Узагальнене кінетичне рівняння Енскога

На основі кінетичних кластерних розкладів кумулянтів груп операторів системи пружних куль обгрунтовано нелінійне кінетичне рівняння Енскога та його узагальнення. Для початкових станів, які визначаються одночастинковою інтегровною функцією розподілу, встановлено еквівалентність задач Коші для ієрархі...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Гап'як, І.В., Герасименко, В.І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2012
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49339
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Узагальнене кінетичне рівняння Енскога / I.В. Гап’як, В.I. Герасименко // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-49339
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-493392013-09-17T03:06:37Z Узагальнене кінетичне рівняння Енскога Гап'як, І.В. Герасименко, В.І. Математика На основі кінетичних кластерних розкладів кумулянтів груп операторів системи пружних куль обгрунтовано нелінійне кінетичне рівняння Енскога та його узагальнення. Для початкових станів, які визначаються одночастинковою інтегровною функцією розподілу, встановлено еквівалентність задач Коші для ієрархії рівнянь ББГКІ та узагальненого кінетичного рівняння Енскога. На основе кинетических кластерных разложений кумулянтов групп операторов системы упругих шаров обосновано нелинейное кинетическое уравнение Энскога и его обобщения. Для начальных данных, которые определяются интегрируемой одночастичной функцией распределения, установлена эквивалентность задач Коши для иерархии уравнений ББГКИ и обобщенного кинетического уравнения Энскога. On the basis of kinetic cluster expansions of the cumulants of groups of operators of a hard sphere system, the nonlinear kinetic Enskog equation and its generalizations are justified. It is established that, for initial state which is determined by the integrable one-particle distribution function, the Cauchy problems of the BBGKY hierarchy and the generalized kinetic Enskog equation are equivalent. 2012 Article Узагальнене кінетичне рівняння Енскога / I.В. Гап’як, В.I. Герасименко // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49339 517.9+531.19+530.145 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Гап'як, І.В. Герасименко, В.І. Узагальнене кінетичне рівняння Енскога Доповіді НАН України
description	На основі кінетичних кластерних розкладів кумулянтів груп операторів системи пружних куль обгрунтовано нелінійне кінетичне рівняння Енскога та його узагальнення. Для початкових станів, які визначаються одночастинковою інтегровною функцією розподілу, встановлено еквівалентність задач Коші для ієрархії рівнянь ББГКІ та узагальненого кінетичного рівняння Енскога.
format	Article
author	Гап'як, І.В. Герасименко, В.І.
author_facet	Гап'як, І.В. Герасименко, В.І.
author_sort	Гап'як, І.В.
title	Узагальнене кінетичне рівняння Енскога
title_short	Узагальнене кінетичне рівняння Енскога
title_full	Узагальнене кінетичне рівняння Енскога
title_fullStr	Узагальнене кінетичне рівняння Енскога
title_full_unstemmed	Узагальнене кінетичне рівняння Енскога
title_sort	узагальнене кінетичне рівняння енскога
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49339
citation_txt	Узагальнене кінетичне рівняння Енскога / I.В. Гап’як, В.I. Герасименко // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT gapâkív uzagalʹnenekínetičnerívnânnâenskoga AT gerasimenkoví uzagalʹnenekínetičnerívnânnâenskoga
first_indexed	2025-07-04T10:23:51Z
last_indexed	2025-07-04T10:23:51Z
_version_	1836711553216282624
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 3 • 2012 МАТЕМАТИКА УДК 517.9+531.19+530.145 © 2012 I. В. Гап’як, В. I. Герасименко Узагальнене кiнетичне рiвняння Енскога (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) На основi кiнетичних кластерних розкладiв кумулянтiв груп операторiв системи пруж- них куль обгрунтовано нелiнiйне кiнетичне рiвняння Енскога та його узагальнення. Для початкових станiв, якi визначаються одночастинковою iнтегровною функцiєю розподi- лу, встановлено еквiвалентнiсть задач Кошi для iєрархiї рiвнянь ББГКI та узагальне- ного кiнетичного рiвняння Енскога. Загальновiдомими є результати, отриманi в останнi десятирiччя при дослiдженнi нелiнiйно- го кiнетичного рiвняння Больцмана [1, 2]. Разом з тим аналогiчнi дослiдження кiнетичного рiвняння Енскога [3, 4], яке є узагальненням рiвняння Больцмана для щiльних середовищ, стримуються головним чином апрiорi сформульованою структурою iнтеграла зiткнень цьо- го нелiнiйного рiвняння [5–7], тобто вiдкритою залишається проблема математичного об- грунтування виводу рiвняння Енскога з динамiки системи нескiнченного числа пружних куль. Мета цього повiдомлення полягає в математичному описi еволюцiї стану системи пруж- них куль у термiнах одночастинкової функцiї розподiлу. На основi сформульованих клас- терних розкладiв кумулянтiв груп операторiв системи пружних куль для початкових станiв, якi визначаються одночастинковою функцiєю розподiлу, в просторi послiдовностей iнтегро- ваних функцiй доведено еквiвалентнiсть початкової задачi для iєрархiї ББГКI i початкової задачi для узагальненого кiнетичного рiвняння Енскога та послiдовностi явно визначених функцiоналiв вiд розв’язку такого рiвняння. Таким чином, встановлено, що всi можливi стани нескiнченної системи пружних куль у довiльний момент часу можуть бути описа- нi без будь-якої апроксимацiї на основi сформульованого узагальненого рiвняння Енскога одночастинковою функцiєю розподiлу. Розглянемо систему однакових частинок одиничної маси, якi взаємодiють як пружнi кулi з дiаметром σ > 0. Кожна частинка системи характеризується фазовими координатами (qi, pi) ≡ xi ∈ R 3×R 3, i > 1. Для конфiгурацiй такої системи частинок виконуються умови: ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 7 \|qi − qj\| > σ, i 6= j > 1, тобто множина Wn ≡ {(q1, . . . , qn) ∈ R 3n \| \|qi − qj\| < σ хоча б для однiєї пари (i, j) : i 6= j ∈ (1, . . . , n)} є множиною заборонених конфiгурацiй. Початковий стан системи нефiксованого числа пружних куль (нерiвноважний великий канонiчний ансамбль [1]) описується послiдовнiстю F (0)=(F1(0, x1), . . . , Fs(0, x1, . . . , xs), . . .) s-частинкових (маргiнальних) функцiй розподiлу визначених на фазовому просторi вiдпо- вiдного числа частинок, якi є симетричними вiдносно перестановки аргументiв x1, . . . , xs i дорiвнюють нулю на множинi Ws. Надалi розглядаються початковi данi, якi визначають- ся одночастинковою функцiєю розподiлу i задовольняють умову хаосу [1] F (t)\|t=0 = F 0 ≡ ( F 0 1 (x1), . . . , s∏ i=1 F 0 1 (xi)Xs, . . . ) , (1) де Xs ≡ Xs(q1, . . . , qs) — характеристична функцiя дозволених конфiгурацiй R 3s \Ws сис- теми s пружних куль. Еволюцiя всiх можливих станiв системи нефiксованого числа пруж- них куль описується послiдовнiстю F (t) = (F1(t, x1), . . . , Fs(t, x1, . . . , xs), . . .) маргiнальних функцiй розподiлу, якi задовольняють задачу Кошi для iєрархiї рiвнянь ББГКI ∂ ∂t Fs(t) = L∗ sFs(t) + s∑ i=1 ∫ R3×R3 dxs+1L ∗ int(i, s + 1)Fs+1(t), (2) F (t)\|t=0 = F 0. (3) У рiвняннi (2) оператор Лiувiлля L∗ s визначено дужками Пуассона невзаємодiючих частинок з граничними умовами на границi заборонених конфiгурацiй ∂Ws [1] L∗ sFs(t) . = − s∑ i=1 〈 pi, ∂ ∂qi 〉 \|∂Ws Fs(t, x1, . . . , xs) та оператор L∗ int(i, s + 1) при t > 0 визначається таким виразом: L∗ int(i, s + 1)Fs+1(t) . = σ2 ∫ S2 + dη〈η, (pi − ps+1)〉(δ(qi − qs+1 − ση) × × Fs+1(t, x1, . . . , qi, p ∗ i , . . . , xs, qs+1, p ∗ s+1)− − δ(qi − qs+1 + ση)Fs+1(t, x1, . . . , xs, qs+1, ps+1)), (4) де 〈η, (pi − ps+1)〉 . = 3∑ α=1 ηα(pαi − pαs+1) — скалярний добуток, δ — мiра Дiрака, S2+ . = {η ∈ ∈ R 3 \| \|η\| = 1, 〈η, (pi − ps+1)〉 > 0} та iмпульси p∗i , p ∗ s+1 частинок визначаються виразами p∗i . = pi − η〈η, (pi − ps+1)〉, p∗s+1 . = ps+1 + η〈η, (pi − ps+1)〉. У випадку t < 0 оператор L∗ int(i, s + 1) визначається вiдповiдним виразом [1]. Наведемо деякi означення, необхiднi для строгого визначення розв’язку задачi Кошi (2), (3). Нехай L1(R3n × R 3n) — простiр функцiй fs визначених на фазовому просторi s 8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3 частинок, якi є симетричними вiдносно перестановки аргументiв x1, . . . , xs, дорiвнюють ну- лю на множинi заборонених конфiгурацiй Ws, з нормою ‖fs‖ = ∫ dx1 · · · dxs\|fs(x1, . . . , xs)\|. Пiдпростору L1 0(R 3n ×R 3n) ⊂ L1(R3n ×R 3n) належать неперервно диференцiйованi функцiї з компактними носiями. У просторi L1(R3n × R 3n) визначена така група сильно неперерв- них операторiв: Sn(t, 1, . . . , n)fn(x1, . . . , xn) . = . = { fn(X1(t, x1, . . . , xn), . . . , Xn(t, x1, . . . , xn)), (x1, . . . , xn)∈ (R3n×(R3n\Wn))\M 0 n, 0, (q1, . . . , qn) ∈ Wn, (5) де Xi(t) — фазова траєкторiя i-ї частинки [1]. Зауважимо, що фазовi траєкторiї системи пружних куль визначено не для всiх початкових даних (множина M0 n [1]), а майже скрiзь на фазовому просторi (R3n × (R3n \Wn)). Генератор iзометричної групи еволюцiйних опе- раторiв (5) збiгається з оператором Лiувiлля. Кумулянт (1 + n)-го порядку груп еволюцiйних операторiв (5) визначається таким роз- кладом [8]: A1+n(−t, {Y },X \ Y ) . = ∑ P : ({Y },X\Y )= ⋃ iXi (−1)\|P\|−1(\|P\| − 1)! ∏ Xi⊂P S\|θ(Xi)\|(−t, θ(Xi)), (6) де ∑ P — сума за всiма можливими розбиттями P множини iндексiв ({Y },X \ Y ) ≡ ({Y }, s+ +1, . . . , s+n) на \|P\| непорожнiх пiдмножин Xi ∈ ({Y },X \Y ), що взаємно не перетинаються, {Y } — множина iндексiв, яка складається з одного елемента Y ≡ (1, . . . , s), θ — декласти- ризацiйне вiдображення, яке визначається згiдно з формулою: θ({Y },X \ Y ) = X. Для початкових функцiй розподiлу (1) розв’язок задачi Кошi (2), (3) визначається таким розкладом [9]: Fs(t, x1, . . . , xs) = = ∞∑ n=0 1 n! ∫ (R3×R3)n !dxs+1 · · · dxs+nA1+n(−t, {Y },X \ Y ) s+n∏ i=1 F 0 1 (xi)Xs+n, (7) де A1+n(−t) — кумулянт (1+n)-го порядку (6) груп операторiв (5). Якщо F 0 1 ∈ L1(R3×R 3), за умови ‖F 0 1 ‖L1(R3×R3) < e−1, ряд (7) є збiжним за нормою простору L1(R3 × R 3) для довiльного t ∈ R 1. Внаслiдок того, що початковi данi (1) цiлком визначаються одночастинковою функ- цiєю розподiлу F 0 1 , тобто початковi данi для кожної невiдомої функцiї розподiлу Fs(t), s > 1, з iєрархiї рiвнянь (2) не є незалежними, то природно задачу Кошi для iєрархiї ББГКI (2), (3) переформулювати як нову задачу Кошi для еволюцiйного рiвняння для одночастинкової функцiї розподiлу F1(t) з початковими даними F 0 1 та послiдовностi функ- цiоналiв Fs(t \| F1(t)), s > 2, вiд розв’язку такого еволюцiйного рiвняння, якi еквiвалентнi маргiнальним функцiям розподiлу (7) у випадку s > 2 [10]. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 9 З цiєю метою введемо еволюцiйнi оператори V1+n(t), n > 0, на основi таких кластерних розкладiв кумулянтiв (6) груп операторiв (5) (кiнетичнi кластернi розклади): A1+n(−t, {Y },X \ Y )Xs+n(X) = = n∑ k1=0 n! (n− k1)!k1! V1+n−k1(t, {Y }, s + 1, . . . , s+ n− k1)× × k1∑ k2=0 k1! k2!(k1 − k2)! · · · kn−k1+s−1∑ kn−k1+s=0 kn−k1+s−1! kn−k1+s!(kn−k1+s−1 − kn−k1+s)! × × s+n−k1∏ i=1 A1+kn−k1+s+1−i−kn−k1+s+2−i (−t, i, s + n− k1 + 1 + ks+n−k1+2−i, . . . , . . . , s+ n− k1 + ks+n−k1+1−i)× ×X1+kn−k1+s+1−i−kn−k1+s+2−i (i, s + n− k1 + 1 + ks+n−k1+2−i, . . . , . . . , s+ n− k1 + ks+n−k1+1−i), n > 0, (8) де оператор Xs+n ≡ Xs+n(1, . . . , s + n) дiє на функцiї як оператор множення на вiдповiдну характеристичну функцiю дозволених конфiгурацiй R 3(s+n) \Ws+n системи s+ n пружних куль. Наведемо приклади кiнетичних кластерних розкладiв (8): A1(−t, {Y })Xs(Y ) = V1(t, {Y }) s∏ i=1 A1(−t, i), A2(−t, {Y }, s + 1)Xs+1(Y, s + 1) = V2(t, {Y }, s+ 1) s+1∏ i=1 A1(−t, i) + +V1(t, {Y }) s∑ j=1 A2(−t, j, s + 1) s∏ i=1,i 6=j A1(−t, i)X2(j, s + 1). Для побудови розв’язкiв рекурентних спiввiдношень (8) введемо поняття кумулянта розсiяння груп операторiв (5) Â1+n(t, {Y },X \ Y ) . = A1+n(−t, {Y },X \ Y )Xs+n(X) s+n∏ i=1 A1(t, i), де A1+n(−t), n > 0, — кумулянти (6) груп операторiв (5) та Xs+n(X) — оператор множення на характеристичну функцiю дозволених конфiгурацiй R 3(s+n)\Ws+n системи s+n пружних куль. Тодi еволюцiйний оператор (1+n)-го порядку V1+n(t) зображується таким розкладом за кумулянтами розсiяння груп операторiв (5): V1+n(t, {Y },X \ Y ) = n! n∑ k=0 (−1)k n∑ m1=1 · · · n−m1−···−mk−1∑ mk=1 1 (n−m1 − · · · −mk)! × × Â1+n−m1−···−mk (t, {Y }, s + 1, . . . , s+ n−m1 − · · · −mk)× 10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3 × k∏ j=1 mj∑ k j 2 =0 · · · k j n−m1−···−mj+s−1∑ k j n−m1−···−mj+s=0 s+n−m1−···−mj∏ ij=1 1 (kjn−m1−···−mj+s+1−ij − k j n−m1−···−mj+s+2−ij )! × ×Â 1+k j n−m1−···−mj+s+1−ij −k j n−m1−···−mj+s+2−ij (t, ij , s+ n−m1 − · · · −mj + 1 + + k j s+n−m1−···−mj+2−ij , . . . , s+ n−m1 − · · · −mj + k j s+n−m1−···−mj+1−ij ), (9) де k j 1 ≡ mj , k j n−m1−···−mj+s+1 ≡ 0. Наведемо приклади еволюцiйних операторiв (9) найниж- чих порядкiв: V1(t, {Y }) = Â1(t, {Y }) . = Ss(−t, Y )Xs(Y ) s∏ i=1 S1(t, i), V2(t, {Y }, s + 1) = Â2(t, {Y }, s + 1)− Â1(t, {Y }) s∑ i1=1 Â2(t, i1, s+ 1). Побудуємо рiвняння, яким визначається еволюцiя одночастинкової функцiї розподi- лу (7): F1(t, x1) = ∞∑ n=0 1 n! ∫ (R3×R3)n dx2 · · · dxn+1A1+n(−t, 1, . . . , n+ 1)× × n+1∏ i=1 F 0 1 (xi)Xn+1(q1, . . . , qn+1). (10) Диференцiюючи цей вираз за часом у сенсi поточкової збiжностi в просторi L1(R3 × R 3), для F 0 1 ∈ L1 0(R 3 × R 3) маємо ∂ ∂t F1(t, x1) = − 〈 p1, ∂ ∂q1 〉 ∞∑ n=0 1 n! ∫ dx2 · · · dxn+1A1+n(−t, 1, . . . , n+ 1) n+1∏ i=1 F 0 1 (xi)Xn+1 + + ∫ dx2L ∗ int(1, 2) ∞∑ n=0 1 n! ∫ dx3 · · · dx2+nA1+n(−t, {1, 2}, 3, . . . , 2 + n) 2+n∏ i=1 F 0 1 (xi)Xn+2, де оператор L∗ int(1, 2) визначено формулою (4). Використовуючи в другому доданку правої частини цiєї рiвностi кiнетичнi кластернi розклади (8) у випадку {Y } = {1, 2} та враховуючи означення (10) для одночастинкової функцiї розподiлу, в результатi остаточно отримуємо, що при t > 0 справедливе таке спiввiдношення: ∂ ∂t F1(t, x1) = − 〈 p1, ∂ ∂q1 〉 F1(t, x1) + + σ2 ∞∑ n=0 1 n! ∫ R3×S2 + dp2dη ∫ (R3×R3)n dx3 · · · dxn+2〈η, (p1 − p2)〉 × ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 11 × (V1+n(t, {1 ∗, 2∗−}, 3, . . . , n + 2)F1(t, q1, p ∗ 1)F1(t, q1 − ση, p∗2)− −V1+n(t, {1, 2+}, 3, . . . , n+ 2)F1(t, x1)F1(t, q1 + ση, p2)) n+2∏ i=3 F1(t, xi), (11) де еволюцiйнi оператори V1+n(t), n > 0, визначенi розкладами (9) та використано позна- чення з означення (5), iндекси (1♯, 2♯±) означають, що еволюцiйний оператор V1+n(t) дiє на вiдповiднi фазовi точки (q1, p ♯ 1) i (q1 ± ση, p ♯ 2). Спiввiдношення (11) трактуватимемо як ево- люцiйне рiвняння для одночастинкової функцiї розподiлу при t > 0 i називатимемо узагаль- неним кiнетичним рiвнянням Енскога, оскiльки марковська апроксимацiя цього рiвняння є узагальненням вiдомих типiв кiнетичного рiвняння Енскога [2–4]. Вiдзначимо, що початковi кореляцiї (1), якi для системи пружних куль обумовленi iсну- ванням заборонених конфiгурацiй, визначають коефiцiєнти кiнетичного рiвняння (11). Мо- жливiсть врахування кореляцiй початкових станiв пов’язана з кумулянтною природою стру- ктури розкладiв для розв’язку рiвнянь ББГКI. Для побудови функцiоналiв Fs(t \| F1(t)), s > 2, представимо кумулянти (6) груп операто- рiв (5) у розв’язку (7) задачi Кошi для iєрархiї рiвнянь ББГКI для s > 2 у формi кiнетичних кластерних розкладiв (8). У результатi, враховуючи вираз (10) для розв’язку задачi Кошi для iєрархiї ББГКI для одночастинкової функцiї розподiлу F1(t), розклади (7) для s > 2 набувають форми таких розкладiв за добутками одночастинкової функцiї розподiлу: Fs(t, x1, . . . , xs \| F1(t)) . = . = ∞∑ n=0 1 n! ∫ (R3×R3)n dxs+1 · · · dxs+nV1+n(t, {Y },X \ Y ) s+n∏ i=1 F1(t, xi), (12) де еволюцiйнi оператори V1+n(t), n > 0, визначаються формулою (9). Функцiонали Fs(t \| F1(t)), s > 2, iснують i представляються збiжними за нормою простору L1(R3s ×R 3s) рядами за умови ‖F1(t)‖L1(R3×R3) < e−(3s+2). Функцiонали (12) характеризують кореля- цiї системи пружних куль i на їх основi обчислюються середнi значення спостережуваних неадитивного типу. Таким чином, у роботi розглянуто основи кiнетичного опису еволюцiї системи пружних куль. Встановлено узагальнене кiнетичне рiвняння Енскога (11), яким дається еквiвалент- ний пiдхiд до опису еволюцiї станiв системи пружних куль поряд з пiдходом на основi iєрархiї рiвнянь ББГКI (2). Вiдзначимо, що сформульованi кiнетичнi кластернi розклади (8) кумулянтiв (6) груп операторiв (5) дали змогу описати еволюцiю системи в термiнах одно- частинкової функцiї розподiлу у випадку iснування кореляцiй початкового стану. В цьому випадку початковi кореляцiї визначають коефiцiєнти кiнетичного рiвняння. Розглянемо зв’язок узагальненого кiнетичного рiвняння Енскога з кiнетичними рiвнян- нями системи пружних куль [2]. Перший член ряду iнтеграла зiткнень узагальненого рiвнян- ня Енскога (11) точно збiгається з iнтегралом зiткнень кiнетичного рiвняння Больцмана– Енскога. Узагальнене кiнетичне рiвняння Енскога марковського типу виводиться в резуль- татi переходу до формальної марковської границi (limǫ→0V1+n(ǫ −1t)), i на його основi у вiд- повiдних наближеннях можуть бути отриманi апрiорi сформульованi модифiкацiї iнтеграла зiткнень кiнетичного рiвняння Енскога [2–4]. У результатi застосування аналогiв формул Дюамеля до еволюцiйних операторiв (9) першi члени розкладу (12) формально збiгаються 12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3 з вiдповiдними виразами, побудованими в працях Боголюбова за теорiєю збурень [7]. Та- кож зауважимо, що у формальнiй границi Больцмана–Греда [1] кiнетичне рiвняння (11) збiгається з кiнетичним рiвнянням Больцмана системи пружних куль. 1. Cercignani C., Gerasimenko V. I., Petrina D.Ya. Many-particle dynamics and kinetic equations. – Dord- recht: Kluwer, 1997. – 252 p. 2. Bellomo N., Lachowicz M., Polewczak J., Toscani G. Mathematical topics in nonlinear kinetic theory II: the Enskog equation. – Singapore: World Sci., 1991. – 224 p. 3. Enskog D. Kinetische theorie der wärmeleitung, reibung und selbstdiffusion in gewissen werdichteten gasen und flüßigkeiten // Kungl. Sv. Vetenskapsakademiens Handl. – 1922. – 63. – S. 3–44. 4. Beijeren H., Ernst M.H. The modified Enskog equation // Physica. – 1973. – 68. – P. 437–456. 5. Polewczak J. On some open problems in the revised Enskog equation for dense gases // Proc. “WASCOM 99” / Eds. V. Ciancio, A. Donato, F. Oliveri, S. Rionero. – Singapore: World Sci., 2001. – P. 382–396. 6. Polewczak J. A review of the kinetic modelings for non-reactive and reactive dense fluids: Questions and problems // Riv. Mat. Univ. Parma. – 2001. – 4, No 6. – P. 23–55. 7. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. – Москва: ОГИЗ, 1946. – 119 с. 8. Gerasimenko V. I., Ryabukha T.V., Stashenko M.O. On the structure of expansions for the BBGKY hierarchy solutions // J. Phys. A: Math. Gen. – 2004. – 37, No 42. – P. 9861–9872. 9. Gerasimenko V. I. Approaches to derivation of quantum kinetic equations // Укр. фiз. журн. – 2009. – 54, No 8–9. – С. 834–846. 10. Gerasimenko V. I., Petrina D.Ya. The generalized kinetic equation generated by the BBGKY hierarchy // Там само. – 1998. – 43, No 6–7. – С. 697–702. Надiйшло до редакцiї 29.06.2011Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка Iнститут математики НАН України, Київ И.В. Гапяк, В.И. Герасименко Обобщенное кинетическое уравнение Энскога На основе кинетических кластерных разложений кумулянтов групп операторов системы упругих шаров обосновано нелинейное кинетическое уравнение Энскога и его обобщения. Для начальных данных, которые определяются интегрируемой одночастичной функцией распре- деления, установлена эквивалентность задач Коши для иерархии уравнений ББГКИ и обоб- щенного кинетического уравнения Энскога. I. V. Gapyak, V. I. Gerasimenko The generalized kinetic Enskog equation On the basis of kinetic cluster expansions of the cumulants of groups of operators of a hard sphere system, the nonlinear kinetic Enskog equation and its generalizations are justified. It is establi- shed that, for initial state which is determined by the integrable one-particle distribution function, the Cauchy problems of the BBGKY hierarchy and the generalized kinetic Enskog equation are equivalent. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 13

Узагальнене кінетичне рівняння Енскога

Institution

Ähnliche Einträge