Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією
Побудовано функцію Гріна тривимірного хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією. Ця функція записується у вигляді ряду по акустичних модах зазначеної механічної конструкції і є періодичною по азимутальній координаті та симетр...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49488 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією / А.О. Борисюк // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 57-63. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-49488 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-494882013-09-20T03:08:24Z Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією Борисюк, А.О. Механіка Побудовано функцію Гріна тривимірного хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією. Ця функція записується у вигляді ряду по акустичних модах зазначеної механічної конструкції і є періодичною по азимутальній координаті та симетричною відносно осьового перерізу розташування одиничного точкового імпульсного джерела. Кожен член цього ряду являє собою суму прямої та зворотної хвиль, які поширюються на відповідній моді труби вниз та вгору за течією від вказаного джерела. У побудованій функції Гріна в явному вигляді відображені ефекти осередненої течії. Ці ефекти стають вагомішими зі збільшенням числа Маха течії, зумовлюючи, зокрема, появу і подальше збільшення асиметрії функції відносно поперечного перерізу, в якому знаходиться джерело. I навпаки, зі зменшенням числа Маха вагомість впливу осередненої течії на функцію Гріна зменшується, спричиняючи, окрім іншого, зменшення зазначеної її асиметрії. У граничному ж випадку відсутності осередненої течії побудована функція Гріна є симетричною відносно вказаного поперечного перерізу і збігається з відповідною функцією Гріна для досліджуваної труби, яка наведена в науковій літературі. Построена функция Грина трехмерного волнового уравнения для бесконечной прямой жосткостенной трубы кругового поперечного сечения с осредненным течением. Эта функция записывается в виде ряда по акустическим модам указанной механической конструкции и является периодической по азимутальной координате и симметричной относительно осевого сечения расположения единичного точечного импульсного источника. Каждый член этого ряда являет собой сумму прямой и обратной волн, распространяющихся на соответствующей моде трубы вниз и вверх по течению от указанного источника. В построенной функции Грина в явном виде отражены эффекты осредненного течения. Эти эффекты становятся более весомыми с увеличением числа Маха течения, обусловливая, в частности, появление и дальнейшее увеличение асимметрии функции относительно поперечного сечения расположения источника. И наоборот, с уменьшением числа Маха весомость влияния осредненного течения на функцию Грина уменьшается, вызывая, кроме прочего, уменьшение указанной ее асимметрии. В предельном же случае отсутствия осредненного течения построенная функция Грина является симметричной относительно указанного поперечного сечения и совпадает с соответствующей функцией Грина для исследуемой трубы, которая приведена в научной литературе. The Green's function of the three-dimensional wave equation for an infinite straight rigid-walled pipe of circular cross-section with mean flow is found. This function is written as a series in the pipe acoustic modes and is periodic in the azimuthal co-ordinate and symmetric about the axial section of the unit point impulse source location. Each term of the series is a sum of the direct and reverse waves propagating in the corresponding pipe mode downstream and upstream of the noted source. In the Green's function, the mean flow effects are directly reflected. The effects become more significant, as the Mach number of a flow increases, causing, in particular, the appearance and the further growth of the function asymmetry about the cross-section of the source location. Vice versa, the decrease of the Mach number results in the decrease of the effects and, in particular, the decrease of the indicated asymmetry of the function. In the limiting case of the mean flow absence, the obtained Green's function is symmetric about the indicated cross-section and coincides with the corresponding Green's function for the investigated pipe, which is available in the literature. 2012 Article Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією / А.О. Борисюк // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 57-63. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49488 534.3+611.539 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Борисюк, А.О. Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією Доповіді НАН України |
| description |
Побудовано функцію Гріна тривимірного хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією. Ця функція записується у вигляді ряду по акустичних модах зазначеної механічної конструкції і є періодичною по азимутальній координаті та симетричною відносно осьового перерізу розташування одиничного точкового імпульсного джерела. Кожен член цього ряду являє собою суму прямої та зворотної хвиль, які поширюються на відповідній моді труби вниз та вгору за течією від вказаного джерела. У побудованій функції Гріна в явному вигляді відображені ефекти осередненої течії. Ці ефекти стають вагомішими зі збільшенням числа Маха течії, зумовлюючи, зокрема, появу і подальше збільшення асиметрії функції відносно поперечного перерізу, в якому знаходиться джерело. I навпаки, зі зменшенням числа Маха вагомість впливу осередненої течії на функцію Гріна зменшується, спричиняючи, окрім іншого, зменшення зазначеної її асиметрії. У граничному ж випадку відсутності осередненої течії побудована функція Гріна є симетричною відносно вказаного поперечного перерізу і збігається з відповідною функцією Гріна для досліджуваної труби, яка наведена в науковій літературі. |
| format |
Article |
| author |
Борисюк, А.О. |
| author_facet |
Борисюк, А.О. |
| author_sort |
Борисюк, А.О. |
| title |
Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією |
| title_short |
Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією |
| title_full |
Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією |
| title_fullStr |
Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією |
| title_full_unstemmed |
Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією |
| title_sort |
функція гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49488 |
| citation_txt |
Функція Гріна хвильового рівняння для нескінченної прямої жорсткостінної труби кругового поперечного перерізу з осередненою течією / А.О. Борисюк // Доп. НАН України. — 2012. — № 4. — С. 57-63. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT borisûkao funkcíâgrínahvilʹovogorívnânnâdlâneskínčennoíprâmoížorstkostínnoítrubikrugovogopoperečnogopererízuzoserednenoûtečíêû |
| first_indexed |
2025-07-04T10:37:06Z |
| last_indexed |
2025-07-04T10:37:06Z |
| _version_ |
1836712552989458432 |
| fulltext |
УДК 534.3+611.539
© 2012
А.О. Борисюк
Функцiя Грiна хвильового рiвняння для нескiнченної
прямої жорсткостiнної труби кругового поперечного
перерiзу з осередненою течiєю
(Представлено академiком НАН України В. Т. Грiнченком)
Побудовано функцiю Грiна тривимiрного хвильового рiвняння для нескiнченної прямої
жорсткостiнної труби кругового поперечного перерiзу з осередненою течiєю. Ця функ-
цiя записується у виглядi ряду по акустичних модах зазначеної механiчної конструкцiї
i є перiодичною по азимутальнiй координатi та симетричною вiдносно осьового перерiзу
розташування одиничного точкового iмпульсного джерела. Кожен член цього ряду являє
собою суму прямої та зворотної хвиль, якi поширюються на вiдповiднiй модi труби вниз
та вгору за течiєю вiд вказаного джерела. У побудованiй функцiї Грiна в явному виглядi
вiдображенi ефекти осередненої течiї. Цi ефекти стають вагомiшими зi збiльшенням
числа Маха течiї, зумовлюючи, зокрема, появу i подальше збiльшення асиметрiї функцiї
вiдносно поперечного перерiзу, в якому знаходиться джерело. I навпаки, зi зменшенням
числа Маха вагомiсть впливу осередненої течiї на функцiю Грiна зменшується, спри-
чиняючи, окрiм iншого, зменшення зазначеної її асиметрiї. У граничному ж випадку
вiдсутностi осередненої течiї побудована функцiя Грiна є симетричною вiдносно вказа-
ного поперечного перерiзу i збiгається з вiдповiдною функцiєю Грiна для дослiджуваної
труби, яка наведена в науковiй лiтературi.
Проблеми знаходження й дослiдження акустичних полiв у трубах є актуальними у нафтога-
зовiй промисловостi, автомобiле- та лiтакобудуваннi, архiтектурi, медицинi, комунальному
господарствi тощо [1–5]. Всi вони, незалежно вiд типу труб й акустичних джерел у них,
в принципi можуть бути розв’язанi за допомогою методу функцiй Грiна. Проте застосуван-
ня цього методу є доцiльним лише за умови iснування принципової можливостi побудови
вiдповiдної функцiї Грiна.
Ця можливiсть, окрiм квалiфiкацiї дослiдника, залежить вiд геометрiї дослiджуваної
труби та форми її поперечного перерiзу, фiзичних властивостей її стiнок та умов її за-
крiплення, акустичних умов на кiнцях труби та наявностi або вiдсутностi течiї в нiй тощо.
Як показує аналiз наукової лiтератури, серед випадкiв, якi визначаються рiзними комбiнацi-
ями цих факторiв, найбiльш дослiдженими є випадки нескiнченної прямої жорсткостiнної
труби прямокутного та кругового поперечного перерiзiв (див., наприклад, [1, 3, 4–10] та
вiдповiднi посилання в них). Для цих випадкiв побудовано вiдповiднi функцiї Грiна хви-
льового рiвняння i рiвняння Гельмгольца, а також, з їх допомогою, одержано вирази для
рiзних характеристик акустичних полiв, згенерованих вiдповiдними джерелами у зазначе-
них трубах. Проте всi цi результати, як правило, обмежуються випадком вiдсутностi течiї
в трубi. Якщо ж наявнiсть течiї i береться до уваги, то її ефекти у вiдповiдних функцiях
Грiна та/або кiнцевих результатах проявляються лише у неявному виглядi [1, 3, 5, 8].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 57
Рис. 1. Геометрiя задачi
Цей недолiк частково виправляється у данiй роботi. Тут будується функцiя Грiна хви-
льового рiвняння для нескiнченної прямої жорсткостiнної труби кругового поперечного пе-
рерiзу з осередненою течiєю. Ця функцiя має явну залежнiсть вiд параметрiв течiї, а в разi її
вiдсутностi — збiгається з вiдповiдною функцiєю Грiна для зазначеної труби, яка наведена
в науковiй лiтературi [1, 3, 5–8, 10].
Постановка задачi. Розглядається нескiнченна пряма жорсткостiнна труба кругового
поперечного перерiзу радiусом a (див. рис. 1), в якiй з осередненою осьовою швидкiстю U
тече рiдина. У трубi заданi як завгодно розташованi акустичнi джерела рiзної природи, якi
створюють в нiй акустичне поле. Це поле описується специфiчним типом тривимiрного хви-
льового рiвняння, яке в науковiй лiтературi часто називають тривимiрним конвективним
хвильовим рiвнянням [8, 10]:
1
c20
d2pa
dt2
−∇2pa = γ (1)
(тут pa — акустичний тиск; c0 — швидкiсть звуку в незбуренiй рiдинi, а функцiя γ описує
сумарний розподiл зазначених джерел). Необхiдно побудувати функцiю Грiна рiвняння (1)
для дослiджуваної труби.
Функцiя Грiна. Функцiя Грiна G(~r, t;~r0, t0) рiвняння (1) задовольняє рiвняння
1
c20
d2G
dt2
−∇2G = δ(~r − ~r0)δ(t− t0) (2)
(де δ(. . .) — дельта-функцiя Дiрака) i описує акустичний тиск у точцi поля ~r в момент часу t,
який генерується в трубi у момент часу t0 одиничним точковим iмпульсним джерелом,
розташованим у точцi ~r0 (див. рис. 1).
У цилiндричнiй системi координат (r, ϕ, z), яка вводиться для розв’язування задачi,
рiвняння (2) має такий вигляд:
1
c20
d2G
dt2
−
[
1
r
∂
∂r
(
r
∂G
∂r
)
+
1
r2
∂2G
∂ϕ2
+
∂2G
∂z2
]
=
1
r
δ(r − r0)δ(ϕ − ϕ0)δ(z − z0)δ(t− t0); (3)
0 6 r, r0 6 a; 0 6 ϕ,ϕ0 6 2π; |z| < ∞; |z0| < ∞; |t| < ∞; |t0| < ∞,
в якому
d2
dt2
=
(
∂
∂t
+ U
∂
∂z
)2
=
∂2
∂t2
+ 2U
∂2
∂t∂z
+ U2 ∂2
∂z2
. (4)
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
Граничними умовами для функцiї G є рiвнiсть нулю її радiальної похiдної на нерухомiй
жорсткiй стiнцi дослiджуваної труби
∂G
∂r
∣
∣
∣
∣
r=a
= 0 (5)
i умова випромiнювання у нескiнченнiсть1. Крiм того, G має бути перiодичною по коор-
динатi ϕ:
G|ϕ=ϕ∗+2nπ = G|ϕ=ϕ∗
, n = ±1,±2, . . . , (6)
симетричною вiдносно площини ϕ = ϕ0 розташування зазначеного джерела
G|ϕ=ϕ0+∆ϕ = G|ϕ=ϕ0−∆ϕ, ∆ϕ > 0 (7)
i задовольняти умову причинностi [6–10]
G|t<t0 = 0. (8)
Розв’язок задачi (3)–(8) шукаємо у виглядi ряду по акустичних модах труби {Ψ(1)
nm,Ψ(2)
nm}:
G(r, ϕ, z, t; r0 , ϕ0, z0, t0) =
2
∑
j=1
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
G(j)
nm(z, t; r0, ϕ0, z0, t0)Ψ
(j)
nm(r, ϕ),
Ψ(1)
nm(r, ϕ) = Jn(αnmr) cos(nϕ), Ψ(2)
nm(r, ϕ) = Jn(αnmr) sin(nϕ),
(9)
де Jn — цилiндричнi функцiї Бесселя першого роду порядку n; αnm = ζnm/a — радiальнi
хвильовi числа; ζnm — коренi рiвняння J ′
n(ζnm) = 0 (m = 1, 2, . . .); а Ψ
(2)
0m ≡ 0. Вибрана
у такому виглядi функцiя G автоматично задовольняє умову (5).
У записi (9) невiдомими є коефiцiєнти G(j)
nm. Для їх визначення пiдставимо ряд (9) у роз-
писане з урахуванням (4) рiвняння (3), помножимо одержане при цьому спввiдношення
скалярно на функцiї Ψ(j)
nm i врахуємо ортогональнiсть останнiх:
a
∫
0
2π
∫
0
Ψ(j)
nmΨ(j)
sq rdrdϕ =
{
‖Ψ(j)
nm‖2, (s, q) = (n,m),
0, (s, q) 6= (n,m),
a
∫
0
2π
∫
0
Ψ(1)
nmΨ(2)
sq rdrdϕ =0, j = 1, 2,
‖Ψ(1)
nm‖2=
πa2J2
0 (α0ma), n = 0,
πa2
2
J2
n(αnma)
[
1− n2
α2
nma2
]
, n > 1,
‖Ψ(2)
nm‖2=
{
0, n = 0,
‖Ψ(1)
nm‖2, n > 1.
(10)
1Перша умова означає рiвнiсть нулевi радiальної компоненти акустичної швидкостi на стiнцi труби, тодi
як друга — вiдсутнiсть вiдбиття звуку на її кiнцях (на нескiнченностi).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 59
У результатi одержимо диференцiальне рiвняння для G(j)
nm:
1
c20
∂2G
(j)
nm
∂t2
+ 2
M
c0
∂2G
(j)
nm
∂t∂z
− (1−M2)
∂2G
(j)
nm
∂z2
+ α2
nmG(j)
nm =
=
Ψ
(j)
nm(r0, ϕ0)
‖Ψ(j)
nm‖2
δ(z − z0)δ(t− t0),
|z| < ∞; |z0| < ∞; |t| < ∞; |t0| < ∞; j = 1, 2; n > 0; m > 1,
(11)
в якому M = U/c0 — число Маха осередненої течiї в трубi, а квадрати норм її акустичних
мод ‖Ψ(j)
nm‖2 даються в (10).
Аналiз рiвняння (11) показує, що воно, за вийнятком доданкiв, якi мiстять число M ,
збiгається з одновимiрним рiвнянням Кляйна–Гордона2 , розв’язок якого для дослiджуваної
труби вiдомий [6, 7]. Щоб позбутися цих доданкiв i перейти, таким чином, до зазначеного
рiвняння, введемо новi безрозмiрнi змiннi:
Z =
λz
a
, Z0 =
λz0
a
, T = λ−1 c0t
a
+M
λz
a
,
T0 = λ−1 c0t0
a
+M
λz0
a
, λ =
1√
1−M2
.
(12)
У змiнних (12) рiвняння (11) стає класичним одновимiрним рiвнянням Кляйна–Гордона:
∂2G
(j)
nm
∂T 2
− ∂2G
(j)
nm
∂Z2
+ α2
nma2G(j)
nm = a2
Ψ
(j)
nm(r0, ϕ0)
‖Ψ(j)
nm‖2
δ
(
a
λ
(Z − Z0)
)
×
× δ
(
λa
c0
(T − T0 −M(Z − Z0))
)
,
|Z| < ∞; |Z0| < ∞; |T | < ∞; |T0| < ∞; j = 1, 2; n > 0; m > 1,
(13)
розв’язок якого є суперпозицiєю прямої та зворотної хвиль, якi поширюються вiдповiдно
вправо та влiво вiд джерела, розташованого у точцi Z = Z0 [6, 7]:
G(j)
nm =
c0
2
Ψ
(j)
nm(r0, ϕ0)
‖Ψ(j)
nm‖2
[H(Z0 − Z)H(T − T0 + Z − Z0) +
+H(Z − Z0)H(T − T0 − (Z − Z0))]J0
(
αnma
√
(T − T0)2 − (Z − Z0)2
)
. (14)
Тут H(. . .) є функцiєю Хевiсайда, а також було взято до уваги умову випромiнювання
у нескiнченнiсть.
2Оскiльки зазначенi доданки з’являються в (11) внаслiдок iснування в (3) вiдмiнної вiд нуля конвективної
похiдної U(∂/∂z), їх можна назвати конвективними, а саме рiвняння (11) — одновимiрним конвективним
рiвнянням Кляйна–Гордона.
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
Врахування у формулi (14) спiввiдношень (12) дозволяє одержати остаточнi вирази для
коефiцiєнтiв G(j)
nm у записi (9):
G(j)
nm =
c0
2
Ψ
(j)
nm(r0, ϕ0)
‖Ψ(j)
nm‖2
[
H
(
λ
a
(z0 − z)
)
H
(
c0
λa
(t− t0) + (M + 1)
λ
a
(z − z0)
)
+
+H
(
λ
a
(z − z0)
)
H
(
c0
λa
(t− t0) + (M − 1)
λ
a
(z − z0)
)]
×
× J0
(
αnma
√
c20
λ2a2
(t− t0)2 + 2
c0M
a2
(t− t0)(z − z0) + (M2 − 1)
λ2
a2
(z − z0)2
)
. (15)
Тодi пiдстановка величин (15) у спiввiдношення (9) дає вираз для шуканої функцiї Грiна
рiвняння (1) для нескiнченної прямої жорсткостiнної труби кругового поперечного перерiзу
з осередненою течiєю:
G(r, ϕ, z, t; r0 , ϕ0, z0, t0) =
=
c0
2
[
H
(
λ
a
(z0−z)
)
H
(
c0
λa
(t−t0)+(M+1)
λ
a
(z−z0)
)
+H
(
λ
a
(z−z0)
)
×
×H
(
c0
λa
(t−t0)+(M−1)
λ
a
(z−z0)
)] 2
∑
j=1
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
Ψ
(j)
nm(r0, ϕ0)
‖Ψ(j)
nm‖2
Ψ(j)
nm(r, ϕ)×
× J0
(
αnma
√
c20
λ2a2
(t−t0)2+2
c0M
a2
(t−t0)(z−z0)+(M2−1)
λ2
a2
(z−z0)2
)
. (16)
Бачимо, що функцiя Грiна (16) записується у виглядi ряду по акустичних модах зазначеної
труби Ψ(j)
nm. Кожен член цього ряду являє собою суму прямої та зворотної хвиль, якi поши-
рюються вiдповiдно вниз та вгору за течiєю вiд одиничного точкового iмпульсного джерела,
розташованого у поперечному перерiзi труби z = z0. При цьому, як i має бути (див. (6)–(8)),
функцiя G є перiодичною по кутовiй координатi ϕ, симетричною вiдносно площини ϕ = ϕ0
i задовольняє умову причинностi.
Подальший аналiз спiввiдношення (16) показує, що в побудованiй функцiї Грiна в яв-
ному виглядi вiдображенi ефекти осередненої течiї (через числа M i λ = λ(M)). Цi ефе-
кти стають вагомiшими зi збiльшенням числа M , зумовлюючи, зокрема, появу i подаль-
ше збiльшення асиметрiї функцiї G вiдносно площини z = z0 розташування зазначеного
вище джерела. I навпаки, зi зменшенням числа Маха вагомiсть впливу осередненої течiї
на функцiю G зменшується, спричиняючи, окрiм iншого, зменшення вказаної її асиметрiї.
У граничному ж випадку вiдсутностi осередненої течiї (M = 0, λ = 1) функцiя (16) стає
симетричною вiдносно площини z = z0 i збiгається з функцiєю Грiна хвильового рiвняння
для дослiджуваної труби, яка наведена в науковiй лiтературi [6–10]:
G|M=0 =
c0
2
[
H
(
1
a
(z0 − z)
)
H
(
c0
a
(t− t0) +
1
a
(z − z0)
)
+
+H
(
1
a
(z − z0)
)
H
(
c0
a
(t− t0)−
1
a
(z − z0)
)]
×
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 61
×
2
∑
j=1
∞
∑
n=0
∞
∑
m=1
Ψ
(j)
nm(r0, ϕ0)
‖Ψ(j)
nm‖2
Ψ(j)
nm(r, ϕ)J0
(
αnm
√
c20(t− t0)2 − (z − z0)2
)
.
На закiнчення зробимо такi висновки.
1. Побудовано функцiю Грiна тривимiрного хвильового рiвняння (див. вираз (16)) для
нескiнченної прямої жорсткостiнної труби кругового поперечного перерiзу з осередненою
течiєю. Ця функцiя записується у виглядi ряду по акустичних модах зазначеної труби i
є перiодичною по азимутальнiй координатi ϕ та симетричною вiдносно площини ϕ = ϕ0
розташування одиничного точкового iмпульсного джерела.
2. У функцiї Грiна (16) кожен член ряду являє собою суму прямої та зворотної хвиль,
якi поширюються на вiдповiднiй модi труби вниз та вгору за течiєю вiд зазначеного дже-
рела.
3. У побудованiй функцiї Грiна в явному виглядi вiдображенi ефекти осередненої те-
чiї. Цi ефекти стають вагомiшими зi збiльшенням числа Маха течiї, зумовлюючи, зокре-
ма, появу i подальше збiльшення асиметрiї функцiї вiдносно поперечного перерiзу z = z0,
в якому розташоване зазначене джерело. I навпаки, зi зменшенням числа Маха вагомiсть
впливу осередненої течiї на функцiю Грiна (16) зменшується, спричиняючи, окрiм iншого,
зменшення зазначеної її асиметрiї.
4. У граничному випадку вiдсутностi осередненої течiї побудована функцiя Грiна є си-
метричною вiдносно перерiзу z = z0 i збiгається з вiдповiдною функцiєю Грiна для дослiд-
жуваної труби, яка наведена в науковiй лiтературi.
5. У процесi побудови функцiї Грiна запропоновано перетворення (12), яке дозволяє
зводити одновимiрне конвективне рiвняння Кляйна–Гордона (11) до його класичного одно-
вимiрного аналогу (13), i на основi вiдомого розв’язку останнього одержувати розв’язок
першого рiвняння.
1. Борисюк А.О. Генерацiя звуку обмеженою областю збуреної течiї в жорсткостiнному каналi кругового
поперечного перерiзу. Ч. 1. Загальна теорiя // Акуст. вiсн. – 2003. – 6, № 3. – С. 3–9.
2. Вовк И.В., Гринченко В. Т., Малюга В.С. Особенности движения среды в каналах со стенозами //
Прикл. гiдромех. – 2009. – 11, № 4. – С. 17–30.
3. Davies H.G., Ffowcs Williams J.E. Aerodynamic sound generation in a pipe // J. Fluid Mech. – 1968. –
32, No 4. – P. 765–778.
4. Doak P. E. Excitation, transmission and radiation of sound from source distributions in hard-walled ducts
of finite length (1): the effects of duct cross-section geometry and source distribution space-time pattern //
J. Sound Vib. – 1973. – 31, No 1. – P. 1–72.
5. Blake W.K. Mechanics of flow-induced sound and vibration. – New York: Acad. Press, 1986. – 974 p.
6. Morse P.M., Feshbach H. Methods of theoretical physics. Vol. 1. – New York: McGraw-Hill, 1953. –
997 p.
7. Morse P.M., Ingard K.U. Theoretical acoustics. – New York: McGraw-Hill, 1968. – 927 p.
8. Howe M. S. Acoustics of fluid-structure interactions. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1998. –
560 p.
9. Crighton D.G., Dowling A. P., Ffowcs Williams J. E., Heckl M., Leppington F.G. Modern methods in
analytical acoustics. – London: Springer, 1992. – 738 p.
10. Грiнченко В.Т., Вовк I. В., Маципура В.Т. Основи акустики. – Київ: Наук. думка, 2007. – 640 с.
Надiйшло до редакцiї 06.06.2011Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №4
А.О. Борисюк
Функция Грина волнового уравнения для бесконечной прямой
жосткостенной трубы кругового поперечного сечения с осредненным
течением
Построена функция Грина трехмерного волнового уравнения для бесконечной прямой жост-
костенной трубы кругового поперечного сечения с осредненным течением. Эта функция
записывается в виде ряда по акустическим модам указанной механической конструкции
и является периодической по азимутальной координате и симметричной относительно
осевого сечения расположения единичного точечного импульсного источника. Каждый член
этого ряда являет собой сумму прямой и обратной волн, распространяющихся на соответ-
ствующей моде трубы вниз и вверх по течению от указанного источника. В построенной
функции Грина в явном виде отражены эффекты осредненного течения. Эти эффекты ста-
новятся более весомыми с увеличением числа Маха течения, обусловливая, в частности,
появление и дальнейшее увеличение асимметрии функции относительно поперечного сече-
ния расположения источника. И наоборот, с уменьшением числа Маха весомость влияния
осредненного течения на функцию Грина уменьшается, вызывая, кроме прочего, уменьшение
указанной ее асимметрии. В предельном же случае отсутствия осредненного течения по-
строенная функция Грина является симметричной относительно указанного поперечного
сечения и совпадает с соответствующей функцией Грина для исследуемой трубы, которая
приведена в научной литературе.
A.O. Borysyuk
Green’s function of the wave equation for an infinite straight
rigid-walled pipe of circular cross-section with mean flow
The Green’s function of the three-dimensional wave equation for an infinite straight rigid-walled
pipe of circular cross-section with mean flow is found. This function is written as a series in the
pipe acoustic modes and is periodic in the azimuthal co-ordinate and symmetric about the axial
section of the unit point impulse source location. Each term of the series is a sum of the direct and
reverse waves propagating in the corresponding pipe mode downstream and upstream of the noted
source. In the Green’s function, the mean flow effects are directly reflected. The effects become
more significant, as the Mach number of a flow increases, causing, in particular, the appearance
and the further growth of the function asymmetry about the cross-section of the source location. Vice
versa, the decrease of the Mach number results in the decrease of the effects and, in particular, the
decrease of the indicated asymmetry of the function. In the limiting case of the mean flow absence,
the obtained Green’s function is symmetric about the indicated cross-section and coincides with the
corresponding Green’s function for the investigated pipe, which is available in the literature.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №4 63
|