Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови

Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови

У роботі побудовано ітераційні числові алгоритми для розв’язування оптимізаційних крайових задач із загальними алгебраїчними, диференціальними та інтегро-диференціальними рівняннями та нерівностями. У випадках порожньої множини допустимих розв’язків крайової задачі побудовані ітераційні алгоритми ге...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2012
Автори: Бейко, І.В., Щирба, О.В.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48819
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови / І.В. Бейко, О.В. Щирба // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 41-49. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48819
record_format dspace
spelling irk-123456789-488192013-09-05T03:06:00Z Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови Бейко, І.В. Щирба, О.В. У роботі побудовано ітераційні числові алгоритми для розв’язування оптимізаційних крайових задач із загальними алгебраїчними, диференціальними та інтегро-диференціальними рівняннями та нерівностями. У випадках порожньої множини допустимих розв’язків крайової задачі побудовані ітераційні алгоритми генерують узагальнені оптимальні розв’язки. Прискорення збіжності досягається із використанням методів Ньютона. In the paper numerical algorithms are designed for solving boundary optimization problems with generalized algebraic, differential, and integral-differential equations and inequalities. In cases of empty sets of the boundary problem solutions, the designed iterative algorithms compute generalized optimal solutions. Accelerated convergence is achieved by implementation of the Newton type iterates. 2012 Article Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови / І.В. Бейко, О.В. Щирба // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 41-49. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48819 519.6 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У роботі побудовано ітераційні числові алгоритми для розв’язування оптимізаційних крайових задач із загальними алгебраїчними, диференціальними та інтегро-диференціальними рівняннями та нерівностями. У випадках порожньої множини допустимих розв’язків крайової задачі побудовані ітераційні алгоритми генерують узагальнені оптимальні розв’язки. Прискорення збіжності досягається із використанням методів Ньютона.
format Article
author Бейко, І.В.
Щирба, О.В.
spellingShingle Бейко, І.В.
Щирба, О.В.
Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Бейко, І.В.
Щирба, О.В.
author_sort Бейко, І.В.
title Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови
title_short Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови
title_full Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови
title_fullStr Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови
title_full_unstemmed Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови
title_sort узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2012
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48819
citation_txt Узагальнені розв’язки оптимізаційних крайових задач та ітераційні методи їх побудови / І.В. Бейко, О.В. Щирба // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 41-49. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT bejkoív uzagalʹnenírozvâzkioptimízacíjnihkrajovihzadačtaíteracíjnímetodiíhpobudovi
AT ŝirbaov uzagalʹnenírozvâzkioptimízacíjnihkrajovihzadačtaíteracíjnímetodiíhpobudovi
first_indexed 2025-07-04T09:34:09Z
last_indexed 2025-07-04T09:34:09Z
_version_ 1836708425004744704
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 41 УДК 519.6 І. В. Бейко, д-р техн. наук, професор, О. В. Щирба, аспірант Національний технічний університет України «КПІ», м. Київ УЗАГАЛЬНЕНІ РОЗВ’ЯЗКИ ОПТИМІЗАЦІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТА ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ ЇХ ПОБУДОВИ У роботі побудовано ітераційні числові алгоритми для розв’язування оптимізаційних крайових задач із загальними алге- браїчними, диференціальними та інтегро-диференціальними рів- няннями та нерівностями. У випадках порожньої множини допус- тимих розв’язків крайової задачі побудовані ітераційні алгоритми генерують узагальнені оптимальні розв’язки. Прискорення збіж- ності досягається із використанням методів Ньютона. Ключові слова: крайові задачі, керовані системи, уза- гальнені розв’язки, оптимальне керування. Вступ. Труднощі практичного розв’язування задач оптимально- го керування процесами із розподіленими параметрами пов’язані із надмірними розмірностями комп’ютерних моделей процесів із роз- поділеними параметрами. Додаткові труднощі привносить неповнота даних про причинно-наслідкові залежності у взаємодії між підсисте- мами керованої системи та конструктивна складність взаємодії тех- нологічних процесів і підсистем. Такі складні задачі можуть не мати оптимального розв’язку і для них у даній роботі визначаються уза- гальнені оптимізаційні розв’язки та будуються числові алгоритми для оптимізації ускладнених систем із алгебраїчними, диференціальними та інтегро-диференціальними підсистемами. Узагальнена оптимізаційна крайова задача. Узагальнена оп- тимізаційна крайова задача формулюється як задача відшукання век- тор-функції : ru D R , ( , ) ( , ),u t s U t s 0( , ) , t s D D  (1) min max 2 0 ( , ) ( , ) ( , ) | ( , ); ( , ) , ( , , ) i j k kij kiji j u t s U t s u t s u t s u t s k i j K t s            , на якій досягає мінімального значення критерій оптимальності 1 11 2 1 ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , i j k kijl i j k i j KD i j k kijl i j k i j K x t s J x u a t s t s u t s b t s dsdt t s                    (2) © І. В. Бейко, О. В. Щирба, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 42 де вектор-функція : nx D R є траєкторією розподіленого процесу, що описується системою диференціальних рівнянь із частинними похідними 1 ( , ) 0,lA x u  1,l L (3) 1 2 1 ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) l l i j i j k k l kijl kijli j i j k i j K k i j K x t s u t s A x u c t s d t s t s t s              і задовольняє системі алгебро-інтегро-диференціальних нерівностей та рівнянь 2 ( , ) 0lA x u  для 2l L і 2 ( , ) 0lA x u  для 3 ,l L (4) 3 ( , ) 0lA x u  для 4l L і 3 ( , ) 0lA x u  для 5 ,l L (5) 4 ( , ) 0lA x u  для 6l L і 4 ( , ) 0lA x u  для 7 ,l L (6) визначених функціями 1 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , l ll i j i j k k l kijl kijli j i j k i j K k i j KD x t s u t s A x u c t s d t s dtds t s t s                  1 3 ( , , ) ( , ( )) ( , ) ( , ( )) ll i j k l l kijl l i j k i j KT x t t A x u c t t t s             2 ( , , ) ( , ( )) ( , ) , l i j k l kijl i j k i j K u t t d t s dt t s         1 2 4 ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) l l l i j l l q ql l l kijl q q i j q Q k i j K i j l l q ql l kijl q q i j k i j K x t s A x u c t s t s u t s d t s t s                      на заданих множинах [0, ]lT T , 2D R , ,lL N lD D , lQ D , 1 2, {1,2,..., } ({0} ) ({0} )l lK K r N N     , 1 7{0} ...L L    і на за- даних функціях :kijl la D R , :kijl lb D R , :kijl lc D R , :kijl ld D R . Узагальнені оптимальні розв’язки. Для такої узагальненої оп- тимізаційної крайової задачі класичний розв’язок може не існувати * * ( , ) ( , ) arg min ( , ) x u x u J x u   (7) на допустимій множині Ω усіх тих функцій ( , )x u , які задовольняють переліченим рівностям та нерівностям. Проте визначений нами уза- гальнений розв’язок існує і будується як підпослідовність із послідо- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 43 вності ( , ) ( )k k kx u  , 0, lim ,k k k       де ( ) є множиною усіх тих функцій ( , )x u , які для всіх 1..4k  задовольняють нерівнос- ті ( , )klA x u  , nl L із парними значеннями n і задовольняють нерівності | ( , ) |klA x u  , nl L із непарними n , а також задоволь- няють нерівність ( , ) ( ) ( , ) inf ( , ) x u J x u J x u      , де  є тим мінімаль- ним числом, для якого при всіх   множина ( ) є тілесною. Описана нижче реалізація числового алгоритму для прискорено- го обчислення узагальненого розв’язку базується на використанні ньютонівських методів та чисельно-аналітичних апроксимацій шука- них функцій ,x u і їх частинних похідних. Якщо область D є цилін- дричною, 0 [0, ],D D T  то за допомогою методу прямих можна звести дану задачу до задачі оптимального керування процесом із зосередженими параметрами, який описується системою звичайних диференціальних рівнянь та нерівностей.  0( , ), ( , ), ( ), ( ) 0iF x p u p t p T p   , 1,i m . Прямі методи відшукання наближеного розв’язку оптимізацій- ної крайової задачі для загальної, можливо нециліндричної, області D опираються на параметричну або дискретну апроксимацію на- ближеного розв’язку крайової задачі. Для цього в області D будуємо дискретну множину  ( , ), 1..M k kD t s k M  вузлів ( , )k kt s D , шу- кані значення функцій ( , ), ( , )k k k kx t s u t s позначимо невідомими kx та ku , які далі обчислюємо як розв’язок { , 1.. }kX x k M  ,  , 1..kU u k M  апроксимаційної крайової задачі, отриманої замі- ною у кожному вузлі ( , )k kt s диференціальних рівнянь та нерівностей відповідними різницевими рівняннями ( , ) 0M klA X U  та нерівностя- ми ( , ) 0M klA X U  , де замість похідних ( , ) , i j k k i j x t s t s    ( , )i j k k i j u t s t s    використовуються їх різницеві наближення:  ( , ) , , , , , , , i j k k x k ki j x t s G k i j t s X U t s      ( , ) , , , , , , . i j k k u k ki j u t s G k i j t s X U t s     Математичне та комп’ютерне моделювання 44 У результаті приходимо до оптимізаційної задачі А: знайти уза- гальнений розв’язок   1 ( , )s s s X U   , який мінімізує функціонал ( , )MJ X U за умов (I)-(III): (І) ( , ) 0M klA X U  , 1..4k  , nl L , {2,4,6}n  ; (ІІ) | ( , ) | 0M klA X U  , 1..4k  , nl L , {1,3,5,7}n  ; (ІІІ) ( , )M k kU U t s , 1..k M . Для розв’язування задачі А до множини функцій  , 1..4, , {1,3,5,7}M kl nA k l L n   долучаємо множину функцій  , 1..4, , {1,3,5,7}M kl nA k l L n    і за допомогою відповідних перепозначень функцій та розширення множин nL із індексами {1,3,5,7}n  записуємо умови (І), (ІІ) уніфі- кованою системою нерівностей ( , ) 0M klA X U  для всіх k,l. Побудову узагальненого розв’язку здійснюємо за наступним ал- горитмом А1: Крок 1. Вибрати довільні початкові значення 1 1( , )X U і поклас- ти 1s  . Крок 2. Для заданих ( , )s sX U замінити матрицю sU її проекці- єю на множину ( , ).M k kU t s Крок 3. Обчислити * *( , ) arg max ( , )M s s kl kl k l A X U . Крок 4. Якщо * * ( , ) 0M s s k lA X U  , то покласти ( , ), ( , )M s s M s s X X U UW J X U W J X U    . Крок 5. Якщо * * ( , ) 0M s s k lA X U  , то покласти * * * *( , ), ( , )M s s M s s X X U Uk l k lW A X U W A X U    . Крок 6. Покласти 1 1( , ) ( , ) ( , ) / ( , ) .s s s s s X U X UX U X U W W W W    (10) Крок 7. Замінити матрицю 1sU  її проекцією на множину ( , )M k kU t s і перейти на крок 3. Теорема 1. Якщо задані функції :kijl la D R , :kijl lb D R , :kijl lc D R , :kijl ld D R є обмеженими і крокові множники 0s  Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 45 задовольняють умовам 1 , lim 0s s ss        , то для будь-яких почат- кових значень 1 1( , )X U побудована алгоритмом А1 послідовність 1{( , )}s s sX U   є узагальненим розв’язком оптимізаційної задачі А. Дійсно, із обмеженості функцій :kijl la D R , :kijl lb D R , :kijl lc D R , :kijl ld D R випливає обмеженість градієнтів , X UW W і обмеженість норми || ( , ) ||X UW W . Якщо послідовність 1{( , )}s s sX U   реалізована алгоритмом А1 не є узагальненим розв’язком оптимізаційної задачі А, то існує таке число   , що 1s  ( , ) ( )s sX U   , (11) де ( , ) ( ) ( ) ( , ) | ( , ) , ( , ) inf ( , )M M M kl X U X U A X U J X U J X U                  . Нехай ( , )X U  є внутрішньою точкою множини ( )  і для де- якого 0  виконується умова  ( , ) | ( , ) ( , ) ( )X U X U X U        . (12) Із (10), (11) і (12) отримуємо в евклідовій нормі 1 1 2( , ) ( , ) s sX U X U     2 ( , ) ( , ) / ( , ) ( , ) s s s X U X UX U W W W W X U     2 2 ( , ) ( , ) s s sX U X U       2 ( , ) / ( , ) , ( , ) ( , )s s s X U X UW W W W X U X U    = 2( , ) ( , ) ( 2 ).s s s sX U X U        Із умови lim 0s s    випливає існування такого числа S , що для всіх s S виконується нерівність s  . Це означає, що для всіх s S виконуються нерівності 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) s s s s sX U X U X U X U           , які суперечать умові 1 s s      і збіжність алгоритму доведена. Узагальнений алгоритм Ньютона. Для побудови наступного ал- горитму А2 прискореної збіжності приведемо апроксимаційну крайову Математичне та комп’ютерне моделювання 46 задачу до ЗНЛ нормального виду. Для цього невідомі матриці ( , )X U запишемо одним невідомим вектором v , оптимізаційну крайову задачу спочатку приведемо до задачі мінімізації функції ( , ) TJ x u с v при об- меженнях 1 1A v b , 2 2A v b із відомими векторами 1 2, , с b b та відомим матрицями 1A і 2A , а далі відомим методом введення додаткових змін- них із необхідними перепозначеннями невідомих прийдемо до нормалі- зованої задачі відшукання вектора nx R на системі рівнянь ,Ax b яка максимізує значення функції Tc x при обмеженнях 0x  . Якщо множина  * *: , , 0 n T nX x R Ax b c x f x     є непо- рожньою множиною розв’язків *x задачі лінійного програмування * min ,T x X f c x   { : , 0 } n nX x R Ax b x    , (13) то проекцію * 2* arg min x X x x x     (14) довільно вибраного вектора x  на множину X* можна обчислити як мінімізатор функції Лагранжа  2 *1 ( , , ) ( ) 2 T TL x p x x p b Ax c x f       , де множники Лагранжа p  Rm і   R1 є максимізаторами функції Лагранжа 1 max max min ( , , ). nm x Rp R R L x p     (15) Із умов Каруша-Куна-Таккера для задачі (14) 0T nx x A p c    ,  ( ) 0T nD x x x A p c    , 0nx  , Ax b , *Tc x f випливає, що значення  Tx x A p c     (16) є мінімізатором функції Лагранжа ( , , )L x p  , а розв’язок * *( , )p  оптимізаційної задачі 2 2* * *1 1 ( , ) arg max max ( ) 2 2m T T p R R p b p x A p c f x                   (17) визначає шукану проекцію  * * * .Tx x A p c      Беручи до уваги, що оптимальне значення f* є апріорі невідо- мим, у роботах [8; 9] запропоновано ітераційний метод Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 47 xs+1 = (xs + AT ps+1 – c)+, (18) 2 1 1 arg max ( ) 2m T T s s p R p b p x A p c           , (19) який в умовах непорожньої множини X* збігається до оптимального розв’язку * * Nx x X  за скінчене число кроків s = N при довільно вибраному початковому значенні x0 та довільно вибраному значенні  > 0, а остаточно обчислене за формулою u* = pN + 1 /  значення u* є розв’язком двоїстої задачі * max ,T u U f b u    :m TU u R A u c   . За відомою теоремою Каруша–Куна–Таккера система * * * *0 , 0 , ( ) 0 , m n nAx b x D x v    * * 0T nv c A u   , де через D(z) позначено діагональну матрицю із діагоналлю z, є необ- хідною і достатньою умовою оптимальності розв’язків x* та u*. Для розв’язування задачі максимізації (19) скористаємося обґрун- тованим у роботі [10] швидкозбіжним узагальненим методом Ньютона 1 1 ( , , )k k k p k sp p M F p x     , де замість матриці Гессе 2 2 ( , , )k sF p x p   (яка для негладкої по p функції 21 ( , , ) ( ) 2 T T s sF p x b p x A p c     може не існувати в деяких точках або бути виродженою) використаємо наближену до 2 2 ( , , )k sF p x p   симетричну матрицю T k kM AD A  mI із n × n діагональною матрицею kD , 1, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0. T s k i k ii T s k i x A p c D x A p c           Метод паралельної реалізації ітераційного процесу (18), (19) ра- зом із узагальненим методом Ньютона дозволяє обчислити наближені розв’язки x*, u* за алгоритмом А2: Крок 1. Задати довільні початкові значення x0 та p0, число  > 0, точності 1 0  та 2 0  і покласти s = 0. Крок 2. Обчислити   21 ( , , ) 2 T T k s k s kF p x b p x A p c       Крок 3. Обчислити градієнт  ( , , ) T p k k s kF p x b A x A p c        . Математичне та комп’ютерне моделювання 48 Крок 4. Обчислити матрицю T k k mM AD A I  , де діагональ- на матриця Dk  R n × n задається рівностями     1, 0, ( ) 0, 0. T s k i k ii T s k i x A p c D x A p c            Крок 5. Обчислити розв’язок v лінійної системи ( , , )k p k kM v F p x  . Крок 6. Обчислити pk +1 = pk – kp,  max , ,k k sS p p x      Крок 7. Якщо 1 1k kp p    , то покласти k = k + 1 і перейти до кроку 2. Крок 8. Обчислити  1 T s sx x A p c     Якщо 1 2s sx x    , то покласти 0p p  , s = s + 1 і перейти до кроку 2. Крок 9. Покласти * /u p   ,  * T sx x A p c     і завершити алгоритм. Для розв’язування оптимізаційних задач особливо великих розмір- ностей будуються паралельні ітераційні алгоритми, які можна здійсню- вати паралельно на багатопроцесорних обчислювальних системах [7]. З цією метою найбільш трудомісткі обчислювальні процеси, а саме, про- цеси обчислення градієнтів  ( , , ) T p k k s kF p x b A x A p c        та процеси розв’язування лінійних систем ( , , )k p k kM v F p x  при відшуканні напрямків v максимізації функціоналу F розподіляються на паралельні процеси, які допускають одночасну реалізацію на різних процесорах (ядрах). Висновки. Для відшукання узагальненого розв’язку оптиміза- ційної задачі із алгебраїчними, диференціальними та інтегро-дифе- ренціальними підсистемами у роботі побудовано чисельні алгоритми із використанням субградієнтних та ньютонівських методів оптимі- зації. Доведено збіжність побудованих ітераційних алгоритмів до шуканого узагальненого розв’язку. Список використаних джерел: 1. Бейко І. В. Випукла апроксимація керованого процесу і метод побудови узагальнених оптимальних режимів / І. В. Бейко // Український матема- тичний журнал. — 1973. — Т. XXV, вип. 3. — С. 343–346. 2. Бейко І. В. Функції оцінювання інформації в теорії оптимальних агрего- ваних моделей і оптимальних систем / І. В. Бейко // Кибернетика и систем- ный анализ. — 1996. — № 3. — C. 43–54. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 49 3. Бейко І. В. Уніфікована методологія розв‘язуючих операторів як новітня інформаційна технологія для відшукання нових знань і прийняття опти- мальних рішень (англійською мовою) / І. В. Бейко // Proc. "The Informa- tion Technology Contribution to the Building of a Safe Regional Environ- ment", AFCEA, Europe Seminar. — K., 1998. — Р. 44–50. 4. Бейко І. В. Розвиток методів розв’язуючих та асимптотично-розв’язую- чих операторів для побудови оптимальних та асимптотично-оптимальних математичних моделей / І. В. Бейко // Вісник Київського університету. Серія: Кібернетика. — К., 2002. — Вип. 3. — С. 10–15. 5. Бейко І. В. Методи і алгоритми розв’язування задач оптимізації / І. В. Бейко, Б. М. Бублик, П. М. Зінько. — К. : Вища школа, 1983. — 512 с. 6. Бейко И. В. Численные методы решения задач оптимального управления / И. В. Бейко, М. Ф. Бейко. — К. : Знание, 1968. — 44 с. 7. Гаранжа В. А. Параллельная реализация метода ньютона для решения больших задач линейного программирования / В. А. Гаранжа, А. И. Голи- ков, Ю. Г. Евтушенко, М. Х. Нгуен // Журн. вычисл. матем. и матем.физ. — 2009. — Т. 49, № 8. — С. 1369–1384. 8. Голиков А. И. Метод решения задач линейного программирования боль- шой размерности / А. И. Голиков, Ю. Г. Евтушенко // Докл. РАН. — 2004. — Т. 397, № 6. — С. 727–732. 9. Голиков А. И. Применение метода Ньютона к решению задач линейного программирования большой размерности / А. И. Голиков, Ю. Г. Евту- шенко, Н. Моллаверди // Журн. вычисл. матем. и матем.физ. — 2004. — Т. 44, № 9. — С. 1564–1573. 10. Mangasarian O. L. A Newton Method for Linear Programming / O. L. Man- gasarian // J. of Optimizat. Theory and Appl. — 2004. — V. 121. — P. 1–18. In the paper numerical algorithms are designed for solving boundary optimization problems with generalized algebraic, differential, and inte- gral-differential equations and inequalities. In cases of empty sets of the boundary problem solutions, the designed iterative algorithms compute generalized optimal solutions. Accelerated convergence is achieved by im- plementation of the Newton type iterates. Key words: boundary problems, control systems, general solutions, optimal control. Отримано: 12.03.2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <FEFF03a703c103b703c303b903bc03bf03c003bf03b903ae03c303c403b5002003b103c503c403ad03c2002003c403b903c2002003c103c503b803bc03af03c303b503b903c2002003b303b903b1002003bd03b1002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503c403b5002003ad03b303b303c103b103c603b1002000410064006f006200650020005000440046002003ba03b103c403ac03bb03bb03b703bb03b1002003b303b903b1002003b103be03b903cc03c003b903c303c403b7002003c003c103bf03b203bf03bb03ae002003ba03b103b9002003b503ba03c403cd03c003c903c303b7002003b503c003b903c703b503b903c103b703bc03b103c403b903ba03ce03bd002003b503b303b303c103ac03c603c903bd002e0020002003a403b10020005000440046002003ad03b303b303c103b103c603b1002003c003bf03c5002003ad03c703b503c403b5002003b403b703bc03b903bf03c503c103b303ae03c303b503b9002003bc03c003bf03c103bf03cd03bd002003bd03b1002003b103bd03bf03b903c703c403bf03cd03bd002003bc03b5002003c403bf0020004100630072006f006200610074002c002003c403bf002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002003ba03b103b9002003bc03b503c403b103b303b503bd03ad03c303c403b503c103b503c2002003b503ba03b403cc03c303b503b903c2002e> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси