Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом

Введено узагальнення класу G-секторіальних операторів на випадок, коли резольвента за межами заданого сектора, в якому розташований спектр, не є обмеженою. Наведено достатні умови розв'язності задачі Коші для лінійних диференціальних рівнянь в банаховому просторі з узагальненим G-секторіальним...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Чайковський, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48845
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом / А.В. Чайковський // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 30-37. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48845
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-488452013-09-05T03:07:23Z Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом Чайковський, А.В. Математика Введено узагальнення класу G-секторіальних операторів на випадок, коли резольвента за межами заданого сектора, в якому розташований спектр, не є обмеженою. Наведено достатні умови розв'язності задачі Коші для лінійних диференціальних рівнянь в банаховому просторі з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом. Введено обобщение класса G-секториальных операторов на случай, когда резольвента за пределами заданного сектора, в котором расположен спектр, не является ограниченной. Приведены достаточные условия разрешимости задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с обобщенным G-секториальным операторным коэффициентом. A generalization of the class of G-sectorial operators is introduced in the case of a resolvent, which is unbounded outside the sector, in which the spectrum of an operator is located. Sufficient conditions for the solvability of the Cauchy problem for linear differential equations in a Banach space with generalized G-sectorial operator coefficient in the linear part are given. 2012 Article Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом / А.В. Чайковський // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 30-37. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48845 517.98 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Чайковський, А.В. Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом Доповіді НАН України
description	Введено узагальнення класу G-секторіальних операторів на випадок, коли резольвента за межами заданого сектора, в якому розташований спектр, не є обмеженою. Наведено достатні умови розв'язності задачі Коші для лінійних диференціальних рівнянь в банаховому просторі з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом.
format	Article
author	Чайковський, А.В.
author_facet	Чайковський, А.В.
author_sort	Чайковський, А.В.
title	Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом
title_short	Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом
title_full	Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом
title_fullStr	Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом
title_full_unstemmed	Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом
title_sort	задача коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим g-секторіальним операторним коефіцієнтом
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48845
citation_txt	Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом / А.В. Чайковський // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 30-37. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT čajkovsʹkijav zadačakošídlâlíníjnogodiferencíalʹnogorívnânnâzuzagalʹnenimgsektoríalʹnimoperatornimkoefícíêntom
first_indexed	2025-07-04T09:36:08Z
last_indexed	2025-07-04T09:36:08Z
_version_	1836708552940453888
fulltext	УДК 517.98 © 2012 А.В. Чайковський Задача Кошi для лiнiйного диференцiального рiвняння з узагальненим G-секторiальним операторним коефiцiєнтом (Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком) Введено узагальнення класу G-секторiальних операторiв на випадок, коли резольвента за межами заданого сектора, в якому розташований спектр, не є обмеженою. Наве- дено достатнi умови розв’язностi задачi Кошi для лiнiйних диференцiальних рiвнянь в банаховому просторi з узагальненим G-секторiальним операторним коефiцiєнтом. Нехай (B, ‖ · ‖) — комплексний банахiв простiр, I — одиничний оператор, O — нульовий оператор в B. Надалi D(A), σ(A), Rλ(A) позначають вiдповiдно область визначення, спектр i резольвенту лiнiйного оператора A. Теорiя секторiальних операторiв та пов’язана з нею теорiя аналiтичних напiвгруп добре вiдомi i мають численнi застосування (див., наприклад, [1–3]). У роботах [4, 5] описанi опера- тори, спектр яких лежить у вiдповiдному секторi, але резольвента спадає на нескiнченностi повiльнiше, нiж у секторiальних операторiв. У данiй роботi розглядаються достатнi умови розв’язностi задачi Кошi для лiнiйних рiвнянь, якi узагальнюють твердження з робiт [4, 5]. 1. Означення узагальнених G-секторiальних операторiв. Наведемо означення G-секторiальних операторiв, запропоноване в роботi [4]. Означення 1. Будемо казати, що функцiя G : [0,+∞) → (0,+∞) належить класу Ψ, якщо вона задовольняє такi умови: 1) G — незростаюча на [0,+∞); 2) G(t) → 0, t → +∞; 3) функцiя 1/G лiпшицева на [0,+∞). Означення 2. Нехай G ∈ Ψ. Лiнiйний оператор T : D(T ) ⊂ B → B називають G-секто- рiальним, якщо iснують такi сталi a ∈ R i ϕ ∈ (0, π/2), що для множини Sa,ϕ виконуються умови: 1) σ(T ) ⊂ Sa,ϕ; 2) ∃M > 0 ∀λ /∈ Sa,ϕ : ‖Rλ(T )‖ 6 MG(\|λ − a\|). Узагальнимо поняття G-секторiального оператора, розширивши клас Ψ. Означення 3. Будемо казати, що неперервна функцiя G : [0,+∞) → (0,+∞) належить класу Ψ0, якщо вона задовольняє такi умови: 1) ∃L1 > 0 ∀u > 1, v ∈ [−1, 1] : G(u + v) 6 L1G(u); 2) ∃L2 > 0 ∀u > 0, v > 1: G(uv) 6 L2(1 + G(v))G(u). Зауваження 1. З умови означення 3 випливає, що ∃C1, C2 > 0 ∃α > 0 ∀ t > 0: G(t) 6 C1 + C2t α. (1) Дiйсно, покладемо C1 := max v∈[0,2] G(v), C2 := G(1)L2 ( 1 + max v∈[1,2] G(v) ) , α := log2(1 + L2(1 +G(2))). 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1 Тодi при t ∈ [0, 2] маємо G(t) 6 C1, при t = 2n, n ∈ N, маємо G(2n) 6 2αG(2n−1) 6 · · · 6 2nαG(1), а при t ∈ [2n, 2n+1], n ∈ N: G(t) = G((t · 2−n) · 2n) 6 L2(1 +G(t · 2−n))G(2n) 6 L2(1 +G(t · 2−n))2nαG(1) 6 C2t α. Зауваження 2. Справджується включення Ψ ⊂ Ψ0. Дiйсно, якщо G ∈ Ψ, то функцiя G неперервна i ∀u > 1, v ∈ [−1, 1] : G(u+ v) 6 G(u) + L\|v\|G(u + v)G(u) 6 (1 + LG(0))G(u), де L — стала з означення лiпшицевостi в п. 3 означення 1. Крiм того, ∀u > 0, v > 1: G(uv) 6 G(u) 6 (1 +G(v))G(u). Разом з кожною функцiєю G ∈ Ψ будемо розглядати функцiю H(t) := 1 t G ( 1 t ) , t > 0. При цьому G(t) = 1 t H ( 1 t ) , t > 0. Означення 4. Нехай G ∈ Ψ0. Лiнiйний оператор T : D(T ) ⊂ B → B назвемо узагальне- ним G-секторiальним, якщо iснують такi сталi a ∈ R i ϕ ∈ (0, π/2), що для множини Sa,ϕ виконуються умови: 1) σ(T ) ⊂ Sa,ϕ; 2) ∃M > 0 ∀λ /∈ Sa,ϕ : ‖Rλ(T )‖ 6 MG(\|λ − a\|). Лема 1. Якщо T − G-секторiальний оператор, то для кожного b ∈ R, b < c := = min λ∈σ(T ) Reλ iснує θ ∈ (0, π/2) таке, що означення 4 справджується для сектора Sb,θ. Доведення. Твердження леми випливає з означення, якщо покласти θ = ϕ при b 6 a, i θ = arctg ( c− a c− b tgϕ ) , при a < b < c. Дiйсно, при λ /∈ Sa,ϕ за умовою 1 означення 3 маємо: ‖Rλ(T )‖ 6 MG(\|λ− a\|) 6 MCGG(\|λ− b\|). Теорема 1. Нехай T : D(T ) ⊂ B → B — лiнiйний оператор, для деякого сектора Sa,ϕ виконується умова 1 означення 4 i ∃C > 0 ∃α > 0 ∀λ 6∈ Sa,ϕ : ‖Rλ(T )‖ 6 C(\|λ− a\|α + 1). Покладемо G(t) := (tα + 1) sup{(\|λ− a\|α + 1)−1‖Rλ(T )‖ \| λ ∈ C\Sa,ϕ}, t > 0. Тодi G ∈ Ψ0 i T — узагальнений G-секторiальний оператор. Доведення. Задана степенева функцiя задовольняє обидвi умови означення 3. Крiм того, справджується оцiнка ‖Rλ(T )‖ 6 G(\|λ − a\|), λ ∈ C\Sa,ϕ. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 31 2. Операторна експонента для узагальнених G-секторiальних операторiв. Для чисел a ∈ R, ϕ ∈ (0, π/2), r ∈ (0,+∞) позначимо Γ1 a,ϕ,r := {a− seiϕ \| s ∈ (−∞,−r]}; Γ2 a,ϕ,r := {a+ se−iϕ \| s ∈ [r,+∞)}; Γ3 a,ϕ,r := {a+ reis \| s ∈ [ϕ, 2π − ϕ]}; Γa,ϕ,r := Γ1 a,ϕ,r ⋃ Γ2 a,ϕ,r ⋃ Γ3 a,ϕ,r. Означення 5. Нехай r ∈ (0,+∞), G ∈ Ψ0, T — узагальнений G-секторiальний опера- тор, причому означення 4 виконується для сектора Sa,ϕ. Операторною експонентою для оператора T будемо називати L(B)-значну функцiю e−Tt := − 1 2πi ∫ Γa,ϕ,r e−tzRz(T ) dz, t > 0. Зауваження. 1. Тут i далi всi iнтеграли є iнтегралами Рiмана (власними чи невласними). 2. Збiжнiсть iнтеграла в означеннi 5 випливає з оцiнки (1), а його незалежнiсть вiд r — з аналiтичностi пiдiнтегральної функцiї. 3. Так само, як для обмеженого оператора, можна показати, що введена операторна експонента має такi елементарнi властивостi: 1) ∀ τ ∈ R ∀ t > 0: e−(T+τI)t = e−τt · e−Tt; 2) ∀ t1, t2 > 0: e−(t1+t2)T = e−Tt1 · e−Tt2 . 4. Якщо T — узагальнений G-секторiальний оператор i означення 4 виконується для сектора Sa,ϕ, то оператор T − bI, де b ∈ R, також є G-секторiальним, причому означення 4 виконується для сектора Sa−b,ϕ. Враховуючи попереднє зауваження, операторнi експоненти для операторiв T i T − bI мають простий зв’язок. Тому надалi, не обмежуючи загальностi, розглядатимемо випадок a = 0. Лема 2. Якщо G ∈ Ψ i T — узагальнений G-секторiальний оператор, то 1) ∀ t > 0 ∀n ∈ N : R(e−Tt) ⊂ D(T n); 2) ∀ t > 0 ∀n ∈ Z ∀ r > 0 ∀λ /∈ (S0,ϕ ⋃ Γ0,ϕ,r): (T − λI)ne−Tt = − 1 2πi ∫ Γ0,ϕ,r (z − λ)ne−ztRz(T ) dz + Fn(λ, t), де Fn(λ, t) = −n−1 ∑ k=0 (Rλ(T )) −n−k (−t)k k! e−λt, якщо λ i S0,ϕ лежать по один бiк вiд кривої Γ0,ϕ,r i n < 0, та Fn(λ, t) = O в iнших випадках. Доведення аналогiчне доведенню леми 5 в [4]. Лема 3. Нехай G ∈ Ψ0, T — узагальнений G-секторiальний оператор, γ > −1, k > 0. Тодi iснує така стала C > 0, що для довiльного t > 0 i для довiльної визначеної та неперервної на Γ0,ϕ,t−1 комплекснозначної функцiї f такої, що \|f(z)\| 6 \|z\|γe−k\|z\|, z ∈ Γ0,ϕ,1, виконується нерiвнiсть ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∫ Γ 0,ϕ,t−1 f(tz)Rz(T ) dz ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 6 CH(t). 32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1 Доведення. Оцiнимо iнтеграли по частинах кривої Γ0,ϕ,t−1 . ∫ Γ1 0,ϕ,t−1 \|f(tz)\| · ‖Rz(T )‖ · \|dz\| 6 M +∞ ∫ t−1 tγsγe−kstG(s)ds = \|ts = u\| = = Mt−1 +∞ ∫ 1 uγe−kuG ( u t ) du 6 Mt−1L2G(t−1) +∞ ∫ 1 (1 +G(u))uγe−kudu = C1H(t). Оцiнка для Γ2 0,ϕ,t−1 аналогiчна. ∫ Γ3 0,ϕ,t−1 \|f(tz)\| · ‖Rz(T )‖ · \|dz\| 6 2π−ϕ ∫ ϕ e−kMG(t−1) · t−1ds = C3H(t). Теорема 2. Нехай G ∈ Ψ0, T — узагальнений G-секторiальний оператор. Тодi справд- жуються такi оцiнки: 1) ∀n > 0 ∃Cn > 0 ∀ t > 0: ‖T ne−Tt‖ 6 CnH(t)t−n; 2) ‖e−Tt‖ → 0, t → +∞; 3) ∀n > 0 ∀ t2 > t1 > 0: ‖T n−1(e−Tt1 − e−Tt2)‖ 6 Cn t2 ∫ t1 H(t)t−ndt; 4) ∀n > 0 ∀ t2 > t1 > 0: ‖T n−2(e−Tt2 − e−Tt1 + T (t2 − t1)e −Tt1)‖ 6 Cn t2 ∫ t1 H(t)(t2 − t)t−ndt. Доведення. Твердження п. 1 та п. 2 отримуються з леми 3 тими ж мiркуваннями, що використанi при доведеннi теореми 2 в роботi [4]. Враховуючи, що iнтеграли в лемi 2 рiвномiрно збiжнi за t на довiльному вiдрiзку, що не мiстить нуля, маємо ∀n > 0 ∀ t2 > t1 > 0: t2 ∫ t1 T ne−Ttdt = T n−1(e−Tt1 − e−Tt2), ∀n > 0 ∀ t2 > t1 > 0: t2 ∫ t1 T n(t2 − t)e−Ttdt = T n−2(e−Tt2 − e−Tt1 + T (t2 − t1)e −Tt1). Тодi з оцiнок п. 1 випливають твердження п. 3 та п. 4. Наслiдок. За умов теореми 2 ∀n ∈ N ∀ t > 0: (e−Tt)(n) = (−T )ne−Tt. Теорема 3. Нехай G ∈ Ψ0, T — узагальнений G-секторiальний оператор. Тодi: 1) ∀n ∈ N : ‖(e−Tt − I)T−n‖ = O(t + tnH(t)), t → 0+; 2) ∀n ∈ N : ‖((e−Tt − I)/t + T )T−n−1‖ = O(t + tnH(t)), t → 0+. Доведення аналогiчне доведенню теореми 5 в роботi [4]. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 33 Теорема 4. Нехай G ∈ Ψ0, T — узагальнений G-секторiальний оператор. Тодi: 1) ∀n ∈ N ∃Cn > 0 ∀ t ∈ (0, 1] : ‖e−TtT−n‖ 6 Cn(1 + tnH(t)); 2) ∀n ∈ N ∀ t1, t2 ∈ (0, 1] : ‖(e−Tt1 − e−Tt2)T−n−1‖ 6 Cn t2 ∫ t1 (1 + tnH(t)) dt. Доведення. 1. Використовуючи зображення з леми 2 i лему 3 для f(z) = t−nz−n, K(s) = 1, отримуємо ‖e−TtT−n‖ = ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ − 1 2πi ∫ Γ 0,ϕ,t−1 z−ne−ztRz(T )dz ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ + n ∑ k=0 ‖T−k−1‖ k! 6 Cn(1 + tnH(t)), t ∈ (0, 1]. 2. Внаслiдок оцiнки п. 1 маємо: ‖(e−Tt1 − e−Tt2)T−n−1‖ = ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ t2 ∫ t1 e−TtT−ndt ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 6 Cn t2 ∫ t1 (1 + tnH(t)) dt. Наслiдок. Нехай n ∈ N таке, що 1 ∫ 0 tnH(t) dt < +∞. Тодi: 1) e−TtT−n−1 → T−n−1, t → 0+; 2) ((e−Tt − I)/t + T )T−n−2 → O, t → 0+. Доведення. 1. З п. 2 теореми 4 випливає фундаментальнiсть функцiї e−TtT−n−1 при t → 0+. Отже, iснує границя lim t→0+ e−TtT−n−1 = J . Крiм того, з оцiнки (1) випливає, що при досить великих m ∈ N : H(t)tm = G(t−1)tm−1 → 0, t → 0+. Тому за п. 1 теореми 3 e−TtT−m → T−m, t → 0+. З iншого боку, при m > n + 1: e−TtT−m → T−m+n+1J , t → 0+. Тому J = T−n−1. 2. Випливає з п. 1 та рiвностi t−1 t ∫ 0 (I − e−Ts)T−n−1ds = lim ε→0+ t−1 t ∫ ε (I − e−Ts)T−n−1ds = = lim ε→0+ t−1(T−n−1(t− ε)− e−TεT−n−2 + e−TtT−n−2) = ( e−Tt − I t + T ) T−n−2. 3. Дробовi степенi узагальнених G-секторiальних операторiв. Означення 6. Нехай G ∈ Ψ, T −G-секторiальний оператор. Позначимо Ω0 := { α > 0 \| 1 ∫ 0 tα−1H(t)dt < +∞ } , i для кожного α ∈ Ω0 покладемо T−α := 1 Γ(α) +∞ ∫ 0 tα−1e−Ttdt, де Γ — гамма-функцiя Ейлера. 34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1 Зауваження. З урахуванням оцiнки (1) для кожного узагальненого G-секторiального оператора множина Ω0 непорожня. Теорема 5. Нехай G ∈ Ψ0, T — узагальнений G-секторiальний оператор. Тодi: 1) ∀α ∈ Ω0 : T −α ∈ L(B); 2) ∀α, β ∈ Ω0 : T −αT−β = T−(α+β); 3) ∀n ∈ N ⋂ Ω0 : T −n збiгається зi звичайним вiд’ємним степенем оператора; 4) ∀α ∈ Ω0 : T −α — iн’єкцiя. Доведення аналогiчне доведенню теореми 6 в роботi [4]. Зауваження. Внаслiдок твердження 4 теореми 5 iснує лiнiйний оператор Tα := (T−α)−1, α ∈ Ω0. Теорема 6. Нехай G ∈ Ψ0, T — узагальнений G-секторiальний оператор, α ∈ Ω0. Тодi: 1) ∃Cα > 0 ∀n ∈ N ⋃ {0}, n 6 α ∀ t > 0: ‖T ne−TtT−α‖ 6 Cαt −n; 2) (e−Tt − I)T−α → O, t → 0+; 3) ((T t)−1(I − e−Tt) − I)T−α → O, t → 0+. Доведення. В п. 1 при n ∈ N маємо ‖T ne−TtT−α‖ 6 C +∞ ∫ 0 (t+ s)−nH(t+ s)sα−1ds 6 C +∞ ∫ 0 t−n(t+ s)−α+1H(t+ s) ds 6 6 Ct−n +∞ ∫ 0 H(s)sα−1ds. Доведення iнших тверджень аналогiчне доведенню теореми 7 в роботi [4]. 4. Задача Кошi для лiнiйного рiвняння. Означення 7. Нехай f : (0, R) → B, x0 ∈ B. Розв’язком задачi Кошi x′(t) + Tx(t) = f(t), t ∈ (0, R); x(0) = x0, назвемо функцiю x ∈ C([0, R), B) таку, що ∀ t ∈ (0, R) : x(t) ∈ D(T ), x диференцiйовна на (0, R) i задовольняє рiвняння та початкову умову. Теорема 7. Нехай G ∈ Ψ0, T — узагальнений G-секторiальний оператор, α > 0, α− 1 ∈ Ω0, f(t) = T−αf1(t), t ∈ (0, R), де функцiя f1 : (0, R) → B задовольняє такi умови: 1) ∀ t ∈ (0, R) ∃ εt > 0 ∃Lt > 0 ∃ βt ∈ (0, 1] ∀ s1, s2 ∈ (t − εt, t + εt) ⋂ (0, R): ‖f1(s1)− f1(s2)‖ 6 Lt\|s1 − s2\| βt ; 2) f1 ∈ L1([0, R/2], B). Тодi функцiя F (t) := t ∫ 0 e−T (t−s)f(s) ds, t ∈ (0, R), F (0) = 0, є розв’язком задачi Кошi F ′(t) = −TF (t) + f(t), t ∈ (0, R); F (0) = 0. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 35 Доведення. Оскiльки F (t) = T−1 ( t ∫ 0 Te−T (t−s)T−α(f1(s)− f1(t)) ds + (I − e−Tt)T−αf1(t) ) = = T−1 ( 1 ∫ 0 Te−T (t−ts)T−α(f1(ts)− f1(t))tds + (I − e−Tt)T−αf1(t) ) , t ∈ (0, R), де, враховуючи п. 1 теореми 6, останнiй iнтеграл збiжний абсолютно i рiвномiрно за t на будь-якому вiдрiзку, що мiститься всерединi iнтервалу (0, R), то TF ∈ C((0, R)). Крiм того, ‖F (t)‖ 6 t ∫ 0 ‖T−αe−T (t−s)‖ · ‖f1(s)‖ ds → 0, t → 0 + . Нехай t ∈ [t1, t2] ⊂ (0, R), n — досить велике натуральне число. Тодi T−n−1 t ∫ t1 TF (s)ds = t ∫ t1 ( s ∫ 0 T−ne−T (s−τ)f(τ) dτ ) ds = = t1 ∫ 0 ( t ∫ t1 T−ne−T (s−τ)f(τ) ds ) dτ + t ∫ t1 ( t ∫ τ T−ne−T (s−τ)f(τ) ds ) dτ = = t1 ∫ 0 (T−n−1(e−T (t1−τ) − e−T (t−τ))f(τ) dτ + t ∫ t1 (T−n−1(I − e−T (t−τ))f(τ)dτ = = T−n−1F (t1)− T−n−1F (t) + T−n−1 t ∫ t1 f(τ) dτ. Дiючи на обидвi частини рiвностi оператором T n+1 та диференцiюючи, отримуємо, що функцiя F задовольняє потрiбне диференцiальне рiвняння. Зауваження. 1. Наведена теорема узагальнює та доповнює теорему 8 з роботи [4]. Звер- немо увагу на те, що безпосереднє перенесення цiєї теореми на випадок узагальненого G-сек- торiального операторного коефiцiєнта не є можливим, бо показник гельдеровостi не може перевищувати одиницi. 2. Якщо функцiя f не допускає поточкової дiї оператором Tα, проте є достатньо гладкою, то розв’язок задачi Кошi можна отримати, формально проiнтегрувавши частинами iнтеграл в означеннi функцiї F . Теорема 8. Нехай виконуються умови теореми 7. Тодi для кожного x0 ∈ ⋃ α∈Ω0 D(Tα) iснує єдиний розв’язок задачi Кошi x′(t) + Tx(t) = f(t), t ∈ (0, R); x(0) = x0, 36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1 причому x(t) = e−Ttx0 + t ∫ 0 e−T (t−s)f(s) ds. Доведення повнiстю аналогiчне доведенню теореми 9 в роботi [4]. 1. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. – Москва: Мир, 1985. – 376 с. 2. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. – New York: Springer, 1983. – 279 p. 3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – Москва: Мир, 1972. – 740 с. 4. Городний М.Ф., Чайковский А.В. Об одном обобщении понятия секториального оператора // Мат. сб. – 2006. – 197, № 7. – С. 29–46. 5. Чайковський А.В. Зображення розв’язку абстрактної задачi Кошi // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. матема- тика i механiка. – 2010. – Вип. 23. – С. 28–32. Надiйшло до редакцiї 02.03.2011Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка А.В. Чайковский Задача Коши для линейного дифференциального уравнения с обобщенным G-секториальным операторным коэффициентом Введено обобщение класса G-секториальных операторов на случай, когда резольвента за пре- делами заданного сектора, в котором расположен спектр, не является ограниченной. При- ведены достаточные условия разрешимости задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с обобщенным G-секториальным операторным коэф- фициентом. А.V. Chaikovskiy Cauchy problem for a linear differential equation with generalized G-sectorial operator coefficient A generalization of the class of G-sectorial operators is introduced in the case of a resolvent, which is unbounded outside the sector, in which the spectrum of an operator is located. Sufficient conditions for the solvability of the Cauchy problem for linear differential equations in a Banach space with generalized G-sectorial operator coefficient in the linear part are given. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 37

Задача Коші для лінійного диференціального рівняння з узагальненим G-секторіальним операторним коефіцієнтом

Репозитарії

Схожі ресурси