К проблеме неопределенности при многократном выборе решений

Получено решение проблемы неопределенности в задаче многократного решения для достаточно широкого класса правил выбора предпочтений в системе принятия решений, основывающееся на принципе гарантированного результата, с критерием в виде предпочтений на решениях, определяемых заданной явно функцией пол...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Михалевич, В.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Інформатика та кібернетика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48850
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К проблеме неопределенности при многократном выборе решений / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 44-47. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48850
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-488502013-09-05T03:07:26Z К проблеме неопределенности при многократном выборе решений Михалевич, В.М. Інформатика та кібернетика Получено решение проблемы неопределенности в задаче многократного решения для достаточно широкого класса правил выбора предпочтений в системе принятия решений, основывающееся на принципе гарантированного результата, с критерием в виде предпочтений на решениях, определяемых заданной явно функцией полезности, которая параметрически зависит от выпуклой статистической закономерности на множестве состояний и функции полезности на последствиях, определенной с точностью до положительного линейного преобразования. Отримано рішення проблеми невизначеності в задачі багатократного розв'язання для досить широкого класу правил вибору переваг у системі прийняття рішень, яке грунтується на принципі гарантованого результату, з критерієм у вигляді переваг на рішеннях, що визначаються заданою явно функцією корисності, яка параметрично залежить від опуклої статистичної закономірності на множині станів і функції корисності на наслідках, що визначається з точністю до додатного лінійного перетворення. A solution of the uncertainty problem under multiple decision for a sufficiently broad class of selection rules preferences in a decision-making system which are based respectively on the basis of a guaranteed result which depends on the parametric convex statistical regularity on the set of states and the utility function on the consequences, which is determined to within a positive linear transformation, is obtained. 2012 Article К проблеме неопределенности при многократном выборе решений / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 44-47. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48850 519.81 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Михалевич, В.М. К проблеме неопределенности при многократном выборе решений Доповіді НАН України
description	Получено решение проблемы неопределенности в задаче многократного решения для достаточно широкого класса правил выбора предпочтений в системе принятия решений, основывающееся на принципе гарантированного результата, с критерием в виде предпочтений на решениях, определяемых заданной явно функцией полезности, которая параметрически зависит от выпуклой статистической закономерности на множестве состояний и функции полезности на последствиях, определенной с точностью до положительного линейного преобразования.
format	Article
author	Михалевич, В.М.
author_facet	Михалевич, В.М.
author_sort	Михалевич, В.М.
title	К проблеме неопределенности при многократном выборе решений
title_short	К проблеме неопределенности при многократном выборе решений
title_full	К проблеме неопределенности при многократном выборе решений
title_fullStr	К проблеме неопределенности при многократном выборе решений
title_full_unstemmed	К проблеме неопределенности при многократном выборе решений
title_sort	к проблеме неопределенности при многократном выборе решений
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48850
citation_txt	К проблеме неопределенности при многократном выборе решений / В.М. Михалевич // Доп. НАН України. — 2012. — № 1. — С. 44-47. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT mihalevičvm kproblemeneopredelennostiprimnogokratnomvyborerešenij
first_indexed	2025-07-04T09:36:36Z
last_indexed	2025-07-04T09:36:36Z
_version_	1836708577379614720
fulltext	УДК 519.81 © 2012 В.М. Михалевич К проблеме неопределенности при многократном выборе решений (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Чикрием) Получено решение проблемы неопределенности в задаче многократного решения для до- статочно широкого класса правил выбора предпочтений в системе принятия решений, основывающееся на принципе гарантированного результата, с критерием в виде пред- почтений на решениях, определяемых заданной явно функцией полезности, которая па- раметрически зависит от выпуклой статистической закономерности на множестве состояний и функции полезности на последствиях, определенной с точностью до поло- жительного линейного преобразования. Рассмотрим многократный выбор решений для вводимой обобщенной необайесовской фор- мы задачи решения (ЗР). Дадим необходимые определения, дополняющие определения при многократном выборе решения для необайесовской ЗР (см. [1]). Для произвольного векторного пространства V введем отношение эквивалентности ( co ≈) на 2V следующим образом. Для любых X, Y ⊆ V X co ≈ Y ⇔ coX = coY. (1) Далее для произвольного непустого множества A определим в функциональном про- странстве RA отношение эквивалентности ( m ≈) следующим образом. Для любых f , g ∈ RA f m ≈ g ⇔ f = mg, m ∈ R, m > 0. (2) Расширим необайесовскую форму параметрических задач принятия решений, дополнив множество случайных последствий Y до множества случайных в широком смысле послед- ствий P0(X), представляющих собой множество статистических закономерностей на мно- жестве последствий X следующего вида: P0(X) := {P ∈ P (X) : CardP < ∞, P ⊆ Y }, (3) где Y — множество случайных последствий, для множества последствий X, т. е. множество простых веротностных мер на X вида Y = { (y : X → [0, 1]) : Card y(X) < ∞, ∑ {x:x∈X,y(x)6=0} y(x) = 1 } . (4) Ясно, что Y ⊆ P0(X), а ССЗР для ЗР в такой форме принадлежат классу Z(P0(X))(Z(P0(X))). Рассмотрим ЗМР в классе ССЗР Z(P0(X),Θ). При этом введем некоторые понятия и обозначения по аналогии с соответствующими им понятиями и обозначениями, исполь- зуемыми в необайесовской форме ЗР. 44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1 Определение 1. ССЗР Z = (P0(X),Θ, U, g) ∈ Z(P0(X),Θ), где P0(X) — семейство всех простых статистических закономерностей на множестве X, будем называть определяющей, если L0(P0(X),Θ) ⊆ g(·, U) = co[g(·, U)] ⊆ [P0(X)]Θ. (5) Определение 2. Для произвольных непустых множеств X, Θ и нестрогого порядка (X,<), отображение f ∈ [P0(X)]Θ, где P0(X) определяется согласно (3), будем называть ограниченным относительно (X,<), если отображения f , f ∈ XΘ, заданные на Θ так: f(θ) := min { x ∈ X : min p∈f(θ) p(x) 6= 0 } ∀ θ ∈ Θ, f(θ) := max { x ∈ X : max p∈f(θ) p(x) 6= 0 } ∀ θ ∈ Θ, являются ограниченными относительно (X,<). Через L<(P0(X),Θ) будем обозначать множество всех ограниченных и Σ-измеримых относительно нестрогого порядка (X,<) отображений на множестве Θ со значениями в мно- жестве P0(X). Определим класс ПВП в ЗМР для Z′(P0(X),Θ) ⊆ Z(P0(X),Θ), который будем обозна- чать Π∞ 0 (Z′(P0(X),Θ), как подклассе всех таких ПВП π ∈ Π∞(Z′(P0(X),Θ), что для любой определяющей ССЗР Z = (P0(X),Θ, U, g) ∈ Z′(P0(X),Θ) выполняются условия Y1–Y5 (см. [1]), а также условия P6–P9, где каждое из перечисленных условий последней груп- пы получается заменой множества Y на множество P0(X) в соответствующих им условиях Y6–Y9 (см. [1]). Через Z′ 1(P0(X),Θ) будем обозначать любой подкласс ССЗР класса Z(P0(X),Θ), в ко- тором для любой ССЗР Z ′ = (P0(X),Θ, U ′, g′) ∈ Z′ 1(P0(X),Θ) и любых u′i ∈ U ′, i = 1, 2 най- дется такая определяющая ССЗР Z = (P0(X),Θ, U, g) ∈ Z′ 1(P0(X),Θ) и ui ∈ U , i = 1, 2, что g′(θ, u′i) = g(θ, ui) ∀ θ ∈ Θ, i = 1, 2. (6) Через Z′ 0(P0(X),Θ) будем обозначать любой такой класс Z′ 1(P0(X),Θ), что если Z = (P0(X),Θ, U, g) ∈ Z′ 1(P0(X),Θ) — определяющая, фигурирующая в определении Z′ 1(P0(X),Θ), то для нее должно выполняться условие g(·, U) = L0(P0(X),Θ). А через Z ′ 1(P0(X),Θ) будем обозначать любой подкласс ССЗР класса Z(P0(X),Θ), эле- менты которого задают первую компоненту некоторого ПВП для Z′ 1(P0(X),Θ). При этом, если ((P0(X),<),Θ, U, g) ∈ Z′ 1(P0(X),Θ), а (P0(X),Θ, U, g) ∈ Z′ 1(P0(X),Θ) является опре- деляющей, имеющим место в определении Z′ 1(P0(X),Θ), то для нее, наряду с условием, имеющим место в определении определяющей ССЗР (см. соотношение (2) в [1]), должно выполняться условие ограниченности и Σ-измеримости относительно сужения (P0(X),<) на X для отображения g(·, u) при всех u ∈ U , т. е. g(·, U) ⊆ L<(P0(X),Θ). Далее, для любого класса Z′ 1(P0(X),Θ) определим класс Z′ 0(P0(X),Θ), обозначая его при этом Z′ 01(P0(X),Θ), следующим образом: Z′ 01(P0(X),Θ) := {(P0(X),Θ, U ′, g′) : (P0(X),Θ, U, g) ∈ ПpZ′ 1(P0(X),Θ), U ′ = {u : u ∈ U, g(·, u) ∈ L0(P0(X),Θ)}, g′(θ, u) = g(θ, u) ∀ θ ∈ Θ ∀u ∈ U ′}, где отображение Пp вводится в определение 2 из [1]. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 45 Теперь введем в рассмотрение соответствие χ∞ Z′ 0 (P0(X),Θ) из RX/ m ≈ ×P (Θ)/ co ≈ в Π∞(Z′(P0(X),Θ)), где P (Θ) — семейство всех статистических закономерностей на Θ, а ( m ≈), ( co ≈) — эквивалентности, введенные согласно соотношениям (2) и (1) соответст- венно. Это соответствие определяется следующим образом. Если ω ∈ ∼ ω∈ RX/ m ≈, P ∈ ∈ ∼ P∈ P (Θ)/ co ≈, Z = (Y,Θ, U, g) ∈ Z′(P0(X),Θ) ⊆ Z(P0(X),Θ), то χ∞ Z′(P0(X),Θ)(ω,P ) = = (χ∞ 1Z′(P0(X),Θ)(ω,P ), χ∞ 2Z′(P0(X),Θ)(ω,P )), а [χ∞ 1Z′(P0(X),Θ)(ω,P )](Z) := (P0(X)∞,<Z), [χ∞ 2Z′(P0(X),Θ)(ω,P )](Z) := (U∞,<∗ Z). При этом для любых θ ∈ Θ и для любых m′, n′ ir, s′i ∈ N , x′irj ∈ X, α′ irj ∈ [0, 1], u′i ∈ U , если j = 1, n′ ir, n′ ir ∑ j=1 α′ irj = 1, r = 1, s′i, g(θ, u′i) = = { gt(θ, u ′ i) : gt(θ, u ′ i) = lt(θ,u′ i ) ∑ k=1 βtk(θ, u ′ i)gtk(θ, u ′ i), lt(θ,u′ i ) ∑ k=1 βtk(θ, u ′ i) = 1, где βtk(θ, u ′ i) ∈ [0, 1], gtk(θ, u ′ i) ∈ X, k = 1, lt(θ, u ′ i), lt(θ, u ′ i) ∈ N , t = 1, h(θ, u′i), h(θ, u ′ i) ∈ N } , i = 1,m′, а также для любых m′′, n′′ ir, s ′′ i ∈ N , x′′irj ∈ X, α′′ irj ∈ [0, 1], u′′i ∈ U , если j = 1, n′′ ir, n′′ ir ∑ j=1 α′′ irj = 1, r = 1, s′′i , g(θ, u ′′ i ) = { gt(θ, u ′′ i ) : gt(θ, u ′′ i ) = lt(θ,u′′ i ) ∑ k=1 βtk(θ, u ′′ i )gtk(θ, u ′′ i ), lt(θ,u′′ i ) ∑ k=1 βtk(θ, u ′′ i ) = 1, где βtk(θ, u ′′ i ) ∈ [0, 1], gtk(θ, u ′′ i ) ∈ X, k = 1, lt(θ, u′′i ), lt(θ, u ′′ i ) ∈ N , t = 1, h(θ, u′′i ), h(θ, u ′′ i ) ∈ N } , i = 1,m′′, имеют место соотношения: m′ ∑ i=1 © min r=1,s′ i { n′ ir ∑ j=1 α′ irjx ′ irj : r = 1, s′i } <Z m′′ ∑ i=1 © min r=1,s′′ i { n′′ ir ∑ j=1 α′′ irjx ′′ irj : r = 1, s′′i } ⇔ ⇔ m′ ∑ i=1 min r=1,s′ i n′ ir ∑ j=1 α′ irjω(x ′ irj) > m′′ ∑ i=1 min r=1,s′′ i n′′ ir ∑ j=1 α′′ irjω(x ′′ irj), (7) m′ ∑ i=1 ©u′i < ∗ Z m′′ ∑ i=1 ©u′′i ⇔ m′ ∑ i=1 min p∈P ∫ Θ min t=1,h(θ,u′ i ) lt(θ,u′ i ) ∑ k=1 βtk(θ, u ′ i)ω(gtk(θ, u ′ i))p(dθ) > > m′′ ∑ i=1 min p∈P ∫ Θ min t=1,h(θ,u′′ i ) lt(θ,u′′ i ) ∑ k=1 βtk(θ, u ′′ i )ω(gtk(θ, u ′′ i ))p(dθ). (8) Теорема 1. Для любого класса ССЗР Z ′ 1(P0(X),Θ) Π∞ 0 (Z′ 01(P0(X),Θ)) = χ∞ Z′ 01 (P0(X),Θ)(R X/ m ≈, P (Θ)/ co ≈) и всякое ПВП π ∈ Π∞ 0 (Z′ 01(P0(X),Θ)) можно, и притом единственным образом, продол- жить до ПВП π ∈ Π∞ 0 (ΠpZ′ 1(P0(X),Θ)), при этом χ∞ ΠpZ ′ 1 (P0(X),Θ) инъективно и Π∞ 0 (ΠpZ′ 1(P0(X),Θ)) = χ∞ ΠpZ ′ 1 (P0(X),Θ)(R X/ m ≈, P (Θ)/ co ≈). Следствие 1. Для любого класса Z ′ 1(P0(X),Θ) условия Y1–Y5, P6–P9 на ПВП для ЗМР в классе ΠpZ ′ 1(P0(X),Θ) представляют собой RX� m ≈ ×P (Θ)� co ≈ — МПВП для ЗМР 46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №1 в классе ΠpZ′ 1(P0(X),Θ), т. е. [Y1–Y5, P6–P9] для ЗМР в Z′ 01(P0(X),Θ) с параметрами ∼ ω∈ RX� m ≈ и P ∈ P (Θ)� co ≈, при этом разным значениям параметров ∼ ω и P соответ- ствуют несовпадающие ПВП. Следствие 2. МСЗР M = (P0(X),Θ, U, g, P ), где Z = (P0(X),Θ, U, g) ∈ Z ′ 1(P0(X),Θ) а закономерность P ∈ P (Θ)� co ≈, является полным математическим описанием ситуации с [Y1–Y5, P6–P9] для ЗМР в Z ′ 01(P0(X),Θ) с параметрами ∼ ω∈ RX� m ≈ и P ∈ P (Θ)� co ≈. Другими словами ТПР-ы с ПВП из класса Π∞ 0 (Z′ 01(P0(X),Θ)) в ситуации с совпада- ющими моделями имеют одинаковые отношения предпочтений на решениях, при условии совпадающих отношений их предпочтений на последствиях ЗМР. В частности, при Z ′ 1(P0(X),Θ) ∈ Z((P0(X), ·),Θ) имеем. Следствие 3. МСЗР M = (P0(X),Θ, U, g, P ), где Z = (P0(X),Θ, U, g) ∈ ∈ ΠpZ((P0(X), ·),Θ) а закономерность P ∈ P (Θ)� co ≈, является полным математичес- ким описанием ситуации для [Y1–Y5, P6–P9] для ЗМР в Z ′ 01(P0(X),Θ) с параметрами ∼ ω∈ RX� m ≈ и P ∈ P (Θ)� co ≈. Другими словами, ТПР с ПВП из класса Π∞ 0 (Z′ 01(P0(X),Θ)) в ситуации с совпадающими моделями имеют одинаковые отношения предпочтений на решениях. 1. Михалевич В.М. К критерию при многократном выборе решения // Доп. НАН України. – 2011. – № 11. – С. 44–48. 2. Михалевич В.М. Многократный выбор при наличии одной из форм приципа гарантированного ре- зультата // Там само. – 2011. – № 8. – С. 43–47. Поступило в редакцию 24.03.2011Национальный университет “Киево-Могилянская академия”, Киев В.М. Михалевич До проблеми невизначеностi при багатократному виборi рiшень Отримано рiшення проблеми невизначеностi в задачi багатократного розв’язання для до- сить широкого класу правил вибору переваг у системi прийняття рiшень, яке грунтується на принципi гарантованого результату, з критерiєм у виглядi переваг на рiшеннях, що ви- значаються заданою явно функцiєю корисностi, яка параметрично залежить вiд опуклої статистичної закономiрностi на множинi станiв i функцiї корисностi на наслiдках, що визначається з точнiстю до додатного лiнiйного перетворення. V.M. Mykhalevich The problem of uncertainty at a multiple choice of solutions A solution of the uncertainty problem under multiple decision for a sufficiently broad class of selection rules preferences in a decision-making system which are based respectively on the basis of a guaranteed result which depends on the parametric convex statistical regularity on the set of states and the utility function on the consequences, which is determined to within a positive linear transformation, is obtained. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №1 47

К проблеме неопределенности при многократном выборе решений

Репозитарії

Схожі ресурси