Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра

Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра

В работе рассматривается задача оптимального управления, описываемая системой двумерных разностных уравнений типа Вольтерра. Изучен случай вырождения дискретного условия максимума....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2012
Автори: Амирова, Р.Р., Мансимов, К.Б.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48816
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра / Р.Р. Амирова, К.Б. Мансимов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 17-29. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48816
record_format dspace
spelling irk-123456789-488162013-09-05T14:26:13Z Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра Амирова, Р.Р. Мансимов, К.Б. В работе рассматривается задача оптимального управления, описываемая системой двумерных разностных уравнений типа Вольтерра. Изучен случай вырождения дискретного условия максимума. In this work there is considered an optimal control problem for Volterra discrete systems. Necessary conditions of optimality are derived. 2012 Article Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра / Р.Р. Амирова, К.Б. Мансимов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 17-29. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48816 517.977.56 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description В работе рассматривается задача оптимального управления, описываемая системой двумерных разностных уравнений типа Вольтерра. Изучен случай вырождения дискретного условия максимума.
format Article
author Амирова, Р.Р.
Мансимов, К.Б.
spellingShingle Амирова, Р.Р.
Мансимов, К.Б.
Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Амирова, Р.Р.
Мансимов, К.Б.
author_sort Амирова, Р.Р.
title Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра
title_short Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра
title_full Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра
title_fullStr Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра
title_full_unstemmed Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра
title_sort об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа вольтерра
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2012
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48816
citation_txt Об оптимальности особых управлений в задаче управления для двумерного разностного уравнения типа Вольтерра / Р.Р. Амирова, К.Б. Мансимов // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 17-29. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT amirovarr oboptimalʹnostiosobyhupravlenijvzadačeupravleniâdlâdvumernogoraznostnogouravneniâtipavolʹterra
AT mansimovkb oboptimalʹnostiosobyhupravlenijvzadačeupravleniâdlâdvumernogoraznostnogouravneniâtipavolʹterra
first_indexed 2025-07-04T09:33:54Z
last_indexed 2025-07-04T09:33:54Z
_version_ 1836708411634352128
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 17 УДК 517.977.56 Р. Р. Амирова*, аспирант, К. Б. Мансимов**, д-р физ.-мат. наук *Институт кибернетики НАН Азербайджана, г. Баку, **Бакинский государственный университет, г. Баку ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРА В работе рассматривается задача оптимального управле- ния, описываемая системой двумерных разностных уравнений типа Вольтерра. Изучен случай вырождения дискретного ус- ловия максимума. Ключевые слова: необходимое условие оптимальности, система разностных уравнений Вольтерра, дискретный принцип максимума, особые управления, формула приращения. Введение. К настоящему времени, исходя из теоретических и при- кладных требований, изучены различные задачи оптимального управле- ния, описываемые разностными аналогами дифференциальных уравне- ний и уравнений математической физики. Среди задач оптимального управления особое место занимают задачи оптимального управления описываемые интегральными уравнениями Вольтерра, которые играют важную роль при моделировании многих реальных систем управления. Как отмечено, например, в 1—8 уравнения Вольтерра широко используются при построении моделей ряда явлений механики, сплошной среды и биомеханики. Уравнения Вольтерра с дискретным временем используются в не- которых численных схемах решения интегральных уравнений с непре- рывным временем, а также при построении ряда математических моде- лей динамики популяций. В работах 8—11 и др. изучены задачи опти- мального управления, описываемые интегральными уравнениями Воль- терра. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности. Работа посвящена постановке и исследованию одной задачи опти- мального управления, описываемой системой двумерных разностных уравнений Вольтерра. Сначала доказано необходимое условие опти- мальности в форме дискретного условия максимума. Затем рассмотрен случай вырождения дискретного условия максимума (особый случай). Доказаны необходимые условия оптимальности особых в смысле прин- ципа максимума Понтрягина управлений. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о минимуме функционала © Р. Р. Амирова, К. Б. Мансимов, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 18     1 1,S u z t x (1) при ограничениях       0 0 1 0 0 1 , , , , : , 1,..., ; , 1,..., , ru t x U R t x T X t x t t t t x x x x          (2)          0 0 , , , , , , , , , , t x t s x z t x f t x s z s u s t x T X           . (3) Здесь  z — заданная дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция, 0 1 0 1, , ,t t x x — заданы,  , , , , ,f t x s z u — задан- ная n -мерная вектор-функция непрерывная по совокупности пере- менных вместе с частными производными по z до второго порядка включительно,  ,u t x — r -мерный вектор управляющих воздейст- вий, U — заданное непустое и ограниченное множество. Каждую управляющую функцию, удовлетворяющую ограниче- нию (2), назовем допустимым управлением, а пару     , , ,u t x z t x — допустимым процессом. Уравнение (3) представляет собой разностный аналог двумерно- го интегрального уравнения Вольтерра. Предполагается, что каждому допустимому управлению  ,u t x соответствует единственное дис- кретное решение уравнения (3). Вопросы существования, единственности и ограниченности ре- шений нелинейных одномерных разностных уравнений Вольтерра исследованы в работах 5; 12—14 и др. Заметим, что различные аспекты многопараметрических и в ча- стности двухпараметрических дискретных систем управления изуче- ны в работах 15—22 и др. Допустимое управление  ,u t x , доставляющее минимум функ- ционалу (1) при ограничениях (2), (3), назовем оптимальным управ- лением, а соответствующий процесс     , , ,u t x z t x — оптималь- ным процессом. Формула приращения критерия качества. Пусть   , ,u t x  ,z t x — фиксированный допустимый процесс, и вдоль него мно- жество      , , , , , : , , , , , , ,f t x s z U f t x s z s v v U       (4) выпукло при всех  , , ,t x s . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 19 Через  , ;u t x  , обозначим произвольное допустимое управле- ние такое, что соответствующее ему состояние процесса  , ;z t x  удовлетворяет соотношению        0 0 , ; , , , , , : , , : t x t s x z t x f t x s z s u s                  0 0 , , , , , : , , t x t s x f t x s z s u s           (5)          , , , , , : , , , , , , , : , , ,f t x s z s v s f t x s z s u s             где  0,1  произвольное число, а  ,v t x U ,  ,t x T X  произ- вольное допустимое управление. Такое допустимое управление  , ;u t x  существует в силу вы- пуклости множества (4). Пусть, по определению,        2 2 0 0 , : , : , ; , z t x z t x y t x Y t x              . (6) Используя (5) и учитывая гладкость вектор-функции  , , , , ,f t x s z u , доказывается, что  ,y t x и  ,Y t x являются соот- ветственно решениями линейных неоднородных разностных уравне- ний типа Вольтерра                 0 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , t x z t s x v s y t x f t x s z s u s y s f t x s z s u s                  (7)                   0 0 , , , , , , , , , , 2 , , , , , , , , t x z t s x zv s Y t x f t x s z s u s Y s f t x s z s u s y s                    (8)         , , , , , , , , , .zzy s f t x s z s u s y s       Здесь, и в дальнейшем, используются обозначения типа                  , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , v s f t x s z s u s f t x s z s v s f t x s z s u s               (') штрих означает для векторов скалярное произведение, для мат- риц — операцию транспонирования. Математичне та комп’ютерне моделювання 20 При этом специальное приращение функционала (1), отвечающее допустимым управлениям  , ;u t x  и  , ,u t x записывается в виде                            2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 12 , , ; , , 2 , , , , , 0 . 2 z t x S u S u t x S u t x y t x z z t x z t x y t x y t x Y t x zz                      (9) Положим               1 1 , , , , , , , , , , , , , , , t x t s x H t x z t x u t x t x s f s t x z t x u t x                 1 1 1 1, , , , , , , , .z z t x f t x t x z t x u t x Здесь  ,t x  n -мерная вектор-функция сопряженных пе- ременных, являющаяся решением уравнения         , , , , , , , ,zt x H t x z t x u t x t x  . (10) Уравнение (10) является аналогом сопряженной системы [23—25] для задачи управления (1)—(3) и представляет собой линейное неодно- родное разностное уравнение Вольтерра относительно  ,t x . Теорема 1. Специальное приращение критерия качества (1) можно представить в виде                              1 1 0 0 1 1 0 0 , 22 1 1 1 1 1 12 , , , , , , , , , , 2 , , , , , , , , , t x v t x t t x x t x zz t t x x S u H t x z t x u t x t x z t x y t x y t x z y t x H t x z t x u t x t x y t x                          (11)             1 1 0 0 2 ,2 , , , , , , , , 0 . t x zv t x t t x x H t x z t x u t x t x y t x          Доказательство. Умножая обе части соотношений (7), (8) слева скалярно на  ,t x , а затем суммируя обе части полученных соотношений по t  x от 0t  0x до 1t  1x получим     1 1 0 0 , , t x t t x x t x y t x      Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 21        1 1 0 0 0 0 , , , , , , , , t x t x z t t x x t s x t x f t x s z s u s                   (12)         ,, , , , , , , , ,u sy s f t x s z s u s                                       1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 , , , , , , , , , , , , 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , . t x t t x x t x t x z t t x x t s x zu s zz t x Y t x t x f t x s z s u s Y s f t x s z s u s y s y s f t x s z s u s y s                                          (13) Справедливо следующее утверждение. Лемма. Пусть  , , ,L t x s и  , , ,K t x s заданные  n n мат- ричные функции. Тогда справедливо тождество         0 0 0 0 0 0 , , , , , , , , , , , , . m t x t t x x t s x m m t t x x t s x L m t x K t x s L m s K s t x                                        Лемма представляет собой двумерный аналог дискретного ана- лога формулы Фубини из 1; 7. Используя эту лемму и полагая               1 1 , , , , , , , , , , , , , , , t x t s x M t x z t x u t x t x s f s t x z t x u t x          , тождества (12), (13) преобразуются к виду                       1 1 1 1 0 0 0 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , t x t x z t t x x t t x x v t x t x y t x M t x z t x u t x t x y t x M t x z t x u t x t x                 (14)              1 1 1 1 0 0 0 0 , , , , , , , , , , t x t x z t t x x t t x x t x Y t x M t x z t x u t x t x Y t x                      ,2 , , , , , , , ,zv t x M t x z t x u t x t x y t x   (15)           , , , , , , , , , .zzy t x M t x z t x u t x t x y t x   Математичне та комп’ютерне моделювання 22 Далее из (7), (8) ясно, что                 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , . t x z t t x x v t x y t x f t x t x z t x u t x y t x f t x t x z t x u t x                  1 1 0 0 1 1 1 1, , , , , , , , , t x z t s x Y t x f t x s z s u s Y s           (16)                   1 1, 1 1 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , . zv s zz f t x s z s u s y s y s f t x s z s u s y s                Принимая во внимания тождества (14)—(16) в (9) приходим к разложению                                     1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 22 1 1 1 1 1 1, 2 2 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , , , , , , , , , 2 , , , , , , , , , , 2 t x z t t x x v t x t x z t t x x z t x S u f t x t x z t x u t x y t x z z t x f t x t x z t x u t x y t x z z t x y t x f t x t x z t x u t x Y t x z                                               1 1 0 0 1 1, 1 1 1 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , zv s t x zz t t x x f t x t x z t x u t x y t x y t x f t x t x z t x u t x t x y t x                         1 1 0 0 , , , , , , , , t x z t t x x M t x z t x u t x t x y t x                     1 1 0 0 2 , , , , , , , , , , 2 t x v t x t t x x M t x z t x u t x t x t x Y t x                    1 1 0 0 2 , , , , , , , , 2 t x z t t x x M t x z t x u t x t x Y t x                                , 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , 0 . zv t x zz M t x z t x u t x t x y t x y t x M t x z t x u t x t x y t x         Отсюда, группируя подобные члены и принимая во внимания выражение функции Гамильтона—Понтрягина, будем иметь Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 23                     1 1 0 0 1 1 0 0 2 , , , , , , , , , , , , , , , , 2 t x z t t x x t x z t t x x S u H t x z t x u t x t x y t x H t x z t x u t x t x Y t x                                            1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 2 , 22 1 1 1 1 1 12 , , , , 2 , , , , , , , , , , 2 t x t x t t x x t t x x t x v t x t t x x t x y t x t x Y t x H t x z t x u t x t x z t x y t x y t x z                                                      1 1 0 0 1 1 0 0 2 , 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , 0 . 2 t x zv t x t t x x t x zz t t x x H t x z t x u t x t x y t x y t x H t x z t x u t x t x y t x                   Отсюда, с учетом того, что  ,t x является решением уравне- ния (10) приходим к разложению (11). Теорема доказана. Необходимые условия оптимальности. Из разложения (11) в силу произвольности  0,1  , сразу следует утверждение. Теорема 2. Если множество (4) выпуклое, то для оптимальности допустимого управления  ,u t x в задаче (1)—(3) необходимо, чтобы неравенство          1 1 0 0 , , , , , , , , 0 t x v t x t t x x H t x z t x u t x t x      (17) выполнялось для всех  ,v t x U ,  ,t x T X  . Теорема 2 представляет собой аналог дискретного принципа максимума Понтрягина 22—25 для рассматриваемой задачи и явля- ется необходимым условием оптимальности первого порядка. Поэтому число неоптимальных управлений, удовлетворяющих условию максимума (17), может оказаться достаточно большим. Кроме того, не исключена возможность вырождения условия опти- мальности (17) (см., напр., 26). Изучим случай вырождения необходимого условия оптимально- сти (17). Математичне та комп’ютерне моделювання 24 Определение 1. Допустимое управление  ,u t x назовем осо- бым в смысле принципа максимума Понтрягина управлением в зада- че (1)—(3), если соотношение          1 1 0 0 , , , , , , , , 0 t x v t x t t x x H t x z t x u t x t x      (18) выполняется для всех  ,v t x U ,  ,t x T X  . Из определения ясно, что для особых управлений условие мак- симума теряет свое содержательное значение. Поскольку в этом слу- чае функция Гамильтона—Понтрягина не зависит от параметров управления. Особые управления, по определению, удовлетворяют необходи- мым условиям оптимальности первого порядка и следовательно для их анализа с точки зрения оптимальности нужны условия оптималь- ности второго, а иногда и более высокого порядка 26. Поэтому возникает необходимость в дальнейшем исследовании особых управлений. Из разложения (11), с учетом (18), следует следующее утверж- дение. Теорема 3. Если множество (4) выпуклое, то для оптимальности особого, в смысле принципа максимума Понтрягина, управления  ,u t x в задаче (1)—(3) необходимо, чтобы неравенство                              1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , , , , 2 , , , , , , , , 0 zz t x zz t t x x zv t x y t x z t x y t x y t x H t x z t x u t x t x y t x H t x z t x u t x t x y t x                (19) выполнялось для всех  ,v t x U ,  ,t x T X  . Здесь  ,y t x является решением уравнения в вариациях (7). Неравенство (19) является довольно общим необходимым усло- вием оптимальности особых управлений. Опираясь на это неравенство, в некоторых случаях удается по- лучить конструктивно проверяемые необходимые условия оптималь- ности особых, в смысле принципа максимума Понтрягина, управле- ний явно выраженные через параметры задачи (1)—(3). Уравнение в вариациях (7) является линейным неоднородным двумерным разностным уравнением типа Вольтерра. Используя схему работ 1; 3—7 доказывается, что решение уравнения в вариациях (7)  ,y t x допускает представление Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 25                   0 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . t x v s t s x t x v s s y t x f t x s z s u s R t x f s z s u s                                 (20) Здесь  , , ,R t x s является решением линейного неоднородного матричного разностного уравнения               , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . m z t s x z R m t x R m s f s t x z t x u t x f m t x z t x u t x              (21) При помощи схемы, например, работы 1 доказывается, что  , , ,R m t x является также решением уравнения               , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . m z t s x z R m t x f m s z s u s R s t x f m t x z t x u t x                (22) Матричную функцию  , , ,R m t x по аналогии с работами 1; 3—7 назовем резольвентой уравнения в вариациях (7), а уравнения (21), (22) — уравнениями резольвенты. Предположим, что правая часть системы (3)  , , , , ,f t x s z u имеет вид:      , , , , , , , , , , ,f t x s z u A t x s g s z u   . (23) Тогда представление (20) принимает вид            0 0 ,, , , , , , , , , t x v s t s x y t x A t x s g s z s u s                                    0 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . t x v s s t x t x t s x s v s R t x A s g s z s u s A t x s R t x A s g s z s u s                                                     Полагая        , , , , , , , , , , , , t x s Q t x s A t x s R t x A s                 , Математичне та комп’ютерне моделювання 26 эту формулу записываем в виде            0 0 ,, , , , , , , , , t x v s t s x y t x Q t x s g s z s u s           . (24) Из представления (24) ясно, что            1 1 0 0 1 1 1 1 ,, , , , , , , , , t t v s t t y t x Q t x s g s z s u s            . Поэтому получаем, что                         1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , . zz t x t x zzv s t s x t x v y t x z t x y t x g s z s u s z t x g z u                                 (25) Далее ясно, что            1 1 0 0 , , , , , , , , , t x zv t x t t x x H t x z t x u t x t x y t x                 1 1 0 0 0 0 , , , , , , , , , , , t x t x zv t x t t x x t s x H t x z t x u t x t x Q t x s                 (26)       , , , , , , .v s g s z s u s      Наконец, используя схемы, например работ 20; 21, доказывает- ся тождества                   1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 , , , , , , , , , , , , , , , t x zz t t x x t x t x v s t s x t x y t x H t x z t x u t x t x y t x g s z s u s                              1 1 max , max , , , , t x t x s Q t x s             (27)          , , , , , , , , , ,zzH t x z t x u t x t x Q t x          , , , , , ,v g z u        . Принимая во внимания тождества (25)—(27) в неравенстве (19) приходим к соотношению Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 27          1 1 1 1 0 0 0 0 , , , , , , , , , t x t x v s t s x t x g s z s u s M s                                   1 1 0 0 0 0 , , , , , , , 2 , , , , , , , v t x t x zv t x t s x t s x g z u H t x z t x u t x t x                           (28)         ,, , , , , , , , 0v sQ t x s g s z s u s       . Здесь по определению                        1 1 1 1 1 1 1 max , max , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . zz t x t x s zz M s Q t x s z t x Q t x Q t x s H t x z t x u t x t x Q t x                         (29) Сформулируем полученный результат. Теорема 4. Если множество (4) выпуклое, то для оптимальности особого, в смысле принципа максимума Понтрягина, управления  ,u t x в задаче (1)—(3), (23) необходимо, чтобы неравенство (28) выполнялось для всех  ,v t x U ,  ,t x T X  . Заключение. В работе доказано необходимое условие оптималь- ности в форме дискретного условия максимума, а затем исследован особый случай, т.е. случай вырождения дискретного принципа мак- симума. Установлено, необходимое условие оптимальности, особых в смысле принципа максимума Понтрягина, управлений. Список использованной литературы: 1. Колмановский В. Б. Об асимптотической эквивалентности решений неко- торых разностных уравнений Вольтерра / В. Б. Колмановский // Автома- тика и телемеханика. — 2001 — № 4. — С. 47–56. 2. Lakshmikantham V. Theory of difference equations / V. Lakshmikantham, D. Trigiante. — Academic Press, 1988. 3. Колмановский В. Б. О предельной периодичности решений некоторых систем Вольтерра / В. Б. Колмановский // Автоматика и телемеханика. — 2001. — Т. 5. — С. 36–43. 4. Ивинская Е. В. Об ограниченности решений некоторых разностных урав- нений Вольтерра / Е. В. Ивинская, В. Б. Колмановский // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 8. — С. 86–97. 5. Song Y. Perturbation theory for discrete Volterra equations / Y. Song, C. T. H. Baker // Journ. Difference Equ. Appl. — 2003. — Vol. 9, № 10. — P. 969–987. Математичне та комп’ютерне моделювання 28 6. Choi S. K. Asymptotik behavior of nonlinear Volterra difference systems / S. K. Choi, Y. H. Goo, N. J. Koo // Bull. Korean Math. Soc. — 2007. — Vol. 44, № 1. — P. 177–184. 7. Zouyousefain M. Stability results for difference equations of Volterra type / M. Zouyousefain, S. Leela // Applid. Math. Comput. — 1990. — Vol. 36, № 1. — P. 51–61. 8. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распре- деленными параметрами / А. Г. Бутковский. — М. : Наука, 1965. — 628 с. 9. Винокуров В. Р. Оптимальное управление системами, описываемыми интегральными уравнениями / В. Р. Винокуров // Изв. вузов. Сер. мат. — 1967. — № 7. — С. 21–33. 10. Carlson D. A. An elementary proof of the maximum principle for optimal con- trol problems governed by a Volterra integral equations / D. A. Carlson // Journal Optimiz. Theory and Appl. — 1987. — Vol. 54, № 1. — P. 43–61. 11. Абдуллаев А. А. Необходимые условия оптимальности второго порядка для процессов, описываемых системой нелинейных интегральных урав- нений типа Вольтерра / А. А. Абдуллаев, К. Б. Мансимов // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 1. — С. 3–11. 12. Choi K. S. Existence and boundedness of solutions for Volterra discrete equa- tions / K. S. Choi, Y. H. Goo, N. J. Koo // Journal of the Chungcheong mathe- matical society. — 2006. — Vol. 19, № 3. — P. 237–244. 13. Elaydi S. N. Global stability of nonlinear Volterra difference system / S. N. Elaydi, V. L. Kocic // Differential Equations Dynam. Systems. — 1994. — Vol. 2. — P. 87–90. 14. Baker C. T. H. Discrete Volterra equations – Discrete Volterra Operators, Fixed Point Theorems and their Application / C. T. H. Baker, Y. Song // Nu- merical Analysis Report. — 2002. — № 398. — 22 p. 15. Гайшун И. В. Условия разрешимости и управляемость линейных двухпа- раметрических дискретных систем / И. В. Гайшун, В. В. Горячкин // Дифференц. уравнения. — 1988. — Т. 24, № 12. — С. 2047–2051. 16. Гайшун И. В. Дифференциально-разностные двухпараметрические сис- темы управления / И. В. Гайшун // Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30, № 6. — С. 821–938. 17. Дымков М. П. Задача оптимального управления двухпараметрической системой в гильбертовом пространстве / М. П. Дымков, И. В. Гайшун // Вычисл. и приклад. мат. — 1996. — Вып. 80. — С. 10–23. 18. Васильев О. В. Об оптимальных процессах в двухпараметрических дис- кретных системах / О. В. Васильев, Ф. М. Кириллова // Докл. АН СССР. — 1967 — Т. 173, № 1. — С. 17–19. 19. Дымков М. П. Экстремальные задачи в многопараметрических системах управления / М. П. Дымков. — Мн. : БГЭУ, 2005. — С. 363. 20. Мансимов К. Б. Оптимизация одного класса дискретных двухпараметри- ческих систем / К. Б. Мансимов // Дифференц. уравнения. — 1991. — Т. 27, № 2. — С. 359–361. 21. Мансимов К. Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка в дискретных двухпараметрических системах / К. Б. Мансимов // Изв. АН Азербайджана. Сер. физ.-техн. и мат. наук. — 1998. — № 2. — C. 56–60. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 29 22. Мансимов К. Б. Дискретные системы / К. Б. Мансимов. — Баку : Изд-во БГУ, 2002. — 114 с. 23. Габасов Р. Методы оптимизации / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. — Мн. : Изд-во БГУ. — 400 с. 24. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов / А. И. Пропой. — М. : Наука, 1973. — 256 с. 25. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами / Л. Т. Ащепков. — Новосибирск, 1987 — 272 с. 26. Габасов Р. Особые оптимальные управления / Р. Габасов, Ф. М. Кирилло- ва. — М. : Наука, 1973. — 256 с. In this work there is considered an optimal control problem for Volterra discrete systems. Necessary conditions of optimality are derived. Key words: necessary optimality condition, system of Volterra differ- ence equations, discrete maximum principle, singular control, increment formula. Отримано: 02.03.2012 УДК 517.9 С. М. Бак*, канд. фіз.-мат. наук, К. Є. Рум’янцева**, канд. пед. наук *Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського, м. Вінниця, **Вінницький інститут економіки Тернопільського національного економічного університету, м. Вінниця КОРЕКТНІСТЬ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ НЕСКІНЧЕННОЇ СИСТЕМИ НЕЛІНІЙНИХ ОСЦИЛЯТОРІВ З КУБІЧНИМ ПОТЕНЦІАЛОМ НА ДВОВИМІРНІЙ ҐРАТЦІ Стаття присвячена вивченню нескінченної системи дифе- ренціальних рівнянь, яка описує нескінченний ланцюг лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів. Отримано результат про іс- нування та єдиність глобального розв’язку задачі Коші у випа- дку кубічного потенціалу. Ключові слова: нелінійні осцилятори, двовимірна ґратка, задача Коші, глобальний розв’язок, кубічний потенціал. Вступ. У цій статті вивчаються рівняння, які описують динаміку нескінченної системи лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів, роз- міщених на цілочисловій двовимірній ґратці. Нехай  ,n mq t — уза- гальнена координата  ,n m -го осцилятора в момент часу t . Перед- бачається, що кожний осцилятор лінійно взаємодіє з чотирма своїми © С. М. Бак, К. Є. Рум’янцева, 2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000640065002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650063007500610064006f007300200070006100720061002000760069007300750061006c0069007a00610063006900f3006e0020006500200069006d0070007200650073006900f3006e00200064006500200063006f006e006600690061006e007a006100200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d00650072006300690061006c00650073002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси