Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь

Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь

Отримано достатні умови експоненціальної стійкості в середньому квадратичному тривіального розв’язку задачі Коші для квазілінійного стохастичного диференціально-функціонального рівняння за допомогою усередненого рівняння....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2012
Автори: Ясинський, В.К., Савчук, Б.В.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48894
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь / В.К. Ясинський, Б.В. Савчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 265-283. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-48894
record_format dspace
spelling irk-123456789-488942013-09-06T03:02:08Z Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь Ясинський, В.К. Савчук, Б.В. Отримано достатні умови експоненціальної стійкості в середньому квадратичному тривіального розв’язку задачі Коші для квазілінійного стохастичного диференціально-функціонального рівняння за допомогою усередненого рівняння. Sufficient conditions for exponential stability in mean square trivial solution of the Cauchy problem for almost linear stochastic differentialfunctional equation using the averaged equations. 2012 Article Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь / В.К. Ясинський, Б.В. Савчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 265-283. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48894 519.217;519.718 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Отримано достатні умови експоненціальної стійкості в середньому квадратичному тривіального розв’язку задачі Коші для квазілінійного стохастичного диференціально-функціонального рівняння за допомогою усередненого рівняння.
format Article
author Ясинський, В.К.
Савчук, Б.В.
spellingShingle Ясинський, В.К.
Савчук, Б.В.
Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet Ясинський, В.К.
Савчук, Б.В.
author_sort Ясинський, В.К.
title Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь
title_short Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь
title_full Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь
title_fullStr Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь
title_full_unstemmed Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь
title_sort теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2012
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/48894
citation_txt Теоретичні основи методу усереднення для квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівнянь / В.К. Ясинський, Б.В. Савчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 7. — С. 265-283. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv AT âsinsʹkijvk teoretičníosnovimetoduuserednennâdlâkvazílíníjnihstohastičnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹ
AT savčukbv teoretičníosnovimetoduuserednennâdlâkvazílíníjnihstohastičnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹ
first_indexed 2025-07-04T09:40:17Z
last_indexed 2025-07-04T09:40:17Z
_version_ 1836708808722743296
fulltext Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 265 8. Cherniha R. Conditional symmetries for systems of PDEs: new definition and its application for reaction-diffusion systems / R. Cherniha // J. Phys. A: Math. Theor. — 2010. — Vol. 43. 9. Cherniha R. Conditional symmetries and exact solutions of nonlinear reaction- diffusion systems with non-constant diffusivities / R. Cherniha, V. Davydovych // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. — 2012. — Vol. 17. — P. 3177–3188. Exact solutions and their application for a class of two-component reaction-diffusion (RD) systems with constant diffusivities are studied. Using the recently introduced notion of Q -conditional symmetries of the first type (R. Cherniha J. Phys. A: Math. Theor., 2010. vol. 43., 405207), some RD systems admitting such symmetry are derived. The symmetries found for reducing RD systems to ODE systems and finding exact solu- tions are applied. The application of the solutions obtained for solving a model arising in mathematical biology is presented. Key words: reaction-diffusion system, predator-prey type model, conditional symmetry, exact solution. Отримано: 03.05.2012 УДК 519.217;519.718 В. К. Ясинський, д-р фіз.-мат. наук, професор, Б. В. Савчук, аспірант Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ МЕТОДУ УСЕРЕДНЕННЯ ДЛЯ КВАЗІЛІНІЙНИХ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Отримано достатні умови експоненціальної стійкості в се- редньому квадратичному тривіального розв’язку задачі Коші для квазілінійного стохастичного диференціально-функціо- нального рівняння за допомогою усередненого рівняння. Ключові слова: задача Коші, квазілінійне стохастичне диференціально-функціональне рівняння, метод усереднення, експоненціальна стійкість, стійкість в середньому квадрати- чному, малий параметр. Вступ Багато математичних моделей реальних об’єктів описуються дифе- ренціальними рівняннями з випадковими параметрами. Якщо випадкові збурення такі, що динаміка поведінки об’єкта в майбутньому не зале- © В. К. Ясинський, Б. В. Савчук, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 266 жить від його поведінки до теперішнього моменту часу, то для аналізу математичної моделі можна застосувати добре розвинений апарат теорії марковських процесів. Але в більшості реальних систем динамічні хара- ктеристики містять узагальнені координати об’єкта в попередні моменти часу. В цьому випадку розв’язок рівняння, яке описує поведінку системи уже не є марковським процесом і якісний аналіз об’єкта значно усклад- нюється. Однією з найбільш простих математичних моделей таких об’єктів є диференціально-функціональне рівняння [19—21]. Якщо ви- падковими збуреннями можна знехтувати, то для якісного аналізу дифе- ренціально-функціональних рівнянь можна використати результати ро- біт Азбелева С. В., Колесова Ю. С., Красовского Н. Н., Мишкіса А. Д., Наймарка Ю. И., Носова В. Р., Рубаника В. П., Фодчука В. И., Шимано- ва С. Н., Хейла Дж. та ін. Цими авторами розвинений зручний для засто- сування математичний апарат аналізу стійкості розв’язку, пошуку періо- дичних розв’язків і т. д. Диференціально-функціональним рівнянням з випадковими параметрами присвячено значно менше робіт. Тут можна згадати монографії [13; 20; 21]. У цих роботах основна увага приділяєть- ся аналізу стійкості розв’язку, питанням поведінки розв’язку на скінчен- ному інтервалі часу, питанням існування обмежених та стаціонарних розв’язків і т. д. Разом з цим для опису поведінки реальних об’єктів пот- рібні методи, які можна застосувати для аналізу асимптотики розв’язків по параметру на безмежності. Для прикладних задач актуально об’єднати граничні теореми випадкових процесів [4; 5; 10; 11] для нормованих відхилень на скін- ченному інтервалі часу та дослідження стійкості розв’язків за допо- могою асимптотичного методу усереднення Крилова – Боголюбова – Митропольського для квазілінійних диференціальних рівнянь з випа- дковими параметрами [3; 14; 23]. Розвитку цього методу присвячена ця стаття. 1. Усереднення в стохастичних диференціальних рівняннях без післядії На ймовірнісному базисі ( , , , )F   ( { , 0}tF t   –– потік  — алгебр), розглядається стохастичне диференціальне рівняння з малим параметром вигляду [20] ( , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) U dx a t x dt b t x dw t c t x u dt du             , (1) де 0t  , nx R , 0(0, )  , ( ) nw t R –– стандартний n — вимірний вінерівський процес [11; 14],  –– центрована пуассонова випадкова міра [4], яка не залежить від ( )w t і задовольняє умовам [2; 21] Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 267 { ( , )} 0dt du  , 2{| ( , ) | } ( )dt du du dt   . Рівняння (1) назвемо рівнянням у стандартній формі [5; 17]. Спочатку скористаємося деякими результатами з монографії [5]. Припустимо, що функції ( , )a t x , ( , )b t x , ( , , )c t x u вимірні за сукупніс- тю змінних, задовольняють глобальну умову Ліпшиця у формі: 2 2 2 2 | ( , ) ( , ) | | ( , ) ( , ) | | ( , , ) ( , , ) | ( ) | | U a t x a t y b t x b t y c t x u c t y u dy L x y          (2) і умові рівномірної обмеженості в нулі 2 2 2 2| ( ,0) | | ( ,0) | | ( ,0, ) | ( ) U a t b t c t u du     , (3) для всіх , nx y R и 0t  . Сильний розв’язок (1) за початковими даними ( )x s x позначимо ( , , )x t s x . В якості початкових даних можна брати випадкові величини, вимірні відносно  — алгебри 0 , для яких існує другий момент, які не залежать від ( )w t і ( , ),t A A U  . Позначимо t мінімальну  — алгебру, відносно якої вимірні прирости процесу ( )w t і випадкової пуассонової міри ( , )t A на відрізку [0, ]T , і яка містить 0 . Легко переконатися, що процес ( , , )x t s x погоджений з потом t при всіх 0 – вимірних x і 0t s  . Припустимо, що рівномірно по 0s  і x із довільної кулі фіксованого радіуса існує границя 1 lim ( , ) ( ) s T T s a t x dt a x T    . (4) Звичайне диференціальне рівняння ( ) dx a x dt  (5) називається рівнянням усередненого руху для (1). Наступний резуль- тат є в §14 розділу 3 частини II монографії [5]. Теорема 1. Нехай виконуються наведені вище умови і крім того: 1) Функція ( , )a t x двічі неперервно диференційована по x , при чому друга похідна задовольняє глобальну умову Ліпшиця по 0t  ; 2) для довільного розв’язку ( )x t (5) при всіх [0, ]t T викону- ються співвідношення:   0 0 1 lim , ( ) ( ) 0 t a x a x d                  ; Математичне та комп’ютерне моделювання 268 0 0 0 lim , ( ) ( ) t t a x d g d               ; 0 0 0 lim , ( ) , ( ) , ( ), , ( ), ( ) ( ) ( ) ; t T t T T U B x B x c x u c x u du d f f d                                                , ( ), ( )c x u r u          ; 2 ( ) ( ) U r u du   , де ( )g t и ( )f t –– неперервні матричні функції, індекс “ ” означає транспонування. Тоді при 0  нормована різниця 1 ( ) ,0, (0) ( ) t t x x x t           (6) слабко збігається до розв’язку ( )t лінійного неоднорідного стохас- тичного диференціального рівняння Іто [5] ( ) ( ) ( )d g t dt f t dW t   , (7) де ( )W t –– стандартний n — вимірний вінерівский процес. Наступний результат носить допоміжний характер. Теорема 2. Нехай для ( , )a t x , ( , )b t x і ( , , )c t x u виконується гло- бальна умова Ліпшиця (2), (3), існує границя (4), для всіх досить ма- лих 0  і всіх 0t  виконується нерівність 2 2 2 1 0 , ( ) ( ( )) ( , )(| (0) | ) t U s a x s ds a x s ds c t x            , (8) 0t  1 0 lim ( , ) 0c t     . Тоді існує така функція ( , )g T , що при деякому 0 0  та дові- льних 0(0, )  і 0T  виконується нерівність: 2 2 2 1 0 sup | ( ,0, (0)) ( ) | ( , )(| (0) | ) t T x t x x t g T x                 , (9) при чому, 0T  виконується співвідношення Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 269 1 0 lim ( , ) 0g T     . Для доведення цього твердження, використовуючи мартингальну властивість стохастичних інтегралів [9; 11], можна записати нерівність         2 0 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 2 00 sup | ( ,0, (0)) ( ) | 4 sup ( , ( )) ( ( )) 16 | , ( ,0, (0)) | 16 | , ( ,0, (0)) | ( ) 4 sup | ( ,0, (0)) ( ) | . t t t t t U t S t x x x t a s x s a x s ds b s x s x ds c s x s x du ds LT x s x x s ds                                                      (10) Для розв’язків (1) нескладно отримати оцінку [21] 2 2 2 2 0 sup {| ( ,0, (0)) | } ( , )(| (0) | ) S t x s x g t x       , при чому 0T  для деякого ( ) 0C T  виконується співвідношення 2 0 lim , ( ) T g C T          . Тому для деякого 0Q  , 0T  і досить малих 0  виконує- ться нерівність 2 2 0 2 2 {| ( , ( ,0, (0))) | } {| ( , ( ,0, (0))) | } ( ) (| (0) | ). T U b s x s x c s x s x du ds QT x                   Залишилося застосувати до (10) лему Гронуолла [1] і результат теореми 2 випливає з нерівності (8), якщо поставити в (10) T t   . Наслідок 1. Нехай ( , ) ( )a t x A t x , матриці рівномірно обмежені, задовольняють умову Ліпшиця по t і 0 1 lim sup ( ) 0 s T T s s A t dt A T      . (11) Математичне та комп’ютерне моделювання 270 Якщо для ( , )b t x і ( , , )c t x u виконані умови теореми 2 з 0  , тоді при кожному 0T  і для всіх досить малих 0  виконується нерівність 2 2 1 0 sup | ( ,0, (0)) ( ) | ( ) | (0) | t T x t x x t g T x               , при чому 1 0 lim ( , ) 0g T     . Доведення. Нерівність (8), в цьому випадку, випливатиме із співвідношення 0 0 0 lim sup 0 t As t T s A A e ds                . (12) Для кожного фіксованого 0T  , 0  можна підібрати таке число 0  , що матрична функція Ase буде відрізнятися від куско- восталої функції ( ) AsF t e при  , ( 1) , 0,1,2,t k k k      не більш, ніж на  , причому ( ) ATF t e . Тоді ( ) t As s s A A e F s ds ct         для довільного [0, ]t T . Далі, в силу довільності 0  досить отри- мати рівність 0 0 0 lim sup ( ) 0 t t T s A A F s ds                . Оскільки, при фіксованому 0T  і довільному 0  1 0 0 sup || ( ) || t t T s A A F s ds c                 при деякій сталі 1 0c  , тоді твердження наслідку 1 буде доведено, якщо покажемо, що при фіксованих 0T  і 0  має місце спів- відношення   0 0 lim || ( ) || 0 T k k k s A A ds F k                    . Але Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 271 0 ( ( ) ) sup ( ( ) ) 0 kk k k s s s A A ds A A d A A d                                       при 0  і 0  за умовою (11). Тому   00 sup ( ( ) ) 0 sT k sk k s s A A ds T A A d                        при 0  . Наслідок 1 доведено. 2. Усереднення в стохастичних диференціонально- функціональних рівняннях з вінерівськими і пуассонівськими збуреннями На ймовірнісному базисі ( , , , )F   розглянемо стохастичне диференціально-функціональне рівняння (СДФР) з малим парамет- ром 0  ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , )t t t U dx t a t x dt a t x dw t c t x u dt du             , (13) де  ( ), [ ,0]tx x t h     ; ( , ), ( , )a b    –– вимірні відображення з ([ ,0])nR D h   в nR , ( , , )c    –– вимірні відображення з ([ ,0])nR D h U    в nR , які задовольняють умову рівномірної об- меженості в нулі 0t  , а саме 2 2 2 2| ( ,0) | | ( ,0) | | ( ,0), | ( ) U a t b t c t u du     , (14) і глобальну умову Ліпшиця 2 2 2 2 | ( , ) ( , ) | | ( , ) ( , ) | | ( , , ) ( , , ) | ( ) || || , U a t a t b t b t c t u c t u du L                  (15) де , ([ ,0])nD h    –– простір Скорохода неперервних справа функ- цій, які мають лівосторонні границі [2; 12; 20]. Решта позначень взяті з пункту 1. Математичне та комп’ютерне моделювання 272 Для ([ ,0])nD h   позначимо   –– функцію на [ ,0]h , тотож- но рівну (0) . Для tx в (13) tx  означає елемент з ([ ,0])nD h , тото- жно по [ ,0]h   рівний ( )x t . Разом з (13) розглянемо рівняння ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ), ) ( , ) U dy t a t y t dt b t y t dw t c t y t u dt du               , (16) де ( , ( )) ( , ( ))a t y t a t y t    , ( , ( )) ( , ( ))b t y t b t y t    , ( , ( ), ) ( , ( ), )c t y t u c t y t u    . Припустимо, що nx R  рівномірно по 0s  існує 1 lim ( , ) ( ) s T T s a t x dt a x T     , (17) і разом (13) розглянемо рівняння усередненого руху ( ) dx a x dt  . (18) Оцінимо нормовану різницю  1 ( ) ,0, ,0, (0) t t x x t             . (19) Спочатку доведемо допоміжне твердження. Теорема 3. Якщо виконані умови (14) і (15), то 0(0, )   , ([ ,0])nD h   і 0T  для різниці розв’язків (13) і (16) має місце нерівність 2 2 2 2 0 sup | ( ,0, ) ( ,0, (0)) | ( , ) (|| || ) t T x t y t g T                    , (20) де ( , )g T 0T  задовольняє співвідношення 0 lim ( , ) ( )g T C T       . (21) Доведення. Для скорочення запису позначимо ( ), [ ,0), ( ) ( ,0, ), 0; t t h x t x t t          ( ), [ ,0), ( ) ( ,0, (0)), 0. t t h y t y t t          Із мартингальної властивості стохастичних інтегралів [4; 8], умови Ліпшиця і рівномірної обмеженості можна отримати нерівність Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 273 2 2 2 2 0 2 2 00 sup | ( ) | 4 | (0) | 8 ( 4) 8 ( 4) sup | ( ) | , t t s y t L y t ds                               із якої за лемою Гронуолла [1] 2 2 2 1sup | ( ) | ( , )(|| || ) h t y t c                , де 2 2 1( , ) 4(1 2 ( 4)) exp{8 ( 4)}c L           . Тому [0, ]t   виконується нерівність  2 2 0 0 2 2 2 sup | ( ) ( ) | sup | ( , ) | ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) ( , ), t s h h t t t s s t t y t y t a s y ds b s y dw s c s y u dt du c                                           де 2 2 2 2 1( , ) 6( 4)[ ( , )(|| || ) ]c h Lc y h         . Відповідно, 0T  і 0, T       можна записати     2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 sup | ( ) ( ) | 6 | ( , ) ( , ) | 4 | ( , ) ( , ) | 4 | ( , , ) ( , , ) | ( ) 4 | ( , ) ( , ) | | ( , ) ( , ) | s s t h s s s s U s s s s x t y t a s y a s y ds b s y b s y ds c s y u c s y u du ds T c a s y a s x b s y b s x                                                         2 2 2 2 1 2 | ( , , ) ( , , ) | ( ) 6 8 ( 2) ( , )(|| || ) 2 ( 2 ) , s s U c s y u c s x u du ds T h h Lc h y L T Tc                       2 2 00 6 4 sup | ( ) ( ) | , h T L y t x t ds                     Математичне та комп’ютерне моделювання 274 звідки за лемою Гронуолла випливає (20), (21). Із цієї теореми 3 на основі результатів [5], сформульованих в §1, має місце наступне твердження. Теорема 4. Нехай виконані умови теореми 3 і крім того: 1) відображення ( , )a t  двічі неперервно диференційоване по другому аргументу за Фреше, при чому друга похідна задовольняє глобальну умову Ліпшиця по другому аргументу рівномірно по t ; 2) для довільного розв’язку усередненого рівняння (18) [0, ]t T  виконуються співвідношення  0 0 1 lim , ( ( )) 0 t a x a x d                ;  0 0 0 1 lim , ( ) ( ) t t a x d g d               ;     0 0 0 0 lim , , , , , , ( ) ( ) ( ); t t t b x b x d c x u c x u du d f f                                                       2, , ( ), ( ) ( ) U c x u r u r u du             , де ( )g t и ( )f t –– неперервні матричні функції, індекс " " означає транспонування,  ( , (0)) ( , )t t    . Тоді при 0  нормована різниця (19) збігається на відрізку [0, ]T до розв’язку неоднорідного стохастичного рівняння Іто (7). 3. Усереднення в квазілінійних стохастичних диференціально-функціональних рівняннях Розглянемо квазілінійне стохастичне диференціально-функціональ- не рівняння (КСДФР) на ймовірнісному базисі ( , , , )F   у вигляді ( ) ( ) { ( , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , )}t t t t U dx t f x dt a t x dt b t x dw t c t x u dt du      , (22) з початковою умовою 0( ) | ( )h tx t     , (22*) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 275 де f –– лінійне неперервне відображення з ([ ,0])nD h в nR . Далі, нам буде потрібний генератор 0 напівгрупи [20] для (22) у випадку 0  . Припустимо, що 0 0 0( ) , { :Re 0}z C z         , { :Re 0}z C z      . (23) Зауважимо, що алгебраїчна кратність 0 співпадає з геометрич- ною [9; 20]. Позначимо  –– проекцію в корінний підпростір опера- тора 0 , який відповідає 0 . Позначимо: 0 0 0 0 1 0( ) 1; ( ) ( )1t tt e t e          ; 0 0( ) tu t e    ; 0 0 0 0 1 0( ) ; ( ) ( )t ty t e y t e         ; 0, [ ,0), 1 ([ ,0]) ( ) : 1( ) 1, 0.n h C h M R             а оператор 0 діє на векторні (або матричні) функції на відрізку [ ,0]h за правилом 0 (0)   . Тоді КСДФР (22) можна, очевидно, переписати у вигляді системи інтегральних рівнянь 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , ), t t t U u t y t t a u v d t b u v dw t c u v u d du                                        (24) 1 1 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , ) t t t U v t y t t a u v d t b u v dw t c u v u d du                                        (25) з початковою умовою ( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ), [ ,0]u v u h             . Математичне та комп’ютерне моделювання 276 Разом з (24)—(25) розглянемо "спрощену" систему рівнянь: 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , ), t t t U u t y t t a u d t b u dw t c u u d du                                     (26) 1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , , ) ( , ), t t t U v t y t t a u v d t b u v dw t c u v u d du                                              (27) з початковими умовами (22*). Означення 1. Тривіальний розв’язок (22) назвемо експоненціа- льно стійким в середньому квадратичному з показником 0  , як- що ([ ,0])nD h   , 0(0, )  і 0t  виконується нерівність 2 ( ) 2{|| ( , ) || } || ||t s tx s Me     (28) при деякій сталі 0M  . Відповідне означення для (26) має вигляд: 2 ( ) 2{|| ( , ) || } || ||t s tu s Me     . (29) Лема 1. Якщо виконується (23), глобальна умова Ліпшиця (15), умова (14) при 0  і розв’язок (26) має оцінку (29). Тоді розв’язки (27) мають оцінку 1 ( )2 2 2 1 1{|| ( , ) ( , ) || } || ||t s t tv s y s M e        (30) 0(0, )   , 0t s  , ([ ,0])nD h  і деяких 1 0,M  1 0,  0 0  . Доведення. Легко переконатися в тому, що мають місце нерівності 12 ( )2 2 1|| ( , ) || || ||t s ty s ce    , 12 1|| ( ) || tt ce   (31) при деяких 10, 0c   і всіх 0t s  , ([ ,0])nD h   . Крім того, з умов леми і нерівності Шварца [7] легко отримати нерівність: 1 1 1 1 1 22 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( )2 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) | ( , ) | || || t t t t s s t t t t t t s s s t s F a t d e e t s a t d c c e d e a t d L e d                                          0t s   , ([ ,0])nD h   . За означенням 1( ) 0t  0t  , то- му із нерівності Ліпшиця і мартингальної властивості стохастичних інтегралів [8], випливає нерівність: Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 277 2 1 0 2 1 0 2 1 0 sup ( ) ( , ) ( ) sup ( ) ( , , ) ( , ) sup ( ) ( , ) ( ) t h s t h s U t h s t b z dw t c z u d du t b z dw                                                                            2 2 1 0 0 sup ( ) ( , , ) ( , ) 4 {|| || t t h s U t c z u d du LC z d                             для довільного випадкового процесу ( )z t , погодженого з потоком t . Тому 1 1 2 1 ( ) 2 ( )2 2 1 {|| ( , ) ( , ) || } 16 || || t t t t t s v s y s c L e e d                      1 1 1 1 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) ( )2 2 8 {|| ( , ) || } 64 {|| ( , ) ( , ) || } 64 32 {|| ( , ) || } t t s s t t s s t t t t s t s s C L e u s d CL e u s y s d C L e e ds CL e u s d                                                1 ( )2 2 2 2 || || {|| ( , ) || } t t s C e u s d               1 ( ) 2 1{|| ( , ) ( , ) || } t t s e v s y s d               при деякій сталі 2 0C  . В силу оцінки (29) запишемо нерівність 1 2 ( ) 2 ( )2 1 || || {|| ( , ) || } t t s t s s M e u s d e               . Математичне та комп’ютерне моделювання 278 Звідси випливає, що    1 ( ) 2 1 ( )( )2 2 2 3 1( ) 0 || ( , ) ( , ) || || || {|| ( , ) ( , )|| } t s t t t s t s s s e v s y s C e e v s y s d                              при деякій сталі 3 0C  . Звідси, із нерівності Гронуолла, на основі (31) маємо оцінку 2 2( )( )2 2 2 1 3{|| ( , ) ( , ) || } || ||C t s t tv s y s M e          , 0(0, )   , 0t s  , ([ ,0])nD h   і деякій сталі 3 0M  , яка еквівалентна (30) при досить малому 0 0  . Лема 1 доведена. Позначимо ( , , ) ( , , ) ( , , )x t s u t s v t s      і оцінимо різницю  2( , ) || ( , ) ( , ) || .t s t sm t x s x s       Лема 2. В умовах леми 1 існує таке 0 0  , що для довільних 0T  , ([ ,0])nD h   , 0s  , 0, T t       виконується нерівність  2 2|| ( , ) ( , ) || ( , ) || ||t s t sx s x s g T        , (32) причому 0 lim ( , ) ( )g T C T       . Доведення. З (22), (26) і (27), використовуючи умову Ліпшиця, властивості функцій 0 ( )t , 1( )t і мартингальну властивість стохас- тичних інтегралів, легко для ( , )m t  отримати наступну оцінку  2 0 0 ( , ) 6 ( 4) || ( , ) ( , ) t t sm t L t v s d m d                      , де 2 2 0 0 sup{|| ( ) || ,|| ( ) || } t t t       . Далі, із (30) має місце нерівність 1 1 2 2 1( ) 0 0 22 2 2 2 1( ) 1 0 0 0 {|| ( , ) || } 2 {|| ( , ) ( , ) || 2 || ( , ) || || || || || t t s s s t t t s v s d v s y s d y s d M e d e d                                          Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 279 2 1 1 1 1 || || . 2 C M           Тому за нерівністю Гронуолла 2 2 6 1 1 1 1 , 6 4 || || 2 LT T C m M e                           . Звідки випливає (32). Лема 2 Доведена. Перепишемо (26) в базисі 1{ , , }mF f f  простору ([ ,0])nC h  . Оскільки 0 є симетричним відносно Im 0z  , то можна вибрати еле- менти базису , 1, ,jf j m  дійсними. Тоді існують такі матриці ( )mD M R , ( )n mM R і вектори ( ) mX t R , mR , що 0 ; 1 ; ( );tF FD F u FX t      0 0; ;tD tD t tF y Fe Fe       . Рівняння (26) породжує стохастичне диференціальне рівняння для ( ) ( , )X t X t  :   ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ), ) ( , ) , U dX t DXdt a t FX t dt b t FX t dw t dt c t FX t u dt du          яке заміною ( ) ( )tDX t e Y t можна привести до стандартної форми (1):  ( , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) ,tD tD tD tD U dY e a t Fe Y dt b t e Y dw t c t Fe Y u dt du dt        (33) Початкові умови можна знайти з рівності (0)FY  . Позначимо 1 ( ) lim ( , ) s t D D t s a Y e a Fe Y d t         . (34) Якщо ця границя існує рівномірно по s , тоді для (33) викорис- таємо теорему 2 і запишемо нерівність: 2 2 1 0 sup ( ) ( ) ( , ) | (0) | t T Y t Y t g T Y               , (35) де ( )Y t –– розв’язок повністю спрощеного рівняння: ( ), (0) (0) dY a Y Y Y dt   . (36) Використовуючи спряжений базис і обмеженість операторів  і tDe замість (35) можна записати нерівність: Математичне та комп’ютерне моделювання 280 2 2 1 0 sup ( ) ( ) ( , ) | (0) |tD t T X t e Y t g T Y               , (37) де 1 0 lim ( , ) 0g T     0T  , крім того 2 2| (0) | || ||Y C  при деякій сталі 0C  . Теорема 5. Якщо існує рівномірно по 0s  границя (34), виконані (22), (32), глобальна умова Ліпшиця (15), умова (14) при 0  і спектр матриці ( )(0)A a  міститься в півплощині { :Re 0}z C z  , тоді тривіальний розв’язок (22) експоненціально стійкий в середньому квад- ратичному з показником 0  0(0, )   і досить малому 0 0  . Доведення. Потрібно переконатися в тому, що в умовах теореми 5 виконується нерівність (28). Припустимо, що 2 2 2{|| ( , ) || } 2 {|| ( , ) ( , ) || } 2 {|| ( , ) || }t s t s t s t sx s x s x s x s             і оцінимо окремо обидва доданки з правої частини цієї нерівності. Оскі- льки тривіальний розв’язок (36) експоненціально стійкий, тоді для всіх s — вимірних 0(0), 0, (0, )Y T    і досить малому 0 0  можна отримати для умовного математичного сподівання нерівності 2 2 2 2 ( ) 2 1 0 sup | ( , , (0)) | 2 sup | ( ) | 2 sup | ( , , (0)) | | ( ) | 2( ( , )) | (0) | s T h t T T h t T T h s t T Y t s s Y Y t Y t s s Y Y t Me g T Y                                             при деяких 0  и 0M  . Тепер можна вибрати 0T  настільки великим, а потім 0 0  настільки малим, щоб при даному 0T  і всіх 0(0, )  виконувалась нерівність ( ) 1 1 ( , ) 4 T hMe g T      . Для довільного розв’язку (33) при s h   і вибраних 0T  і 0 0  запишемо нерівність: 2 / / 2 / / sup | ( , , ( , , (0))) | sup | ( , , ( , , (0))) | s T h t T s T h t T Y t Y s Y Y t Y s Y                                         2 2 0 1 1 {| ( , , (0)) | } sup | ( , , (0)) | 2 2s s h Y s Y Y s Y                 0(0, )   . Тому, позначивши Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 281 2 ( 1) sup | ( , , (0)) |k s kT t k T Y t s s Y                 , можна записати k N  рекурентну нерівність 1 1 2k k   , а потім підібрати такі числа 1 0M  и 1 0  , що при даному 0T  и k N  виконувалась нерівність 2 1 | (0) |T k k M e Y  . Із цієї нерівності випли- ває оцінка (29), оскільки, 0T  можна завжди вибрати великим. Відпо- відно, на основі леми 1   1 22 2 2 2 2 1 2|| ( , ) || 2 || || || ||t t t sv s M e M e          , (38) 0(0, )   , ([ ,0])nC h  , 0t  та деяких додатних 1 2,M M , 2 і 2 . Тут використана рівність ( ) ( )tDFX t Fe Y t і нерівність       3 2 2 2 2 2 3 || ( , ) || 2 || ( , ) || 2 || ( , ) || ( ) || || s t s t T T s t x s u s v s M e e                           0(0, )   , ([ ,0])nC h   і деяких 3 0M  , 3 0  , 2 0  . Крім то- го, з леми 1 при тих самих значеннях параметрів маємо оцінку (32). Тому  2 2 / 1 || ( , ) || || || 2s tx s    (39) 0s  , 0(0, )  і ([ ,0])nD h   . Поставивши в нерівності (39) s kT   0  і k N , маємо:  2 21 || ( , ) || || || 2 k kTx             . Тепер, використовуючи t — погодженість розв’язків (26), (27), можна 0s   з нерівностей (35) і (38) довести оцінку     2 0 2 2 ( , ) 4 0 sup || ( , ( , )) || sup {|| ( , )) || } {|| ( , ) || } ( ). t t T t x s t T x x s x x s M T                                 Звідси із нерівності (39) k N  випливає нерівність     2 ( 1) 2 2 4 4 sup || ( , ) || 1 || ( , ) || ( ) ( ) || || , 2 t s kT t k T k kT s x s x s M T M T                        яка гарантує оцінку 12 2 1{|| ( , ) || } || ||t t sx s C e     Математичне та комп’ютерне моделювання 282 0t  , 0s  , 0(0, )  , ([ ,0])nC h   і деяких 1 0C  , 1 0  і 0 0  . З леми 2 і доведених вище нерівностей випливає нерівність 12 2 2 2 1 {|| ( , ) || } ( ( , )) || || || || 2 T s Tx s C e g T            при досить великому 0T  , малому 0 0  та 0(0, )   , 0s  , і ([ ,0])nD h   . Використовуючи t — погодженість розв’язків і описану методику оцінок, аналогічно попередньому, можна отримати нерівності: 2 2 5 ( 1) 2 5 ( 1) sup {|| ( , ) || } ( ) {|| ( , ) || } 1 ( ) {|| ( , ) || }, 2 t s s kT kT t k T s k T x s M T x s M T x s                     тобто, для деякої сталої 3 0M  вірна нерівність 2 ln 2 2 3 ( 1) sup {|| ( , ) || } || ||k t s kT t k T x s M e          . Тому 0t  правильною є нерівність ln 2 2 2 2 3{|| ( , ) || } || || || || t tT t sx s M e Me              для деякої 0M  і ln 2 T   , що і треба було довести. Висновки. З використанням граничних теорем для випадкових про- цесів та методу усереднення встановлено достатні умови експоненціаль- ної стійкості у середньому квадратичному тривіального розв'язку квазі- лінійного стохастичного диференціально-функціонального рівняння. Список використаних джерел: 1. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Л. Кук. — М. : Мир, 1967. — 548 с. 2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли. — М. : Наука, 1977. — 352 с. 3. Боголюбов Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. — М. : Физматгиз, 1962. — 412 с. 4. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения и их примене- ния / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — К. : Наукова думка,1982. — 612 с. 5. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гих- ман, А. В. Скороход. — К. : Наук.думка,1968. — 354 с. 6. Далецкий Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. — М. : Наука, 1970. — 536 с. 7. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. — М., 1962. — Ч.1. — 895 с. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 7 283 8. Дуб Дж. Вероятносные процессы / Дж. Дуб. — М. : Физматгиз, 1963. — 605 с. 9. Дынкин Е. Б. Марковские процессы / Е. Б. Дынкин. — М. : Физматгиз, 1963. — 859 с. 10. Жакод Ж. Предельные теоремы для случайных процессов : в 2-х т. / Ж. Жакод, А. Н. Ширяев. — М. : Физматгиз, 1994. — Т. 1. — 544 с . 11. Жакод Ж. Предельные теоремы для случайных процессов : в 2-х т. / Ж. Жакод, А. Н. Ширяев. — М. : Физматгиз, 1995. — Т. 2. — 621 с. 12. Кац И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилиза- ции систем случайной структуры / И. Я. Кац. — Екатеринбург : изд-во Уральской госакадемии путей сообщения , 1998. — 222 с. 13. Колмановский В. Б. Устойчивость и периодические режимы регулируе- мых систем с последействием / В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. — М. : Наука, 1981. — 448 с. 14. Королюк В. С. Ймовірність, статистика та випадкові процеси : в 3-х томах / В. С. Королюк, Є. Ф. Царков, В. К. Ясинський. — Чернівці : Золоті литаври, 2009. — Т. 3. Випадкові процеси. Комп’ютерне моделювання. — 798 с. 15. Пинни Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздываю- щем аргументом / Э. Пинни. — М. : Наука, 1961. — 248 с. 16. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием / В. П. Рубаник. — М. : Наука, 1969. — 287 с. 17. Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических дифферен- циальных уравнений / А. В. Скороход. — К. : Наук.думка, 1987. — 328 с. 18. Хасьминский Р. З. Устойчивость ситем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р. З. Хасьминский. — М. : Наука, 1969. — 367 с. 19. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. — М. : Мир, 1984. — 421 с. 20. Царьков Е. Ф. Случайные возмущения дифференциально — функцио- нальных уравнений / Е. Ф. Царьков. — Рига : Зинатне, 1989. — 421 с. 21. Царьков Е. Ф. Квазилинейные стохастические дифференциально-функ- циональные уравнения / Е. Ф. Царьков, В. К. Ясинский. — Рига : Ориен- тир, 1992. — 328 с. 22. Шахгилдян В. В. Фазовая автоподстройка частоты / В. В. Шахгилдян, Л. А. Ляховский. — М. : Изд-во "Связь", 1972. — 447 с. 23. Самойленко А. М. Якісний та асимптотичний аналіз диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями / А. М. Самойленко, О. М. Станжиць- кий. — К. : Наук. думка, 2009. — 336 с. 24. Korolyuk V. S. Stochastic Systems in merging Phase Space / V. S. Korolyuk, N. Limnios. — London : World Scientific, 2006. — 331 p. Sufficient conditions for exponential stability in mean square trivial so- lution of the Cauchy problem for almost linear stochastic differential- functional equation using the averaged equations. Key words: Cauchy problem, almost linear stochastic differential- functional equation, averaging method, exponential stability, stability in mean square, small parameter. Отримано: 20.07.2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c00200064006500740061006c006a006500720065007400200073006b00e60072006d007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500640073006b007200690076006e0069006e006700200061006600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000640065002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650063007500610064006f007300200070006100720061002000760069007300750061006c0069007a00610063006900f3006e0020006500200069006d0070007200650073006900f3006e00200064006500200063006f006e006600690061006e007a006100200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d00650072006300690061006c00650073002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <FEFF0055007300740061007700690065006e0069006100200064006f002000740077006f0072007a0065006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020005000440046002000700072007a0065007a006e00610063007a006f006e00790063006800200064006f0020006e00690065007a00610077006f0064006e00650067006f002000770079015b0077006900650074006c0061006e00690061002000690020006400720075006b006f00770061006e0069006100200064006f006b0075006d0065006e007400f300770020006600690072006d006f0077007900630068002e002000200044006f006b0075006d0065006e0074007900200050004400460020006d006f017c006e00610020006f007400770069006500720061010700200077002000700072006f006700720061006d006900650020004100630072006f00620061007400200069002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000690020006e006f00770073007a0079006d002e> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043d0430043404560439043d043e0433043e0020043f0435044004350433043b044f043404430020044204300020043404400443043a0443002004340456043b043e04320438044500200434043e043a0443043c0435043d044204560432002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси