Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ

Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ

У роботі визначаються нові класи функцій-символів та нові класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за такими символами за допомогою прямого та оберненого перетворення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з поч...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2012
Автор: Мартинюк, О.В.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48830
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ / О.В. Мартинюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 157-171. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48830
record_format dspace
spelling irk-123456789-488302013-09-05T03:06:06Z Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ Мартинюк, О.В. У роботі визначаються нові класи функцій-символів та нові класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за такими символами за допомогою прямого та оберненого перетворення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з початковими функціями з просторів типу розподілів Соболєва–Шварца. The new classes of functions-symbols and new classes of pseudodifferential operators, which are built on such characters by direct and inverse Bessel transformation, are defined in the paper. The correct solvability of the Cauchy problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators with initial functions of the spaces such as Sobolev—Schwartz distributions is set. 2012 Article Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ / О.В. Мартинюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 157-171. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48830 517.956 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У роботі визначаються нові класи функцій-символів та нові класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за такими символами за допомогою прямого та оберненого перетворення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами з початковими функціями з просторів типу розподілів Соболєва–Шварца.
format Article
author Мартинюк, О.В.
spellingShingle Мартинюк, О.В.
Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Мартинюк, О.В.
author_sort Мартинюк, О.В.
title Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ
title_short Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ
title_full Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ
title_fullStr Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ
title_full_unstemmed Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ
title_sort задача коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. іі
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2012
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48830
citation_txt Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. ІІ / О.В. Мартинюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 157-171. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT martinûkov zadačakošídlâsingulârnihevolûcíjnihrívnânʹuzlíčennonormovanihprostorahneskínčennodiferencíjovnihfunkcíjíí
first_indexed 2025-07-04T09:35:02Z
last_indexed 2025-07-04T09:35:02Z
_version_ 1836708479563202560
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 157 The paper is devoted to formulas of the evaluating of three dimensions of Fourier’s coefficients with using spline-interflatation оn the class of didder- entiable functions in case when information about function is a set of lines. Key words: interflatation, cubature formula, three dimensions of Fou- rier’s coefficients, class of differentiable functions. Отримано: 23.03.2012 УДК 517.956 О. В. Мартинюк, канд. фіз.-мат. наук Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ЗАДАЧА КОШІ ДЛЯ СИНГУЛЯРНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ У ЗЛІЧЕННО-НОРМОВАНИХ ПРОСТОРАХ НЕСКІНЧЕННО ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ. ІІ У роботі визначаються нові класи функцій-символів та но- ві класи псевдодиференціальних операторів, які будуються за такими символами за допомогою прямого та оберненого пере- творення Бесселя. Встановлюється коректна розв’язність зада- чі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими опера- торами з початковими функціями з просторів типу розподілів Соболєва–Шварца. Ключові слова: перетворення Бесселя; простори основ- них функцій; простори узагальнених функцій, задача Коші, псевдо-Бесселеві оператори. Ця робота є продовженням однойменної статті [1]. Тут дослі- джуються властивості перетворення Бесселя функцій з основного простору, а також топологічна структура простору, що є образом ос- новного при відображенні Бесселя. Перетворення Бесселя функцій з простору ,M  . Простір , , p    Символом ,M  будемо позначати простір основних функцій, введений у роботі [1]. Нехай  — фіксоване число з множини  3 / 2;5 / 2;7 / 2;... . Символом vj позначатимемо нормовану функцію Бесселя;  vj x є розв’язком рівняння 2 2 2 1 0     d u v du u x dxdx  © О. В. Мартинюк, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 158 і задовольняє початкові умови: (0) 1vj , (0) 0 vj . Для j правиль- ним є інтегральне зображення Пуассона [2] /2 2 0 2 ( 1) ( ) cos( cos )sin , , 1/ 2. ( 1/ 2)          v v v j d v v          (1) На функціях з простору ,M  визначене перетворення Бесселя BF [3]: 2 1 , 0 [ ]( ) ( ) ( ) , .   B MF x j x x dx        (2) Оскільки   ( 1) ( ) , , , , ( 1/ 2)       v v v v j x A x A v    то 2 1 0 : | [ ]( ) | | ( ) | .        BF A x x dx     Отже,  BF  — парна і обмежена на  функція. Оскільки інтег- рал в (2) збігається рівномірно відносно  , то  BF  — неперервна на  функція. Функція [ ]BF  нескінченно диференційовна на  . Справді, скориставшись формулою (1), знайдемо, що ( ) , , 0, .   m mD j x A x x m      Звідси та з властивостей функції , M   випливає абсолютна та рівномірна щодо  збіжність інтеграла 2 1 0 ( ) ( ) .   mx D j x x dx    Отже, 2 1 0 [ ]( ) = ( ) ( ) .  m m BD F x D j x x dx       Здійснимо оцінку функції [ ]m BD F  . Нехай = 0m . Введемо по- значення: = 1/ 2n , n  , і скористаємося наступним зображен- ням бесселевих функцій напівцілого порядку [4]: 1/2 2 1 1 ( ) = sin cos , > 0, 2 2                             n n n n n J x x P x Q x x x x    Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 159 де 1      nP x — многочлен степеня n відносно 1 x , 1      nQ x — многоч- лен степеня 1n ; при цьому (0) = 1nP , (0) = 0nQ . Оскільки нормована функція Бесселя j пов’язана з функцією Бесселя J формулою (див. [3]) 2 ( 1/ 2) ( ) = ( ), > 0,   j x J x x x     то маємо наступне зображення для функції 1/2nj : 1/2 1 1 1 ( ) = sin cos , 2 2 , > 0.                                n n n nn c n n j x x P x Q x xx n x    (3) Урахувавши (3) подамо [ ]( )BF   , 0 , у вигляді: 1 2[ ]( ) = ( ) ( ), BF     де 1 1 1 0 1 ( ) = ( ) sin , 2                nn nn c n x x x P dx x     1 2 1 0 1 ( ) ( ) cos , 2                 nn nn c n x x x Q dx x     1 =0 =1 1 1 = , = . ( ) ( )               n n k k n nk k k k b d P Q x xx x   Отже, 1 1 1 1 1 =0 =00 ( ) = ( ) sin ( ), 2                 n n n kk k n n kn k n k k k b bn c x x x dx c J       1 1 0 ( ) = ( ) sin , 2         n k k n J x x x dx    1 2 2 1 =1 ( ) = ( ),      n k n kn k k d c J   2 1 0 ( ) = ( ) cos . 2 n k k n J x x x dx            Розглянемо 1 ( )kJ  при фіксованому k : 0  k n . Оскільки 0 , то інтегруючи km разів частинами, де 12 [ ]   km n k   , подамо 1 ( )kJ  у вигляді: 1 1 0 ( 1) ( ) = lim ( ) sin = 2           mk n k k mk n J x x x dx       Математичне та комп’ютерне моделювання 160  1 0 lim ( ) sin ( , ) . 2 2                   m n kk x k n D x x x m dx        Символом ( , )   тут позначено позаінтегральний вираз, який складається з доданків вигляду 11 ( )   km ll n k x xcD x D x , якщо 0   l n k , та доданку 1 ( )  km l xcD x , якщо = 1 l n k ( c — ста- лі, конкретні значення яких на даний момент не важливі; = sin 2 2        k n x m   ) із значеннями у точці =x  та в нескінчен- ності. Із означення простору ,M  [1] та обмежень на функції  та M випливає, що для досить малих значень > 0x справджуються нерівності 1 ( 1) 11 ( 1) ( 1 ( 1)) ( ) ( ) | . ( )               k k k m n k x m n k m n k x x D x c c M x x    При вказаному обмеженні на параметр km маємо, що  1 ( 1) [ ]km n k      . Отже, 1 ( 1) [ ] { } 1 1( ) = .    km n k xD x c x c x   Крім того, ( 1 ) ( 1 ) [ ]      km l n k l   . Тому, якщо 0   l n k , то для досить малих значень > 0x 1 11 (1 )( 1 ) { } ( 1 ) ( ) .                  k n k l m ll n k n k lk x x m l x x D x D x c cx x cx x      Звідси вже дістаємо, що 0 lim ( , ) = 0      для кожного 0 . На нескінченності вказані позаінтегральні доданки перетворюються в нуль за рахунок спадання до нуля на нескінченності функції  та її похідних. Урахувавши формулу диференціювання добутку двох функцій діс- танемо, що оцінка 1| |kJ зводиться до оцінки суми інтегралів вигляду:  1 1 0 1 ( ) ( ) | |    k m n kk k xm J D x x dx         11 0 0 1 0 1 ( ) 1 ( ) | | 1 ! ( ) 1 !                                   k k k k m mn k n kk x k xm mm j n k jk xm D x x dx m n k D x x dx n k j C D x x dx n k j     (4) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 161   ( 1) 0 1 ! ( ) , 0.            km n k xn k D x dx  Із властивостей функції  випливає, що всі інтеграли в (4) є збіжними. Справді, на нескінченності функція  разом з усіма свої- ми похідними спадає швидше, ніж  exp ( ) ax . Розглянемо один із інтегралів у сумі (4), який відповідає індексу 1  n k j і з’ясуємо поведінку підінтегральної функції у досить малому (правосторон- ньому) околі особливої точки = 0x . Внаслідок оцінок з означення простору ,M  [1] підінтегральна функція допускає оцінку 1 1 1 1 ( ) ( ) | ( ) | ( )                k k n k j n k j mn k j k x m j m j x x x xj x D x c c M x x    1 1 (1 )( 1 ) { } 1 1( 2 [ ]) =                 n k j n k j n k j x x c c x x        { } 1 , 0 1.     c x j n k  Звідси випливає збіжність відповідного інтеграла, бо { } =x   { } 1 x   , 0 < { } 1 { } < 1     , якщо ({ },1]  , { } 0   , якщо (0,{ }]  . Надалі вважаємо, що 1= 2 [ [ ]]  km n k   . Отже, якщо 0 , то 1 1 2 [ [ ]] | ( ) | , 0. | |     k k n k J       Тоді ( 1) 1 1 =0 | ( ) | | | | ( ) |     n n k n k k k c b J   1( 1) ( 2 [ [ ]]) =0 | | | | =         n n k n k n k k k c b     1(2 3 [ [ ]])| |    n nc   1(1 [ [ ]])0 0| | , = 2 1 2 2, 0.        p nc p n     Аналогічно оцінюємо 2| ( ) |  . Таким чином, для 0 прави- льною є нерівність 1( [ [ ]])0 0 0| [ ]( ) | const | | , = 1 .       p BF p p     З іншого боку, | [ ]( ) | constBF   ,    , [ ]( ) constBF   при 0 . Звідси дістаємо, що Математичне та комп’ютерне моделювання 162 0 1 0 0| [ ]( ) | const (1 | |) , , = [ [ ]].BF p            Нехай m  . Тоді 1 2[ ]( ) = ( ) ( ),  m m m BD F D D      де 1 ( 1) 1 =0 0 ( ) = ( ) sin , 2                 n m n k m n k n k k n D c b x x D x dx      1 1 ( 1) 2 =1 0 ( ) = ( ) cos . 2                 n m n k m n k n k k n D c d x x D x dx      Оцінимо 1| ( ) |mD  . Скориставшись формулою диференцію- вання добутку двох функцій знайдемо, що ( 1) sin = 2           m n k n D x   ( 1 ) =0 = sin ( ) , 2 2              m j n k j m j m j j n C x x m j     = ( 1) ( 1) ( 1 ).     j j n k n k j Отже, ( 1 ) 1 1 =0 =0 0 ( ) = ( )             n m m j n k j n k m j n k m j k j D c b C x x     ( 1 ) 1 =0 =0 sin( ( ) ) ( ), 2 2           n m j n k j n k m j k j n x m j dx c b C      де 1 1 0 ( ) = ( ) sin ( ) . 2 2              n k m j n x x x m j dx     Припустимо, що 0 . Міркуючи аналогічно тому, як це було зроблено у випадку = 0m , зінтегрувавши частинами =  km n k 12 [ [ ]]   m j  разів знайдемо, що  1 1 0 1 ( ) ( ) | |        m n k m jk xmk D x x dx   1 0 1 ( 1 )! ( ) ( 1 )!| |                      m n k m jk xmk n k m j D x x dx n k m j l   Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 163 1 0 ( ) ( 1 )!                k k k m l n k m j l xm m l C D x x dx n k m j 0 ( 1 ) ( ) .           mk x n k m j D x dx Із властивостей функції  випливає, що всі інтеграли є збіжни- ми. На нескінченності функція  разом з усіма своїми похідними спадає швидше, ніж  exp ( ) ax . У досить малому правосторонньо- му околі точки = 0x правильними є нерівності 1 1 ( ) ( ) ( )             k k n k m j l m ln k m j l x m l x x x D x c M x  1 1 1 1( ) ( 2 [ ] ) =                      k n k m j l n k m j l m l n k m j l x x x x c c x x       (1 )( 1 ) { } 1=        n k m j lc x x   { } 1 , 0 1 , 0 ,        c x l n k m j j m  звідки й випливає збіжність відповідного інтеграла. Далі, як і у випа- дку = 0m , здійснюємо оцінку 1( )mD  і аналогічно оцінюємо 2 ( )mD  ; в результаті прийдемо до нерівностей: ( )0[ ]( ) (1 | |) , ,      mm B mD F         (5) 1 0 0 0 0, = [ ] , = 1 2 2, (0,1], > 1.          m p p p      Підсумуємо отримані результати у вигляді наступного твердження. Теорема 1. Якщо , M   , то [ ] ( )BF C  . Для функції [ ]BF  та її похідних справджуються оцінки (5). Нехай , ,= [ ] B MF    . Введемо в ,   структуру зліченно- нормованого простору за допомогою норм 2 20 , [0, ) =0 : sup ( ) ( ) , , ,                p k k p x k D p           де ( ) : (1 )    , [0, )  , 0 0=    , 0 < << 1 — фіксований параметр. Очевидно, що ,0 1 , ,    p       (6) Математичне та комп’ютерне моделювання 164 тобто ці норми є попарно зрівняними. Збіжність у просторі ,   — це збіжність за кожною нормою  p , p  . Ця збіжність еквіва- лентна такій: послідовність   ,, 1  i i    збігається за топологією простору ,   до функції ,   тоді й лише тоді, коли вона: 1) обмежена в ,   , тобто = ( ) > 0 1: ;     i p p c c p i c 2) правильно збігається в ,   , а саме, для довільного m  пос- лідовність  2 ( ), 1 m iD i   збігається до нуля рівномірно на кожному відрізку [ , ] [0, ) a b . Доведення цього твердження аналогічне доведенню відповідної властивості у випадку простору ,M  . Символом ( )  D позначимо сукупність усіх парних функцій з простору ( )D з відповідною збіжністю: послідовність { , 1} k k ( )  D збігається до функції ( )   D , якщо існує інтервал ( , ) R R  такий, що supp ( , ) R R , supp ( , ) k R R ,  k  , і для будь-якого фіксованого m  послідовність  2 , 1m x kD k збі- гається до 2k xD  рівномірно на ( , )R R (а, отже, і на  ) при  k . Відомо [5], що функція 2 2 exp , | |< 1, ( ) = 1 0, | | 1,            x x x x  є елементом простору ( )D , функція ( ) =       c x x    , > 0 , де 1 = ( )    c x dx є такою, що а) ( ) 0x ; б) supp = [ , ]   ; в) ( ) = 1    x dx . Зазначимо, що функція  подається у вигляді [5]: ( ) =x ( 1) ( 1)   x x  , де exp{1 / }, < 0, ( ) = 0, 0.     x x x x  Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 165 Оскільки  — парна на  функція, то ( )   D (при кож- ному > 0 ). Побудуємо функцію 1 ( )   D , яка володіє властиві- стю: 1( ) 1x на [ 1,1] , 1( ) = 0x для | | 2x  . За таку функцію можна взяти, наприклад (див. [5; 6]), первісну від функції 1/2 1/2( 3 / 2) ( 3 / 2)  x x  . Покладемо 1( ) =       j x x j   , j  . Тоді ( )  j D i ( ) 1j x для [ , ] x j j . Очевидно також, що ( )  j  D , якщо ,   , ,j     ,  j  , ,( )      D . Лема 1. Послідовність  : , 1 j j j   збігається при  j до функції  у просторі ,   . Доведення. Передусім доведемо, що послідовність  2 ( ),k x jD   1j  , k  , збігається до нуля рівномірно при  j на кожно- му відрізку [ , ] [0, ) a b . Очевидно, що відрізок [ , ]a b міститься у відрізку [ , ] j j при досить великому j . Тоді 2 [ , ] sup ( )k x j x a b D x   ( ) = 0x , k  , тобто послідовність { j , 1}j задовольняє умову 2) збіжності в просторі ,   . Доведемо, далі, що послідовність { , 1}j j задовольняє також умову 1), тобто 0 1 : .       p j pp p c j c Нагадаємо, що   (2 )0 [0, ) =0 2 = sup ( ) ( ) .    p k j jp x k k x x   Оцінимо вираз 0 (2 )2 ( ) ( )  k j k x x  , x  , 0  k p . Маємо, що 0 0 2 2 2(2 ) ( ) (2 ) 2 =0 ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )      k k kk l l k l j k j l x x x C x x    0 2 2 ( ) (2 ) 2 =0 ( ) ( ) ( ) .    k k l l k l k j l x C x x   Математичне та комп’ютерне моделювання 166 Урахувавши вигляд функції  безпосередньо знаходимо, що ( )( ) 1 1 ( ) = , ,        ll l j l l x x l jj j     де стала > 0l не залежить від j . Тоді (див. (6)) 0 0 0 2 2 2(2 ) 2 2 2 =0 ( ) ( ) ( ) = ( )             k k kk l l k l j k l k l l c x x x C j x     2 2 2 =0 = ( ).  k l ll k k ll l C c x j  Зауважимо, що 0 2 (2 )( ) ( ) 0  k k jx x  для | | 2x j . Тоді для [ 2 , 2 ] x j j правильними є нерівності 0 2 2 (2 ) 2 2 =0 (1 | |) ( ) ( )      lk k k l j k l k l l l x x x C c j    2 2 2 2 2 2 =0 =0 (1 2 ) 3 ,       lk k l l l k l k l k l k l kl l l j C c C c b j   де стала kb не залежить від  . Таким чином, j pp c , де =0 =  p p k k c b , pc не залежить від  . Твердження доведено. Наслідок. Простір ( )  D лежить щільно в ,   . Символом , , p    , p  , позначимо поповнення простору ,   за p -ою нормою. Аналогічно тому, як це зроблено при дове- денні леми 1, встановлюємо, що ( )  D лежить щільно у кожному просторі , , p    . При цьому збіжність за нормою простору , , p    еквівалентна правильній збіжності: послідовність  , 1j j збігаєть- ся до нуля в просторі , , p    тоді й лише тоді, коли вона обмежена за нормою  p , послідовність  2 , 1k x jD j збігається до нуля рівномір- но на кожному відрізку [ , ] [0, ) a b для кожного k : 0  k p . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 167 Очевидно, що правильними є вкладення , ,0 , ,1          , , ,p        при цьому кожне вкладення , , 1 , ,  p p       , p  , неперервне (згідно з (6)) і щільне (бо щільним є вкладення ( )  D у кожний простір , , p    , p  ). Оскільки , , , 0 =     p p       , то із узгодженості норм  p , 1  p та властивості повноти просторів , , p    дістаємо, що ,   — пов- ний зліченно-нормований простір. Простір ,   відноситься до досконалих зліченно-нормованих просторів, тобто просторів, у яких кожна обмежена множина є ком- пактною. Досконалі простори, як відомо [7], володіють певними вла- стивостями, що не мають місця в нескінченновимірних нормованих просторах. Так, у досконалих просторах сильна збіжність співпадає зі слабкою; обмежені множини в просторі X , спряженому до доскона- лого простору X , також компактні і слабка збіжність у просторі X співпадає з сильною збіжністю; досконалий простір є рефлексивним. Отже, правильним є наступне твердження. Лема 2. Простір ,   є досконалим. Доведення. З (6) випливає, що норми  p , p  , впорядкова- ні. Згідно із загальним критерієм досконалості повного зліченно- нормованого простору [7], досить довести, що з кожної множини , A    , обмеженої за нормою  p , можна вибрати послідовність, фундаментальну за нормою 1  p . Якщо множина A обмежена за нормою  p , то внаслідок (6) вона обмежена і за нормою 1  p . Звідси, зокрема, випливає, що рів- номірно обмеженими на довільному відрізку [ , ] [0, ) a b є множи- ни A та (2( 1)) 1 : { : , [ , ]}pA A x a b    . Кожну функцію 1 A можна подати у вигляді: (2( 1)) (2 1)( ) ( ) = ( ) ,     p p x x x d     при цьому (2 1)0 [ , ] : ( ) .       pc A x a b x c  Математичне та комп’ютерне моделювання 168 Справді, (2 1) (2 )( ) = ( ) ,    p p x x d    0 (2 1) (2 ) 2 ( ) ( ) , (1 )         p p p p x x d x d c c      де > 0c — стала, не залежна від  A . Ця властивість випливає з обмеженості множини A за нормою  p . Тоді (2 1) 1 : ( ) ( ) ( ) | |, { , } [ , ].                 x p x A x x d c x x x x a b      Звідси дістаємо, що множина функцій 1A рівностайно неперервна на [ , ]a b . Отже, на підставі теореми Арцела твердимо, що з множини 1A можна виділити рівномірно збіжну на [ , ]a b послідовність функцій  (2( 1)) ( ), 1 p s x s . Оскільки всі похідні функцій s до порядку < 2( 1)p отримуються інтегруванням послідовності 2( 1)p s , то всі вони також утворюють рівномірно збіжні на [ , ]a b послідовності. Крім того, із обмеженості множини A за нормою 1  p випливає обмеже- ність послідовності  , 1 s s A за цією ж нормою. Таким чином, послідовність  , 1s s задовольняє умови 1), 2), за допомогою яких характеризується збіжність у просторі ,   за нормою 1  p . Отже, послідовність  , 1 s s A збігається за нормою 1  p , що й потріб- но було довести. Лема доведена. Як наслідок дістаємо, що вкладення , , 1 , ,  p p       , p  , є компактним. Теорема 2. Перетворення Бесселя неперервно відображає ,M  на простір ,   . Доведення. Нехай   ,, 1 i Mi   i 0i при  i за то- пологією простору ,M  , тобто   , ,, 1 i M ai   при деякому > 0a і при цьому виконуються наступні умови: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 169 1)  p  = ( ) > 0c c p 1 i : ,  i p a c 2 2 (0, ) =0 1 sup exp 1 ( ) ( ) ; 2                         p k k x i x k a x M x D x c p   2) для довільного m  послідовність  2 , 1m x iD i збігається до нуля рівномірно на кожному відрізку [ , ] (0, ) a b . Доведемо, що [ ] 0B iF  при  i у просторі ,   , тобто встановимо, що: 1) послідовність  [ ], 1B iF i обмежена в ,   ; 2) для довільно- го m  послідовність  2 [ ], 1m x B iD F i збігається до нуля рів- номірно на кожному відрізку [ , ] [0, ) c d . При доведенні теореми 1 знайдено вигляд похідної [ ]( )m BD F   , , M   , при 0 ; скориставшись ним, дістанемо 2 1 2 ( 1) =0 0 [ ]( ) = ( ) (         n m n k m n k B i n k i k D F c b x x D     1 1 2 ( 1) =1 0 sin( )) ( ) ( 2           n n k m n k n k i k n x dx c d x x D    2 ( 1 ) 12 =0 =0 cos( )) = ( ) 2         n m j n k j n k jm k j n x dx c b C     1 2 ( 1 ) 22 =1 =0 ( ),        n m j n k j n k m k j c d C   де 1 2 1 0 ( ) = ( ) sin (2 ) = 2 2              n k m j i n x x x m j dx      1 2 0 ( 1) = ( )       mk m n k m jk x imk D x x   sin (2 ) , 2 2         k n x m j m dx    1 2 2 0 ( 1) ( ) = ( )        k k m m n k m jk x im D x x    cos (2 ) , 2 2          k n x m j m dx   1= 2 [ ] 2      km n k m j  , Математичне та комп’ютерне моделювання 170 = ( 1) ( 1) ( 1 )     j j n k n k j . Далі, як і при доведенні теореми 1, встановлюємо оцінку похідної 2 [ ]m B iD F  передусім у випадку 0 , потім — для довільного   . При цьому використовуємо умову 1), яку задовольняє послідовність { , 1}i i . За допомогою цієї умови доводимо збіжність інтегралів, що зображують функції 1 та 2 . У результаті прийдемо до нерівностей   0 0 ( 2 ) ( 2 )2 2 2[ ]( ) 1 | | ( ),        m mm B i m mD F          , , m   причому стала 2 > 0m не залежить від індексу i  . Звідси вже дістаємо обмеженість норми [ ]B i p F  у просторі ,   , тобто > 0 1:    pp c i 0 2 2 (0, ) =0 [ ] = sup ( ( )) [ ]( ) .             p k k B i B i pp k F D F c       Із властивостей функцій i та j випливає абсолютна і рівномі- рна по   збіжність інтеграла 2 2 1 0 ( ) ( ) .   m i x D j x x dx    Оскільки всі функції ,i M   є неперервними на  , то з умови 2) випливає, що послідовність  , 1i i збігається рівномірно на до- вільному проміжку [0, ]A , > 0A . Тоді, здійснивши граничний пере- хід у співвідношенні 2 2 2 1 0 [ ]( ) ( ) ( )m m B i iD F x D j x x dx          під знаком інтеграла при  i знайдемо, що 2 [ ] 0m B iD F  при  i рівномірно на довільному проміжку [ , ] [0, ) c d . Теорема доведена. Список використаних джерел: 1. Мартинюк О. В. Задача Коші для сингулярних еволюційних рівнянь у зліченно-нормованих просторах нескінченно диференційовних функцій. І // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки : зб. наук. пр. / Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка. — Кам’янець-Подільський, Кам’янець-Подільський національ- ний університет імені Івана Огієнка, 2011. — Вип. 5. — С. 179–192. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6 171 2. Корн Т. Справочник по математике / Т. Корн, Г. Корн. — М. : Наука, 1977. — 832 с. 3. Левитан Б. И. Разложения по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б. И. Левитан // Успехи мат. наук. — 1951. — Т. 6, вып. 2. — С. 102–143. 4. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М. : Наука, 1977. — 736 с. 5. Кириллов А. А. Теоремы и задачи функционального анализа / А. А. Ки- риллов, А. Д. Гвишиани. — М. : Наука, 1979. — 384 с. 6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владими- ров. — М. : Наука, 1976. — 528 с. 7. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 307 с. The new classes of functions-symbols and new classes of pseudo- differential operators, which are built on such characters by direct and inverse Bessel transformation, are defined in the paper. The correct solvability of the Cauchy problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators with ini- tial functions of the spaces such as Sobolev—Schwartz distributions is set. Key words: Bessel transformation, spaces of basic functions, spaces of generalized functions, the Cauchy problem, pseudo-Bessel operators. Отримано: 14.06.2011 УДК 517.956 В. І. Мироник, канд. фіз.-мат. наук, І. С. Тупкало, асистент Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ РОЗВ’ЯЗКІВ ДВОТОЧКОВОЇ ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧІ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ СИНГУЛЯРНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ Знайдено умову існування області, в якій розв’язок двоточко- вої за часом задачі є обмеженою функцією за сукупністю змінних. Ключові слова: двоточкова за часом задача, еволюційні рівняння, оператор Бесселя нескінченного порядку, узагальне- на функція типу розподілів. У праці [1] встановлено коректну розв’язність двоточкової за часом задачі для еволюційного рівняння з оператором Бесселя не- скінченного порядку в класі крайових умов типу розподілів. Розв’язок ( , ), ( , ) (0, )u t x t x T  , такої задачі при кожному (0, )t T є обмеженою функцією змінної x , тобто sup | ( , ) | ( ) x u t x c t    , функція © В. І. Мироник, І. С. Тупкало, 2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <FEFF005400690063006100720069002000620065006c00670065006c006500720069006e0020006700fc00760065006e0069006c0069007200200062006900720020015f0065006b0069006c006400650020006700f6007200fc006e007400fc006c0065006e006d006500730069002000760065002000790061007a0064013100720131006c006d006100730131006e006100200075007900670075006e002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002e> /UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043d0430043404560439043d043e0433043e0020043f0435044004350433043b044f043404430020044204300020043404400443043a0443002004340456043b043e04320438044500200434043e043a0443043c0435043d044204560432002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси