Узагальнення і спрощення схеми Даніеля

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Юрачківський, А.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49039
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля / А.П. Юрачкiвський // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 42-49. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-49039
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-490392013-09-10T03:01:02Z Узагальнення і спрощення схеми Даніеля Юрачківський, А.П. Математика 2012 Article Узагальнення і спрощення схеми Даніеля / А.П. Юрачкiвський // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 42-49. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49039 517 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Юрачківський, А.П. Узагальнення і спрощення схеми Даніеля Доповіді НАН України
format	Article
author	Юрачківський, А.П.
author_facet	Юрачківський, А.П.
author_sort	Юрачківський, А.П.
title	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля
title_short	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля
title_full	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля
title_fullStr	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля
title_full_unstemmed	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля
title_sort	узагальнення і спрощення схеми даніеля
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49039
citation_txt	Узагальнення і спрощення схеми Даніеля / А.П. Юрачкiвський // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 42-49. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT ûračkívsʹkijap uzagalʹnennâísproŝennâshemidaníelâ
first_indexed	2025-07-04T09:55:27Z
last_indexed	2025-07-04T09:55:27Z
_version_	1836709764019519488
fulltext	УДК 517 © 2012 А.П. Юрачкiвський Узагальнення i спрощення схеми Данiеля (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) Нехай I — iнтеграл ( = адитивний iзотонний неперервний зверху в нулi функцiонал) на адитивнiй пiдгратцi F адитивної δ-гратки E. Припустимо, що F конфiнальна i мо- нотонно щiльна в E. Позначимо Fց i Fր множини тих x ∈ E, якi є точною ни- жньою (верхньою) межею деякої спадної (вiдповiдно зростаючої) послiдовностi в F. Продовживши I на цi множини за монотонною неперервнiстю, вводимо функцiонали I∗x = sup u∈Fց, u6x Iu та I∗x = inf v∈Fր, v>x Iv на E. Позначимо L = {x ∈ E: I∗x = I∗x}. Для x ∈ L покладаємо Ix = I∗x, або, рiвносильно, Ix = I∗x. Показано, що L = E i так продовжений I — iнтеграл на E. Ядром теорiї мiри та iнтеграла є задача продовження мiри (пiдхiд Лебега [1, 2]) або iн- теграла (пiдхiд Данiеля [1, 3]), заданих початково на вузькому класi множин (у першому випадку) або функцiй (у другому). Пiдхiд Данiеля технiчно простiший, але концептуально бiднiший, через що його називають схемою, а не теорiєю. Щоб пояснити, в чому полягає запропоноване в повiдомленнi узагальнення схеми Данiеля, нагадаємо i введемо ряд понять. Зберiгаюче порядок вiдображення одної впорядкованої множини в iншу називають iще iзотонним. Пiдмножину X0 впорядкованої множини X називаємо конфiнальною (в X), якщо для всякого x ∈ X iснують x ∈ X0 i x ∈ X0 такi, що x 6 x 6 x. Якщо впорядкована множина мiстить точну нижню (верхню) межу x спадної (зростаючої) послiдовностi (xn) своїх елементiв, то пишуть xn ց x (вiдповiдно xn ր x). В обох цих випадках говоримо, що послiдовнiсть (xn) збiгається до x, i записуємо цей факт ще так: x = limxn (зауважимо, що ми означили збiжнiсть тiльки монотонних послiдовностей). Iзотонне вiдображення f упорядкованої множини X в iншу впорядковану множину називається: неперервним звер- ху (знизу) в точцi x ∈ X, якщо спiввiдношення f(xn) ց f(x) (вiдповiдно f(xn) ր f(x)) справджується для всякої послiдовностi (xn) в X такої, що xn ց x (вiдповiдно xn ր x). Неперервне як зверху, так i знизу в деякiй точцi вiдображення назвемо монотонно непе- рервним у цiй точцi. Назвемо пiдмножину впорядкованої множини монотонно замкнутою, якщо вона мiс- тить обидвi точнi межi всякої монотонної обмеженої послiдовностi своїх елементiв (вимога обмеженостi в цьому означеннi iстотна). Пiдмножину X0 монотонно замкнутої впорядко- ваної множини X таку, що єдиною мiстячою X0 монотонно замкнутою пiдмножиною X є сама X, назвемо монотонно щiльною (в X). Монотонно замкнуту гратку назвемо δ-граткою (це, зважаючи на вимогу обмеженостi в означеннi монотонної замкнутостi, аналог δ-кiльця, а не σ-кiльця). Очевидно, δ-гратка мiстить обидвi гранi будь-якої (не обов’язково монотонної) обмеженої послiдовностi своїх елементiв. Адитивною граткою (адитивною δ-граткою) назвемо множину, надiлену узгодженими мiж собою порядком, вiдносно якого та є граткою (δ-граткою), i комутативною груповою 42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2 операцiєю (узгодженiсть означає трансляцiйну iнварiантнiсть порядку). Неформально ади- тивну гратку можна уявляти як векторну гратку з викинутими операцiями множення на нецiлi числа. Очевидно, якщо адитивний монотонний функцiонал на адитивнiй гратцi непе- рервний зверху або знизу хоча би в однiй точцi, то вiн монотонно неперервний у всiх точках. Адитивний iзотонний монотонно неперервний функцiонал на адитивнiй гратцi називає- ться iнтегралом. (Для векторної гратки функцiй це означення належить Лебеговi). Основним результатом даного повiдомлення є Теорема 1. Нехай I — iнтеграл на адитивнiй пiдгратцi F адитивної δ-гратки E. При- пустимо, що F конфiнальна i монотонно щiльна в E. Тодi I єдиним чином продовжується до iнтеграла на E. Ми виведемо це твердження з низки лем i наслiдкiв, але спершу прокоментуємо його. У класичному варiантi схеми Данiеля F не абстрактна адитивна гратка, а стоунова векторна гратка ф у н кц i й на деякiй множинi X (тобто F ⊂ R X), а наперед заданої гра- тки E немає — вона будується з F за допомогою операцiй монотонного граничного переходу i вiднiмання, якi, очевидно, не виводять з R X . Для того щоб вистачило одноразового гра- ничного переходу замiсть трансфiнiтної послiдовностi цих дiй, розглядається не поточкова збiжнiсть, а збiжнiсть майже скрiзь. Уся схема тримається на такому фактi [3]: якщо (fn) — монотонна послiдовнiсть в F ⊂ R X така, що sup \|Ifn\| < ∞, то вона I-майже скрiзь збiгається до деякої f ∈ R X . В абстрактнiй постановцi унiверсальної адитивної δ-гратки на зразок R X немає, тож скористатись цим фактом неможливо. Тодi й поняття збiжностi майже скрiзь (належно видозмiнене для iнтеграла на абстрактнiй гратцi) стає безкори- сним. Можна cпробувати вийти зi становища, вкладаючи абстрактну адитивну δ-гратку в R X , але такий догматичний пiдхiд не дуже природний i технiчно себе не виправдовує. Основною концептуальною новацiєю даного повiдомлення є спосiб продовження iнтегра- ла без використання збiжностi майже скрiзь i притому без технiчних ускладнень на зразок трансфiнiтної iндукцiї. Побудова продовженого iнтеграла складається з двох етапiв, iз яких перший у загальних рисах такий же, як у класичнiй схемi Данiеля (а технiчно вiдрiзняє- ться тим, що замiсть монотонної збiжностi майже скрiзь використовується означена вище монотонна порядкова збiжнiсть). Що ж до другого етапу, то вiн скорiше нагадує Лебегiв спосiб продовження мiри, але це схожiсть на рiвнi асоцiацiй — функцiонали I∗ та I∗, якi будуть нашим iнструментом, не є прямими аналогами зовнiшньої та внутрiшньої мiр. Саме́ означення цих функцiоналiв — рiвнiсть (3) — пояснює iдею побудови продовження краще за будь-якi слова. Приступаючи до доведення теореми, почнемо з очевидного твердження. Лема 1. Нехай (xn) i (yn) — збiжнi монотоннi послiдовностi в упорядкованiй множинi. Припустимо, що xn 6 yn при всiх n. Тодi limxn 6 lim yn. Нижченаведене твердження — окремий випадок реченця1 XII.2.6 [4]. Лема 2. В адитивнiй гратцi спiввiдношення xn ց x, yn ց y зумовлюють xn+yn ց x+ + y, xn ∧ yn ց x ∧ y, xn ∨ yn ց x ∨ y; спiввiдношення xn ր x, yn ր y тягнуть за собою xn + yn ր x + y, xn ∧ yn ր x ∧ y, xn ∨ yn ր x ∨ y; спiввiдношення xn ց x i −xn ր −x рiвносильнi. Для довiльної пiдмножини A впорядкованої множини X означимо Aց (вiдповiдно Aր) як множину тих x ∈ X, для яких iснує послiдовнiсть (xn) ∈ AN така, що xn ց x (вiдповiдно xn ր x). 1 Так я перекладаю слово proposition як назву твердження, промiжного мiж лемою i теоремою. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 43 Наслiдок 1 (з леми 2). Нехай G — впорядкована комутативна напiвгрупа. Тодi для будь-яких A, B ⊂ G Aց + Bց ⊂ (A + B)ց, Aր + Bր ⊂ (A + B)ր. Якщо ж понад те G група, то (−A)ր = −(Aց), (−A)ց = −(Aր) для всiх A ⊂ G. Наслiдок 2. Нехай K — пiдгрупа впорядкованої комутативної напiвгрупи. Тодi: Kց i Kր напiвгрупи; Kր = −Kց, Kց = −Kր. Скрiзь нижче E i F такi, як у теоремi 1; x+ означає x ∨ 0. Лема 3. Нехай I — iнтеграл на F, а (un), (vn) — монотоннi збiжнi послiдовностi в F такi, що limun 6 lim vn. Тодi lim Iun 6 lim Ivn. Зокрема, якщо limun = lim vn, то lim Iun = lim Ivn. Доведення. Нехай спершу un ց x, vn ր y > x. Тодi за лемою 2 un − vn ց x − y, (un − vn)+ ց (x − y)+(= 0), звiдки внаслiдок монотонної неперервностi iнтеграла I(un − − vn)+ ց 0, вiдтак за iншими двома (з трьох) властивостями iнтеграла lim(Iun − Ivn) 6 0, що, очевидно, приводить до потрiбного висновку. Нехай тепер un ր x, vn ր y > x. Тодi за вже доведеним Iuk 6 lim Ivn при всiх k. Залишається спрямувати k до нескiнченностi. Якщо ж un ց x, vn ց y > x, то записавши −vn ր −y, −un ր −x > −y, зводимо цей випадок до попереднього. Наостанок, випадок un ր x, vn ց y > x тривiальний. Нижче F̃ означає Fր⋃ Fց. Продовжимо I на F̃, поклавши для всякого x ∈ F̃ Ix = = lim Iun, де (un) — довiльна збiжна до x монотонна послiдовнiсть в F (лема 3 стверджує, що значення Ix не залежить вiд вибору послiдовностi (un) iз зазначеними властивостя- ми). Вiдтепер i до останньої леми пiд I розумiємо щойно побудоване продовження. Область визначення його не є нi групою, анi граткою, але наслiдок 2 стверджує, що Fր i Fց на- пiвгрупи, раз F, за припущенням, група. Наслiдок 3 (з леми 3). I iзотонний. Лема 4. I адитивний на Fր i на Fց. Доведення. Це випливає безпосередньо iз способу продовження i з леми 2. Лема 5. Для будь-якого x ∈ F̃ I(−x) = −Ix. Доведення. За лемою 2 спiввiдношення un ր x i −un ց −x рiвносильнi. Якщо при цьому un ∈ F, то за побудовою продовження Ix = lim Iun, I(−x) = lim I(−un) i за вибором un I(−un) = −Iun. Лема 6. Нехай (xn) — зростаюча послiдовнiсть в Fր (спадна послiдовнiсть в Fց), збiжна до деякого x ∈ E. Тодi: 1) x ∈ Fր (вiдповiдно x ∈ Fց); 2) Ix = lim Ixn. Доведення. Нехай xn ∈ Fր, n ∈ N. Тодi для кожного n iснує зростаюча послiдовнiсть (unk, k ∈ N) ∈ FN така, що unk ր xn при k → ∞. (1) Позначимо uk = u1k ∨ · · · ∨ ukk. Тодi (uk) — зростаюча послiдовнiсть в F, тож iснує y ∈ ∈ Fր такий, що uk ր y. За побудовою uk > unk при k > n, що спiльно з попереднiм спiввiдношенням i (1) дає y > xn. Нехай далi xn ր x. Тодi, по-перше, y > x за лемою 1 i, по-друге, uik 6 xi 6 xk при i 6 k, так що за тiєю ж лемою uk 6 xk. З останньої нерiвностi i спiввiдношень uk ր y, xk ր x маємо за лемою 1 y 6 x. Отже, y = x i, таким чином, uk ր x, Iuk ր Ix. При цьому uk 6 xk 6 x, так що Iuk 6 Ixk 6 Ix. Для xn ∈ Fց, xn ց x мiркування аналогiчнi. 44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2 Нехай H — конфiнальна пiдмножина деякої впорядкованої множини, J — iзотонний функцiонал на H, а функцiонали J∗ H, J∗ H на всiй множинi задаються рiвностями J∗ Hx = sup u∈H, u6x Ju, J∗ Hx = inf v∈H, v>x Jv, правi частини яких скiнченнi внаслiдок iзотонностi J i конфiнальностi H. Безпосередньо з означення цих функцiоналiв випливає Лема 7. Функцiонали J∗ H i J∗ H iзотоннi. У наведених нижче трьох лемах H — конфiнальна пiднапiвгрупа впорядкованої кому- тативної напiвгрупи G, а J — iзотонний функцiонал на H. Лема 8. Нехай для всiх u, v ∈ H J(u+ v) > Ju + Jv. Тодi для всiх x, y ∈ G J∗ H(x+ y) > J∗ Hx+ J∗ Hy. Доведення. Достатньо написати sup w6x+y Jw > sup u6x, v6y J(u+ v), sup u6x, v6y (Ju+ Jv) = sup u6x Ju+ sup v6y Jv, де w, u, v беруться з H. Так само доводиться таке твердження. Лема 9. Нехай для всiх u, v ∈ H J(u + v) 6 Ju + Jv. Тодi для всiх x, y ∈ G J∗ H(x+ y) 6 J∗ Hx+ J∗ Hy. Лема 10. За умов леми 9 для будь-яких n ∈ N, y1, . . . , yn ∈ G J∗ H(y1 ∨ · · · ∨ yn) 6 J∗ Hy1 + n∑ k=2 J∗ H(yk − yk−1)+. (2) Доведення. Позначимо zk = y1 ∨ · · · ∨ yk. Тодi zk = zk−1 ∨ yk = zk−1 + (yk − zk−1)+, звiдки за лемою 9 J∗ Hzk 6 J∗ Hzk−1 + J∗ H(yk − zk−1)+. Але yk − zk−1 6 yk − yk−1, тому за лемою 7 J∗ H(yk − zk−1)+ 6 J∗ H(yk − yk−1)+. Отже, J∗ Hzk − J∗ Hzk−1 6 J∗ H(yk − yk−1)+. Просумувавши цю нерiвнiсть по k вiд 2 до n i взявши до уваги, що z1 = y1, одержимо (2). Замiсть IF ց ∗ , I∗Fր пишемо I∗, I ∗. Отже, за означенням I∗x = sup u∈Fց, u6x Iu, I∗x = inf v∈Fր, v>x Iv. (3) Лема 11. За умов леми 9 для всякого x ∈ E I∗x 6 I∗x. Доведення. Для будь-яких u, v ∈ F̃ таких, що u 6 x 6 v, маємо за наслiдком 3 Iu 6 Iv, пiсля чого потрiбний висновок випливає з (3). Застосувавши лему 7 до J = I та H = Fց або H = Fր (наслiдок 3 дозволяє це зробити), дiстанемо Наслiдок 4. Функцiонали I∗ та I∗ iзотоннi. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 45 Наслiдок 5 (iз наслiдку 3 i лем 4, 8, 9, 11). Для будь-яких x, y ∈ E I∗x+ I∗y 6 I∗(x+ y) 6 I∗(x+ y) 6 I∗x+ I∗y. Наслiдок 6 (iз наслiдку 5). Нехай x, y ∈ E, I∗x = I∗x, I∗y = I∗y. Тодi I∗x+ I∗y = I∗(x+ y) = I∗(x+ y) = I∗x+ I∗y. Лема 12. Для всякого x ∈ E I∗(−x) = −I∗x, I∗(−x) = −I∗x. Доведення. Згiдно з (3) I∗(−x) = sup u∈Fց,−u>−x Iu ≡ sup v∈−Fց, v>−x I(−v). Звiдси, зауваживши, що за наслiдком 2 −Fց = Fր, а за лемою 5 I(−v) = −Iv при v ∈ Fր, одержуємо I∗(−x) = sup v∈Fր, v>−x (−Iv), що спiльно з (3) доводить першу з двох стверджува- них рiвностей. Друга доводиться так само. Безпосередньо з (3) випливає Лема 13. Для всякого x ∈ Fր I∗x = Ix; для всякого x ∈ Fց I∗x = Ix. Зокрема, для всiх x ∈ F I∗x = Ix = I∗x. (4) Лема 14. Рiвностi (4) мають мiсце для всiх x ∈ F̃. Доведення. Нехай x ∈ Fր, тобто iснує послiдовнiсть (un) ∈ FN така, що un ր x. Тодi Iun ր Ix. За наслiдком 4 I∗x > I∗un; за лемою 13 I∗un = Iun. Тому I∗x > Ix. Звiдси, зауваживши, що Ix = I∗x за лемою 13, одержуємо I∗x > I∗x. За лемою 11 має мiсце i зворотна нерiвнiсть. Цим рiвнiсть (4) доведено для x ∈ Fր. Для x ∈ Fց мiркування аналогiчнi. Позначимо L = {x ∈ E: I∗x = I∗x}. Наслiдок 7 (iз леми 12). Нехай x ∈ L. Тодi −x ∈ L. Наслiдок 8 (iз леми 14). F̃ ⊂ L. Наслiдок 9 (iз наслiдкiв 6 i 7). L група, а функцiонал I∗ адитивний на L (або, що те саме, I∗ адитивний на L). Лема 15. Нехай (xn) — монотонна збiжна послiдовнiсть в L. Тодi: limxn ∈ L; I∗ limxn = lim I∗xn. (5) Зауваження 1. За вибором послiдовностi (xn) i згiдно з першим твердженням леми рiвнiсть (5) рiвносильна такiй: I∗ lim xn = lim I∗xn. Доведення. Нехай xn ր x i I∗xn = I∗xn. (6) Фiксуємо ε > 0 i для кожного k ∈ N беремо iснуючий за означенням I∗ елемент vεk ∈ Fր такий, що vεk > xk, (7) 46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2 Ivεk < I∗xk + 2−kε. (8) Конфiнальнiсть F дозволяє без обмеження загальностi вважати, що послiдовнiсть (vεk) обме- жена зверху (iнакше вiзьмемо довiльний t ∈ F такий, що t > x, i замiнимо vεk на vεk ∧ t). Позначимо wε n = vε1 ∨ · · · ∨ vεn(∈ Fր за побудовою). За лемами 14 i 10 Iwε n = I∗wε n 6 I∗vε1 + n∑ k=2 I∗(vεk − vεk−1)+. (9) За лемою 14 I∗vεk = Ivεk, k = 1, 2, . . . . (10) Iз (7) маємо за лемою 7 I∗(vεk − vεk−1)+ 6 I∗(vεk − xk−1)+. Але vεk − xk−1 > vεk − xk > 0, тож I∗(vεk − xk−1)+ = I∗(vεk − xk−1). (11) При цьому vεk ∈ L за наслiдком 8. Так само, зважаючи на (6), xk ∈ L. Тодi за наслiдком 9 vεk − xk ∈ L та I∗(vεk − xk−1) = I∗vεk − I∗xk−1, що спiльно з (9)–(11) спричинюється до Iwε n 6 Ivε1 + n∑ k=2 (Ivεk − I∗xk−1). При цьому внаслiдок (8) −I∗xk−1 < 2−(k−1)ε− Ivεk−1. Отже, Iwε n < Ivεn+ε n∑ k=2 2−k, що разом iз (8) дає Iwε n < I∗xn + ε. (12) За побудовою wε n ∈ Fր, послiдовнiсть (wε n) зростає i обмежена зверху. Тому iснує wε ∈ E такий, що wε n ր wε. За лемою 6 wε ∈ Fր i Iwε n ր Iwε. (13) Оскiльки xn 6 vεn 6 wε n i xn ր x, то лема 1 стверджує, що x 6 wε, звiдки за наслiдком 4 I∗x 6 I∗wε. Але I∗wε = Iwε за лемою 14. Таким чином, I∗x 6 Iwε. (14) Для кожного n беремо iснуючий за означенням функцiонала I∗ елемент un ∈ Fց такий, що un 6 xn i Iun > I∗xn − 2−n. (15) Оскiльки un 6 xn 6 wε n, то за наслiдком 3 Iun 6 Iwε n, (16) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 47 що разом iз (12) i (15) дає I∗xn − 2−n < Iun 6 Iwε n < I∗xn + ε. Звiдси з урахуванням (6) i (16) маємо 0 6 Iwε n − Iun < ε + 2−n. Це разом iз (13) показує, що Iwε 6 lim Iun + ε, вiдтак унаслiдок (14) I∗x 6 lim Iun + ε. (17) З iншого боку, з нерiвностей un 6 xn 6 x маємо за наслiдком 4 I∗un 6 I∗xn 6 I∗x. Крiм того, за вибором un i лемою 14 I∗un = Iun. Отже, lim Iun 6 lim I∗xn 6 I∗x. Порiвнявши це iз (17), бачимо, що для будь-якого ε > 0 I∗x 6 lim I∗xn 6 I∗x+ ε. Звiдси i з (6) одержуємо за лемою 11 I∗x = lim I∗xn = lim I∗xn = I∗x. Цим лему доведено для зростаючих послiдовностей. Такi ж мiркування застосовнi й до спадних послiдовностей (а ще можна звести другий випадок до першого, замiнивши xn, x на −xn, −x i скориставшись лемами 2 i 12). Доведення теореми 1. Для x ∈ L покладаємо Ix = I∗x (= I∗x за вибором x). Лема 14 стверджує, що так заданий функцiонал I на L є продовженням так само позначуваного функцiонала, визначеного до того тiльки на F̃ (а спочатку тiльки на F). За побудовою F ⊂ ⊂ L ⊂ E, а за лемою 15 множина L монотонно замкнута. Звiдси за припущенням монотонної щiльностi F маємо L = E. Функцiонал I iзотонний за наслiдком 4, адитивний за наслiдком 9 i монотонно неперервний за лемою 15, а значить є iнтегралом на E. Якщо I1 i I2 iнтеграли на E, то множина {x ∈ E : I1x = I2x}, очевидно, монотонно замкнута. Тому всякий iнтеграл, заданий початково на монотонно щiльнiй адитивнiй гратцi F ⊂ E, допускає не бiльше одного продовження на E. 1. Богачев В.И. Основы теории меры. В 2 т. – Москва, Ижевск: РХД, 2006. – Т. 1. – 584 с., Т. 2. – 680 с. 2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – Москва: Наука, 1989. – 624 с. 3. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. – Москва: Мир, 1979. – 588 с. 4. Иосида К. Функциональный анализ. – Москва: Мир, 1967. – 624 с. Надiйшло до редакцiї 15.06.2011Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка А.П. Юрачковский Обобщение и упрощение схемы Даниэля Пусть I — интеграл ( = аддитивный изотонный непрерывный сверху в нуле функционал) на аддитивной подрешетке F аддитивной δ-решетки E. Предположим, что F конфинальна и монотонно плотна в E. Обозначим Fց и Fր множества тех x ∈ E, которые являются точной нижней (верхней) границей некоторой убывающей (соответственно возрастающей) последовательности в F. Продолжив I на эти множества по монотонной непрерывности, вводим функционалы I∗x = sup u∈Fց, u6x Iu и I∗x = inf v∈Fր, v>x Iv на E. Обозначим L = {x ∈ E: I∗x = I∗x}. Для x ∈ L полагаем Ix = I∗x, или, равносильно, Ix = I∗x. Показано, что L = E и так продолженный I — интеграл на E. 48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2 A.P. Yurachkivsky The Daniell scheme generalized and simplified Let I be an integral ( = additive isotonic upper continuous at zero functional) on the additive sublattice E of an additive δ-lattice E. Suppose that F is cofinal and monotonically dense in E. Denote by Fց and Fր the sets of those x ∈ E which are the greatest lower (respectively: least upper) bound of some decreasing (respectively: increasing) sequence in F. First, we extend I to these sets by monotonic continuity and then introduce the functionals I∗x = sup u∈Fց, u6x Iu and I∗x = inf v∈Fր, v>x Iv on E. Denote L = {x ∈ E: I∗x = I∗x}. For x ∈ L, we set Ix = I∗x or, equivalently, Ix = I∗x. It is shown that L = E and the thus extended I is an integral on E. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 49

Узагальнення і спрощення схеми Даніеля

Репозитарії

Схожі ресурси