Аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах
Предложено векторное обобщение основных понятий теории функций комплексного переменного: понятие модуля и аргумента комплексного числа. Понятие голоморфного отображения распространено определенным образом на случай бесконечномерного пространства. В частности, обобщен ряд известных теорем о функциях...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49045 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах / А.К. Бахтин // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 13-18. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-49045 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-490452013-09-10T03:01:36Z Аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах Бахтин, А.К. Математика Предложено векторное обобщение основных понятий теории функций комплексного переменного: понятие модуля и аргумента комплексного числа. Понятие голоморфного отображения распространено определенным образом на случай бесконечномерного пространства. В частности, обобщен ряд известных теорем о функциях класса S из теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства. Запропоновано векторне узагальнення основних понять теорії функцій комплексної змінної: поняття модуля й аргументу комплексного числа. Поняття голоморфного відображення поширено певним чином на випадок нескінченновимірного простору. Зокрема, узагальнено ряд відомих теорем про функції класу S з теорії однолисних функцій на багатовимірні комплексні простори. We propose a vector generalization of the basic concepts of the theory of complex variable: the concepts of modulus and argument of a complex number. We introduce some generalized notions of holomorphic functions and mappings in the case of multidimensional complex spaces. This approach allows us generalize several well-known results of the geometric function theory to the case of multidimensional complex spaces. 2012 Article Аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах / А.К. Бахтин // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 13-18. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49045 517.55 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Бахтин, А.К. Аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах Доповіді НАН України |
| description |
Предложено векторное обобщение основных понятий теории функций комплексного переменного: понятие модуля и аргумента комплексного числа. Понятие голоморфного отображения распространено определенным образом на случай бесконечномерного пространства. В частности, обобщен ряд известных теорем о функциях класса S из теории однолистных функций на многомерные комплексные пространства. |
| format |
Article |
| author |
Бахтин, А.К. |
| author_facet |
Бахтин, А.К. |
| author_sort |
Бахтин, А.К. |
| title |
Аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах |
| title_short |
Аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах |
| title_full |
Аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах |
| title_fullStr |
Аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах |
| title_full_unstemmed |
Аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах |
| title_sort |
аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49045 |
| citation_txt |
Аналитические функции векторного аргумента и частично конформные отображения в многомерных комплексных пространствах / А.К. Бахтин // Доп. НАН України. — 2012. — № 2. — С. 13-18. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT bahtinak analitičeskiefunkciivektornogoargumentaičastičnokonformnyeotobraženiâvmnogomernyhkompleksnyhprostranstvah |
| first_indexed |
2025-07-04T09:55:58Z |
| last_indexed |
2025-07-04T09:55:58Z |
| _version_ |
1836709796794859520 |
| fulltext |
УДК 517.55
© 2012
А.К. Бахтин
Аналитические функции векторного аргумента
и частично конформные отображения в многомерных
комплексных пространствах
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Ю. Трохимчуком)
Предложено векторное обобщение основных понятий теории функций комплексного пе-
ременного: понятие модуля и аргумента комплексного числа. Понятие голоморфного
отображения распространено определенным образом на случай бесконечномерного про-
странства. В частности, обобщен ряд известных теорем о функциях класса S из теории
однолистных функций на многомерные комплексные пространства.
В данной работе результаты, полученные в [1], распространяются на бесконечномерный
случай. В своих исследованиях мы придерживаемся терминологической архитектуры комп-
лексного анализа, разработанной в [2–6]. Пусть N,R,C — соответственно множества нату-
ральных, вещественных и комплексных чисел. R+ = [0,+∞). Пусть C — сферa Римана
(расширенная комплексная плоскость), r(B, a) — внутренний радиус области B ⊂ C, отно-
сительно точки a ∈ B (см., например [7–15]). По аналогии с пространством C
n рассмотрим
линейное векторное пространство C
∞, т. е. пространство упорядоченных, счетных последо-
вательностей комплексных чисел. Таким образом, C∞ = C×C× · · · ×C× · · · . Аналогично,
R
∞ = R × R × · · · × R × · · · , R∞ ⊂ C
∞.
Перенесем на случай пространства C
∞ некоторые понятия работы [1].
1. Алгебра C
∞.
Определение 1. Бинарную операцию, действующую из C
∞ × C
∞ в C
∞ по правилу
Z ·W = {zkwk}
∞
k=1,
где Z = {zk}
∞
k=1 ∈ C
∞, W = {wk}
∞
k=1 ∈ C
∞, будем называть векторным умножением
элементов C
∞. Данная операция превращает C
∞ в коммутативную, ассоциативную алгеб-
ру [11, 12] с единицей 1 = (1, 1, . . . , 1, . . .) ∈ C
∞. Обратимыми относительно так определен-
ной операции умножения являются те и только те элементы Z = {zk}
∞
k=1 ∈ C
∞, у которых
zk 6= 0 для всех k = 1,∞.
Обратными для таких элементов Z ∈ C
∞ являются элементы Z
−1 = {z−1
k }∞k=1 ∈ C
∞,
так как Z · Z−1 = Z
−1 · Z = 1. Множество Θ всех элементов A = {ak}
∞
k=1 ∈ C
∞, у которых
хотя бы одна координата ak = 0, назовем множеством необратимых элементов A ∈ C
∞.
Множество Θ является объединением максимальных идеалов алгебры C
∞ [13].
2. Сопряжение.
Определение 2. Каждому элементу W = {wk}
∞
k=1 ∈ C
∞ поставим в соответствие век-
торно-сопряженный элемент W = {wk}
∞
k=1 ∈ C
∞, где wk обозначает число, комплексно-со-
пряженное wk в обычном смысле. Так определенное соответствие задает автоморфизм C
∞,
оставляющий неподвижным подпространство R
∞.
3. Модуль (векторный). В алгебре C одним из важнейших является понятие модуля
комплексного числа. Пусть R
∞
+ = R+ × R+ × · · · × R+ · · · .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 13
Определение 3. Векторным модулем произвольного элемента Z = {zk}
∞
k=1 ∈ C
∞ будем
называть вектор |Z| := {|zk|}
∞
k=1 ∈ R
∞
+ .
Важно, что для произвольного Z = {zk}
∞
k=1 ∈ C
∞ справедливо равенство
Z · Z = |Z|2 = |Z|2.
4. Векторная норма.
Определение 4. Вектор X = {xk}
∞
k=1 ∈ R
∞ будем называть неотрицательным (строго
положительным) и писать X > 0 (X > 0), если xk > 0 для всех k = 1,∞ (xk > 0 хотя бы
для одного k = 1,∞), 0 = (0, 0, . . . , 0, . . .).
Определение 5. Будем говорить, что вектор X = {xk}
∞
k=1 ∈ R
∞ больше либо равен
(строго больше) вектора Y = {yk}
∞
k=1 ∈ R
∞, если X − Y > 0 (X − Y > 0). В много-
мерных пространствах ситуация существенно отличается от случая вещественной прямой,
например, вектор 0 = (0, 0, . . . 0, . . .) больше либо равен всех векторов, координаты которых
неположительны, и меньше либо равен всех векторов из R
∞
+ . Остальные векторы R
∞, у ко-
торых координаты разных знаков с вектором 0, не сравнимы в смысле определений 4 и 5.
Определение 6. Векторное пространство Y будем называть векторно нормированным,
если каждому y ∈ Y сопоставлен неотрицательный вектор ‖y‖ ∈ R
∞
+ , удовлетворяющий
условиям:
1) ‖y‖ > 0, причем ‖y‖ = 0 ⇐⇒ y = 0Y (0Y — нуль пространства Y);
2) ‖γy‖ = |γ|‖y‖, ∀ y ∈ Y, ∀ γ ∈ C;
3) ‖y1 + y2‖ 6 ‖y1‖ + ‖y2‖, ∀ y1, y2 ∈ Y.
Аналогично можно ввести понятие векторной метрики. Введенное определение 3 удов-
летворяет определению 6. Таким образом, векторный модуль является векторной нормой
в алгебре C
∞ : ‖ · ‖ = | · |. Тогда открытым единичным шаром в алгебре C
∞ является
единичный открытый поликруг ‖z‖ < 1, (1) = (1, 1, . . . , 1, . . .), а единичной сферой —
T
∞ = {Z ∈ C
∞ : ‖Z‖ = 1}. Важно, что
а) |Z1 · Z2| = ‖Z1 · Z2‖ = ‖Z1‖‖Z2‖ = |Z1||Z2|, ∀Z1,Z2 ∈ C
∞;
б) |1| = ‖1‖ = 1, (1 = (1, 1, . . . , 1, . . .)).
5. Векторный аргумент A ∈ C
∞. В дальнейшем вектор (произвольный) пространства
(алгебры) C∞ будем называть бесконечномерным комплексным числом, а алгебру C
∞ будем
называть алгеброй бесконечномерных комплексных чисел.
Определение 7. Векторным аргументом бесконечномерного комплексного числа A =
= {ak}
∞
k=1 ∈ C
∞\Θ является бесконечномерный вещественный вектор, определяемый фор-
мулой
ArgA = {Arg ak}
∞
k=1,
где Arg ak есть главное значение аргумента либо то, которое вытекает из конкретного
смысла задачи, в которой фигурирует бесконечномерное комплексное число A ∈ C
∞.
6. Пополнение C
∞. В качестве пополнения C
∞ = C×C×· · ·×C×· · · возьмем пространс-
тво C
∞
= C× C× · · · × C× · · · , которое по аналогии с конечномерным случаем (см. [2–6])
будем называть бесконечномерным пространством теории функций. Бесконечными точка-
ми C
∞
являются те точки, у которых хотя бы одна координата бесконечна. Множество
всех бесконечных точек имеет коразмерность единица. Топологию в C
∞
определяем как
покоординатную сходимость, равномерную по номерам координат.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
7. Дифференцируемость. Сначала обратимся к конечномерному случаю. Рассмо-
трим область D ⊂ C
n и отображение F : D → C
m, F = {fk(z1, . . . , zn)}
m
k=1. Пусть fk =
= Uk(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) + iVk(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) — вещественно непрерывно диффе-
ренцируемы всюду в области D при k = 1,m, n,m ∈ N.
Матрицу Якоби отображения F, рассматриваемого как дифференцируемое отображение
области D ⊂ R
2n в R
2m (матрица 2m × 2n), представим следующим образом:
U (1)
x1
. . . U (1)
xn
| U (1)
y1
. . . U (1)
yn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... {UX}
... |
... {UY}
...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U (m)
x1
. . . U (m)
xn
| U (m)
y1
. . . U (m)
yn
−−− −−− −−− | − − − −−− −−−
V (1)
x1
. . . V (1)
xn
| V (1)
y1
. . . V (1)
yn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... {VX}
... |
... {VY}
...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V (m)
x1
. . . V (m)
xn
| V (m)
y1
. . . V (m)
yn
, (1)
где U (k)
xj
=
∂
∂xj
Uk, V (k)
xj
=
∂
∂xj
Vk, k = 1,m, j = 1, n. Штрихованные линии разбивают
матрицу Якоби (1) на четыре прямоугольные матрицы порядка m × n, обозначенные UX,
UY, VX, VY, где F = ReF+i ImF = U+iV, Z = ReZ+i ImZ = X+iY. С учетом сказанного
матрицу (1) можно представить следующим образом:
(
UX UY
VX VY
)
. (2)
Тогда условия Коши–Римана для отображения F можно записать в виде
{
UX = VY,
UY = −VX.
(3)
Определение 8. Отображение F : D → C
m, вещественно непрерывно дифференцируе-
мое в D (как отображение из R
2n в R
2m) и удовлетворяющее матричному уравнению (3)
всюду в D, будем называть голоморфным в области D. При n ∈ N и m = 1 получаем
определение голоморфной функции в области D ⊂ C
n. В случае n = 1, m ∈ N получаем
определение голоморфной кривой.
Как известно [2–6], голоморфное отображение F : D → C
m, D ⊂ C
n называется биголо-
морфным, если оно имеет обратное отображение, голоморфное в области F(D).
Теперь дадим формальное обобщение приведенных выше рассуждений на бесконечно-
мерный случай. Пусть даны область D ⊂ C
∞ и отображение F : D → C
∞, где F =
= {fk(Z)}
n
k=1 = {fk(X+iY)}nk=1, fk(X+iY) = Uk(X,Y)+iVk(X,Y) = Uk({xp}
∞
p=1, {yp}
∞
p=1)+
+ iVk({xp}
∞
p=1, {yp}
∞
p=1). F = U + iV, U = U(X,Y) = {Uk(X,Y)}∞k=1, V = V(X,Y) =
= {Vk(X,Y)}∞k=1, Z = X+iY = {xk}
∞
k=1+i{yk}
∞
k=1 ∈ D. Пусть функции Uk({xp}
∞
p=1, {yp}
∞
p=1),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 15
Vk({xp}
∞
p=1, {yp}
∞
p=1) всюду в D имеют непрерывные частные производные по всем перемен-
ным xp, yp, p = 1,∞. Тогда матрицу Якоби представим в виде, аналогичном (2):
(
UX UY
VX VY
)
,
где UX,UY,VX,VY являются бесконечными матрицами следующего вида:
UX =
[
{U (k)
xp
}∞k=1,p=1
]
, UY =
[
{U (k)
yp
}∞k=1,p=1
]
,
VX =
[
{V (k)
xp
}∞k=1,p=1
]
, VY =
[
{V (k)
yp
}∞k=1,p=1
]
,
V (k)
xp
=
∂
∂xp
Vk, V (k)
yp
=
∂
∂yp
Vk, U (k)
xp
=
∂
∂xp
Uk, U (k)
yp
=
∂
∂xp
Uk, k, p = 1,∞.
Cимвол [·] обозначает бесконечную матрицу.
Тогда уравнения Коши–Римана примут вид
{
UX = VY,
UY = −VX.
(4)
Определение 9. Пусть D является произвольной областью из пространства C
∞. Ото-
бражение F : D → C
∞, вещественно непрерывно дифференцируемое в D и удовлетворяющее
матричному уравнению (4) всюду в D, будем называть голоморфным отображением облас-
ти D.
По аналогии с конечномерным случаем, будем считать, что голоморфное отображение
F : D → C
∞, D ⊂ C
∞ является биголоморфным, если F имеет обратное отображение, го-
ломорфное в F(D).
Пусть U
∞
r = Ur ×Ur × · · · ×Ur × · · · , где Ur = {z : z ∈ C, |z| < r}, U∞
1 := U
∞. U
∞
r = U r ×
× U r × · · · × U r × · · · , и Fp : U
∞ → C
∞ — некоторая последовательность отображений.
Определение 10. Будем говорить, что последовательность Fp, p = 1,∞, равномерно
внутри U
∞ сходится к некоторому отображению F0 : U
∞ → C
∞, если для любого ε > 0
и 0 < r < 1 существует такой номер n0 = n0(ε, r), n0 ∈ N, что ‖Fp(Z) − F0(Z)‖ 6 ε · 1 для
всех Z ∈ U
∞
r и всех p > n0.
Пусть D = D1 × D2 × · · · × Dn × · · · ⊂ C
∞.
Определение 11. Голоморфное отображение F : D∞ → C
∞ будем называть аналити-
ческой функцией векторного аргумента, если для любой точки Z0 ⊂ D существует поликруг
Ur(Z0) = {Z ∈ C
∞ : |Z−Z0| < r} ⊂ D, в котором отображение F(Z) представимо сходящимся
степенным рядом Тейлора F(Z) =
∑
Ak(Z − Z0)
k.
Определение 12. Пусть δ ∈ (0; 1]. Тогда отображение F(Z) = {fk(zk)}
∞
k=1, Z ∈ U
∞,
где каждое fk(zk), k = 1,∞, является однолистной функцией в единичном круге такой,
что δ < |f ′
k(0)| < 1/δ, k = 1,∞, будем называть частично конформным отображением
единичного поликруга.
8. Представление бесконечномерного комплексного числа в векторно-поляр-
ной форме. Используя вышеприведенные определения, получим цепочку равенств:
Z = {zk}
∞
k=1 = {|zk|}
∞
k=1{e
iαk}∞k=1 = |Z|eiArgZ,
где eiArgZ = {eiArg zk}∞k=1.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
Для регулярной в областях (B1, B2, . . . , Bn, . . .), Bk ∈ C, k = 1,∞, функции F (z) комп-
лексного переменного определим продолжение этой функции до голоморфного отображе-
ния области B = B1 × B2 × · · · × Bn × · · · по следующему правилу: F(W) = {F (wk)}
∞
k=1,
W = {wk}
∞
k=1 ∈ B. На основании этой формулы легко построить аналоги всех элементар-
ных функций в C.
9. Полицилиндрическая теорема Римана об отображении в C
∞
. Область B ⊂ C
называется областью гиперболического типа, если ∂B (граница B) — связное множество,
содержащее более одной точки. Пусть 0 < δ 6 1 и A = {ak}
∞
k=1 ∈ C
∞
. Тогда B = Bδ(A) =
= B1 × B2 × · · · × Bn × · · · ⊂ C
∞
, A ∈ Bδ(A), где каждая область Bk является областью
гиперболического типа, δ < r(Bk, ak) < 1/δ, k = 1,∞. При любом 0 < δ 6 1 область
B = Bδ(A) называется конечной относительно A полицилиндрической областью гипербо-
лического типа.
Теорема Римана. Пусть A ∈ C
∞
и 0 < δ 6 1. Тогда любая конечная относительно
A полицилиндрическая область B = Bδ(A) ⊂ C
∞
гиперболического типа биголоморфно
эквивалентна единичному поликругу U
∞ = {W ∈ C
∞ : ‖W‖ < 1}.
Пусть B = Bδ(A) = B1 × B2 × · · · × Bn × · · · — область, указанная в теореме Римана,
A = {ak}
∞
k=1 ∈ B, ak ∈ Bk, k = 1,∞, и wk = fk(zk) — голоморфная в Bk функция, одно-
листно и конформно отображающая область Bk, k = 1,∞, на единичный круг |wk| < 1
так, что f(ak) = 0, f ′(ak) > 0. Тогда биголоморфное отображение FB(Z) = {fk(zk)}
∞
k=1,
F
′
B(Z) = {f ′
k}
∞
k=1, удовлетворяет условиям нормировки FB(A) = 0, F′
B(Z) = {f ′
k(ak)}
∞
k=1 > 0
и будет единственним таким отображением на единичный поликруг. Тогда обратное отобра-
жение к отображению FB(A) является частично конформным отображением единичного
поликруга.
10. Приложения. В связи с бесконечномерной теоремой Римана об отображении рас-
смотрим полицилиндрический аналог известного класса S из теории однолистных фун-
кций [7–10].
Определение 13. Классом S
(∞) назовем совокупность всех биголоморфных отображе-
ний единичного поликруга U
∞ = {Z ∈ C
∞ : ‖Z‖ < 1} вида F(Z) = {fk(zk)}
∞
k=1, где fk ∈ S,
k = 1,∞, Z = {zk}
∞
k=1 ∈ U
∞.
Теорема 1. Для произвольного отображения F ∈ S
(∞) справедливо неравенство
‖Z‖
(1 + ‖Z‖)2
6 ‖F(Z)‖ 6
‖Z‖
(1− ‖Z‖)2
,
где ‖Z‖ = r, 0 6 r < 1.
Теорема 2. Для произвольного отображения F ∈ S
(∞) справедливо неравенство
‖1− Z‖
(1 + ‖Z‖)3
6 ‖F′(Z)‖ 6
‖1 + Z‖
(1− ‖Z‖)3
,
где ‖Z‖ = r, 0 6 r < 1, k = 1,∞.
Теорема 3 (теорема Де Бранжа–Бибербаха). Если F ∈ S
(∞), то
|An| 6 n · 1 = n,
где F =
∞
∑
k=1
AkZ
k, 1 = (1, 1, . . . , 1, . . .). Знак равенства в этом неравенстве достигается
тогда и только тогда, когда F = {fk}
∞
k=1, f
0
k = zk(1− eiθzk)
−2, θk ∈ [0, 2π], k = 1,∞.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №2 17
1. Бахтин А.К. Обобщение некоторых результатов теории однолистных функций на многомерные
комплексные пространства // Доп. НАН України. – 2011. – № 3. – С. 7–11.
2. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. I. – Москва: Наука, 1976. – 320 с.
3. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. II. – Москва: Наука, 1976. – 400 с.
4. Фукс Б. В. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. – Москва:
Физматгиз, 1962. – 420 с.
5. Фукс Б. В. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных. –
Москва: Физматгиз, 1963. – 428 с.
6. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. – Москва: Наука, 1985. – 272 с.
7. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
8. Хейман В.К. Многолистные функции. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
9. Дубинин В.Н. Метод симметризации в задачах о неналегающих областях // Мат. сб. – 1985. – 128,
№ 1. – С. 110–123.
10. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической теории функций комплекс-
ного переменного. – Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2009. – 390 с.
11. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – Москва: Наука, 1973. – 143 с.
12. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – Москва: Наука, 1976. – 648 с.
13. Рудин У. Функциональный анализ. – Москва: Мир, 1975. – 449 с.
14. Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. – Москва: Наука,
1969. – 432 с.
15. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. – Москва: Наука, 1975. – 336 с.
Поступило в редакцию 20.05.2011Институт математики НАН Украины, Киев
О.К. Бахтiн
Аналiтичнi функцiї векторного аргументу i частково конформнi
вiдображення в багатовимiрних комплексних просторах
Запропоновано векторне узагальнення основних понять теорiї функцiй комплексної змiнної:
поняття модуля й аргументу комплексного числа. Поняття голоморфного вiдображення
поширено певним чином на випадок нескiнченновимiрного простору. Зокрема, узагальнено
ряд вiдомих теорем про функцiї класу S з теорiї однолисних функцiй на багатовимiрнi ком-
плекснi простори.
A.K. Bakhtin
Analytic functions of vector argument and partially conformal mappings
in multidimensional complex spaces
We propose a vector generalization of the basic concepts of the theory of complex variable: the
concepts of modulus and argument of a complex number. We introduce some generalized notions of
holomorphic functions and mappings in the case of multidimensional complex spaces. This approach
allows us generalize several well-known results of the geometric function theory to the case of
multidimensional complex spaces.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №2
|