Інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором Ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) запроваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на сегменті [0, R2 ] полярної осі з однією точкою спряження диференціальним оператором Ейлера другого порядку...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Назва видання: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48832 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором Ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження / О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 183-195. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-48832 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-488322013-09-05T03:07:03Z Інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором Ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження Нікітіна, О.М. Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) запроваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на сегменті [0, R2 ] полярної осі з однією точкою спряження диференціальним оператором Ейлера другого порядку The method of delta-like sequence (Dirichlet kernel) inculcates the hybrid integral transformation generated on the segment of polar axis with one point of interface by the differential operator of Euler the second order. 2012 Article Інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором Ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження / О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 183-195. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48832 517.532.2 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) запроваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на сегменті [0, R2 ] полярної осі з однією точкою спряження диференціальним оператором Ейлера другого порядку |
| format |
Article |
| author |
Нікітіна, О.М. |
| spellingShingle |
Нікітіна, О.М. Інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором Ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Нікітіна, О.М. |
| author_sort |
Нікітіна, О.М. |
| title |
Інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором Ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження |
| title_short |
Інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором Ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження |
| title_full |
Інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором Ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження |
| title_fullStr |
Інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором Ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження |
| title_full_unstemmed |
Інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором Ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження |
| title_sort |
інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48832 |
| citation_txt |
Інтегральне перетворення, породжене диференціальним оператором Ейлера другого порядку на сегменті полярної осі з однією точкою спряження / О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 183-195. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT níkítínaom íntegralʹneperetvorennâporodženediferencíalʹnimoperatoromejleradrugogoporâdkunasegmentípolârnoíosízodníêûtočkoûsprâžennâ |
| first_indexed |
2025-07-04T09:35:10Z |
| last_indexed |
2025-07-04T09:35:10Z |
| _version_ |
1836708489225830400 |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
183
УДК 517.532.2
О. М. Нікітіна, канд. фіз.-мат. наук
Чернівецький факультет національного технічного університету
«Харківський політехнічний інститут», м. Чернівці
ІНТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ, ПОРОДЖЕНЕ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМ ОПЕРАТОРОМ ЕЙЛЕРА
ДРУГОГО ПОРЯДКУ НА СЕГМЕНТІ ПОЛЯРНОЇ ОСІ
З ОДНІЄЮ ТОЧКОЮ СПРЯЖЕННЯ
Методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле) за-
проваджено гібридне інтегральне перетворення, породжене на
сегменті 2[0, ]R полярної осі з однією точкою спряження ди-
ференціальним оператором Ейлера другого порядку
Ключові слова: диференціальний оператор Ейлера, інтег-
ральне перетворення, ядро Діріхле, вагова функція, спектра-
льна функція, спектральна щільність, інтегральне зображен-
ня, основна тотожність.
Вступ. Вивчення фізико-технічних характеристик композитних ма-
теріалів, які знаходяться в різних умовах експлуатації, математично при-
водить до задачі інтегрування сепаратної системи диференціальних рів-
нянь другого порядку на кусково-однорідному інтервалі. Ефективним
методом одержання інтегрального зображення аналітичного розв'язку
таких задач є метод гібридних інтегральних перетворень, започаткова-
ний в роботі [1]. Основні положення теорії гібридних інтегральних пере-
творень закладено в монографії [2]. Пропонована стаття присвячена за-
провадженню одного з типів гібридних інтегральних перетворень.
Основна частина. Запровадимо методом дельта-подібної послі-
довності інтегральне перетворення, породжене на множині
1 1 1 2 2: (0, ) ( , );I r r R R R R
диференціальним оператором Ейлера другого порядку
1 2
* * *
( ) 1 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( , )B r R r B r R R r B . (1)
Тут прийняті позначення: ( )x — одинична функція Гевісайда [3],
2
* 2 2
2
(2 1)
j j j
d d
B r r
drdr
— диференціальний оператор Ейле-
ра [4]; 2 1 0j .
Означення. Областю задання диференціального оператора *
( )B
назвемо множину G вектор-функцій 1 2( ) ( ); ( )g r g r g r з такими влас-
© О. М. Нікітіна, 2012
Математичне та комп’ютерне моделювання
184
тивостями: 1) вектор-функція 1 2
* *
1 2( ) [ ( )]; [ ( )]f r B g r B g r непере-
рвна на множині 1I ; 2) функції ( )jg r задовольняють умови спряження
1
1 1 1 1
1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0, 1, 2j j j j r R
d d
g r g r j
dr dr
; (2)
3) функції ( )jg r задовольняють крайові умови
2
2 2
1 22 22 2
0
lim ( ) 0, ( ) 0r R
r
d
r g r g r
dr
. (3)
Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: 0m
jk , 0m
jk ,
11 21 0c c , 1 1 1 1
1 2 1 1 2j j j j jc ; 2 2
22 22 0 .
Визначимо числа 1 1 , 1 22 1 2 1
2 21 111 1:c R c R , вагову функцію
1 22 1 2 1
1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r R r r r R R r r (4)
та скалярний добуток: для ( )u r G , ( )v r G
2 1
1
2
2
1
2 1
1 1 1
0 0
2 1
2 2 2
( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) , 2 1 0.
R R
R
j
R
u r v r u r v r r dr u r v r r dr
u r v r r dr
(5)
Лема 1. Для вектор-функцій ( )u r G та ( )v r G має місце ба-
зова тотожність
1 1
21
1 1 1 1 2 2 2 2
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .r R r R
c
u r v r u r v r u r v r u r v r
c (6)
Доведення. Покладемо
11 11 22 21 12
k k k k ka , 21 11 22 21 12
k k k k ka , (7)
12 11 22 21 12
k k k k ka , 22 11 22 21 12
k k k k ka , 1k .
Безпосередньо знаходимо, що
11 22 12 21 1 2
k k k k
k ka a a a c c . (8)
Із системи рівностей
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ), 1,2j j j ju R u R u R u R j
знаходимо співвідношення:
1 1 1
1 1 11 21 2 1 22 2 1
1 1 1
1 1 11 11 2 1 12 2 1
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) .
u R c a u R a u R
u R c a u R a u R
(9)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
185
Такі ж співвідношення справджуються і для функцій ( )jv r :
1 1 1
1 1 11 21 2 1 22 2 1
1 1 1
1 1 11 11 2 1 12 2 1
( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ) .
v R c a v R a v R
v R c a v R a v R
(10)
Безпосередні підрахунки дають:
1
1 1
1 1 1 1 11 2 1 12 2 12
11
1 1 1 1
21 2 1 22 2 1 21 2 1 22 2 1
1 1 2 1 1
11 2 1 12 2 1 11 11 22 2 1 2 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
r Ru r v r u r v r a u R a u R
c
a v R a v R a u R a u R
a v R a v R c a a u R v R
1 1 1 1 1 1
12 21 2 1 2 1 21 12 2 1 2 1 22 11 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a u R v R a a u R v R a a u R v R
2 1 1 1 1 1 1 1 1
11 11 22 12 21 2 1 2 1 11 22 12 21 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c a a a a u R v R a a a a u R v R
1 1 1 1
11 22 12 21
2 1 2 1 2 1 2 12
11
21
2 1 2 1 2 1 2 12
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ,
a a a a
u R v R u R v R
c
c
u R v R u R v R
c
що й треба було довести.
Лема 2. Диференціальний оператор *
( )B самоспряжений.
Доведення. Згідно правила (5) розглянемо скалярний добуток
1 2
1 2
1 2
1
2 1 2 1* * *
( ) 1 1 1 2 2 2
0
[ ], [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) .
R R
R
B u v B u r v r r dr B u r v r r dr
Проінтегруємо два рази частинами під знаком інтегралів:
1
2
2
12 1* 1 1
( ) 1 1 1
22 1 *2 2
2 2 2 ( )
1 0
[ ],
0
( )( [ ( )]) ( ) .
R
r Rdu dv
B u v r v u
rdr dr
r Rdu dv
r v u u r B v r r dr
r Rdr dr
(11)
Згідно умов обмеження маємо граничну рівність
12 1 1 1
1 1lim ( ) ( ) 0
r
du dv
r v r u r
dr dr
.
На підставі базової тотожності
1 22 1 2 11 1 2 2
1 1 1 2 2 21 1
1 1
du dv du dv
R v u R v u
r R r Rdr dr dr dr
Математичне та комп’ютерне моделювання
186
1 22 1 2 121 2 2
1 2 2 21 1
111
c du dv
R R v u
r Rc dr dr
1
1 2
2
2 1
2 1 2 121 21 1 2 2
1 2 21 12 1
111 11 1
0
Rc c du dv
R R v u
r Rc c dr drR
.
Якщо 2
22 0 , то
2
2
2 1 2 2
2 2 22
2
2 1
2 22 2 2
22 22 2 2 22
222
( ) ( )
( )
du dv
R v r u r
r Rdr dr
R du
u v R
r Rdr
2
2 22
22 22 2 2 2
2
2 1 2 1
2 22 2 2 2 22
( )
( ) 0 ( ) 0 ( ) 0.
dv
v u R
r Rdr
R v R u R
Рівність (11) набуває вигляду
* *
( ) ( )[ ], , [ ]B u v u B v .
Отже, диференціальний оператор *
( )B самоспряжений, що й
треба було довести.
Із самоспряженості оператора *
( )B випливає, що його власні чи-
сла дійсні, а із того, що оператор *
( )B має одну особливу точку
0r , випливає, що спектр оператора *
( )B неперервний [2].
Висновок: спектр оператора *
( )B дійсний та неперервний. Мо-
жна вважати, що спектральний параметр (0, ) .
Спектральному параметру відповідає дійсна спектральна фу-
нкція
( ) 1 ( );1 1 2 ( );2( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )V r r R r V r r R R r V r . (12)
При цьому функції ( ); ( , )jV r повинні задовольняти відповідно
диференціальні рівняння Ейлера
1
2
* 2
1 ( );1 1
* 2
2 ( );2 1 2
( ) ( , ) 0, (0, ),
( ) ( , ) 0, ( , ),
B b V r r R
B b V r r R R
(13)
умови спряження (2) та крайові умови (3); 2 2 2
j jb k , 2 0jk .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
187
Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рів-
няння Ейлера * 2( ) 0
j jB b v складають функції 1 cos( ln )j
jv r b r
та 2 sin( ln )j
jv r b r
, 1, 2j [4].
Якщо в силу лінійності задачі покласти
1 1
2 2
( );1 1 1 1 1
( );2 2 2 2 2
( , ) cos( ln ) sin( ln ),
( , ) cos( ln ) sin( ln ),
V r A r b r B r b r
V r A r b r B r b r
(14)
то крайові умови (3) і умови спряження (2) дають для визначення
величин jA , jB ( 1,2)j алгебраїчну систему рівнянь:
1 1 2 2
11 12 11 12
; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 ; 2 2 1 2 ; 2 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0, 1,2j j j jY b R A Y b R B Y b R A Y b R B j
2 2
21 22
;22 2 2 2 ;22 2 2 2( , ) ( , ) 0Y b R A Y b R B . (15)
Візьмемо
2
22
2 0 ;22 2 2( , )A A Y b R ,
2
21
2 0 ;22 2 2( , )B A Y b R , де вели-
чина 0A підлягає вибору. Останнє рівняння системи (15) переходить
в тотожну рівність.
Розглянемо алгебраїчну систему стосовно А1, В1:
1 1 2 2
2 2 2
11 12 11 22
; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 0 ; 2 2 1 ;22 2 2
12 21
; 2 2 1 ;22 2 2 0 ; 2 2 1 2
( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )
( , ) ( , )] ( , , ), 1, 2.
j j j
j j
Y b R A Y b R B A Y b R Y b R
Y b R Y b R A b R R j
(16)
Алгебраїчна система (16) має єдиний розв'язок
1(2 1)
1 ( );2 1 ( );1 0 11 1 1( ), ( ),A B A c b R
.
2 21 1
1 1
( ); ;12 2 1 2 1 1 ;22 2 1 2 1 1;21 ;11( ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ), 1,2.j j
j b R R Y b R b R R Y b R j
Підставимо визначені величини Аj, Вj в рівності (14):
1 1
( );1 ( );2 1 ( );1 1( , ) ( ) cos( ln ) ( ) sin( ln )V r r b r r b r
, (17)
2 2
2 21
22 2111 1
( );2 ;22 2 2 2 ;22 2 2 22 1
1
( , ) ( , ) cos( ln ) ( , ) sin( ln ) .
c b
V r Y b R r b r Y b R r b r
R
З цим вектор-функція ( ) ( , )V r визначена.
Введемо до розгляду спектральну щільність
12 21
( ) 1 ( );1 ( );2( ) [ ( )] ( ) ( ) .b
(18)
Наявність вагової функції ( )r , спектральної функції ( ) ( , )V r
та спектральної щільності ( ) ( ) дозволяє визначити пряме ( )H й
обернене 1
( )H
інтегральне перетворення, породжене на множині 1I
оператором *
( )B [2]:
Математичне та комп’ютерне моделювання
188
2
( ) ( )
0
[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( )
R
H g r g r V r r dr g , (19)
1
( ) ( ) ( )
0
2
[ ( )] ( ) ( , ) ( ) ( )H g g V r d g r
. (20)
Математичним обґрунтуванням правил (19), (20) є твердження.
Теорема 1 (про інтегральне зображення). Якщо функція
1 2
1 1
2 2
1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f r r R r r r R R r r g r
неперервна, абсолютно сумовна та має обмежену варіацію на множи-
ні 2[0, ]R , то для будь-якого 1r I має місце інтегральне зображення
2
( ) ( ) ( )
0 0
2
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )
R
g r V r g V d d
. (21)
Доведення. Для функції ( );1( , )V r та ( );1( , )V r задово-
льняють відповідно диференціальні рівняння Ейлера:
1
* 2 2
1 ( );1( , ) 0B k V r ,
1
* 2 2
1 ( );1( , ) 0B k V r .
Помножимо перше рівняння на 12 1
( );1( , )V r r
, а друге — на
12 1
( );1( , )V r r
і віднімемо від другого перше:
1
1
2 12 2
( );1 ( );1
( );1 ( );12 1
( );1 ( );1
( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) .
V r V r r
dV r dV rd
r V r V r
dr dr dr
(22)
Для функції ( );2 ( , )V r та ( );2 ( , )V r задовольняють ві-
дповідно диференціальні рівняння Ейлера:
2
* 2 2
2 ( );2 ( , ) 0B k V r ,
2
* 2 2
2 ( );2 ( , ) 0B k V r .
Помножимо перше рівняння на функцію 22 1
( );2 ( , )V r r
, а дру-
ге — на функцію 22 1
( );2 ( , )V r r
і віднімемо від другого перше:
2
2
2 12 2
( );2 ( );2
( );2 ( );22 1
( );2 ( );2
( ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) .
V r V r r
dV r dV rd
r V r V r
dr dr dr
(23)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
189
Помножимо рівність (22) на 1dr й проінтегруємо по r від
0r до 1r R . Помножимо рівність (23) на 2dr й проінтегрує-
мо по r від 1r R до 2r R . Додавши одержані рівності, маємо:
1 2
1 2
1
2 1 2 1
( );1 ( );1 1 ( );2 ( );2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )
R R
R
V r V r r dr V r V r r dr
12 1
( );1 ( );1 ( );1 ( );1( , ) ( , ) ( , ) ( , )V V V V
12 1
1 ( );1 1 ( );1 1 ( );1 1 ( );1 11 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )R V R V R V R V R
(24)
22 1
2 ( );2 1 ( );2 1 ( );2 1 ( );2 11 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )R V R V R V R V R
22 1
2 ( );2 2 ( );2 2 ( );2 2 ( );2 22 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )R V R V R V R V R
Якщо 2
22 0 , то
( );2 2 ( );2 2 ( );2 2 ( );2 2
2 1 2 2
22 ( );2 2 22 ( );2 2 22 ( );2 2
2 1 2 2
22 ( );2 2 22 ( );2 2 22 ( );2 2
2 1
22 ( );2 2 ( );2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , ) ( ,
( ) ( , ) 0 ( , )
V R V R V R V R
V R V R V R
V R V R V R
V R V R
0 0
(25)
Внаслідок базової тотожності (6)
12 1
1 ( );1 1 ( );1 1 ( );1 1 ( );1 11 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )R V R V R V R V R
22 1
2 ( );2 1 ( );2 1 ( );2 1 ( );2 11 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )R V R V R V R V R
(26)
1 22 1 2 121
1 2 ( );2 1 ( );2 1 ( );2 1 ( );2 11 1
11
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
c
R R V R V R V R V R
c
тому що в силу вибору 1 , 2
1
1 2 1 2 1
2
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 121 21 21 1 21
1 21 1 1 1 12 1
11 11 11 111
(1 1) 0
Rc c c c
R R R R R
c c c cR
.
Внаслідок (25) та (26) рівність (24) набуває вигляду:
2
1
2 2
( ) ( )
2 1
( );1 ( );1 ( );1 ( );1
( ) ( , ) ( , ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .
R
V r V r r dr
V V V V
(27)
Згідно рівності (17)
1
( );1 ( );2 1 ( );1 1( , ) ( ) cos( ln ) ( )sin( ln )V r b r b r r
Математичне та комп’ютерне моделювання
190
1
( );1 11
1 ( );1 1
( );2 1 ( );1 1
( )
( ) sin( ( ) ln ) ( ) cos( ( ) ln ) .
dV
r V b r
dr
b r b r
Такі ж рівності маємо, якщо замість написати .
Внаслідок цього встановлюємо, що
1
( );1 ( );1 ( );1 ( );1 1 1
( );1 1 1 1 1 ( );2
1 1 1 1 ( );3
1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 {[ ( ) ( )]
( , ) sin ( ( ) ( )) ln ( ) ( ) ( , )
sin ( ( ) ( )) ln ( ) ( ) ( , )
cos ( ( ) ( )) ln ( ) ( )
V V V V b b
G b b b b G
b b b b G
b b b b G
( );4 1 1( , ) cos ( ( ) ( )) ln .b b
У цій рівності беруть участь функції:
( );1 ( );2 ( );2 ( );1 ( );1( , ) ( ) ( ) ( ) ( )G ,
( );2 ( );1 ( );1( , ) ( ) ( )G ( );2 ( );2( ) ( ) ;
( );3 ( );1 ( );2 ( );1 ( );2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )G ;
( );4 ( );1 ( );2 ( );1 ( );2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )G .
Якщо прийняти позначення
1 1 1( ) ( ) ( , )b b q , 1 1 2( ) ( ) ( , )b b q ,
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ( , ) ( , )k k b b q q ,
то будемо мати:
2
1
( ) ( ) ( );1 2
( );311
2 ( );2
1 1
( );4
1 2
2
( , ) ( , ) ( ) 2 ( , ) sin ( , ) ln
( , )sin ( , ) ln
[ ( , )] ( , )
( , ) ( , )
( , )
cos ( , ) ln cos[ ln ] .
( , )
R
V r V r r dr G q
Gq
q G
q q
G
q q
q
(28)
Розглянемо невласний подвійний інтеграл
2
1 ( ) ( ) ( )
0 0
2
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) .
R
J V r d V r r dr
(29)
За означенням збіжності невласного інтегралу
2
2
1 ( ) ( ) ( )
0
0
( ) ( ) ( )
0
0
2
lim ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
2
lim ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) .
R
R
J V r d V r r dr
V r V r r dr d
(30)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
191
Наявність рівності (28) приводить до граничної рівності
( );1
1 ( ) 2
0 20
( , )1 1
lim ( ) ( ) sin ( , ) ln
( , )
G
J q d
q
( );3
( ) 1
10
( , )1 1
( ) ( ) cos ( , ) ln
( , )
G
q d
q
( );4
( ) 2
20
( , )1 1
( ) ( ) cos ( , ) ln
( , )
G
q d
q
( );2
( ) 1
10
( , )1 1
( ) ( ) sin ( , ) ln
( , )
G
q d
q
(31)
2
( ) ( );1 ( )
0 20 0
sin( )1 1
lim ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )
( , )A
q A
G d
q
( );3 2
1 ( ) ( );4
1 20
( , ) cos( )1
cos( ) ( ) ( ) ( , )
( , ) ( , )
G q A
q A d G d
q q
1
( ) ( );2
10
sin( )1 1
lim ( ) ( ) ( , ) , ln .
( , )A
q A
G d A
q
Згідно леми Рімана [5]
( );1
( ) 2
20
( , )1
lim ( ) ( ) sin[ ] 0
( , )A
G
q A d
q
,
( );3
( ) 1
10
( , )1
lim ( ) ( ) cos ( , ) 0
( , )A
G
q A d
q
,
( );4
( ) 2
20
( , )1
lim ( ) ( ) cos ( , ) 0
( , )A
G
q A d
q
,
якщо функція ( ) забезпечує абсолютну й рівномірну збіжність
невласних інтегралів.
Розглянемо інтеграл
1 1
4 ( ) ( );2
1 10
sin[( ( ) ( )) ]1
lim ( ) ( ) ( , )
( ) ( )A
b b A
J G d
b b
.
Зробимо заміну змінних
1/22 1* 2
1 1 1 1 1/22 2
1 1
( )
( ) ( ) , ( ) ,
( )
b d
b b b k d
b k
.
Математичне та комп’ютерне моделювання
192
Одержимо:
2 2 1/2
1 1
2
1* * *
4 ( ) ( );2 *
[ ( ) ] 0
1 sin
lim ( ) ( ) ( , )
A
k k
bA
J G d
.
Згідно леми Діріхле [5]
2 2 1/2
1 1
* * * 1
4 ( ) ( );2 *
( )
1 sin
lim ( ) ( ) ( , )
A
k k
b A
J G d
* * * 1 1
( ) ( );2 ( )*
( ) ( )
( ) ( ) ( , ) ( ) ( )
0
b b
G
1
( );2 2 2
1 ( );1 ( );2
( ) ( )
( , )
( ) ( ) ( )
b
G
b
2 2 *
( );1 ( );2 0( ) ( ) ( ), 0
,
якщо (0, ) , і дорівнює нулю, якщо (0, ) .
Таким чином, невласний інтеграл
2
( ) ( ) ( )
0 0
2
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
R
V r d V r r dr
, (32)
якщо (0, ) , і дорівнює нулю, якщо (0, ) .
Припустимо тепер, що функція
( ) ( )
0
2
( ) ( ) ( ) ( , )g r V r d
. (33)
Помножимо рівність (33) на функцію ( ) ( , ) ( )V r r dr й проінте-
груємо по r від 0r до 2r R . Отримаємо:
( )
0
( ) ( , ) ( ) ( )g r V r r dr
. (34)
Підставивши в (33) згідно формули (34) функцію
( )
0
( ) ( ) ( , ) ( )g V d
,
приходимо до інтегрального зображення (21). Теорему доведено.
Зауваження. Якщо ( )g r кусково-неперервна, то в (21) зліва
треба писати 1
( 0) ( 0)
2
g r g r .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
193
Введемо до розгляду величини та функції:
1
1 12 1 2 1
1 1 11 1 1 ( );1 11
0
: , ( ) ( ) ( , ) ,
R
d R c g g r V r r dr
1,2,i
2
2
1
1
2 1
2 2 ( );2 2
1 1 1
( ); 2 2 2 ( );2
( ) ( ) ( , ) ,
( ) ( , ) .
R
R
i i i r R
g g r V r r dr
d
Z V r
dr
Теорема 2 (про основну тотожність). Якщо функція
1 2
* *
1 2( ) [ ( )]; [ ( )]f r B g r B g r
неперервна на множині 1I , а функції ( )jg r задовольняють крайові
умови
1
( );12 1 1
( );1 1
0
lim ( , ) ( ) 0,
r
dVdg
r V r g r
dr dr
2 2
22 22 2
2
( ) R
d
g r g
r Rdr
(35)
та умови спряження
1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 1
1
( ) ( ) , 1, 2j j j j j
d d
g r g r j
r Rdr dr
, (36)
то справджується основна тотожність інтегрального перетворення
диференціального оператора *
( )B :
2
2
* 2 2
( ) ( )
1
2 1 2 1 1 1
2 22 ( );2 2 1 ( );12 21 ( );22 112
[ [ ( )]] ( ) ( )
( ) ( , ) ( ) ( ) .
i i
i
R
H B g r g k g
R V R g d Z Z
(37)
Доведення. Згідно формули (19)
2
1 2
1 2
1 2
1
* *
( ) ( ) ( ) ( )
0
2 1 2 1* *
1 ( );1 1 2 ( );2 2
0
[ [ ( )]] [ ( )] ( , ) ( )
[ ( )] ( , ) [ ( )] ( , ) .
R
R R
R
H B g r B g r V r r dr
B g r V r r dr B g r V r r dr
(38)
Проінтегруємо в (38) під знаком інтегралів два рази частинами:
1
1
( );12 1* 1
( ) ( ) 1 ( );1 1
0
[ [ ( )]] ( , ) ( )
r R
r
dVdg
H B g r r V r g r
dr dr
Математичне та комп’ютерне моделювання
194
2
2
1
( );22 1 2
2 ( );2 2( , ) ( )
r R
r R
dVdg
r V r g r
dr dr
(39)
1 2
1 2
1 2
1
2 1 2 1* *
1 ( );1 1 2 ( );2 2
0
( ) [ ( , )] ( ) [ ( , )]
R R
R
g r B V r r dr g r B V r r dr
.
В силу крайової умови в точці 0r позаінтегральний член в
точці 0r перетворюється в нуль.
Якщо 2
22 0 , то
2
( );22
( );2 2( , ) ( )
r R
dVdg
V r g r
dr dr
2 1 2 22
22 ( );2 2 22 22 2
2
( ) ( , ) ( )
dg
V R g r
r Rdr
(40)
( );22 1 2 2 2 1
22 2 2 22 22 ( );2 22 ( );2 2
2
( ) ( ) ( ) ( , ) .R
dV
g R V V R g
r Rdr
Якщо скористатися базовою тотожністю для випадку, коли умо-
ви спряження неоднорідні, то одержимо, що
1
2 1 2
1
( );12 1 1
1 ( );1 11
1
( );22 1 2 1 2 12 21
2 ( );2 2 1 21 1 1
1 11
( );2 2 1 12
( );2 2 1 111
1
1
( );12 21 ( );22( ( )
dVdg
R V g
r Rdr dr
dVdg c
R V g R R
r Rdr dr c
dVdg
V g R c
r Rdr dr
Z Z
1
( );21 2
11 ( );2 2
1
2 1 1 1 1 1 1
1 11 ( );12 21 ( );22 11 1 ( );12 21 ( );22 111
( ) ) 0
( ) ( ) .
dVdg
V g
r Rdr dr
R c Z Z d Z Z
(41)
Із тотожних рівностей
1 2
* 2 * 2
1 ( );1 2 ( );2( ) 0, ( ) 0B b V B b V
знаходимо, що
1
2
* 2 2
( );1 1 ( );1
* 2 2
( );2 2 ( );2
[ ( , )] ( ) ( , ),
[ ( , )] ( ) ( , ).
B V r k V r
B V r k V r
(42)
Якщо (40)—(42) підставити в (39) і роз'єднати інтеграли, то при-
ходимо до основної тотожності (37).
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 6
195
Формули (19), (20) та (37) складають математичний апарат для
розв'язування відповідних стаціонарних й нестаціонарних задач ма-
тематичної фізики.
Список використаних джерел:
1. Уфлянд Я. С. О некоторых новых интегральных преобразованиях и их
приложениях к задачам математической физики / Я. С. Уфлянд // Вопро-
сы математической физики. — Л., 1976. — С. 93–106.
2. Ленюк М. П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежанд-
ра). Частина 1. / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ.
думка, 2004. — 368 с.
3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс /
Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с.
4. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. —
М. : Физматгиз, 1959. — 468 с.
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисле-
ния : в 3-х т / Г. М. Фихтенгольц. — М. : Наука, 1969. — Т. 3. — 656 с.
The method of delta-like sequence (Dirichlet kernel) inculcates the hy-
brid integral transformation generated on the segment of polar axis with
one point of interface by the differential operator of Euler the second order.
Key words: differential operator of Euler, integral transformation,
Dirichlet kernel, gravimetric function, spectral function, spectral density,
integral image, basic identity.
Отримано: 16.03.2012
УДК 517.927
В. Б. Поселюжна, канд. фіз.-мат. наук,
Л. М. Семчишин, канд. фіз.-мат. наук
Чортківський інститут підприємництва і бізнесу Тернопільського
національного економічного університету, м. Чортків
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДЕЯКИХ КЛАСІВ
ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ НЕСТАЦІОНАРНИМ
КОЛОКАЦІЙНО-ІТЕРАТИВНИМ МЕТОДОМ
У статті досліджується питання збіжності нестаціонарного
колокаційно-ітеративного методу розв’язування інтегральних
рівнянь Фредгольма. Встановлено умови збіжності методу.
Ключові слова: інтегральне рівняння, колокаційно-ітера-
тивний метод, збіжність методу.
Вступ. При математичному моделюванні фізичних, хімічних,
біологічних, економічних процесів виникають різноманітні задачі для
диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних рівнянь та
© В. Б. Поселюжна, Л. М. Семчишин, 2012
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000640065002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650063007500610064006f007300200070006100720061002000760069007300750061006c0069007a00610063006900f3006e0020006500200069006d0070007200650073006900f3006e00200064006500200063006f006e006600690061006e007a006100200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d00650072006300690061006c00650073002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <FEFF005400650020006e006100730074006100760069007400760065002000750070006f0072006100620069007400650020007a00610020007500730074007600610072006a0061006e006a006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002c0020007000720069006d00650072006e006900680020007a00610020007a0061006e00650073006c006a00690076006f0020006f0067006c00650064006f00760061006e006a006500200069006e0020007400690073006b0061006e006a006500200070006f0073006c006f0076006e0069006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200020005500730074007600610072006a0065006e006500200064006f006b0075006d0065006e0074006500200050004400460020006a00650020006d006f0067006f010d00650020006f0064007000720065007400690020007a0020004100630072006f00620061007400200069006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200069006e0020006e006f00760065006a01610069006d002e>
/SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f0074002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002c0020006a006f0074006b006100200073006f0070006900760061007400200079007200690074007900730061007300690061006b00690072006a006f006a0065006e0020006c0075006f00740065007400740061007600610061006e0020006e00e400790074007400e4006d0069007300650065006e0020006a0061002000740075006c006f007300740061006d0069007300650065006e002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|