Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями

Обґрунтовано, що метод напрямленого пошуку розв’язування систем Ax=b, A належить Mn(R), володіє основними факторами ефективності ітераційних методів.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Абрамчук, В.С., Абрамчук, І.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48815
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями / В.С. Абрамчук, І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 3-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48815
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-488152013-09-05T03:05:09Z Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В. Обґрунтовано, що метод напрямленого пошуку розв’язування систем Ax=b, A належить Mn(R), володіє основними факторами ефективності ітераційних методів. It is proved that the method of guided search for solving linear systems Ax=b, A belongs Mn(R), has basic factors of iterative methods efficiency. 2012 Article Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями / В.С. Абрамчук, І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 3-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48815 519.612 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Обґрунтовано, що метод напрямленого пошуку розв’язування систем Ax=b, A належить Mn(R), володіє основними факторами ефективності ітераційних методів.
format	Article
author	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В.
spellingShingle	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Абрамчук, В.С. Абрамчук, І.В.
author_sort	Абрамчук, В.С.
title	Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями
title_short	Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями
title_full	Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями
title_fullStr	Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями
title_full_unstemmed	Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями
title_sort	ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48815
citation_txt	Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями / В.С. Абрамчук, І.В. Абрамчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 3-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT abramčukvs íteracíjnímetodirozvâzuvannâsistemlíníjnihrívnânʹzdovílʹniminevirodženimimatricâmi AT abramčukív íteracíjnímetodirozvâzuvannâsistemlíníjnihrívnânʹzdovílʹniminevirodženimimatricâmi
first_indexed	2025-07-04T09:33:49Z
last_indexed	2025-07-04T09:33:49Z
_version_	1836708406321217536
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 3 УДК 519.612 В. С. Абрамчук, канд. фіз.-мат. наук, І. В. Абрамчук, старший викладач Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського, м. Вінниця, *Вінницький національний технічний університет, м. Вінниця ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ З ДОВІЛЬНИМИ НЕВИРОДЖЕНИМИ МАТРИЦЯМИ Обґрунтовано, що метод напрямленого пошуку розв’язу- вання систем Ax b  ,  nA M R , володіє основними факто- рами ефективності ітераційних методів. Ключові слова: метод напрямленого пошуку, підпростір Крилова, максимізація відношення Релея. У статті, на основі необхідних і достатніх умов прискорення збіжності методу напрямленого пошуку, пропонуються швидкозбіжні стійкі ітераційні методи розв’язування систем Ax b  з довільними дійсними невиродженими квадратними матрицями  nA M R , rank A n , що дозволяє обґрунтувати ефективність методів, запро- понованих в [1—3]. За метод розв’язування систем Ax b  ,    , , ranknA M R b im A A n    (1) виберемо метод напрямленого пошуку, який подамо у вигляді такої процедури         1 1, , , ,...,k k k k k mx F A b x v v      , (2) де kF — послідовність операторів;     1 ,...,k k mv v   , m n — система лінійно-незалежних векторів, яка утворює базис напрямного підпрос- тору  k mP . Постановка проблеми. 1. З’ясувати причини, що обмежують застосовність існуючих ітераційних методів до розв’язування сис- тем (1) з довільними матрицями. 2 Обґрунтувати, що метод (2) задо- вольняє основним факторам ефективності ітераційних методів (збіга- ється для систем з довільними матрицями (1); дозволяє будувати швидкозбіжні процедури прискорення; стійкий до похибок заокруг- лення; одночасно мінімізує норму похибки  1 2 kx x    і максимізує © В. С. Абрамчук, І. В. Абрамчук, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 4   2 cos , kTA c x x    між напрямним вектором TA c  і напрямком на розв’язок   kx x   ; потребує мінімальних комп’ютерних ресурсів). Головним фактором ефективності ітераційних методів розв’язува- ння систем (1) є збіжність ітераційного процесу для систем з матрицями широких класів (матриця A вважається «чорним ящиком» [4; 5]). Мо- делювання складних фізичних процесів приводить до ускладнення стру- ктур дискретних задач і вимагає переходу від скінченних різниць до ме- тодів лінійних та квадратичних скінченних елементів, застосування гра- ничних елементів, переходу від методу розщеплення для фізичних і про- сторових змінних до «цілісних» дискретизацій систем рівнянь, які опи- сують тривимірні об’єкти [6—10]. Матриці відповідних систем мають великі розміри (порядків 3 610 10 ), достатньо щільно заповнені (до сотень і навіть тисяч елементів в кожному рядку) і можуть не належати до жодного класу матриць, які дозволяють прискорити збіжність «кла- сичних» методів (наприклад, не мають діагонального переважання, не є монотонними, симетричними, додатно визначеними тощо). Класичні результати про збіжність ітераційного методу    1 , 0,1,...k kx H x d k      , (3) узгодженого з системою (1), наведені в [6]:  узгоджений метод (3) збігається до єдиного розв’язку системи (1) тоді і лише тоді, якщо   1H  (   max iH  — спектраль- ний радіус матриці H ; метод (3) узгоджений з системою (1), як- що * x H x d    , 1x A b  );  якщо  nH M R , то   1H  тоді і лише тоді, якщо існує така симетрична додатно визначена матриця B , що матриця TB H BH додатно визначена (теорема Стейна). Узгоджені ітераційні методи пов’язані з розщепленням матриці 1, det 0,A P Q P H P Q    . Основні результати про збіжність методу (3) отримані для P — регулярного розщеплення [5; 6] для випадків, якщо матриця A симетрична і додатно визначена, або має діагональне переважання, або є M — матрицею тощо). Недоліком методів (3) є те, що для довільних матриць A , rank A n , задача ви- бору матриці 1H P Q ,   1H  , є проблемною задачею [6]. Другим сімейством ітераційних методів розв’язування великих ро- зріджених систем (1) є три основні групи методів в підпросторах Крило- ва [8]. До першої групи відносяться методи, які трансформують матрицю A до симетричної форми (до неї відносяться проекційні методи спря- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 5 жених напрямів, застосовних до матриць TAA , TA A ), недоліком їх є сильне зростання числа обумовленості трансформованої матриці. Друга група — узагальнені методи спряжених напрямів, які вимагають велико- го об’єму оперативної пам’яті ЕОМ. До третьої групи відносяться мето- ди біспряжених градієнтів і нев’язок (їх узагальнення — методи здвоє- них та стабілізованих біспряжених напрямів). Основним недоліком всіх трьох груп методів є те, що вектори підпростору Крилова утворюють погано обумовлену систему, отже можна використовувати лише варіан- ти криловських ітерацій з періодичними рестартами [8], що знижує їх швидкість збіжності. Збіжність цих методів обґрунтована в умовах абсо- лютно точних обчислень і для додатно визначених матриць. Важливе значення для практичної реалізації ітераційного методу має вибір критерію збіжності. Проілюструємо недолік вибору векторної норми збіжності. Змоделюємо процес методу проекцій на гіперплощи- ни, теоретично збіжний в абсолютно точній арифметиці для систем з довільними матрицями   , ranknA M R A n  , на прикладі погано обу- мовленої симетричної матриці Гільберта. За критерій оцінки збіжності на k -му кроці виберемо норми   * 2 kx x   ,     * 2 T k k A A r x x     , * 1x A b  . Якщо   2 kr  достатньо великі числа, то процес збіжності монотонно спадний як для норм нев’язок так і для норм похибок. Якщо   2 kr  стає малою величиною, то процес проекцій в силу похибок заок- руглення, втрачає монотонність. Причина цього явища пов’язана з наяв- ністю у матриці Гільберта малих власних значень (це явище спостеріга- ється і для різницевих рівнянь великих порядків). Для кожного ітераційного методу є області найповільнішої шви- дкості збіжності, які лежать в околі власних векторів x x   , що від- повідають найменшим власним значенням матриці TA A [3] (під око- лом вектора розуміється конус з вершиною в точці x  ). Залежність швидкості збіжності від щільності власних значень та їх розподілу в спектрі матриці A досліджувалась в [4]. Таким чином, побудова ефективних ітераційних методів набли- женого розв’язування систем (1) з довільними дійсними, квадратни- ми, невиродженими, погано обумовленими матрицями вимагає роз- робки методів, що збігаються за напрямом — максимізують на кож- ному кроці функціонал     2 cos ,k kp x x    , де  kp  — вектор з на- прямного підпростору  k mP . Математичне та комп’ютерне моделювання 6 Виклад основного матеріалу. Метод напрямленого пошуку (МНП). МНП з одновимірним напрямним підпростором   1 kP    span kTA c  ,     , 0k kc r    , описується процедурою [1]: для всіх 0,1,...k  ,              2 1 2 , ,k k k k k kT T k kx x A c r c A c            . (4) Швидкість збіжності визначається формулою          2 2 1 * 2 * 2 2 1 cos ,k k k kTx x x x A c x x             . (5) Якщо напрямний підпростір на k -му кроці задається системою взаємно ортогональних векторів    , ,=k i k iTp A c   , 1,...,i m , (псевдоор- тогональних векторів з матрицею TAA ), то швидкість збіжності         2 2 1 ,* * 2 * 2 2 1 1 cos , m k k k i kT i x x x x A c x x                    . (6) Необхідні умови прискорення швидкості збіжності МНП. Формули (5), (6) можна переписати так: для одновимірного напрям- ного підпростору           2 2 22 1 * * 2 2 2 ,k k k k kTx x x x r c A c            ; (7) для багатовимірного напрямного підпростору           2 2 22 1 , ,* * 2 2 21 , m k k k k i k iT i x x x x r c A c            . (8) Теорема 1. Для прискорення збіжності ітераційного методу (4) за k кроків необхідно, щоб напрямні вектори   , 0,1,...,jc j k  , були псевдоортогональними з матрицею TAA і задовольняли умову     0,1,..., : , 0j jj k r c     . (9) Умова (9) випливає з (7) та (8). Необхідність умови ортогональності векторів   , 0,1,...jTA c j k  , для прискорення збіжності випливає з гео- метричних міркувань. Для 0k  наближенням до розв’язку є вектор  1x  , що належить гіперплощині      0 0: , 0TW x x x A c       . Оскі- льки вектори  1 ,x x   належать гіперплощині  0W , то найкраще на- ближення  2x  необхідно шукати в  0W , а це означає, що напрямний Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 7 вектор  1TA c  повинен бути ортогональним до вектора  0TA c  :        2 1 1: , 0Tx W x x x A c         , отже      2 0 1x W W   . Припу- стимо, що        0 1 1...k kx W W W      . Оскільки вектори   ,kx x   належать одночасно всім гіперплощинам  jW , 0,1,..., 1j k  , то найкраще наближення повинно належати   1 0 k j j W    , а це означає, що напрямний вектор  kTA c  повинен бути ортогональним усім векто- рам нормалей   , 0,1,..., 1jTA c j k   . Підпростір з векторів нормалей за k кроків будемо позначати         0 1, ,...,spank kT T TV A c A c A c    . Достатня умова прискорення збіжності МНП. Теорема 2. Оптимальний вектор    k k nc D R   на k -му кроці методу (4), що мінімізує  1 * 2 kx x    , доставляє максимум функціоналу     2 2 2 ,k Tc r c A c      . (10) Оптимальним напрямком на розв’язок x  системи A x b  з дові- льної точки   kx x   у просторі nR є напрямний вектор TA c  , колінеа- рний вектору   kx x   :   kTA c x x     або   , 0kTAA c r     . Функціонал  c  можна переписати так:       2 * 2 * 2 cos , .k kTc x x A c x x          (11) Оскільки множник   2 * 2 kx x   у формулі (11) є константою, то вибір оптимального вектора TA c  означає максимізацію функціонала   2 cos , kTA c x x    , nc R  . Підпростір Крилова. За базис напрямного підпростору    k mK A виберемо систему векторів      1, ,...,k k kmr Ar A r   , яка за- довольняє необхідну умову     , 0k kir A r    , 0,1,..., 1i m  [3]. Математичне та комп’ютерне моделювання 8 Алгоритм 1 (наближеного розв’язування системи (1)). Вибрати початковий вектор  0x  , обчислити  0r  , покласти    0 0c r   ,     0 0span TV A c  . Для всіх 0,1,...k  знайти наближен- ня  1kx  за формулою (4), обчислити    1 1k kr A x b     . Застосува- ти критерій збіжності     21 cos ,k kTAA c r     , де  — задана по- хибка. Якщо він не виконується, то продовжити процес:  сформувати базис підпростору Крилова    1k mK A ;  з векторів підпростору    1k mK A сформувати вектори  1,k jc  псевдоортогональні векторам підпростору  kV (необхідний кри- терій прискорення збіжності): 0,1,..., 1j m   ,                  1 1, 1 2 0 2 , , k sT j T k k j k k s kj s s sTs A A r A c c A r c A c                 ;  у підпросторі Крилова    1k mK A з новим базисом   1, , 0,1,..., 1k jc j m    знайти вектор  1kc  , що максимізує (10) (мінімізує  1 2 kx x    );        1 11 1,0 1, 0 m kk k k j j j c c c           ;  розширити підпростір  kV :       1 0 1span , ,...,k kT TV A c A c    . Повторити процес. Задача максимізації функціонала (10) досліджувалась у [2]. Відношення Релея, вибір початкового напрямного вектора і початкової точки. Розв’язування систем Ax b  великих порядків. Однією з проблем є розробка швидкозбіжних методів розв’язуван- ня різницевих та сіткових рівнянь великих порядків. Актуальність дослі- джень цієї проблеми полягає у тому, що з ростом розмірності неортого- нальної матриці зростає її обумовленість і необхідно забезпечити стій- кість процесу обчислень (проблема, яку називають «прокляттям розмір- ності» [12]). Оптимальним підходом для прискорення швидкості збіж- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 9 ності ітераційного процесу наближеного розв’язування системи Ax b  є пошук довільної точки на довільній сингулярній прямій x x t p      , t R , p  — власний вектор матриці TA A , що відпові- дає власному значенню  TA A . Проблема розмірності матриці стає несуттєвою, оскільки матриця TA A простої структури [5]. Задача на- ближення до сингулярної прямої полягає у максимізації функціонала   2 cos ,TA A x x x x      (або  2cos ,TA Ar r   , r Ax b    ) на сфері 0 або в кулі 1 :   0 * 0 2 2 : ,x x x x x            0* * 1 2 2 : ,x x x x x          де  0x  — довільний вектор. Оскільки ця задача є задачею нелінійно- го програмування, то побудуємо часткові алгоритми наближення до власних векторів, що відповідають  max TA A ,  min TA A . Для цьо- го модифікуємо ітераційний процес (4):            1 1,k k k k k kT T k kx x A c r r AA c            . (12) Позначимо    2 2 2 ,k T k r c A c      ,    2 2 2 ,kT T k AA r c AA c      . (13) Процес наближення до власних значень  max TA A ,  min TA A здійснимо на основі максимізації (мінімізації) відношення Релея   2* * 2 2 ,TA A x x r x x         на сфері 0 або в кулі 1 . Зазначи- мо, що відомі ітераційні процедури розв’язання симетричної пробле- ми власних значень для матриць великих порядків [4; 12], не можна безпосередньо застосувати до пошуку наближень до сингулярних прямих, які проходять через невідому точку x  — розв’язок системи Ax b  , оскільки вони побудовані на принципі оптимізації без обме- жень і приводять до розгону норми вектора похибки. Теорема 3. Якщо вектор    k kr Ax b    не є власним вектором ма- триці TAA і якщо а) sgn sgn ,k k k k     або б) sgn sgnk k   , Математичне та комп’ютерне моделювання 10 то ітераційний процес (12) максимізує відношення Релея в кулі 1 . Як- що в) sgn sgn ,k k k k     , то мінімізується відношення Релея в кулі 1 . Оптимальне значення параметра k шукається шляхом дослі- дження функції             4 2 2 2 2 2 2 cos ,k k k k kT T T k AA r r A r AA r r               на найбільше (найменше) значення на відрізку ;k k    ( ;k k    ). Доведення висновків теореми 4 випливає з того, що параметр k k  забезпечує умову    1 * 2 2 k kx x x x        , а параметр k k  — умову    1 2 2 k kr r    . На проміжках 0; k   , 0; k   для опуклих функцій  1 * 2 kx x    ,  1 2 kr  відповідно виконуються нерівності    1 * * 2 2 k kx x x x        ,    1 2 2 k kr r    . Тому за умо- ви а) відношення    1 1 * 2 2 k kr x x      максимізується, за умови в) мінімізується, а за умови б) максимізація відбувається найшвидше. Для забезпечення стійкості обчислювального ітераційного про- цесу розв’язування систем та проблеми власних значень для погано обумовленої матриці необхідно наближення будувати в області мак- симальних нев’язок (в околі сингулярної прямої, що визначається власним вектором, відповідним  max TA A [3]). Достатні умови прискорення збіжності до власного значення  max TA A сформулюємо як висновок теореми 4. Теорема 4. Якщо вектор  kr  не є власним вектором матриці TAA і виконується необхідна умова б), то для прискорення збіжності послідовності Релея   , kT k A A x x     достатньо максимізувати функціонал (10) в підпросторі Крилова        1 0 span m k ki m i K A A r     (або    k T mK AA ). Дійсно, підставивши 1 1 2 2k k k     у формулу (12), діста- немо відношення Релея Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 11                  2 2 2 2 2 2 1 2 2 2k k k k kT T k k k r c c AA c A c x x c                   , (14) яке максимально зросте за рахунок максимізації додатного функціо- нала (10). Наведемо формули для максимізації функціонала (14) у підпросторі            2 3 span , ,k k k kT T TK A A r AA r AA r         . Алгоритм 2. (максимізації відношення Релея в кулі 1 ). Вибрати довільний вектор  0 nx R  , обчислити    0 0r A x b    . Якщо  0r  — власний вектор матриці TAA , то процес закінчити, оскі- льки    0 0Tp A r   — оптимальний напрямок на розв’язок. У проти- лежному випадку для всіх 0,1,...k  сформувати вектори        2 , ,k k kT Tr AA r AA r    . Утворити вектор      2k kTc AA r        1, 0, k kT k kAA r r     , що задовольняє умову     ,k kTAA r c        ,k kr c    , де 0, 0, 1, 1,k k k ka a    ,    2 2 2 2 k kT k A r r     ,   1, 1, 0, k k k kc p p     ,    2 2 0, 2 2 k kT T T k ka A AA r AA r           ,    2 2 1, 2 2 k kT T k ka AA r A r           ,     0, 1, k kT k kp AA r a r     ,      2 1, 0, k kT k kp AA r a r     . Параметр 1,k визначимо з умови максимізації  c  :    1, 1 0 0 1 1 1 2 0k u v u v u v u v    , де   0 1, , k kv p r   ,   1 0, , k kv p r   , 2 0 1, 2 T ku A p  ,  1 1, 0,,T T k ku A p A p   , 2 2 0, 2 T ku A p  . Обчислити      1k k kT kx x A c      , Математичне та комп’ютерне моделювання 12 де        2 2 ,k k kT k r c A c     ,    1 1k kr A x b     . Перевірити критерій зупинки     21 cos ,k kTAA r r     . Якщо кри- терій не виконується, повторити процес. Після завершення обчислювального процесу вектор  1kx  приймається за початкову точку ітераційного процесу (4), а вектор  1kTA r  за початковий напрямний вектор. Розв’язування різницевих еліптичних рівнянь. В околі довіль- ного власного вектора матриці TA A система векторів підпростору Крилова  T mK A A стає погано обумовленою, а тому порядок m оби- рається в алгоритмі 2 малим. Щоб прискорити збіжність до оптималь- ного напрямного вектора бажано використовувати крім підпростору Крилова допоміжний напрямний підпростір  sP A , розмірність якого в оптимальному варіанті збігалася б з розмірністю матриці A і оброб- ка базису якого при оптимізації функціоналу (10) (або  1 * 2 kx x    ) вимагала б мінімальних обчислювальних затрат. Обґрунтуємо вибір базису  sP A для розв’язування різницевих еліптичних рівнянь, що виникають при дискретизації диференціальних рівнянь гідродинаміки і тепломасоперенесення на шаблонах з 2 1m  вузлами, 2,3m  : 1 1 m m j p c j j jj j u S S x x x                     ,  1,..., mx x G , з крайовими умовами 1 2 3q q q n       ,  1,..., mx x G , де ju — компоненти поля швидкостей;  — коефіцієнт дифузії;  — густина середовища; 0,p cS S — джерела зародження  ; n  — нормаль до поверхні G ; 1 2 3, ,q q q — кусково-неперервні фун- кції від  1,..., mx x [9]. В роботі [14] показано, що матрицю вузлів сітки можна розфарбувати мінімальним числом фарб так, щоб кожен вузол 2 1m  точкового шаблону був іншого кольору, не залежно від розмірності і форми сіткової області. Це еквівалентно розбиттю мат- риці лінійної системи на 2 1m  ортогональну підсистему векторів Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 13 нормалей T iA e  , ie  — одиничні вектори,  1:i n . Позначимо через  I j ,  1: 2 1j m  , 2m  (або 3), множину вузлів j -го кольору, тоді задача мінімізації норми похибки на k -му кроці, еквівалентна знаходженню вектора  kTA c  в підпросторі     1 span nT n i i B A A e    , який максимізує функціонал (10) або мінімізує  1 * 2 kx x    . Оптимі- зацію виконаємо за 2 1m  кроків. Покласти    ,0k kc r   , для всіх 1,..., 2 1j m  утворити вектори       , , 1 0, , k j k j T j i j i i I j c c A e        , (15) параметри 0, ,,j i j  , знайти з умови мінімізації  1 * 2 kx x    ,         1 , 1 0, , k k k jT T j i j i i I j x x A c A e           . Процедуру повторити 2 1m  раз. Вектор  ,2 1k mc  позначити через  kc  . Теорема 5. Параметри 0, ,,j i j  ,  i I j , 1,..., 2 1j m  знахо- дяться за формулами                     2 2, 1 22 0, 2 2, 1 , 1 , 1 22 , , , k k j k T i i I j j k j k k j k jT T T i i i I j r c r A e A c r c AA c A e                            2, 1 , 0, 2 k k jT T i j i j i ir AA c A e        . (16) Формули (16) є наслідком мінімізації норми похибки  1 * 2 kx x    за умови ортогональності векторів T iA e  ,  i I j . За- значимо, що норми векторів T iA e  обчислюються один раз при фор- муванні сіткової матриці. У формулі (16) позначено:  k ir  ,  , 1k jT iAA c  — i - ті компоненти векторів  kr  ,  , 1k jTAA c  . Висновок. Незалежно від розмірності сіткової матриці за 2 1m  кроків (для 2m  матимемо 5 кроків, для 3m  — 7 кроків) оптимі- зується напрямний вектор на розв’язок системи Ax b  з матрицею розмірності N N або N N N  , де N — кількість вузлів сітки. Математичне та комп’ютерне моделювання 14 Послідовне застосування алгоритмів 2, 1 дає стійкий швидкоз- біжний алгоритм розв’язування систем з довільними дійсними неви- родженими погано обумовленими матрицями. Розробка критерію порівняння на ефективність ітераційних методів розв’язування СЛАР. За критерій порівняння ітераційних методів розв’язування СЛАР на ефективність вибираються умови: швидкість збіжності, що визна- чається відношенням норм нев’язок в залежності від номера ітерації; сумарний час необхідний для збіжності із заданою точністю; обсяг необхідних комп’ютерних ресурсів; складність алгоритму тощо [4; 5; 8; 13]. Швидкість збіжності ітераційних методів розв’язування СЛАР залежить від повної характеристики матриці: розрідженості матриці, власних значень та їх розподілу в спектрі, власних векторів, обумов- леності, структури матриці та характеристики розв’язку (функції  , ii x  , її періодичності, осциляції, тощо). Виконаємо тестування методу спряжених градієнтів [4; 5] для ви- значення ефективності цього методу на симетричних додатно визначе- них погано обумовлених матрицях: матриці Гільберта порядків 10 — 100 (   10 3501.5 10A e    [11]) і матриці Пуассона порядку 410 (   4134A  ), яка отримана при дискретизації двомірного рівняння Пуассона на шаблоні «хрест»; для точних розв’язків: u  — слабко збу- реної дискретної функції  2 * * 1tg 1i iu u     та v  — періодичної дис- кретної функції. Метод спряжених градієнтів швидко збігається до розв’язку u  і не збігається до розв’язку v  для тестового прикладу з матрицею Гільберта і, навпаки, швидко збігається до розв’язку v  і повільно до розв’язку u  для прикладу з матрицею Пуассона. Таким чином, без ґрунтовного теоретичного аналізу не можна визначити ефективність ітераційного методу лише за окремим тес- том. Це одна з причин, другою і найважливішою причиною не- об’єктивності тестового порівняння алгоритмів є те, що довільний ітераційний процес на будь-якому кроці можна подати у вигляді про- цедури (4). Вдало або випадково підібравши початковий вектор  0x  і напрямний вектор    0 0Tp A c   колінеарний («майже колінеарний») вектору  0 x x   , можна розв’язок системи Ax b  з довільною не- виродженою матрицею A і довільним вектором  b im A  отримати за один крок (за незначне число кроків) для одного методу і «поста- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 15 вити в тупик» інший метод, обравши    0 0Tp A c   з умови     0 02 min cos , m T c B A c x x      . Висновки. Метод напрямленого пошуку (2), заснований на ал- горитмах 1, 2, має високу швидкість збіжності, оскільки для приско- рення використовує наближення до розв’язків першої та другої спря- жених задач з задачею розв’язування системи Ax b  [15]. Він має спільну основу з методом спряжених напрямів і методом проекцій — для прискорення збіжності за напрямні підпростори обираються під- простори Крилова, будуються спряжені вектори з матрицею TA A . Метод (2) має принципову відмінність: на кожному k -му кроці знаходить проекцію  1kx  наближення  kx  на гіперплощину, що проходить через розв’язок x  системи Ax b  . Тому метод (2) збіга- ється для систем з довільними невиродженими матрицями A , оскі- льки    1 * * 2 2 k kx x x x        . Для прискорення збіжності метод (2) мінімізує кут між напрямним вектором TA c  і оптимальним напрям- ком на розв’язок — вектором   kx x   , не використовує ні матриці переходу ні переобумовлення матриці A (отже, мінімізує потреби комп’ютерних ресурсів). На початкових кроках, які можна циклічно повторити через m кроків алгоритму 1, будується наближення за алгоритмом 2 до сингу- лярних прямих з напрямними власними векторами x x   матриці TA A , що дозволяє прискорити ітераційний процес. Метод (2) стійкий до похибок заокруглення, оскільки обчислення здійснюється в околі власного вектора, що відповідає  max TA A (окіл максимальних нев’язок), у той час як ітераційні методи, засновані на мінімізації норми нев’язки, є погано обумовленими в околі розв’язку. Список використаних джерел: 1. Абрамчук В. С. О перспективности методов направленного поиска реше- ния систем Ax = f с плохо обусловленными матрицами / В. С. Абрамчук // Доп. НАН України. Сер. Б. — 1995. — № 2. — С. 5–7. 2. Абрамчук В. Ефективні ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь / В. С. Абрамчук, І. В. Абрамчук, А. Вешемірський // Вісник Львівського університету. Сер. Прикладна математика та інформатика. — 2007. — Випуск 12. — С. 5–12. Математичне та комп’ютерне моделювання 16 3. Абрамчук В. С. Обоснование эффективности методов направленного поис- ка / В. С. Абрамчук // Доп. НАН України. — 1997. — № 11. — С. 7–12. 4. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра / Дж. Деммель. — М. : Мир, 2001. — 429 с. 5. Воеводин В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А Кузне- цов. — М. : Наука, 1984, — 320 с. 6. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения ли- нейных систем / Дж. Ортега. — М. : Мир, 1991. — 364 с. 7. Капорин И. Е. О предобуславливании метода сопряженных градиентов при решении дискретных аналогов дифференциальных задач / И. Е Капо- рин // Дифференц. уравнения. — 1990. — Т. 26. — № 7. — С. 1225–1236. 8. Ильин В. П. Методы бисопряженных направлений в подпространствах Крылова / B. П. Ильин // Сибирский журнал индустриальной математи- ки. — 2008. — Т. ХІ. — № 4 (36). — C.47–60. 9. Зверев В. Г. Модифицированный полинейный метод решения разностных эллиптических уравнений / В. Г. Зверев // ЖВМ и МФ. — 1998. — Т. 38. — № 9. — С. 1553–1562. 10. Yousef Saad. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. — N.Y. : PWS Publ., 1996. — 460 p. 11. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. — М. : Мир, 1989. — 655 с. 12. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы / Б. Парлетт. — М. : Мир, 1983. — 384 с. 13. Фомин А. А. Сравнение эффективности высокоскоростных методов ре- шения разностных эллиптических СЛАУ / А. А. Фомин, Л. Н. Фомина // Вестник Томского университета. Сер. Математика и механика. — 2009. — № 2. — C. 71–77. 14. Абрамчук В. С. Итерационные методы направленного поиска решения систем Ax = f с сингулярно-естественным упорядочением переменных / В. С. Абрамчук // Доклады АН Украины. — 1996. — № 8. — С. 4–8. 15. Абрамчук В. С. Сопряженные задачи с задачей решения системы Ax = f / В. С. Абрамчук // Доклады АН Украины. — 1993. — № 1. — С. 5–9. It is proved that the method of guided search for solving linear sys- tems Ax b  ,  nA M R has basic factors of iterative methods efficiency. Key words: method of guided search, Krylov’s subspace, maximiza- tion of Relay’s relation. Отримано: 15.03.2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description << /ARA <FEFF06270633062A062E062F0645002006470630064700200627064406250639062F0627062F0627062A002006440625064606340627062100200648062B062706260642002000410064006F00620065002000500044004600200645062A064806270641064206290020064506390020064506420627064A064A0633002006390631063600200648063706280627063906290020062706440648062B0627062606420020062706440645062A062F062706480644062900200641064A00200645062C062706440627062A002006270644062306390645062706440020062706440645062E062A064406410629061B0020064A06450643064600200641062A062D00200648062B0627062606420020005000440046002006270644064506460634062306290020062806270633062A062E062F062706450020004100630072006F0062006100740020064800410064006F006200650020005200650061006400650072002006250635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E> /BGR <FEFF04180437043f043e043b043704320430043904420435002004420435043704380020043d0430044104420440043e0439043a0438002c00200437043000200434043000200441044a0437043404300432043004420435002000410064006f00620065002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d04420438002c0020043f043e04340445043e0434044f044904380020043704300020043d043004340435043604340435043d0020043f044004350433043b04350434002004380020043f04350447043004420020043d04300020043104380437043d0435044100200434043e043a0443043c0435043d04420438002e002000200421044a04370434043004340435043d043804420435002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d044204380020043c043e0433043004420020043404300020044104350020043e0442043204300440044f0442002004410020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200441043b0435043404320430044904380020043204350440044104380438002e> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <FEFF30d330b830cd30b9658766f8306e8868793a304a3088307353705237306b90693057305f002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a3067306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f3092884c3044307e30593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020007000690065006d01130072006f00740069002000640072006f016100610069002000620069007a006e00650073006100200064006f006b0075006d0065006e007400750020006100700073006b006100740065006900200075006e0020006400720075006b010101610061006e00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ітераційні методи розв’язування систем лінійних рівнянь з довільними невиродженими матрицями

Institution

Ähnliche Einträge