1 0 0 0 0 1 21 1 1 1 1 1 1 1 12 11 21 1 1 1 1 1 12 1 max , 1 11 , , , , , , , ; , , ; , , t X X X t t x x x s x t X t x s H t x f z t x z t x v uz H t x f s R t x R t x s v s uz                                                                      2 1 1 0 0 0 2 1 21 11 1 2 1 2 2 12 12 21 1 2 1 1 1 12 max , 1 12 , , , , , , , ; , , ; , , t tX X t t x x t t x x t X t t x s H t x f z t x z t x v uz H t x f s Q t x Q t x s v s uz                                                                 3 1 2 0 0 0 3 2 21 11 1 3 1 3 3 12 13 21 1 3 1 2 2 12 max , 1 13 , , , , , , , ; , , ; , , t tX X t t x x t t x x t X t t x s H t x f z t x z t x v uz H t x f s Q t x Q t x s v s uz                                           (30)                       1 0 0 0 0 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 max , 1 1 1 1 , , , 1, , , , ; , 1, ; , , t X X X t t x x x s x t X t x s H t x f z t x z t x v z a u H t x f s R t x R t x s v s z a u                                                               1 0 0 0 0 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1, , t X X X t t x x x s x H t x f z t x z t x v a z u                                       1 21 1 1 1 1 1 1 1 max , 1 1 1 1 , , 1, ; , , ; , , t X t x s H t x f s R t x R t x s v s a z u                         Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 173                       2 1 0 0 0 2 1 21 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 21 1 2 1 1 1 1 max , 1 2 2 1 , , , 1, , , , ; , 1, ; , , t X X X t t x x x s x t X t t x s H t x f z t x z t x v z a u H t x f s Q t x Q t x s v s z a u                                                                          2 1 0 0 0 2 1 21 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 21 1 2 1 1 1 1 max , 1 2 2 1 , , 1, , , , 1, ; , , ; , , t X X X t t x x x s x t X t t x s H t x f z t x z t x v a z u H t x f s Q t x Q t x s v s a z u                                                                          3 2 0 0 0 3 2 21 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 1 21 1 3 1 2 2 1 max , 1 3 3 1 , , , 1, , , , ; , 1, ; , , t X X X t t x x x s x t X t t x s H t x f z t x z t x v z a u H t x f s Q t x Q t x s v s z a u                                                                          3 2 0 0 0 3 2 21 1 1 1 3 1 3 3 1 3 3 1 21 1 3 1 2 2 1 max , 1 3 3 1 , , 1, , , , 1, ; , , ; , , t X X X t t x x x s x t X t t x s H t x f z t x z t x v a z u H t x f s Q t x Q t x s v s a z u                                                             1 0 0 0 0 21 1 1 1 1 1 1 1 12 11 , , 1, 1, t X X X t t x x x s x H t x f z t x z t x v ua                                        1 21 1 1 1 1 1 12 max , 1 11 , , 1, ; , 1, ; , , t X t x s H t x f s R t x R t x s v s ua                                             2 1 0 0 0 2 1 21 1 1 1 2 1 2 2 12 12 21 1 2 1 1 2 12 max , 1 12 , , 1, 1, , , 1, ; , 1, ; , , t X X X t t x x x s x t X t t x s H t x f z t x z t x v ua H t x f s Q t x Q t x s v s ua                                                           3 2 0 0 0 21 1 1 1 3 1 3 3 12 13 , , 1, 1, t X X X t t x x x s x H t x f z t x z t x v ua                            Математичне та комп’ютерне моделювання 174             3 2 21 1 3 1 2 3 12 max , 1 13 , , 1, ; , 1, ; , . t X t t x s H t x f s Q t x Q t x s v s ua                      Далее, на основании дискретного аналога теоремы Фубини (см., напр., 20; 28; 29), получаем                           1 0 0 0 0 0 21 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1, , , 1, ; , , , 1, ; , , t X t t x x X x x x s x X X x x s x H t x u t x z t x u a H x f s v x R t x s v s u a u H s f x v s R t s x v x u a u                                                          (31) Принимая во внимания соотношения (29)—(31) и обозначение (14) в соотношении (28) приходим к неравенству (21). Теперь специальную вариацию управления  ,u t x определим по формуле        2 2 0 0 2 0 0 , 0, , , 1,3, , ; , 1,..., 1, , 0, ; , 1,..., 1. i iu t x t x D i v x t T x x x X u t x t x x x X                         (32) Здесь  2 rv x R , 0 0, 1,..., 1x x x X   — произвольная r - мерная ограниченная вектор-функция, а  2 1 1 2, 1,..., 1T t t t     — произвольная точка. Через         1 2 3, , , , , ,z t x z t x z t x z t x       обозначим ре- шения задач (9)—(10) соответствующие специальной вариации (35) управления. Из представлений (11)—(13) следует, что  1 , 0z t x   ,         0 1 1 0 0 1 22 2 2 0 0 2 0, , 1,..., ; , 1,..., , ,, , ; , , 1; , 1,..., , x s x t t t x x x X f sz t x R t x s v s t x x x X u                     (33)         0 1 2 3 3 2 2 2 2 3 0 0 , , , ; , , , 1,..., ; , 1..., x s x f s z t x Q t x s v s u t t t t x x x X               Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 175 С учетом (8), (32) из (15) получаем, что для оптимальности клас- сической экстремали         1 2 3, , , , , ,u t x u t x u t x u t x в задаче (1)—(4), (17) необходимо, чтобы неравенство                  1 0 23 2 2 2 213 1 2 2 , , , , ,1 , , , 2 i i i i i i i i i i i t X i i i i i i t t x x i ii z t X z t X z t X z H t x H t x z t x z t x z t x z az                                                   2 2 2 , 1, 1, , , 1, 1, i i i i i i i i i i H t x z t x z t x z t x a z H t x z t x z t x a                          (34)             2 1 0 2 21 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , 2 , , , 1, t X t t x x H t x H t x u t x z t x u t x z t x u a u a                                   0 21 2 2 22 2 , 0. X x x H t x v x v x u        выполнялось для всех  2 rv x R , 0 0, 1,..., 1x x x X   . Далее, используя представления (33) получаем, что                              0 0 23 2 1 21 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 22 23 , , , ,, , ; , , ; , , ; , , , , ; , , i i i i i i i i i X X x s x z t X z t X z t X z z t Xf v R t X u z R t X s Q t X z t X f s Q t X s v s uz                                             (35)                       2 1 1 0 0 0 2 21 11 1 2 2 2 2 22 22 21 1 2 2 2 2 22 1 max , 1 22 , , , , , , , ; , , ; , , t tX X t t x x t s x t X t x s H t x f z t x z t x v uz H t x f s R t x R t x s v s uz                                               (36) Математичне та комп’ютерне моделювання 176                       3 2 0 0 0 3 2 21 1 1 1 3 2 3 3 22 23 21 1 3 2 3 3 22 max , 1 23 , , , , , , , ; , , ; , , t X X X t t x x x s x t X t x s H t x f z t x z t x v uz H t x f s Q t x Q t x s v s uz                                               (37)                       2 1 0 0 0 2 21 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 2 2 1 max , 1 2 2 2 , , , 1, , , , ; , 1, ; , , t X X X t t x x x s x t X t x s H t x f z t x z t x v z a u H t x f s R t x R t x s v s z a u                                                      (38)                       2 1 0 0 0 2 21 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 2 2 1 max , 1 2 2 2 , , 1, , , , 1, ; , , ; , , t X X X t t x x x s x t X t x s H t x f z t x z t x v a z u H t x f s R t x R t x s v s a z u                                                      (39)                       3 2 0 0 0 3 2 21 1 1 1 3 2 3 3 2 3 3 2 21 1 3 2 3 3 2 max , 1 3 3 2 , , , 1, , , , ; , 1, ; , , t X X X t t x x x s x t X t t x s H t x f z t x z t x v z a u H t x f s Q t x Q t x s v s z a u                                                    (40)                       3 2 0 0 0 3 2 21 1 1 1 3 2 3 3 2 3 3 2 21 1 3 2 3 3 2 max , 1 3 3 2 , , 1, , , , 1, ; , , ; , , t X X X t t x x x s x t X t t x s H t x f z t x z t x v a z u H t x f s Q t x Q t x s v s a z u                                                    (41)                       2 1 0 0 0 2 21 1 1 1 2 2 2 2 22 22 21 1 2 2 2 2 22 max , 1 22 , , 1, 1, , , 1, ; , 1, ; , , t X X X t t x x x s x t X t x s H t x f z t x z t x v ua H t x f s R t x R t x s v s ua                                                   (42)                       3 2 0 0 0 3 2 21 1 1 1 3 2 3 3 22 23 21 1 3 2 3 3 22 max , 1 23 , , 1, 1, , , 1, ; , 1, ; , . t X X X t t x x x s x t X t t x s H t x f z t x z t x v ua H t x f s Q t x Q t x s v s ua                                                  (43) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 177 Далее, используя дискретный аналог теоремы Фубини (см., напр., 20; 28; 29), имеем                 2 1 0 0 21 1 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 , , 1, , , 1, ; , . t X t t x x X X x x s x H t x u t x z t x u a H s f x v s R t s x v x u a u                                     (44) Принимая во внимания тождества (35)—(44), а также обозначе- ние (19) в неравенстве (34) приходим к соотношению (22). Неравенство (23) доказывается также соответствующими рассу- ждениями. Этим доказательство теоремы завершено. Замечание. Аналогичные симметричные результаты получены и в случае, когда правая часть системы (1) имеет вид      , , , , , , , , , ,i i i i i i i i i i if t x z a b u A t x a Q t x z b u  . Заключение. В статье рассматривается одна ступенчатая задача оптимального управления, описываемая дискретной двухпараметри- ческой системой (2 D-система). При предположении открытости об- ласти управления получен аналог уравнения Эйлера для рассматри- ваемой задачи. Затем установлено необходимое условие оптимально- сти второго порядка. Список использованной литературы: 1. Габасов Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. — М. : Наука, 1971. — 508 с. 2. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов / А. И. Пропой. — М. : Наука, 1973. — 256 с. 3. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами / В. Г. Болтянский. — М. : Наука, 1973. — 448 с. 4. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами / Л. Т. Ащепков. — М. : Наука, 1987. — 272 с. 5. Мордухович Б. Ш. Методы метрических аппроксимаций в задачах опти- мизации и управления / Б. Ш. Мордухович. — М. : Наука, 1987. — 360 c. 6. Васильев Ф. П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. — М. : Факториал Пресс. 2002. — 824 с. 7. Гайшун И. В. Многопараметрические системы управления / И. В. Гай- шун. — Мн. : Наука и техника, 1996. — 200 с. 8. Дымков М. П. Экстремальные задачи в многопараметрических системах управления / М. П. Дымков. — Мн. : БГЭУ. 2005. — 363 с. 9. Krotov V. F. Global Methods in optimal control theory / V. F. Krotov. — New-York : Marcel-Dekker, 1996. — 385 p. 10. Кротов В. Ф. Оптимальное управление / В. Ф. Кротов. — М. : Высшая школа, 1990. — 431 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 178 11. Захаров Г. К. Оптимизация ступенчатых систем с управляемыми усло- виями перехода / Г. К. Захаров // Автоматика и телемеханика. — 1993. — № 6. — C. 32—36. 12. Никольский М. С. Об одной вариационной задаче с переменной структу- рой / М. С. Никольский // Вестник МГУ. Сер. выч. мат. и кибернетика. — 1987. — № 2. — C. 36—41. 13. Розова В. Н. Оптимальное управление ступенчатыми системами с инте- гральным функционалом / В. Н. Розова // Вестник РУДН. Сер. Прик. и компьютерн. мат. — 2002. — № 1 (1). — C. 131—136. 14. Розова В. Н. Оптимальное управление ступенчатыми системами : авто- реф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / В. Н. Розова. — М., 1971. — 13 с. 15. Габелко К. Н. Оптимизация многоэтапных процессов : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / К.Н. Габелко. — Иркутск : ИГУ, 1975. — 18 с. 16. Исмайлов Р. Р. Об условиях оптимальности в одной ступенчатой задаче управления / Р. Р. Исмайлов, К. Б. Мансимов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. — 2006. — № 19. — С. 1758—1770. 17. Исмайлов Р. Р. Необходимые условия оптимальности квазиособых управле- ний в ступенчатых задачах управления // Кибернетика и системный анализ / Р. Р. Исмайлов, К. Б. Мансимов. — 2008. — № 1. — С. 101—115. 18. Харатишвили Г. Л. Принцип максимума в оптимальных задачах с пере- ключением / Г. Л. Харатишвили, Т. А. Тадумадзе // Труды Института Систем Управления. АН СССР. — Тбилиси : Мецниереба, 1980. — Т. 19, № 2. — С. 7—14. 19. Гайшун И. В. Дифференциально-разностные двухпараметрические сис- темы управления / И. В. Гайшун // Дифференц. уравнения. — 1994. — № 6. — С. 931—938. 20. Мансимов К. Б. Дискретные системы / К. Б. Мансимов. — Баку : Изд-во БГУ, 2002. — 114 с. 21. Васильев О. В. Об оптимальных процессах в двухпараметрических дис- кретных системах / О. В. Васильев, Ф. М. Кириллова // Докл. АН СССР. — 1967. — Т. 175, № 1. — С. 17—19. 22. Мансимов К. Б. Достаточные условия оптимальности типа условий Кро- това для дискретных двухпараметрических систем / К. Б. Мансимов // Автоматика и телемеханика. — 1985. — № 8. — С. 15—20. 23. Мансимов К. Б. Оптимизация одного класса дискретных двухпараметри- ческих систем / К. Б. Мансимов // Дифференц. уравнения. — 1991. — № 2. — С. 359—361. 24. Мансимов К. Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка в дискретных двухпараметрических системах / К. Б. Мансимов // Изв. АН Азербайджана. Серия физ.-техн. и матем. наук. — 1998. — № 2. — C. 52—58. 25. Габасов Р. Особые оптимальные управления / Р. Габасов, Ф. М. Кирилло- ва. — М. : Наука, 1973. — 256 с. 26. Мансимов К. Б. Особые управления в системах с запаздыванием / К. Б. Мансимов. — Баку : ЕЛМ, 1999. — 174 с. 27. Срочко В. А. Вариационный принцип максимума и метод линеаризации в задачах оптимального управления / В. А. Срочко. — Иркутск : ИГУ, 1987. — 154 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 5 179 28. Choi S. K. Stability in variation for nonlinear Volterra difference systems / S. K. Choi, N. J. Koo // Bull. Korean Math. Soc. — 2001. — Vol. 38, № 1. — P. 101—111. 29. Zouyousefain M. Stability results for difference equations of Volterra type / M. Zouyousefain, S. Leela // Appl. Math. Comp. — 1990. — Vol. 36, № 1. — P. 51—61. A stepwise optimal control problem described by 2-D discrete systems is considered. Under assumptions of openness of a control domain, neces- sary optimality conditions of first and second order are obtained. Key words: Discrete two-parametric system, stepwise control prob- lem, necessary optimality conditions, singular in the classical sense con- trols, classical extremals. Отримано: 27.03.2011 УДК 517.956 О. В. Мартинюк, канд. фіз.-мат. наук Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ЗАДАЧА КОШІ ДЛЯ СИНГУЛЯРНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ У ЗЛІЧЕННО-НОРМОВАНИХ ПРОСТОРАХ НЕСКІНЧЕННО ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ. І У статті визначаються нові класи функцій-символів та нові класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за та- кими символами з допомогою прямого та оберненого перетво- рення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операто- рами з початковими функціями з просторів типу розподілів Соболєва—Шварца. Ключові слова: перетворення Бесселя, простори основних функцій, простори узагальнених функцій, задача Коші, псевдо- Бесселеві оператори. Останні десятиліття інтенсивно досліджуються оператори, які фор- мально можна подати у вигляді  1 , ,x xA a t x      I I , де 1, I I — певні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Фур’є—Бессе- ля, Фур’є на півосі та ін.), визначені в тому чи іншому просторі. Значна кількість праць присвячена вивченню властивостей оператора А, а також дослідженню еволюційних рівнянь з оператором А у випадку, коли FI , де F — перетворення Фур’є. Функція а називається символом оператора А. До вказаного класу операторів належать диференціальні © О. В. Мартинюк, 2011 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси