Про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів Кантора
Розглянуто групи MB зберігаючих міру Бернуллі гомеоморфізмів просторів шляхів простих стаціонарних діаграм Браттелі B. Знайдено підклас діаграм, для яких група MB є замиканням своєї підгрупи S(P(B)). Також знайдено підклас діаграм рангу 2, для яких група MB строго містить замикання своєї підгрупи S(...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49481 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів Кантора / Я.В. Лавренюк // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 20-24. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-49481 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-494812013-09-20T03:08:33Z Про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів Кантора Лавренюк, Я.В. Математика Розглянуто групи MB зберігаючих міру Бернуллі гомеоморфізмів просторів шляхів простих стаціонарних діаграм Браттелі B. Знайдено підклас діаграм, для яких група MB є замиканням своєї підгрупи S(P(B)). Також знайдено підклас діаграм рангу 2, для яких група MB строго містить замикання своєї підгрупи S(P(B)). Рассмотрены группы MB сохраняющих меру Бернулли гомеоморфизмов пространств путей простых стационарных диаграмм Браттели B. Найден подкласс диаграмм, для которых группа MB является замыканием своей подгруппы S(P(B)). Также найден подкласс диаграмм ранга 2, для которых группа MB строго содержит замыкание своей подгруппы S(P(B)). The groups MB of measure-preserving self-homeomorphisms of path spaces of simple stationary Bratteli diagrams B are studied. A subclass of diagrams, for which MB is a closure of the subgroup S(P(B)), is found. A subclass of diagrams of rank 2, for which the group MB strictly contains the closure of its subgroup S(P(B)), is also distinguished. 2012 Article Про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів Кантора / Я.В. Лавренюк // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 20-24. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49481 512.54 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Лавренюк, Я.В. Про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів Кантора Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто групи MB зберігаючих міру Бернуллі гомеоморфізмів просторів шляхів простих стаціонарних діаграм Браттелі B. Знайдено підклас діаграм, для яких група MB є замиканням своєї підгрупи S(P(B)). Також знайдено підклас діаграм рангу 2, для яких група MB строго містить замикання своєї підгрупи S(P(B)). |
| format |
Article |
| author |
Лавренюк, Я.В. |
| author_facet |
Лавренюк, Я.В. |
| author_sort |
Лавренюк, Я.В. |
| title |
Про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів Кантора |
| title_short |
Про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів Кантора |
| title_full |
Про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів Кантора |
| title_fullStr |
Про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів Кантора |
| title_full_unstemmed |
Про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів Кантора |
| title_sort |
про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів кантора |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49481 |
| citation_txt |
Про групи зберігаючих міру гомеоморфізмів просторів Кантора / Я.В. Лавренюк // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 20-24. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT lavrenûkâv progrupizberígaûčihmírugomeomorfízmívprostorívkantora |
| first_indexed |
2025-07-04T10:36:34Z |
| last_indexed |
2025-07-04T10:36:34Z |
| _version_ |
1836712523280154624 |
| fulltext |
УДК 512.54
© 2012
Я.В. Лавренюк
Про групи зберiгаючих мiру гомеоморфiзмiв просторiв
Кантора
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Розглянуто групи MB зберiгаючих мiру Бернуллi гомеоморфiзмiв просторiв шляхiв прос-
тих стацiонарних дiаграм Браттелi B. Знайдено пiдклас дiаграм, для яких група MB
є замиканням своєї пiдгрупи S(P(B)). Також знайдено пiдклас дiаграм рангу 2, для яких
група MB строго мiстить замикання своєї пiдгрупи S(P(B)).
1. Дiаграми Браттелi є важливим об’єктом не тiльки в теорiї операторних алгебр, а i в ди-
намiцi на множинi Кантора.
Ми розглядаємо борелеву мiру µ (мiру Бернуллi) на просторах шляхiв дiаграм Браттелi,
яка є iнварiантною щодо кофiнального вiдношення еквiвалентностi. Вiдомо, що у випадку
унiтальної простої стацiонарної дiаграми Браттелi така мiра є єдиною (див. [1]). У цiй роботi
ми будемо розглядати лише такi дiаграми.
На просторi шляхiв дiаграми P(B) природним чином дiє гомеоморфiзмами на себе одно-
рiдна симетрична група дiаграми S(B), елементи якої є бiєктивними локальними iзометрiя-
ми i зберiгають кофiнальне вiдношення еквiвалентностi. Зрозумiло, що µ є iнварiантною
щодо дiї групи S(B). З iншого боку, будь-яка iнварiантна щодо S(B) мiра на P(B) iнва-
рiантна i щодо кофiнального вiдношення еквiвалентностi. Тобто iнварiантнiсть мiри щодо
кофiнального вiдношення еквiвалентностi збiгається з iнварiантнiстю мiри щодо S(B).
Зрозумiло, що всi гомеоморфiзми простору P(B) на себе, якi зберiгають мiру µ утво-
рюють групу MB. Також нескладно переконатися, що група MB буде замкненою. Заува-
жимо, що S(B) є iндуктивною границею скiнченних симетричних груп i не є замкненою
пiдгрупою групи всiх гомеоморфiзмiв на себе простору P(B) iз топологiєю, iндукованою
метрикою P(B). Тому мiра µ iнварiантна i щодо групи S(B) — замикання S(B).
Отже, є природним питання, чи буде група MB замиканням своєї пiдгрупи S(B), як
у випадку, коли P(B) є сферично-однорiдним кореневим деревом, а B рангу 1 (мiстить по
однiй вершинi на рiвень) (див. [2]).
З iншого боку, в просторах шляхiв деяких (навiть) стацiонарних дiаграм є iзометрич-
нi кулi, якi не переставляються гомеоморфiзмами з S(B), а iзометричнi кулi мають рiвнi
мiри (твердження 1). Тому у такому випадку група MB строго мiстить S(B). Становить
iнтерес визначити трохи бiльшу за S(B) пiдгрупу S(P(B)) групи MB, яка мiститиме гомео-
морфiзми, що переставляють iзометричнi кулi, та буде схожою на S(B) своєю структурою,
i вивчити питання, чи буде група MB замиканням своєї пiдгрупи S(P(B)).
Унiтальнi простi стацiонарнi дiаграми цiлком визначаються своєю матрицею iнцидент-
ностi. Виявилося, що у випадку, коли власне число Перрона такої матрицi є алгебраїчним
найбiльшого можливого степеня (тобто степiнь дорiвнює порядку матрицi), то група MB
є замиканням своєї пiдгрупи S(P(B)) (теорема 3). Також для дiаграм рангу 2 (тобто коли
порядок матрицi iнцидентностi цiєї дiаграми дорiвнює 2) видiлено пiдклас дiаграм, для
яких група MB строго мiстить замикання своєї пiдгрупи S(P(B)) (теорема 4).
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
2. Визначення у загальному випадку дiаграм Браттелi та просторiв шляхiв цих дiаграм
можна подивитися, наприклад, в [3]. Стацiонарнi дiаграми Браттелi можна визначити таким
чином.
Стацiонарною дiаграмою Браттелi називається набiр
B = ({Vi}i>0, {Ei}i>1, s, r),
де Vi i Ej — послiдовностi копiй одних i тих же множин V∗ = {v1
∗
, . . . , vn
∗
} та E∗ = {e1
∗
, . . . , ek
∗
},
для i > 1 та j > 2, |V0| = 1, E1 — копiя множини V∗, V =
⊔
i>0
Vi — множина вершин
дiаграми B з розбиттям на диз’юнктне об’єднання рiвнiв, E =
⊔
i>1
Ei — множина ребер
дiаграми B, вiдображення фiксацiї початку та кiнця
s : Ei −→ Vi−1 i r : Ei −→ Vi
дiють однаково на кожному рiвнi, що бiльше 1, тобто визначаються як
s : E∗ → V∗ i r : E∗ → V∗.
Для першого рiвня вимагатимемо виконання таких умов: r : E1 −→ V1 — вiдображення,
що визначається тотожним вiдображенням V∗ → V∗, та для кожного e ∈ E1 виконується
s(e) = v0.
Зауважимо, що ми дозволяємо, щоб бiльш нiж одна стрiлка e починалася i закiнчувалася
в тiй же парi вершин s(e), r(e).
Унiтальною стацiонарна дiаграма буде у випадку, коли кожна вершина v ∈ Vi, i > 1,
буде кiнцем якогось ребра, тобто iснуватиме таке e ∈ Ei, що r(e) = v.
Стацiонарна дiаграма B називається простою, якщо для довiльних vi
∗
, vj
∗
∈ V∗ iснує
такий шлях (e1, . . . , ek) в B, що s(e1) = vi
∗
та r(ek) = vj
∗
.
Матрицею iнцидентностi стацiонарної дiаграми B є матриця A = (aij)
n
i,j=1, елементи
якої визначаються так: aij = |{e | e ∈ E∗, s(e) = j, r(e) = i}|.
Простiр шляхiв P(B) стацiонарної дiаграми Браттелi — це множина послiдовностей
стрiлок {(e1, e2, e3, . . .) | ei ∈ Ei, r(ei) = s(ei+1), i > 1}, i вiн може бути ототожнений з мно-
жиною всiх послiдовностей (e1, e2, e3, . . .) ∈ V∗ × EN
∗
таких, що r(ei) = s(ei+1) для всiх i,
i > 1. Пара eiei+1, для якої r(ei) = s(ei+1), називається допустимою парою.
Також можна природно визначити сферично-однорiдне кореневе дерево T , рiвень Vm(T )
якого складається з V∗ × Em−1
∗
, V0(T ) = {∅}, i двi вершини, що належать сусiднiм рiвням,
сумiжнi, якщо вони є початками однiєї i тiєї ж послiдовностi з V∗ × EN
∗
. В цьому деревi
видiлимо пiддерево T (B) з тим же коренем, яке мiстить v ∈ Vm(T ) тодi i лише тодi, коли v
є початком деякої послiдовностi з P(B). Тобто множина вершин T (B) — це множина по-
чаткiв послiдовностей з P(B), i двi вершини, що належать сусiднiм рiвням, сумiжнi, якщо
вони є початками однiєї i тiєї ж послiдовностi з P(B). Простiр шляхiв P(B) також можна
ототожнити з границею ∂T (B) дерева T (B). Кулею Uv, що вiдповiдає вершинi v ∈ V (T (B)),
або цилiндричною множиною називається множина шляхiв ∂T (B), якi проходять через вер-
шину v. Цилiндрична множина, що вiдповiдає скiнченному шляху e = (e1, . . . , em) в B — це
не що iнше, як множина [e] = {x = (xi) ∈ P(B) | xi = ei, 1 6 i 6 m}. Множина цилiндричних
множин складає базу топологiї простору P(B). Ця топологiя iндукується ультраметрикою ρ,
яка задається так: ρ(e, e′) = 2−m, де m — довжина спiльного початку послiдовностей e та
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 21
e′, у випадку e 6= e′, i ρ(e, e′) = 0, якщо e = e′. Кулями метричного простору (P(B), ρ)
є цилiндричнi множини. Зауважимо, що кулi [e] та [e′] iзометричнi, якщо r(em) = r(e′m).
Два шляхи з P(B) є кофiнальними, якщо обидвi послiдовностi збiгаються, починаючи
з якогось номера. Легко бачити, що вiдношення кофiнальностi є вiдношенням еквiвалент-
ностi.
Група Sm(B) визначається як група всiх гомеоморфiзмiв ∂T (B) на себе, якi лише пере-
ставляють кулi, якi вiдповiдають таким шляхам (e1, . . . , em) та (e′1, . . . , e
′
m) в B, що r(em) =
= r(e′m). Тобто Sm(B) — це пiдгрупа всiх гомеоморфiзмiв Homeo ∂T (B), якi фiксують коор-
динати шляхiв, починаючи з m + 1-ї координати.
Неважко помiтити, що Sm(B) < Sm+1(B). Однорiдна симетрична група S(B) визна-
чається як об’єднання зростаючого ланцюга груп Sm(B) (цю групу також називають повною
AF-групою дiаграми B (див. [4]). З означення S(B) випливає, що гомеоморфiзми з цiєї групи
зберiгають вiдношення кофiнальностi.
Для унiтальної простої стацiонарної дiаграми B iснує єдина ймовiрнiсна борелева мi-
ра µ, iнварiантна щодо вiдношення кофiнальностi [1]. Згiдно з [5] для мiри µ виконується
рiвнiсть µ([e]) = µ([e′]) для довiльних шляхiв e = (e1, . . . , em) та e′ = (e′1, . . . , e
′
m) таких,
що r(em) = r(e′m). Ця мiра буде iнварiантною i для групи S(B), бо вона зберiгає вiдношення
кофiнальностi. Всi гомеоморфiзми простору P(B) на себе, якi зберiгають мiру µ, утворюють
пiдгрупу MB у групi HomeoP(B) всiх гомеоморфiзмiв простору P(B) на себе.
На групi Homeo(P(B)) всiх гомеоморфiзмiв P(B) на себе визначається метрика ρ, яка iн-
дукується метрикою ρ простору P(B): ρ(g, h) = max
x∈∂T
ρ
λ
(xg, xh) для всiх g та h з Homeo(P(B)).
Для деяких дiаграм можлива ситуацiя, коли є два шляхи e = (e1, . . . , em) та e′ =
= (e′1, . . . , e
′
m) такi, що r(em) 6= r(e′m) i, водночас, кулi [e] та [e′] є iзометричними. Ми хочемо
визначити бiльшу пiдгрупу HomeoP(B), яка мiститиме гомеоморфiзми, що переставляють
iзометричнi кулi такого вигляду, буде схожою на S(B) своєю структурою i у випадках, коли
така ситуацiя не виникає, збiгатися з нею.
Спочатку визначимо поняття перестановки iзометричних куль. Можна вважати, що
множина стрiлок першого рiвня збiгається з V∗. Нехай vi
∗
= (vi
∗
) для 1 6 i 6 n. Для
двох шляхiв e = (e1, . . . , em) та e′ = (e′1, . . . , e
′
m) позначатимемо e ∼ e′, якщо [e] iзометрично
[e′]. Для vi
∗
, vj
∗
таких, що vi
∗
∼ vj
∗
, i < j та vi
∗
= r(vi
∗
) 6= r(vj
∗
) = vj
∗
iснує бiєкцiя
ψij : {b | b ∈ E∗, s(b) = vi
∗
} → {c : c ∈ E∗, s(c) = vj
∗
}
така, що з ψij(b) = c випливає, що b ∼ c. Зафiксуємо її. Також зафiксуємо ψji = ψ−1
ij .
Нехай шляхи e = (e1, . . . , em) та e′ = (e′1, . . . , e
′
m) такi, що e ∼ e′. Визначимо вiд-
ображення φee′ : [e] → [e′]. Якщо r(em) = r(e′m), то покладемо φee′(e1, . . . , em, x1, x2, . . .) =
= (e′1, . . . , e
′
m, x1, x2, . . .) для всiх можливих шляхiв з P(B) вигляду (e1, . . . , em, x1, x2, . . .).
Якщо r(em) 6= r(e′m), то φee′(e1, . . . , em, x1, x2, . . .) визначається iндуктивно. Нехай r(em) = vi
∗
та r(e′m) = vj
∗
. Якщо ψij(x1) = y1 i r(x1) = r(y1), то φee′ : [x1] → [y1] вже визначено вище,
i φee′(e1, . . . , em, x1, x2, x3, . . .) = (e′1, . . . , e
′
m, y1, x2, x3, . . .), iнакше переходимо до наступного
елемента послiдовностi: визначаємо ψkl(x2) = y2, де k i l такi, що r(x1) = vk
∗
, а r(y1) =
= vl
∗
, i якщо r(x2) = r(y2), то φij(e
i
∗
, x1, x2, x3 . . .) = (ej
∗
, y1, y2, x3, . . .), iнакше переходимо
до наступного елемента i т. д. Перестановкою iзометричних куль [e] та [e′] називається вiд-
ображення φee′ . Легко бачити, що φee′ iндукує iзометрiю кореневих дерев Te(B) → Te′(B).
З iншого боку, кожна iзометрiя кореневих дерев iндукує iзометрiю вiдповiдних границь.
Звiдси випливає, що φee′ є iзометрiєю.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
Тепер ми можемо визначити групу гомеоморфiзмiв Sm(P(B)), яка складається з усiх
гомеоморфiзмiв, що лише переставляє кулi P(B) рiвня m. За побудовою послiдовнiсть груп
Sm(P(B)) утворюють зростаючий ланцюг пiдгруп групи гомеоморфiзмiв P(B) на себе. Тому
природно визначається пiдгрупа S(P(B)), яка є об’єднанням зростаючого ланцюга пiдгруп
S(P(B)). Зауважимо, що якщо для дiаграми B з того, що кулi [e] та [e′] є iзометричними,
випливає, що r(em) = r(e′m), то S(P(B)) збiгається з S(B).
3. Сформулюємо основнi результати роботи.
Твердження 1. Група S(P(B)) є пiдгрупою групи MB.
Зауважимо, що замиканням групи S(P(B)) мiстить групу бiєктивних локальних iзо-
метрiй простору P(B) на себе. Тобто ми довели, що група бiєктивних локальних iзометрiй
простору P(B) на себе є пiдгрупою MB.
Твердження 2. Група MB є замкненою в топологiї, iндукованiй метрикою ρ.
Теорема 3. Нехай B — проста стацiонарна унiтальна дiаграма Браттелi рангу n,
матриця A = (aij)
n
i,j=1 — матриця iнцидентностi дiаграми B. Якщо виконується одна
з таких умов:
1) характеристичний многочлен матрицi A незвiдний;
2) ранг n = 2, визначник A дорiвнює 0,
то група MB є замиканням своєї пiдгрупи S(P(B)).
Теорема 4. Нехай B — проста стацiонарна унiтальна дiаграма Браттелi рангу 2,
матриця A = (aij)
2
i,j=1 — матриця iнцидентностi дiаграми B, λA — власне число Перрона
матрицi A, вектор vλ = (v1, v2) з додатними координатами — власний вектор матри-
цi AT , що вiдповiдає λA, причому v1 + v2 = 1. Якщо λA натуральне, v1 6= v2 i визначник
матрицi A вiд’ємний, то iснує елемент g групи MB, який не апроксимується елемента-
ми з S(P(B)).
Таким чином, ми встановили, що для простих стацiонарних унiтальних дiаграм Браттелi
рангу 2 група MB збiгається iз замиканням своєї пiдгрупи S(P(B)), якщо або λA є iрра-
цiональним, або визначник A дорiвнює 0, або v1 = v2 (теорема 3), i строго мiстить це
замикання, якщо λA є натуральним, визначник A вiд’ємний та v1 6= v2 (теорема 4). Якщо
λA є натуральним та визначник A додатний, то неважко видiлити деякi пiдкласи дiаграм,
для яких група MB строго мiститиме замикання своєї пiдгрупи S(P(B)), i доведення цього
буде цiлком аналогiчне доведенню теореми 4. З iншого боку, у випадку, коли визначник A
додатний, так само неважко навести приклади, коли спроба побудувати аналогiчно дове-
денню теореми 4 послiдовнiсть {hn} призведе до розбiжної послiдовностi.
Також зауважимо, що для простих стацiонарних унiтальних дiаграм Браттелi рангу 2
група S(P(B)) збiгається iз S(B) тодi i лише тодi, коли v1 6= v2.
1. Durand F., Host B., Skau C. Substitutional dynamical systems, Bratteli diagrams and dimension groups //
Ergodic Theory Dyn. Syst. – 1999. – 19, No 4. – P. 953–993.
2. Лавренюк Я.В., Некрашевич В. В. Групи зберiгаючих мiру гомеоморфiзмiв множини Кантора // Доп.
НАН України. – 2008. – № 6. – С. 28–31.
3. Lavrenyuk Y., Nekrashevych V. On classification of inductive limits of direct products of alternating
groups // J. London Math. Soc. – 2007. – 75, No 1. – P. 146–162.
4. Dahl H. AF equivalence relations associated to locally finite groups // J. Ramanujan Math. Soc. – 2008. –
23, No 1. – P. 77–95.
5. Bezuglyi S., Kwiatkowski J., Medynets K., Solomyak B. Invariant measures on stationary Bratteli diag-
rams // Ergodic Theory Dyn. Syst. – 2010. – 30, No 4. – P. 973–1007.
Надiйшло до редакцiї 07.06.2011Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 23
Я.В. Лавренюк
О группах сохраняющих меру гомеоморфизмов пространств
Кантора
Рассмотрены группы MB сохраняющих меру Бернулли гомеоморфизмов пространств пу-
тей простых стационарных диаграмм Браттели B. Найден подкласс диаграмм, для кото-
рых группа MB является замыканием своей подгруппы S(P(B)). Также найден подкласс
диаграмм ранга 2, для которых группа MB строго содержит замыкание своей подгруппы
S(P(B)).
Ya. V. Lavrenyuk
On groups of measure-preserving self-homeomorphisms of Cantor spaces
The groups MB of measure-preserving self-homeomorphisms of path spaces of simple stationary
Bratteli diagrams B are studied. A subclass of diagrams, for which MB is a closure of the subgroup
S(P(B)), is found. A subclass of diagrams of rank 2, for which the group MB strictly contains the
closure of its subgroup S(P(B)), is also distinguished.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
|