Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами

Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами

У статті розглядається задача оптимального керування лінійною сингулярною системою з розподіленими параметрами і квадратичним функціоналом. Використовуючи метод множників Лагранжа, отримано рівняння Ейлера—Лагранжа. Для дослідження цих рівнянь виведено матричне інтегро-диференціальне рівняння Ріккат...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2012
Автор: Копець, М.М.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48883
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами / М.М. Копець // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 139-150. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48883
record_format dspace
spelling irk-123456789-488832013-09-06T03:05:40Z Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами Копець, М.М. У статті розглядається задача оптимального керування лінійною сингулярною системою з розподіленими параметрами і квадратичним функціоналом. Використовуючи метод множників Лагранжа, отримано рівняння Ейлера—Лагранжа. Для дослідження цих рівнянь виведено матричне інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті. Доведено єдиність оптимального керування. In this paper the problem of optimal control by the linear singular system with distributed parameters and quadratic functional is considered. Using Lagrange multiplier method the Euler—Lagrange equations are obtained. For investigation of these equations the matrix integrodifferential equation Riccati is derived. The uniqueness of optimal control also is proved. 2012 Article Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами / М.М. Копець // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 139-150. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48883 517.977.56 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У статті розглядається задача оптимального керування лінійною сингулярною системою з розподіленими параметрами і квадратичним функціоналом. Використовуючи метод множників Лагранжа, отримано рівняння Ейлера—Лагранжа. Для дослідження цих рівнянь виведено матричне інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті. Доведено єдиність оптимального керування.
format Article
author Копець, М.М.
spellingShingle Копець, М.М.
Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Копець, М.М.
author_sort Копець, М.М.
title Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами
title_short Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами
title_full Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами
title_fullStr Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами
title_full_unstemmed Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами
title_sort задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2012
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48883
citation_txt Задача оптимального керування сингулярною лінійною системою із розподіленими параметрами / М.М. Копець // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 139-150. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT kopecʹmm zadačaoptimalʹnogokeruvannâsingulârnoûlíníjnoûsistemoûízrozpodílenimiparametrami
first_indexed 2025-07-04T09:39:20Z
last_indexed 2025-07-04T09:39:20Z
_version_ 1836708749592494080
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 139 (multi) spatial regions. To build a major integrated solutions are involved corre- sponding Fourier transform to Cartesian axis and semi-axles and integral Fou- rier transform on n Cartesian segment of coupling points. Key words: hyperbolic equations, initial and boundary conditions, matching, integral transformation, the main solution. Отримано: 22.05.2012 УДК 517.977.56 М. М. Копець, канд. фіз.-мат. наук Національний технічний університет України ‹‹КПІ››, м. Київ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ СИНГУЛЯРНОЮ ЛІНІЙНОЮ СИСТЕМОЮ ІЗ РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ У статті розглядається задача оптимального керування лі- нійною сингулярною системою з розподіленими параметрами і квадратичним функціоналом. Використовуючи метод множни- ків Лагранжа, отримано рівняння Ейлера—Лагранжа. Для дослі- дження цих рівнянь виведено матричне інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті. Доведено єдиність оптимального керування. Ключові слова: оптимальне керування, сингулярна система лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними, метод множників Лагранжа, рівняння Ейлера—Лагранжа, матричне інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті. 1. Вступ Дослідження систем диференціальних рівнянь, що не розв’язані відносно старших похідних, почалось ще в сорокових роках минулого століття. Однією із перших робіт, присвячених вище згаданій тематиці, є стаття академіка М. М. Лузіна [10]. Системи подібного типу розгля- нуті також в монографії [8, с. 348]. Однак тільки на початку 80-х років минулого століття почалось систематичне дослідження таких систем. Значне зростання популярності подібних систем пояснюється, з одного боку, їх широким застосуванням для моделювання великого числа практичних задач у техніці, економіці, з другого боку, тією об- ставиною, що таким системам властиві певні особливості у порівняні із системами звичайних диференціальних рівнянь. Такі системи назива- ють по-різному: алгебро-диференціальні системи; вироджені системи; диференціально-алгебраїчні системи; системи не типу Коші- Ковалевської; системи, не розв’язані відносно старших похідних; де- скрипторні системи; сингулярні системи; системи з виродженням. Од- © М. М. Копець, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 140 нак незалежно від назви всіх їх об’єднує одна спільна властивість: мат- риця при старших похідних або особлива (вироджена), або прямокут- на. Тому звести таку систему до системи звичайних диференціальних рівнянь за виключенням деяких частинних випадків неможливо. Сингулярною системою лінійних диференціальних рівнянь з ча- стинними похідними будемо називати систему вигляду       z , z , C A Bz , t x t x t x t x       , (1) де A , B , C — задані квадратні матриці порядку n , елементами яких є дійсні числа, причому det C 0 , тобто матриця C вироджена,  ,z t x — шуканий вектор-стовпець розміру 1n . Інколи можливі випадки, коли обидві матриці A і C — вироджені. Приклад такої системи дає телеграфне рівняння [14, с. 215]         2 2 2 2 2 , , , , z t x z t x z t x c a bz t x tt x         . (2) Вводячи нові змінні    1 , ,z t x z t x ,     2 , , z t x z t x t    ,     3 , , z t x z t x x    , замість рівняння (2) отримаємо систему трьох рівнянь                 1 2 2 32 1 2 1 3 , , , , , , , , , 0 , , z t x z t x t z t x z t x c b z t x a z t x t x z t x z t x x                де матриці A , B , C відповідно мають вигляд: 2 0 0 0 A 0 0 1 0 0 c            , 0 1 0 B 0 0 0 1 b a          , 1 0 0 C 0 1 0 0 0 0           . У зв’язку з цим прикладом потрібно зауважити, що є сумнівним твердження про те, що найбільш адекватною назвою таких систем є назва «алгебро-диференціальні системи» [4, с. 5]. У наведеному при- кладі матриця C є виродженою, всі рівняння системи — диференціа- льні, і нема жодного алгебраїчного рівняння. Особливо слід відзначити, що також дуже часто до сингулярних систем приводять задачі, що розглядаються в теорії оптимального керу- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 141 вання. Очевидно, що згадати всі роботи, присвячені дослідженню сингу- лярних систем, неможливо. У першу чергу потрібно згадати монографії [3—7; 12; 15—20]. В них також можна знайти досить детальні бібліог- рафічні дані, що стосуються вивчення сингулярних систем. Історично так склалось, що основна увага в процесі дослідження сингулярних систем була спрямована на лінійні системи із зосередже- ними параметрами, тобто на об’єкти, поведінка яких описується систе- мами лінійних звичайних диференціальних рівнянь. Сингулярні системи лінійних рівнянь з частинними похідними розглядались рідше. Зокрема, такі системи досліджуються в роботах [1; 2], а також в монографії [9]. 2. Постановка задачі оптимального керування Нехай об’єкт керування описується системою лінійних дифере- нціальних рівнянь з частинними похідними         , , C A B , D , z t x z t x z t x u t x t x        , (3) де A , B , C — задані матриці розміру n n , D — задана матриця розміру n m , причому всі ці чотири матриці – сталі (їх елементами є дійсні числа) і det C 0 . Змінна t асоціюється з часом, змінна x — просторова змінна,  ,z t x — дійсний n -вимірний вектор-стовпець, який в подальшому називається станом системи (3), дійсний m -ви- мірний вектор-стовпець  ,u t x називається керуванням. Вважаємо, що керування належать до класу кусково-неперервних вектор- функцій. Для системи (3) задано початкову умову    00,z x z x (4) і крайові умови    ,0z t g t ,    ,z t l h t . (5) Дійсне число 0l  , n -вимірні вектор-стовпці  0z x ,  g t ,  h t задані. Будемо припускати, що для кожного заданого керування  ,u t x система рівнянь (3) має єдиний розв’язок  ,z t x , який задо- вольняє умовам (4) і (5). Розглянемо наступний критерій оптимальності:                 0 0 0 0 0 1 ( , ) 2 1 2 , , , , , , , , , l l T l l I z u z T x M x y z T y dy dx z t x F x y z t y dy u t x Gu t x dx dt             (6) Математичне та комп’ютерне моделювання 142 де символ ,z u z u  означає скалярний добуток векторів z і u , тобто 1 , n i i iz uz u z u     , G — задана симетрична додатно визна- чена матриця розміруm m ( отже, існує матриця 1G ) ,  F ,x y і  M ,x y також задані симетричні невід’ємно визначені матриці роз- міру n n (    F , F ,x y y x ,    M , M ,x y y x ), T — задане дійс- не число. Задача оптимального керування об’єктом, що описується системою співвідношень (3)—(5), полягає в знаходженні такого керу- вання  0 ,u t x , на якому функціонал (6) приймає найменше значення. Якщо таке керування  0 ,u t x існує, то воно називається оптималь- ним керуванням. 3. Виведення рівнянь Ейлера — Лагранжа У переважній більшості для знаходження розв’язків задач опти- мального керування як і у випадку систем із зосередженими парамет- рами, так і у випадку систем з розподіленими параметрами, викорис- товують принцип максимуму Л. С. Понтрягина [13, с. 183] або метод динамічного програмування Р. Беллмана [11, с. 291]. Для застосуван- ня обох цих методів необхідно, щоб система рівнянь, яка описує по- ведінку об’єкта керування, була розв’язана відносно похідних за ча- сом. У випадку сингулярних систем такої можливості нема. Однак можна скористатися методом множників Лагранжа [13, с. 31]. Суть методу полягає в тому, що замість функціонала (6) розглядаємо на- ступний функціонал                           00 0 0 0 1 2 1 ( , , , , ) 2 , , , , , , , , z , z , , A Bz , Du , C , T l l l l z z z p u t x z t x F x y z t y dy u t x G u t x z T x M x y z T y dy dx x t x t p x t x t x t dxdt x t J                                      (7) де  ,p t x — невідома 1n вектор-функція. Очевидно, що при вико- нанні співвідношень (1) значення функціоналів (6) і (7) співпадають. Тому задача на умовний екстремум для функціонала (6) зводиться до Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 143 задачі на безумовний екстремум для функціонала (7). Далі знаходимо вираз для приросту функціонала (7): ( , , , , ) ( , , , , ). z z z z z z J J z z p p u u J z p u t t x x t x                          Очевидно, маємо:           0 0 1 , , , , 2 , l l J z T x z T x M z T y z T yx y dy dx                       0 0 0 1 z , z , F , z , z , 2 T l l t x t x x y t y t y dy                          , , G , ,u t x u t x u t x u t x                   , , , , A z t x z t x p t x p t x x x                            B , , D , ,z t x z t x u t x u t x                      0 0 , , 1 C , , , 2 l lz t x z x t dxdt z T x M x y z T y dy dx t t                            0 0 0 1 , F , , , G , 2 T l l z t x x y z t y dy u t x u t x                     , , , A B , D , C z x t z x t p x t z x t u x t dxdt x t                           0 0 , , , , , , 2 l l z T x M x y z T y z T x M x y z T y dy dx                      0 0 0 1 z , F , z , z , F , z , 2 T l l t x x y t y t x x y t y dy                            , G , , G ,u t x u t x u t x u t x              , , A B , D , z t x p t x z t x u t x x                  , , C , A B , z t x z t x p t x z t x t x              Математичне та комп’ютерне моделювання 144            , , , A B , D , C z t x z t x p t x z t x u t x dxdt x t                      2 0 0 , M , , 2 l l z T x x y z T y dy dx               2 0 0 0 1 , F , , , G , 2 T l l z t x x y z t y dy u t x u t x                          , , , A B , D , C z t x z t x p t x z t x u t x dxdt x t                . Очевидно, що      0 00, 0z x z x z x    ,      , 0 0t tz t f f      , ,z t x z t x t t        ,    , ,z t x z t x x x        . Далі маємо наступні співвідношення:                   0 0 * 0 0 , F , , , F , , 2 , F , , , l l l l z t x x y z t y z t x x y z t y dy dx z t y x y z t x dy dx               (8)                   0 0 * 0 0 , M , , , M , , 2 z , M , z , , l l l l z T x x y z T y z T x x y z T y dy dx T y x y T x dy dx               (9)            , G , , G , 2 , G ,u t x u t x u t x u t x u t x u t x      , (10)        , , A B , D , C 0 z t x z t x z t x u t x x t             , (11)         0 0 0 , , C , C , T l lz t x p t x dx dt p t T z T x dx t                 0 0 0 , 0, C 0, C , l T l p t x p x z x dx z t x dx dt t           (12)         0 0 0 , , C , C , l T l p t x p T x z T x dx z t x dx dt t          . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 145                     0 0 0 , , A , A , ,0 A ,0 , , A , A , . l ll dx z t x p t x dx p t l z t l p t z t x p t x p t x z t x z t x dx x x                          (13)                   0 0 0 0 0 0 z , M , z , z , M , z , z , M , z , . l l l l l l dyT x x y T y dx T x x y T y dxdy T y y x T x dydx                 (14) Беручи до уваги співвідношення (8)—(14), далі отримаємо:         0 0 * Cz , M , p , z , l l J T y x y dy T x T x dx                  0 0 , , C A , B T l p t x p t x p t x t x                                    * 0 , , F , , , G , D , , , A B , D , C l t x z t y x y dy z t x u t x p t x u t x z t x z t x p z t x u t x dx dt x t                             (15)       2 0 0 z , M , z , 2 l l dy dxT x x y T y                2 0 0 0 z , F , z , u , G u , 2 T l l t x x y t y dy t x t x dx dt                  . Отриманий вираз (15) для J дає можливість сформулювати таке твердження. Теорема 1. Єдине оптимальне керування  0 ,u t x , на якому реалізується мінімум функціонала (6), визначається із співвідно- шень Математичне та комп’ютерне моделювання 146                                         0 0 0 , , C A B , D , , 0, , ,0 , , , C A B , , , , C , , , , ,0 , 0, G , D , 0, l l z t x z t x z t x u t x t x z x z x z t f t p t x p t x p t x F x y z t y dy t x p T x M x y z T y dy p t p t l u t x p t x                                     (16) де символ Aозначає транспоновану матрицю A . Аналогічно позна- чаються транспоновані матриці B , C і D . Доведення. Коефіцієнт при у співвідношенні (8) — це перша варіація функціонала (7), при 2 — його друга варіація, помножена на 0,5. Необхідна умова екстремуму функціонала (7) — це рівність нулю його першої варіації. Це можливо, коли вирази при  ,z t x ,  ,z T x ,  ,p x t  ,  ,u x t дорівнюють нулю одночасно. Таким чином отримуємо систему рівнянь (16). Ця система рівнянь називається рівняннями Ейлера—Лагранжа. Оскільки      2 0 0 z , M , z , l l dy dxJ T x x y T y               0 0 0 , F , , , G , T l l z t x x y z t y dy u t x u t x dx dt                , то з додатної визначеності матриці G та невід’ємної визначеності матриць  F ,x y і  M ,x y маємо 2 > 0J . Це означає, що керуван- ня  ,u t x реалізує мінімум функціонала (7), а отже, і функціонала (6). Доведення єдиності оптимального керування випливає із таких міркувань. Припустимо, що існує керування    , ,u t x u t x   ,u t x , на якому також реалізується мінімум функціонала (7). Тоді приріст (8) дорівнює нулю. Оскільки в цьому випадку 0J  , то тоді також і 2 0J  . Остання рівність можлива в тому випадку, коли  , 0u t x  і  , 0z t x  . Звідси випливає, що    , ,u t x u t x . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 147 4. Виведення матричного інтегро-диференціального рівняння Ріккаті Із останнього рівняння системи (16) виражаємо  ,u t x через  ,p t x (    1, ,u t x G D p t x   ) і підставляємо в перше рівняння. В результаті отримаємо двоточкову крайову задачу для системи двох диференціальних рівнянь з частинними похідними, де невідомими є вектор-функції  ,z t x і  ,p t x :                                         1 0 0 , , C A B , DG D , , 0, , ,0 , , ,0 , , C A B , F , , C , M , , , ,0 , 0. , l l z t x z t x z t x p t x t x z x z x z t g t z t l h t p t x p t x p t x x y z t y dy t x p T x x y z T y dy p t p t l                                    (17) Враховуючи рівність       0 C , M , , l p T x x y z T y dy   , вважаємо, що має місце наступна залежність       0 , R , , C , l p t x t x y z t y dy  , (18) де  R , ,t x y — невідома матричнозначна функція. Із (18), враховую- чи перше рівняння системи (17), отримаємо, що           0 , , , , C , R , , C lp t x R t x y z t y z t y t x y dy t t t                               0 0 R , , , C , R , , C R , , , C , R , , A l l t x y z t y z t y t x y dy t t t x y z t y z t y t x y t y                     (19)          1 0 R , , Bz , R , , DG D R , , Cz , l t x y t y t x y t y t d dy         . Математичне та комп’ютерне моделювання 148 Оскільки             0 , R , , A R , , A , R , , 0 A , 0 l z t y t x y dy t x l z t l t x z t y              0 0 R , , R , , A , A , l l t x y t x y z t y dy z t y dy y y         , якщо    R , , 0, R , ,0 0t x l t x  . Із міркувань симетрії вважаємо, що також мають місце рівності    R , , 0, R ,0, 0t l y t y  . Крім того,      1 0 0 R , , DG D R , , Cz , l l t x y t y t d dy           1 0 0 R , , DG D R , , C , l l t x y t y z t dy d            1 * 0 0 R , , DG D R , , C , l l t x t y z t y d dy     . Тому рівність (19) після множення зліва на матрицю C матиме вигляд              1 0 0 , R , , R , , C C C C A C R , , B C R , , DG D R , , C z , . l lp t x t x y t x y t x y t t y t x t y d t y dy                         (20) З іншого боку, на підставі другого рівняння системи (17), маємо           0 C p , R , , C A B R , , C F , , lt x t x y t x y x y z t y dy t x          . Порівнюючи останню рівність і рівність (20), знаходимо       0 R , , A R , , R , , C A C CC l t x y t y t x y t x y x                  C R , , B B R , , C F ,t x y t x y x y          1 0 C R , , DG D R , , C , l t x t y d z t y dy        . Звідси робимо висновок, що функція  R , ,t x y повинна бути розв’язком рівняння Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 149      R , , R , , R , , C C A C C A t x y t x y t x y t x y               1 0 C R , , DG D R , , C l t x t y d      (21)      C R , , B B R , , C F ,t x y t x y x y    . Також ця функція задовольняє наступним додатковим умовам:             R , , 0,R ,0, 0, R , , 0, R , ,0 0, C R , , C M , . t l y t y t x l t x T x y x y      (22) Теорема 2. Єдине оптимальне керування  0 ,u t x має вигляд    0 1, G D p ,u t x t x   , де функція  ,p t x пов’язана із станом  ,z t y співвідношенням (18), а функція  R , ,t x y є розв’язком рів- няння (21) і задовольняє умовам (22). 5. Висновки Розглянута задача мінімізації квадратичного функціонала на розв’язках лінійної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними першого порядку. Постановка та методи розв’язування задач оптимального керування завжди є актуальними, оскільки вони мають чітко виражений прикладний характер. У статті отримано не- обхідні умови оптимальності в формі системи рівнянь Ейлера- Лагранжа та матричне інтегро-диференціальне рівняння Ріккаті з час- тинними похідними, відомий розв’язок якого дозволяє побудувати оптимальне керування в замкненій формі. В перспективі актуальними є вивчення властивостей цього рівняння та побудова алгоритмів для знаходження його наближених розв’язків. Список використаних джерел: 1. Бормотова О. В. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши—Ковалевской / О. В. Бормотова, В. Ф. Чистяков // Журн. вычисл. матем. и мат. физики. — 2004. — Т. 44, № 8. — С. 1380–1387. 2. Бормотова О. В. О разрешимости вырожденных систем дифференциальных уравнений в частных производных / О. В. Бормотова, С. В. Гайдомак, В. Ф. Чистяков // Изв. вузов. Математика. — 2005. — № 4 (515). — С. 18–29. 3. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкно- венных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев. — Новоси- бирск : Наука, 1980. — 222 с. 4. Бояринцев Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев. — Новосибирск : Нау- ка, 1988. — 158 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 150 5. Бояринцев Ю. Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю. Е. Бояринцев. — Новосибирск : Наука, 2000. — 223 с. 6. Бояринцев Ю. Е. Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы / Ю. Е. Бояринцев, И. В. Орлова. — Новосибирск : Наука, 2006. — 124 с. 7. Бояринцев Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков. — Новосибирск : Наука, 1998. — 224 с. 8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М. : Наука, 1975. — 576 с. 9. Демиденко Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. — Новоси- бирск : Научная книга, 1998. — 436 с. 10. Лузин Н. Н. К изучению матричной системы теории дифференциальных уравнений / Н. Н. Лузин // Автоматика и телемеханика. — 1940. — № 5. — С. 4–66. 11. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики / К. А. Лурье. — М. : Наука, 1975. — 480 с. 12. Самойленко А. М. Лінійні системи диференціальних рівнянь з вироджен- нями / А. М. Самойленко, М. І. Шкіль, В. П. Яковець. — К. : Вища школа, 2000. — 204 с. 13. Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметра- ми / Т. К. Сиразетдинов. — М. : Наука, 1977. — 480 с. 14. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работни- ков и инженеров / С. Фарлоу ; пер. с англ. — М. : Мир, 1985. — 384 с. 15. Чистяков В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. — Новосибирск : Наука, 2003. — 320 с. 16. Ascher R. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Diffe- rential-Algebraic Equations / R. Ascher, L. Petzold. — USA, Philadelphia, 1998. — 314 p. 17. Campbell S. L. Singular system of differential equations. Research Notes in Math. / S. L. Campbell. — San Francisco : Pitman, 1980. — № 40. — 176 p. 18. Campbell S. L. Singular system of differential equations. II. Research Notes in Math. / S. L. Campbell. — San Francisco : Pitman, 1982. — № 61. — 234 p. 19. Dai L. Singular control systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences / L. Dai. – Berlin : Heidelberg ; N. Y. : Springer Verlag, 1989. — № 118. — 332 p. 20. Kunkel P. Differential-Algebraic Equations. Analysis and Numerical Solution / P. Kunkel, V. Mehrmann. — Printed in Germany, 2006. — 377 p. In this paper the problem of optimal control by the linear singular system with distributed parameters and quadratic functional is considered. Using La- grange multiplier method the Euler—Lagrange equations are obtained. For in- vestigation of these equations the matrix integrodifferential equation Riccati is derived. The uniqueness of optimal control also is proved. Key words: optimal control, quadratic functional, singular system of linear partial differential equations, Lagrange multiplier method, Euler- Lagrange equations, matrix integrodifferential Riccati equation. Отримано: 26.03.2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000640065002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650063007500610064006f007300200070006100720061002000760069007300750061006c0069007a00610063006900f3006e0020006500200069006d0070007200650073006900f3006e00200064006500200063006f006e006600690061006e007a006100200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d00650072006300690061006c00650073002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <FEFF004e006100750064006f006b0069007400650020016100690075006f007300200070006100720061006d006500740072007500730020006e006f0072011700640061006d00690020006b0075007200740069002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b0075007200690065002000740069006e006b006100200070006100740069006b0069006d006100690020007000650072017e0069016b007201170074006900200069007200200073007000610075007300640069006e0074006900200076006500720073006c006f00200064006f006b0075006d0065006e007400750073002e0020002000530075006b0075007200740069002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400610069002000670061006c006900200062016b007400690020006100740069006400610072006f006d00690020004100630072006f006200610074002000690072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610072002000760117006c00650073006e0117006d00690073002000760065007200730069006a006f006d00690073002e> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043d0430043404560439043d043e0433043e0020043f0435044004350433043b044f043404430020044204300020043404400443043a0443002004340456043b043e04320438044500200434043e043a0443043c0435043d044204560432002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси