Один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом
Рассматривается прецессия общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом. Получены новые решения уравнений движения гиростата, которые характеризуются постоянством произведения скоростей прецессии и собственного вращения....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49356 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом / А.В. Мазнев // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 72-77. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-49356 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-493562013-09-17T03:06:58Z Один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом Мазнев, А.В. Механіка Рассматривается прецессия общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом. Получены новые решения уравнений движения гиростата, которые характеризуются постоянством произведения скоростей прецессии и собственного вращения. Розглянуто прецесію загального виду в задачі про рух гіростата зі змінним гіростатичним моментом. Отримано нові розв'язки рівнянь руху гіростата, які характеризуються постійністю добутку швидкостей прецесії та власного обертання. A general-view precession in the gyrostat motion problem with a variable gyrostatic moment is examined. The new solutions of the gyrostat motion equations which are characterized by the constancy of the product of the velocities of precession and own rotation are obtained. 2012 Article Один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом / А.В. Мазнев // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 72-77. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49356 531.38 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Мазнев, А.В. Один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом Доповіді НАН України |
| description |
Рассматривается прецессия общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом. Получены новые решения уравнений движения гиростата, которые характеризуются постоянством произведения скоростей прецессии и собственного вращения. |
| format |
Article |
| author |
Мазнев, А.В. |
| author_facet |
Мазнев, А.В. |
| author_sort |
Мазнев, А.В. |
| title |
Один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_short |
Один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_full |
Один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_fullStr |
Один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_full_unstemmed |
Один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_sort |
один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49356 |
| citation_txt |
Один случай прецессии общего вида в задаче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом / А.В. Мазнев // Доп. НАН України. — 2012. — № 3. — С. 72-77. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT maznevav odinslučajprecessiiobŝegovidavzadačeodviženiigirostatasperemennymgirostatičeskimmomentom |
| first_indexed |
2025-07-04T10:25:15Z |
| last_indexed |
2025-07-04T10:25:15Z |
| _version_ |
1836711640701075456 |
| fulltext |
УДК 531.38
© 2012
А.В. Мазнев
Один случай прецессии общего вида в задаче
о движении гиростата с переменным гиростатическим
моментом
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
Рассматривается прецессия общего вида в задаче о движении гиростата с переменным
гиростатическим моментом. Получены новые решения уравнений движения гироста-
та, которые характеризуются постоянством произведения скоростей прецессии и соб-
ственного вращения.
Прецессионные движения гиростата находят широкое применение в приложениях [1], так
как они имеют наглядный механический смысл. Для этих движений постоянен угол между
двумя осями l1, l2 с общим началом в неподвижной точке O и фиксированными, соответст-
венно, в гиростате и в неподвижном пространстве [2, 3]. Обзор результатов, полученных
в задаче о движении гиростата с постоянным гиростатическим моментом, изложен в [4].
Задача о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом рассматрива-
лась в работах Ж. Лиувилля [5], В. Вольтерра [6], Н. Е. Жуковского [7], П.В. Харламова [8]
и др.
Равномерные движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом
рассмотрены в [9–11]. Исследованию простейших классов прецессионных движений посвя-
щены работы [12, 13]. В статье [14] предложен общий метод изучения прецессий гиростата
с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопичес-
ких сил.
Обобщение прецессии [15] в задаче о движении гиростата под действием потенциальных
и гироскопических сил в случае постоянного гиростатического момента дано в [4]. В данной
работе рассмотрены условия существования прецессии класса А.И. Докшевича в случае
переменного гиростатического момента для этой задачи.
Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении гиростата с переменным гироста-
тическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил [8, 16]
Aω̇ = (Aω + λα)× ω − Lα+ ω ×Bν + s× ν + ν × Cν,
ν̇ = ν × ω, λ̇ = L,
(1)
где ω = (ω1, ω2, ω3) — вектор угловой скорости тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) — единичный
вектор оси симметрии силовых полей; α = (α1, α2, α3) — постоянный единичный вектор,
характеризующий направление вектора гиростатического момента λα; L — проекция мо-
мента сил на ось вращения носимого тела; s = (s1, s2, s3) — вектор, сонаправленный с векто-
ром обобщенного цента масс гиростата; A = (Aij) — тензор инерции гиростата; B = (Bij)
и C = (Cij) — постоянные симметричные матрицы третьего порядка; точка над перемен-
ными ν, ω, λ обозначает относительную производную по времени t.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Уравнения (1) имеют два первых интеграла
ν · ν = 1, (Aω + λα) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k, (2)
где k — произвольная постоянная.
Отметим, что при заданной функции L = L(t) уравнения (1) в скалярном виде пред-
ставляют собой систему семи обыкновенных дифференциальных уравнений.
В данной работе поставим задачу об изучении прецессионных движений гиростата, опи-
сываемых уравнениями (1) в предположении L(t) 6= 0. Следуя [14], прецессионные движе-
ния опишем инвариантными соотношениями
a · ν = a0, ω = ϕ̇(t)a + ψ̇(t)ν . (3)
Здесь a0 = cos θ0 (θ0 — угол между единичными векторами a и ν); ϕ̇ и ψ̇ — скорости
собственного вращения и прецессии гиростата.
Уравнение Пуассона из (1) после подстановки в него второго соотношения из (3) примет
вид
ν̇ = ϕ̇(ν × a). (4)
Согласно методу из [3], кинематическому соотношению ν · ν = 1 из системы (2), условию
a · ν = a0 и уравнению (4) удовлетворим, положив
ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0, (5)
где a′0 = sin θ0.
Внесем ω из системы (3) и L = λ̇ из системы (1) в динамическое уравнение системы (1)
λ̇α− λ[ϕ̇(α × a) + ψ̇(α× ν)] + ϕ̈Aa + ψ̈Aν + ϕ̇ψ̇[Sp(A)(ν × a)− 2(Aν × a)]−
− ϕ̇2(Aa× a)− ψ̇2(Aν × ν)− ϕ̇(a ×Bν)− ψ̇(ν ×Bν)− s× ν − ν × Cν = 0. (6)
Здесь Sp(A) — след матрицы A.
Отметим, что при получении формул (5) подвижная система координат введена так,
что третья ось этой системы направлена по вектору a = (0, 0, 1).
Прецессия [15] характеризуется соотношением
ψ̇ =
σ0
ϕ̇
, (7)
где σ0 — постоянный параметр, ϕ̇ 6= 0.
Поставим задачу об исследовании уравнения (6) в предположениях: a = (0, 0, 1); νi
выражаются соотношениями (5); скорости ϕ̇ и ψ̇ связаны условием (7).
Следуя методу [14], найдем проекции левой части уравнения (6) на независимые векторы
a, ν, a×ν. Тогда имеем три уравнения (без ограничения общности считаем α = (α1, 0, α3))
α3ϕ̇
2λ̇− a′0α1σ0ϕ̇λ cosϕ+A33ϕ̇
2ϕ̈− σ0ϕ̈(β1 cosϕ+ β′1 sinϕ+ β0) +
+ ϕ̇h2(ϕ) + ϕ̇2g2(ϕ) + f2(ϕ) = 0, (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 73
ϕ̇λ(a′0α1 sinϕ+ a0α3) + ϕ̇2(β1 cosϕ+ β′1 sinϕ+ β0)− ϕ̇H2(ϕ) +G2(ϕ) = 0, (9)
a′0α1ϕ̇
2λ̇ cosϕ+ a′0ϕ̇λ[σ0(a
′
0α3 − a0α1 sinϕ)− α1ϕ̇
2 sinϕ] +
+ ϕ̇2ϕ̈(β′1 cosϕ− β1 sinϕ)− ϕ̈F2(ϕ)− ϕ̇2K2(ϕ)−
− ϕ̇4(β1 cosϕ+ β′1 sinϕ) + ϕ̇[ϕ̇2L2(ϕ) +N2(ϕ)] + ϕ̇2M2(ϕ)−Q2(ϕ) = 0, (10)
где
h2(ϕ) = σ0(B
′
2 cos 2ϕ−B2 sin 2ϕ+ a0γ
′
1 cosϕ− a0γ1 sinϕ),
g2(ϕ) = C ′
2 cos 2ϕ− C2 sin 2ϕ+ κ′0 cosϕ− κ0 sinϕ,
f2(ϕ) = σ20(A2 sin 2ϕ−A′
2 cos 2ϕ+ a0β1 sinϕ− a0β
′
1 cosϕ),
H2(ϕ) =
1
2
[B2 cos 2ϕ +B′
2 sin 2ϕ+ 2a0γ1 cosϕ+ 2a0γ
′
1 sinϕ+ (B0 + 2k)],
G2(ϕ) = σ0(A2 cos 2ϕ+A′
2 sin 2ϕ+ 2a0β1 cosϕ+ 2a0β
′
1 sinϕ+A0),
F2(ϕ) = σ0(A
′
2 cos 2ϕ−A2 sin 2ϕ+ a0β
′
1 cosϕ− a0β1 sinϕ),
K2(ϕ) = σ0(2A2 cos 2ϕ+ 2A′
2 sin 2ϕ+ 2a0β1 cosϕ+ 2a0β
′
1 sinϕ− a′20 A33),
L2(ϕ) = B2 cos 2ϕ+B′
2 sin 2ϕ + a0γ1 cosϕ+ a0γ
′
1 sinϕ+
1
2
a′20 (B11 +B22),
N2(ϕ) = σ0
[
a0B2 cos 2ϕ+ a0B
′
2 sin 2ϕ+ (2a20 − 1)γ1 cosϕ+ (2a20 − 1)γ′1 sinϕ+
+
a0a
′2
0
2
(B11 +B22 − 2B33)
]
,
M2(ϕ) = a0C2 cos 2ϕ+ a0C
′
2 sin 2ϕ+ [(2a20 − 1)ε1 − a0a
′
0s2] cosϕ+
+ [(2a20 − 1)ε′1 − a0a
′
0s1] sinϕ+
a′20
2
[a0(C11 + C22 − 2C33) + 2s3],
Q2(ϕ) = σ20[a0A2 cos 2ϕ+ a0A
′
2 sin 2ϕ+ (2a20 − 1)β1 cosϕ+ (2a20 − 1)β′1 sinϕ+
+
a0a
′2
0
2
(A11 +A22 − 2A33).
(11)
В функциях (11) введены обозначения
A2 =
a′20
2
(A22 −A11), A′
2 = a′20 A12, A0 =
1
2
[a′20 (A22 +A11) + 2a20A33],
B2 =
a′20
2
(B22 −B11), B′
2 = a′20 B12, B0 =
1
2
[a′20 (B22 +B11) + 2a20B33],
C2 =
a′20
2
(C22 − C11), C ′
2 = a′20 C12, C0 =
1
2
[a′20 (C22 + C11) + 2a20C33],
β1 = a′0A23, β′1 = a′0A13, β0 = a0A33, γ1 = a′0B23, γ′1 = a′0B13,
ε1 = a′0C23, ε′1 = a′0C13, κ0 = a0ε1 − a′0s2, κ′0 = a0ε
′
1 − a′0s1.
(12)
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
Основная задача состоит в определении условий существования решений ϕ(t), λ(t) сис-
темы (8)–(10) с учетом свойства ограниченности функции λ = λ(t). Решение этой системы
будем искать в классе функций
ϕ̇ =
√
c0 + c1 sinϕ, λ = p0 + p1 sinϕ+ ε0
√
c0 + c1 sinϕ. (13)
Выбор зависимости ϕ̇ от переменной ϕ, которая определяется первой формулой из сис-
темы (13), обосновано результатом [17], полученным при анализе условий существования
прецессий в решении [15]. Структура функции λ(ϕ) из (13) получена на основе анализа
уравнений (8)–(10).
Случай p0 = 0, p1 = 0. Из второй формулы системы (13) вытекает равенство λ = ε0ϕ̇.
Подставим эту функцию и первое выражение из (13) в уравнения (8)–(10) и потребуем,
чтобы они становились тождествами по переменной ϕ. Тогда, в силу соотношений (11)
и обозначений (12), условия существования решения (13) получим в виде системы алгеб-
раических уравнений на параметры задачи, которая имеет, например, решение
A12 = A23 = 0, Bij = 0 (i, j = 1, 3), k = 0, (14)
C11 = C22, Cij = 0 (i 6= j), s2 = 0, (15)
c0 =
4a0α3s1
α1A33 − α3A13
, c1 =
4a′0α1s1
α1A33 − α3A13
, (16)
ε0 =
α1[A33(A11 −A22)− 2A2
13] + α3A13(A11 −A22)
2α1[α1A13 + α3(A11 −A22)]
,
σ0 =
2α1s1
α3(A11 −A22)− α1A13
,
(17)
tg2 θ0 =
1
A22α
2
1
[α2
3(A22 −A11) + 2α1α3A13 − α2
1A33], (18)
α
(1,2)
1 =
α3
δ3
[−A13(A33 +A11 −A22)± δ1δ2], (19)
s3 =
1
a′0c0
[
c0a
′
0a0(C33 − C22)−
1
2
α1ε0c0c1 − a′0ε0c0α3σ0−
−1
2
c0c1A13 +
1
2
a0σ0c1A13 + σ0c0b1 + σ20b2
]
,
(20)
δ1 =
√
A11A33 −A2
13, δ2 =
√
A2
13 + (A22 −A11)(A33 −A22),
δ3 = A33(A22 −A33)−A2
13, b1 = a′0(A22 −A11 −A33), b2 = a′0a0(A22 −A33).
(21)
Из равенств (14), (15) вытекает, что матрица B в уравнениях (1) отсутствует, постоянная
интеграла площадей из (2) равна нулю, центр масс гиростата принадлежит главной плос-
кости эллипсоида инерции, а матрица C отлична от нулевой матрицы. Компоненты вектора
λ определяются формулой (19) и равенством λ21+λ
2
3 = 1. Пример разрешимости этих урав-
нений может характеризоваться следующими значениями моментов инерции: A11 = µ0,
A22 = 3µ0, A33 = 2,5µ0, A13 = 1,5µ0 (µ0 — параметр). Очевидно, что при этом правая часть
выражения (18) положительна. Поскольку параметры ε0 и σ0 входят в соотношения (17)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 75
линейно, то их действительность очевидна. В силу первой формулы из системы (13) и вида
значений c0, c1 из (16) выбором параметра s1 можно добиться действительности функции
ϕ̇ =
√
c0 + c1 sinϕ. Для простоты записи условий существования прецессий класса Докше-
вича в формулу (20) не подставлены значения величин (21).
На основании формул (3), (5), (7), (13) запишем полученное решение уравнений (1)
ω =
1√
c0 + c1 sinϕ
((c0 + c1 sinϕ)a+ σ0ν),
ν = (a′0 sinϕ, a
′
0 cosϕ, a0), λ = ε0
√
c0 + c1 sinϕ,
ϕ
∫
ϕ0
dϕ√
c0 + c1 sinϕ
= t− t0.
(22)
Из последней формулы и соотношений (16) вытекает, что при условии ограниченности
функции (7) можно указать такие значения параметров задачи (1) (например, для мо-
ментов инерции можно принять указанные выше значения), при которых ϕ(t) является
эллиптической функцией времени.
Случай p1 = 0. Положим во втором равенстве из (13) p1 = 0 и подставим (13) в урав-
нения (8)–(10). С помощью обозначений (11), (12) можно показать, что при наличии соо-
тношений (14)–(20) и выполнении условий
p0 =
a0B13
α1
, B12 = B23 = 0, B22 = B11, 2α3B13 + α1(B11 −B33) = 0,
2B11[α1A33 + α3(A22 −A11)] +B13(α1A33 − α3A13) = 0,
2k =
1
α1
[2a20α3B13 − α1(a
′2
0 B11 + a20B33)]
(23)
система уравнений (8)–(10) допускает решение
ϕ̇ =
√
c0 + c1 sinϕ, λ = p0 + ε0
√
c0 + c1 sinϕ, (24)
которое порождает прецессию, определяемую первой, второй и четвертой формулами из
системы (22). Отличие данной прецессии при условиях (23) от прецессии в случае (22)
состоит в том, что для нее матрица B в первом уравнении из системы (1) отлична от нулевой
матрицы и постоянная k 6= 0. При этом величина гиростатического момента в силу (24)
содержит аддитивную постоянную p0.
Следовательно, условия существования прецессии при p1 = 0, p0 6= 0 характеризуются
равенствами (14)–(20), (23). Она описывается эллиптическими функциями времени.
Таким образом, в работе получены два новых решения уравнений движения гиростата
с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических
сил, которые описывают прецессионное движение класса Докшевича. При этом первое ре-
шение имеет аналог для случая движения гиростата под действием силы тяжести.
1. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. – Москва: Наука, 1976. – 670 с.
2. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante
asimmetrico // Ann. mat. pura et appl. – 1947. – S. 4. – 26, f. 3–4. – P. 271–281.
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3
3. Горр Г. В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем связанных твердых
тел // Прикл. математика и механика. – 2003. – 67, вып. 4. – С. 573–587.
4. Горр Г. В., Мазнев А. В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твердого тела и в
динамике систем связных твердых тел. – Донецк: ДонНУ, 2009. – 222 с.
5. Liouville J. Dèveloppements sur un chapitre de la Mècanique de Poisson // J. Math. Pures et Appl. –
1858. – 3. – P. 1–25.
6. Volterra V. Sur la thèorie des variations des latitudes // Acta. Math. – 1899. – 22. – P. 201–358.
7. Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной
жидкостью: Собр. соч. – Москва; Ленинград: Гостехиздат, 1949. – Т. 2. – С. 152–309.
8. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика тв. тела. – 1972. –
Вып. 4. – С. 52–73.
9. Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиростата // Прикл.
математика и механика. – 1999. – 63, вып. 5. – С. 825–826.
10. Ковалева Л.М., Позднякович А.Е. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела с
одним маховиком // Механика тв. тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 100–105.
11. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик // Там
же. – 2008. – Вып. 38. – С. 80–86.
12. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси // Тр. Ин-та
прикл. математики и механики. – 2009. – 19. – С. 30–35.
13. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным гироста-
тическим моментом // Механика тв. тела. – 2009. – Вып. 39. – С. 42–49.
14. Мазнев А. В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под дей-
ствием потенциальных и гироскопических сил // Там же. – 2010. – Вып. 40. – С. 91–104.
15. Докшевич А.И. Об одном частном решении задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг не-
подвижной точки // Докл. АН СССР. – 1966. – 167, № 6. – С. 1251–1252.
Поступило в редакцию 11.05.2011Донецкий национальный университет
О.В. Мазнєв
Один випадок прецесiї загального виду в задачi про рух гiростата
зi змiнним гiростатичним моментом
Розглянуто прецесiю загального виду в задачi про рух гiростата зi змiнним гiростатич-
ним моментом. Отримано новi розв’язки рiвнянь руху гiростата, якi характеризуються
постiйнiстю добутку швидкостей прецесiї та власного обертання.
A.V. Maznyev
The case of general-view precession in the gyrostat motion problem
with a variable gyrostatic moment
A general-view precession in the gyrostat motion problem with a variable gyrostatic moment is
examined. The new solutions of the gyrostat motion equations which are characterized by the
constancy of the product of the velocities of precession and own rotation are obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 77
|