Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат
Отримано оцінку ймовірності банкрутства банку, яка вказує на величину початкового капіталу банку, за якого він спроможний функціонувати без банкрутства за достатньо малої ймовірності систематичного ризику....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49340 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат / М.С. Гончар, Д.О. Каплуненко // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 14-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-49340 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-493402013-09-17T03:06:38Z Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат Гончар, М.С. Каплуненко, Д.О. Математика Отримано оцінку ймовірності банкрутства банку, яка вказує на величину початкового капіталу банку, за якого він спроможний функціонувати без банкрутства за достатньо малої ймовірності систематичного ризику. Получена оценка вероятности банкротства банка, которая указывает величину начального капитала банка, при котором он способен функционировать без банкротства при достаточно маленькой вероятности систематического риска. A bound on the probability of bank bankruptcy is obtained. This bound gives a possibility to determine the initial capital of bank, with which it can function without default if the probability of systematic risk of the loss of the bank capital is sufficiently small. 2012 Article Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат / М.С. Гончар, Д.О. Каплуненко // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 14-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49340 517.9;519.86 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Гончар, М.С. Каплуненко, Д.О. Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат Доповіді НАН України |
| description |
Отримано оцінку ймовірності банкрутства банку, яка вказує на величину початкового капіталу банку, за якого він спроможний функціонувати без банкрутства за достатньо малої ймовірності систематичного ризику. |
| format |
Article |
| author |
Гончар, М.С. Каплуненко, Д.О. |
| author_facet |
Гончар, М.С. Каплуненко, Д.О. |
| author_sort |
Гончар, М.С. |
| title |
Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат |
| title_short |
Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат |
| title_full |
Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат |
| title_fullStr |
Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат |
| title_full_unstemmed |
Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат |
| title_sort |
ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49340 |
| citation_txt |
Ймовірність банкрутства банку за необмежених виплат / М.С. Гончар, Д.О. Каплуненко // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 14-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT gončarms jmovírnístʹbankrutstvabankuzaneobmeženihviplat AT kaplunenkodo jmovírnístʹbankrutstvabankuzaneobmeženihviplat |
| first_indexed |
2025-07-04T10:24:00Z |
| last_indexed |
2025-07-04T10:24:00Z |
| _version_ |
1836711560071872512 |
| fulltext |
УДК 517.9;519.86
© 2012
М. С. Гончар, Д.О. Каплуненко
Ймовiрнiсть банкрутства банку за необмежених виплат
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Отримано оцiнку ймовiрностi банкрутства банку, яка вказує на величину початкового
капiталу банку, за якого вiн спроможний функцiонувати без банкрутства за достатньо
малої ймовiрностi систематичного ризику.
Проблеми сутностi економiчного ризику та дослiдження ймовiрностi банкрутства банку
є одними з найважливiших в умовах сучасних ринкових вiдносин, адже чим невизначенi-
шим є соцiально-економiчне середовище, тим актуальнiшими стають необхiднiсть ураху-
вання ризику, побудова i вивчення нових моделей, зокрема для ймовiрностi банкрутства
банку. Проблема оцiнювання ймовiрностi банкрутства фiрми бере свiй початок з роботи [1].
Важливими для подальшого розвитку оцiнки ймовiрностi банкрутства фiрм, зокрема стра-
хових компанiй та реальних опцiонiв, стали моделi Крамера–Лундберга [2, 3] та Мертона [4].
Сучаснi моделi Var та аксiоматизацiя оцiнки ризикiв [5] є домiнуючими в лiтературi. У данiй
роботi аналiзується динамiчна модель роботи банку, запропонована в [6], у руслi дослiджень,
викладених у монографiях [7, 8]. Розглядається випадок, коли розподiл платежiв за бор-
говими зобов’язаннями банку має “ненульовi хвости”. Доведено декiлька теорем, якi дають
оцiнку ймовiрностi банкрутства банку. Ця оцiнка залежить вiд ймовiрностi втрати капiталу
банком внаслiдок систематичного ризику, величини частки проблемних кредитiв, початко-
вого капiталу банку, мiнiмального рiвня прибутковостi. Отримана оцiнка вказує величину
початкового капiталу банку, за якого банк спроможний функцiонувати без банкрутства за
умови достатньо малої ймовiрностi систематичного ризику.
Модель роботи банку. Як i в [6], припускаємо, що банк може iнвестувати свiй капi-
тал на початку кожного операцiйного перiоду. Вважаємо, що iснує n можливих результатiв
iнвестування в кожному операцiйному перiодi. Яка з цих можливостей реалiзується, зале-
жить вiд iнвестицiйного середовища i рiвня банкiвського менеджменту. Нехай у початковий
момент часу капiтал банку x. Еволюцiя банкiвського капiталу вiдбувається в дискретнi мо-
менти часу n = 1, 2, . . . таким чином: у нульовий момент часу банк має початковий капiтал x,
який вiн iнвестує в активи так, що з iмовiрнiстю p1 вiн може втратити деяку частину капi-
талу, а з iмовiрнiстю pi, i = 2, n, може його збiльшити. У момент часу t = n капiтал банку
описується спiввiдношенням Rn = Rn−1(1+ϕn)+C−Zn, n = 1, 2, . . ., де Ri — капiтал банку
в момент часу i; ϕi, i = 1, 2, . . ., — послiдовнiсть однаково розподiлених випадкових вели-
чин, якi набувають значень у множинi {b1, . . . , bn}, причому P (ϕk = bi) = pi > 0,
n
∑
i=1
pi = 1,
pk > 0, k = 1, n. Додатково припускаємо: 0 > b1 > −1, bi > bi−1 > 0, i = 3, n. C > 0 —
обсяг надходжень коштiв на депозити в першому перiодi функцiонування банку (у данiй
моделi вважаємо надходження однаковими в кожному перiодi), Zi, i = 1, 2, . . ., є послiдов-
нiстю невiд’ємних однаково розподiлених випадкових величин, що описують зобов’язання
банку перед кредиторами.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Оцiнка ймовiрностi банкрутства банку за необмежених виплат. Введемо для
λ > 0 банахiв простiр Bλ борелевих функцiй f(x), означених на [0,∞), для яких скiнченна
норма
‖f‖λ = ess supx∈[0,∞) e
λx|f(x)|, λ > 0.
Теорема 1. Нехай виконуються умови
1− F (x) 6 c1e
−axα
, F (0) = 0, α > 1, c1 > 0, (1)
де константа a > 0 така, що
e−Cλ
(
1 + c1λ
∞
∫
0
e−ayαeλydy
)
< 1. (2)
Тодi рiвняння
f(x) = ϕ(x) +
n
∑
i=2
pi
(1+bi)x+C
∫
0
f((1 + bi)x+ C − y)) dF (y) (3)
має єдиний розв’язок у просторi Bλ для довiльного ϕ(x) ∈ Bλ. Для цього розв’язку спра-
ведлива оцiнка
|f(x)| 6
e−λx‖ϕ‖λ
1− e−Cλ
[
1 + c1λ
∞
∫
0
e−axα
eλxdx
]
.
Доведення. Доведення цiєї теореми випливає з такої оцiнки для лiнiйного оператора
A2f =
n
∑
i=2
pi
(1+bi)x+C
∫
0
f((1 + bi)x+ C − y) dF (y),
‖A2f‖λ 6 ess supx∈[0,∞) e
λx
n
∑
i=2
pi
(1+bi)x+C
∫
0
|f((1 + bi)x+ C − y)) |dF (y) 6
6 ess supx∈[0,∞) e
λx
n
∑
i=2
pi
(1+bi)x+C
∫
0
e−λ[(1+bi)x+C−y]dF (y)‖f‖λ 6
6 (1− p1)
∞
∫
0
eλydF (y)e−Cλ‖f‖λ.
Внаслiдок виконання рiвностi
∞
∫
0
eλydF (y) = 1+λ
∞
∫
0
eλy(1−F (y)) dy та завдяки припущенням
теореми 1 маємо оцiнку
∞
∫
0
eλy(1− F (y)) dy 6 c1
∞
∫
0
eλye−ayαdy.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 15
Отже, A2 є оператором стиску, норма якого не перевищує
(1− p1)e
−Cλ
(
1 + c1λ
∞
∫
0
eλye−ayαdy
)
< 1.
Остання оцiнка i доводить теорему.
Наведена нижче теорема дає достатнi умови для отримання оцiнки ймовiрностi бан-
крутства банку.
Теорема 2. Нехай λ0 > 0, λi = (1 + b1)
iλ0, i = 1, n, та для деякого a > 0 виконуються
нерiвностi
1 + c1λ0
∞
∫
0
eλ0ye−ayαdy < eCλn , (4)
1− F (x) 6 c1e
−axα
. (5)
Тодi система iнтегральних рiвнянь
ψ0
2(x) = ϕ0
2(x) +A2ψ
0
2(x), (6)
ψi
2(x) = A1ψ
i−1
2 (x) +A2ψ
i
2(x), i = 1, n, (7)
ϕ0
2(x) =
n
∑
j=2
pj[1− F ((1 + bj)x+C)], (8)
A1f(x) = p1
(1+b1)x+C
∫
0
f((1 + b1)x+ C − y) dF (y) (9)
має єдиний розв’язок ψi
2(x), для якого виконуються нерiвностi
ψi
2(x) 6 Die
−λix, i = 0, n,
де
Di =
p1e
−λi−1C
(
1 + c1λi−1
∞
∫
0
e−ayαeλi−1ydy
)
1− e−λiC
(
1 + c1λi
∞
∫
0
e−ayαeλiydy
)
Di−1, (10)
D0 =
c1
n
∑
i=2
pi exp
(
−λ0
C
1 + bi
+
λ
α/(α−1)
0
(1 + bi)α/(α−1)
1
a1/(α−1)
[
1
α1/(α−1)
−
1
αα/(α−1)
])
1− e−Cλ0
(
1 + c1λ0
∞
∫
0
e−ayαeλ0ydy
)
. (11)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Доведення. Доведення вестимемо iндукцiєю за кiлькiстю рiвнянь. Припустимо, що для
i − 1 рiвнянь твердження теореми 2 вже доведено. Розглянемо рiвняння
ψi
2(x) = A1ψ
(i−1)
2 (x) +A2ψ
i
2(x). (12)
За теоремою 1 рiвняння (12) має єдиний розв’язок у банаховому просторi Bλi
, якщо
A1ψ
(i−1)
2 (x) належить Bλi
. За припущенням ψ
(i−1)
2 (x) 6 Di−1e
−λi−1x. З цiєї оцiнки випливає,
що A1ψ
(i−1)
2 (x) належить простору Bλi
. Справдi,
A1ψ
(i−1)
2 (x) 6 p1
(1+b1)x+C
∫
0
e−λi−1[(1+b1)x+C−y]dF (y)Di−1,
Di−1e
−λi−1Cp1e
−λi−1(1+b1)x
(1+b1)x+C
∫
0
eλi−1ydF (y) 6
6 Di−1e
−λi−1Cp1
[
1 + c1
∞
∫
0
λi−1e
−ayαeλi−1ydy
]
e−λi−1(1+b1)x.
За теоремою 1 розв’язок рiвняння (12) iснує i єдиний у просторi Bλi
, λi = (1+ b1)λi−1, i для
нього виконується нерiвнiсть
ψi
2(x) 6
e−λixp1e
−Cλi−1
[
1 + c1λi−1
∞
∫
0
e−ayαeλi−1ydy
]
Di−1
1− e−Cλi
[
1 + c1λi
∞
∫
0
e−ayαeλiydy
]
.
Поклавши
Di =
p1e
−Cλi−1
[
1 + c1λi−1
∞
∫
0
e−ayαeλi−1ydy
]
Di−1
1− e−Cλi
[
1 + c1λi
∞
∫
0
e−ayαeλiydy
]
,
отримаємо твердження теореми 2, бо рiвняння (6) має єдиний розв’язок за теоремою 1
у просторi Bλ0
зi сталою D0.
Теорема 3. Нехай для деякого a > 0 виконуються нерiвностi 1 − F (x) 6 c1e
−ayα ,
α > 1, та 1 + c1λ0
∞
∫
0
e−ayαeλ0ydy < ecλn . Тодi ймовiрнiсть банкрутства банку за n крокiв
задовольняє нерiвнiсть ψn(x) 6 p1+
n
∑
i=0
Die
−λix, λi = (1+b1)
iλ0. Iснує значення капiталу x
таке, що для довiльного ε > 0 справедлива оцiнка
n
∑
i=0
Die
−λix0 < ε.
Для доведення теореми 3 використовуємо лему 3 та теорему 7 з [6].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 17
1. Altman E. Financial ratios, discriminant analysis and the prediction of corporate bankruptcy // J. Fi-
nance. – 1968. – 23. – P. 589–609.
2. Cramer H. On the mathematical theory of risk // Skandia Jubilee Volume. – Stockholm, 1930. – P. 7–84.
3. Lundberg F. Some supplementary researches on the collective risk theory // Skandinavisk Aktuarietids-
krift. – 1932. – 15. – P. 137–158.
4. Merton R. On the pricing of corporate debt: the risk structure of interest rates // J. Finance. – 1974. –
29. – P. 449–470.
5. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent measures of risk // Math. Finance. – 1999. – 9,
No 3. – P. 203–228.
6. Гончар М.С. Теорема про капiталiзацiю банкiв // Боголюбовськi читання: програма i тези доповiдей
конф. з нагоди 45-рiччя Iнституту теоретичної фiзики iм. М. М. Боголюбова НАН України, 13–15
грудня 2010 p. – Київ, 2010. – С. 23.
7. Гончар М.С. Математичнi основи iнформацiйної економiки. – Київ: Iнститут теоретичної фiзики iм.
М.М. Боголюбова, 2007. – 464 с.
8. Gonchar N. S. Mathematical foundations of information economics. – Kiev: N.N. Bogolyubov Institute for
Theoretical Physics, 2008. – 468 p.
Надiйшло до редакцiї 24.05.2011Iнститут теоретичної фiзики
iм. М.М. Боголюбова НАН України, Київ
Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
Н.С. Гончар, Д. А. Каплуненко
Вероятность банкротства банка при условии неограниченных выплат
Получена оценка вероятности банкротства банка, которая указывает величину начального
капитала банка, при котором он способен функционировать без банкротства при доста-
точно маленькой вероятности систематического риска.
N. S. Gonchar, D.A. Kaplunenko
Probability of bank bankruptcy under unbounded payments
A bound on the probability of bank bankruptcy is obtained. This bound gives a possibility to determi-
ne the initial capital of bank, with which it can function without default if the probability of
systematic risk of the loss of the bank capital is sufficiently small.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
|