Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке
Рассматриваются нелинейные системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в динамике относительного движения идеальной однородной несжимаемой жидкости в связи с вариационным методом Бейтмена - Люка - Уизема и имеющих структурное сходство с уравнениями Гамильтона. Анализируются...
Збережено в:
| Дата: | 2002 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2002
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4899 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2002. — Т. 4, № 1. — С. 18-33. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-4899 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-48992009-12-29T12:00:56Z Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке Золотенко, Г.Ф. Рассматриваются нелинейные системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в динамике относительного движения идеальной однородной несжимаемой жидкости в связи с вариационным методом Бейтмена - Люка - Уизема и имеющих структурное сходство с уравнениями Гамильтона. Анализируются свойства этих систем уравнений и известный способ их приближенного решения путем исключения квазискоростей жидкости и сведения к некоторой системе уравнений второго порядка относительно координат свободной поверхности. Для случая прямоугольного сосуда, частично заполненного жидкостью, развивается альтернативный подход, основанный на идее непосредственного интегрирования точных исходных уравнений методом Рунге - Кутта. Разработан алгоритм численного решения этих уравнений, возможности которого демонстрируются на задаче о нелинейных свободных колебаниях жидкости в наклоненном прямоугольном сосуде после его разгона. Розглядаються нелiнiйнi системи звичайних iнтегро-диференцiальних рiвнянь, що виникають у динамiцi вiдносного руху iдеальної однорiдної нестисливої рiдини у зв'язку iз варiацiйним методом Бейтмена - Люка - Уiзема та структурно подiбнi до рiвнянь Гамiльтона. Аналiзуються властивостi цих систем рiвнянь та вiдомий спосiб їх наближеного розв'язування шляхом виключення квазiшвидкостей рiдини i зведення до деякої системи рiвнянь другого порядку вiдносно координат вiльної поверхнi. На випадок прямокутної посудини, частково заповненої рiдиною, розвивається альтернативний пiдхiд, що базується на iдеї безпосереднього iнтегрування точних вихiдних рiвнянь методом Рунге - Кутта. Розроблено алгоритм чисельного розв'язування цих рiвнянь, можливостi якого демонструються на задачi про нелiнiйнi вiльнi коливання рiдини у нахиленiй прямокутнiй порожнинi пiсля її розгону. The nonlinear systems of the ordinary integro-differential equations arising in dynamics of the relative motions of an inviscid homogeneous incompressible liquid with respect to the variational method by Bateman - Luke - Whitham and having a structural similarity to the Hamiltonian equations are considered. The properties of this systems of equations and the known method of their solution by means of the elimination of the liquid quasivelocities and the reduction to a certain systems of the second order equations relative to the liquid coordinates are analyzed. In the case of a rectangular tank partially filled with a liquid it is developed the alternative approach that bases on an idea of the direct integration of the exact equations by means of the Runge - Kutta method. It is proposed an algorithm of the numerical solution of the initial exact equations the capabilities of which are demonstrated in the problem of the liquid nonlinear free oscillations in the inclined rectangular tank after its acceleration. 2002 Article Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2002. — Т. 4, № 1. — С. 18-33. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4899 532.5 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматриваются нелинейные системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в динамике относительного движения идеальной однородной несжимаемой жидкости в связи с вариационным методом Бейтмена - Люка - Уизема и имеющих структурное сходство с уравнениями Гамильтона. Анализируются свойства этих систем уравнений и известный способ их приближенного решения путем исключения квазискоростей жидкости и сведения к некоторой системе уравнений второго порядка относительно координат свободной поверхности. Для случая прямоугольного сосуда, частично заполненного жидкостью, развивается альтернативный подход, основанный на идее непосредственного интегрирования точных исходных уравнений методом Рунге - Кутта. Разработан алгоритм численного решения этих уравнений, возможности которого демонстрируются на задаче о нелинейных свободных колебаниях жидкости в наклоненном прямоугольном сосуде после его разгона. |
| format |
Article |
| author |
Золотенко, Г.Ф. |
| spellingShingle |
Золотенко, Г.Ф. Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке |
| author_facet |
Золотенко, Г.Ф. |
| author_sort |
Золотенко, Г.Ф. |
| title |
Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке |
| title_short |
Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке |
| title_full |
Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке |
| title_fullStr |
Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке |
| title_full_unstemmed |
Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке |
| title_sort |
компьютерное моделирование на основе уравнений типа гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/4899 |
| citation_txt |
Компьютерное моделирование на основе уравнений типа Гамильтона нелиненйных колебаний жидкости в прямоугольном баке / Г.Ф. Золотенко // Прикладна гідромеханіка. — 2002. — Т. 4, № 1. — С. 18-33. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zolotenkogf kompʹûternoemodelirovanienaosnoveuravnenijtipagamilʹtonanelinenjnyhkolebanijžidkostivprâmougolʹnombake |
| first_indexed |
2025-07-02T08:03:47Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:03:47Z |
| _version_ |
1836521543653392384 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33��� 532.5������������ ������������� �� ��������������� ���� ���������� ��������������������������� � ������������� �����. �. ����������áâ¨âãâ ¬ ⥬ ⨪¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 5.11.2001� áᬠâਢ îâáï ¥«¨¥©ë¥ á¨áâ¥¬ë ®¡ëª®¢¥ëå ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ¢®§¨ª îé¨å ¢ ¤¨- ¬¨ª¥ ®â®á¨â¥«ì®£® ¤¢¨¦¥¨ï ¨¤¥ «ì®© ®¤®à®¤®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢ á¢ï§¨ á ¢ à¨ æ¨®ë¬ ¬¥â®¤®¬�¥©â¬¥ { �îª { �̈ §¥¬ ¨ ¨¬¥îé¨å áâàãªâã஥ á室á⢮ á ãà ¢¥¨ï¬¨ � ¬¨«ìâ® . � «¨§¨àãîâáï ᢮©á⢠íâ¨å á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ¨ ¨§¢¥áâë© á¯®á®¡ ¨å ¯à¨¡«¨¦¥®£® à¥è¥¨ï ¯ã⥬ ¨áª«îç¥¨ï ª¢ §¨áª®à®á⥩¦¨¤ª®á⨨ ᢥ¤¥¨ï ª ¥ª®â®à®© á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® ª®®à¤¨ â ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨. �«ïá«ãç ï ¯àאַ㣮«ì®£® á®á㤠, ç áâ¨ç® § ¯®«¥®£® ¦¨¤ª®áâìî, à §¢¨¢ ¥âáï «ìâ¥à â¨¢ë© ¯®¤å®¤, ®á®¢ -ë© ¨¤¥¥ ¥¯®á।á⢥®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï â®çëå ¨á室ëå ãà ¢¥¨© ¬¥â®¤®¬ �㣥 { �ãââ . � §à ¡®â «£®à¨â¬ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï íâ¨å ãà ¢¥¨©, ¢®§¬®¦®á⨠ª®â®à®£® ¤¥¬®áâà¨àãîâáï § ¤ ç¥ ® ¥«¨¥©ëå᢮¡®¤ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¦¨¤ª®á⨠¢ ª«®¥®¬ ¯àאַ㣮«ì®¬ á®á㤥 ¯®á«¥ ¥£® à §£® .�®§£«ï¤ îâìáï ¥«÷÷©÷ á¨á⥬¨ §¢¨ç ©¨å ÷⥣à®-¤¨ä¥à¥æ÷ «ì¨å à÷¢ïì, é® ¢¨¨ª îâì ã ¤¨ ¬÷æ÷ ¢÷¤®á®-£® àãåã ÷¤¥ «ì®ù ®¤®à÷¤®ù ¥áâ¨á«¨¢®ù à÷¤¨¨ ã §¢'離ã ÷§ ¢ à÷ æ÷©¨¬ ¬¥â®¤®¬ �¥©â¬¥ { �îª { �÷§¥¬ â áâàãªâãà® ¯®¤÷¡÷ ¤® à÷¢ïì � ¬÷«ìâ® . � «÷§ãîâìáï ¢« á⨢®áâ÷ æ¨å á¨á⥬ à÷¢ïì â ¢÷¤®¬¨© ᯮá÷¡ ùå -¡«¨¦¥®£® ஧¢'ï§ã¢ ï è«ï宬 ¢¨ª«îç¥ï ª¢ §÷袨¤ª®á⥩ à÷¤¨¨ ÷ §¢¥¤¥ï ¤® ¤¥ïª®ù á¨á⥬¨ à÷¢ïì ¤à㣮£®¯®à浪㠢÷¤®á® ª®®à¤¨ â ¢÷«ì®ù ¯®¢¥àå÷. � ¢¨¯ ¤®ª ¯àאַªãâ®ù ¯®á㤨¨, ç á⪮¢® § ¯®¢¥®ù à÷¤¨®î,஧¢¨¢ õâìáï «ìâ¥à ⨢¨© ¯÷¤å÷¤, é® ¡ §ãõâìáï ÷¤¥ù ¡¥§¯®á¥à¥¤ì®£® ÷⥣à㢠ï â®ç¨å ¢¨å÷¤¨å à÷¢ï쬥⮤®¬ �㣥 { �ãââ . �®§à®¡«¥® «£®à¨â¬ ç¨á¥«ì®£® ஧¢'ï§ã¢ ï æ¨å à÷¢ïì, ¬®¦«¨¢®áâ÷ 类£® ¤¥¬®áâàã-îâìáï § ¤ ç÷ ¯à® ¥«÷÷©÷ ¢÷«ì÷ ª®«¨¢ ï à÷¤¨¨ ã 娫¥÷© ¯àאַªãâ÷© ¯®à®¦¨÷ ¯÷á«ï ùù ஧£®ã.The nonlinear systems of the ordinary integro-di�erential equations arising in dynamics of the relative motions of aninviscid homogeneous incompressible liquid with respect to the variational method by Bateman { Luke { Whitham andhaving a structural similarity to the Hamiltonian equations are considered. The properties of this systems of equationsand the known method of their solution by means of the elimination of the liquid quasivelocities and the reduction to acertain systems of the second order equations relative to the liquid coordinates are analyzed. In the case of a rectangulartank partially �lled with a liquid it is developed the alternative approach that bases on an idea of the direct integration ofthe exact equations by means of the Runge { Kutta method. It is proposed an algorithm of the numerical solution of theinitial exact equations the capabilities of which are demonstrated in the problem of the liquid nonlinear free oscillationsin the inclined rectangular tank after its acceleration.���������¤¨ ¨§ ®á®¢ëå ¯®¤å®¤®¢ ª à¥è¥¨î § ¤ ç ¤¨- ¬¨ª¨ ¦¨¤ª®á⨠ᮠ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâìî § -ª«îç ¥âáï ¢ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ¨á室ëå ãà ¢¥¨© £¨-¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå (á ᮮ⢥â-áâ¢ãî騬¨ ªà ¥¢ë¬¨ ¨ ç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨)ª íª¢¨¢ «¥âë¬ á¨á⥬ ¬ ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥-à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©. �ਬ¥¨â¥«ì® ª ¦¨¤ª®-á⨠¢ ¯®¤¢¨¦®¬ á®á㤥 (¨¤¥ «ì®©, ¥á¦¨¬ ¥¬®©,®¤®à®¤®©, ᮢ¥àè î饩 ¡¥§¢¨åॢ®¥ ¡á®«îâ-®¥ ¤¢¨¦¥¨¥) ¯¥à¥å®¤ ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ¢®§¬®¦¥, ¢ ç áâ®áâ¨, ®á®¢¥ ¢ ਠ樮ëå ä®à¬ã«¨à®¢®ª, ¯à¥¤«®¦¥-ëå ¥§ ¢¨á¨¬® ¢ à ¡®â å [1, 2] ¨ à áᬠâਢ ¥-¬ëå ¨¦¥. �⮬㠯®¤å®¤ã ¯®á¢ïé¥ â ª¦¥ à廊áá«¥¤®¢ ¨©, ®âà ¦¥ëå ¢ [3,4].� ¤¨ ¬¨ª¥ ®â®á¨â¥«ì®£® ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®-á⨠¨§¢¥áâë âਠ⨯ ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ¨¬¥®: 1) « £à ¦¥¢ë, 2)£ ¬¨«ìâ®®¢ë, 3) ãà ¢¥¨ï ¢ ਠ樮®£® ¬¥â®-
¤ ¢ ä®à¬¥ �¥©â¬¥ { �îª { �̈ §¥¬ [1]. �¥-£®¤ï âà㤮 ®â¤ âì ¯à¥¤¯®ç⥨¥ ª ª®©-«¨¡® ¨§ãª § ëå á¨á⥬ ãà ¢¥¨©, â ª ª ª, á ®¤®© áâ®-à®ë, ¢á¥ ®¨ ®ç¥ì á«®¦ë, á ¤à㣮© { ª ¦¤ ï 室¨â ¯à¨¬¥¥¨¥ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ®â¤¥«ìëå ç áâ-ëå ¢®¯à®á®¢ ¨ ¨¬¥¥â ᢮¨ ¤®á⮨á⢠¨ ¥¤®-áâ ⪨.� áâ®ïé ï à ¡®â ¯®á¢ïé¥ ãà ¢¥¨ï¬ âà¥-â쥣® ⨯ , ª ª®â®àë¬, áã¤ï ¯® «¨â¥à âãà¥, ¢ ¯®-á«¥¤¥¥ ¢à¥¬ï ¯à®ï¢«ï¥âáï ®¯à¥¤¥«¥ë© ¨â¥à¥á.�¦. � ©«á ¡ë«, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, ¯¥à¢ë¬, ªâ® ®¡à -⨫ ¢¨¬ ¨¥ ᨫ쮥 áâàãªâã஥ á室á⢮íâ¨å ãà ¢¥¨©, ¨¬¥îé¨å ¢¨¤@L@�n = 0; ddt @L@ _Rn � @L@Rn = 0; (1)(§¤¥áì L { ¨â¥£à « ®â ¤ ¢«¥¨ï; �n ¨ Rn { ®¡®¡-é¥ë¥ ª®®à¤¨ âë ¨ ª¢ §¨áª®à®á⨠¦¨¤ª®áâ¨) áãà ¢¥¨ï¬¨ � ¬¨«ìâ® _pn = � @H@�n ; _�n = @H@pn : (2)18 c
�. �. �®«®â¥ª®, 2002
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33�¢¨¤ã í⮣® á室á⢠¨, ¢¬¥á⥠á ⥬, ®¯à¥¤¥-«¥®£® à §«¨ç¨ï, ãà ¢¥¨ï (1) ¡ã¤ãâ ¢ áâ®ï-饩 à ¡®â¥ ¤«ï ªà ⪮á⨠§ë¢ âìáï ãà ¢¥¨ï-¬¨ ⨯ � ¬¨«ìâ® .� ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡®© § ¯¨á¨ ãà ¢¥¨ï (1), (2)¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ [1] ᮮ⢥âá⢥® ª ª (á â®ç®-áâìî ¤® ®¡®§ 票©)dnm _Rm + g(t)�n + 12klm;nRlRm = Qn;dmn _�m = kmnRm; (3)¨ _pn + g(t)�n + 12hlm;nplpm = Qn;_�n = hmnpm; (4)£¤¥ ¯® ¯®¢â®àïî騬áï ¨¦¨¬ ¨¤¥ªá ¬ ¯à®¨§-¢®¤¨âáï á㬬¨à®¢ ¨¥. (�à ¢¥¨ï (3), (4) ¯®«ã-ç¥ë ¤«ï á«ãç ï ¯®áâã¯ â¥«ì® ¯¥à¥¬¥é î饣®-áï 樫¨¤à¨ç¥áª®£® á®á㤠.) �âáî¤ ¢¨¤®, çâ®ãà ¢¥¨ï ⨯ � ¬¨«ìâ® ¨ ãà ¢¥¨ï � ¬¨«ì-â® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®ç¥ì ¯®å®¦¨, ® ®â«¨ç îâ-áï ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå, ª®íää¨æ¨-¥â ¬¨ ª¢ ¤à â¨çëå ä®à¬ ¨ ç áâ¨ç® ª®íää¨æ¨-¥â ¬¨ «¨¥©ëå ä®à¬ ®â ¨áª®¬ëå äãªæ¨©. �ç¥-¢¨¤®, çâ® ¢ ®¡®¨å á«ãç ïå ãà ¢¥¨ï ¥«¨¥©ë.�à ¢¥¨ï ⨯ � ¬¨«ìâ® ®¡« ¤ îâ ⥬ ¯à¥-¨¬ãé¥á⢮¬, çâ® ¯®§¢®«ïîâ ®â®á¨â¥«ì® ¯à®-áâ® (¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤«ï á®á㤮¢ ¡¥§ ªàë襪) 室¨âì äãªæ¨î R0(t), ®â ª®â®à®© § ¢¨á¨â â -ª ï ¢ ¦ ï ¢ ¯à¨«®¦¥¨ïå ¢¥«¨ç¨ , ª ª ¤ ¢«¥¨¥.�஬¥ ⮣®, ®¨ ïîâáï, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ãà ¢¥-¨© ¢ « £à ¦¥¢®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥, ãà ¢¥¨ï¬¨ ¥¢â®à®£®, ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ç⮠㤮¡® ¤«ï ¨å â¥-®à¥â¨ç¥áª¨å ¨ ç¨á«¥ëå ¨áá«¥¤®¢ ¨©. � ª®¥æ,¨ íâ® ¨¡®«¥¥ áãé¥á⢥®, ¢ ãà ¢¥¨ïå ⨯ � ¬¨«ìâ® á ¬ë¬ ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ãç¨âë-¢ ¥âáï ¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå-®á⨠¦¨¤ª®áâ¨, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ãà ¢-¥¨© � £à ¦ ¨ � ¬¨«ìâ® ãç¥â ¤¨ ¬¨ç¥áª®-£® ãá«®¢¨ï ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ᮯà殮 á ¥¬ «ë¬¨âà㤮áâﬨ.� ¬¥ç ¨¥. � á«ãç ¥ ç¨áâ® ¯®áâ㯠⥫ìë夢¨¦¥¨© á®á㤠¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ᢮¡®¤-®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠¬®¦® ãç¥áâì ¯à¨ ¢ë-¢®¤¥ ãà ¢¥¨© � £à ¦ ¨«¨ � ¬¨«ìâ® , ¯à®-áâ® ¢ª«î稢 à ¡®âã ᨫ ¨¥à樨 ¯®áâ㯠⥫쮣®¤¢¨¦¥¨ï ¢ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à-£¨¨, çâ® ¨ ᤥ« ® ¢ [1, ä®à¬ã« (3.4)]. �¤ ª®¯à¨ ¯®ï¢«¥¨¨ ¢à é ⥫ìëå á®áâ ¢«ïîé¨å ¤¢¨-¦¥¨ï á®á㤠íâ®â ¬¥â®¤ 㦥 ¥ à ¡®â ¥â, â ª ª ª¢ ¨â¥£à «¥ � £à ¦ { �®è¨ ¯®ï¢«ïîâáï ç«¥ë,ª®â®àë¥ ¥«ì§ï ®â¥á⨠¨ ª ª¨¥â¨ç¥áª®©, ¨ ª
¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¨. � ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ᮢ¬¥áâ-ëå ¯®áâ㯠⥫ìëå ¨ 㣫®¢ëå ¤¢¨¦¥¨© á®á㤠¨¡®«¥¥ ¯®«ë¥ ãà ¢¥¨ï � ¬¨«ìâ® ¤¨ ¬¨ª¨¦¨¤ª®á⨠¯®«ãç¥ë �. �. �㪮¢áª¨¬ [3, áâà. 72].� ⥮ਨ ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëåãà ¢¥¨©, ª ª ¨§¢¥áâ®, ®á®¡ë© ª« áá ¯à¥¤áâ -¢«ïîâ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¥à §à¥è¥ëå ®â®á¨â¥«ì® ¯à®¨§¢®¤ëå. �¬¥-® ª í⮬㠪« ááã ®â®áïâáï ãà ¢¥¨ï (3), ¢ ª®-â®àëå í«¥¬¥âë ¬ âà¨æ ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå ï-îâáï ¨â¥£à « ¬¨, § ¢¨áï騬¨ ®â ¨áª®¬ëå äãª-権. � ª¨¬ ®¡à §®¬, áâண® £®¢®àï, ¬ë ¨¬¥-¥¬ ¤¥«® ¥ á ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì묨, á ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ì묨 ãà ¢¥¨ï¬¨. � ¬¥â¨¬, ç⮧ ¢¨áï騬¨ ®â ¨áª®¬ëå äãªæ¨© ¨â¥£à « ¬¨ ¢ãà ¢¥¨ïå (3) ïîâáï ¥ ⮫쪮 ª®íää¨æ¨¥-âë ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå, ® ¨ ç áâì ¤àã£¨å ª®íää¨-樥⮢. � á¨á⥬ å ãà ¢¥¨© à áᬠâਢ ¥¬®-£® ª« áá ¡®«ìèãî à®«ì ¨£à îâ ᢮©á⢠¬ âà¨æ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå. �«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨¬¥¨â¥«ì®ª ãà ¢¥¨ï¬ (3) ¢¥áì¬ ¢ ¦ë¬ ï¥âáï ¢®¯à®á® áâàãªâãॠ¬ âà¨æ ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå, ¢ ç áâ®-áâ¨, ®¡ ãá«®¢¨ïå ¨å ¥¢ë஦¤¥®áâ¨.�«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ [1] ¯à¥¤¯®ç⥨¥ ®â-¤ ¢ «®áì ãà ¢¥¨ï¬ � £à ¦ ¨ � ¬¨«ìâ® ¯®áà ¢¥¨î á ãà ¢¥¨ï¬¨ ⨯ � ¬¨«ìâ® , ® 祬ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ¯à¨¢¥¤¥ë© â ¬ ¢ë¢®¤: "On bal-ance, however, it appears that either the Lagrangianformulation of x3 or the Hamiltonian formulation ofx4 o�ers signi�cant advantages vis-�a-vis the formu-lation provided by L� in the present context" 1 [1,áâà. 425]. �® ¯®á«¥¤¨© ¯®¤å®¤ ¯®«ã稫 à §¢¨â¨¥¢ ¤à㣨å à ¡®â å ( ¯à¨¬¥à, [3, 5]). � ç áâ®áâ¨,¯à¨ í⮬ ¯®áâà®¥ë ¡®«¥¥ ®¡é¨¥ ãà ¢¥¨ï ¤¨ -¬¨ª¨ ¦¨¤ª®á⨠[3, áâà. 78], ¨ ãáâ ®¢«¥ ä ªâ â¥á-®© á¢ï§¨ ãà ¢¥¨© ⨯ � ¬¨«ìâ® á ãà ¢¥¨-ﬨ ¬¥â®¤ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨© [3, áâà. 110]. � ª-¦¥ ¢ëï᥮, çâ® ¢ à ¬ª å â ª®£® ¯®¤å®¤ ¬®¦®®¯¨á âì ¬®£¨¥ ¨§¢¥áâë¥ ¥«¨¥©ë¥ íä䥪âë ¢¦¨¤ª®áâ¨, ®¡ àã¦¥ë¥ íªá¯¥à¨¬¥â «ì®. �á¥í⮠ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ¢ ¯®«ì§ã ãà ¢¥¨© ⨯ � -¬¨«ìâ® .�ãé¥áâ¢ãîâ, ®¤ ª®, á«®¦®á⨠¢ ¨á¯®«ì§®¢ -¨¨ 㪠§ ëå ãà ¢¥¨©, ª®â®àë¥ ¯®¡ã¦¤ îâ ªà §à ¡®âª¥ ¤àã£¨å ¬¥â®¤®¢ ¨å à¥è¥¨ï. �¡ë箢 ¯à¨«®¦¥¨ïå ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨¥¬ ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ¨á室ëå ãà ¢¥¨© (3) ª á¨á⥬ ¬ ãà ¢¥¨©2-£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® ®¡®¡é¥ëå ª®®à¤¨- â �n ¯ã⥬ ¨áª«îç¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå Rn á ¯®¬®-éìî ¢â®à®© £à㯯ë ãà ¢¥¨© (3). � १ã«ìâ â¥1"� ¨â®£¥, ®¤ ª®, ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® «¨¡® « £à ¦¥-¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª x3, «¨¡® £ ¬¨«ìâ®®¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª x4¯à¥¤« £ îâ áãé¥áâ¢¥ë¥ ¯à¥¨¬ãé¥á⢠¯® áà ¢¥¨î áä®à¬ã«¨à®¢ª®©, á¢ï§ ®© á L� ¢ ¤ ®¬ ª®â¥ªáâ¥."�. �. �®«®â¥ª® 19
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33¯®«ãç îâáï ¤®¢®«ì® á«®¦ë¥ ¥«¨¥©ë¥ á¨áâ¥-¬ë ãà ¢¥¨©, «¨§ ¨ à¥è¥¨¥ ª®â®àëå ªà ©-¥ § âà㤨⥫ìë ¡¥§ ¯à¨¬¥¥¨ï ¢ëç¨á«¨â¥«ì-ëå ¬ è¨. �묨 á«®¢ ¬¨, ¢ ¢ëç¨á«¨â¥«ì®¬®â®è¥¨¨ í⨠¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥ ã¯à®é îâ -«¨§. �஬¥ ⮣®, á ¬® ¨áª«î票¥ ª¢ §¨áª®à®á⥩Rn ï¥âáï á«®¦®© § ¤ 祩, âॡã¥â £à®¬®§¤ª¨å¢ëç¨á«¥¨© ¨ ¢ë¯®«ï¥âáï ¯à¨¡«¨¦¥®, â ª ç⮯¥à¥å®¤ ®â ¨á室ëå ãà ¢¥¨© ª á¨á⥬¥ ãà ¢¥-¨© 2-£® ¯®à浪 { íâ®, ¯® áãé¥áâ¢ã, § ¬¥ â®ç-ëå ãà ¢¥¨© ¯à¨¡«¨¦¥ë¬¨, ® ¡¥§ ¯®«ã票ï®éã⨬ëå ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå ¢ë£®¤. � ª®© ¯®¤å®¤¯à¨¬¥ï«áï ¤«ï à¥è¥¨ï § ¤ ç ® ª®«¥¡ ¨ïå ¦¨¤-ª®á⨠¢ á®á㤠å 樫¨¤à¨ç¥áª¨å ä®à¬ (ªà㣮¢®£®,ª®«ì楢®£® ¨ í««¨¯â¨ç¥áª®£® á¥ç¥¨©, â ª¦¥ ᤨ饬 ¯à®¨§¢®«ì®© ä®à¬ë) [3, áâà. 100]. �¦¥ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ ¢ ¡®«¥¥ ¯®§¤¥© à ¡®â¥ [5].� á¢ï§¨ á ¨§«®¦¥ë¬ ¢®§¨ª ¥â «ìâ¥à ⨢- ï ¨¤¥ï: ¨á¯®«ì§ãï ¢®§¬®¦®á⨠ᮢ६¥ë媮¬¯ìîâ¥à®¢ (¡®«ì讥 ¡ëáâத¥©á⢨¥ ¨ ¡®«ì让®¡ê¥¬ ¯ ¬ïâ¨), ¯à®¢®¤¨âì ç¨á«¥®¥ ¨â¥£à¨à®-¢ ¨¥ ¨á室ëå ãà ¢¥¨© ⨯ � ¬¨«ìâ® ¥-¯®á।á⢥®, ¡¥§ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì®£® ¯à¥®¡à §®-¢ ¨ï ¨å ¢ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© 2-£® ¯®à浪 , çâ® ¢à拉 § ¤ ç ¤¨ ¬¨ª¨ á¨á⥬ë "⥫® { ¦¨¤ª®áâì"¬®¦¥â ¤ âì ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¯à¥¨¬ãé¥á⢠. �¥ «¨-§ 樨 í⮩ ¨¤¥¨ ¨ ¯®á¢ïé¥ áâ®ïé ï à ¡®â ,æ¥«ì ª®â®à®© { à §à ¡®âª «£®à¨â¬ ç¨á«¥®£®¨â¥£à¨à®¢ ¨ï â®çëå ãà ¢¥¨© ⨯ � ¬¨«ì-â® ¨ à áç¥â á ¥£® ¯®¬®éìî ¯«®áª¨å ¥ãáâ ®¢¨¢-è¨åáï ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ ª«®¥®¬ ¯àאַ-㣮«ì®¬ á®á㤥 ¯®á«¥ ¥£® à §£® . (�âண® £®¢®-àï, "â®ç묨" ïîâáï á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© ¡¥á-ª®¥ç®£® ¯®à浪 . � ¤ ®© à ¡®â¥ ¯®¤ "â®çë-¬¨" ¯®¤à §ã¬¥¢ îâáï ¨á室ë¥, ® ãá¥ç¥ë¥ á¨-á⥬ë.)�¢¨¤ã á«®¦®áâ¨ á ¬¨å ãà ¢¥¨©, ¤«ï ç « ¢ë¡à ®¤ ¨§ ¯à®á⥩è¨å ä®à¬ á®á㤠, ¨¬¥-®, ¯àאַ㣮«ì ï. �஬¥ ⮣®, á 楫ìî ã¯à®-é¥¨ï § ¤ ç¨, ¬ë ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï á«ãç ¥¬ ᢮-¡®¤ëå, ® ¥«¨¥©ëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®áâ¨. � ¯à ªâ¨ª¥ â ª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï ¬®£ãâ ¢®§¨ª âì, -¯à¨¬¥à, ¢® ¢à¥¬ï à ¢®¬¥à®£® ¯®áâ㯠⥫쮣®¤¢¨¦¥¨ï á®á㤠áà §ã ¯®á«¥ ¥£® à §£® . �ç¨âë-¢ ï ¯à¨¬¥¥¨¥ ¯®«ãç ¥¬ëå १ã«ìâ ⮢ ¨ ª ¤¨ -¬¨ª¥ à §£®ï¥¬ëå «¥â ⥫ìëå ¯¯ à ⮢ á ¦¨¤-ª¨¬¨ £à㧠¬¨, à áᬠâਢ ¥¬ ¢® ¢à¥¬ï à §£® ¥ áâண® ¢¥à⨪ «ìë©, ¥áª®«ìª® ª«®¥ë©á®áã¤.� ¬¥â¨¬, çâ® § ¤ ç ® ¥«¨¥©ëå ᢮¡®¤ë媮«¥¡ ¨ïå ¨¤¥ «ì®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®á⨠¢¯àאַ㣮«ì®¬ á®á㤥 ®â®á¨âáï ª ç¨á«ã á«®¦ëå¨ ¤® ª®æ ¥ à¥è¥ . � ç áâ®áâ¨, ¥ ¤®ª § ® áã-é¥á⢮¢ ¨¥ ¥¥ â®ç®£® à¥è¥¨ï. � §«¨çë¥ ¯à¨-
¡«¨¦¥ë¥ à¥è¥¨ï áâந«¨áì ¢ à ¡®â å [1,6], £¤¥â ª¦¥ ¨¬¥¥âáï ¡¨¡«¨®£à ä¨ï à ¡®â á ¡®«¥¥ ç áâ-묨 १ã«ìâ â ¬¨ ¯® í⮬㠢®¯à®áã.1. ����������������� ������� áᬠâਢ ¥âáï ¯àאַ㣮«ìë© ¥¤¥ä®à¬¨àã-¥¬ë© á®áã¤, ç áâ¨ç® § ¯®«¥ë© ¨¤¥ «ì®© ®¤-®à®¤®© ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâìî ¯«®â®á⨠�.� á®á㤮¬ ¦¥á⪮ á¢ï§ ¯à ¢ ï ¤¥ª à⮢ á¨-á⥬ ª®®à¤¨ â Oxyz, ç «® O ª®â®à®© à §¬¥-饮 ¢ æ¥âॠá®á㤠, ®á¨ x; y; z ¯ à ««¥«ì륣® à¥¡à ¬ á ¤«¨ ¬¨ 2a, 2b, 2c ᮮ⢥âá⢥®.�áï á¨á⥬ "á®áã¤{¦¨¤ª®áâì" 室¨âáï ¢ ¯®«¥á¨«ë â殮á⨠¨ ¤¢¨¦¥âáï ®â®á¨â¥«ì® ¥ª®â®-ன ¨¥àæ¨ «ì®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â O����, ®áìO�� ª®â®à®© ¯à ¢«¥ ¯® ¢¥ªâ®àã g0 ã᪮२ïᨫë â殮á⨠¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦®¬ ¥¬ã ¯à ¢«¥-¨¨.�®á㤠ᮢ¥àè ¥â ¯®áâ㯠⥫쮥 ¤¢¨¦¥¨¥, ª®-â®à®¥ á®á⮨⠨§ ¤¢ãå íâ ¯®¢. � ¯¥à¢®¬ íâ ¯¥ ®¤¢¨¦¥âáï à ¢®ã᪮८ (à ¢®§ ¬¥¤«¥®), ¯à¨-祬 ¢¥ªâ®à ã᪮२ï w0 ¢ ¯à®¥ªæ¨ïå ®á¨ O����¨¬¥¥â ¢¨¤ w0 = (0; w; 0) (w = const):
�¨á. 1. �奬 á®áã¤ á ¦¨¤ª®áâìî ¨ á¨á⥬몮®à¤¨ â; ¢¥ªâ®à n ®¡®§ ç ¥â ®à¬ «ì ª "§¥àª «ã"¦¨¤ª®áâ¨, ᮢ¯ ¤ îéãî á ¢¥ªâ®à®¬ ª ¦ã饣®áïã᪮२ï w0 � g0 (w0 { ¢¥ªâ®à ã᪮२ï á®á㤠)� ¢â®à®¬ íâ ¯¥ á®á㤠ᮢ¥àè ¥â à ¢®¬¥à®¥¤¢¨¦¥¨¥ ᮠ᪮à®áâìî, ¤®á⨣ã⮩ ¯¥à¢®¬íâ ¯¥ (¢ ç áâ®áâ¨, ¯®ª®¨âáï). �஬¥ ⮣®, ® ¬®-¦¥â ¡ëâì ¯®¢¥àãâ ¢®ªà㣠®á¨ Ox, ᮢ¯ ¤ î饩¢ «î¡®© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t á ®áìî O��, ¥ª®-â®àë© ã£®«. �£«®¢®¥ ¯®«®¦¥¨¥ á®á㤠å à ªâ¥-ਧã¥âáï 㣫®¬ � ®âª«®¥¨ï ®á¨ Oz ®â ®á¨ O��(� áç¨â ¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ìë¬ ¯à¨ ¯®¢®à®â¥ á®áã-20 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33¤ ¯à®â¨¢ 室 ç ᮢ®© áâ५ª¨, ¥á«¨ ᬮâà¥âì ᯮ«®¦¨â¥«ì®£® ¯à ¢«¥¨ï ®á¨ Ox, à¨á. 1).�।¯®« £ ¥âáï, çâ®:1) ¦¨¤ª®áâì ᮢ¥àè ¥â ¯«®áª®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¯ -à ««¥«ì® ¯«®áª®á⨠Oyz,2) ¯®«¥ ¡á®«î⮩ ᪮à®á⨠¦¨¤ª®á⨠ï¥â-áï ¯®â¥æ¨ «ìë¬,3) á®á㤠®âªàëâë©,4) ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì �(t) ¬®¦¥â ¡ëâì¯à¥¤áâ ¢«¥ ï¢ë¬ ãà ¢¥¨¥¬z = �(y; t); (5)5) ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t0 ¦¨¤ª®áâì¢ë¢¥¤¥ ¨§ ¯®«®¦¥¨ï à ¢®¢¥á¨ï ¨ ¯®ª®¨âáï®â®á¨â¥«ì® á®á㤠, ¥¥ ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì§ ¤ ãà ¢¥¨¥¬z = �0(y); y 2 [�b; b];6) ¤® á®á㤠¨ ¯à¨ ª ª¨å t ¥ ®¡ ¦ ¥âáï,7) äãªæ¨ï �(y; t) ¬®¦¥â ¯à¨¨¬ âì § 票ï,ᮨ§¬¥à¨¬ë¥ á £«ã¡¨®© § ¯®«¥¨ï á®á㤠H0.�ॡã¥âáï à ááç¨â âì ᢮¡®¤ë¥ ª®«¥¡ ¨ï¦¨¤ª®áâ¨, ¨¬¥®: ¤«ï «î¡®£® ¬®¬¥â ¢à¥-¬¥¨ t 2 [t0; t1] ©â¨ ®â®á¨â¥«ìãî ᪮à®áâìu(y; z; t) ¦¨¤ª®áâ¨; ¯®«¥ ¤ ¢«¥¨© P (y; z; t) ¢ ¦¨¤-ª®á⨠¢¯«®âì ¤® £à ¨æë S(t) ¦¨¤ª®© ®¡« áâ¨(S(t) { á¬®ç¥ ï ç áâì ¢ãâ॥© ¯®¢¥àå®áâ¨á®á㤠); ä®à¬ã ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠�(t), â.¥.äãªæ¨î �(y; t) ¨§ ãà ¢¥¨ï (5).�â१®ª ¢à¥¬¥¨ [t0; t1] áç¨â ¥âáï ª®¥çë¬.2. �������� ��������{��������������á室 ï ç «ì®{ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï à áᬠ-âਢ ¥¬®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨, ª ª ¨§¢¥áâ-®, ¨¬¥¥â ¢¨¤ (á«ãç © ¤¢¨¦¥¨ï á®á㤠¡¥§ ã᪮-२ï):4'(r; t) = 0; r 2
(t); t 2 (t0; t1); (6)@'@� = 0; r 2 S(t); (7)@'@� = �tq1 + �2y ; r 2 �(t); (8)'t + 12(r')2 � g(�) � r = C(t)� p0� ; r 2 �(t); (9)'(r; t0) = '0(r); �(y; t0) = �0(y);(4'0 = 0; r 2
(t0)); (10)Z
(t) d
(t) = V = const: (11)
�¤¥áì '(r; t) { ¯®â¥æ¨ « ®â®á¨â¥«ì®© ᪮à®áâ¨u(r; t) ¦¨¤ª®áâ¨, â ª çâ® u = r' (®¯¥à â®à r ¤¥©-áâ¢ã¥â ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ y; z); r = (y; z) { à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à ¯à®¨§¢®«ì®© ¦¨¤ª®© ç áâ¨æë ¢ á¨áâ¥-¬¥ ª®®à¤¨ â Oyz;
(t) { § ïâ ï ¦¨¤ª®áâìî ¢¬®¬¥â t ¯«®áª ï ®¡« áâì á £à ¨æ¥© S(t) + �(t);�(r; t) { ®àâ ¢¥è¥© ®à¬ «¨ ª £à ¨æ¥ ®¡« áâ¨
(t); g(�) = (�g sin(�);�g cos(�)){ ¢¥ªâ®à ã᪮२ï g0 ᨫ â殮á⨠¢ ¯à®¥ªæ¨ïå ¯®¤¢¨¦ë¥ ®á¨ Oyz; g { ¢¥«¨ç¨ ¢¥ªâ®à ã᪮à¥-¨ï ᨫ â殮áâ¨; p0 = const { ¯®áâ®ï®¥ ¤ ¢«¥¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®áâ¨; '0(r) { äãª-æ¨ï ' ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t0; V = const{ ®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨. �¨¦¨¥ ¨¤¥ªáë ®¡®§ ç -îâ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯¥-६¥ë¬, ®¯¥à â®à 4 ¤¥©áâ¢ã¥â ¯® y; z, â®çª "�" ®¡®§ ç ¥â ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢.�¥¨§¢¥áâ묨 ïîâáï äãªæ¨¨ '(r; t), �(y; t).�áâ «ìë¥ ¯ à ¬¥âàë �, p0, C(t), �, '0(r), �0(y),V , t0, t1, â ª¦¥ ¯®¢¥àå®áâì ¯®«®á⨠S(t) áç¨â -îâáï § ¤ 묨.� ç «ì®{ªà ¥¢ ï § ¤ ç (6) { (11) ª« áá¨ä¨æ¨-àã¥âáï ª ª § ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¢ ç áâëå ¯à®¨§-¢®¤ëå ¢ ¨§¬¥ïî饩áï á® ¢à¥¬¥¥¬ ¥¨§¢¥á⮩®¡« áâ¨, á ¥«¨¥©®áâﬨ ¢ £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå¨ á ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ¨â¥£à «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬. �¥à §à¥è¨¬®áâì ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥ ¤®ª § . � «ì-¥©è¥¥ ¥¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¢ë¯®«ï¥âáï á ¯®¬®éìî¢ à¨ æ¨®®£® ¬¥â®¤ ¢ ä®à¬¥ �¥©â¬¥ { �îª { �̈ §¥¬ [1,3].3. ������������� ������������������� áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî ¢ ਠ樮ãî § ¤ çã:J ['; �]! extr; Z
(t) d
(t) = V: (12)�¤¥áì J ['; �] ï¥âáï ¨â¥£à «ìë¬ äãªæ¨® -«®¬ ¢¨¤ J ['; �] = Z t1t0 L(t; 't;r'; �)dt (13)á ¨â¥£à ⮬L(t; 't;r'; �) = Z
(t)(P (r; t; 't;r')� p0)d
(t);(14)P (r; t; 't;r') = �[C(t)� 't � 12(r')2 + g(�) � r]:(15)�. �. �®«®â¥ª® 21
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33� ¯¨áì (12) ®§ ç ¥â, çâ® ¥®¡å®¤¨¬® ©â¨ ¯ àãäãªæ¨© ('; �), ¤®áâ ¢«ïîé¨å íªáâ६㬠(¬¨¨-¬ã¬ ¨«¨ ¬ ªá¨¬ã¬) äãªæ¨® «ã (13) á ®¤®¢à¥-¬¥ë¬ ¢ë¯®«¥¨¥¬ ¨â¥£à «ì®£® ãá«®¢¨ï ¯®-áâ®ïá⢠®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨. � [3] ¯®ª § ®, ç⮢ ਠ樮 ï § ¤ ç (12) { (15) íª¢¨¢ «¥â ªà -¥¢®© § ¤ ç¥ (6) { (11), ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (8) ï¥â-áï ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ¤«ï ¥¥. �ਬ¥ïï ¯àאַ© ¬¥â®¤� ©«á { �㪮¢áª®£® ¤«ï à¥è¥¨ï ¢ ਠ樮®©§ ¤ ç¨ (12) { (15), ¢¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ¯¯à®ªá¨¬ -樨 ¨áª®¬ëå äãªæ¨©:�(y; t) ' �N (y; t) = NXn=0 �n(t)fn(y); (16)'(r; t) ' 'M (r; t) = MXm=0Rm(t)'m(r); (17)£¤¥ ffn(y)gNn=0; f'm(r)gMm=0{ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ âëå äãªæ¨©, ª®â®àë¥ ¡ã-¤ãâ ¢ë¡à ë ¨¦¥; �n(t) { ®¡®¡é¥ë¥ ª®®à¤¨- âë ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨; Rm(t) { ®¡®¡é¥-ë¥ ª¢ §¨áª®à®á⨠¦¨¤ª®á⨠(â¥à¬¨ "ª¢ §¨áª®-à®áâ¨" ®¯à ¢¤ ⥬, çâ® ¢¥«¨ç¨ë Rm ïîâ-áï, ª ª ¢¨¤® ¨§ ãà ¢¥¨ï (3), «¨¥©ë¬¨ ª®¬-¡¨ æ¨ï¬¨ ®¡®¡é¥ëå ᪮à®á⥩ _�n); N;M { æ¥-«ë¥ ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ ç¨á« . � ¤ ç § ª«îç ¥âáï ¢ 宦¤¥¨¨ äãªæ¨© �n(t), Rm(t). �®áâந¬ á¨-á⥬ã á®®â®è¥¨©, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å í⨠äãªæ¨¨.�®¤áâ ®¢ª ãà ¢¥¨© (16), (17) ¢ (14) á ãç¥â®¬(15) ¤ ñâ á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¨â¥£à â :L(t; 't;r'; �) ' L1(t; �;R); (18)£¤¥ ¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ï� = (�0; : : : ; �N ); R = (R0; : : : ; RM);L1(t; �;R) = � Z
(t)[C(t)� p0� � MXk=0 dRkdt 'k��12( MXk=0Rkr'k)2 + g(�) � r]d
(t): (19)�§¢¥áâ®, ¤ «¥¥, çâ® á¨á⥬ ãà ¢¥¨© �©«¥à ¢ ਠ樮®© § ¤ ç¨ (12) á ¨â¥£à ⮬ L ¬®-¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢¥¨© � £à -¦ ¢â®à®£® த ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨¨ L. �ç¨-âë¢ ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (18), § ¯¨è¥¬ ¨å ª ª@L1@�i = 0; i = 0; 1; : : :; N; (20)
ddt @L1@ _Rk � @L1@Rk = 0;k = 0; 1; : : : ;M: (21)�®¤áâ ¢¨¬ ¢ ãà ¢¥¨ï (20), (21) ¢ëà ¦¥¨¥(19) ¨ ¢ë¯®«¨¬ ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï.�®£¤ ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî á¨á⥬㠨⥣à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ¥¨§-¢¥áâëå äãªæ¨© Rk(t), �i(t) ¨§ ¯¯à®ªá¨¬ 権(16), (17):MXk=0 @Ak@�i dRkdt + 12 MXk;j=0 @Akj@�i RkRj == 3Xn=2 gn @ln@�i + [C(t)� p0� ]Fi[D(�)];i = 0; 1; : : : ; N; (22)NXi=0 @Ak@�i d�idt � MXj=0AkjRj = 0;k = 0; 1; : : : ;M: (23)�¤¥áì gn (n = 2; 3) { ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¥ªâ®à g0 ®á¨y; z ᮮ⢥âá⢥®; ln (n = 2; 3) { áâ â¨ç¥áª¨¥ ¬®-¬¥âë ¨¥à樨 ¦¨¤ª®© ¬ ááë ¢ ¬®¬¥â t, ¯à¨ç¥¬l2 = � Z
(t) yd
(t); l3 = � Z
(t) zd
(t): (24)�஬¥ ⮣®, (k; j = 0; 1; : : : ;M ),Ak = � Z
(t)'k(y; z)d
(t); (25)Akj = � Z
(t)r'k � r'jd
(t); (26)Fi[D(�)] = � ZD(�) fi(y)dD;i = 0; 1; : : :N: (27)� ä®à¬ã«¥ (27) ®¡« áâì ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï D(�)¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®¥ªæ¨î ®áì Oy ᢮-¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠�(t). �®áª®«ìªã á®á㤠®â-ªàëâë© ¨ ¤® ¥ ®¡ ¦ ¥âáï, D(�) = [�b; b].� ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ®¡é¥© ç «ì®-ªà ¥¢®© § -¤ ç¨ (6){(10) ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¥®¡à §ã-îâáï ¢ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï á¨á⥬ ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© (22), (23). � ᨫã(10) ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¨¬¥¥¬'(r; t0) = '0(r):22 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33�।áâ ¢«ïï ¯à ¢ãî ç áâì í⮣® à ¢¥á⢠¢ ¢¨-¤¥ ª®¥ç®© á㬬ë àï¤ �ãàì¥ ¯® ª®®à¤¨ âë¬äãªæ¨ï¬ f'm(y; z)g, â.¥.'0(y; z) = MXm=0 am'm(y; z);¨ ¯à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëåä®à¬ å 'm ¢ á㬬 å ¤«ï '(y; z; t0) ¨ '0(y; z), ¯à¨-室¨¬ ª â ª¨¬ ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬:Rm(t0) = am; m = 0; 1; : : : ;M: (28)� «®£¨ç®,�n(t0) = bn; n = 0; 1; : : :; N; (29)£¤¥ bn { ª®íää¨æ¨¥âë à §«®¦¥¨ï ¢ àï¤ �ãàì¥ ¯®ª®®à¤¨ âë¬ äãªæ¨ï¬ ffn(y)g § ¤ ®© äãª-樨 �0, â.¥. �0(y) = NXn=0 bnfn(y):�â ª, ¨á室 ï ç «ì®-ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¤«ï ãà ¢-¥¨ï ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå (6){(11) ᢥ¤¥ ª§ ¤ ç¥ �®è¨ ¤«ï á¨áâ¥¬ë ®¡ëª®¢¥ëå ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© (22), (23). �â á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ®â®á¨âáï ª ª« ááã ¥«¨¥©-ëå á¨á⥬ ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥-¨© ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¥ à §à¥è¥ëå ®â®á¨â¥«ì-® ¯à®¨§¢®¤ëå. � ï¥âáï ¢â®®¬®©, â ªª ª ¥ ᮤ¥à¦¨â ¢ ¬ ¢¨¤¥ t. �®à冷ª á¨áâ¥-¬ë à ¢¥ N + M + 2. �¥¯¥àì ¤«ï «¨§ ¤¨ -¬¨ª¨ ¦¨¤ª®á⨠¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì ®¤¨ ¨§ ç¨á«¥-ëå ¬¥â®¤®¢ ⥮ਨ ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨- «ìëå ãà ¢¥¨©, çâ® ¢® ¬®£¨å ®â®è¥¨ïå ¢ë-£®¤¥© ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© ¢ ç áâëå¯à®¨§¢®¤ëå.�§ ä®à¬ã« (24) { (26), ¢¨¤®, çâ® ¢¥«¨ç¨ë li,Ak, Akj ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ ¯¥à¥¬¥ëå �0, . . . ,�N ¨ ¥ § ¢¨áïâ ®â R0, . . . , RM . �«¥¤®¢ ⥫ì®,ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâ-áï ¨â¥£à « ¬¨ ¯® ¯¥à¥¬¥®© ®¡« áâ¨
(t), â ª-¦¥ § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â ¥¨§¢¥áâëå �i. �¨á⥬ ãà ¢¥¨© (22), (23) ᮢ¯ ¤ ¥â á â®ç®áâìî ¤®®¡®§ 票© ¨ á« £ ¥¬®£®[C(t)� p0� ]Fi[D(�)]á á¨á⥬®© ãà ¢¥¨© (7.8), (7.9) à ¡®âë [3, áâà.57] ¤«ï 樫¨¤à¨ç¥áª®£® á®á㤠, ¥á«¨ ¢ ¯¥à¢®© ¯®-«®¦¨âì 㣮« ¯®¢®à®â á®á㤠� = 0. �஬¥ ⮣®,¬®¦® ¯®ª § âì [7, áâà. 81], çâ® ¤«ï ¯àאַ㣮«ì-®£® á®á㤠ddtAk = NXi=0 @Ak@�i d�idt :
�«®¦®áâì á¨á⥬ ãà ¢¥¨© (22), (23) ®ç¥¢¨¤- . �¤¨ ¨§ ¬¥â®¤®¢ ¥¥ ¯à¨¡«¨¦¥®£® à¥è¥¨ï§ ª«îç ¥âáï ¢ § ¬¥¥ á ¯®¬®éìî ãà ¢¥¨© (22)¯ à ¬¥â஢ Rk ¨å «¨¥©ë¬¨ ä®à¬ ¬¨ ®â d�i=dt¨ ¯®á«¥¤ãî饣® ᢥ¤¥¨ï ¢á¥© á¨áâ¥¬ë ª á¨á⥬¥ãà ¢¥¨© 2-£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨© �i[3, áâà. 58]. �¤ ª®, ª ª ¯®ª §ë¢ îâ ¨áá«¥¤®¢ -¨ï, íâ®â ¬¥â®¤ ᮯà殮 á £à®¬®§¤ª¨¬¨ ¢ëª« ¤-ª ¬¨ ¯à¨ ¯®«ã票¨ ª®ªà¥âëå ¢ëà ¦¥¨© 㯮-¬ïãâëå «¨¥©ëå ä®à¬ ¤«ï Rk ¨ 宦¤¥¨¨ ¨å¯à®¨§¢®¤ëå dRk=dt ¤«ï ¯¥à¥å®¤ ®â (23) ª ãà ¢-¥¨ï¬ 2-£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® �i. � å à ªâ¥-ॠ¢®§¨ª îé¨å ¯à¨ í⮬ âà㤮á⥩ ¬®¦® áã-¤¨âì ¯® १ã«ìâ â ¬ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¤«ï ª®«ìæ¥-¢®£® 樫¨¤à , ª®£¤ ¢ ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ïå ᢮¡®¤®©¯®¢¥àå®á⨠� ¨ ¯®â¥æ¨ « ' 㤥ন¢ «®áì ¯®¯ïâì á« £ ¥¬ëå [3, áâà. 104]. �«ìâ¥à ⨢멬¥â®¤ § ª«îç ¥âáï ¢ ç¨á«¥®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (22), (23) ¡¥§ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì®-£® ᢥ¤¥¨ï ¥¥ ª á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨© 2-£® ¯®à浪 .� §à ¡®âª í⮣® ¬¥â®¤ ¨ «£®à¨â¬ ¥£® ç¨á«¥-®© ॠ«¨§ 樨 ª®¬¯ìîâ¥à å (¢ á«ãç ¥ ¯àאַ-㣮«ì®£® á®á㤠) ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¨¦¥.4. ������������ ��������¯à¥¤¥«¨¬áï á ª®®à¤¨ â묨 äãªæ¨ï¬¨ fi(y)¨ 'k(y; z) ¢ ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ïå (16), (17). � ª ç¥á⢥⠪®¢ëå ¢ë¡¥à¥¬ à¥è¥¨ï «¨¥©®© § ¤ ç¨ ® ᢮-¡®¤ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¦¨¤ª®á⨠¢ áâண® ¢¥à⨪ «ì-®¬ ¡ ª¥ (� = 0), â. ¥. á«¥¤ãî饩 ᯥªâà «ì®©§ ¤ ç¨ á ¯ à ¬¥â஬ ¢ £à ¨ç®¬ ãá«®¢¨¨:4'k = 0 ¢
0;@'k@y jy=�b = 0; @'k@z jz=�c = 0;@'k@z jz=h0 = �2kg 'k;£¤¥
0; h0 { ᮮ⢥âá⢥® ®¡« áâì
(t) ¨ z-ª®®à¤¨ â "§¥àª « " ¦¨¤ª®á⨠¢ ¥¯®¤¢¨¦®¬á®á㤥 ¯à¨ � = 0, �k { k-ï ᮡá⢥ ï ç áâ®â ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®áâ¨.�¥è¥¨¥ í⮩ § ¤ ç¨, ª ª ¨§¢¥áâ®, ¬®¦¥â ¡ëâì¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥'k(y; z) = cos(k�y)ch [k�(z + c)]; k = 0; 2; 4; : : : ;'k(y; z) = sin(k�y)ch [k�(z + c)]; k = 1; 3; 5; : : :;�k = pkg�th [k�(h0 + c)];£¤¥ � = �2b : (30)�. �. �®«®â¥ª® 23
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33�ਠ⠪®¬ ¢ë¡®à¥ ª®®à¤¨ âëå äãªæ¨© ¢®«®-¢®© ¯®â¥æ¨ « ' ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥'(y; z; t) '' MXk=0(�1)E((k+1)=2)Rk(t) cos[k(�y+�2 )]ch [k�(z+c)];(31)£¤¥ E((k + 1)=2) { 楫 ï ç áâì ç¨á« (k + 1)=2.�¥¯®á।á⢥® ¬®¦® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¢ ¨á室-®© § ¤ ç¥ (6){(11) § áç¥â ¢ë¡®à ª®®à¤¨ âëåäãªæ¨© ¢ ¯¯à®ªá¨¬ 樨 (31) ¯®â¥æ¨ « ' ®ª -§ë¢ îâáï 㤮¢«¥â¢®à¥ë¬¨ ãà ¢¥¨¥ � ¯« á ,ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨¥ ãá«®¢¨ï £à ¨æ¥ S(t) ¯®«®á⨨ ãá«®¢¨¥ £ ମ¨ç®áâ¨ ç «ì®£® ¯®â¥æ¨ « .�áâ «ìë¥ á®®â®è¥¨ï (ª¨¥¬ â¨ç¥áª®¥ ¨ ¤¨ -¬¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨ï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ãá«®-¢¨¥ ¯®áâ®ïá⢠®¡ê¥¬ ) ¤®«¦ë ¡ëâì 㤮¢«¥â¢®-à¥ë § áç¥â äãªæ¨© Rk(t) ¨ �(y; t) (¯®á«¥¤ïﮯ।¥«ï¥âáï ¢ë¡®à®¬ �i(t), fi(y)).�¡à ⨬áï ª ª®®à¤¨ âë¬ äãªæ¨ï¬ fi(y).�롥६ ¨å á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:ffi(y)gNi=0 = f1; sin(�y); cos(2�y); sin(3�y); : : :g:(32)�®£¤ , ¢ ᨫã ãà ¢¥¨ï (16), ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå-®áâì �(t) ¯à¥¤áâ ¢¨âáï ¢ ¢¨¤¥z ' NXi=0(�1)E((i+1)=2)�i(t) cos[i(�y + �2 )]: (33)�¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ëà ¦¥-¨¥¬ (33) ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨© ¯®-áâ®ïá⢠®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨. �¥©á⢨⥫ì®,®¡« áâì ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
(t) ¢ ãá«®¢¨¨ (11) ®¯à¥-¤¥«ï¥âáï ª ª ¯«®áª®¥ ¬®¦¥á⢮ ¢¨¤
(t) = f(y; z) : j y j< b; �c < z < �(y; t)g:�«¥¤®¢ ⥫ì®,Z
(t) d
(t) = Z b�b Z �(y;t)�c dzdy == Z b�b[�(y; t) + c]dy:� â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ®¡êñ¬ ¦¨¤ª®áâ¨, ®ç¥¢¨¤®, à ¢¥V = 2b(c+ h0):� ãç¥â®¬ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨© ãá«®¢¨¥ (11) ¡ã¤¥â¨¬¥âì ¢¨¤ Z b�b[�(y; t) + c]dy = 2b[c+ h0]:
�®¤áâ ®¢ª ¢ ¥£® ä®à¬ã« (33) ¤ ¥â à ¢¥á⢮Z b�b[�0((t) + c]dy = 2b[c+ h0];ª®â®à®¥ ¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¨�0(t) � h0: (34)� ª¨¬ ®¡à §®¬, ãá«®¢¨¥ ¯®áâ®ïá⢠®¡ê¥¬ ¦¨¤-ª®á⨠®ª §ë¢ ¥âáï ¢ë¯®«¥ë¬ ¨ áà §ã ¤ ¥â § -票¥ ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ �0(t). �®§¦¥ ¢ëïá¨âáï,çâ® ¢ à¥è¥¨ïå ãà ¢¥¨© ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®áâ¨(22), (23) äãªæ¨ï �0(t) ¤®«¦ ¡ëâì ¨¬¥® â -ª®©.� ¬¥â¨¬, çâ® ¢ [1, áâà. 422] ¡ë«® �0(t) � 0.�â® á¢ï§ ® á ¢ë¡®à®¬ ç « á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨- â Oxyz ¯®¢¥àå®á⨠¥¢®§¬ã饮© ¦¨¤ª®-á⨠¯à¨ ãá«®¢¨¨ h0 = 0.5. ��������� ������ ������������� �����������ª §ë¢ ¥âáï, â®çë¥ ãà ¢¥¨ï (22), (23) ¢á«ãç ¥ ¯àאַ㣮«ì®£® á®á㤠¨¬¥îâ ¤®áâ â®ç®¯à®áâãî ¤«ï ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨ï áâàãªâãàã ¤ ¦¥¡¥§ âà ¤¨æ¨®ëå ã¯à®é¥¨©, á¢ï§ ëå á 㤥à-¦ ¨¥¬ ¢ ¨å «¨èì ç«¥®¢ ®¯à¥¤¥«¥®£® ¯®à浪 ¬ «®áâ¨. �®ª ¦¥¬ íâ®. �।áâ ¢¨¬ ¨å ¢ á«¥¤ãî-饬 ¬ âà¨ç®¬ ¢¨¤¥:AT (�)dRdt = K(�) � g(�) + [C(t)� p0� ]F (�)��12r�[RT �B(�) �R]; (35)A(�)d�dt = B(�) �R: (36)�¤¥áì ¢¢¥¤¥ë á«¥¤ãî騥 ¬ âà¨æë (¢¥à娩 ¨-¤¥ªá T ®¡®§ ç ¥â âà ᯮ¨à®¢ ¨¥ ¬ âà¨æë):A(�) { (M + 1)� (N + 1)-¬ âà¨æ á í«¥¬¥â ¬¨aki(�) = @Ak(�)@�i ; k = 0; : : : ;M; i = 0; : : : ; N ;(37)B(�) { (M + 1)� (M + 1)-¬ âà¨æ á í«¥¬¥â ¬¨bki(�) = Aki(�); k; i = 0; : : : ;M ; (38)r� { ®¯¥à â®à £à ¤¨¥â ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ �0,�1; : : : ; �N ; K(�) { âà ᯮ¨à®¢ ï 2� (N +1)-¬ âà¨æ �ª®¡¨ ®â®¡à ¦¥¨ï l(�), â.¥.K((N+1)�2)(�) = [ @(l2; l3)@(�0; �1; : : : ; �N ) ]T ; (39)24 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33F (�) = [F0(�); F1(�); : : : ; FN (�)]T{ ¢¥ªâ®à-á⮫¡¥æ á ª®¬¯®¥â ¬¨ Fi(�) = Fi[D(�)](27); r�(RT � B(�) � R) { £à ¤¨¥â ª¢ ¤à â¨ç-®© ä®à¬ë ®â ¯¥à¥¬¥ëå R0; R1; : : : ; RM á ¬ -âà¨æ¥© B(�). �à ¢¥¨ï (35), (36) áà ¢¨â¥«ì®¯à®áâ® § ¢¨áï⠮⠨᪮¬ëå äãªæ¨© Rk(t) ¨ ¤®-¢®«ì® á«®¦ë¬ ®¡à §®¬ ¢ª«îç î⠨᪮¬ë¥ äãª-樨 �i(t), ª®â®àë¥ ¢å®¤ïâ ¨ ¢ ¯®¤ëâ¥£à «ìë¥äãªæ¨¨, ¨ ¢ ¯à¥¤¥«ë ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. �믮«-ïï ¤ «ì¥©è¨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á¨á⥬ (35), (36),¯®¬¥ï¥¬ ¬¥áâ ¬¨ á®áâ ¢«ïî騥 ¥¥ ¬ âà¨çë¥ãà ¢¥¨ï ¨ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¬ âà¨ç®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥K(�) � g(�) ¢ ¢¨¤¥ á㬬:K(�) � g(�) = �g cos(�)K0 � � � g sin(�)K1; (40)£¤¥ K0 ¨ K1 { ᮮ⢥âá⢥® ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¨ ¢¥ªâ®à-á⮫¡¥æ à §¬¥à (N + 1), ª®â®àë¥ ¡ã¤ã⮯¨á ë ¨¦¥. � १ã«ìâ ⥠á¨á⥬ ãà ¢¥¨©(35), (36) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª á«¥¤ãî饬㠤®áâ â®ç®ã¤®¡®¬ã ¤«ï ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨ï ¢¨¤ã:� 0 A(�)AT (�) 0 � ddt � R� � == � B(�) 00 �g cos(�)K0 � � R� ���12 � 0S(�;R) �� g sin(�) � 0K1 �++ � 0(C(t) � p0=�)F (�) � : (41)�¤¥áì ¤«ï ª®¬¯ ªâ®á⨠§ ¯¨á¨ ¢¢¥¤¥ ¢¥ªâ®à ª¢ -¤à â¨çëå ä®à¬ ¯® ¯¥à¥¬¥ë¬ Rk, ®¯à¥¤¥«ï¥-¬ë© ä®à¬ã«®©S(�;R) = r�(RT �B(�) �R):�â®â ¢¥ªâ®à ¨¬¥¥â à §¬¥à®áâì N + 1, ª -¦¤ ï ¥£® ª®¬¯®¥â ï¥âáï ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à-¬®© ¯® Rk á ¬ âà¨æ¥©, ®¡®§ ç ¥¬®© ¢ ¤ «ì¥©-襬 ç¥à¥§ S(i), i = 0; 1; : : : ; N . �¥¯¥àì ãà ¢¥-¨ï ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠(41) ¬®¦® ª« áá¨ä¨æ¨-஢ âì ª ª ª¢ §¨«¨¥©ë¥ ¢â®®¬ë¥ ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ,¯à ¢ë¥ ç á⨠ª®â®àëå ᮤ¥à¦ â «¨¥©ë¥ ¯® Rk,�i ¨ ª¢ ¤à â¨çë¥ ¯® Rk ä®à¬ë á ª®íää¨æ¨¥â -¬¨, § ¢¨áï騬¨ ®â �i. �⨠ª®íää¨æ¨¥âë ®¯à¥-¤¥«ïîâáï á«¥¤ãî騬¨ ä®à¬ã« ¬¨: ¬ âà¨æ A =(aki) { aki = � Z b�b fi(y)'k(y; �(y; �))dy;k = 0; 1; : : :;M; i = 0; 1; : : : ; N ; (42)
¬ âà¨æ B = (bkj) {bkj = � Z b�b Z �(y;�)�c r'k � r'jdzdy;k; j = 0; 1; : : : ;M ; (43)¬ âà¨æ K0 = (kij) {kij = � Z b�b fi(y)fj (y)dy;i; j = 0; 1; : : :; N ; (44)¬ âà¨æë S(i) = (s(i)kj ) ¢¥ªâ®à ª¢ ¤à â¨çëå ä®à¬S(�;R) {s(i)kj = � Z b�b fi(y)[r'k � r'j]z=�(y;�)dy;k; j = 0; 1; : : :;M; i = 0; 1; : : : ; N ; (45)¢¥ªâ®à K1 = (k(1)i ) {k(1)i = � Z b�b fi(y)f1(y)dy;i = 0; 1; : : :; N ; (46)¢¥ªâ®à F (�) = (Fi) {Fi = � Z b�b fi(y)dy;i = 0; 1; : : :; N: (47)� á®®â®è¥¨ïå (42) { (47) ª®®à¤¨ âë¥ äãªæ¨¨'k(y; z), fi(y) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨ (30), (32).�à ¢¥¨ï (41) ®¡« ¤ îâ ®¯à¥¤¥«¥®© ᨬ¬¥âà¨-¥©. �§ ä®à¬ã« (43), (44) ¤«ï í«¥¬¥â®¢ ¬ âà¨æB(�), K0 á«¥¤ã¥â, çâ® ¬ âà¨æ � B(�) 00 �g cos(�)K0 �ï¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©. �¨¬¬¥âà¨ç â ª¦¥ ¨¬ âà¨æ ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå� 0 A(�)AT (�) 0 � :�¨¬¬¥âà¨ç®áâì í⮩ ¬ âà¨æë á®åà ï¥âáï ¤ ¦¥¯à¨ N 6= M . �§ ®à⮣® «ì®á⨠á¨á⥬ ª®®à-¤¨ âëå äãªæ¨© ffig ®â१ª¥ [-b, b] á«¥¤ã¥â,çâ® ¬ âà¨æ K0 ¡ã¤¥â ¤¨ £® «ì®© ¢¨¤ K0 = �b � diag(2; 1; : : : ; 1); dim(K0) = N + 1:�. �. �®«®â¥ª® 25
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33�®«ì§ãïáì ⥬ ¦¥ ᢮©á⢮¬ ®à⮣® «ì®áâ¨äãªæ¨© ffig ¨ ä®à¬ã« ¬¨ (46), 室¨¬ ¢¨¤ ¢¥ª-â®à K1, ¨¬¥®:K1 = �b � (0; 1; 0; : : : ; 0)T ; dim(K1) = N + 1:�âáî¤ , ¢ ç áâ®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® ¯®¢®à®â á®áã-¤ 㣮« � ¯à¨¢®¤¨â, ªà®¬¥ 㬮¦¥¨ï ¬ âà¨æëK0 cos(�), «¨èì ª ¯®ï¢«¥¨î ¢ ®¤®¬ ¨§ ãà ¢¥-¨© ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¯®áâ®ï®£® á« £ ¥¬®£®,§ ¢¨áï饣® ⮫쪮 ®â ¯ à ¬¥âà b á®á㤠¨ á¨ãá 㣫 ¯®¢®à®â �. (�«®â®áâì � ¦¨¤ª®áâ¨, ®ç¥¢¨¤-®, ¥ ¡ã¤¥â ¢å®¤¨âì ¢ ãà ¢¥¨ï (41).) �â®«ì ¦¥¯à®áâë¬ ¨ ¥ § ¢¨áï騬 ®â � ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ ®¡-饬 á«ãç ¥ ¨ ¢¥ªâ®à F (�). �¬¥®, ¢ ᨫã ä®à¬ã«(47), ¯®«ãç ¥¬:F (�) = � � (2b; 0; : : :; 0)T ; dim(F ) = N + 1:�áâ ®¢«¥ ï ᨬ¬¥âà¨ï ¥«¨¥©ëå ãà ¢¥-¨© «®£¨ç ¨§¢¥á⮩ ᨬ¬¥âਨ ãà ¢¥¨©ª®«¥¡ ¨© «¨¥©ëå "⢥à¤ëå" á¨á⥬ á ª®¥çë¬ç¨á«®¬ á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë. �¤ ª® ¢ á«ãç ¥ "¦¨¤-ª®©" ª®«¥¡ ⥫쮩 á¨áâ¥¬ë ¯®ï¢«ï¥âáï ᯥæ¨ä¨-ª , á¢ï§ ï, ª ª ¢¨¤® ¨§ ãà ¢¥¨ï (41), á § -¢¨á¨¬®áâìî ®â �i (â. ¥. ®â ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®-á⨠�(y; �)) í«¥¬¥â®¢ 㪠§ ëå ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨å¬ âà¨æ ¨ á ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬®© S(�;R). �à ¢-¥¨ï (41) ª« ¤ãâáï ¢ ®á®¢ã ¯à¥¤« £ ¥¬®£® ¬¥â®-¤ ç¨á«¥®£® «¨§ ¥«¨¥©ëå ᢮¡®¤ëå ª®-«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ ª«®¥®¬ ¯àאַ㣮«ì®¬á®á㤥.6. ����������� ������� ���������������¡à ⨬®áâì ¬ âà¨æë ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå ¨¬¥-¥â ¡®«ì讥 § 票¥ ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ¬¥â®¤®¢ ç¨-á«¥®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ®¡é¨å ¥«¨¥©ëå ãà ¢-¥¨© (41). �®¯à®á ®¡ ®¡à ⨬®á⨠(¥¢ë஦¤¥-®áâ¨) ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¤®¢®«ì® á«®¦¥, ¯®áª®«ì-ªã á¢ï§ á ®æ¥ª®© ¨â¥£à «®¢, § ¢¨áïé¨å ®â ¥-¨§¢¥áâëå äãªæ¨© �i(t) ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å ᮡ®©í«¥¬¥âë ¬ âà¨æë ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå. �ª §ë¢ ¥â-áï, ®¤ ª®, çâ® ¯à¨ ¥ª®â®àëå ãá«®¢¨ïå íâ ¬ -âà¨æ ¬®¦¥â ¡ëâì ⮦¤¥á⢥® (¯® t) ¥¢ëà®-¦¤¥®©.�â®¡ë ¯®ª § âì íâ®, ¯®«®¦¨¬c+ h0 + NXi=0 �i(t)fi(y) ' c+ h0;â. ¥. ¤®¯ãá⨬, çâ® ¢®§¢ëè¥¨ï ¢§¢®«®¢ ®©á¢®¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¤ ¯«®áª®áâìî ¥¢®§¬ã-饮© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¬ «ë ¯® áà ¢¥-¨î á £«ã¡¨®© ¦¨¤ª®á⨠¢ á®á㤥 (â®ç¥¥, ¯®
áà ¢¥¨î á jh0j). �஬¥ ⮣®, ¯à¥¥¡à¥¦¥¬ ª¢ -¤à â¨ç묨 ä®à¬ ¬¨ S(�;R), çâ® à ¢®á¨«ì®¬ «®á⨠ª¢ ¤à â ᪮à®á⨠r' ¦¨¤ª®áâ¨. � ª-¦¥ ¡ã¤¥¬ ¯®« £ âì, çâ® ç¨á«® ª®®à¤¨ âëå äãª-権 'k à ¢® ç¨á«ã ª®®à¤¨ âëå äãªæ¨© fi, â.¥.N = M . �®£¤ ¬ âà¨æë A, B ãà ¢¥¨ï (41)¯à¨®¡à¥âãâ ¢¨¤ (¯à®áâë¥, ® ®¡è¨àë¥ ¢ëª« ¤-ª¨ ®¯ã᪠¥¬):A = �b � diag(2; a�11; : : : ; a�MM);a�kk = ch (k�H0); k = 1; : : : ;M: (48)B = 12�b� � diag(0; b�11; : : : ; b�MM);b�kk = ksh (2k�H0); k = 1; : : : ;M; (49)£¤¥ H0 = c+h0 { £«ã¡¨ ¦¨¤ª®á⨠¢ á®á㤥. �ç¨-âë¢ ï, çâ® ¯à¨ ᤥ« ëå ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ïå ¬ âà¨-æ K0 á®åà ï¥â ¢¨¤ (44), â ª¦¥ ¯®« £ ï 㣮« �à ¢ë¬ ã«î ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¢ëà ¦¥¨ï (48), (49),¯®«ã稬 ¨§ ãà ¢¥¨ï (41) á«¥¤ãîéãî á¨á⥬ããà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ª®®à¤¨ â �i ¨ ª¢ §¨áª®-à®á⥩ Rk:d�kdt = k�sh (k�H0)Rk; ch (k�H0)dRkdt = �g�k;k = 1; : : : ;M: (50)�âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ à áᬠâਢ ¥¬ëå ãá«®-¢¨ïå á¨á⥬ ãà ¢¥¨© (41) ¨¬¥¥â ⮦¤¥á⢥®¥¢ë஦¤¥ãî ¬ âà¨æ㠯ਠ¯à®¨§¢®¤ëå.� ¬¥â¨¬, çâ® ¨áª«îç ï ¨§ ãà ¢¥¨© (50) á -ç « Rk, § ⥬ �k, ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ïd2�kdt2 + g�k�k = 0; d2Rkdt2 + g�kRk = 0;�k = k�th (k�H);ª®â®àë¥ á â®ç®áâìî ¤® ®¡®§ 票© �k, Rk ᮢ¯ -¤ îâ á ãà ¢¥¨ï¬¨ £« ¢ëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®áâ¨,¯®«ãç¥ë¬¨ �.�.�®¨á¥¥¢ë¬ ¢ [8, áâà. 64].� ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¡é¨¥ ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï(41) ¯à¨ à áᬮâà¥ëå ãá«®¢¨ïå ¯à¥¢à é îâáï¢ ª« áá¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¬ «ëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®-á⨠á ⮦¤¥á⢥® (¯® t) ¥¢ë஦¤¥®© ¬ âà¨-楩 ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå. �® ¥¯à¥à뢮á⨠¬ âà¨-æ ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå ¤®«¦ ®áâ ¢ âìáï ¥¢ëà®-¦¤¥®© ¨ ¯à¨ ¥«¨¥©ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¦¨¤ª®áâ¨(¯® ªà ©¥© ¬¥à¥, ¤®áâ â®ç® ¬ «ëå). � ®¡é¥¬¦¥ á«ãç ¥ ¢®¯à®á ® ⮬, ¢ë஦¤ ¥âáï «¨ ¬ âà¨-æ ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå ¨ ¢ ª ª¨¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨,âॡã¥â ®â¤¥«ì®£® ¨§ã票ï.26 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 337. ������� �0(t), R0(t), C(t) � ���������à ¢¥¨ï (41) ¤®¢®«ì® á«®¦ë, ¨ ⥬ ¥ ¬¥-¥¥ ª®¬¯®¥âë �0(t) ¨ R0(t) ¨å à¥è¥¨© ¯®«ãç -îâáï áà §ã. �¥©á⢨⥫ì®, ¢ ᨫã ä®à¬ã« (42),(43) ¤«ï í«¥¬¥â®¢ ¬ âà¨æ A(�) ¨ B(�), ¯¥à¢®¥ ¨§ãà ¢¥¨© (41) ¨¬¥¥â ¢¨¤2b�d�0dt = 0:�âáî¤ �0(t) � const¯à¨ «î¡ëå ¤¢¨¦¥¨ïå ¯®«®áâ¨.� ¬¥ç ¨¥. �â®â ¢ë¢®¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ «¨èì ¢ á«ã-ç ¥ ®âªàë⮣® á®á㤠. �᫨ ¦¥ ¨¬¥¥âáï ªàëèª ¨á¢®¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì ª á ¥âáï ªàë誨, â® �0(t)¥ ¡ã¤¥â ¯®áâ®ï®© ¢¥«¨ç¨®©.�®ç®¥ § 票¥ ª®áâ âë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ãá«®¢¨ï (34) ¯®áâ®ïá⢠®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®áâ¨, â ªçâ® �0(t) � h0:�¡à ⨬áï ª ¯¥à¢®¬ã ¨§ £à㯯ë ãà ¢¥¨© (41)á ¬ âà¨æ¥© AT . �®áª®«ìªã ⮫쪮 í«¥¬¥â a11 ¢¯¥à¢®© áâப¥ ¬ âà¨æë A ®â«¨ç¥ ®â ã«ï, ¢ âà á-¯®¨à®¢ ®© ¬ âà¨æ¥ AT ¢á¥ í«¥¬¥âë ¯¥à¢®£®á⮫¡æ , ªà®¬¥ a11, ¡ã¤ãâ à ¢ë ã«î. �«¥¤®¢ -⥫ì®, ãç¨âë¢ ï ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ ¢ëà ¦¥¨ï¤«ï í«¥¬¥â®¢ ®áâ «ìëå ¬ âà¨æ, à áᬠâਢ ¥-¬®¥ ãà ¢¥¨¥ ¬®¦® § ¯¨á âì ª ª2b�dR0dt = �2b�h0g cos(�) + 2b�[C(t)� p0� ]��12 @@�0 [RT �B(�) �R]: (51)� ᨫã ⮣®, çâ® ¯¥à¢ ï áâப ¨ ¯¥à¢ë© á⮫-¡¥æ ¬ âà¨æë B(�) á®áâ®ïâ ¨§ ã«¥©, ª¢ ¤à â¨ç- ï ä®à¬ RT �B(�) �R ¥ § ¢¨á¨â ®â R0, § ç¨â¥ § ¢¨á¨â ®â R0 ¨ ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢¥¨ï (51).�® í⮩ ¦¥ ¯à¨ç¨¥ ®áâ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï á¨áâ¥-¬ë (41) â ª¦¥ ¥ ᮤ¥à¦ â R0. �«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨§¢á¥å ãà ¢¥¨© á¨á⥬ë ⮫쪮 ®¤® § ¢¨á¨â ®âäãªæ¨¨ R0, ª®â®à ï ¢å®¤¨â ¢ ¥£® «¥¢ãî ç áâì ¯®¤§ ª®¬ ¯à®¨§¢®¤®©. � ¬ äãªæ¨ï R0(t) ¬®¦¥â¡ëâì, ¯à¨ ¥®¡å®¤¨¬®áâ¨, ®¯à¥¤¥«¥ ¨â¥£à¨à®-¢ ¨¥¬ ¯® t ãà ¢¥¨ï (51) ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢¥£® äãªæ¨© Rk(t), �i(t) á ®â«¨ç묨 ®â ã«ï ¨-¤¥ªá ¬¨.�®«®¦¨¬ ¢ ãà ¢¥¨¨ (51) (á«ãç © ¤¢¨¦¥¨ï á®-á㤠¡¥§ ã᪮२ï)C(t) = p0� + g cos(�)h0: (52)
�â ä®à¬ã« ¤«ï C(t) ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¨â¥£à « � £à ¦ -�®è¨ ¯à¨ '(y; z; t) � 0 , â.¥. ¯à¨ à ¢-®¢¥á¨¨ ¦¨¤ª®áâ¨. �®£¤ dR0dt = � 14b� @@�0 [RT �B(�) �R]: (53)�ãªæ¨ï R0(t) ¥ ¢«¨ï¥â ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¦¨¤-ª®áâ¨, ¯®áª®«ìªã ®® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª £à ¤¨¥âr'(y; z; t) ¯®â¥æ¨ « ¯® ¯à®áâà áâ¢¥ë¬ ¯¥-६¥ë¬. �¤ ª® ¥¥ ¥«ì§ï ¨£®à¨à®¢ âì, ¯®-᪮«ìªã ®â ¥¥ § ¢¨á¨â ¤ ¢«¥¨¥ P (r; t; '), ª®â®à®¥,ª ª ¢¨¤® ¨§ ãà ¢¥¨ï (15), ᮤ¥à¦¨â ¯à®¨§¢®¤-ãî 't(y; z; t), § ç¨â ¨ dR0=dt. �áâ ®¢¨¬áï í⮬ ¯®¤à®¡¥© ¨ ¯®«ã稬 ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¤ ¢«¥-¨ï ç¥à¥§ äãªæ¨¨ �i(t), Rk(t).�᫨ ¯®â¥æ¨ « ' ¯¯à®ªá¨¬¨àã¥âáï ¢ëà ¦¥¨-¥¬ (17), ä®à¬ã« (15) ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï ¯à¨®¡à¥â ¥â¢¨¤ P (r; t; 't;r') ' �[C(t)� MXk=0 dRkdt 'k��12( MXk=0Rkr'k)2 + g(�) � r]:�®¤áâ ¢¨¢ áî¤ ©¤¥ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï (52) ¨ (53)¤«ï C(t) ¨ dR0=dt, ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî à áç¥âãîä®à¬ã«ã ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï:P ' P0(y; z; h0; �) + P1( ~R; �) + P2(y; z; ~R; �); (54)£¤¥P0(y; z; h0; �) = p0 + �g[(h0 � z) cos(�)� y sin(�)];P1( ~R; �) = 14bRT � S(0) �R;P2(y; z; ~R; �) = ��[ MXk=1 dRkdt 'k + 12( MXk=1Rkr'k)2]:� íâ¨å á®®â®è¥¨ïå ¢¥ªâ®à ~R = (R1; : : : ; RM),¬ âà¨æ S(0) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã« ¬ (45), á㬬¨à®¢ ¨¥ ¢ ª¢ ¤à â¨ç®© ä®à¬¥ ¯® Rk ç¨- ¥âáï á ¥¤¨¨æë, ¯®áª®«ìªã r'0 = 0 .� ä®à¬ã«¥ (54) äãªæ¨ï P0 ®¯à¥¤¥«ï¥â áâ â¨ç¥-áªãî á®áâ ¢«ïîéãî ¤ ¢«¥¨ï ¢ ª«®¥®¬ á®-á㤥; P1 { á®áâ ¢«ïîéãî ¤ ¢«¥¨ï, ®¡ãá«®¢«¥ãî¯à®¨§¢®¤®© ¯® t ®â R0; P2 { £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áªãîá®áâ ¢«ïîéãî, ®¡ãá«®¢«¥ãî ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¯® t®â Rk ¨ á ¬¨¬¨ Rk ¯à¨ k 6= 0.� ¬¥â¨¬, çâ® P1 ç¥à¥§ S(0) § ¢¨á¨â ®â �, äãª-æ¨ï P2 § ¢¨á¨â ®â � ç¥à¥§ ¯à®¨§¢®¤ë¥ dRk=dt.�®£¤ ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì z = �(y; �) ï-¥âáï à ¢®¢¥á®©, ¤ ¢«¥¨¥ à ¢® ¯à®áâ® P0.�. �. �®«®â¥ª® 27
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33�᫨ ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (54) ¯®«®¦¨âì p0 = 0, h0 =0, � = 0, ¯®«ãç¨âáï (á â®ç®áâìî ¤® ®¡®§ -票©) ä®à¬ã« ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï ¯à¨ ¥¯®¤¢¨¦®¬á®á㤥 ¨§ à ¡®âë [1, áâà. 425, ä®à¬ã« (5.1)].�à®áâà á⢥®-¥§ ¢¨á¨¬ ï á®áâ ¢«ïîé ï ¤ -¢«¥¨ï, ª®â®àãî 㪠§ ® ¢ í⮩ à ¡®â¥, §¤¥á쪮ªà¥â¨§¨àã¥âáï á« £ ¥¬ë¬ P1.� ª ¢¨¤® ¨§ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï P1 ¨ ä®à¬ã« (45),íâ á®áâ ¢«ïîé ï ¤ ¢«¥¨ï ï¥âáï ª¢ ¤à â¨ç-®© ä®à¬®© ®â Rk, k 6= 0 ¨ § ¢¨á¨â ®â ®¡®¡é¥-ëå ª®®à¤¨ â ¦¨¤ª®á⨠�i. � ª¨¬ ®¡à §®¬, á¢ï§ì¤ ¢«¥¨ï P á ¨§¬¥ïî饩áï ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®-áâìî (á ¢¥ªâ®à®¬ �) ®áãé¥á⢫ï¥âáï ç¥à¥§ P1 ¨¯¥à¢ãî á㬬㠨§ P2. �à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢ ä®à-¬ã«¥ (15) ¤«ï ¤ ¢«¥¨ï § ᢮¡®¤ãî ¯®¢¥àå®áâ쥯®á।á⢥® "®â¢¥ç ¥â" ç áâ ï ¯à®¨§¢®¤ ï't. (� á®áâ ¢«ïî饩 12(r')2 í⮣® ᪠§ âì ¥-«ì§ï, â ª ª ª ® § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â Rk.)� â®çª å ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠z = �(y; �)¤®«¦® ¨¬¥âì ¬¥á⮠⮦¤¥á⢮ ¯® y ¢¨¤ P0(y; �(y; �); h0; �) + P1( ~R; �)++P2(y; �(y; �); ~R; �) � p0;çâ® ¬®¦® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤«ï ª®â஫ï â®ç®á⨠¯¯à®ªá¨¬ 権 �N (y; t) ¨ 'M (r; t) , ¤ ¢ ¥¬ëå ä®à-¬ã« ¬¨ (16), (17).8. �������� ���������� ���������������� ���� �����������à ªâ¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© ⨯ � ¬¨«ì-â® (41) âॡã¥â ¯à¨¬¥¥¨ï ���, çâ®, ¢ ᢮î®ç¥à¥¤ì, ¯à¨¢®¤¨â ª ¥®¡å®¤¨¬®áâ¨ à §à ¡®âª¨á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨å «£®à¨â¬®¢ ¨ ¯à®£à ¬¬.�â¥£à «ìë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ãà ¢¥¨© (41) § -¢¨áïâ ⮫쪮 ®â �i ¨ ïîâáï ¤®áâ â®ç® £« ¤-ª¨¬¨ äãªæ¨ï¬¨ íâ¨å ¯ à ¬¥â஢. �®í⮬ã¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï (41) ¬®¦-® à áᬠâਢ âì ¯à®áâ® ª ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥.� ¬¥â¨¬, çâ® áâ ¤ àâëå ¯à®£à ¬¬ à¥è¥¨ï á¨-á⥬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ¥ à §à¥è¥-ëå ®â®á¨â¥«ì® ¯à®¨§¢®¤ëå, ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.�¥ ª á ïáì ¢®¯à®á ® ¢ë¡®à¥ ¯®¤å®¤ï饣® ï§ëª ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨ï, à áᬮâਬ ¢ ®á®¢ëå ç¥à-â å «£®à¨â¬ ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï íâ¨å ãà ¢¥¨© ®á®¢¥ ¬¥â®¤ �㣥 { �ãââ . �®âï íâ®â ¬¥â®¤®ç¥ì âà㤮¥¬ª¨© ¨ ¢ ¯à ªâ¨ç¥áª¨å à áç¥â å ¥¬ã¯à¥¤¯®ç¨â îâ à §®áâë¥ ¬¥â®¤ë, 楫¥á®®¡à §-® ç âì ¨¬¥® á ¥£®, ¯®â®¬ã çâ®, ¢®-¯¥à¢ëå,® ¥£® ¢®§¬®¦®áâïå ¯à¨¬¥¨â¥«ì® ª à áᬠâà¨-¢ ¥¬ë¬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨ï¬ (⨯ � -¬¨«ìâ® ) ¢ «¨â¥à âãॠ¯®ç⨠¨ç¥£® ¥ á®®¡é -«®áì ¨, ¢®-¢â®àëå, ® ®¡ëç® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¨ ¢
à §®áâëå ¬¥â®¤ å ¤«ï à¥è¥¨ï ¯à®¡«¥¬ë ç -« áç¥â , ¨¬¥®, ¤«ï ¯à¥¤¢ à¨â¥«ìëå ¢ëç¨á«¥-¨© à¥è¥¨© ¢ ¥áª®«ìª¨å 㧫 å.�«ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠à áᬮâਬ ¬¥â®¤ �㣥 {�ãââ ç¥â¢¥à⮣® ¯®à浪 â®ç®áâ¨, ᮣ« á® ª®-â®à®¬ã à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ �®è¨ ¤«ï á¨á⥬ë ãà ¢-¥¨© ¢ ®à¬ «ì®© ä®à¬¥, â.¥. § ¤ ç¨_xi = fi(t; x1; : : : ; xn); xi(t0) = x0i ; i = 1; : : : ; n;(55)¢ëç¨á«ï¥âáï ª ¦¤®¬ è £¥ h ¯® ä®à¬ã« ¬xi(t+ h) = xi(t) + 16(k(i)1 + 2(k(i)2 + k(i)3 ) + k(i)4 );i = 1; : : : ; n; (56)£¤¥ k(i)1 = hfi(t; x1; : : : ; xn);k(i)2 = hfi(t+ h=2; x1 + k(1)1 =2; : : : ; xn + k(n)1 =2);k(i)3 = hfi(t+ h=2; x1 + k(1)2 =2; : : : ; xn + k(n)2 =2);k(i)4 = hfi(t + h; x1 + k(1)3 ; : : : ; xn + k(n)3 ):8.1. �ਢ¥¤¥¨¥ ãà ¢¥¨© ª ®à¬ «ì®© ä®à¬¥�®è¨� 楫ìî ¯¥à¥å®¤ ®â ¨á室®© á¨á⥬ë ãà ¢¥-¨© (41) ª áâ ¤ à⮩ á¨á⥬¥ (55) ¯®«®¦¨¬(x1; x2; : : : ; xM+2; xM+3; : : : ; xM+N+3) == (t; R0; : : : ; RM ; �0; : : : ; �N ): (57)�®£¤ , ¯à¨ ãá«®¢¨¨ ¥¢ë஦¤¥®á⨠¬ âà¨æëA(�), á¨á⥬ (41) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¢¨¤ã_x1 = 1;24 _xM + 3: : :_xM+N+3 35 = (A(�))�1B(�)24 x2: : :xM+2; 35 ;24 _x2: : :_xM+2 35 = (AT (�))�1[�g cos(�)K024 xM+3: : :xM+N+3 35��g sin(�)K1 � 12S(�;R) + (C(t) � p0� )F (�)]: (58)�¤¥áì á¯à ¢ ¢¥ªâ®àë � ¨ R ¢ëà ¦ îâáï ç¥à¥§ xi¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á á®®â®è¥¨¥¬ (57).�¨á⥬ ãà ¢¥© (58) ¨¬¥¥â áâ ¤ àâãî ä®à-¬ã �®è¨. �¥ ¯®à冷ª n = N + M + 3. �®áª®«ìªã¤«ï ®¡à ⨬®á⨠¬ âà¨æ A ¤®«¦ ¡ëâì, ª ª ¬¨-¨¬ã¬, ª¢ ¤à ⮩, á«¥¤ã¥â ¡à âì N = M .28 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33�§ ä®à¬ã« (42) ¤«ï í«¥¬¥â®¢ aki ¬ âà¨æë A¢¨¤®, çâ® íâ¨ í«¥¬¥âë ïîâáï § ¢¨áï騬¨ ®â¯ à ¬¥â஢(�0; �1; : : : ; �N ) = (x2; x3; : : : ; xN+2)¨â¥£à « ¬¨. �¦¥ ¯à¨ ¥¡®«ìè¨å § 票ïåN , M «¨â¨ç¥áª¨¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï í«¥¬¥â®¢®¡à âëå ¬ âà¨æ A�1 ¨ (AT )�1 ¯®«ãç îâáï ®ç¥ì£à®¬®§¤ª¨¬¨, ¯®í⮬㠥â á¬ëá« ¢ë¯¨áë¢ âì ¨å¨ § ¢¨áï騥 ®â ¨å äãªæ¨¨ fi(t; x1; : : : ; xn) ¢ -«¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥. �¬¥áâ® í⮣® ¡ã¤¥¬ ¢ ª ¦¤®©â®çª¥ t, ¤¨ªâ㥬®© ä®à¬ã« ¬¨ (56) ¬¥â®¤ �㣥{ �ãââ , ¢ë¯®«ïâì ®¡à 饨¥ ¬ âà¨æ A ¨ AT ç¨-á«¥®, § ⥬ ¢ëç¨á«ïâì ¯à ¢ë¥ ç á⨠¢ á¨á⥬¥(58). � ª ¦¤®¬ è £¥ ª®«¨ç¥á⢮ â ª¨å ®¡à é¥-¨©, ª ª ¨ ª®«¨ç¥á⢮ ¢ëç¨á«¥¨© ¯à ¢®© ç áâ¨,à ¢® ç¥âë६.8.2. �â¥£à «ìë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ãà ¢¥¨©�ᮡ¥®áâì à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬ë ãà ¢-¥¨© (58) § ª«îç ¥âáï ¥é¥ ¨ ¢ ⮬, çâ® ¯à¨ª ¦¤®¬ § 票¨ t, ¤¨ªâ㥬®¬ ¬¥â®¤®¬ �㣥 {�ãââ , ¥®¡å®¤¨¬® ¢ëç¨á«ïâì ¨â¥£à «ìë¥ ª®íä-ä¨æ¨¥âë íâ¨å ãà ¢¥¨©, â.¥. í«¥¬¥âë ¬ âà¨æA, B, K0, K1, S(i) ¨ F .� ª ¢¨¤® ¨§ ä®à¬ã« (42) { (47), ¨¬¥îâáï âà¨â¨¯ ¨â¥£à «ìëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ (¢ á«ãç ¥ ¯àï-¬®ã£®«ì®© ¯®«®áâ¨): 1) ®¤®ªà âë¥ ¨â¥£à «ëá 䨪á¨à®¢ 묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ¥§ ¢¨áï騥 ®â ¯ à ¬¥â஢ �i (¬ âà¨æë K0, K1,F ); 2) ®¤®ªà âë¥ ¨â¥£à «ë á 䨪á¨à®¢ 묨¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, § ¢¨áï騥 ®â ¯ à ¬¥-â஢ �i (¬ âà¨æë A, S(i)); 3) ¤¢ãªà âë¥ ¨â¥-£à «ë á ¯¥à¥¬¥ë¬¨ ¢¥à娬¨ ¯à¥¤¥« ¬¨, § ¢¨-áï騬¨ ®â �i (¬ âà¨æ B).�®âï ¯ à ¬¥âàë �i ïîâáï äãªæ¨ï¬¨ ¯¥à¥-¬¥®© t, ¯à¨ ª ¦¤®¬ § 票¨ í⮩ ¯¥à¥¬¥®©,¤¨ªâ㥬®¬ ¬¥â®¤®¬ �㣥 { �ãââ , ®¨ ®ª §ë¢ -îâáï 䨪á¨à®¢ 묨, â ª çâ® ¢á¥ ¨â¥£à «ë ®ª -§ë¢ îâáï á 䨪á¨à®¢ 묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨-஢ ¨ï ¨ á ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ¯®¤ëâ¥£à «ì-묨 äãªæ¨ï¬¨. �â® ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì ¢ëç¨-á«ïâì ¢á¥ ¨â¥£à «ìë¥ ª®íää¨æ¨¥âë á ¯®¬®éìîáâ ¤ àâëå ¯à®£à ¬¬ ¢ëç¨á«¥¨ï ®¯à¥¤¥«¥ëå¨â¥£à «®¢ (®¤®ªà âëå ¨ ¤¢ãªà âëå), ¨¬¥î-é¨åáï ¢® ¬®£¨å ᮢ६¥ëå ª®¬¯ìîâ¥àëå ¡¨-¡«¨®â¥ª å.8.3. �¯¨á ¨¥ «£®à¨â¬ �«ï ®¯¨á ¨ï «£®à¨â¬ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¥£®®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ª ª âனª¨ (TN;h ; L; Tx), £¤¥ TN;h {
â ¡«¨æ ¢å®¤ëå ¯ à ¬¥â஢ (¨¤¥ªáë N; h ¯®-¬¨ îâ, çâ® ¢ ç¨á«® ¢å®¤ëå ¢ª«îç îâáï ¯ à -¬¥âàë ¤¨áªà¥â¨§ 樨 N = M ¨ h); Tx { â ¡«¨æ ¢ë室ëå ¯ à ¬¥â஢ xi; L { ¡«®ª ã¯à ¢«¥¨ï à -¡®â®© «£®à¨â¬ , ®áãé¥á⢫ïî騩 ®â®¡à ¦¥¨¥¬®¦¥á⢠TN;h ¬®¦¥á⢮ Tx [9, áâà. 281].�室 «£®à¨â¬ (â ¡«¨æ TN;h).1. � à ¬¥âàë á¨á⥬ë b, c, h0, �, g, �, p0, C(t).2. �¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ âëå äãªæ¨© ffi(y)g,f'k(y; z)g.3. �¨á« N;M á« £ ¥¬ëå ¢ ¯¯à®ªá¨¬¨àãîé¨åâਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¬®£®ç«¥ å.�ª®«ìª®-¨¡ã¤ì ®¡é¨å ४®¬¥¤ 権 ¯® ¢ë¡®àãç¨á¥« N;M ¥ ¨¬¥¥âáï, ®¤ ª® ¢ ®áãé¥á⢫¥ëåç¨á«¥ëå íªá¯¥à¨¬¥â å ¢¯®«¥ ¯à¨¥¬«¥¬ë¥ à¥-§ã«ìâ âë ¯®«ãç «¨áì ¯à¨ N = M = 7.4. �६¥®© ®â१®ª [t0; t1].�®áª®«ìªã á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ¢â®®¬ , ¢ë¡®à ç «ì®£® ¬®¬¥â t0 ¥ ¨¬¥¥â § 票ï. � ¤ «ì-¥©è¥¬ ¯®« £ ¥âáï t0 = 0. �ë¡®à t1 § ¢¨á¨â ®âª®ªà¥â®© § ¤ ç¨.5. � ç «ìë¥ äãªæ¨¨ �0(y), '0(y; z).6. �¥âª á 㧫 ¬¨ �k ¨â¥à¢ «¥ ¢à¥¬¥¨ [0; t1].�¯à¥¤¥«ï¥â è £ áç¥â ¯® ¬¥â®¤ã �㣥 { �ãââ .� ¢®¬¥à ï á¥âª § ¤ ¥âáï ¯®áâ®ïë¬ è £®¬áç¥â h.7. �¥âª ®â१ª¥ �b � y � b c 㧫 ¬¨ yi.�ᯮ«ì§ã¥âáï ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ª®-íää¨æ¨¥â®¢, ïîé¨åáï ®¤®ªà â묨 ¨â¥-£à « ¬¨ ¯® ¯¥à¥¬¥®© y. �¨ªâã¥âáï ᮮ⢥âáâ¢ã-î騬 ¬¥â®¤®¬ ¢ëç¨á«¥¨ï ®¤®ªà âëå ®¯à¥¤¥-«¥ëå ¨â¥£à «®¢.8. �¥âª ¢ ¯«®áª®© ®¡« á⨠�b � y � b, �c � z ��(y; t) á 㧫 ¬¨ f(yi; zj)g.�ᯮ«ì§ã¥âáï ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ª®-íää¨æ¨¥â®¢, ïîé¨åáï ¤¢ãªà â묨 ¨â¥£à -« ¬¨ ¯® ¯à®áâà áâ¢¥ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ y, z.�¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®ªà¥âë¬ ¬¥â®¤®¬ ¢ëç¨á«¥¨ï¤¢ãªà âëå ¨â¥£à «®¢ ¢ 䨪á¨à®¢ ëå ®¡« -áâïå.�«®ª ã¯à ¢«¥¨ï L.�«®ª ã¯à ¢«¥¨ï ¢® ¬®£®¬ § ¢¨á¨â ®â ï§ëª ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ¨ï, ® ¢ «î¡®¬ á«ãç ¥ ¤®«¦¥ á®-áâ®ïâì ¨§ ¯à®£à ¬¬ëå ¥¤¨¨æ, ®¡¥á¯¥ç¨¢ îé¨åá«¥¤ãî騥 ®¯¥à 樨.1. �ëç¨á«¥¨¥ ç «ìëå ¤ ëå Rk(t0), �i(t0).�¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª ª ª®íää¨æ¨¥âë �ãàì¥äãªæ¨© �0(y), '0(y; z) ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã-« ¬¨ (28), (29).2. �ëç¨á«¥¨¥ ¯à ¢ëå ç á⥩ ãà ¢¥¨© (58).�â ¯à®£à ¬¬ ï ¥¤¨¨æ ¤®«¦ ®¡¥á¯¥ç¨âì¢ë¯®«¥¨¥ ®¯¥à 権 «¨¥©®© «£¥¡àë ¤ ¬ -âà¨æ ¬¨ ¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ (¢ ç áâ®áâ¨, âà ᯮ¨-஢ ¨¥ ¨ ®¡à 饨¥ ¬ âà¨æ). �஬¥ ⮣®, ® �. �. �®«®â¥ª® 29
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33¢ë§ë¢ ¥â ¯à®£à ¬¬ë ¢ëç¨á«¥¨ï ®¤®ªà âëå ¨¤¢ãªà âëå (®¯à¥¤¥«¥ëå) ¨â¥£à «®¢.3. �ண® ¯® ¬¥â®¤ã �㣥 { �ãââ .�ëç¨á«¥¨¥ ⥪ã饣® § 票ï t = �k, ¯ à ¬¥-â஢ kji ¨ § 票© xi ¨áª®¬ëå äãªæ¨© ª ¦¤®¬è £¥ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã« ¬¨ (56).4. �࣠¨§ æ¨ï ¬ áᨢ®¢ ¤«ï á®åà ¥¨ï १ã«ì-â ⮢ áç¥â ¨ ®¡¬¥ á ¢¥è¨¬¨ ®á¨â¥«ï¬¨ ¨-ä®à¬ 樨.�ë室 «£®à¨â¬ (â ¡«¨æ Tx).� ¢ë室¥ à áᬠâਢ ¥¬®£® «£®à¨â¬ ¯®«ã-ç îâáï § ç¥¨ï ¬ áᨢ fxig (â.¥. ¯¥à¥¬¥®©t ¨ ¢¥ªâ®à®¢ R, �) ¢ â®çª å t = �k. � ¯®¬®éìîíâ¨å ¬ áᨢ®¢ ¬®£ãâ ¡ëâì â ª¦¥ ¢ëç¨á«¥ë ¯®¯à¨¢¥¤¥ë¬ ¢ëè¥ ä®à¬ã« ¬ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨¥å à ªâ¥à¨á⨪¨, ®â¬¥ç¥ë¥ ¢ ¯®áâ ®¢ª¥ § ¤ -ç¨ (¤ ¢«¥¨¥, ¯®«¥ ᪮à®á⥩ ¨ ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå-®áâì).�¯¨á ë© «£®à¨â¬ ¢¯®«¥ ॠ«¨§ã¥¬ á ¯®¬®-éìî áâ ¤ àâëå ¯à®£à ¬¬ ¨§ ¡¨¡«¨®â¥ª ᮢà¥-¬¥ëå ª®¬¯ìîâ¥àëå ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å á¨á⥬.9. ���������������� ���������������� �������� ������������ �������ਬ¥¨¬ ¯à¥¤« £ ¥¬ë© «£®à¨â¬ ª ¥«¨¥©-®© § ¤ ç¥ ® ¥ãáâ ®¢¨¢è¨åáï ¢®«®¢ëå ¤¢¨¦¥-¨ïå ¦¨¤ª®á⨠¯®á«¥ à §£® á®á㤠. � «®£¨ç- ï § ¤ ç ® ¥«¨¥©ëå, ® ãáâ ®¢¨¢è¨åáï ¢®«- å (¢ ¥¯®¤¢¨¦®¬ ¯àאַ㣮«ì®¬ á®á㤥 ¡¥áª®-¥ç®© ¤«¨ë á £®à¨§®â «ìë¬ ¤®¬) à¥è « áì¤à㣨¬ ¬¥â®¤®¬ ¢ [10, áâà. 175].�â®ç¨¬ ¯®áâ ®¢ªã § ¤ ç¨. �àאַ㣮«ìë©á®áã¤ á ¦¨¤ª®áâìî, ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® ¯®¢¥àãâë© ¥ª®â®àë© ã£®« �, ᮢ¥àè ¥â à ¢®ã᪮८¥¤¢¨¦¥¨¥ ¯® £®à¨§®â «¨ á ¯®áâ®ïë¬ ã᪮२-¥¬ w > 0, â.¥. w0 = we2, £¤¥ e2 { ®à⠮ᨠO��. �®¤¤¥©á⢨¥¬ ᨫ ¨¥à樨 ¯®áâ㯠⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï"§¥àª «®" ¦¨¤ª®á⨠®âª«®¨âáï ®â £®à¨§®â «ì-®© ¯«®áª®á⨠¥ª®â®àë© ã£®«. �® ¤®á⨦¥¨¨á®á㤮¬ âॡ㥬®© ᪮à®á⨠v0 ã᪮२¥ w ¯à ª-â¨ç¥áª¨ ¬£®¢¥® ¯ ¤ ¥â ¤® ã«ï (à¨á. 2).�¨á. 2. � ª® ¤¢¨¦¥¨ï á®á㤠. � ¬®¬¥â áª çª ã᪮२ï ç¨ ¥âáï íâ ¯ à ¢®¬¥à®£® ¤¢¨¦¥¨ï
� í⮣® ¬®¬¥â ¦¨¤ª®áâì ç¨ ¥â ᮢ¥àè â쥪®â®àë¥ ¢®«®¢ë¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ᨫâ殮áâ¨. �¥®¡å®¤¨¬® ®¯¨á âì ä®à¬ã ᢮¡®¤®©¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠¢ ç «ìë¥ ¬®¬¥âë íâ -¯ à ¢®¬¥à®£® ¤¢¨¦¥¨ï á®á㤠.�०¤¥ ¢á¥£® ©¤¥¬ ç «ìë¥ § 票ï äãª-権 �i(t) ¨ Rk(t).�ç¨â ¥¬, çâ® ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ t = t0 ᢮¡®¤ ﯮ¢¥àå®áâì ¨¬¥¥â âã ¦¥ ä®à¬ã, çâ® ¨ íâ ¯¥à ¢®ã᪮८£® ¤¢¨¦¥¨ï, â.¥. ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáïãà ¢¥¨¥¬ [7, áâà. 76, ä®à¬ã« (3.6)]z = h0 � tg (#)y; tg(#) = g sin(�) + w cos(�)g cos(�)�w sin(�) :�¤¥áì # ï¥âáï 㣫®¬ ®âª«®¥¨ï ®â ®á¨ Oz¢¥è¥© ®à¬ «¨ ª "§¥àª «ã" ¦¨¤ª®áâ¨, ¯à¨ç¥¬# > 0, ¥á«¨ ®âª«®¥¨¥ ¯à®¨á室¨â ¯® 室ã ç á®-¢®© áâ५ª¨ ¢ ¯«®áª®á⨠Oyz (á¬. à¨á. 1). �®« £ -¥¬, â ª¨¬ ®¡à §®¬,�0(y) = h0 � tg (#)y ' NXn=0 bnfn(y):� «¥¥, à §« £ ï äãªæ¨î z = y ¢ àï¤ �ãàì¥ ®â१ª¥ [�b; b] ¯® á¨á⥬¥ äãªæ¨© fn(y) (32), ¯®-«ãç ¥¬ y = 8b�2 1Xn=0(�1)n sin[(2n+ 1)�y](2n+ 1)2 :�®¤áâ ®¢ª ¢ �0(y) àï¤ �ãàì¥ ¤«ï y ¨ ᮯ®áâ -¢«¥¨¥ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå £ ମ¨-ª å ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ç «ì®©á¢®¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¨§ ¢á¥å bn á ç¥â묨 n ®â-«¨ç® ®â ã«ï ⮫쪮 b0, bn á ¥ç¥â묨 n ¢á¥®â«¨çë ®â ã«ï. � ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç îâáï á«¥-¤ãî騥 ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ¢¥«¨ç¨ �i(t):�0(t0) = h0; �2n(t0) = 0; n = 1; 2; : : :;�2n+1(t0) = 8btg (#)�2 (�1)n+1(2n+ 1)2 ; n = 0; 1; : : : :�«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï Rk(t0) § ¬¥â¨¬, çâ® ¤® ¬®¬¥-â t0 ¦¨¤ª®áâì ¯®ª®¨« áì ®â®á¨â¥«ì® á®á㤠, â.¥.u(y; z; t) = r'(y; z; t) = MXk=0Rk(t)r'k(y; z) � 0;£¤¥ u(y; z; t) { ¢¥ªâ®à ®â®á¨â¥«ì®© ᪮à®á⨦¨¤ª®áâ¨. �®« £ ï, çâ® í⨠¦¥ á®®â®è¥¨ï ¢ë-¯®«ïîâáï ¨ ¢ ¬®¬¥â t = t0, 室¨¬ á«¥¤ãî騥 ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï äãªæ¨© Rk(t):Rk(t0) = 0; k = 0; : : : ;M:30 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33� «ì¥©è¥¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ á¢®¤¨âáï ª ç¨á«¥-®¬ã ¨â¥£à¨à®¢ ¨î ãà ¢¥¨© (41) ¯® ®¯¨á -®¬ã ¢ëè¥ «£®à¨â¬ã. �«£®à¨â¬ ॠ«¨§®¢ ï§ëª¥ ä®àâà .� áç¥âë ¢ë¯®«¥ë ¤«ï á¨á⥬ë á® á«¥¤ãîé¨-¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨: £ ¡ à¨âë á®á㤠{b = 21¬; c = 8:5¬;ã஢¥ì § ¯®«¥¨ï ¨ ¯«®â®áâì ¦¨¤ª®á⨠{h0 = 4:25¬; � = 1000ª£ � ¬�3;ã᪮२¥ ᨫë â殮á⨠¨ ¤ ¢«¥¨¥ ᢮¡®¤®©¯®¢¥àå®á⨠{g = 9:81¬ � á�2; p0 = 105� � ¬�2:�¨á« N = M = 7, ®â१®ª [t0; t1] = [0:0; 10:0],è £ áç¥â dt = 0:2á.� ¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¢ë¥ âਠᮡáâ¢¥ë¥ ç áâ®-âë ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¢¥à⨪ «ì®¬ (� = 0)¥¯®¤¢¨¦®¬ á®á㤥 ¯à¨ § ¤ ëå £ ¡ à¨â å ¨ã஢¥ § ¯®«¥¨ï ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騥 § 票ï (¢à ¤ � á�1):!1 = 0:738; !2 = 1:185; !3 = 1:479:�¨ à ááç¨â ë ¯® ä®à¬ã«¥!n = pgn�th [n�(h0 + c)]:�®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¯¥à¨®¤ë (¢ ᥪ㤠å)T1 = 8:5; T2 = 5:3; T3 = 4:2
�¨á. 3. �¥§ã«ìâ âë à áç¥â ¯®ï¢«¥¨ï ®¤¨®ç®©¢®«ë. �£®« � = 5�. � ç «® (0,0) á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ âà ᯮ«®¦¥® ¢ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ æ¥âॠ¡ ª .�¯«®è ï «¨¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â w = 0:5¬c�2, t = 0:6c,èâà¨å®¢ ï { w = 0:05¬c�2, t = 1:0c
�§ १ã«ìâ ⮢ à áç¥â®¢ (à¨á. 3) ¢¨¤®, çâ® ¯¥à¢® ç «ì® ¯«®áª®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨ç¥à¥§ ¥ª®â®à®¥ ¢à¥¬ï ¯®ï¢«ï¥âáï å à ªâ¥à멣ॡ¥ì (®¤¨®ç ï ¢®« ), ¯à¨ç¥¬ ä®à¬ ᢮-¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ª®â®à ï ¯à¨ ã᪮२¨ w =0:05 ¬á�2 ¡«î¤ ¥âáï ¢ ¬®¬¥â t = 1:0 c, ¯à¨¡�®«ì襬 ã᪮२¨ w = 0:5 ¬á�2 ¡«î¤ ¥âáï 㦥¢ ¬®¬¥â t = 0:6 c.� «ì¥©è¨© ¯à®æ¥áá à §¢¨â¨ï ¢®« ¨§®¡à ¦¥ à¨á. 4. �§ à¨á. 4, a, ¢ ç áâ®áâ¨, ¢¨¤®, ç⮡�®«ì訬 ãáª®à¥¨ï¬ w ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¡�®«ìè¨¥ã£«ë ¯¥à¢® ç «ì®£® ®âª«®¥¨ï "§¥àª « " ¦¨¤-ª®á⨠®â £®à¨§®â (¯à¨ w = 0:5 ¬á�2 㣮« # =7:9� ¨ 㣮« ®âª«®¥¨ï "§¥àª « " ®â £®à¨§®â # � � = 2:9�, ¯à¨ w = 0:05 ¬á�2 # = 5:3�¨ ᮮ⢥âá⢥® # � � = 0:3�). � ª á«¥¤á⢨¥,¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¦¨¤ª®áâì ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®¤ï⮩ ¡�®«ìèãî ¢ëá®âã, § ç¨â ®¡« ¤ ¥â ¡�®«ì襩¯®â¥æ¨ «ì®© í¥à£¨¥©, ª®â®à ï ¯à¨ ª®«¥¡ ¨ï寥à¥å®¤¨â ¢ ¡�®«ìèãî ª¨¥â¨ç¥áªãî í¥à£¨î, ç⮯ਢ®¤¨â ª ¢®«®¢ë¬ ¤¢¨¦¥¨ï¬ á ¡�®«ì訬 à §-¬ 宬 (¡�®«ì訬¨ ¬¯«¨â㤠¬¨). �⨬ ®¡êïáï-¥âáï â ª¦¥ ¨ ¡®«¥¥ ¡ëáâ஥ ®¡à §®¢ ¨¥ £à¥¡ï,®â¬¥ç¥®¥ à¨á. 3.�¥§ã«ìâ âë, ¯à¥¤áâ ¢«¥ë¥ à¨á. 4 ᯫ®è-묨 «¨¨ï¬¨ ¬®¦® ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì á«¥¤ãî-騬 ®¡à §®¬. �¤¨®ç ï ¢®« ¯®á«¥ ᢮¥£® ®¡à -§®¢ ¨ï ¤¢¨¦¥âáï ®â § ¤¥© á⥪¨ ª ¯¥à¥¤¥© ¨ 2-© ᥪ㤥 ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ y = 0 (à¨á. 4, b). �ਡ«¨§¨â¥«ì®ç¥à¥§ 4 ᥪã¤ë ® ¤®á⨣ ¥â ¯¥à¥¤¥© á⥪¨(à¨á. 4, c), ®âà ¦ ¥âáï ®â ¥¥ ¨ 㦥 6-© ᥪã-¤¥ (à¨á. 4, d) ¯à®å®¤¨â á¥à¥¤¨ã á®á㤠¢ áâ®à®ã§ ¤¥© á⥪¨, ¯à¨ç¥¬ § ¥© ¯®ï¢«ï¥âáï ¢â®à®©£à¥¡¥ì ¨ ¯à®ä¨«¥ ¢®«ë ®âç¥â«¨¢® ¯à®á¬ âà¨-¢ îâáï ¤¢ £à¥¡ï ¨ ®¤ ¢¯ ¤¨ . �ª®«® 8-© á¥-ªã¤ë ¯¥à¢® ç «ì ï ®¤¨®ç ï ¢®« ¤®á⨣ ¥â§ ¤¥© á⥪¨, ¯à®ä¨«ì ¢®«ë á®á⮨â 㦥 ¨§¤¢ãå £à¥¡¥© ¨ ¤¢ãå ¢¯ ¤¨ (à¨á. 4, e). � 10-© ᥪ㤥 ¯à®ä¨«ì ¢®«ë ᮢ ¢¨¤®¨§¬¥ï¥âáï ¨¨¬¥¥â ⥯¥àì ¤¢ £à¥¡ï ¨ âਠ¢¯ ¤¨ë (à¨á. 4, f),çâ®, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, ï¥âáï १ã«ìâ ⮬ ¢§ ¨¬®-¤¥©áâ¢¨ï ¡¥£ îé¨å ¨ ®âà ¦¥ëå ¢®«. �âà¨-å®¢ë¥ «¨¨¨ ®âà ¦ îâ «®£¨çë¥, ® ¯à®¨á-室ï騥 á ¥ª®â®àë¬ ®âáâ ¢ ¨¥¬ ¨ ¬¥¥¥ ¨â¥-á¨¢ë¥ ¯à®æ¥ááë.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯¥à¢® ç «ì ï ®¤¨®ç ï ¢®«- ¯à®å®¤¨â à ááâ®ï¨¥ ®â § ¤¥© á⥪¨ á®á㤠¤® ¯¥à¥¤¥© ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® § 4 c, ç⮠ᮮ⢥â-áâ¢ã¥â ¯¥à¨®¤ã ᢮¡®¤ëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¯®âà¥â쥩 ä®à¬¥ T3 = 4:2c, ª®â®àë©, ¢ á¢®î ®ç¥-।ì, ¡«¨§®ª ª ¯®«ã¯¥à¨®¤ã T1=2 ᢮¡®¤ëå ª®«¥-¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¯® ¯¥à¢®© ä®à¬¥. � ç¥ £®¢®àï, ¢à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¬¥á⮠१® ᮥ�. �. �®«®â¥ª® 31
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33
�¨á. 4. � §¢¨â¨¥ ¢®« ¢ ¯àאַ㣮«ì®¬ á®á㤥 ¯®á«¥ ¥£® à §£® , � = 5�. � ç «® (0,0) á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ âà ᯮ«®¦¥® ¢ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ æ¥âॠ¡ ª . �¯«®è ï «¨¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥âã᪮२î w = 0:5 ¬=á2, èâà¨å®¢ ï { ã᪮२î w = 0:05 ¬=á2:a { t = 0 á; b { t = 2 á; c { t = 4 á; d { t = 6 á; e { t = 8 á; f { t = 10 á32 �. �. �®«®â¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2002. �®¬ 4 (76), N 1. �. 18 { 33á®®â®è¥¨¥ !3 � 2!1, çâ® ¢®¤¨â ¬ëá«ì ® à¥-§® ᮬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ¯¥à¢®© ¨ âà¥â쥩 ä®à¬¯à¨ ᢮¡®¤ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¦¨¤ª®áâ¨, ¢ë§¢ ëå®âª«®¥¨¥¬ ¥¥ "§¥àª « " ®â ¯«®áª®á⨠£®à¨§®-â . �¤¥áì ¢®§¨ª ¥â àï¤ ¢®¯à®á®¢ (¢ ç áâ®áâ¨:ª ª®¢ ¡ã¤¥â ᪮à®áâì ®¤¨®ç®© ¢®«ë ¯à¨ ¤àã-£¨å १® áëå á®®â®è¥¨ïå, ¯à¨¬¥à, ¯à¨!4 � 2!1; ª ª ¢«¨ï¥â ¯à®æ¥áá ¢®«®®¡à §®¢ -¨ï 㣮« �; § ¢¨á¨â «¨ ᪮à®áâì ®¤¨®ç®© ¢®«ë®â ¥¥ ¬¯«¨âã¤ë; ¨ â. ¤.), ª®â®àë¥, ®¤ ª®, âॡã-î⠮⤥«ì®£® à áᬮâ२ï.�ä䥪⠮¡à §®¢ ¨ï ®¤¨®ç®© (â®ç¥¥, 㥤¨-¥®©) ¢®«ë ¢ ¯àאַ㣮«ì®¬ á®á㤥 (¥¯à®-â®ç®¬ ª «¥) ¡«î¤ «áï, ¯à ¢¤ , ¢ ¥áª®«ìª®¨ëå ãá«®¢¨ïå ¨ ¢ íªá¯¥à¨¬¥â å [11]. � 㪠-§ ®© à ¡®â¥ ®â¬¥ç ¥âáï (áâà.267) áãé¥á⢮¢ -¨¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠áâà â¨ä¨æ¨à®¢ -®© ¦¨¤ª®á⨠㥤¨¥®© ¢®«ë, ª®â®à ï ¢®§¨ª -¥â ¨ ¤¢¨¦¥âáï ¯ à ««¥«ì® ®¤¨®ç®© ¢ãâ॥©¢®«¥, £¥¥à¨à㥬®© £à ¨æ¥ à §¤¥« ¥á¬¥è¨-¢ îé¨åáï ¦¨¤ª®á⥩ ãáâனá⢮¬ ⨯ ¯®àèï.�®¢¥¤¥¨¥ í⮩ ¢®«ë ¯®á«¥ ®âà ¦¥¨ï ®â áâ¥-®ª ¥ ®¯¨á ®, ¡®«¥¥ ⮣®, £®¢®à¨âáï, çâ® ¤«ï£ 襨ï "¥¦¥« ⥫ìëå ¢®§¬ã饨© ᢮¡®¤®©¯®¢¥àå®áâ¨" ¨á¯®«ì§®¢ « áì ª«® ï ¯« á⨠.�®í⮬ã, áâண® £®¢®àï, ¯®«ãç¥ë¥ ¢ áâ®ïé¥©à ¡®â¥ à áç¥âë¥ ¤ ë¥ âॡãîâ ¡®«¥¥ ¯®«ëåíªá¯¥à¨¬¥â «ìëå ¯®¤â¢¥à¦¤¥¨©.�����������à ¢¥¨ï ⨯ � ¬¨«ìâ® ¯à® «¨§¨à®¢ ë¢ â®¬ ç á⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ á®á㤠¯àאַ㣮«ì-ë© (®âªàëâë©) ¨ ¤¢¨¦¥âáï à ¢®¬¥à®, ¦¨¤-ª®áâì ᮢ¥àè ¥â ᢮¡®¤ë¥ ª®«¥¡ ¨ï (¯«®áª¨¥,¥«¨¥©ë¥, ¡¥§ ®¡ ¦¥¨ï ¤ á®á㤠). �®«ë ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¢ë§ë¢ îâáï ¥¥ ç «ì-ë¬ ®âª«®¥¨¥¬ ®â ¯®«®¦¥¨ï à ¢®¢¥á¨ï íâ -¯¥ à §£® á®á㤠.�®áâà®¥ë¥ ¢ à ¡®â¥ ãà ¢¥¨ï, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â¨§¢¥áâëå, ᮤ¥à¦ â ¢ ª ç¥á⢥ ¨áª®¬ëå äãªæ¨©®¡®¡é¥ãî ª®®à¤¨ âã �0 ¨ ª¢ §¨áª®à®áâì R0, â ª¦¥ ¯à®¨§¢®«ìãî äãªæ¨î C(t) ¨§ ¨â¥£à « � £à ¦ { �®è¨, ä®à¬ã« ¤«ï ª®â®à®© ¢ë¢¥¤¥ ¨§ 䨧¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥¨©.� ª ¨ á«¥¤®¢ «® ®¦¨¤ âì, ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬á«ãç ¥ ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëåï¥âáï (2�2)-¡«®ç®© ¬ âà¨æ¥© á ã«¥¢ë¬¨ ¡«®-ª ¬¨ ¤¨ £® «¨ ¨, çâ® ¢ ¦® ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨©,ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©. � ¤®¯®«¥¨¥ ª í⮬㠯®ª § -®, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ®¡« áâì § 票© ®¡®¡é¥-ëå ª®®à¤¨ â, ¤«ï ª®â®àëå ¬ âà¨æ ª®íää¨æ¨-¥â®¢ ¯à¨ ¯à®¨§¢®¤ëå ï¥âáï ¥¢ë஦¤¥®©¢® ¢á¥ ¬®¬¥âë ¢à¥¬¥¨. �®á«¥¤¥¥ ®¡áâ®ï⥫ì-
á⢮ ¯®§¢®«ï¥â ¯à¨¢®¤¨âì ãà ¢¥¨ï ⨯ � ¬¨«ì-â® ª ®à¬ «ì®© ä®à¬¥ �®è¨, çâ® ®âªàë¢ ¥â¯ãâì ª ¯à¨¬¥¥¨î áâ ¤ àâëå ¬¥â®¤®¢ ç¨á«¥-®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨- «ìëå ãà ¢¥¨©.� §à ¡®â «£®à¨â¬ ç¨á«¥®£® ¨â¥£à¨à®¢ -¨ï ¯®áâ஥ëå ãà ¢¥¨© ⨯ � ¬¨«ìâ® ®á®¢¥ ¬¥â®¤ �㣥 { �ãââ . �®¬¯ìîâ¥à ï¯à®£à ¬¬ ¯¨á ï§ëª¥ ä®àâà . �믮«-¥® ç¨á«¥®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ® ¥ãáâ ®¢¨¢-è¨åáï ¢®« å ¢ ¦¨¤ª®áâ¨, à §¢¨¢ îé¨åáï ¢ ¯¥à-¢ë¥ ¬®¬¥âë ¯®á«¥ à §£® á®á㤠( ª«®¥®-£®). � à áᬮâ८¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¯ à ¬¥â஢ § -¤ ç¨ ¯à¥¤«®¦¥ë© «£®à¨â¬ ¤ ¥â ¯à¨¥¬«¥¬ë¥ à¥-§ã«ìâ âë, ¥á¬®âàï ç१¢ëç ©® ¡®«ì讥 ª®-«¨ç¥á⢮ ®¯¥à 権, ¢ë¯®«ï¥¬ëå ¯à¨ ¨â¥£à¨à®-¢ ¨¨ äãªæ¨© ¨ ®¡à 饨¨ ¬ âà¨æ ª ¦¤®¬è £¥ ¬¥â®¤ �㣥 { �ãââ .�®«ãç¥ë¥ à áç¥âë¥ ¤ ë¥ ®âç á⨠¯®¤-⢥ত îâáï ¨¬¥î騬¨áï íª¯¥à¨¬¥â «ì묨¤ 묨, ® âॡãîâ ¤®¯®«¨â¥«ì®© íªá¯¥à¨¬¥-⠫쮩 ¯à®¢¥àª¨.1. Miles J.W. Nonlinear surface waves in closed basins //J.Fluid Mech.{ 1976.{ 75, part 3.{ P. 419{448.2. �㪮¢áª¨© �. �. � à¨ æ¨®ë© ¬¥â®¤ ¢ ¥«¨-¥©ëå § ¤ ç å ¤¨ ¬¨ª¨ ®£à ¨ç¥®£® ®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®á⨠ᮠ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâìî//�®«¥¡ ¨ïã¯àã£¨å ª®áâàãªæ¨© á ¦¨¤ª®áâìî. { �.: ����"�®« ", 1976. { C. 260{264.3. �㪮¢áª¨© �. �. �¢¥¤¥¨¥ ¢ ¥«¨¥©ãî ¤¨ -¬¨ªã ⢥म£® ⥫ á ¯®«®áâﬨ, ᮤ¥à¦ 騬¨¦¨¤ª®áâì.{ �.: � ãª.¤ã¬ª , 1990.{ 295 á.4. �㪮¢áª¨© �. �. � ¢®¯à®áã ® á®áâ ¢«¥¨¨ ª®¥ç-®¬¥àëå ¬®¤¥«¥© ¢ ¤¨ ¬¨ª¥ ®£à ¨ç¥®£® ®¡ê-¥¬ ¦¨¤ª®á⨠®á®¢¥ ¢ ਠ樮ëå ¯à¨æ¨-¯®¢//�®¤¥«¨à®¢ ¨¥ ¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ¯à®æ¥áᮢ ¢§ -¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¢ á¨á⥬ å ⥫ á ¦¨¤ª®áâìî. { �.: ö-⬠⥬ ⨪¨ ��� �ªà ù¨, 1990.{ C. 5{15.5. Faltinsen O.M., Rognebakke O.F., Lukovsky I.A.,Timokha A.N. Multidimensional modal analysis ofnonlinear sloshing in a rectangular tank with �nite wa-ter depth // J.Fluid Mech.{ 2000.{ 407.{ P. 201{234.6. �®¨á¥¥¢ �.�. � ⥮ਨ ¥«¨¥©ëå ª®«¥¡ ¨©®£à ¨ç¥®£® ®¡ê¥¬ ¦¨¤ª®á⨠// �ਪ« ¤ ï ¬ -⥬ ⨪ ¨ ¬¥å ¨ª .{ 1958.{ 22.{ �. 612{621.7. �㪮¢áª¨© �. �., �®«®â¥ª® �. �. �¨á«¥®¥ ¬®-¤¥«¨à®¢ ¨¥ ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ § ªàë⮬ ¯®-¤¢¨¦®¬ ¯àאַ㣮«ì®¬ á®á㤥 // �̈ ¤à®¬¥å ¨ª .{1998.{ 72.{ �. 72{87.8. �®¨á¥¥¢ �.�. � ¤ ç ® ¤¢¨¦¥¨¨ ⢥म£® ⥫ , á®-¤¥à¦ 饣® ¦¨¤ª¨¥ ¬ ááë, ¨¬¥î騥 ᢮¡®¤ãî ¯®-¢¥àå®áâì // � ⥬ â¨ç¥áª¨© ᡮਪ.{ 1952.{ 32,N 1.{ �. 612{621.9. � ¡¥ª® �. �.�ᮢë ç¨á«¥®£® «¨§ .{ �.: � -㪠, 1986.{ 744 á.10. � ¢à¥â쥢 �. �., � ¡ â �. �. �஡«¥¬ë £¨¤à®-¤¨ ¬¨ª¨ ¨ ¨å ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ¬®¤¥«¨.{ �.: � 㪠,1977.{ 407 á.11. �¥«¨¥©ë¥ ¯à®¡«¥¬ë ⥮ਨ ¯®¢¥àå®áâëå ¨¢ãâà¥¨å ¢®«.{ �®¢®á¨¡¨àáª: � 㪠. �¨¡¨à᪮¥®â¤¥«¥¨¥, 1985.{ 318 á.�. �. �®«®â¥ª® 33
|