Группа автоморфизмов полугруппы

Группа автоморфизмов полугруппы

Доказано, что группа автоморфизмов произвольной полугруппы изоморфна подгруппе полного прямого произведения полных сплетений групп.

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2012
Автор: Жучок, А.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Назва видання:Доповіді НАН України
Теми:
Математика
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48841
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Группа автоморфизмов полугруппы / А.В. Жучок // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 7-10. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48841
record_format dspace
spelling irk-123456789-488412013-09-05T03:07:20Z Группа автоморфизмов полугруппы Жучок, А.В. Математика Доказано, что группа автоморфизмов произвольной полугруппы изоморфна подгруппе полного прямого произведения полных сплетений групп. Доведено, що група автоморфізмів довільної напівгрупи є ізоморфною підгрупі повного прямого добутку повних вінцевих добутків груп. We prove that the automorphism group of an arbitrary semigroup is isomorphic to the subgroup of a complete direct product of complete wreath products of groups. 2012 Article Группа автоморфизмов полугруппы / А.В. Жучок // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 7-10. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48841 512.53 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Математика
Математика
spellingShingle Математика
Математика
Жучок, А.В.
Группа автоморфизмов полугруппы
Доповіді НАН України
description Доказано, что группа автоморфизмов произвольной полугруппы изоморфна подгруппе полного прямого произведения полных сплетений групп.
format Article
author Жучок, А.В.
author_facet Жучок, А.В.
author_sort Жучок, А.В.
title Группа автоморфизмов полугруппы
title_short Группа автоморфизмов полугруппы
title_full Группа автоморфизмов полугруппы
title_fullStr Группа автоморфизмов полугруппы
title_full_unstemmed Группа автоморфизмов полугруппы
title_sort группа автоморфизмов полугруппы
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2012
topic_facet Математика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48841
citation_txt Группа автоморфизмов полугруппы / А.В. Жучок // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 7-10. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series Доповіді НАН України
work_keys_str_mv AT žučokav gruppaavtomorfizmovpolugruppy
first_indexed 2025-07-04T09:35:52Z
last_indexed 2025-07-04T09:35:52Z
_version_ 1836708531157336064
fulltext оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 1 • 2012 МАТЕМАТИКА УДК 512.53 © 2012 А.В. Жучок Группа автоморфизмов полугруппы (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.В. Шарко) Доказано, что группа автоморфизмов произвольной полугруппы изоморфна подгруппе полного прямого произведения полных сплетений групп. 1. Пусть J — некоторая полурешетка. Полугруппа S называется полурешеткой J подполу- групп Sα, α ∈ J (см. [1]), если: а) S = ⋃ α∈J Sα; б) Sα ⋂ Sβ = ∅ при любых α, β ∈ J , α 6= β; в) для любых α, β ∈ J выполняется условие SαSβ ⊆ Sαβ. Для произвольной полугруппы T через AutT будем обозначать группу автоморфизмов полугруппы T . Если ∏ i∈Y Gi — полное прямое произведение групп Gi, i ∈ Y , a ∈ ∏ i∈Y Gi, то через [a]i будем обозначать i-ю компоненту элемента a. Пусть G — произвольная группа, X — произвольное непустое множество, ℑ[X] — сим- метрическая группа на множестве X. Через G = ∏ x∈X Gx обозначим полное прямое прои- зведение изоморфных копий Gx группы G, индексированных элементами множества X, и построим отображение ρ : ℑ[X] → AutG, γ 7→ γρ = ργ , где ργ((ax)) = (aγ(x)) для всех (ax) ∈ G. Непосредственно проверяется, что отображение ρ является гомоморфизмом. На множестве G× ℑ[X], определив операцию по правилу ((ax), γ1)((bx), γ2) = ((ax)(bγ1(x)), γ1γ2), получим группу [2], которую называют полным сплетением группы G с симметрической группой ℑ[X] и обозначают через Gı ℑ[X] (или GWrℑ[X]). Для каждой полугруппы S пусть S0 = { S, если S имеет нуль и |S| > 1, S ⋃ {0} в противном случае. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 7 Полугруппу S = S0 называют ортогональной суммой полугрупп Si, i ∈ Ω, если S = ⋃ i∈Ω Si и Sα ⋂ Sβ = SαSβ = {0} для всех α, β ∈ Ω, α 6= β. Если S = S0 — ортогональная сумма полугрупп Si, i ∈ Ω, то семейство D = {Si | i ∈ Ω} называют ортогональной декомпозицией полугруппы S, а полугруппы Si, i ∈ Ω, — ортогональными компонентами полугруппы S. Полугруппу S = S0 называют ортогонально неразложимой, если D = {S} — единственная ортогональная декомпозиция полугруппы S. 2. Пусть S — произвольная полугруппа. Тогда S есть полурешетка I полурешеточно неразложимых подполугрупп Si, i ∈ I (см., например, [3]). Разобьем множество I на классы эквивалентности, относя i, i′ ∈ I к одному классу, если и только если полугруппы Si и Si′ изоморфны. Выберем в каждом классе эквивалентности по одному элементу и обозначим множество представителей через Y . Для j ∈ Y пусть Aj = {i ∈ I | Si ∼= Sj}, а Kj — ортогональная сумма полугрупп S0 i = Si ⋃ {0}, i ∈ Aj , где 0 — внешне присоединенный нуль для каждой полугруппы Si. Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема. Группа автоморфизмов AutS произвольной полугруппы S изоморфно вкла- дывается в полное прямое произведение ∏ j∈Y AutSjıℑ[Aj ] полных сплетений групп автоморфизмов AutSj полугрупп Sj с симметрическими груп- пами ℑ[Aj] на множествах Aj , j ∈ Y , где S = ⋃ i∈I Si — разложение на полурешеточно неразложимые компоненты. Доказательство. Пусть ϕ — автоморфизм полугруппы S = ⋃ i∈I Si. Очевидно, для лю- бого k ∈ I мы имеем Skϕ = ⋃ i∈I S′ i, где S′ i ⊆ Si. Пусть J = {i ∈ I | S′ i 6= {0}}. Если для неко- торого k ∈ I будет |J | > 1, то получаем, что Skϕ — полурешетка J подполугрупп S′ i, i ∈ J , что невозможно, поскольку полугруппа Sk полурешеточно неразложима. Таким образом, ∀ k ∈ I ∃ i ∈ I : Skϕ ⊆ Si. (∗) Зафиксируем произвольный элемент t ∈ I. Если теперь предположить, что St = ⋃ λ∈Λ Sλϕ, где Λ ⊆ I, |Λ| > 1, то для y ∈ Snϕ, y′ ∈ Smϕ (n,m ∈ Λ, n 6= m) получаем yϕ−1 ∈ Sn, y′ϕ−1 ∈ Sm, что противоречит условию (∗). Следовательно, |Λ| = 1 и St = Sλϕ. Таким обра- зом, каждый автоморфизм ϕ полугруппы S однозначно определяется некоторыми изомор- физмами ϕδ i : Si → Siδ, i ∈ I, где δ — подходящее биективное преобразование множества I. При этом если x ∈ Si, y ∈ Si′ , i, i ′ ∈ I, то (xy)ϕδ ii′ = (xy)ϕ = xϕyϕ = xϕδ i yϕ δ i′ ∈ SiδSi′δ ⊆ Siδi′δ, откуда (ii′)δ = iδi′δ, т. е. δ — автоморфизм полугруппы I. 8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1 Обратно, пусть δ — автоморфизм полугруппы I, {ϕδ i }i∈I — семейство изоморфизмов ϕδ i : Si → Siδ, i ∈ I и выполняется условие (xy)ϕδ ii′ = xϕδ i yϕ δ i′ для любых x ∈ Si, y ∈ Si′ , i, i′ ∈ I. Полагая xϕ = xϕδ i ⇔ x ∈ Si, i ∈ I для всех x ∈ S, получаем, что ϕ — автоморфизм полугруппы S. Пусть ϕ — автоморфизм полугруппы S. Для каждого j ∈ Y через ϕ|j обозначим огра- ничение ϕ на множестве Kj \{0} и рассмотрим преобразование ϕ|∗j множества Kj, заданное по правилу xϕ|∗j = { xϕ|j , если x 6= 0, 0, если x = 0, для всех x ∈ Kj . Легко проверить, что ϕ|∗j — автоморфизм полугруппы Kj , j ∈ Y . Определим отображение ω : AutS → ∏ j∈Y AutKj : ϕ 7→ ϕω = ~ϕ, полагая [~ϕ]j = ϕ|∗j (см. п. 1) для всех j ∈ Y . Это отображение инъективно по построению и является гомоморфи- змом, так как [ −→ ϕξ]j = [~ϕ]j [~ξ]j для всех ϕ, ξ ∈ AutS, j ∈ Y . Очевидно, что каждая ортогональная компонента полугруппы Kj, j ∈ Y , ортогонально неразложима. Тогда согласно теореме п. 2.3 работы [4] AutKj ∼= AutS0 j ıℑ[Aj], j ∈ Y. Так как AutS0 j ∼= AutSj , j ∈ Y , то AutKj ∼= AutSjıℑ[Aj ]. Таким образом, группа AutS изоморфно вкладывается в группу ∏ j∈Y AutSjıℑ[Aj ]. Теорема доказана. 3. При изучении групп автоморфизмов тех или иных математических структур есте- ственным является вопрос об определяемости этих структур их группами автоморфизмов. Пусть H — класс математических структур. Говорят, что структура T ∈ H определяется (с точностью до изоморфизма) группой автоморфизмов, если для любой структуры T ′ ∈ H из того, что AutT ′ ∼= AutT следует, что T ′ ∼= T . Полугруппа не определяется группой автоморфизмов. Действительно, пусть T — полу- группа с нулевым умножением, |T | > 1, а T ′ — полугруппа левых нулей, определенная на множестве T \ {0}. Тогда группы автоморфизмов полугрупп T и T ′ изоморфны, в то время как сами полугруппы таковыми не являются. 1. Ляпин Е.С. Полугруппы. – Москва: Физматгиз, 1960. – 592 с. 2. Курош А. Г. Теория групп. – 3-е изд. – Москва: Наука, 1967. – 648 с. 3. Putcha M. S. Semilattice decompositions of semigroups // Semigroup Forum. – 1973. – 6. – P. 12–34. 4. Жучок А.В. Групи автоморфiзмiв ортогональних сум напiвгруп // Доп. НАН України. – 2011. – № 6. – С. 12–16. Поступило в редакцию 30.06.2011Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 9 А.В. Жучок Група автоморфiзмiв напiвгрупи Доведено, що група автоморфiзмiв довiльної напiвгрупи є iзоморфною пiдгрупi повного пря- мого добутку повних вiнцевих добуткiв груп. A.V. Zhuchok The automorphism group of a semigroup We prove that the automorphism group of an arbitrary semigroup is isomorphic to the subgroup of a complete direct product of complete wreath products of groups. 10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1

Схожі ресурси