Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є на сегменті полярної осі

Методом порівняння розв'язків, побудованих на сегменті полярної осі з двома точками спряження для сепаратної системи із диференціальних рівнянь Ейлера, Лежандра та Фур'є для модифікованих функцій методом функцій Коші й методом відповідного скінченного гібридного інтегрального перетворення,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Ленюк, М.П., Нікітіна, О.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48884
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є на сегменті полярної осі / М.П. Ленюк, О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 151-164. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-48884
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-488842013-09-06T03:05:42Z Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є на сегменті полярної осі Ленюк, М.П. Нікітіна, О.М. Методом порівняння розв'язків, побудованих на сегменті полярної осі з двома точками спряження для сепаратної системи із диференціальних рівнянь Ейлера, Лежандра та Фур'є для модифікованих функцій методом функцій Коші й методом відповідного скінченного гібридного інтегрального перетворення, підсумовано поліпараметричну сім'ю функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є. The method of comparison solutions, built on the segment polar axis with two points of interface for separate system of differential equations of Euler, Legendre and Fourier modified functions by Cauchy functions and by age-dpovidnoho finite hybrid integral transformation, summarized polyparametric family functional rows by own elements hybrid differential Euler-Legendre-Fourier. 2012 Article Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є на сегменті полярної осі / М.П. Ленюк, О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 151-164. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48884 517.52/524:517.58/589 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Методом порівняння розв'язків, побудованих на сегменті полярної осі з двома точками спряження для сепаратної системи із диференціальних рівнянь Ейлера, Лежандра та Фур'є для модифікованих функцій методом функцій Коші й методом відповідного скінченного гібридного інтегрального перетворення, підсумовано поліпараметричну сім'ю функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є.
format	Article
author	Ленюк, М.П. Нікітіна, О.М.
spellingShingle	Ленюк, М.П. Нікітіна, О.М. Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є на сегменті полярної осі Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Ленюк, М.П. Нікітіна, О.М.
author_sort	Ленюк, М.П.
title	Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є на сегменті полярної осі
title_short	Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є на сегменті полярної осі
title_full	Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є на сегменті полярної осі
title_fullStr	Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є на сегменті полярної осі
title_full_unstemmed	Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є на сегменті полярної осі
title_sort	підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора ейлера-лежандра-фур'є на сегменті полярної осі
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48884
citation_txt	Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера-Лежандра-Фур'є на сегменті полярної осі / М.П. Ленюк, О.М. Нікітіна // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 151-164. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT lenûkmp pídsumovuvannâpolíparametričnihfunkcíonalʹnihrâdívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatoraejleraležandrafurênasegmentípolârnoíosí AT níkítínaom pídsumovuvannâpolíparametričnihfunkcíonalʹnihrâdívzavlasnimielementamigíbridnogodiferencíalʹnogooperatoraejleraležandrafurênasegmentípolârnoíosí
first_indexed	2025-07-04T09:39:26Z
last_indexed	2025-07-04T09:39:26Z
_version_	1836708755061866496
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 151 УДК 517.52/524:517.58/589 М. П. Ленюк, д-р фіз.-мат. наук, професор, О. М. Нікітіна, канд. фіз.-мат. наук Чернівецький факультет Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут», м. Чернівці ПІДСУМОВУВАННЯ ПОЛІПАРАМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РЯДІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЕЙЛЕРА — ЛЕЖАНДРА — ФУР'Є НА СЕГМЕНТІ ПОЛЯРНОЇ ОСІ Методом порівняння розв'язків, побудованих на сегменті полярної осі з двома точками спряження для сепаратної систе- ми із диференціальних рівнянь Ейлера, Лежандра та Фур'є для модифікованих функцій методом функцій Коші й методом від- повідного скінченного гібридного інтегрального перетворен- ня, підсумовано поліпараметричну сім'ю функціональних ря- дів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера — Лежандра — Фур'є. Ключові слова: функції Коші, функції Гріна, функції впли- ву, головні розв'язки, умова однозначної розв'язності, власні елементи, гібридне інтегральне перетворення, основна то- тожність, логічна схема. Постановка проблеми. Тонкостінні елементи конструкцій ком- позитного типу, як правило, знаходяться в короткочасовому стаціо- нарному режимі, на який вони виходять після стрибкоподібного тем- пературного або силового навантаження. Вивчення їх фізико- технічних характеристик приводить до задач механіки (термомехані- ки) кусково-однорідних середовищ. Практика показує, що навіть у найпростіших випадках величини, які характеризують напружений стан композита, виражаються у вигляді поліпараметричного функці- онального ряду, який може бути умовно збіжним навіть тоді, коли зображає аналітичну функцію. Звідси виникає природне бажання за- мінити функціональний ряд його результатом збіжності (функцією), що особливо важливо при інженерних розрахунках. Підсумовуванню однієї сім'ї функціональних рядів присвячена пропонована стаття. Основна частина. Побудуємо обмежений на множині 2 0 1 1 2 2 3 0 3{ : ( , ) ( , ) ( , ); 0, }I r r R R R R R R R R       розв'язок се- паратної системи звичайних диференціальних рівнянь Ейлера, Лежандра та Фур'є для модифікованих функцій  * 2 1 1 1 0 1( ) ( ), ( , )B q u r g r r R R     , © М. П. Ленюк, О. М. Нікітіна, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 152  2 ( ) 2 2 2 1 2( ) ( ), ( , )q u r g r r R R     , (1) 2 2 3 3 3 2 32 ( ) ( ), ( , ) d q u r g r r R R dr           з крайовими умовами 0 3 0 0 3 3 11 11 1 0 22 22 3( ) , ( )r R r R R d d u r g u r g dr dr                    (2) та умовами спряження 1 1 2 2 1( ) ( ) , , 1,2. k k k k k j j k j j k r R jk d d u r u r j k dr dr                         (3) У рівностях (1) беруть участь диференціальні оператори Ейлера B [1], Лежандра ( ) [2] та Фур'є 2 2 d dr [1]: 2 2 2 2 2 22 1 2 ( ) 2 (2 1) , 1 1 , 4 2 1 1 d d B r r drdr d d cthr dr chr chrdr                       1 2 1 2( ) ( , ), 0, 2 1 0          . Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: 0 11 0  , 0 11 0  , 3 22 0  , 3 22 0  , 0 0 11 11\| \| 0   , 3 3 22 22 0   ; 0k jm  , 0k jm  , 1 2 0k kc c  , 2 1 1 2 k k k k jk j j j jc      ; , , 1, 2j m k  . Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Ейлера * 2 1( ) 0B q v   утворюють модифіковані функції Бесселя 1qr   та 1qr   [1], фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Лежандра 2 ( ) 2( ) 0q v   утворюють функції 2 ( ) ( )P chr  та 2 ( ) ( )L chr  [2], фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Фур'є 2 2 32 ( ) 0 d q v dr   утворюють функції 3chq r та 3shq r [1]. Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє побуду- вати розв'язок крайової задачі (1)—(3) методом функцій Коші [1; 3]: 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 1( ) ( , ) ( ) R q q R u r A r B r E r g d             , Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 153 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) R R u r A P chr B L chr E r g sh d           , (4) 3 2 3 3 3 3 3 3 3( ) ( , ) ( ) R R u r A chq r B shq r E r g d      . У рівностях (4) беруть участь функції Коші [1; 3]: 0* 1* ;11 1 ;11 1 0 1 1 0* 1* 1 ;11 1 0 1 ;11 1 ;11 1 0 1 ( , ) ( , ), ,1 ( , ) 2 ( ; ; ) ( , ) ( , ), , q r q R r R E r q q R R q q r R r R                       (5) 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) 1 2;11 ( ),1 ( ),2 1 2 1 2;12 ;11 ( ),1 ( ),2 1 2 1 2;12 ;11 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), , ( , ) ( , ), , B q E r chR chR F chR chr F chR ch R r R F chR ch F chR chr R r R                           (6) 3 3 12 3 2 3 3 2 3 12 3 2 3 22 3 3 3 2 3 2 3 12 3 2 3 22 3 3 3 2 3 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), , ( , ) ( , ), . E r q q R q R q R q r q R q R r R q R q q R q r R r R                    (7) Крайові умови (2) та умови спряження (3) для визначення вели- чин jA , ( 1,3)jB j  дають неоднорідну алгебраїчну систему із шести рівнянь: 01 02 ;11 1 0 1 ;11 1 0 1 0( , ) ( , ) ,Z q R A Z q R B g   2 2 ( ),11 ( ),1211 12 ; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 12; 2 ; 2( , ) ( , ) ( ) ( ) ,j j j jj jZ q R A Z q R B Z chR A Z chR B G            2 2 ( ),21 ( ),22 21 22 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 23; 1 ; 1( ) ( ) ( ) ( ) ,j j j jj jZ chR A Z chR B V q R A V q R B G          31 32 22 3 3 3 22 3 3 3( ) ( ) .RV q R A V q R B g  (8) У системі (8) беруть участь функції 1 0 2 2 1 2 0* ;11 1 2 111 12 12 1 ;11 1 0 11 ( ),2 2;1121 2( ) 1 1 2;11 ( , ) ( ) ( ; , ) ( , ) ( ) , ( , ) R R R R qc G g d q R RR F chR chc g sh d shR chR chR                             32 2 1 22 ( ),1 3 1;12 22 3 3 312 23 2 22 3( ) 2 12 3 2 3 31 2;11 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )( , ) RR R R F chR ch q R qc G g sh d c g d shR q R q RchR chR                 Математичне та комп’ютерне моделювання 154 та символ Кронекера 2j ( 12 220, 1   ). У рівностях (5)—(7) прийняті позначення: 01 12 02 11 ; 1 1 0 1 ;11 1 0 ; 1 1 1 ;11 1 0 ; 1 1 1( ; , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ); 1,2;j j jq R R Z q R Z q R Z q R Z q R j        2 2 2 2 2 ( ) ( );11 ( );22 ( );12 ( );21 1 2 1 2 1 2; ; 2 ; 1 ; 2 ; 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( );jk j k j kchR chR Z chR Z chR Z chR Z chR            21 32 22 31 2 3 2 3 3 2 3 2 22 3 3 2 3 2 22 3 3( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 1, 2j j jq R q R V q R V q R V q R V q R j k    . Всі інші функції загальновідомі [4]. Введемо до розгляду функції: 2 2 ( ) ( )( ) ; ;11 1 0 1 1 2 ;21 1 0 1 1 2;2 ;1( ) ( ; , ) ( , ) ( ; , ) ( , )j j jA q q R R chR chR q R R chR chR          , ),,(),(),(),()( 21 )( 2;33231221 )( 1;332322);( 22 chRchRRqRqchRchRRqRqqB jjj      2 2 ( ) ( ),1 ( ),1 ;21 1 0 1 1 ;11 1 0 1 1;1 ;12 ;22( , ) ( ; , ) ( , ) ( ; , ) ( , )r q q R R F chR chr q R R F chR chr          , 2 2 ( ),2 ( ),2 ( );2 12 3 2 3 3 2 22 3 2 3 3 2;21 ;11( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )r q q R q R F chR chr q R q R F chR chr        . Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності крайової задачі (1)—(3): для будь-якого ненульового вектора 1 2 3{ ; ; }q q q q   ви- значник алгебраїчної системи (8) відмінний від нуля [5]: ( ) ( )( ) 22 3 2 3 3 12 3 2 3 3;1 ;2( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )q A q q R q R A q q R q R          ;11 1 0 1 ( );2 ;21 1 0 1 ( );1( ; , ) ( ) ( ; , ) ( ) 0q R R B q q R R B q        . (9) Визначимо головні розв'язки крайової задачі (1)—(3): 1) породжені крайовою умовою в точці 0r R функції Гріна ( ) 1* 1* ( );2 ;11 1 ( );1 ;21 1;11 ( ) 1 ( , ) [ ( ) ( , ) ( ) ( , )] ( ) W r q B q q r B q q r q             , (10) ( );2( ) 1 11 ;12 2 1 ( ) 1 ( , )2 ( , ) ( ) r qq c W r q R q           , 3 ( ) 22 3 3 31 11 12 ;13 2 1 ( ) ( ) 21 ( , )2 ( , ) ( ) q R q rq c c W r q B shRR q            ; 2) породжені крайовою умовою в точці 3r R функції Гріна 0* ;11 1( ) 21 22 3 ;31 ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) q rc c q W r q B q shR q         , ( ) ( )22 3 ;32 ;1( ) ( , ) ( , ) ( ) c q W r q r q q         , (11) ( ) ( ) ( )2 2 12 3 2 3 22 3 2 3;33 ;2 ;1( ) 1 ( , ) [ ( ) ( , ) ( ) ( , )] ( ) W r q A q q R q r A q q R q r q             ; Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 155 3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна ( );2 ( );1( );1 ( );10* 0* ;11 1 ;11 1;11 ;21( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( ) ( ) B q B q R r q q r R r q q r q q                 , ( );1 022 3 2 3 321 ;11 1;12 ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) q R q Rc R r q q r B q shR q           , ( );1 21 ;22 ( ) 1 ( , ) c R r q B shR      012 3 2 3 3 ;11 1( ) ( , ) ( , ) ( ) q R q R q r q      , ;21 1 0 1( );2 ( );2;11 ( ) ( ; , ) ( , ) ( , ) ( ) q R R R r q r q q         , (12) ;11 1 0 1( );2 ( );2;21 ( ) ( ; , ) ( , ) ( , ) ( ) q R R R r q r q q          , ( );2 ( )22 3 2 3 3 ;12 ;1( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) q R q R R r q r q q           , ( );2 ( )12 ;22 ;1( ) ( , ) ( , ) ( ) R r q r q q          , 12 ;21 1 0 1( );3 3 22 3 3 3;11 ( ) ( ) 2 ( , ) ( , ) ( , ), ( ) c q R R R r q q R q r B shR q          ( );3 312 ;11 1 0 1 22 3 3 3;21 ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( ; , ) ( , ), ( ) c R r q q R R q R q r B shR q           ( ) ;2( );3 3 22 3 3 3;12 ( ) ( ) ;1( );3 3 22 3 3 3;22 ( ) ( ) ( , ) ( , ), ( ) ( ) ( , ) ( , ); ( ) A q R r q q R q r q A q R r q q R q r q                  4) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу ( )0* ;11 1 0 1;11( ) ;11 ( )0* 1 ;11 1 0 1;11 ( , ) ( , ), ,1 ( , , ) 2 ( , ) ( , ), , q r W q R r R H r q q q W r q R r R                       0* ;11 1( ) 21 ( );2;12 ( ) 1 ( , ) ( , , ) ( , ) ( ) q rc H r q q shR q           , 0* ;11 1( ) 321 22 22 3 3 3;13 ( ) ( ) 1 ( , ) ( , , ) ( , ), ( ) q rc c H r q q R q B shR q            Математичне та комп’ютерне моделювання 156 0* ;11 1( ) 11 ( );2;21 2 1 ( ) 1 ( , ) ( , , ) ( , ) ( ) qc H r q r q R q             , ( ) ( );2 1 2;1( ) 2( ) ;22 ( ) ( ) ( );2 1 2;1 ( , ) ( , ), ,( ) ( , , ) ( ) ( , ) ( , ), , r q q R r RB q H r q q q r q R r R                         (13) ( ) ( ) 322 22 3 3 3;23 ;1( ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) c H r q r q q R q q           , ( ) 11 12 ;31 2 1 1 ( ) 2 ( , , ) c c H r q R B shR         0* ;11 1 3 22 3 3 3( ) ( , ) ( , ) ( ) q q R q r q       , ( ) ;1( ) 312 22 3 3 3;32 ( ) 2 ( , ) ( , , ) ( , ) ( ) qc H r q q R q r shR q            , ( ) 3 22 3 3 3 2 3;33( ) ;33 ( ) 3 3 22 3 3 3 2 3;33 ( , ) ( , ), ,1 ( , , ) ( , ) ( , ), . W r q q R q R r R H r q q W q q R q r R r R                     У результаті однозначної розв'язності алгебраїчної системи (8) й пі- дстановки отриманих за правилами Крамера [5] значень jA , ( 1,3)jB j  у формули (4) маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1)—(3): 1 2 ( ) ( ); ( ) 0;1 ;3; , 1 3 ( ) ; 1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( ) ( ) , 1,3, i i j j mk Rj jmk m k R ji i i i R u r W r q g R r q W r q g H r q g d j                          (14) де 2 1 1 2 3( ) , ( ) , ( ) 1r r r shr r     . Побудуємо тепер розв'язок крайової задачі (1)—(3) методом гіб- ридного інтегрального перетворення, породженого на множині 2I гібридним диференціальним оператором (ГДО) ( ) * 0 1 1 2 2 ( ) 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , M r R R r B r R d R r r R R r dr                       (15) де ( )x — одинична функція Гевісайда [3]. Диференціальний оператор ( )M   самоспряжений і на множині 2I не має особливої точки. Отже, спектр його неперервний і дискре- тний [6]. Власні елементи ГДО ( )M   знайдемо як ненульовий розв'я- зок спектральної задачі Штурма — Ліувілля, породженої ГДО ( )M   . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 157 Нехай  — спектральний параметр (власне число), а функції ( ) ; ( , )jV r   — компоненти спектральної вектор-функції 3 ( ) ( ) 1 ; 1 ( , ) ( ) ( ) ( , ).j j j j V r r R R r V r           (16) При цьому функції ( ) ; ( , )jV r   повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння   ( )* 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1;1 ( , ) 0, ( , ), , 0B b V r r R R b k k          ,   ( )2 2 2 2 2 ( ) 2 1 2 2 2 2;2 ( , ) 0, ( , ), , 0b V r r R R b k k           , (17) 2 ( )2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3;32 ( , ) 0, ( , ), , 0 d b V r r R R b k k dr                 , однорідні крайові умови 0 3 ( ) ( )0 0 3 3 11 11 22 22;1 ;3( , ) 0, ( , ) 0r R r R d d V r V r dr dr                         (18) та однорідні умови спряження ( ) ( ) 1 1 2 2; ; 1( , ) ( , ) 0, , 1, 2. k k k k k j j j j r Rk k d d V r V r dr dr j k                             (19) Наявність фундаментальної системи розв'язків ( 1cos( ln )r b r та 1sin( ln )r b r для першого рівняння, * 2 ( ) ( )A chr  та * 2 ( ) ( )B chr  для другого рівняння та 3cosb r й 3sin b r для третього рівняння; ( * 2 21/ 2 ib    ) в силу лінійності спектральної задачі (17)—(19) до- зволяє зобразити функції ( ) ; ( , )jV r   як лінійну комбінацію фундамен- тальної системи розв'язків: ( ) 1 1 1 1 0 1;1 ( , ) cos( ln ) sin( ln ), ( , ),V r A r b r B r b r r R R         * * 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2;2 ( , ) ( ) ( ), ( , )V r A A chr B B chr r R R         , (20) ( ) 3 3 3 3 2 3;3 ( , ) cos sin , ( , )V r A b r B b r r R R      . Крайові умови (18) та умови спряження (19) для визначення ше- сти величин , ( 1,3)j jA B j  дають однорідну алгебраїчну систему із шести рівнянь: 01 02 ;11 1 0 1 ;11 1 0 1( , ) ( , ) 0,Y b R A Y b R B   Математичне та комп’ютерне моделювання 158 * * 2 2 ( ),11 ( ),1211 12 ; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 1 2 1 2; 2 ; 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) 0j j j j Y b R A Y b R B Y chR A Y chR B         , 1, 2j  ; * * 2 2 ( ),21 ( ),22 21 22 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3; 1 ; 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,j jj j Y chR A Y chR B v b R A v b R B       (21) 31 32 22 3 3 3 22 3 3 3( ) ( ) 0v b R A v b R B  . Введемо до розгляду функції: 01 12 02 11 ; 1 1 0 1 ;11 1 0 ; 1 1 1 ;11 1 0 ; 1 1 1( ; , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ); 1,2j j jb R R Y b R Y b R Y b R Y b R j        ; * * * * * 2 2 2 2 2 ( ) ( ),11 ( ),22 ( ),12 ( ),21 1 2 1 2 1 2; ; 2 ; 1 ; 2 ; 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) jk j k j k chR chR Y chR Y chR Y chR Y chR            ; 21 32 22 31 2 3 2 3 3 2 3 2 22 3 3 2 3 2 22 3 3( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2j j jb R b R v b R v b R v b R v b R j    ; * * 2 2 ( ) ( )( ) ; ;11 1 0 1 1 2 ;21 1 0 1 1 2;2 ;1 ( ) ( ; , ) ( , ) ( ; , ) ( , )j j j a b R R chR chR b R R chR chR           . Для того, щоб алгебраїчна система (21) мала ненульові розв'яз- ки, необхідно і досить, щоб її визначник дорівнював нулю [5]: ( ) ( )( ) 22 3 2 3 3 12 3 2 3 3;1 ;2( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) 0.a b R b R a b R b R            (22) Ми одержали трансцендентне рівняння для обчислення власних чисел n ГДО ( )M   . Підставимо в систему (21) n  ( ( ) )j n jnb b  й відкинемо останнє рівняння внаслідок лінійної залежності. Алгебраїчна система з п'яти рівнянь, що залишилися, сумісна [5]. Її розв'язок будується стандартним способом. Припустимо, що 02 1 0 ;11 1 0( , )nA A Y b R , 01 1 0 ;11 1 0( , )nB A Y b R  , де 0 0A  підлягає визначенню. Перше рівняння системи перетворюється в тотожню рівність. Для знаходження 2A , 2B маємо алгебраїчну систему: * * 2 2 ( ),11 ( ),12 1 2 1 2 0 ; 1 1 0 1; 2 ; 2 ( ) ( ) ( ; , ), 1, 2 n n j nj j Y chR A Y chR B A b R R j        (23) Оскільки визначник системи (23) 1 ( ) 21 ( ) 2 1( ) ( ( ) ) 0n nq c s b shR    , то алгебраїчна система (23) має єдиний розв'язок: * * 2 2 2 ( ),12 ( ),120 ;21 1 0 1 1 ;11 1 0 1 1;12 ;22 ( ) ( ; , ) ( ) ( ; , ) ( ) , ( ) n n n n n A A b R R Y chR b R R Y chR q                (24) * * 2 2 2 ( ),11 ( ),110 ;11 1 0 1 1 ;21 1 0 1 1;22 ;12 ( ) ( ; , ) ( ) ( ; , ) ( ) . ( ) n n n n n B A b R R Y chR b R R Y chR q                Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 159 При відомих 2A , 2B для визначення 3A , 3B маємо алгебраїчну систему з двох рівнянь: 21 22 1 ( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 0 ( ) ;( ) ( ) [ ( )] ( ); 1, 2.j n j n n j nv b R A v b R B A q a j      (25) Алгебраїчна система (25) має єдиний розв'язок [5]: ( ) ( ) 0 ( ) 22 3 3 3;2 ;1( ) , ( ), ( )n n n nA q c b A B            ; (26) ( ) 2 ( ) 2( ) ; 3 2 3 2;1 22 ;2 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2j j j n n n n na v b R a v b R j          . Підставивши визначені формулами (24) і (26) величини , ( 1,3)j jA B j  у рівності (20), одержуємо функції: ( ) 02 ( ) 22 3 ;11 1 0 1;1 ( , ) ( ) [ ( , ) cos( ln )n n n n nV r q c b Y b R r b r        ( )01 ;11 1 0 1 22 3 ;11 1 0 1;2( , ) sin( ln )]; ( , ) [ ( ; , )n n n n nY b R r b r V r c b b R R       * * 2 2 ( ),1 ( ),1 1 ;21 1 0 1 1;22 ;12 ( , ) ( ; , ) ( , )]; n n nF chR chr b R R F chR chr     (27) ( ) ( ) ( ) 3 3;3 ;2 ;1( , ) ( ) cos( ) ( )sin( )n n n n nV r b r b r           ; * * * * * 2 2 2 2 2 ( ),1 ( ),11 ( ) ( ),12 ( ) 1 1 1; 2 ; 2 ; 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2 n n n n nj j j F chR chr Y chR B chr Y chR A chr j            . Згідно рівності (16) спектральна вектор-функція ( ) ( , )nV r   стає відомою. Визначимо числа (2 1)11 12 1 1 1 21 22 2 c c shR R c c shR    , 12 2 22 2 1c c shR   , 3 1  , вагову функцію 2 1 0 1 1 1 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r R R r r r R R r shr r R R r                      (28) та квадрат норми спектральної вектор-функції 3 0 1 3 ( )( ) 2 ( ) 2 2 ; 1 \|\| ( , ) \|\| [ ( , )] ( ) [ ( , )] ( ) . k k R R n n n k kk kR R V r V r r dr V r r dr               (29) Наявність вагової функції ( )r та спектральної вектор-функції ( ) ( , )nV r   з її квадратом норми ( ) 2\|\| ( , ) \|\|nV r   дозволяє визначити пряме ( )H   та обернене ( )H    скінченне гібридне інтегральне пере- творення (СГІП), породжене на множині 2I ГДО ( )M   : 3 0 ( ) ( )[ ( )] ( ) ( , ) ( ) , R n n R H g r g r V r r dr g        (30) Математичне та комп’ютерне моделювання 160 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( , ) [ ] ( ). \|\| ( , ) \|\| n n n n n V r H g g g r V r               (31) Згідно з роботою [6] маємо твердження: 1) корені n трансцендентного рівняння ( ) ( ) 0    утворюють для ГДО ( )M   дискретний спектр; 2) система  ( ) 1 ( , )n n V r     власних функ- цій ортогональна на множині 2I з вагового функцією ( )r , повна й за- мкнена; 3) будь-яка вектор-функція 1 2 3( ) { ( ); ( ); ( )}g r g r g r g r з області визначення ГДО ( )M   зображається за системою  ( ) 1 ( , )n n V r     абсолю- тно й рівномірно збіжним на множині 2I рядом Фур'є 3 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) . \|\| ( , ) \|\| R n n n nR V r g r g V d V r                    (32) У подальшому перейдемо до ортонормованої системи власних функцій    1( ) ( ) ( ) 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) .n n n n n v r V r V r              Ряд Фур'є (32) має спрощений вигляд: 3 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) R n n n R g r g v d v r               . (33) При цьому формули (30), (31) набувають вигляду: 3 0 ( ) ( )[ ( )] ( ) ( , ) ( ) , R n n R H g r g r v r r dr g        (34) ( ) ( ) 1 [ ] ( , ) ( ).n n n n H g g v r g r           (35) Введемо до розгляду величини та функції: 2 1 1 1 1 1 1 11 2 2 2 12,d R c d shR c       ; 1 0 ( ) 2 1 1 1 1;1( ) ( , ) R n n R g g r v r r dr       , 2 1 ( ) 2 2 2;2( ) ( , ) R n n R g g r v r shrdr     , 3 2 ( ) 3 3 3;3( ) ( , ) R n n R g g r v r dr     , ( ), ( ) 2 2; 2 ; 1( ) ( , ) , , 1, 2 k k k k n i i n r Ri k d Z v r i k dr                . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 161 В основі застосування правил (34), (35) знаходиться основна то- тожність СГІП ГДО ( )M   [6]: 3 ( )( ) ( ) 2 2 0 1 2 1 11 0 1 0 0;1 1 [ [ ( )]] ( ) ( , )n n i in n i H M g r g k g v R R g                  2 ( ) ( ), ( ),3 1 22 3 3 2 1;3 ;12 ;22 1 ( ) ( , ) [ ( ) ( ) ].k k n R k n k n k k v R g d Z Z                (36) Побудовані правила (34), (35) та (36) складають математичний апарат для розв'язання крайової задачі (1)—(3) за відомою логічною схемою [7]. Запишемо систему (1) у матричній формі:     * 2 1 1 1 2 ( ) 2 2 2 2 3 2 3 32 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) B q u r g r q u r g r g r d q u r dr                                (37) Інтегральний оператор ( )H   згідно правила (34) зобразимо у ви- гляді операторної матриці-рядка: 1 2 0 1 ( ) ( )( ) 2 1 1 2;1 ;2[ ] ( , ) ( , ) R R n n R R H v r r dr v r shrdr                 3 2 ( ) 3;3 ( , ) . R n R v r dr        (38) Застосуємо операторну матрицю-рядок (38) за правилом мно- ження матриць до системи (37). Внаслідок основної тотожності (36) одержуємо алгебраїчне рівняння: ( ) ( )2 2 0 1 2 1 3 1 11 0 1 0 0 22 3 3;1 ;3( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )n n n n n Rq u g v R R g v R g                  2 ( ); ( ); 2 2 2 2 2 1 1 2 3;12 ;22 1 [ ( ) ( ) ]; max{ ; ; }.k k k n k n k k d Z Z q q q q           Звідси знаходимо, що функція ( ) ( ) 0 3;1 ;32 1 1 0 02 2 0 2 2 3 2 2 11 22 ( ); ( );2 ;12 ;22 2 12 2 2 2 1 ( , ) ( , ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) . n nn n R n n n k k n n k k k k n n v R v Rg u R g g q q q Z Z d q q                                            (39) Математичне та комп’ютерне моделювання 162 Оператор ( )H    згідно правила (35) як обернений до (38) зобра- зимо у вигляді операторної матриці-стовпця: ( ) ;1 1 ( )( ) ;2 1 ( ) ;3 1 ( , ) [ ] ( , ) . ( , ) n n n n n n v r H v r v r                                            (40) Застосуємо операторну матрицю-стовпець (40) за правилом множення матриць до матриці-елемента [ ]nu , де функція nu визна- чена формулою (39). У результаті елементарних перетворень маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1)—(3): 1 ( )3 ; ( ) ;2 2 1 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) k k R j n j n k k kk k n nR v r u r v g d q                            ( ) 0;1 ( ) 2 1 ; 1 0 00 2 2 1 11 ( ) 3;3 ( ) ;3 2 2 1 22 ( , ) ( , ) ( )( ) ( , ) ( , ) ( ) n j n n n n j n R n n v R v r R g q v R v r g q                                           (41) ( ),2 ;12 ( ) ; 22 2 1 1 ( ), ;22 ( ) ; 12 2 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) , 1,3. k n k j n k k n n k n j n k n n Z d v r q Z v r j q                                            Порівнюючи розв'язки (14) та (41) в силу теореми єдиності, оде- ржуємо такі формули підсумовування поліпараметричних функціо- нальних рядів: ( ) 0;1 ( )( ) 2 1 1 ; 1 0 ;10 2 2 1 11 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 1,3 ( )( ) n j n j n n v R v r R W r q j q                     , (42) ( ) 3;3 ( )( ) 1 ; 3 3;33 2 2 1 22 ( , ) ( , ) ( , ) 1,3, 1 ( ) n j n j n n v R v r W r q j q                    , (43) ( ) ; ( ), ( ),1 ;12 ;22 2 1 ( , ) ( ) ( , ); 1,2; 1,3,j n k j n k k n n v r Z d R r q k j q                  (44) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 163 ( ) ; ( ), ( ),1 ;22 ;12 2 1 ( , ) ( ) ( , ); 1,2; 1,3,j n k j n k k n n v r Z d R r q k j q                   (45) ( ) ; ( ) ( )1 ; ;2 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ); , 1,3. j n n kk jk n n v r v H r q j k q                    (46) Підсумком виконаного дослідження є твердження. Теорема. Якщо вектор-функція * 1 ( ) 2( ) { [ ( )]; [ ( )];f r B g r g r   3 ( )}g r неперервна на множині 2I , функції ( )jg r задовольняють кра- йові умови (2) та умови спряження (3) і виконується умова (9) однознач- ної розв'язності крайової задачі (1)—(3), то мають місце формули (42)— (46) підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за влас- ними елементами ГДО ( )M   , визначеного рівністю (15). Зауваження 1. Якщо 2 2 1q q , то 2 1 0k  , 2 2 2 2 1 2 0k q q   , 2 2 2 3 1 3 0k q q   ; якщо 2 2 2 0q q  , то 2 2 2 1 2 1 0k q q   , 2 2 0k  , 2 2 2 3 2 3 0k q q   ; якщо 2 2 3 0q q  , то 2 2 2 1 3 1 0k q q   , 2 2 2 3k q  2 2 0q  , 2 3 0k  . Зауваження 2. Оскільки праві частини рівностей (42)—(46) не залежать від нерівностей 2 2( ) 0j mq q  , то можна при необхідності покласти 2 2 2 2 1 2 3 0 0q q q q    . Зауваження 3. Використані в цій статті функції загальновідомі [4; 7]. Висновок. Одержані формули (42)—(46) підсумовування функ- ціональних рядів поповнюють математичний довідник у розділі «Під- сумовування функціональних рядів». Вони можуть бути використані при вивченні стаціонарного стану композитів у випадку теплового або механічного миттєвого удару, при доведенні існування розв'язку мішаних задач математичної фізики неоднорідних середовищ тощо. Список використаних джерел: 1. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М. : Физматгиз, 1959. — 468 с. 2. Конет І. М. Інтегральні перетворення типу Мелера—Фока / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2002. — 246 с. 3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. 4. Ленюк М. П. Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридних диференціальних операторів / М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2011. — Том VІІI. — 332 с. 5. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. — М. : Наука, 1971. — 432 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 164 6. Комаров Г. М. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку / Г. М. Комаров, М. П. Ленюк, В. В. Мороз. — Чернівці : Прут, 2001. — 228 с. 7. Ленюк М. П. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені класи- чними диференціальними операторами математичної фізики / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економічна думка, 2012. — Т. 2. — 308 с. The method of comparison solutions, built on the segment polar axis with two points of interface for separate system of differential equations of Euler, Legendre and Fourier modified functions by Cauchy functions and by age-dpovidnoho finite hybrid integral transformation, summarized polyparametric family functional rows by own elements hybrid differential Euler — Legendre — Fourier. Key words: Cauchy functions, Green's functions, features influence, major interchanges, the unique solvability, custom elements, hybrid inte- gral transformation, then main-tozhnist, logic circuit. Отримано: 14.09.2012 УДК 519.71:510.22:629.78 М. М. Личак, д-р фіз.-мат. наук, професор, А. В. Кравченко, аспірантка Інститут космічних досліджень НАН та ДКА України, м. Київ МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ ДИСКРЕТНОГО КЕРУВАННЯ ОРІЄНТАЦІЄЮ КОСМІЧНОГО АПАРАТУ Моделюється процес дискретного керування неперервним обертовим рухом (навколо центру мас) космічного апарату (КА). Для цього використовується математична модель обертового ру- ху твердого тіла у вигляді системи із шести нелінійних диферен- ціальних рівнянь, а також апроксимаційна модель процесу дис- кретного керування цим рухом у вигляді системи нелінійних різ- ницевих рівнянь. Побудоване оптимальне за швидкодією дискре- тне керування для переводу системи в режим орієнтації, а також стабілізуюче обмежене за величиною керування. Проведене мо- делювання роботи замкнутої системи підтвердило ефективність керування при завадах вимірювань, та навіть коли не всі парамет- ри орієнтації вимірюються. Ключові слова: математичне моделювання, дискретне ке- рування, космічний апарат, обертовий рух, режим орієнтації, рі- зницеві рівняння, оптимізація, стабілізація, завади вимірювань. Вступ. Розглядається процес дискретного керування неперервним обертовим рухом (навколо центру мас) космічного апарату (КА), коли він рухається навколо Землі по круговій орбіті [1, с. 31—33; 2, с. 135— 136; 3. с. 48—69; 4, с. 160—173]. При цьому вимірювання параметрів © М. М. Личак, А. В. Кравченко, 2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c00200064006500740061006c006a006500720065007400200073006b00e60072006d007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500640073006b007200690076006e0069006e006700200061006600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e007400720075002000760069007a00750061006c0069007a00610072006500610020015f006900200074006900700103007200690072006500610020006c0061002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f0061007201030020006100200064006f00630075006d0065006e00740065006c006f007200200064006500200061006600610063006500720069002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Institution

Ähnliche Einträge