Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях

Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях

Методом функції впливу та функції Гріна (головних розв’язків) побудовано інтегральні зображення точних аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру гіперболічних крайових задач в напівобмежених багатошарових (кусково-однорідних) просторових областях. Для побудови головних розв’язків залучено відп...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2012
Автор: Конет, І.М.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48827
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях / І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 119-135. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48827
record_format dspace
spelling irk-123456789-488272013-09-05T03:06:51Z Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях Конет, І.М. Методом функції впливу та функції Гріна (головних розв’язків) побудовано інтегральні зображення точних аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру гіперболічних крайових задач в напівобмежених багатошарових (кусково-однорідних) просторових областях. Для побудови головних розв’язків залучено відповідні інтегральні перетворення Фур’є на декартових осі, півосі та сегменті, а також інтегральне перетворення Фур’є на декартовій півосі з n точками спряження. The method of influence functions and Green's function (key solutions) developed integral image accurate analytical solutions of algorithmic nature of hyperbolic boundary value problems in multilayered semibounded (piecewise-homogeneous) spatial regions. To build a major integrated solutions are involved corresponding Fourier transform to Cartesian axes, semi-axles and the segment and the Fourier integral in Cartesian semiaxles with n coupling points. 2012 Article Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях / І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 119-135. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48827 517.947 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Методом функції впливу та функції Гріна (головних розв’язків) побудовано інтегральні зображення точних аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру гіперболічних крайових задач в напівобмежених багатошарових (кусково-однорідних) просторових областях. Для побудови головних розв’язків залучено відповідні інтегральні перетворення Фур’є на декартових осі, півосі та сегменті, а також інтегральне перетворення Фур’є на декартовій півосі з n точками спряження.
format Article
author Конет, І.М.
spellingShingle Конет, І.М.
Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Конет, І.М.
author_sort Конет, І.М.
title Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях
title_short Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях
title_full Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях
title_fullStr Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях
title_full_unstemmed Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях
title_sort гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2012
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48827
citation_txt Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених багатошарових просторових областях / І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 119-135. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT konetím gíperbolíčníkrajovízadačívnapívobmeženihbagatošarovihprostorovihoblastâh
first_indexed 2025-07-04T09:34:48Z
last_indexed 2025-07-04T09:34:48Z
_version_ 1836708463616458752
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 119 УДК 517.947 І. М. Конет, д-р фіз.-мат. наук, професор Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ В НАПІВОБМЕЖЕНИХ БАГАТОШАРОВИХ ПРОСТОРОВИХ ОБЛАСТЯХ Методом функції впливу та функції Гріна (головних роз- в’язків) побудовано інтегральні зображення точних аналітич- них розв’язків алгоритмічного характеру гіперболічних крайо- вих задач в напівобмежених багатошарових (кусково-одно- рідних) просторових областях. Для побудови головних роз- в’язків залучено відповідні інтегральні перетворення Фур’є на декартових осі, півосі та сегменті, а також інтегральне перет- ворення Фур’є на декартовій півосі з n точками спряження. Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та кра- йові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, голо- вні розв’язки. Вступ. Теорія крайових задач для диференціальних рівнянь з ча- стинними похідними — важливий розділ сучасної теорії диференціа- льних рівнянь, який в цей час інтенсивно розвивається. Її актуаль- ність обумовлена як значимістю її результатів для розвитку багатьох розділів математики, так і численними застосуваннями її досягнень при дослідженні різноманітних математичних моделей різних проце- сів і явищ фізики, механіки, біології, медицини, економіки та техніки. Добре відомо, що складність досліджуваних крайових задач суттє- во залежить від коефіцієнтів рівнянь (різні види виродженостей і особ- ливостей) та геометрії області (гладкість її межі, наявність в неї кутових точок, тощо), в якій розглядається задача. На цей час досить детально вивчено властивості розв’язків крайових задач для лінійних, квазіліній- них та певних класів нелінійних рівнянь в однозв’язних областях (одно- рідних середовищах), які обумовлені згаданими вище властивостями коефіцієнтів рівнянь і геометрії області, та побудовано функціональні простори коректності задач для тих чи інших областей [1—5]. Водночас багато важливих прикладних задач теплофізики, тер- момеханіки, теорії пружності, теорії електричних кіл, теорії коливань приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь з частин- ними похідними не тільки в однорідних середовищах, коли коефіціє- нти рівнянь є неперервними, але й в кусково-однорідних та неоднорі- дних середовищах, коли коефіцієнти рівняння є кусково-неперерв- ними чи, зокрема, кусково-сталими [6—9]. © І. М. Конет, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 120 Окрім методу відокремлення змінних [10] одним з важливих і ефективних методів вивчення крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними є метод інтегральних перетворень, який дає можливість будувати в аналітичному вигляді розв’язки тих чи інших лінійних крайових задач через їх інтегральне зображення. Варто також зауважити, що для досить широкого класу задач (в кус- ково-однорідних середовищах) ефективним виявився метод гібрид- них інтегральних перетворень, які породженні гібридними диферен- ціальними операторами, коли на кожній компоненті зв’язності куско- во-однорідного середовища розглядаються або ж різні диференціаль- ні оператори, або ж диференціальні оператори того ж самого вигляду але з різними наборами коефіцієнтів [11—16]. Інтегральні зображення розв’язків гіперболічних крайових задач в необмежених двоскладових та тришарових просторових областях одержано у працях автора [17—19]. У цій статті ми пропонуємо точні аналітичні розв’язки гіпербо- лічних крайових задач в напівобмежених кусково-однорідних прос- торових областях. Постановка задачі. Розглянемо задачу побудови обмеженого на множині    3 2, , , ; 0; , ; ; ;D t x y z t x y a b c d        1 1 1 0 1 1 1 1 ; , 0; ; n n n j j j j j n j j z l l l l l l                  розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь гіперболічно- го типу другого порядку [10]   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , ; ; 1, 1 j xj yj zj j j j j j u a a a u u t x y z f t x y z z j n                        (1) з початковими умовами    21 0 0 , , ; , , ; ; 1, 1;j j j j jt t u u g x y z g x y z z j n t         (2) крайовими умовами   0 0 0 1 11 11 1 0 , , ; 0; 0,1; k n k z l z u u g t x y k z z              (3) умовами спряження [16] 1 1 2 2 1 0; 1, 2; 1, k k k k k j j k j j k z l u u j k n z z                           (4) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 121 та відповідними крайовими умовами на межі області 2 , де ,xja ,yja , , ,k k zj j js jsa    — деякі невід’ємні сталі; 2 1 k k jk j jc   0 0 1 2 11 11 1 20; 0; 0;k k j j k kc c         , , ,f t x y z       1 2 1, , , , , , , , , , , , ;nf t x y z f t x y z f t x y z   1 , ,g x y z        1 1 1 1 2 1, , , , , , , , , ;ng x y z g x y z g x y z  2 , ,g x y z        2 2 2 1 2 1, , , , , , , , , ;ng x y z g x y z g x y z  0 , ,g t x y — задані обмежені функції;     1, , , , , , ,u t x y z u t x y z    2 1, , , , , , , ,nu t x y z u t x y z — шукана функція. Основна частина. Побудуємо розв’язок розглянутої задачі в за- лежності від структури області 2 . Зауважимо, що випадки        2 2; ; ; ; 0;             розглянуто в [20]. 1.    2 ; 0; .b     У цьому випадку вважаємо, що на межі області 2 виконуються крайові умови 0; 0,1; 1, 1 k j k x u k j n x        (5) щодо змінної x та крайові умови     1 1 2 0 2 , , ; , , ; 1, 1 j j j y y b j h u t x z h u y y t x z j n                         (6) щодо змінної y, де  1,2kh k  — деякі невід’ємні сталі;  1 , ,t x z        1 1 1 1 2 1, , , , , , , , , ;nt x z t x z t x z          2 2 2 1 2, , , , , , , , ,t x z t x z t x z     2 1 , ,n t x z  — задані обмежені неперервні функції. Припустимо, що розв’язок задачі (1)—(6) існує і задані й шукані функції задовольняють умови застосовності залучених нижче інтег- ральних перетворень [21; 22; 16]. До задачі (1)—(6) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі  ;  щодо змінної x [21]:       ,i x xF g x g x e dx g            (7) Математичне та комп’ютерне моделювання 122      1 1 , 2 i x xF g g e d g x              (8)     2 2 2 2 .x x d g F F g x g dx                 (9) Інтегральний оператор xF за правилом (7) внаслідок тотожності (9) початково-крайовій задачі (1)—(6) ставить у відповідність задачу побу- дови обмеженого на множині     3 , , ; 0; 0; ; nD t y z t y b z      розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , ; ; 1, 1 j yj zj j xj j j j j u a a u a u t y z f t y z z j n                            (10) з початковими умовами    1 2 0 0 , , , , , ; ; 1, 1;j j j j jt t u u g y z g y z z j n t                (11) крайовими умовами   0 0 0 1 11 11 1 0 , , ; 0; 0,1; 1, 1; k n k z l z u u g t y k j n z z                   (12)     1 1 2 0 2 , , ; , , ; 1, 1 j j j y y b j h u t z h u y y t z j n                             (13) та умовами спряження 1 1 2 2 1 0; 1, 2; 1, . k k k k k j j k j j k z l u u j k n z z                             (14) До задачі (10)—(14) застосуємо скінченне інтегральне перетво- рення Фур’є на сегменті  0;b щодо змінної у [22]:       0 , b yk k kg y g y v y dy g      (15)    1 2 1 ,k yk k k k k v y g g g y v          (16)     2 2 1 22 0 0 ,yk k k k k y y b d g dg dg g v h g v b h g dy dydy                              (17) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 123 де ядро перетворення                1 2 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 0 1 2 cos sin , ; 2 2 k k k k k b k k k k k y h y v y h h h h hb v v y dy h h                     1k k    — монотонно зростаюча послідовність дійсних різних додат- них коренів трансцендентного рівняння     2 1 2 1 2 ctg , h h b h h       які утворюють дискретний спектр. Інтегральний оператор yk за правилом (15) внаслідок тотожності (17) початково-крайової задачі (10)—(14) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині   3 , ; 0; nD t z t z    розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ; 1, 1 jk jk zj xj yj k j jk jk u u a a a u F t z j n t z                   (18) з початковими умовами    1 2 0 0 , ; , ; ; 1, 1;jk jk jk jk jt t u u g z g z z j n t                (19) крайовими умовами   0 1,0 0 11 11 1 0 , ; 0; 0,1 p n k k k p z l z u u g t p z z                  (20) та умовами спряження 1 1 2 2 1, 0; 1,2; 1, , m m m m m j j mk j j m k z l u u j m n z z                             (21) де            2 1 2 2, , , , 0 , , , , .jk jk yj k j yj k jF t z f t z a v t z a v b t z          До задачі (18)—(21) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій півосі  0 ;l  з n точками спряження щодо змінної z [16]:           0 , , ,n l F g z g z V z z dz g            (22) Математичне та комп’ютерне моделювання 124          1 , 0 2 , ,n nF g g V z d g z                 (23)                 0 1 2 2 2 2 , 1 , 12 2 1 12 2 0 0 0 1 1 11 1 0 11 11 1 2 1 , , . j j n n zj j j z n n j z z l ln j j j j l d g d g F a z l l z a z l dz dz dg g a V l g dz k g z V z dz                                               (24) У формулах (22)—(24) беруть участь величини і функції:          1 1 1 , , ( ) , ; n k k k n n k V z V z z l l z V z z l                      1 1 1 ; n k k k n n n k z z l l z z l                         1 2 , 1 1 1 ; , , ; n m j z j j m j mn n V z c a b G z b                     1 1 1 2 1 , 1 , 1 1, ; , cos sin ; n n n n n z n z n b z b z m n V z a a                             1 , 1 1 , 1 12 2 , 12 1 ; ; ; , n j z n n z n k n n k j k n zn z nj zj c a c a G z c a ac a                      1,2 1,1cos sin ; 1, ;k k k k j zk zk b z b z k n b a a                              1 22 2 2 2 1 2; 1, 1; ;j n n nk j n                     01 02 01 1 0 11 1 0 02 1 0 11 1 0; ; jmq l q l q l q l                 1,2 1 1,1 11 2; ; ;j j j j j j j j j j j jm mq l q l q l q l               1 22 1111,2; ; kjk km jm k k k k k k k km q l q l q l q l         12 121 ;kj km k k k kq l q l      1 cos m k k k ij s m ij ij s z l d q l q z dz              sin cos ;k k ij s s m ij s mq q l q l    Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 125    2 sin m k k k ij s m ij ij s z l d q l q z dz               cos sin ;k k ij s s m ij s mq q l q l    x — одинична функція Гевісайда [23]. Запишемо систему диференціальних рівнянь (18) та початкові умови (19) у матричній формі             1 2 2 2 2 2 1 12 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 , 1 1 1,2 2 , , , , , , ................................................................... , , , z z k k k k z n n k n k a q u t z t z a q u t z t z a q u t z t z                                                 1 2 1, , , , , , ................... , , k k n k F t z F t z F t z                                     (25)                   1 11 1 2 2 1 1, 1,0 1 2 1, 0 ,, , , , , ; ................... ................... , , , , , , , ................... , , kk k n k n kt k k n k t g zu t z u t z g z u t z g z u t z u t z t u t z                                                                  2 1 2 2 2 1, , , , ................... , k k n k g z g z g z                     (26) де  2 2 2 2 2 2, ; 1, 1.j k xj yj k jq a a j n         Інтегральний оператор ,nF  , який діє за правилом (22), зобрази- мо у вигляді операторної матриці-рядка         1 2 0 1 , 1 1 2 2 1 1, , , n l l n n n l l l F V z dz V z dz V z dz                        (27) і застосуємо за правилом множення матриць до задачі (25), (26). Вна- слідок тотожності (24) одержуємо задачу Коші Математичне та комп’ютерне моделювання 126             21 2 2 2 2 1 1 12 0 1 1 11 1 0 0 1 , , , , , , , , n j k j jk j n jk z k j d q k u t dt F t a V l g t                                  (28)     1 1 1 1 1 2 1 1 1 10 0 , ; , , n n n n jk jk jk jk j j j jt t d u g u g dt                         (29) де       1 , , , , , ; 1, 1; j j l jk jk j j l u t u t z V z dz j n                1 , , , , , ; 1, 1; j j l jk jk j j l F t F t z V z dz j n                 1 1 1, , , ; 1, 1; j j l jk jk j j l g g z V z dz j n                1 2 2 1, , , ; 1, 1; . j j l jk jk j j n l g g z V z dz j n l            Припустимо, не зменшуючи загальності, що  2 2 1 2max , , ,q q  2 2 1 1nq q  і покладемо всюди  2 2 2 1 1, 1 .j jk q q j n    Задача Коші (28), (29) набуває вигляду           2 12 2 0 1 1 11 1 0 02 , , , , , , ,k k k k z k d u u F t a V l g t dt                   (30)     0 1 2 0 , ; , , t k k k kt du u g g dt              (31) де       1 2 2 2 2 1 1 , , , , ; , , n k jk k x j u t u t a                        1 2 2 2 1 1 1 1 ; , , , , ; , n y k k jk k j a F t F t g                      1 1 1 2 2 1 1 , ; , , . n n jk k jk j j g g g                 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 127 Безпосередньо перевіряється, що єдиним розв’язком задачі (30), (31) є функція                               2 1 0 12 0 1 1 11 1 0 0 sin , , , , , , , sin , , sin , , , , , , , , , , , . k k k k t k k k k k k z k t u t g t td g dt F a V l g d                                                            (32) Оскільки суперпозиція операторів ,nF  та , 1 n F   є одиничним оператором, то оператор , 1, n F   зобразимо у вигляді операторної мат- риці-стовпця               1 0 2 , 0 1 0 , ,2 . , n n n n n V z d V z d F V z d                                              (33) Застосуємо за правилом множення матриць операторну матри- цю-стовпець (33) до матриці-елемента  , , ,u t       де функція  , ,u t   визначена формулою (32). Одержуємо єдиний розв’язок початково-крайової задачі (18)—(21):                                       2 0 1 12 0 1 1 11 0 0 1 0 0 sin , ,2 , , , , , sin , , , , , , sin , ,2 , , , , ; , , ; 1, 1. k jk k k k k j n k t k k z k k j n t u t z g t g V z d t t F a V l g V z d d j n                                                                           (34) Математичне та комп’ютерне моделювання 128 До функцій  , , ,jku t   визначених формулами (34), послідовно застосуємо обернені оператори 1 yk  за правилом (16) та 1 xF  за прави- лом (8). Виконавши нескладні перетворення, одержуємо функції  , , ,ju t x y z          1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , k k k k lt bn jk k k k l lbn jk k k k l E t x y z f d d d d E t x y z g d d d t                                                    1 1 2 1 0 , , , , , , , , k k lbn jk k k k l E t x y z g d d d                   (35)             1 0 0 0 1 2 1 1 1 0 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ; 1, 1, k k t b j ltn yj yjk k k l yjk k k W t x y z g d d d a W t x y z W t x y z d d d j n                                                   які визначають єдиний розв’язок гіперболічної початково-крайової задачі (1)—(6). У формулах (35) застосовано компоненти                    2 1 0 0 sin , ,2 , , , , , , , , , , cos k jk r k r r j k n r t E t x y z v y v V z V x d d v                                матриці впливу (функції впливу), компоненти       12 0 1 1 11 1 0, , , , , , , , , , ,j z jW t x y z a E t x y z l         аплікатної матриці Гріна (функції Гріна), компоненти    1 , , , , , , , , ,0, ,yjk ykW t x y z E t x y z    лівої ординатної матриці та компоненти    2 , , , , , , , , , , ,yjk jkW t x y z E t x y b z    правої ординатної матриці Гріна розглянутої задачі. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 129 З використанням властивостей функцій впливу  , , , , , ,jkE t x y z   і функцій Гріна  , , , , , ,jW t x y z   , , , , , ,s yjkW t x y z   1,2s  безпо- середньо перевіряється, що функції  , , , ,ju t x y z визначені формулами (35), задовольняють рівняння (1), початкові умови (2), крайові умови (3), (5), (6) та умови спряження (4) в сенсі теорії узагальнених функцій [23]. Зауваження 1. У випадку 2 2 2 2 0xj yj zj ja a a a    формули (35) визначають структуру розв’язку гіперболічної крайової задачі (1)— (6) в ізотропному (n+1) — шаровому напівобмеженому просторовому середовищі. Зауваження 2. Параметри 0 0 11 11,  дають можливість виділяти із формул (35) розв’язки крайових задач у випадках задання на поверхні 0z l крайової умови 1-го роду  0 0 11 110, 1 ,   2-го роду  0 0 11 111, 0    та 3-го роду  0 0 11 111, 0 .h     Зауваження 3. Параметри  1, 2jh j  дають можливість виді- ляти із формул (35) розв’язки початково-крайових задач у випадках задання на поверхнях 0;y y b  крайових умов 1-го й 2-го роду та їх можливих комбінацій. Зауваження 4. Аналіз розв’язку (35) в залежності від аналітич- ного виразу функцій      1 2, , , , , , , , , ,j j jf t x y z g x y z g x y z  0 , , ,g t x y    1 2, , , , ,j jt x z t x z  проводиться безпосередньо.    22. 0; 0; .     У цьому випадку вважаємо, що на межі області 2 виконуються крайові умови   0 , , ; 0; 1, 1; 0,1 k j j j k x x u p u t y z j n k x x               (36) щодо змінної x та крайові умови   0 , , ; 0; 1, 1; 0,1 k j j j k y y u h u t x z j n k y y                (37) щодо змінної y , де ,p h — деякі невід’ємні сталі;  , ,t y z        1 2 1, , , , , , , , , ;nt y z t y z t y z      , ,t x z     1 2, , , , , , ,t x z t x z    1 , ,n t x z  — задані обмежені неперервні функції. Математичне та комп’ютерне моделювання 130 Припустимо, що розв’язок задачі (1)—(4), (36), (37) існує і зада- ні й шукані функції задовольняють умови застосовності залучених нижче інтегральних перетворень [22; 16]. До задачі (1)—(4), (36) (37) застосуємо інтегральне перетворен- ня Фур’є на декартовій півосі  0; щодо змінної x [22]:         0 , ,x xF g x g x K x dx g           (38)        1 0 , ,x xF g g K x d g x              (39)     2 2 2 0 0, ,x x x d g dg F g K pg dxdx                     (40) де ядро перетворення       2 2 cos sin2 , .x x p x K x p          Інтегральний оператор xF за правилом (38) внаслідок тотожності (40) початково-крайовій задачі (1)—(4), (36), (37) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині  ' 3 , , ; 0;D t y z t    0; ; ny z    розв’язку системи диференціальних рівнянь     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , ; ; 1, 1 j yj zj j xj j j j j u a a u a u t y z F t y z z j n                           (41) з початковими умовами (11), крайовими умовами (12), крайовими умовами   0 , , ; 0; 1, 1; 0,1; k j j j k y y u h u t z j n k y y                   (42) та умовами спряження (14), де        2, , , , , , 0, , , ; 1, 1.j j xj x jF t y z f t y z a K t y z j n       До задачі (41), (11), (12), (42), (14) застосуємо інтегральне перет- ворення Фур’є на декартовій півосі  0; щодо змінної y [21]:         0 , ,y yF g y g y K y s dy g s          (43) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 131        1 0 , ,y yF g s g s K y s ds g y           (44)     2 2 2 0 0, ,y y y d g dg F s g s K s hg dydy                     (45) де ядро перетворення       2 2 cos sin2 , .y s sy h sy K y s s h    Інтегральний оператор yF за правилом (43) внаслідок тотожності (45) початково-крайовій задачі (41), (11), (12), (42), (14) ставить у відпо- відність задачу побудови обмеженого на множині  3 , ; 0;D t z t  nz  розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , ; ; 1, 1 j j zj xj yj j j j j u u a a a s u t z G t s z z j n                      (46) з початковими умовами    1 2 0 0 , , ; , , ; ; 1, 1,j j j j j t t u u g s z g s z z j n t                 (47) крайовими умовами   0 0 0 1 11 11 1 0 , , ; 0; 0,1 k n k z l z u u g t s k z z                  (48) та умовами спряження 1 1 2 2 1 0; 1, ; 1,2, k k k k k j j k j j k z l u u k n j z z                              (49) де        2, , , , , , 0, , , ; 1, 1.j j yj y jG t s z F t s z a K s t z j n          З точністю до позначень початково-крайова задача на спряження (46)—(49) збігається із задачею (18)—(21). Отже, відповідно до фор- мул (34), єдиний розв’язок задачі (46)—(49) визначають функції         2 0 sin , ,2 , , , , , , ,j s t u t s z g s s                   Математичне та комп’ютерне моделювання 132                      1 12 0 1 1 11 0 0 sin , , , , , , , sin , ,2 , , , , , j n t z s t g s V z d t s s t G s a s                                         (50)        1 0 0, , , , ; 1, 1.j nV l g s V z d d j n           Застосувавши послідовно до функцій  , , , ,ju t s z визначених формулами (50), обернені оператори 1 yF   та 1,xF   одержуємо функції  , , ,ju t x y z          1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , k k k k ltn jk k k k l ln jk k k k l E t x y z f d d d d E t x y z g d d d t                                                    1 1 2 1 0 0 , , , , , , , , k k ln jk k k k l E t x y z g d d d                   (51)             1 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , k k k k t j ltn xj xjk k k k l ltn yj yjk k k k l W t x y z g d d d a W t x y z d d d a W t x y z d d d                                                           які визначають єдиний розв’язок гіперболічної початково-крайової задачі (1)—(4), (36), (37). У формулах (51) застосовано компоненти                      2 0 0 0 sin , ,2 , , , , , , , , , , , , , , jk j k n x x y y s t E t x y z V z s V K x K K y s K s d dsd                              матриці впливу, компоненти  , , , , ,jW t x y z  аплікатної матриці Грі- на, компоненти    , , , , , , ,0, , , ,xjk jkW t x y z E t x y z    Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 133 абсцисної матриці Гріна та компоненти    , , , , , , , , ,0, ,yjk jkW t x y z E t x y z    ординатної матриці Гріна розглянутої задачі. З використанням властивостей функцій впливу  , , , , , ,jkE t x y z   і функцій Гріна  , , , , , ,jW t x y z   , , , , , ,xjkW t x y z   , , , , ,yjkW t x y z  безпосередньо перевіряється, що функції  , , , ,ju t x y z визначені фо- рмулами (51), задовольняють рівняння (1), початкові умови (2), кра- йові умови (3), (36), (37) та умови спряження (4) в сенсі теорії уза- гальнених функцій [23]. Зазначимо, що: 1) зауваження 1-2 поширюються на випадок роз- глянутої гіперболічної крайової задачі; 2) параметри ,p h дають мо- жливість виділяти із формул (51) розв’язки крайових задач у випад- ках задання на поверхнях 0; 0x y  крайових умов 1-го й 2-го роду та їх можливих комбінацій; 3) аналіз розв’язку (51) в залежності від аналітичного виразу функцій      1 2, , , , , , , , , ,j j jf t x y z g x y z g x y z    0 , , , , , ,jg t x y t x z  , ,j t x z проводиться безпосередньо. Висновки. Методом інтегральних та гібридних інтегральних пере- творень Фур’є у поєднанні з методом головних розв’язків (функцій впливу і функцій Гріна) побудовано точні аналітичні розв’язки гіпербо- лічних крайових задач в напівобмежених кусково-однорідних просторо- вих областях, які описуються декартовою системою координат. Одержа- ні розв’язки носять алгоритмічний характер, неперервно залежать від параметрів і даних задачі й можуть бути використані як в подальших теоретичних дослідженнях, так і в практиці інженерних розрахунків реа- льних процесів, які моделюються гіперболічними крайовими задачами (задачі акустики, гідродинаміки, теорії коливань механічних систем). Список використаних джерел: 1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производ- ными гиперболического типа / Ж. Адамар. — М. : Наука, 1978. — 352 с. 2. Городецький В. В. Граничні властивості гладких у шарі розв’язків рівнянь параболічного типу / В. В. Городецький. — Чернівці : Рута, 1998. — 225 с. 3. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа / К. Миранда. — М. : ИЛ, 1957. — 256 с. 4. Матійчук М. І. Параболічні та еліптичні крайові задачі з особливостями / М. І. Матійчук. — Чернівці : Прут, 2003. — 248 с. 5. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические урав- нения / М. М. Смирнов. — М. : Наука, 1966. — 292 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 134 6. Подстригач Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Подст- ригач, В. А. Ломакин, Ю. М. Коляно. — М. : Наука, 1984. — 368 с. 7. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий. — К. : Наук. думка, 1998. — 614 с. 8. Сергиенко И. В. Математическое моделирование и исследование процес- сов в неоднородных средах / И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий, В. С. Дей- нека. — К. : Наук. думка, 1991. — 432 с. 9. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднород- ного тела / Ю. М. Коляно. — К. : Наук. думка, 1992. — 280 с. 10. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М. : Наука, 1972. — 735 с. 11. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в ортотроп- них сферичних областях / І. М. Конет. — К. : Ін-т математики НАН Укра- їни, 1998. — 209 с. 12. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в циліндрич- но-кругових областях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2001. — 312 с. 13. Конет І. М. Температурні поля в кусково-однорідних циліндричних обла- стях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2004. — 276 с. 14. Громик А. П. Стаціонарні задачі теплопровідності в кусково-однорідних просторових середовищах / А. П. Громик, І. М. Конет. — Кам’янець- Подільський : Абетка-Світ, 2008. — 120 с. 15. Громик А. П. Нестаціонарні задачі теплопровідності в кусково- однорідних просторових середовищах / А. П. Громик, І. М. Конет. — Кам’янець-Подільський : Абетка-Світ, 2009. — 120 с. 16. Ленюк М. П. Температурні поля в плоских кусково-однорідних ортотро- пних областях / М. П. Ленюк. — К. : Ін-т математики НАН України, 1997. — 188 с. 17. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі в необмежених двоскладових прос- торових областях / І. М. Конет // Крайові задачі для диференціальних рів- нянь : зб. наук. пр. — Чернівці : Прут, 2010. — Вип. 19, ч. 1. — С. 47–59. 18. Конет І. М. Інтегральні зображення розв’язків гіперболічних крайових задач в необмежених двоскладових просторових областях / І. М. Конет // Вісник Кам’янець-Подільського національного університету імені Івана Огієнка. Фізико-математичні науки. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець- Подільський нац. ун-т імені Івана Огієнка, 2010. — Вип. 3. — С. 55–71. 19. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі в необмежених тришарових областях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Львів, 2011. — 48 с. — (Препр./ НАН України Ін-т прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача; 01.11). 20. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі в напівобмежених кусково- однорідних просторових областях / І. М. Конет // Математичне та комп’ю- терне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. пр. / Ін-т кі- бернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Кам’янець-Подільський нац. ун-т імені Івана Огієнка. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський нац. ун-т імені Івана Огієнка, 2011. — Вип. 5. — С. 127–140. 21. Снеддон И. Преобразования Фурье / И. Снеддон. — М. : ИЛ, 1955. — 668 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 135 22. Ленюк М. П. Интегральные преобразования с разделенными переменны- ми (Фурье, Ханкеля) / М. П. Ленюк. — К., 1983. – 60 с. — (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 83.4). 23. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. The method of influence functions and Green's function (key solutions) developed integral image accurate analytical solutions of algorithmic na- ture of hyperbolic boundary value problems in multilayered semiconfined (piecewise-homogeneous) spatial regions. To build a major integrated so- lutions are involved corresponding Fourier transform to Cartesian axes, semi-axles and the segment and the Fourier integral in Cartesian semi- axles with n coupling points. Key words: hyperbolic equations, initial and boundary conditions, matching, integral transformation, main solution. Отримано: 07.03.2012 УДК 517.91:532.2 М. П. Ленюк, д-р фіз.-мат. наук, професор Чернівецький факультет національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут», м. Чернівці ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ (КОНТОРОВИЧА—ЛЄБЄДЄВА)— БЕССЕЛЯ—ЕЙЛЕРА НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ Запроваджено гібридне інтегральне перетворення, поро- джене на полярній осі з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича—Лєбєдєва)—Бе- сселя—Фур’є. Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, фу- нкції Коші, функції впливу, гібридне інтегральне перетворен- ня, основна тотожність, головні розв’язки. Постановка проблеми та її аналіз. Відомо, що дослідження фі- зико-технічних характеристик композитних матеріалів, які знахо- дяться в різних умовах експлуатації, математично приводить до зада- чі інтегрування сепаратної системи диференціальних рівнянь другого порядку на кусково-однорідному інтервалі з відповідними початко- вими та крайовими умовами [1—3]. Одним із ефективних методів побудови інтегрального зображення точних аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру таких задач є метод гібридних інтеграль- них перетворень. Основні положення теорії гібридних інтегральних перетворень (ГІП) закладено в монографії [4]. Ця стаття присвячена запровадженню одного з типів ГІП. © М. П. Ленюк, 2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <FEFF004e006100750064006f006b0069007400650020016100690075006f007300200070006100720061006d006500740072007500730020006e006f0072011700640061006d00690020006b0075007200740069002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b0075007200690065002000740069006e006b006100200070006100740069006b0069006d006100690020007000650072017e0069016b007201170074006900200069007200200073007000610075007300640069006e0074006900200076006500720073006c006f00200064006f006b0075006d0065006e007400750073002e0020002000530075006b0075007200740069002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400610069002000670061006c006900200062016b007400690020006100740069006400610072006f006d00690020004100630072006f006200610074002000690072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610072002000760117006c00650073006e0117006d00690073002000760065007200730069006a006f006d00690073002e> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси