Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення

У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції p рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень з використанням крайніх точок субдиферен...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Гнатюк, В.О., Гудима, У.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48875
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення / В.О. Гнатюк, У.В. Гудима // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 54-65. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48875
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-488752013-09-06T03:05:28Z Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення Гнатюк, В.О. Гудима, У.В. У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції p рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень з використанням крайніх точок субдиференціалів функції p . In this article criterions of the extremal element for the problem of the best at sense of the convex function uniform approximation of continuous compact-valued maps by continuous single-valued maps with the use of extreme points of subdifferentials of function are established. 2012 Article Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення / В.О. Гнатюк, У.В. Гудима // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 54-65. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48875 517.5 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції p рівномірної апроксимації неперервного компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень з використанням крайніх точок субдиференціалів функції p .
format	Article
author	Гнатюк, В.О. Гудима, У.В.
spellingShingle	Гнатюк, В.О. Гудима, У.В. Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Гнатюк, В.О. Гудима, У.В.
author_sort	Гнатюк, В.О.
title	Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення
title_short	Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення
title_full	Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення
title_fullStr	Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення
title_full_unstemmed	Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення
title_sort	необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48875
citation_txt	Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення / В.О. Гнатюк, У.В. Гудима // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 54-65. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT gnatûkvo neobhídnídostatníumoviíkriterííekstremalʹnostíelementadlâzadačínajkraŝoíurozumínníopukloífunkcíírívnomírnoíaproksimacííkompaktnoznačnogovídobražennâ AT gudimauv neobhídnídostatníumoviíkriterííekstremalʹnostíelementadlâzadačínajkraŝoíurozumínníopukloífunkcíírívnomírnoíaproksimacííkompaktnoznačnogovídobražennâ
first_indexed	2025-07-04T09:38:41Z
last_indexed	2025-07-04T09:38:41Z
_version_	1836708708868947968
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 54 Список використаних джерел: 1. Kolmogoroff A. N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownishen Bewe- gungen) / A. N. Kolmogoroff // Ann. Math. — 1934. — Vol. 35. — P. 116–117. 2. Eidelman S. D. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-diffe- rential equations of parabolic type / S. D. Eidelman, S. D. Ivasyshen, A. N. Koc- hubei // Operator Theory: Adv. and Appl. — 2004. — Vol. 152. — 390 p. 3. Малицька Г. П. Системи рівнянь типу Колмогорова / Г. П. Малицька // Укр. мат. журн. — 2008. — Т. 60, №12. — С. 1650–1663. 4. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. — М. : Физматгиз, 1958. — 307 с. 5. Івасишен С. Д. Задача Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з додатним родом / С. Д. Івасишен, В. А. Літо- вченко // Укр. мат. журн. — 2009. — Т. 61, №8. — С. 1066–1087. We established the correct solvability of the Cauchy problem for de- generate model parabolic systems of Kolmogorov-type equations in the space of initial data, elements of which are generalized functions distribu- tion L. Shvarts type. Key words: degenerate parabolic system, the Cauchy problem, correct solvability, fundamental and generalized functions. Отримано: 19.06.2012 УДК 517.5 В. О. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук, У. В. Гудима, канд. фіз.-мат. наук Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський НЕОБХІДНІ, ДОСТАТНІ УМОВИ І КРИТЕРІЇ ЕКСТРЕМАЛЬНОСТІ ЕЛЕМЕНТА ДЛЯ ЗАДАЧІ НАЙКРАЩОЇ У РОЗУМІННІ ОПУКЛОЇ ФУНКЦІЇ РІВНОМІРНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ КОМПАКТНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої неперервної функції p рівномірної апроксимації не- перервного компактнозначного відображення множиною не- перервних однозначних відображень з використанням крайніх точок субдиференціалів функції p . Ключові слова: компактнозначне відображення, найкра- ща у розумінні опуклої функції рівномірна апроксимація, край- ні точки, субградієнт, критерії. Вступ. У статті для задачі найкращої у розумінні опуклої непере- рвної функції p рівномірної апроксимації неперервного компактнознач- ного відображення множиною неперервних однозначних відображень © В. О. Гнатюк, У. В. Гудима, 2012 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 55 встановлено необхідні, достатні умови та критерії екстремальності еле- мента з використанням крайніх точок субдиференціалів функції p , які узагальнюють на випадок вищеназваної задачі відповідні умови екстре- мальності елемента для задачі найкращої у розумінні норми рівномірної апроксимації компактнозначного відображення множиною неперервних однозначних відображень, встановлені у праці [1]. Постановка задачі. Нехай S — компакт, X — лінійний над полем комплексних (дійсних) чисел нормований простір,  ,C S X — лінійний над полем дійсних чисел нормований простір однозначних відображень g компакта S в X , неперервних на S , з нормою  max s S g g s   ,  K X — сукупність непорожніх компактів прос- тору X ,   ,C S K X — множина багатозначних відображень a компакта S в X , таких, що для кожного s S    sa s K K X  і які неперервні на S відносно метрики Хаусдорфа на  K X ,  ,V C S X , p — задана на X опукла неперервна функція. Задачею найкращої у розумінні функції p рівномірної апрокси- мації відображення   ,a C S K X множиною  ,V C S X будемо називати задачу відшукання величини       * inf max maxV g V s S y a s a p y g s      . (1) Елемент g V такий, що     * ( ) max max ( ) V s S y a s p y g s a     , називається екстремальним елементом для величини (1). Актуальність теми. Як відомо, виникають задачі наближення, в яких міра відхилення між елементами лінійного нормованого просто- ру оцінюється не за допомогою норми, а за допомогою деякої опуклої неперервної функції. Серед них, зокрема, задачі найкращого у розу- мінні переднорми, функції Мінковського, сублінійної функції, функ- ції повільного зростання наближення та низка інших задач (див., на- приклад, [2—5]). Названі задачі є частковими випадками задачі відшукання вели- чини (1). Результати загального характеру, отримані при дослідженні величини (1), становлять самостійний інтерес, а також слугуватимуть відправним пунктом для отримання відповідних результатів для кон- кретних задач, що вкладаються у схему постановки задачі відшукан- ня цієї величини. Математичне та комп’ютерне моделювання 56 Мета роботи. Встановити необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента для величини (1) з використанням крайніх точок субдиференціалів функції p . Деякі означення та допоміжні твердження. Нехай далі X — простір, спряжений з X , RX — дійсний лінійний нормований простір, асоційований з простором X , тобто простір X , розглядуваний лише над полем дійсних чисел, RX — простір , спряжений з простором RX . Кожному * RX  будемо ставити у відповідність елемент f X такий, що Re f  . Відомо (див., наприклад, [6, с. 269]), що тоді      f x x i ix   , x X . Будемо позначати через ED — множину крайніх точок множи- ни D лінійного простору Y . Твердження 1. Нехай M — слабко компактна опукла множи- на простору * RX , EM - множина крайніх точок M ,  : , ReCM f f X f M   . Має місце рівність  : , ReCEM f f X f EM   . (2) Доведення. Нехай Cf EM . Переконаємося, що Re f EM . Припустимо супротивне. Тоді існують елементи 1 2, M   ,  0,1  такі, що   1 2Re 1f      , причому 1 2  . Нехай      1 1 1f x x i ix   ,      2 2 2f x x i ix   , x X . Зрозуміло, що 1 Cf M , 2 Cf M , 1 2f f і          1 2 1 21 1f x x i ix                 1 21 ,f x f x x X     . Тобто   1 21f f f    , де 1 2f f , що суперечить співвідно- шенню Cf EM . Одержана суперечність доводить, що коли Cf EM , то Re f EM . Отже,  : , ReCEM f f X f EM   . (3) Нехай тепер f X і Re f EM . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 57 Переконаємося, що Cf EM . Припустимо супротивне. Тоді іс- нують елементи 1 2, Cf f M ,  0,1  такі, що   1 21f f f    , причому 1 2f f . Оскільки      1 1 1Re Ref x f x i f ix  ,  2f x   2Re f x  2Rei f ix , ,x X і 1 2f f , то 1 2Re Ref f . З рівності   1 21f f f    випливає, що   1 2Re 1 Re Ref f f    , де 1Re f M , 2Re f M , 1 2Re Ref f . Тому Re f EM , що суперечить припущенню. Одержана супе- речність доводить, що Cf EM . Тому  : ,Re Cf f X f EM EM   . (4) З (3), (4) випливає справедливість (2). Твердження доведено. Твердження 2. Якщо M — слабко компактна опукла множина простору * RX , EM — множина крайніх точок M , z X , то    max max M EM z z        . (5) Доведення. Оскільки M — слабко* компактна опукла множина простору * RX , то згідно з теоремою Крейна—Мільмана (див., напри- клад, [7, с. 497]) EM   . Внаслідок того, що функція  * RX z   є неперервною по  на * RX у слабкій* топології простору * RX , існує елемент M  такий, що    max M z z c       (див., наприклад, [8, с. 28]). Переконаємося, що множина   : ,cM M z c     є опук- лою слабко* замкненою крайньою підмножиною множини M . Опуклість cM є очевидною. Той факт, що cM є крайньою під- множиною множини M , випливає, зокрема, з теореми 8.3.1 [4, с. 401]. Нехай 0 — гранична точка cM у розумінні слабкої* топології простору X . Внаслідок слабкої компактності множини M 0 M  . Крім того, для довільного 0  окіл     * 0: ,RX z z       точки 0 містить точки cM  . Математичне та комп’ютерне моделювання 58 Для цих точок маємо      0 0z z c z       . Звідси на підставі довільності 0  робимо висновок, що  0 z c  . Отже, 0 cM  . Слабку* замкненість cM встановлено. Оскільки cM є слабко* замкненою підмножиною слабко* ком- пактної множини M , то cM також слабко* компактна множина. Тоді cM містить принаймні одну крайню точку  (див., на- приклад, [7, с. 497]). Оскільки cM є крайньою підмножиною множи- ни M , то EM (див., наприклад, [4, с. 401]). З урахуванням того, що  z c  , робимо висновок про справед- ливість рівності (5). Твердження доведено. Позначимо далі через       max maxa s S y a s g p y g s      ,  ,g C S X , цільову функцію задачі відшукання величини (1). Теорема 1 [9]. Для кожного   ,a C S K X цільова функція  a g ,  ,g C S X , задачі відшукання величини (1) є опуклою та неперервною на  ,C S X . Елемент * RX  називається субградієнтом функції p в точці 0x X , якщо      0 0p x p x x x   , x X , (див., наприклад, [10, с. 57]). Множину субградієнтів функції p в точці 0x X називають субдиференціалом цієї функції в точці 0x і позначають  0p x (див., наприклад, [10, с. 58]). Оскільки p є опуклою неперервною на X функцією, то для 0x X  0p x є неперервною опуклою слабко* компактною мно- жиною простору * RX (див., наприклад, [4, с. 327]). Для  * ,g C S X покладемо              * * * : , max max max ,a a y a s s S y a s S g s s S p y g s p y g s g                а для   as S g покладемо Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 59              * * * , : , max a y a s a s g y y a s p y g s p y g s g              . Через  / ,a g z будемо позначати похідну функції a в точці g за напрямом  ,z C S X . Теорема 2. Якщо  , ,g z C S X і  / * , 0a g z  , то справедли- ва рівність             * * * / * , , max max max Re a C a s S g y a s g f E p y g s g z f z s         . (6) Доведення. Згідно з теоремою 2 [9]             * * * / * , , max max max a a s S g y a s g p y g s g z z s          . (7) Оскільки  p x є слабко* компактною опуклою множиною простору * RX (див., наприклад, [4, с. 327]), то внаслідок твердження 2 для  * as S g ,  ,y a s g             * max max C p y g s E p y g s z s z s             , (8) а згідно з твердженням 1              ** max max Re C E p y g sE p y g s z s f z s           . (9) З (7)—(9) випливає (6). Теорему доведено. Необхідні, достатні умови і критерії екстремальності елемента Будемо позначати далі через  0,M y — конус внутрішніх на- прямків для множини M лінійного нормованого простору Y із точ- ки 0y Y , а через  * 0,M y — конус граничних напрямків для M з точки 0y . При цьому  0,y M y , якщо існує окіл  O y точки y прос- тору Y та число 0  такі, що 0y tz M  для всіх  z O y ,  0,t  , а  * 0,y M y , якщо для довільного околу  O y точки y простору Y та довільного числа 0  існують такі  z O y і  0,t  , що 0y tz M  (див., наприклад, [4, с. 12, 13]). Математичне та комп’ютерне моделювання 60 Для g V позначимо через          : , ,a a aC g g g C S X g g     . Обмеження g V у задачі відшукання величини (1) будемо на- зивати суттєвим, якщо       * , VC S X a a  . Зрозуміло, що у випадку суттєвості обмеження g V у задачі відшукання величини (1)  * aC g   . Теорема 3. Нехай V — довільна множина простору  ,C S X . Для того щоб елемент g V був екстремальним елементом для величини (1), необхідно, щоб не існувало такого   ,z V g , що   Re 0f z s  для всіх   as S g ,  ,y a s g ,    C f E p y g s   . Доведення. Нехай g — екстремальний елемент для величи- ни (1). Тоді g є екстремальним елементом для задачі оптимізації  inf a g V g   . Якщо  * aC g   , то для всіх  ,g C S X    * a ag g   . Тому для всіх  ,z C S X  / * , 0a g z  . Згідно з теоремою 2 для будь-якого  ,z C S X , у тому числі і для будь-якого  * ,z V g , іс- нують елементи   z as S g ,  ,z zy a s g ,    z z z C f E p y g s   такі, що     / * , Re 0a z zg z f z s    . Звідки випливає, що   Re 0z zf z s  . В цьому випадку теорему доведено. Припустимо тепер, що  * aC g   . Згідно з теоремою 1.4.1 [4, с. 22] має місце співвідношення     * * * , ,aC g g V g    . (10) Оскільки функція  a g ,  ,g C S X , є опуклою та непере- рвною на  ,C S X (див. теорему 1), то (див. твердження 6.9.1 [4, с. 352]) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 61         * / , : , , , 0a aC g g z z C S X g z     . (11) Із співвідношень (10), (11) випливає, що для кожного   ,z V g  / , 0a g z  . Внаслідок теореми 2 тоді для кожного  * ,z V g існують   z as S g ,  ,z zy a s g ,    z z z C f E p y g s   такі, що   Re z zf z s  0 . Звідки випливає, що   Re 0z zf z s  . Теорему доведено. Теорему 3 можна сформулювати у таких еквівалентних формах. Теорема 4. Нехай V — довільна множина простору  ,C S X . Для того щоб елемент g V був екстремальним елементом для ве- личини (1), необхідно, щоб для будь-якого   ,z V g існували елементи   z as S g ,  ,z zy a s g ,    z z z C f E p y g s   такі, що   Re 0z zf z s  . Теорема 5. Нехай V — довільна множина простору  ,C S X . Для того щоб g V був екстремальним елементом для величини (1), необхідно, щоб для будь-якого   ,z V g існували елементи zs S ,  z zy a s ,    z z z C f E p y g s   такі, що             * * max max max z z z z s S y a s y a s p y g s p y g s p y g s         ,   Re 0z zf z s  . Врахування властивостей конуса   ,V g , які зумовлені спе- цифікою множини V , дозволяє в окремих випадках дещо конкрети- зувати встановлені вище необхідні умови екстремальності елемента для величини (1). Теорема 6. Нехай i i I V V   , де iV , i I , — сім’я опуклих мно- жин простору  ,C S X , g V , iV — замикання множини iV , i I , * , i ig i I g V V V     . Математичне та комп’ютерне моделювання 62 Якщо g є екстремальним елементом для величини (1), то для будь-якого gg V існують елементи   g as S g ,  ,g gy a s g ,    g g g C f E p y g s   такі, що     Re 0g g gf g s g s  . Доведення. Нехай g V  є екстремальним елементом для ве- личини (1). Згідно з твердженням 1.2.3 [4, с. 15]       * * * * * * , , , , i i i i I i I g V Г V g Г V g Г V g       . (12) Нехай, крім того, gg V .Тоді існує індекс gi I такий, що gi g V та gi g V . Оскільки gi V є опуклою множиною, то внаслідок теореми 1.3.4 [4, с. 19]  * * , gi g g Г V g  . Звідси та з (12) робимо висновок, що   * ,g g Г V g  . Згідно з теоремою 3 існують еле- менти gs S ,  g gy a s ,    g g g C f E p y g s   такі, що     Re 0g g gf g s g s  . Теорему доведено. Сформулюємо далі достатню умову того, що g є екстремаль- ним елементом для величини (1). Теорема 7. Нехай V — довільна множина простору  ,C S X , g V . Якщо для кожного елемента g V існують елементи   g as S g ,  ,g gy a s g ,    g g g C f E p y g s   такі, що     Re 0g g gf g s g s  , то g є екстремальним елементом для величини (1). Теорема 7 має місце для довільної множини V . Становлять інтерес множини, для яких сформульована в ній умова є не лише достатньою, а й необхідною умовою екстремальності елемента для величини (1). Множину M лінійного нормованого простору Y будемо нази- вати  — множиною відносно точки 0y M , якщо   0 0,y y M y  для всіх y M . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 63 До  — множин відносно точки 0y M відносяться, зокрема, зіркові відносно 0y (див, наприклад, [11, с. 16]), в тому числі опуклі, множини. Теорема 8. Нехай V є  — множиною відносно g V (зірковою відносно g V або опуклою множиною). Для того щоб елемент g був екстремальним елементом для величини (1), необ- хідно і достатньо, щоб для кожного елемента g V існували еле- менти   g as S g ,  ,g gy a s g ,    g g g C f E p y g s   такі, що     Re 0g g gf g s g s  . Доведення. Необхідність. Нехай g є екстремальним елемен- том для величини (1). Оскільки V є  — множиною відносно g (зірковою відносно g або опуклою множиною), то   * ,z g g V g   . Тоді згідно з теоремою 4 існують елементи   g as S g ,  ,g gy a s g ,    g g g C f E p y g s   такі, що     Re 0g g gf g s g s  . Достатність умов теореми встановлено у теоремі 7. Наслідок. Нехай V — підпростір простору  ,C S X . Для того щоб елемент g V був екстремальним елементом для величини (1), необхідно і достатньо, щоб для будь-якого елемента g V існували елементи  * g as S g ,  ,g gy a s g ,    g g g C f E p y g s   такі, що   Re 0g gf g s  . (13) Доведення. Нехай g V є екстремальним елементом для вели- чини (1). Для елемента g V маємо, що g g V  . Тоді згідно з теоремою 8 існують елементи  * g as S g ,  ,g gy a s g ,    g g g C f E p y g s   такі, що         * Re Re 0g g g g gf g g s g s f g s    . Математичне та комп’ютерне моделювання 64 Навпаки, нехай для будь-якого елемента g V мають місце умови наслідку. Візьмемо g V і покладемо в (13) замість g елемент g g V  . Тоді одержимо     Re 0g g gf g s g s  . Внаслідок теореми 7 g є екстремальним елементом для вели- чини (1). Наслідок доведено. Висновки. Встановлено необхідні, достатні умови і критерії ек- стремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції рівномірної апроксимації компактнозначного відображення. Список використаних джерел: 1. Гудима У. В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактноз- начного відображення множинами неперервних однозначних відображень / У. В. Гудима // Укр. мат. журн. — 2005. — Т. 57, № 12. — С. 1601–1619. 2. Гнатюк В. А. Общие свойства наилучшего приближения по выпуклой непрерывной функции / В. А. Гнатюк, В. С. Щирба // Укр. мат. журн. — 1982. — Т. 4, №5. — С. 608–613. 3. Демьянов В. Ф. Приближенные методы решения экстремальных задач / В. Ф. Демьянов, А. М. Рубинов. — Л. : Изд-во Ленинградского универси- тета, 1968. — 178 с. 4. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с. 5. Бейко И. В. Обобщенная L  проблема моментов и метод ее решения / И. В. Бейко , В. А. Гнатюк, В. В. Мойко // Укр. мат. журн. — 1978. — Т. 30, № 2. — С. 147–154. 6. Кадец В. М. Курс функционального анализа : учебное пособие для сту- дентов механико-математического факультета / В. М. Кадец. — Х. : ХНУ имени В. Н. Каразина, 2006. — 607 с. 7. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М. : Мир, 1967. —624 с. 8. Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Аки- лов. — М. : Наука, 1977. — 742 с. 9. Гудима У. В. Умови екстремальності елемента для задачі найкращої у розумінні опуклої функції апроксимації компактнозначного відображен- ня множиною однозначних відображень / У. В. Гудима, Ю. В. Гнатюк // Теорія наближення функцій та суміжні питання : [зб. наук. пр. Інституту математики НАН України]. — К. : Інститут математики НАН України, 2011. — Т. 8, №1. — С.75–88. 10. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихоми- ров. — М. : Наука, 1974. — 480 с. 11. Лейтхвейс К. Выпуклые множества / К. Лейтхвейс. — М. : Наука, 1985. — 335 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 65 In this article criterions of the extremal element for the problem of the best at sense of the convex function uniform approximation of continuous compact-valued maps by continuous single-valued maps with the use of extreme points of subdifferentials of function are established. Key words: the compact-valued maps, the best in sense of the convex function uniform approximation, the extreme point, subdifferentials. Отримано: 13.06.2012 УДК 539.3 H. A. Гук, д-р физ.-мат. наук Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара, г. Днепропетровск ИДЕНТИФИКАЦИЯ СВОЙСТВ ОСНОВАНИЙ СООРУЖЕНИЙ МЕТОДОМ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ Рассматривается задача определения неоднородных свойств основания по результатам косвенных наблюдений. Для описа- ния поведения грунта используется модель Винклера. Вектор неизвестных коэффициентов жесткостей пружин определяется из решения обратной задачи, сформулированной в вариацион- ной постановке. Приводятся результаты восстановления вектора жесткостей для различных случаев местоположения неоднород- ностей основания. Ключевые слова: обратная задача, пластина, основание, модель Винклера, коэффициент жесткости пружины. Введение. Использование высокотехнологичного и дорогостоя- щего оборудования в технике выдвигает требование обеспечения вы- сокой точности установки этого оборудования. Поэтому проектиро- вание несущих конструкций должно выполняться с учетом свойств оборудования, которое на них опирается. В качестве несущих конст- рукций обычно выступают пластины, плиты, оболочки, опирающиеся на упругое основание, в роли которого может выступать грунт или специальные ложементы, состоящие из пружин, возможно различной жесткости. Решение задачи об определении жесткости основания или его структуры, необходимой для реализации требований к установке оборудования, является весьма актуальным при проектировании та- ких сооружений как энергетические комплексы, газонефтетранспорт- ные системы, транспортные системы в ракетостроении и т.д. В случае, когда необходимо определять напряженно-деформиро- ванное состояние грунта, для описания его поведения используются различные модели деформирования [1—3]: модель линейно-дефор- © Н. А. Гук, 2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <FEFF0054006900650074006f0020006e006100730074006100760065006e0069006100200070006f0075017e0069007400650020006e00610020007600790074007600e100720061006e0069006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002000760068006f0064006e00fd006300680020006e0061002000730070006f013e00610068006c0069007600e90020007a006f006200720061007a006f00760061006e006900650020006100200074006c0061010d0020006f006200630068006f0064006e00fd0063006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200056007900740076006f00720065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f00740076006f00720069016500200076002000700072006f006700720061006d006f006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076016100ed00630068002e> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Репозитарії

Схожі ресурси