Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі

Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі

Запроваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на полярній осі з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Фур’є....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2012
Автор: Ленюк, М.П.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48828
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 135-150. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48828
record_format dspace
spelling irk-123456789-488282013-09-05T03:07:03Z Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі Ленюк, М.П. Запроваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на полярній осі з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Фур’є. Introduced hybrid integral transformations generated by the polar axis with two points conjugate hybrid differential operator (Kontorovich–Lebedev)–Bessel–Fourier. 2012 Article Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 135-150. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48828 517.91:532.2 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Запроваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на полярній осі з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Фур’є.
format Article
author Ленюк, М.П.
spellingShingle Ленюк, М.П.
Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Ленюк, М.П.
author_sort Ленюк, М.П.
title Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі
title_short Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі
title_full Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі
title_fullStr Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі
title_full_unstemmed Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі
title_sort гібридне інтегральне перетворення типу (конторовича-лєбєдєва)-бесселя-ейлера на полярній осі
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2012
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48828
citation_txt Гібридне інтегральне перетворення типу (Конторовича-Лєбєдєва)-Бесселя-Ейлера на полярній осі / М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 135-150. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT lenûkmp gíbridneíntegralʹneperetvorennâtipukontorovičalêbêdêvabesselâejleranapolârníjosí
first_indexed 2025-07-04T09:34:53Z
last_indexed 2025-07-04T09:34:53Z
_version_ 1836708469455978496
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 135 22. Ленюк М. П. Интегральные преобразования с разделенными переменны- ми (Фурье, Ханкеля) / М. П. Ленюк. — К., 1983. – 60 с. — (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 83.4). 23. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. The method of influence functions and Green's function (key solutions) developed integral image accurate analytical solutions of algorithmic na- ture of hyperbolic boundary value problems in multilayered semiconfined (piecewise-homogeneous) spatial regions. To build a major integrated so- lutions are involved corresponding Fourier transform to Cartesian axes, semi-axles and the segment and the Fourier integral in Cartesian semi- axles with n coupling points. Key words: hyperbolic equations, initial and boundary conditions, matching, integral transformation, main solution. Отримано: 07.03.2012 УДК 517.91:532.2 М. П. Ленюк, д-р фіз.-мат. наук, професор Чернівецький факультет національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут», м. Чернівці ГІБРИДНЕ ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ (КОНТОРОВИЧА—ЛЄБЄДЄВА)— БЕССЕЛЯ—ЕЙЛЕРА НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ Запроваджено гібридне інтегральне перетворення, поро- джене на полярній осі з двома точками спряження гібридним диференціальним оператором (Конторовича—Лєбєдєва)—Бе- сселя—Фур’є. Ключові слова: гібридний диференціальний оператор, фу- нкції Коші, функції впливу, гібридне інтегральне перетворен- ня, основна тотожність, головні розв’язки. Постановка проблеми та її аналіз. Відомо, що дослідження фі- зико-технічних характеристик композитних матеріалів, які знахо- дяться в різних умовах експлуатації, математично приводить до зада- чі інтегрування сепаратної системи диференціальних рівнянь другого порядку на кусково-однорідному інтервалі з відповідними початко- вими та крайовими умовами [1—3]. Одним із ефективних методів побудови інтегрального зображення точних аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру таких задач є метод гібридних інтеграль- них перетворень. Основні положення теорії гібридних інтегральних перетворень (ГІП) закладено в монографії [4]. Ця стаття присвячена запровадженню одного з типів ГІП. © М. П. Ленюк, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 136 Основна частина. Запровадимо інтегральне перетворення, по- роджене на множині       2 1 1 2 2: 0, , ,I r r R R R R     гібрид- ним диференціальним оператором (ГДО)             1 2 32 1 1 2 , 2, .M r R r B r R R r B r R B                   (1) У рівності (1) беруть участь:  x — одинична функція Гевісайда,   1 2 2 2 2 2 1 12 2 1 d d B r r r drdr         — диференціальний оператор Конторовича-Лєбєдєва [5];   2 2 1 , 22 2 1 d d B r drdr        2 2 2 2 r    — диференціальний оператор Бесселя [6]; 3 2 2 2 d B r dr      2 3 32 1 d r dr     — диференціальний оператор Ейлера [7]; 2 1 0j   , 2  ,  0,   ; 1,3j  ;    1 3,   . Означення. Областю визначення ГДО   2,M    назвемо множину G вектор-функцій         1 2 3; ;g r g r g p g r з такими властивостями: 1) вектор функція          1 2 31 , 2 3; ;f r B g r B g r B g r                неперервна на множині 2I  ; 2) існують такі числа 1 та 2 , що справджуються умови обме- ження    1 2 1 3 0 lim 0, lim 0; r r r g r r g r            (2) 3) функції  jg r задовольняють умови спряження     21 1 2 1 0; , 1,2.k k k k j j k j j k d d g r g r j k dr dr                        (3) Оскільки ГДО   2,M    має дві особливі точки ( 0r  та r   ) і самоспряжений, то його спектр дійсний та неперервний [4]. Можна вважати, що спектральний параметр  0,   . Йому відповідає комплекснозначна спектральна вектор-функція [4]                           2 2 2 2 1, , ;1 1 2 2, ;2 , ;3 , , , , . v v v v V r r R r V r r R R r V r r R V r                          (4) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 137 При цьому функції         2 22 , ; , ; 2, ; 1, , , , 1, 1,3j jjV r V r iV r i j             (5) комплекснозначні й задовольняють відповідно диференціальні рівняння                               1 2 2 2 3 2 1 22 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1, ;1 1 22 1 2 2 2 , 2 1 2 2 2 2 2, ;2 1 22 1 2 2 2 3 2 3 3 3 3, ;3 , 0, 0, , , 0, , 0, , , , 0, , 0, , , , 0, v v v v B b V r r R b a k k B b V r r R R b a k k B b V r r R b a k k                                       (6) умови обмеження (2) та умови спряження (3) Ми вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: 0k jm  , 0k jm  , 1 2 0k kc c  , 2 1 1 2 k k k k jk j j j jc      , , 1.2j k  . Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівнян- ня Конторовича—Лєбєдєва   1 2 1 0B b v   складають функції   11 1,v C r b  та   12 1,v D r b  [5]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя   2 2 , 2 0B b v    складають функції   2, 2vJ b r та   2, 2vN b r [6]; фундаментальну сис- тему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера   3 2 3 0B b v    складають функції  3 1 3cos lnv r b r та  3 2 3sinv r b r [7]. Якщо в силу лінійності задачі (6), (2), (3) покласти                           1 12 1 1 2 22 2 2 1 1 1 1, ;1 1 1 1 1 2 , 2 2 , 2, ;2 2 , 2 2 , 2 , , , , , , , , v vv v v V r A C r b B D r b i C C r b D D r b V r A J b r B N b r i C J b r D N b r                            (7)              3 3 2 3 3 3 3 3 3, ;3 3 3 3 3 , cos ln sin ln cos ln sin ln , vV r A r b r B r b r i C r b r D r b r                 то умови спряження (3) дадуть стосовно 12-ти величин  , , , , 1,3j j j jA B C D j  алгебраїчну систему з 8-ми рівнянь. Не виста- чає хоча б ще три рівняння. Та умов, на жаль, для їх одержання немає. Математичне та комп’ютерне моделювання 138 Отже, безпосередньо знайти ці величини ми не в змозі. Залучимо метод дельта-подібної послідовності — ядро Коші як фундаментальну мат- рицю розв’язків задачі Коші для параболічної системи рівнянь теплоп- ровідності, породженої ГДО   2,vM   , визначеного рівністю (1). Побудуємо обмежений в області     2 2, : 0, ;D t r t r I     розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь параболічно- го типу [8]                 1 2 3 2 21 1 2 1 1 1 2 22 2 2 2 , 2 1 2 2 23 3 3 3 3 2 , 0, 0, , , 0, , , , 0, , u u t r a B u r R t u u t r a B u r R R t u u t r a B u r R t                             (8) з початковими умовами      1 0 30 , , , , 1,3, 0,j j jt u t r g r r R Rj j R R       (9) та умовами спряження    1 1 1 2 1 1, , 0; , 1,2 k k k k k j j k j j k r R u t r u t r j k r r                          (10) у припущенні, що вектор-функція         1 2 3, , ; , ; ,u t r u t r u t r u t r є оригіналом за Лапласом стосовно змінної t [9]. У зображенні за Лапласом отримуємо крайову задачу: побудува- ти обмежений на множині 2I  розв’язок сепаратної системи звичай- них диференціальних рівнянь Конторовича—Лєбєдєва, Бесселя та Ейлера для модифікованих функцій:                         1 2 3 2 2 1 1 1 1 2 2 , 2 2 2 1 2 2 2 3 3 3 2 , , 0, , , , , , , , , v B q u p r a g r r R B q u p r a g r r R R B q u p r a g r r R                        (11) за умовами спряження    1 1 1 2 1, , 0, , 1, 2 k k k k k j j k j j k r R d d B u p r u p r j k dr dr                         (12) У рівностях (11), (12) прийняті позначення:   1 21 2 , 0,j j j jq a p Req     0 , ; 1,3e pt j ju u t r dt j     . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 139 Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів- няння Конторовича–Лєбєдєва   1 2 1 0B q v   утворюють функції   1 11 ,qv I r  та   1 1,qK r  [5]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя   2 2 , 2 0vB q   утворюють функції   2, 2vI q r та   2, 2K q r  [6]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера   3 2 3 0B q v    утворюють функції 3 3qr   та 3 3qr   [7]. Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудува- ти розв’язок крайової задачі (11), (12) методом функцій Коші [6; 7]:                         1 1 1 1 2 2 2 2 1 3 3 3 2 2 1 1 1 , 1 1 0 2 1 2 2 , 2 2 , 2 2 2 2 1 3 3 3 3 , , , , , , , , , , , . R q R v R q R u p r A I r E p r g d u p r A I q r B K q r E p r g d u p r A r E p r g d                                         (13) У рівностях (13)    2 , , ,j j j jg a g E p r   — функції Коші [7] :             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 11 , ;11 1 1 , , ;11 1 1 1 , , ;11 1 1 , , , , 0 , , , 0 q q q q q E p r U R I r R r R I R r r R                               (14)             2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ;11 2 1 2 2 1 2 , ;12 2 1 2 , ;11 2 2 2 1 2 1 2 , ;12 2 1 2 , ;11 2 2 2 1 2 , , , , , , , , , , q E p r q R q R q R q r q R q R r R q R q q R q r R r R                                   (15)         3 3 3 3 3 3 3 2 ;12 3 2 3 21 2 3 ;12 3 2 ;12 3 2 , ,1 , , . 2 , , , q q q r R r E p r q Z q R r q R r                               (16) Умови спряження для визначення величин jA та 2B дають не- однорідну алгебраїчну систему чотирьох рівнянь: Математичне та комп’ютерне моделювання 140             1 1 1 2 2 2 2 3 11 11 , ; 1 1 , ; 2 2 1 2 12 , ; 2 2 1 2 2 12 21 22 21 * , ; 1 2 2 2 , ; 1 2 2 2 ; 2 3 2 3 2 23 , 1,2; , . q j v j v j j v j v j j j U R A U q R A U q R B G j U q R A U q R A Z q R A G                   (17) У системі (17) беруть участь функції:                   1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 21 2 2 2 2 21 3 1 , 2 111 12 12 1 11 , ;11 101 2* , ;11 2 1 2 2 2 121 22 1 ;11 2 1 2 21 1 , ;12 2 1 2 2 112 23 22 1 , ;11 2 1 2 22 22 2 1 2 , , , , , R q q R v vR R v vR R Ic G g d U RR q R q Rc g d q R q RR q R qc G g d q R q RR c R                                                         3 3 3 3 2 1 321 ;12 3 2, q g d Z q R         та символ Кронекера  2 12 220, 1j    . Введемо до розгляду функції:                           1 1 1 22 1 1 2 3 3 22 3 2 1 1 1 22 11 , ;11 1 , ;2 2 1 2 2, ; 11 , ;21 1 , ;1 2 1 2 2 21 ;22 3 2 , ; 1 2 1 2 2, ; 21 ;12 3 1 , 2 2 1 2 2 11 1* , ;11 1 , ;22 2 1 2, ;1 , , , , , , , 1, 2; , , q jj q j jj j q A p U R q R q R U R q R q R B p Z q R q R q R Z q R q R q R j Q p r U R q R q r                                                     1 1 2 3 3 22 3 2 11 1* , ;21 1 , ;12 2 1 2 11 2* ;22 3 2 , ;11 2 2 2, ;2 21 2* ;12 3 2 , ;21 2 2 2 , , , , , , , . qU R q R q r Q p r Z q R q R q r Z q R q R q r                   Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності кра- йової задачі (11), (12): для p is  з 0Re p    , де 0 - абсциса збіжності інтегралу Лапласа, та  Im ,p s    визначник алгеб- раїчної системи (17) відмінний від нуля                         1 1 3 32 2 3 3 1 1 1 12 2 21 21 ;22 3 2 ;12 3 2, ;2, ;1 11 11 , ;11 1 , ;21 1 1 3, ;2 , ;1 , , 0, , . vv v q qv p A p Z q R A p Z q R U R B p U R B p                         (18) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 141 Визначимо породжені неоднорідністю системи (11) функції впливу                       1 2 1*32 , , ;11 1; ;21 1 1 12 , ;11 1* , ; ;2 , ;11 1, 1 1 2 1 12 13 , ;21 1 1, ;1 1 12 1 1 1 1 , , , ( ) , ( ) , , 0 , 13 ( ) , ], 0 ,, ; 21, ;12 q qv v q v q qv I r B p R H p r p I B p R r B p R r R B p R r r Rqv                                                                         1 1 3 2 1 2 1 1 3 3 22 2 3 2 1 1 3 22 2 ,21 , ;12 , ;2 , ;132 1 2 2 1 , ,21 22 , ;212 2 1 2 1 2 1 2 , ,11 , ;22 1 1 , , , , , , , ( ) , , , ( ) ( ) ( , ), ( ) q v v v v q q v q v v I rc H p r p r H p r R p I rc c H p r q R R p Ic p r R p                                                                            2 2 2 3 3 1 2 2 23 1 2 2 312 1 2, ;1 , ;22 2 2 , ;22 31 1 2, , ;1 , ;2 2 2 22 11 , ;23 , ;1 , ;312 1 2 1 12 , 12 2 2 , , , , , , ( ) , , , , , , ( , ), , , ( ) v v v v v v q v v v p r p R r Rq H p r p p p r R r R c c H p r p r H p r RR p c q                                                               3 3 1 1 13 3 2 22 2 2 2 , 12 , ;32 , ;12 1 2 1 2 2, , ( ) , , , ( , ), ( ) ( ) q q q v v v v I c r r H p r p R Rp p                                              2 213 3 ;12 3; ;2 32 , ;22 2 213 3 3 , ;12 3; ;2 32 2*1 ;22 3 2, ;1 32 2*1 ;22 3 2, ;1 32 , 1 , , 2 ( ) , ( ) , , , ( ) , , . q v v q v v v v A p q r H p r q p r A p q A p q r R r A p q R r                                               (19) У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (17), підстановки отриманих за правилами Крамера значень  1.3jA j  та Математичне та комп’ютерне моделювання 142 2B у рівності (13) й низки елементарних перетворень маємо єдиний розв’язок крайової задачі (11), (12):               1 2 1 2 2 1 32 2 2 2 1 1, , 1 , , 2 0 * 2 12 1 2 3, , 3 , , , ( ) , , ( ) , , ( ) , 1,3 R R j j j R j R u p r H p r g d H p r g d H p r g d j                                     (20) Повертаючись у формулах (20) до оригіналу, маємо єдиний розв’язок параболічної крайової задачі (8)—(10):               1 2 1 2 1 32 2 2 2 1 1, , 1 , ; 2` 2 0 2 12 1 2 3, , 3 ; , , ( ) , , ( ) , , ( ) , 1,3. R R j v j v j R v j R u t r H t r g d H t r g d H t r g d j                                (21) Тут за означенням [9]         0 2 2 0 * , ; , , 1 , , , , ; , 1.3. 2 i pt v jk v jk i H t r H p r e dp j k i                (22) Особливими точками функцій впливу     2 * , ; , ,v jkH p r    є точки розгалуження 2 ( 1.3)jp j   та p   . Покладемо j jq ib . Буде- мо мати:     1 1 2 21 2 1 2 2 j j j ja p ia k     . Звідси знаходимо, що    2 2 2 2 ,ip e       2 ,dp d   де  2 2 2 2 1 2 3max ; ;    . Якщо 2 2 1 0   , то 2 2 2 2 1 2 1 20, 0,k k      2 2 2 3 1 3 0;k     якщо 2 2 2 0   , то 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 30, 0, 0k k k          . якщо 2 2 3 0   , то 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 3 2 30, 0, 0k k k          . За допомогою методу контурного інтегралу, теореми Коші та ле- ми Жордана [9] формули (22) перетворюються до розрахункових [9]:             2 2 2 1 2 , ; 2 2 ; 0 , , 2 , ; , 1,3. v jk ti v jk H t r Im H e r e d j k                      (23) Практика показує що досить обчислити     2, ;11 , ,vH t r    ,     2, ;12 , ,vH t r    та     2, ;13 , , .vH t r    Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 143 В силу відомих співвідношень [4] маємо:                 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 11 11 12 , ; 1 1 ; 1 1 1 ; 1 1 1 , ; 2 1 2 2 , ; 2 1 2 2 21 21 22 ; 2 3 2 ; 2 3 2 ; 2 3 2 , , , , , , 2 , , , . e ib j b j j i v jk v jk j j j U R X R b iX R b ib R ib R b R b R Z ib R Y b R iY b R                      Ці рівності дають можливість одержати залежності:                     3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ; , ; 1 , ; 2 2 2 , , ;1 , ;2 , 2 . 2 e e ii v b j v j v j ii v v v B e b ib e i                                        (24) У рівностях (24) прийняті позначення:                                           3 3 2 3 22 3 3 2 1 , ;2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 ;22 3 2 , ; 1 2 1 2 2 ,12 3 2 , ; 2 2 1 2 2, ; 1 1 1 1 1 1, ; ;11 ,21 , ;1 , ;1 , ;11 , ;22 , ;2 , ;12 , , , , , , , , , 1,2; , v k k k v j v jv jk j j v jk v k v v v v v v b Y b R b R b R Y b R b R b R e X R b b X R b b j k e e e e                                                    2, ;21 .    Введемо до розгляду функції:                                                         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ;11 , ;21 , ;22 , ;12 , ;21 , ;11 , ;22 2 2 , ;12 , ;11 , ;12 , ;12 , ;21 , ;11 , ;22 0, 0, v v v v v v v v v v v v v v f e e e e e e f e e e e e e                                                                                                 2 2 2 2 2 1 11 , ;13 , ;11 , ;21 , ;12 , ;22 11 1 2 12 1 ; , v v v v vf e e e e c sh b q R                               2 2 32 2 2 2 3 21 12 22 321 12 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 , , . c bc c q q q b R b R R                          3 2 22 3 3 2 22 2 3 2 , ;11 2 2 3 2 , ;21 2 2, ; ;22 ;12, , ; , 1,2;j jk k v vv jkS Y b R u b R Y b R u b R j k                                        3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 , ;11 , ;2 , ;12 , ;1 , ;22 , ;12 , ;1 , ;21 , ;2 , ;11 , , v v v v v v v v v v g S S g S S                                     Математичне та комп’ютерне моделювання 144                                 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 , ;21 , ;1 , ;12 , ;2 , ;22 , ;22 , ;1 , ;11 , ;2 , ;21 , . v v v v v v v v v v g S S g S S                                     Зауважимо, що     2, ;11 0vf     та     2, ;12 0vf     тому, що                 1 2 2 32 2 2 2 12 21 , ;12 , ;21 , ;11 , ;22 0.v v v ve e e e q q q q                 Виконавши в рівностях (23) зазначені операції для 1, 1,3j k  , одержуємо такі вирази:                                       1 12 2 1 1 1 12 2 2 2 1 1 2 1 1, ;11 , ;11 0 1 1 1 1, ;12 , ;13 2 1 1 1 1, , , [ , , , , , , , , ] ; v v v v t v H t r f C r b C b f D r b D b f C r b D b C b D r b e d a                                                                                       1 22 2 1 2 1 22 2 2 2 1 2 12 2 1 , 2, ;12 , ;11 0 1 , 2 1 , 2, ;12 , ;21 2 1 , 2 2 2, ;22 , , , [ , , , , ] ; vv v v vv v t vv v H t r g C r b J b g C r b N b g D r b J b g D r b N b e q d a                                                             1 2 2 2 12 2 2 1 , , ;1 , ;2 1 2 ; shv v vb                                                                         1 12 2 2 3 3 1 12 2 2 2 1 22 1 2 1 1, ;13 , ;1 , ;2 0 3 1 1, ;1 , ;2 12 2 2 3 3 3 1 1, 2 1 2 221 1 2 2 3 32 1 11 1 , , [ , , sin( ln ) , , cos ln ] ; 1, , v v v v v t v H t r C r b D r b b D r b C r b b e q q d a a R cc a a c R                                                                    1 2 32 2 1 2 1 21 22 1 2 2 12 1 11 12 1 2 . c R R c c R R       Якщо тепер вимагати виконання рівностей                   2 2 2 2 2 2 , ;1 , ;1 , ; 0 2 , , , Re , , ; v k v v k t k kv H t r V r V e d a                             (25) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 145 то для визначення величин , , , ( 1,3)k k k kA B C D k  одержимо алгебраї- чну систему з одинадцяти рівнянь                                           2 2 2 1 12 2 1 12 2 1 22 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1, ;11 , ;12 , ;13 1 2 1 2 1 2 1 2, ;11 , ;12 1 2 1 2 1 2 1 2, ;21 , ;22 12 1 3 1 3 1 3 1 3, ;1 , , , , , , , , v v v v v v v v A C f B D f A B C D f A A C C q g A B C D q g B A DC q g B B D D q g A B C D q q B B D D                                                                        1 22 1 2 1 22 2 12 , ;2 12 12 1 3 1 3 1 3 1 3, ;1 , ;2 , , . v v v q q B A DC q q A A C C q q                          (26) Практика показує [10; 11], що при 1 0C  алгебраїчна система (26) однозначно розв’язується:                                                  1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1, ;11 , ;11 , ;13 2 1 , ;11 , ;12 , ;13 , ;11 2 , ;11 , ;11 2 , ;11 , ;12 , , , , ; v v v v v v v v v v v A f B f f D f f f f A q f g B q f g                                                                                                                                      2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 , ;13 , ;11 , ;11 , ;21 2 2 , ;11 , ;11 , ;12 , ;13 , ;11 , ;22 , ;13 , ;12 2 2 , ;11 , ;11 , ;12 , ;13 , , v v v v v v v v v v v v v v v v f g f g C q f f f f f g f g D q f f f f                                                                   (27)                       1 2 1 22 2 1 2 1 22 2 12 3 , ;11 , ;2 12 3 , ;11 , ;1 , , v v v v A f q q B f q q                                Математичне та комп’ютерне моделювання 146                                                                       2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 , ;1 , ;11 , ;2 , ;1312 3 2 , ;11 , ;11 , ;12 , ;13 , ;2 , ;11 , ;1 , ;1312 3 2 , ;11 , ;11 , ;12 , ;13 , . v v v v v v v v v v v v v v v v f f C q q f f f f f f D q q f f f f                                                                           Підставивши визначені формулами (27) величини , , ,k k kA B C ( 1,3)kD k  у рівності (7), одержуємо функції:                                        1 2 1 12 2 2 2 1 21 2 12 2 2 2 1 1, ;1 , ;11 , ;11 , ;13 2 1, ;11 , ;11 , ;12 , ;13 , , , , , v v v v v v v v V r f f C r b f D r b i f f f f D r b                                                                                                   1 2 12 2 2 22 2 1 2 2 2 2 2 2 , ;2 , ;11 , 2 , 2, ;11 , ;12 2 2 , ;2 , ;1 2 , ;11 , ;11 , ;12 , ;13 , v v vv v v v v v v v V r q f g J b r g N b r q i f f f f                                                                                   3 3 22 2 2 2 , 2, ;21 , ;21 , ;22 , ;11 vv v v ve S e S N b r              (28)                            3 3 22 2 2 2 1 2 1 2, ;3 22 , 2, ;21 , ;22 , ;22 , ;12 12 , ;11 ; , v vv v v v v e S e S J b r V r q q f                                                                        3 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2, ;11 , ;12 2 2 12 , ;1 , ;2 2 , ;11 , ;11 , ;12 , ;13 sin ln cos lnv v v v v v v v r b r r b r q q i f f f f                                                             Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 147             3 3 2 2 3 3, ;21 , ;22sin ln cos ln .v ve r b r e r b r           Зауважимо, що                      2 2 2 1 2 2 32 2 2 , ;11 , ;12 , ;13 2 2 21 12 , ;1 , ;2 0. v v v v v f f f q q q q                                      Згідно з формулою (4) спектральна вектор-функція     2, ,vV r    визначена. Оскільки функції     2, ; ,v jV r    є лінійною комбінацією відповід- ної фундаментальної системи розв’язків, то вони задовольняють від- повідні диференціальні рівняння сепаратної системи (6). Виконання умов спряження перевіряється безпосередньо. Більше того, показу- ється [10; 11], що рівності (25) справедливі й для 2,3j  , тобто ма- ють місце розрахункові формули:                   2 2 2 2 2 2 , ; 2 , ; , ; , 0 , , Re , , ; , 1,3. v jk t k kv j v k v H t r V r V e d a j k                           (29) Розв’язок (21) параболічної задачі в силу рівностей (29) набуває інтегрального зображення:                  1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1, ; , ;1 , 0 0 , Re , , j R t v j v v u t r V r g V d e d                                              2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2, ; , ;2 , 0 Re , , R t v j v v R V r g V d e d                              (30)                 2 2 3 2 2 2 2 2 1 3 3, ; , ;3 , 0 Re , , , 1,3. t v j v v R e V r g v d d j                                 Внаслідок початкових умов (9) при 0t   та властивості ядра Коші як дельта-подібної стосовно t послідовності отримуємо інтег- ральні зображення: Математичне та комп’ютерне моделювання 148                 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1, ;1 , ;1 , 0 0 Re , , , R v v vg r V r g V d d                           (31)                 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2, ;2 , ;2 , 0 Re , , , R v v v R g r V r g V d d                           (32)                3 2 2 2 2 2 1 3 3 3, ;3 , ;3 , 0 Re , , .v v v R g r V r g V d d                            (33) Інтегральні зображення (31)—(33) еквівалентні одному інтегра- льному зображенню вектор-функції         1 2 3; ;g r g r g r g r :                   2 2 2, , , 0 0 Re , , .v v vg r V r g V d d                          (34) Інтегральне зображення (34) визначає пряме   2,vH   та обернене   2,vH    гібридне інтегральне перетворення (ГІП), породжене на мно- жині 2I  ГДО   2,vM   , визначеним рівністю (1):               2 2, , 0 , ,v vH g r g r V r r dr g                (35)                 2 2 2, , , 0 Re , .v v vH g g V r d g r                   (36) Математичним обґрунтуванням правил (35), (36) служить твер- дження. Теорема 1 (про інтегральне зображення). Якщо вектор функція              1 2 3 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2f r r R r r r R R r r r R r g r                   обмежена, неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варіацію на множині  0, , то для будь якого 2r I  справедливе інтегральне зображення (34). Визначимо величини та функції:         2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 12 2 1 1 1 11 2 2 2 12 1 1 11 2 , ;1 0 : , : , , , R vd a R c d a R c g g r V r r dr                              2 32 2 2 1 2 2 12 1 2 2 2 3 3 3, ;2 , ;3, , , , R v v R R g g r V r r dr g g r V r r dr                 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 149           2 2 , 2 2, ; 2 , ; 1 , , , 1, 2. k k k k i iv i v k r R dZ V r i kdr            Теорема 2 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція          1 2 31 , 2 3; ;vf r B g r B g r B g r               неперервна на множині 2I  , а функції  jg r задовольняють умови обмеження          1 2 2 2 1 1 1, ;1 , ;10 lim , , 0,v vr dg d r V r g r V r dr dr               (37)          3 2 2 2 1 3 3, ;3 , ;3lim , , 0v vr dg d r V r g r V r dr dr                 (38) та умови спряження    1 1 2 2 1 ; , 1, 2, k k k k k j j k j j k jk r R d d g r g r j k dr dr                       (39) то справджується основна тотожність ГІП ГДО   2,vM   :                   2 2 2 2 3 2 2 , , 1 2 , , 2 1, ;12 , ;22 1 . i iv v i k k k k kv v k H M g r g k g d Z Z                                    (40) Доведення здійснюється за логічною схемою доведення іденти- чної теореми в роботі [10]. Висновок. Правила (35), (36) та (40) складають математичний апарат для розв’язання відповідних задач математичної фізики кус- ково-однорідних середовищ. При цьому ми одержуємо інтегральне зображення аналітичного розв’язку задачі алгоритмічного характеру. Список використаних джерел: 1. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднород- ного тела / Ю. М. Коляно. — К. : Наук. думка, 1992. — 280 с. 2. Ленюк М. П. Температурні поля в плоских кусково-однорідних ортотро- пних областях / М. П. Ленюк. — К. : Ін-т математики, 1997. — 188 с. 3. Конет І. М. Інтегральні перетворення типу Мелера—Фока / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2002. — 276 с. 4. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежанд- ра). Частина 1 / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ. думка, 2004. — 368 с. 5. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення типу Конторовича—Лєбє- дєва / М. П. Ленюк, Г. І. Міхалевська. — Чернівці : Прут, 2002. — 280 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 150 6. Ленюк М. П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 62 с. — (Пре- принт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3). 7. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М. : Физматгиз, 1959. — 468 с. 8. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М. : Наука, 1972. — 735 с. 9. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М. : Наука, 1987. — 688 с. 10. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення типу Ейлера—(Фур’є, Бесселя) / М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2009. — 76 с. 11. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення типу Ейлера—Бесселя— Лежандра на полярній осі / М. П. Ленюк // Крайові задачі для диференці- альних рівнянь : зб. наук. пр. — Чернівці : Прут, 2011. — Вип. 20. — С. 80–111. Introduced hybrid integral transformations generated by the polar axis with two points conjugate hybrid differential operator (Kontorovich– Lebedev)–Bessel–Fourier. Key words: hybrid differential operator functions Cauchy function in- fluence hybrid integral transformation, the basic identity, the main solu- tions. Отримано: 14.03.2012 УДК 519.9 О. М. Литвин, д-р фіз.-мат. наук, професор, О. П. Нечуйвітер, канд. фіз.-мат. наук Українська інженерно-педагогічна академія, м. Харків КУСКОВО-СТАЛА ІНТЕРФЛЕТАЦІЯ ПРИ ОБЧИСЛЕННІ 3 D КОЕФІЦІЄНТІВ ФУР'Є НА КЛАСІ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ У статті розглядаються кубатурні формули обчислення 3 D коефіцієнтів Фур'є на класі диференційовних функцій з вико- ристанням інтерфлетації функцій у випадку, коли інформація про функцію задана її слідами на лініях. Ключові слова: інтерфлетація, кубатурна формула, 3 D коефіцієнти Фур'є, клас диференційовних функцій. 1. Постановка проблеми. При наближені функцій двох та трьох змінних симетричними відрізками ряду Фур'є виникає задача обчис- лення коефіцієнтів цього ряду за допомогою інформаційних операторів різних типів. В якості даних можуть бути значення функції у вузлових точках, сліди функції на лініях або площинах, інтеграли від наближу- © О. М. Литвин, О. П. Нечуйвітер, 2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <FEFF005400610074006f0020006e006100730074006100760065006e00ed00200070006f0075017e0069006a007400650020006b0020007600790074007600e101590065006e00ed00200064006f006b0075006d0065006e0074016f002000410064006f006200650020005000440046002000760068006f0064006e00fd00630068002000700072006f002000730070006f006c00650068006c0069007600e90020007a006f006200720061007a006f007600e1006e00ed002000610020007400690073006b0020006f006200630068006f0064006e00ed0063006800200064006f006b0075006d0065006e0074016f002e002000200056007900740076006f01590065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f007400650076015900ed007400200076002000700072006f006700720061006d0065006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076011b006a016100ed00630068002e> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <FEFF004e006100750064006f006b0069007400650020016100690075006f007300200070006100720061006d006500740072007500730020006e006f0072011700640061006d00690020006b0075007200740069002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b0075007200690065002000740069006e006b006100200070006100740069006b0069006d006100690020007000650072017e0069016b007201170074006900200069007200200073007000610075007300640069006e0074006900200076006500720073006c006f00200064006f006b0075006d0065006e007400750073002e0020002000530075006b0075007200740069002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400610069002000670061006c006900200062016b007400690020006100740069006400610072006f006d00690020004100630072006f006200610074002000690072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610072002000760117006c00650073006e0117006d00690073002000760065007200730069006a006f006d00690073002e> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси