Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода

Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода

Вивчено клас стохастичних диференціальних рівнянь, розв’язки яких не мають розривів другого роду, за допомогою ймовірнісних обмежених інтегральних контракторів....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2012
Hauptverfasser: Довгунь, А.Я., Ясинський, В.К.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Schriftenreihe:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48823
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода / А.Я. Довгунь, В.К. Ясинський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 78-90. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48823
record_format dspace
spelling irk-123456789-488232013-09-05T03:06:48Z Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода Довгунь, А.Я. Ясинський, В.К. Вивчено клас стохастичних диференціальних рівнянь, розв’язки яких не мають розривів другого роду, за допомогою ймовірнісних обмежених інтегральних контракторів. The class of stochastic differential equations which have solutions without points of discontinuity of the second type is studied with the help of probabilistic bounded integral contractors. 2012 Article Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода / А.Я. Довгунь, В.К. Ясинський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 78-90. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48823 519.718;519.217 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Вивчено клас стохастичних диференціальних рівнянь, розв’язки яких не мають розривів другого роду, за допомогою ймовірнісних обмежених інтегральних контракторів.
format Article
author Довгунь, А.Я.
Ясинський, В.К.
spellingShingle Довгунь, А.Я.
Ясинський, В.К.
Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Довгунь, А.Я.
Ясинський, В.К.
author_sort Довгунь, А.Я.
title Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода
title_short Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода
title_full Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода
title_fullStr Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода
title_full_unstemmed Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода
title_sort проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі скорохода
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2012
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48823
citation_txt Проблема існування розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з післядією та інтегральними контракторами у просторі Скорохода / А.Я. Довгунь, В.К. Ясинський // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 78-90. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT dovgunʹaâ problemaísnuvannârozvâzkívstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹzpíslâdíêûtaíntegralʹnimikontraktoramiuprostorískorohoda
AT âsinsʹkijvk problemaísnuvannârozvâzkívstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹzpíslâdíêûtaíntegralʹnimikontraktoramiuprostorískorohoda
first_indexed 2025-07-04T09:34:27Z
last_indexed 2025-07-04T09:34:27Z
_version_ 1836708443680931840
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 78 УДК 519.718;519.217 А. Я. Довгунь*, асистент, В. К. Ясинський**, д-р фіз.-мат. наук, професор *Буковинський державний фінансово-економічний університет, **Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ПРОБЛЕМА ІСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ПІСЛЯДІЄЮ ТА ІНТЕГРАЛЬНИМИ КОНТРАКТОРАМИ У ПРОСТОРІ СКОРОХОДА Вивчено клас стохастичних диференціальних рівнянь, розв’язки яких не мають розривів другого роду, за допомогою ймовірнісних обмежених інтегральних контракторів. Ключові слова: стохастичне диференціальне рівняння, інтеграл Скорохода, інтегральні контрактори. Постановка задачі. Нехай випадковий процес  ( ) ( , )x t x t  , [ , ]}t T  , > 0 , зі значеннями в nR , n -вимірний вінерів процес  ( ), [0, ]w t t T та центрована пуассонова міра 2 0 | ( , , ) | ( ) < t U c t u du dt   з  ( , ) = ( )E ds du du ds  задані на ймовірнісному просторі ( , , )F P з потоком  -алгебр { , 0},t tF t F F  [1—3]. При [ , ]t T  справ- джуються рівності ( ) ( ), [ ,0]x t t t    і 0 0 0 ( ) = (0) ( , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ), t t s s t s U x t a s x ds b s x dw s c s x u ds du           (1) якщо [0, ]t T . Тут :[0, ] na T D R  ; :[0, ] ( )nb T D M D  ; :[0, ] nc T D U R   , ( )nM D — матриця розмірності n n над простором D ; a , b , c — ви- мірні за сукупністю змінних; { ( )}, [ ,0]tx x t       ; = ([ ,0])D D  простір Скорохода неперервних справа функцій на відрізку [ ,0] , що мають лівосторонні границі [4; 5]. © А. Я. Довгунь, В. К. Ясинський, 2012 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 79 Тоді { ( ), 0}x t t  назвемо сильним розв'язком СДФР ( ) = ( , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , )t t t U dx t a t x dt b t x dw t c t x u ds du    (2) з початковою умовою ( ) = ( ), [ ,0].x t t t   (3) У просторі D для D  визначимо норму 0 ( ) sup | ( ) | .           (4) Зауважимо, що у рівномірній нормі (4) простір Скорохода D неповний. Тому всі результати одержано у розширеному просторі Скорохода, який надалі позначатимемо символом  [ ,0]D D   [5]. У роботі [6] доведено теорему існування і єдиності для детермі- нованого диференціального рівняння, а у [7] узагальнені результати на випадок стохастичних диференціальних рівнянь. Нехай ( , ) : [ , ] n i tG t x T D R   , = 1,2i , 3 ( , , ) : [0, ] n tG t x u T D U R   є обмеженими неперервними функціоналами. Для ,x y D введемо випадковий процес 1 2 0 0 3 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , ). t t s s t s U z t y t G s x y s ds G s x y s dw s G s x u y s ds du          (5) Припустимо, що існує додатна стала K така, що для всіх [0, ]t T виконуються нерівності 1| ( , ) ( , ) ( , ) | ,t t t ta t x z a t x G t x y K y    (6) 2| ( , ) ( , ) ( , ) | ,t t t tb t x z b t x G t x y K y    (7) 3| ( , , ) ( , , ) ( , , ) | ( ) ,t t t t U c t x z u c t x u G t x u y du K y     (8) майже скрізь відносно норми (4). Означення 1. Якщо умови (6), (7), (8) виконуються, то говорять, що коефіцієнти рівняння (2) мають обмежені інтегральні контрактори [6; 8]. Означення 2. Будемо говорити, що обмежений випадковий кон- трактор є правильним, якщо рівняння (5) має розв'язок в D для дові- льних ( )x t i ( )z t з D [9]. Означення 3. Говорять, що функціонал : [0, ] n nh T D R R   є стохастично замкнений, якщо для довільних ( )nx , x з ([0, ] )D T  та Математичне та комп’ютерне моделювання 80 ( )ny , y з D таких, що ( )nx x , ( )ny y при n  i ( ) ( )( , ( ), ( ))n n th t x y z   в ([0, ] )D T  , де ( ) ( , , )tz t h t x y для всіх [0, ]t T майже скрізь. Зауваження 1. Якщо функціонали a , b , c є ліпшицевими за дру- гим аргументом, то вони є стохастично замкненими і мають правильний обмежений випадковий інтегральний контрактор з = 0iG , = 1, 2,3i [7]. Про існування розв'язків системи СДФР з пуассоновими збуреннями. Теорема 1. Якщо коефіцієнти в (2) є стохастично замкненими, ма- ють обмежений випадковий інтегральний контрактор і для довільного ([ ,0])D h  існують інтеграли 2 0 | ( , ) | < T a t dt  ; 2 0 | ( , ) | < T b t dt  ; 2 0 | ( , , ) | ( ) < t U c t u du dt   , то існує розв'язок ( ) ([ , ])x t D T  задачі Коші (2), (5), (3). Доведення. Доведення базується на наступній ітераційній про- цедурі. Для 0n  ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 0 0 ( ) = ( ) ( ) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , ); t n n n n n s t t n n n n s s U x t x t y t G s x y s ds G s x y s dw s G s x u y s du ds               (9) або ( 1) ( ) ( )( ) = ( ) ( ), 0 .n n nx t x t z t t T    (9') 0 ( ) = (0), 0,x t t  ( ) = ( ), 0,nx t t t    ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) (0) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , , ) ( , ), t n n n s t t n n s s U y t x t x a s x ds b s x dw s c s x u du ds              (10) 0 , ( ) = 0, 0.nt T y t t     Підставляючи (9) в (10) для ( 1)n  -го наближення, знаходимо: ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( ) = ( ) (0) ( , ( )) t n n n sy t x t x a s x ds     Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 81 ( 1) ( 1) 0 0 ( , ( )) ( ) ( , , ) ( , ) t t n n s s U b s x dw s c s x u du ds       ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) (0) ( , ( ) ( )) ( , ) ( ) t t n n n n n s s s sx t x a s x z ds b s x z dw s         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( , , ) ( , ) = ( ) ( ) (0) ( , ( )) t t n n n n n s s s U c s x z u du ds x t x t x a s x ds        ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 0 0 ( , ( )) ( , , ) ( , ) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , ) (0) t t t n n n n s s s U t t n n n n s s U b s x ds c s x u du ds G s x y s ds G s x y s dw s G s x u y s du ds x                     (11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) = t t t n n n n n n s s s s s s U a s x z ds b s x z dw s c s x z u du ds         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 = [ ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ) ( ))] [ ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ) ( ))] ( ) t n n n n n s s s a t n n n n n s s s s a s x G s x y s a s x z ds b s x G s x y s b s x z dw s                    ( ) ( ) ( ) 3 0 [ ( , , ) ( , , ) ( ) t n n n s s U c s x u G s x u y s   ( ) ( )( , , ) ( , ).n n s sc s x z u ds du  Скористаємося нерівністю Коші–Буняковського та основними властивостями стохастичних інтегралів для [0, ]t T [3; 4]: 2 2 0 0 1 ( ) {| ( ) | } ;E E t t g s ds T g s ds             2 2 0 0 ( , ) ( ) = {| ( , ) | } ;E E t t g s w dw s g s w ds            2 2 0 0 ( , , ) ( , ) = {| ( , , ) | } ( , );E E t t U U f s u w ds du f s u w du dt            Математичне та комп’ютерне моделювання 82 2 2 [0, ] 0 0 sup ( ) ( ) 4 {| ( ) | } ;E E s T t T g s dw s g s ds             2 2 [0, ] 0 0 sup ( , , ) ( , ) 4 {| ( , , ) | } ( , )E E t t t T U U f s u w du ds f s u w du ds              та для умов (6), (7), (8) знайдемо оцінку виразу  2( 1) ( )E ny t . Оче- видно, що 2( 1) ( ) 0 0 ( ) sup | [ ( , ( )) t n n s t T y t a s x         ( ) ( ) ( ) ( ) 1( , ( )) ( ) ( , ( ) ( ))] |n n n n s s sG s x y s a s x z ds      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 sup | ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ) ( )) ( ) | t n n n n n s s s s t T b s x G s x y s b s x z dw s           2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 sup | [ ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )] ( , ) | t n n n n n s s s s t T U c s x u G s x u y s c s x z u ds du         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 2[ sup | [ ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ) ( ))] | t n n n n n s s s s t T a s x G s x y s a s x z ds           ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 sup | [ ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ) ( ))] ( ) | t n n n n n s s s s t T b s x G s x y s b s x z dw s           ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 0 0 sup | [ ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )] ( , ) | ]. t n n n n n s s s s t T U c s x u G s x u y s c s x z u ds du        Знайдемо умовне математичне сподівання відносно  -алгебри 0F (будемо позначати ( 1) 2 ( 1) 2 0{| ( ) | } {| ( ) | / }E En ny t y t F  ) [3]:  2( 1) ( ) 0 0 ( ) 2[ { sup | [ ( , ( ))E E t n n s t T y t a s x      ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 0 0 ( , ( )) ( ) ( , ( ) ( ))] | } { sup | [ ( , ( ))E t n n n n n s s s s t T G s x y s a s x z ds b s x           ( ) ( ) ( ) 2 ( , ( )) ( ) ( , ( )n n n s sG s x y s b s x    ( ) 2 ( ) 0 0 ( ))] ( ) | } { sup | [ ( , , )E t n n s s t T U z dw s c s x u      Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 83 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ( , , ) ( ) ( , , )] ( , ) | }]n n n n s s sG s x u y s c s x z u du ds    2 ( ) 2 ( ) 2 0 00 0 2 [ sup | ( ) | sup | ( ) ( ) |E E t t n n t T t T K y s ds y s dw s                          ( ) 2 0 0 sup | ( ) ( , ) |E t n t T U y s du dv                  2 2 22 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 [ ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( , ) =E E E t t t n n n U K T y s ds y s ds y s du ds           2 2 22 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 = 2 [ ( ) 4 ( ) 4 ( ) =E E E t t t n n nK T y s ds y s ds y s ds     22 ( ) 0 = 2 ( 8) ( ) .E t nK T y s ds  Отже, 1 2 2 1 0 0 3 { sup | ( , ) ( , ) |> 3 } , [0, ]. 2( 8)( 1)! P t n n n s t U K T s u ds du t T T n              (12) Проінтегрувавши n разів, матимемо    2 2( 1) 2 (0) 0 ( ) [2 ( 8)] ( ) ( ) / !, [0, ],E E t n n ny s K T T s y s ds n t T     (13) де (0) (0) (0) 0 0 ( ) = ( , ( )) ( , ( )) ( ) t t s sy t a s x ds b s x dw s     (0) 0 ( , , ) ( , ), [0, ] t s U c s x u ds du t T    та (0) (0), , ( ) = ( ), < .s s x s s s           Тепер оцінимо вираз  2(0) (0) 2 0 ( ) = {( sup | ( ) |) }E E s t y s y s    (0) 2 (0) 2 0 00 0 2 { sup | ( , ) | sup | ( , ) ( ) |E s s s t t T a x d b x dw             Математичне та комп’ютерне моделювання 84 (0) 2 0 0 sup | ( , , ) ( , ) | } s s t U c x u du d        (0) 2 (0) 2 0 00 0 2( { sup | ( , ) | } { sup | ( , ) ( ) | }E E s s s t s t a x d b x dw             (0) 2 0 0 { sup | ( , , ) ( , ) | })E s s t U c x u du d        (0) 2 (0) 2 (0) 2 0 0 0 2( {| ( , ) | } 4 {| ( , ) | } 4 {| ( , , ) | } ).E E E t t t U T a x d b x d c x u d            Оскільки відображення a , b i c є неперервними на відрізку [0, ]T , то існують додатні сталі 1C , 2C i 3C , які обмежують їх. Отже,  2 (0) 2 2 1 2 0 0 ( ) 2( 4E t t y t T C d C d     2 2 2 2 2 3 1 2 3 0 4 ) 2( 4 4 ) , t C d T C C T C T      де 2 2 2 1 2 3= 2 ( 4 4 ) > 0.T TC C C   Оцінка (13) набуде вигляду   12 ( ) 2( ) [2 ( 8)] , ( 1)! E n n n T y t K T n       [0, ]t T , = 1,2,n  . (14) Перепишемо нерівність (11) наступним чином: ( 1) 0 0 0 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ), t t t n n n n U y t s ds s dw s s u ds du         де ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) = ( , ) ( , ) ( ) ( , );n n n n n n t t t tt a t x G t x y t a t x z    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = ( , ) ( , ) ( ) ( , );n n n n n n t t t tt b t x G t x y t b t x z    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3( ) = ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ).n n n n n n t t t tt c t x u G t x u y t c t x z u    Очевидно, що ( 1) 0 0 0 00 0 sup | ( ) | | ( ) | sup | ( ) ( ) | sup | ( , ) ( , ) | . T n n s t t t n n t T t T U y t s ds s dw s s u ds du                   (15) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 85 Оцінимо кожний з цих інтегралів. Використовуючи (6), (7), (8) і (14), легко одержати нерівність:   2 2 2 2 0 0 2 2 3 2 ( ) 0 { | ( ) | > 3 } 3 {| ( ) | } 3 ( ) } P E E T T n n n n T n n s ds s ds K y s ds             1 1 2 2 3 2 2 3 3 [2 ( 8)] , ( 1)! 2( 8)( 1)! n n n n T a T K T K T n T n          де 2 1 18 ( 8)K K T T   . Аналогічно 1 2 2 1 0 0 3 sup | ( ) ( ) |> 3 ; 2( 8)( 1)! P t n n n t T K T s dw s T n                  1 2 2 1 0 0 3 sup | ( , ) ( , ) |> 3 . 2( 8)( 1)! P t n n n s t U K T s u ds du T n                    Нарешті з (15) і попередніх оцінок випливає нерівність ( 1) 2 2 0 0 sup | ( ) |> 3 | ( ) | > 3P P T n n n n t T y t s ds                      2 0 0 sup | ( ) ( ) |> 3P t n n t T s dw s              (16) 1 2 1 0 0 3 sup | ( , ) ( , ) |> 3 . ( 1)! P t n n n t T U K T s u ds du n                   З (9) одержимо ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 sup | ( ) ( ) | < sup | ( ) | | ( , ) ( ) |P P T n n n n n s t T t T x t x t y t G s x y s ds                ( ) ( ) ( ) 2 3 0 00 0 sup | ( , ) ( ) ( ) | sup | ( , , ) ( ) ( , ) | . t t n n n s s n t T t T U G s x y s dw s G s x u y s ds du         Позначимо  1 1sup | ( , ) |, [0, ], D ;t t nS G t x t T x    2 2sup | ( , ) |, [0, ], D ;t nS G t x t T x   3 3sup{| ( , , ) |, [0, ]S G t x u t T  ,{ , } D }t nx u U  Використовуючи (14), легко побачити, що Математичне та комп’ютерне моделювання 86 ( ) ( ) 1 0 | ( , ) ( ) | > 3P T n n n sG s x y s ds           2 ( ) ( ) 2 1 0 3 | ( , ) ( ) |E T n n n sG s x y s ds           2 ( ) ( ) 2 1 0 3 | ( , ) ( ) |E T n n n sT G s x y s ds   2 2 2 2 ( ) 1 0 3 ( ) }E T n nS TK y s ds   1 2 2 2 2 2 13 [2 ( 8)] ( 1)! n n n T T K K T S n         2 3 1 . ( 1)! nS T a n   Аналогічно 2 2 ( ) ( ) 2 2 0 0 sup | ( , ) ( ) ( ) |> 3 ; ( 1)! P t n n n n s t T S T a G s x y s dw s n             2 2 ( ) ( ) 3 3 0 0 sup | ( , , ) ( ) ( , ) |> 3 . ( 1)! P t n n n n s t T U S T a G s x u y s ds du n                З (9), (16) та з останніх оцінок маємо ланцюжок нерівностей: ( 1) ( ) 0 sup | ( ) ( ) |> 4 3P n n n t T x t x t           2 22 3 2 2 2 231 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 4 3 = ( 8)( 1)! ( 1)! ( 1)! ( 1)! 4 3 3 = = ( 1)! ( 8) nn nn n n n S T aS T a S T aTa T n n n n Ta S T S T S T n T                            (17) 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 3 3 ( 8) ( 8) ( ) . ( 8)( 1)! n nTa T T S T T S S T n           За лемою Бореля–Кантеллі [4], одержимо, що ( 1) ( ) 0 = {lim ( sup | ( ) ( ) |) > 4 3 } = 0.P n n n n t T x t x t       Тобто, для великих n майже скрізь виконується нерівність ( 1) ( ) 0 sup | ( ) ( ) | 4 3n n n t T x t x t       . (18) Отже, послідовність { ( ), = 1, 2, }nx t n  збіжна майже скрізь до стохастичного процесу *( )x t . За теоремою Вейєрштрасса отримаємо, що ця збіжність є рівномірною на [0, ]T . Якщо використаємо означення *( )x t , поклавши *( ) = ( )x t t для [ ,0]t   , одержимо, що траєкторія *( )x t не має стрибків другого Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 87 роду на [ , ]T . Крім того, згідно із визначенням послідовностей { ( ), = 1, 2, }nx t n  та { ( ), = 1, 2, }ny t n  , випливає, що вони є тривіа- льними по відношенню до вінерового процесу і випадкової пуассоно- вої міри. Таким чином, для довільного [ , ]t T  , *( )x t є тривіаль- ним. Отже, *( )x t належить до D . Для того, щоб довести, що *( )x t є розв'язком (2), (3), отримаємо спочатку, що *( ) ( )nx t x t при n  в D . З (18) маємо: * ( ) 2 0 { sup | ( ) ( ) | }E n t T x t x t     ( ) ( ) 2 0 lim sup | ( ) ( ) |E n m n m t T x t x t          2 ( 1) ( ) 2 0= lim sup | ( ) ( ) |E n m k k m t Tk n x t x t                22 = 4 lim 3 0. n m k n k n               Таким чином, ( ) *( ) ( )nx t x t при n  в 2L (в розумінні збі- жності в 2L ). Використовуючи той факт, що функції a , b , c є стохастично замкнені, випливає, що для всіх [0, ]t T ( ) *( , ( )) ( , ( ));n t ta t x a t x  ( ) *( , ( )) ( , ( ));n t tb t x b t x  ( ) *( , , ) ( , , )n t tc t x u c t x u майже скрізь. Отже, ( ) * 2 0 0 | ( , ) ( , ) |E t t n s sa s x ds a s x ds            ( ) * 2 0 | ( , ( , )) | 0,E T n s sT a s x a s x ds  ( ) * 2 0 0 | ( , ) ( ) ( , ) ( ) |E t t n s sb s x dw s b s x dw s            ( ) * 2 0 | ( , ( , )) | 0;E T n s sT b s x b s x ds   ( ) * 2 0 0 | ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ) | =E t t n s s U U c s x u ds du c s x u ds du             ( ) * 2 0 = | ( , , ) ( , , ) | ( ) 0.E t n s s U c s x u c s x u du ds   Математичне та комп’ютерне моделювання 88 Взявши границю в розумінні збіжності в 2L і застосувавши її до обох сторін рівності (9), одержимо, що для довільного [0, ]t T вико- нується майже скрізь рівність * * * * 0 0 0 ( ) = (0) ( , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) t t t s s s U x t x a s x ds b s x dw s c s x u ds du      і * ( ) = ( )x t t , [ ,0]t   . Також, випадкові процеси зліва і справа останньої рівності не мають стрибків другого роду. Отже, цей вираз виконується майже скрізь для всіх [ , ]t T  і * ( )x t є розв'язком (2), (3). Теорема доведена. Про єдиність розв'язків СДФР. Розглянемо задачу про єди- ність розв'язку задачі (2), (3), (5). Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1 і обмежений випадковий контрактор для СДФР (2) є правильним. Тоді розв'язок задачі (2), (3), (5) { ( )}x t D є єдиний з точністю до стохастичної еквівалентності. Доведення. Нехай 1( )x t , 2 ( )x t — два розв'язки задачі (2), (3). Тоді 1( ) ( )x t x t , 2 1( ) ( ) ( )z t x t x t  в (5). Отже, існує ( )y t з D , який є розв'язком рівняння 2 1 1 1 0 1 1 2 3 0 0 ( ) ( ) = ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , ). t s t t s s U x t x t y t G s x y s ds G s x y s dw s G s x u ds du          (19) Враховуючи (1) та (19), отримаємо оцінку 2 1 1 1 0 ( ) = [ ( , ) ( , ) ( , ) ( )] t s s sy t a s x a s x G s x y s ds   2 1 1 2 0 [ ( , ) ( , ) ( , ) ( )] ( ) t s s sb s x b s x G s x y s dw s   2 1 0 [ ( , , ) ( , , ) t s s U c s x u c s x u   1 1 3 0 ( , , ) ( )] ( , ) = [ ( , ) t s s sG s x u y s ds du a s x z  1 1 1( , ) ( , ) ( )]s sa s x G s x y s ds   1 1 1 2 0 [ ( , ) ( , ) ( , ) ( )] ( ) t s s s sb s x z b s x G s x y s dw s     Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 89 1 1 0 [ ( , , ) ( , , ) t s s s U c s x z u c s x u    1 3 ( , , ) ( )] ( , ),sG s x u y s ds du 0 0 00 0 0 sup | ( ) | ( ) sup ( ) ( ) sup ( ) ( ) , t t t s t s t s t U y s K y s ds K y s dw s K y s du ds                   2 22 2 0 0 2 2 22 2 2 0 0 0 ( ) } = sup | ( ) | 2 ( ) } 4 ( ) 4 ( ) ) 2 ( 8) ( ) . E E E E E E t s t t t t y t y s TK y s ds K y s ds K y s ds K T y s ds                  Нагадаємо посилену нерівність Гронуола [4]: для вимірних фун- кцій ( )t i ( )t , для яких виконується співвідношення 0 ( ) ( ) ( ) , > 0, t t t L s ds L     справедлива нерівність ( ) 0 ( ) ( ) ( ) . t L t st t L e s ds     Позначивши  2 ( ) ( )Et y t  , 2= 2 ( 8)L K T  , ( ) 0t  , отри- маємо   22 22 0 ( 8)0 ( ) 2 ( 8) 0 0.E t K Ty t K T e ds     Отже, майже скрізь виконується рівність  2 0( ) / = 0, [0, ],E y t F t T  Згідно з властивостями умовного математичного сподівання, одержимо, що ( ) 0y t  . Використовуючи (17) і (19), очевидно, що 1 2 0 0 sup | ( ) ( ) | 0P t T x t x t           2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 3 3 ( 8) ( 8) ( ) 0 ( 1)!( 8) n nT a T T S T T S S n T            при n  . Отже,  1 2( ) ( ) = 0P x t x t . Математичне та комп’ютерне моделювання 90 Продовжуючи розв'язки 1{ ( )}x t i 2{ ( )}x t вправо, матимемо, що 1 2( ) = ( )x t x t на [0, ]T майже скрізь з точністю до стохастичної екві- валентності. Отже, розв'язок є єдиний майже скрізь, що і треба було довести. Теорема доведена. Список використаних джерел: 1. Жакод Ж. Предельные теоремы для случайных процессов : в 2 т. / Ж. Жакод, А. Н. Ширяев. — М. : Физматгиз, 1994. — Т. 1. — 544 с. 2. Жакод Ж. Предельные теоремы для случайных процессов : в 2 т. / Ж. Жакод, А. Н. Ширяев. — М. : Физматгиз, 1994. — Т. 2. — 473 с. 3. Королюк В. С. Ймовірність, статистика та випадкові процеси. Теорія та комп’ютерна практика : у 3 т. / В. С. Королюк, Є. Ф. Царков, В. К. Ясин- ський. — Чернівці : Золоті литаври, 2009. — Т. 3: Випадкові процеси. Тео- рія та комп’ютерна практика. — 798 с. 4. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приме- нения / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — К. : Наук. думка, 1982. — 612 с. 5. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли. — М. : Наука, 1977. — 352 с. 6. Kuc H. H. On integral contractors / H. H. Kuc // Journal of Integral Equations. — 1979. — P. 35–46. 7. Jankovich Sv. On stochastic differential-difference equations and their random integral contractors / Sv. Jankovich // Научные труды. — Рига : Латвийский университет, 1991. — Т. 562. — С. 74–84. 8. Altman M. Inverse differentiability, contractors and equations in Banach spac- es / M. Altman // Studia Math. — 1971. — V. 46. — P. 1–15. 9. Zhang B. C. The existence and uniqueness of solutions of stochastic differen- tial-difference equations / B. C. Zhang, W. J. Padgett // Stochastic Analysis and Appl. — 1998. — V. 2(4.3). — P. 335–345. The class of stochastic differential equations which have solutions without points of discontinuity of the second type is studied with the help of probabilistic bounded integral contractors. Keywords: the stochastic differential equations, the Skorokhod inte- gral, the integral contractors. Отримано: 28.03.2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Ähnliche Einträge