Модифицированный метод анализа иерархий

Предлагается эффективная методология нахождения победителя среди большого количества альтернатив в методе анализа иерархий с применением оптимизационных моделей поиска весов объектов по эмпирическим матрицам парных сравнений. Рассматриваются две разные модели эмпирических матриц парных сравнений. Пр...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Згуровский, М.З., Павлов, А.А., Штанькевич, А.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2010
Schriftenreihe:	Системні дослідження та інформаційні технології
Schlagworte:	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49684
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Модифицированный метод анализа иерархий / М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 1. — С. 7-25. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-49684
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-496842013-09-25T03:03:19Z Модифицированный метод анализа иерархий Згуровский, М.З. Павлов, А.А. Штанькевич, А.С. Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Предлагается эффективная методология нахождения победителя среди большого количества альтернатив в методе анализа иерархий с применением оптимизационных моделей поиска весов объектов по эмпирическим матрицам парных сравнений. Рассматриваются две разные модели эмпирических матриц парных сравнений. Приведен демонстрационный пример. Пропонується ефективна методологія знаходження переможця серед великої кількості альтернатив у методі аналізу ієрархій із застосуванням оптимізаційних моделей пошуку ваг об’єктів за емпіричними матрицями парних порівнянь. Розглядаються дві різні моделі емпіричних матриць парних порівнянь. Наведено демонстраційний приклад. An efficient methodology is proposed for searching for a winner among a great number of alternatives in the Analytic Hierarchy Process using optimization models of object priority searching according to empirical pairwise comparison matrixes. Two different models of empirical pairwise comparison matrixes are considered. A demonstrative example is given. 2010 Article Модифицированный метод анализа иерархий / М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 1. — С. 7-25. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49684 519.5:681:513 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу
spellingShingle	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Згуровский, М.З. Павлов, А.А. Штанькевич, А.С. Модифицированный метод анализа иерархий Системні дослідження та інформаційні технології
description	Предлагается эффективная методология нахождения победителя среди большого количества альтернатив в методе анализа иерархий с применением оптимизационных моделей поиска весов объектов по эмпирическим матрицам парных сравнений. Рассматриваются две разные модели эмпирических матриц парных сравнений. Приведен демонстрационный пример.
format	Article
author	Згуровский, М.З. Павлов, А.А. Штанькевич, А.С.
author_facet	Згуровский, М.З. Павлов, А.А. Штанькевич, А.С.
author_sort	Згуровский, М.З.
title	Модифицированный метод анализа иерархий
title_short	Модифицированный метод анализа иерархий
title_full	Модифицированный метод анализа иерархий
title_fullStr	Модифицированный метод анализа иерархий
title_full_unstemmed	Модифицированный метод анализа иерархий
title_sort	модифицированный метод анализа иерархий
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49684
citation_txt	Модифицированный метод анализа иерархий / М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 1. — С. 7-25. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT zgurovskijmz modificirovannyjmetodanalizaierarhij AT pavlovaa modificirovannyjmetodanalizaierarhij AT štanʹkevičas modificirovannyjmetodanalizaierarhij
first_indexed	2025-07-04T10:55:50Z
last_indexed	2025-07-04T10:55:50Z
_version_	1836713562269024256
fulltext	© М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич, 2010 Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 7 TIДC ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИ І МЕТОДИ СИСТЕМНОГО АНАЛІЗУ УДК 519.5:681:513 МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ М.З. ЗГУРОВСКИЙ, А.А. ПАВЛОВ, А.С. ШТАНЬКЕВИЧ Предлагается эффективная методология нахождения победителя среди боль- шого количества альтернатив в методе анализа иерархий с применением опти- мизационных моделей поиска весов объектов по эмпирическим матрицам пар- ных сравнений. Рассматриваются две разные модели эмпирических матриц парных сравнений. Приведен демонстрационный пример. В данной работе модели оптимизации, предложенные и обоснованные в [1–4], будут использованы для расширения области применения метода анализа иерархий (МАИ) Т. Саати [5–7] на случай большого количества альтернатив (существенно превышающего их обычное количество, при ко- тором применение МАИ считается корректным). Такая задача может воз- никнуть в двух случаях: • наилучшая альтернатива не выбирается из набора реально сущест- вующих альтернатив, а альтернативы генерируются искусственно для выбо- ра наилучшей, после чего для реализации этой альтернативы вкладываются существенные ресурсы; • искусственно генерируются альтернативы; с помощью МАИ нахо- дятся их результирующие веса, по которым строится аналитическое описа- ние глобальной цели. Корректное обоснование предлагаемых модификаций МАИ возможно, когда задаются формальные модели, которым отвечают эмпирические мат- рицы парных сравнений последнего уровня иерархий МАИ. В этом случае можно исследовать эмпирические (статистические) свойства алгоритмов, их эффективность, а также предлагать практические рекомендации к использо- ванию. В данной работе рассматриваются две формальные модели эмпири- ческой матрицы парных сравнений. Первая модель эмпирических матриц парных сравнений последне- го уровня иерархии МАИ. Рассмотрим произвольные альтернативы iA , jA , которые сравниваются экспертом (экспертами) по эффективности отно- сительного произвольного критерия предыдущего уровня иерархии МАИ. В идеальном случае, т.е., когда предполагается, что на эксперта не влияют факторы, искажающие его решение (его компетентность, количест- во альтернатив, для которых строится эмпирическая матрица парных срав- нений, неоднозначность качественного описания критерия, технология и последовательность заполнения эмпирической матрицы парных сравнений, М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 8 психологические факторы и т.п.), значение эмпирического коэффициента ijγ не зависит ни от количества альтернатив, из которых находится наилуч- шая, ни от их состава. Тогда j i ij ω ω γ = в любой эмпирической матрице пар- ных сравнений при парном сравнении альтернативы iA с альтернативой jA , 0, ≥ji ωω интерпретируются как идеальные значения весов альтернатив iA и jA . Рассмотрим два матричных равенства: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nm m j i ij m ω ω ω ω ω ω γ 11 1 (1) и mmm mm e e ee i i i im j i ji < ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 11 1 , 1 1 1 11 ω ω ω ω ω ω γ . (2) Равенству (1) соответствует идеальная эмпирическая матрица парных сравнений для множества альтернатив { }miAi ,1, = ; равенству (2) соответс- твует идеальная эмпирическая матрица парных сравнений для множества альтернатив { }1,1, meA ei = . Тогда компоненты собственного вектора, соот- ветствующего собственному числу 1m=∗λ второй системы, на основании теоремы Фробениуса с точностью до положительной константы равны соот- ветствующим компонентам собственного вектора, соответствующего собст- венному числу m=∗λ первой системы. Это следствие в дальнейшем позволит обосновать декомпозицию зада- чи нахождений весов для большего количества альтернатив. Теперь рассмотрим случай, когда реально на решение эксперта влияют возмущающие факторы. Формально их действие предлагается описывать с помощью параметрического вероятностного распределения. Закономерно- сти, определяющие значения и изменение значений параметров вероятност- ного распределения (вероятностных распределений), как и самовероятност- ное распределение (вероятностные распределения), являются формальной моделью факторов, искажающих решение эксперта (экспертов). Вторая модель эмпирических матриц парных сравнений последне- го уровня иерархий МАИ. В идеальном случае значение коэффициента ijγ зависит от количества альтернатив и их состава. Это возможно, в частности, когда значение ijγ определяется группой экспертов с помощью формально- го алгоритма, оперирующего с индивидуальными предпочтениями экспер- тов. Действительно, значения ijγ каждого эксперта задают на множество альтернатив полный предпорядок. Если коллективное решение также явля- ется полным предпорядком и, очевидно, удовлетворяет аксиоме единогла- Модифицированный метод анализа иерархий Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 9 сия и не является правилом диктатора, то нарушается аксиома независимо- сти (теорема Эроу [8]). Возмущающие факторы, искажающие идеальное значение, по-прежнему будем задавать с помощью параметрических вероятностных законов. Адаптация МАИ для второй формальной модели эмпирической матри- цы парных сравнений может быть реализована с помощью моделей оптими- зации [3, 4]. Сначала модификацию МАИ приведем для двухуровневой иерархии, затем полученные результаты адаптируем для общего случая. Необходимо отметить, что двухуровневая иерархия имеет самостоятельное практическое значение. Будут рассмотрены несколько реализаций модифицированного метода анализа иерархий (ММАИ), каждая из которых соответствует типу инфор- мации (либо ее отсутствию) о закономерностях искажения эмпирических ijγ (элементов эмпирической матрицы парных сравнений) относительно идеальных значений, а также используемой формальной модели эмпириче- ской матрицы парных сравнений последнего уровня. 1. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ ДЛЯ ДВУХУРОВНЕВОЙ СТРУКТУРЫ Пусть дерево иерархий имеет вид: На рис. 1 m — количество альтернатив, достаточно большое число. ММАИ (реализация 1) Его используют для первой модели эмпирической матрицы парных сравне- ний. Ошибка в определении ijγ возрастает с увеличением размерности эм- пирической матрицы парных сравнений. Этап 1. По исходной эмпирической матрице парных сравнений с ис- пользованием моделей оптимизации, приведенных в [1, 2] по значениям критериев 21, MM [1, 2] (либо c применением моделей, приведенных в [3, 4]), находятся оценки весов iω альтернатив miAi ,1, = . Альтернативы упорядочиваются в соответствии с убыванием значений mii ,1,ˆ =ω . Пусть их порядок имеет вид miii AAA ,,, 21 … . Задаем число 1m , верхняя граница которого принадлежит диапазону 97 ÷ (максимальный размер хорошо со- гласованных матриц парных сравнений). Пусть число )( 1mm − нацело де- Рис. 1. Дерево иерархии с двухуровневой структурой М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 10 лится на )1( 1 −m . 1 11 1 −= − − p m mm . Эксперту вновь предлагается построить эмпирическую матрицу парных сравнений 1Γ для альтернатив eiA , 1,1 me = . По матрице парных сравнений 1Γ классическим методом (в случае ее хоро- шей обусловленности) либо с использованием моделей оптимизации (если она плохо обусловлена) находятся оценки весов альтернатив eiA , 1,1 me = . В соответствии со значениями этих оценок находятся 1 2m наилучшие аль- тернативы (альтернативы с наибольшими оценками весов); 1 2m равно еди- нице, если 1Γ является хорошо согласованной и ⎥⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢= 2 11 2 m m , если 1Γ плохо обусловленная матрица (операция ⎣ ⎦ — целое от деления). Примечание. Число 2 1m выбрано эмпирически и является статистиче- ски обоснованным компромиссом между эффективностью метода и объе- мом вычислений. Пусть лучшими 1 2m альтернативами являются ejA , 1 2,1 me = . Наихуд- шую из всех текущих 1m альтернатив (с наименьшим весом) обозначим че- рез 1kA . Для альтернатив 121 111 ,...,, −+ mmk AAA эксперту предлагается снова построить эмпирическую матрицу парных сравнений 2Γ . Для матрицы 2Γ полностью повторяется вычислительная процедура, описанная для матри- цы 1Γ . Определяются 2 2m наилучших альтернатив и наихудшая альтернатива 2kA . По альтернативам 213112122 ,,,, −+ mmm iiik AAAA … снова строится эмпири- ческая матрица парных сравнений 3Γ . Определяются 3 2m наилучших аль- тернатив и наихудшая альтернатива 3kA . Описанный процесс продолжается для всех остальных матриц iΓ , pi ,4= . Таким образом, экспертами вновь построено p эмпирических матриц парных сравнений iΓ , pi ,1= . Если для всех матриц iΓ , число 12 = im , pi ,1= (матрицы iΓ , pi ,1= хорошо согласованы), то достоверные оценки весов альтернатив miAi ,1, = находятся следующим образом. Пусть 11 11 ˆ,,ˆ mii ωω … оценки весов альтернатив 1,1, meA ei = , найденные по матрице 1Γ , 1 1 ˆkω , — это оценка веса альтернативы 1kA по матрице 1Γ . Пусть 112111 ˆ,,ˆ,ˆ 22 −+ mm iik ωωω … — это оценки весов альтернатив ,..., 111 +mik AA 112 ..., −miA , вычисленные по матрице 2Γ . В соответствии со следствием, при- веденным для первой модели эмпирической матрицы парных сравнений по- Модифицированный метод анализа иерархий Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 11 следнего уровня иерархии, веса 222 112111 ˆ,,,ˆ −+ mm iik ωωω … умножаем на число 2 1 1 1 ˆ ˆ k k ω ω . Аналогично оценки всех весов альтернатив, найденных по матрицам pii ,3, =Γ , умножаются на число i k i k i i 1 1 ˆ ˆ 1 − − − ω ω . Пусть хотя бы для одной матрицы iΓ , pi ,1= , число im2 больше едини- цы (хотя бы одна матрица является плохо согласованной). В этом случае переходим к следующей вычислительной процедуре. Строим новую последовательность альтернатив таким образом. Первые 1 2m альтернатив — это лучшие 1 2m альтернативы, определенные по матрице 1Γ . Включаем их в новую последовательность. Если альтернатива 1kA для матрицы 2Γ оказалась наилучшей, то наилучшие 2 2m альтернатив, опреде- ленных по матрице 2Γ , в новую последовательность альтернатив не вклю- чаются. В противном случае следующими в новой последовательности альтернатив являются 2 2m наилучшие альтернативы, определенные по мат- рице 2Γ . Если 2 2m лучших альтернатив, определенных по матрице 2Γ , не вклю- чены в новую последовательность альтернатив, то матрица 3Γ заменяется новой: эксперту предлагается построить эмпирическую матрицу парных сравнений для альтернатив 213112121 ,...,,, −+ mmm iiik AAAA , по которой находит- ся 3 2m наилучших альтернатив и наихудшая альтернатива 3kA . Для новой матрицы 3Γ повторяется процедура, описанная ранее для матрицы 2Γ (включение или не включение ее новых 3 2m лучших альтернатив в новую последовательность альтернатив). Если 2 2m лучших альтернатив включены в новую последовательность альтернатив, то для старой матрицы 3Γ аналогично решается задача вклю- чения или не включения ее лучших 3 2m альтернатив в новую последова- тельность альтернатив путем сравнения их с альтернативой 2kA . Описанный процесс повторяется (рассматриваются оставшиеся матрицы iΓ , pi ,4= ; строятся, в случае необходимости, новые эмпирические матрицы парных сравнений) вплоть до окончательного получения новой последовательности альтернатив. Этап 2. Для построенной новой последовательности альтернатив на предыдущем этапе полностью повторяется этап 1-й. Если построенные на втором этапе все эмпирические матрицы парных сравнений оказались хо- рошо согласованными, то производится согласование весов (вычислитель- ная процедура приведена при описании первого этапа) и альтернатива с М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 12 большим весом является наилучшей. В противном случае формулируется новая последовательность альтернатив, которая будет исходной для сле- дующего этапа. Этап kjj ,3, = . Полностью реализует вычислительную процедуру предыдущих этапов с аналогичным гарантированным критерием получения наилучшей альтернативы. Этап k — последний, если количество альтерна- тив в его начальной последовательности альтернатив менее 7-ми. Если при этом количество альтернатив больше одного, то в качестве победителя вы- бирается первая (первая, включенная в новую последовательность на пре- дыдущем этапе). Если количество альтернатив равняется 97 ÷ , то на теку- щем этапе строится только одна матрица 1Γ , а следующий этап будет последним. Модифицированный алгоритм статистически значимо решает точно за- дачу нахождения наилучшей альтернативы из множества iA , mi ,1= , если он определяет наилучшую альтернативу на промежуточном этапе, либо если эмпирическая матрица парных сравнений последнего k -того этапа является хорошо согласованной. Примечание. Во многих случаях можно упростить вычислительную процедуру нахождения новой последовательности альтернатив для следую- щего этапа алгоритма: построение новой последовательности альтернатив завершено, если худшая альтернатива, найденная по матрице iΓ (значение индекса i минимально возможное, матрицы pii ,2, =Γ не изменились), яв- ляется лучшей альтернативой для матрицы 1+Γi . Обоснование такого упро- щения заключается в том, что, как показали статистические исследования моделей оптимизации [9], получаемые оценки весов альтернатив по исход- ной эмпирической матрице парных сравнений в целом достаточно хорошо упорядочивают последовательности альтернатив в сравнении с их идеаль- ным упорядочиванием. ММАИ (реализация 2) Её используют для первой модели эмпирической матрицы парных сравнений. Искажение величины ijγ ( ji ≠ ) зависит от двух параметров — раз- мерности эмпирической матрицы парных сравнений и величины значения )1( −ijγ ( jiij ≠≥ ,1γ ; обоснование приведено при описании ММАИ (реали- зация 1) с таким отличием: на всех этапах используется либо модифициро- ванная модель 2, либо модифицированная модель (эта модель дает более точное решение, но требует большего объема вычислений). Модифицированная модель 2 Представляет следующую задачу линейного программирования: \|\|)( min Aij ijij yr ∈ ∑ ∑ (3) Модифицированный метод анализа иерархий Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 13 niayyy iijij Aji jijiij ,1,,0, ),( * =≤≥≤−≤− ∈ ωωγω , (4) где a — заданное положительное число; 1≥a ; iji yni ,,1, =ω Aji ∈∀ ),( — переменные задачи линейного программирования; ijr — заданные весовые коэффициенты; * ijγ — элементы эмпирической матрицы парных сравнений. Модифицированная модель 7 Представляет собой последовательность задач линейного программирования: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆−∆ ∑ ∑∑ ∑ ∈∈ ∈∀ ∆∆ Aij ijijlm Aij ijij Aij rCr ijij )( 2 )( 1 )( , 21 min (5) 12 lnln ijijjiijij WW ∆+≤−≤∆+ γγ , )),(1ln(0)),(1ln(0 2 2 1 1 mmll ijij ∆−≥∆≥∆+≤∆≤ ,,1,0 niWi =≥ (6) где 21 ,, ijijiW ∆∆ — переменные задачи линейного программирования; ml, — натуральные числа, последовательно принимающие значения (1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2) и т. д.; )(),( 21 xx ∆∆ — заданные числовые скалярные функции натурального аргумента, принимающие неотрицательные значе- ния; lmC — коэффициент, определяющийся из соотношения (7); ijr — за- данные весовые коэффициенты. ( ))(1 1ln))(1(ln 2 1 mm Cll lm ∆⋅− =∆⋅+ . (7) При использовании задач (5), (6) для поиска весов функции )(1 x∆ , )(2 x∆ задаются таким образом, что значения )(1 ll ∆⋅ и )(2 mm ∆⋅ на каж- дой итерации (при каждой попытке решения задачи линейного программи- рования (5) и (6) возрастают в небольшом соотношении к их предыдущему значению, а на первой итерации принимают минимально возможные значе- ния. Итерации прекращаются при первом успешном решении задачи линей- ного программирования (5), (6). После этого веса nii ,1,* =ω объектов нахо- дятся из соотношения nie iW i ,1, ** ==ω . В функционалах (3), (5) были добавлены весовые коэффициенты ijr , введение которых позволяет учесть следующую особенность эмпирической матрицы парных сравнений: ее элементы * ijγ тем больше «зашумлены» (от- клонены от истинных идеальных значений), чем больше значение 1−ijγ ( ijγ — идеальное значение эмпирического коэффициента). Соответственно, каждый весовой коэффициент ijr должен принимать тем большее значение, М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 14 чем меньше соответствующее ему 1* −ijγ ( * ijγ — значение элемента эмпи- рической матрицы парных сравнений). Поиск эффективного варианта зада- ния весовых коэффициентов ijr — следующая задача статистического моде- лирования: необходимо для максимально широких допусков изменения параметров, определяющих статистический закон (статистические законы) искажения идеальных значений коэффициентов ijγ как функции параметра 1−ijγ , с помощью статистического моделирования определить усреднен- ные значения весов ijr как функцию параметра 1* −ijγ ( не нарушая общно- сти, можно работать только с 1≥∗ ijγ ; * ijγ — элемент эмпирической матри- цы парных сравнений, то есть искаженное значение коэффициента ijγ ). Тут следует предусмотреть методику опроса экспертов, позволяющую опреде- лить для каждого конкретного случая соответствующий диапазон изменения обозначенных выше параметров. Также наряду с применением модифицированных моделей 2 и 7 в слу- чае наличия дополнительной информации об односторонних ограничениях [3], в эмпирической матрице парных сравнений уместно применение анало- гичных модификаций (введение весовых коэффициентов ijr в функционал качества) моделей оптимизации для эмпирических матриц парных сравне- ний с односторонними ограничениями. ММАИ (реализация 3) Используют для первой и второй модели эмпирической матрицы парных сравнений. Отличие от ММАИ (предыдущие реализации) заключается в том, что имеется только полностью заполненная исходная эмпирическая матрица парных сравнений Γ , и никакие новые эмпирические матрицы парных сравнений построены быть не могут. Реализация 3 полностью иден- тична ММАИ (реал. 1) со следующими изменениями: • выбираемые модели оптимизации зависят от заданного типа пара- метрического вероятностного закона искажения идеальных значений ijγ ; • эмпирические матрицы парных сравнений pii ,1, =Γ строятся по ис- ходной эмпирической матрице парных сравнений Γ . Метод рекомендуется использовать тогда, когда на промежуточном ли- бо последнем этапе получены хорошо согласованные эмпирические матри- цы (матрица) парных сравнений. ММАИ (реализация 4) Эта реализация предназначена для первой модели эмпирической матрицы парных сравнений и используется, когда нужно минимизировать объем ра- боты экспертов. Отличается от ММАИ (реал. 1–3) тем, что на первом этапе исходная последовательность альтернатив miAi ,1, = строится не по эмпи- рической матрице парных сравнений Γ размерности m m× (эта матрица Модифицированный метод анализа иерархий Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 15 отсутствует), а с помощью эксперта (экспертов), то есть экспертным путем устанавливается на множества альтернатив , 1,iA i m= полный предпорядок. Он предварителен и не претендует на точное решение задачи. Примечание. Метод может быть рекомендован к применению, если на промежуточном или последнем этапе получены хорошо согласованные эм- пирические матрицы (матрица) парных сравнений. 2. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) Построение дерева иерархий (рис. 2), нахождение всех весов в виде 1+− − js e js t E E ω реализуется в соответствии с общепризнанными требованиями к методу анализа иерархий [5]. Модификация метода относится к алгоритмам нахож- дения весов s Ei s j s j AE ω=)( , mi ,1= , mj ,1= для варианта, когда число аль- тернатив достаточно велико. Рассмотрим адаптацию ММАИ, введенного для двухуровневой структуры. В этом случае на нижнем уровне имеем sm эмпирических матриц пар- ных сравнений, каждая из которых соответствует одному из критериев ниж- него уровня s jE smj ,1= . По каждой j -й ( smj ,1= ) эмпирической матрице парных сравнений необходимо найти веса )( i s j AE , mi ,1= , которые исполь- зуются для нахождения результирующих весов )(1 1 iAω , mi ,1= , максималь- ный из которых определяет наилучшую альтернативу. 2 1E mA 1 1E 2 jE 2 2mE … … 1 1 −sE 1−s jE 1 1 − − s ms E … … sE1 s jE s ms E … … 1A … Рис. 2. Дерево иерархии Саати М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 16 Обобщение ММАИ на общий случай является очевидным: в каждой реализации модели оптимизации строятся не по одной эмпирической мат- рице парных сравнений (либо предварительному полному предпорядку аль- тернатив — для реал. 4), а по каждой из эмпирических матриц парных срав- нений (или предварительному полному предпорядку альтернатив). При этом необходимо учесть: • для всех реализаций ММАИ на каждом этапе должна быть проведе- на соответствующая нормировка оценок весов по каждой эмпирической матрице парных сравнений; • статистическая эффективность ММАИ для общего случая в целом ниже, чем для двухуровневой структуры, поскольку сказывается эффект на- ложения ошибок определения весов по всем эмпирическим матрицам пар- ных сравнений; • может быть использована комбинация реализаций ММАИ, когда для одних эмпирических матриц парных сравнений строятся модели оптимиза- ции реал. 1, а для других матриц — модели оптимизации реал. 2; • должна быть создана методика экспертного опроса, позволяющая обоснованно определить закон (законы) искажения эмпирических ijγ (эле- ментов эмпирической матрицы парных сравнений), что позволит эффектив- но использовать ММАИ соответствующей реализации; • формальная модель каждой эмпирической матрицы парных сравне- ний последнего уровня иерархии с точностью до задания параметрического вероятностного распределения искажения ее элементов одна и та же; • в предположении, что 1+− − js p js e E E ω (вклад (вес) критерия 1+− js pE в крите- рий js eE − ) ,1,1 −= sj jsme −= ,1 , 1,1 +−= jsmp найдены достоверно, ММАИ (все реализации) корректно находит результирующие веса ( )iAE1 1 , mi ,1= в случае, когда на первом этапе все эмпирические матрицы парных сравнений являются хорошо согласованными. Пример. Применение ММАИ (реализация 3) Имеется набор из 33 альтернатив, идеальные веса которых приведены в табл. 1. Т а б л и ц а 1 . Идеальные веса альтернатив Номер альтернативы Вес Номер альтернативы Вес Номер альтернативы Вес 1 0,00151258 12 0,01577080 23 0,00001561 2 0,00158888 13 0,14156045 24 0,14196682 3 0,00151882 14 0,00016419 25 0,00001630 4 0,00016541 15 0,00150337 26 0,14831544 5 0,00016365 16 0,00001534 27 0,01615903 6 0,00163682 17 0,00001466 28 0,00016182 7 0,00014835 18 0,15142374 29 0,01530455 8 0,00001504 19 0,00001454 30 0,15008005 9 0,14851011 20 0,01407280 31 0,01502626 10 0,00001469 21 0,00015277 32 0,00165360 11 0,00163570 22 0,01571267 33 0,01398511 Модифицированный метод анализа иерархий Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 17 Истинный победитель — альтернатива с наибольшим весом — под но- мером 18 (табл. 1). Эмпирическая матрица парных сравнений (табл. 2–3) исходна из иде- альной (получаемой по табл. 1) путем наложения параметрического вероят- ностного «шума»: элементы * ijγ эмпирической матрицы получены из эле- ментов ijγ идеальной матрицы согласно соотношению (8): ijijijij k γγγ ⋅+=* , (8) где модуль коэффициента ijk распределен равномерно в интервале, грани- цы которого зависят от величины )1( −ijγ (где 1, ≥≠ ijji γ ) согласно табл. 4, а знак принимает равновероятно «+» или «–». Т а б л и ц а 2 . Столбцы 1–17 эмпирической матрицы парных сравнений 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1,0000 0,9032 1,0922 5,1268 5,3012 0,8632 5,3589 52,4727 0,0169 54,6814 0,8571 0,0649 0,0076 5,4131 1,0869 141,217 57,0200 2 1,1072 1,0000 1,0855 13,9788 13,3845 0,9216 6,3642 153,211 0,0203 65,2475 1,0298 0,1669 0,0184 13,5869 1,0073 146,233 62,8188 3 0,9156 0,9212 1,0000 5,4121 13,5966 0,8494 14,9377 144,664 0,0071 53,9333 1,0252 0,0680 0,0201 12,9080 0,9643 142,385 60,4596 4 0,1951 0,0715 0,1848 1,0000 0,9275 0,1896 1,2306 15,7300 0,0019 15,6791 0,0723 0,0075 0,0008 1,0815 0,1943 15,6667 16,3955 5 0,1886 0,0747 0,0735 1,0782 1,0000 0,0695 1,1984 15,7619 0,0008 15,7666 0,0682 0,0074 0,0021 0,9453 0,0754 6,0142 6,6463 6 1,1585 1,0851 1,1772 5,2747 14,3925 1,0000 15,8818 158,809 0,0178 161,773 0,9590 0,1983 0,0189 5,2899 1,0154 56,9367 63,9528 7 0,1866 0,1571 0,0669 0,8126 0,8344 0,0630 1,0000 5,6689 0,0007 14,6180 0,0638 0,0167 0,0007 0,7980 0,1889 5,1703 14,9342 8 0,0191 0,0065 0,0069 0,0636 0,0634 0,0063 0,1764 1,0000 0,0001 0,9644 0,0166 0,0007 0,0002 0,0635 0,0072 1,0397 0,9652 9 59,2241 49,3621 140,861 532,529 1304,24 56,1463 1406,54 14308,5 1,0000 5448,51 133,874 13,1615 0,9537 1259,29 55,0730 13529,8 5922,65 10 0,0183 0,0153 0,0185 0,0638 0,0634 0,0062 0,0684 1,0369 0,0002 1,0000 0,0065 0,0015 0,0001 0,1617 0,0070 0,9205 1,0495 11 1,1667 0,9711 0,9754 13,8297 14,6729 1,0428 15,6770 60,1179 0,0075 154,159 1,0000 0,1863 0,0192 14,1328 1,1854 147,593 159,646 12 15,4150 5,9914 14,7056 134,113 135,064 5,0431 59,9247 1509,20 0,0760 649,132 5,3669 1,0000 0,1843 133,715 5,4694 563,709 643,788 13 131,405 54,3144 49,7480 1264,40 487,184 52,8423 1347,42 5193,38 1,0486 14247,2 51,9493 5,4252 1,0000 494,773 138,433 13456,3 5641,57 14 0,1847 0,0736 0,0775 0,9246 1,0578 0,1890 1,2531 15,7445 0,0008 6,1857 0,0708 0,0075 0,0020 1,0000 0,0744 6,3526 6,1772 15 0,9201 0,9928 1,0370 5,1469 13,2605 0,9848 5,2949 138,121 0,0182 143,080 0,8436 0,1828 0,0072 13,4357 1,0000 138,503 149,395 16 0,0071 0,0068 0,0070 0,0638 0,1663 0,0176 0,1934 0,9618 0,0001 1,0864 0,0068 0,0018 0,0001 0,1574 0,0072 1,0000 1,0078 17 0,0175 0,0159 0,0165 0,0610 0,1505 0,0156 0,0670 1,0361 0,0002 0,9528 0,0063 0,0016 0,0002 0,1619 0,0067 0,9923 1,0000 18 55,0642 134,997 144,046 1288,64 500,541 136,656 559,224 14202,3 1,1019 14865,9 128,479 5,0710 1,1445 1278,89 60,0599 6008,89 14269,8 19 0,0066 0,0065 0,0160 0,0599 0,0611 0,0061 0,0697 1,0699 0,0002 0,9433 0,0062 0,0007 0,0002 0,1502 0,0158 1,0054 1,0734 20 5,4734 12,8247 4,9765 120,315 50,6143 12,1148 135,915 544,905 0,0683 1410,90 12,1346 0,8181 0,0716 118,757 5,1851 1268,35 1388,41 21 0,1796 0,1786 0,1903 0,8906 0,8674 0,1739 1,0992 6,0730 0,0017 6,2932 0,0673 0,0070 0,0019 0,8956 0,1727 14,3928 6,1692 22 14,7945 5,8297 14,9738 139,571 58,6241 13,3957 151,691 572,248 0,0772 1494,62 13,5301 1,1047 0,1799 134,242 6,4566 1424,66 1515,59 23 0,0071 0,0165 0,0181 0,0675 0,0671 0,0069 0,1856 1,0025 0,0002 1,1217 0,0166 0,0017 0,0001 0,0686 0,0188 0,9590 1,1372 24 57,3303 127,518 129,905 453,268 494,334 52,5725 1342,78 13605,8 0,9095 5495,48 126,355 5,6447 0,9455 456,874 132,424 5116,87 5084,78 25 0,0204 0,0074 0,0076 0,1662 0,1858 0,0068 0,0774 1,1553 0,0001 0,9737 0,0071 0,0017 0,0002 0,0681 0,0194 1,1452 1,2236 26 53,6522 136,422 60,0577 1278,76 555,592 132,241 525,193 13811,0 0,9349 14026,8 127,384 13,1927 1,1295 523,184 52,9980 13679,3 14214,3 27 15,0222 5,9448 5,6205 144,067 143,810 14,1571 65,5115 1583,44 0,0745 1622,81 5,6147 0,9451 0,0783 137,591 15,7878 1512,43 1616,31 28 0,1760 0,1845 0,0731 0,9185 0,9187 0,1818 1,1318 15,5985 0,0020 15,8710 0,0677 0,0071 0,0020 1,0558 0,0744 15,0960 6,1054 29 5,6773 13,7759 6,2972 52,3255 131,426 12,8598 54,4732 1473,01 0,0709 1532,19 5,4135 0,9086 0,0745 129,993 14,9821 1475,07 1443,05 30 141,300 134,128 145,244 504,678 1299,63 128,549 1438,30 5989,26 0,9428 5518,62 51,2286 5,8084 1,1300 481,946 144,313 14435,6 14654,6 31 5,4500 13,6454 5,8651 50,0952 131,278 13,1286 62,7663 532,523 0,1661 1442,18 5,2417 1,0573 0,1701 50,9202 5,5638 605,117 576,787 32 1,0530 0,9691 1,0278 14,4082 5,6303 0,9433 5,9740 64,4124 0,0078 69,3033 0,9677 0,0720 0,0084 5,7375 0,9913 63,7951 166,035 33 12,8794 5,4825 13,1500 120,958 124,469 12,1924 55,7850 1307,72 0,0681 1365,06 12,0811 0,8160 0,1608 50,4810 13,3076 556,827 535,982 М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 18 Т а б л и ц а 3 . Столбцы 18–33 эмпирической матрицы парных сравнений 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 1 0,0182 151,324 0,1827 5,5691 0,0676 140,814 0,0174 49,1247 0,0186 0,0666 5,6832 0,1761 0,0071 0,1835 0,9497 0,0776 2 0,0074 153,609 0,0780 5,5989 0,1715 60,4597 0,0078 135,642 0,0073 0,1682 5,4189 0,0726 0,0075 0,0733 1,0319 0,1824 3 0,0069 62,5001 0,2009 5,2560 0,0668 55,1863 0,0077 131,055 0,0167 0,1779 13,6821 0,1588 0,0069 0,1705 0,9729 0,0760 4 0,0008 16,7016 0,0083 1,1228 0,0072 14,8126 0,0022 6,0163 0,0008 0,0069 1,0888 0,0191 0,0020 0,0200 0,0694 0,0083 5 0,0020 16,3731 0,0198 1,1528 0,0171 14,9002 0,0020 5,3831 0,0018 0,0070 1,0885 0,0076 0,0008 0,0076 0,1776 0,0080 6 0,0073 163,543 0,0825 5,7488 0,0747 145,479 0,0190 148,014 0,0076 0,0706 5,5004 0,0778 0,0078 0,0762 1,0601 0,0820 7 0,0018 14,3560 0,0074 0,9098 0,0066 5,3881 0,0007 12,9140 0,0019 0,0153 0,8836 0,0184 0,0007 0,0159 0,1674 0,0179 8 0,0001 0,9346 0,0018 0,1647 0,0017 0,9975 0,0001 0,8656 0,0001 0,0006 0,0641 0,0007 0,0002 0,0019 0,0155 0,0008 9 0,9075 5366,99 14,6319 579,599 12,9572 5418,26 1,0995 12731,3 1,0697 13,4217 499,591 14,1114 1,0607 6,0203 128,133 14,6872 10 0,0001 1,0601 0,0007 0,1589 0,0007 0,8915 0,0002 1,0270 0,0001 0,0006 0,0630 0,0007 0,0002 0,0007 0,0144 0,0007 11 0,0078 160,312 0,0824 14,8481 0,0739 60,3212 0,0079 139,880 0,0079 0,1781 14,7762 0,1847 0,0195 0,1908 1,0334 0,0828 12 0,1972 1532,69 1,2223 142,878 0,9052 594,062 0,1772 586,625 0,0758 1,0581 140,640 1,1006 0,1722 0,9458 13,8819 1,2255 13 0,8737 6036,28 13,9660 519,634 5,5600 12744,6 1,0577 4904,05 0,8854 12,7782 499,453 13,4211 0,8850 5,8774 119,720 6,2179 14 0,0008 6,6591 0,0084 1,1166 0,0074 14,5858 0,0022 14,6810 0,0019 0,0073 0,9472 0,0077 0,0021 0,0196 0,1743 0,0198 15 0,0167 63,1439 0,1929 5,7916 0,1549 53,2085 0,0076 51,4141 0,0189 0,0633 13,4465 0,0667 0,0069 0,1797 1,0087 0,0751 16 0,0002 0,9947 0,0008 0,0695 0,0007 1,0428 0,0002 0,8732 0,0001 0,0007 0,0662 0,0007 0,0001 0,0017 0,0157 0,0018 17 0,0001 0,9316 0,0007 0,1621 0,0007 0,8793 0,0002 0,8173 0,0001 0,0006 0,1638 0,0007 0,0001 0,0017 0,0060 0,0019 18 1,0000 14797,2 6,0413 550,998 5,4545 5344,10 1,0219 13403,8 1,0980 5,2230 1369,41 5,5642 0,9388 5,5042 49,8354 15,5512 19 0,0001 1,0000 0,0018 0,1732 0,0016 0,8903 0,0001 0,8169 0,0002 0,0016 0,0635 0,0017 0,0002 0,0007 0,0158 0,0007 20 0,1655 551,261 1,0000 128,594 0,9810 1256,69 0,1645 1232,18 0,1766 0,7869 51,1350 0,8576 0,0648 0,9842 4,5847 0,9681 21 0,0018 5,7741 0,0078 1,0000 0,0069 5,7021 0,0020 5,2601 0,0007 0,0179 1,0359 0,0172 0,0019 0,0193 0,0634 0,0185 22 0,1833 634,813 1,0193 144,469 1,0000 604,452 0,1811 1355,20 0,1811 1,0278 140,042 1,0608 0,1751 1,1108 13,0403 1,3205 23 0,0002 1,1232 0,0008 0,1754 0,0017 1,0000 0,0001 1,0247 0,0001 0,0007 0,1600 0,0007 0,0001 0,0007 0,0067 0,0019 24 0,9785 14432,9 6,0801 499,559 5,5226 13127,0 1,0000 4950,99 0,9922 12,0660 1233,99 5,6742 1,0398 5,2543 122,766 14,2274 25 0,0001 1,2242 0,0008 0,1901 0,0007 0,9759 0,0002 1,0000 0,0001 0,0018 0,1824 0,0018 0,0001 0,0020 0,0070 0,0020 26 0,9107 5733,81 5,6613 1347,02 5,5223 13983,1 1,0079 12850,1 1,0000 5,7723 535,334 5,7781 1,0836 13,8538 131,441 6,0048 27 0,1915 631,701 1,2708 55,7118 0,9729 1519,92 0,0829 542,225 0,1732 1,0000 144,654 0,9694 0,1972 0,9897 5,2898 0,9429 28 0,0007 15,7580 0,0196 0,9653 0,0071 6,2517 0,0008 5,4823 0,0019 0,0069 1,0000 0,0072 0,0008 0,0075 0,0699 0,0083 29 0,1797 602,966 1,1660 58,0659 0,9427 1406,08 0,1762 568,216 0,1731 1,0316 138,049 1,0000 0,1931 0,9734 5,1820 0,9956 30 1,0652 6340,40 15,4400 514,920 5,7095 14156,2 0,9617 12710,3 0,9228 5,0699 1299,40 5,1776 1,0000 13,9316 127,020 6,6037 31 0,1817 1466,18 1,0160 51,7025 0,9002 1391,22 0,1903 502,672 0,0722 1,0104 133,945 1,0273 0,0718 1,0000 5,3942 0,9849 32 0,0201 63,4354 0,2181 15,7815 0,0767 149,834 0,0081 142,343 0,0076 0,1890 14,3007 0,1930 0,0079 0,1854 1,0000 0,0869 33 0,0643 1400,65 1,0329 54,1126 0,7573 533,254 0,0703 497,316 0,1665 1,0605 120,031 1,0044 0,1514 1,0153 11,5027 1,0000 Т а б л и ц а 4 . Интервалы равномерного распределения модуля коэффи- циента зашумления, в зависимости от величины элементов идеальной мат- рицы парных сравнений Интервал принадлежности ijγ ( 1, ≥≠ ijji γ ) Интервал принадлежности \|\| ijk 1 0 (1,0; 1,1] (0,030; 0,100) (1,1; 1,3] (0,070; 0,190) (1,3; 1,6] (0,110; 0,343) (1,6; 2,0] (0,180; 0,388) (2,0; 2,5] (0,220; 0,329) (2,5; 3,1] (0,250; 0,367) (3,1; 3,8] (0,280; 0,400) (3,8; 4,6] (0,300; 0,428) (4,6; 5,5] (0,320; 0,450) (5,5; 6,5] (0,340; 0,465) (6,5; 7,6] (0,350; 0,473) (7,6; 8,8] (0,360; 0,477) (8,8; 10,1] (0,370; 0,478) (10,1; ∞ ) (0,380; 0,479) Модифицированный метод анализа иерархий Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 19 С помощью модифицированной модели 2 (весовые коэффициенты ijr заданы согласно табл. 5) получаем предварительное упорядочивание аль- тернатив (табл. 6). Т а б л и ц а 5 . Выбираемые значения весовых коэффициентов функцио- нала модифицированной модели 2, в зависимости от величины элементов эмпирической матрицы парных сравнений Интервал принадлежности * ijγ ( 1, * ≥≠ ijji γ ) Значение ijr 1 200 (1,0; 1,1) 150 (1,1; 1,3) 120 (1,3; 1,6) 90 (1,6; 2,0) 60 (2,0; 2,5) 50 (2,5; 3,1) 40 (3,1; 3,8) 30 (3,8; 4,6) 20 (4,6; 5,5) 15 (5,5; 6,5) 12 (6,5; 7,6) 10 (7,6; 8,8) 8 (8,8; 10,1) 5 (10,1; ∞ ) 1 Т а б л и ц а 6 . Веса альтернатив, полученные из эмпирической матрицы парных сравнений с помощью модифицированной модели 2, упорядоченные по убыванию П оз иц ия пр и уп ор . по у бы в. Вес Н ом ер ал ьт ер н. П оз иц ия пр и уп ор . по у бы в. Вес Н ом ер ал ьт ер н. П оз иц ия пр и уп ор . по у бы в. Вес Н ом ер ал ьт ер н. 1 0,10210659 9 12 0,01608996 33 23 0,01557709 15 2 0,09750607 18 13 0,01557709 3 24 0,01557709 16 3 0,09626518 30 14 0,01557709 23 25 0,01557709 17 4 0,09545778 26 15 0,01557709 32 26 0,01557709 19 5 0,09471102 24 16 0,01557709 1 27 0,01557709 28 6 0,08519208 13 17 0,01557709 2 28 0,01557709 6 7 0,01776083 12 18 0,01557709 4 29 0,01557709 7 8 0,01752419 22 19 0,01557709 5 30 0,01557709 8 9 0,01696048 31 20 0,01557709 10 31 0,01557709 20 10 0,01678634 27 21 0,01557709 11 32 0,01557709 21 11 0,01652056 29 22 0,01557709 14 33 0,01557709 25 В табл. 7 приведены упорядоченные по убыванию веса альтернатив, найденные с помощью классической процедуры (поиск весов как элементов М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 20 собственного вектора матрицы парных сравнений, отвечающего её макси- мальному собственному числу). В наборе весов, полученном с помощью классической процедуры, истинный победитель занял четвертую позицию по весу, что на две позиции хуже результата применения модифицирован- ной модели 2 (табл. 6). Т а б л и ц а 7 . Веса альтернатив, полученные из эмпирической матрицы парных сравнений с помощью классической процедуры Саати, упорядочен- ные по убыванию П оз иц ия пр и уп ор . по у бы в. Вес Н ом ер ал ьт ер н. П оз иц ия пр и уп ор . по у бы в. Вес Н ом ер ал ьт ер н. П оз иц ия пр и уп ор . по у бы в. Вес Н ом ер ал ьт ер н. 1 0,15417270 30 12 0,01526088 20 23 0,00017919 14 2 0,15318277 9 13 0,01463576 31 24 0,00017688 5 3 0,14917823 26 14 0,00197034 11 25 0,00017261 7 4 0,14698100 18 15 0,00170721 2 26 0,00016859 28 5 0,13525557 24 16 0,00168041 32 27 0,00001927 25 6 0,13280951 13 17 0,00167079 15 28 0,00001773 23 7 0,01930557 22 18 0,00166100 6 29 0,00001749 17 8 0,01740384 27 19 0,00162948 3 30 0,00001690 19 9 0,01672484 12 20 0,00149014 1 31 0,00001640 16 10 0,01667751 29 21 0,00019562 4 32 0,00001610 8 11 0,01540729 33 22 0,00018249 21 33 0,00001590 10 Далее в примере будем использовать только данные табл. 6, а данные табл. 7 приведены лишь для сравнения полученного результата. Этап 1. Формируем матрицы iΓ , положим 91 =m , 42 =m . Альтерна- тивы для новых матриц парных сравнений отбираются в порядке, заданном табл. 6 (сортировка по убыванию найденных весов). Матрицы iΓ размерно- сти 99× наполняются соответствующими элементами исходной большой эмпирической матрицы парных сравнений. В данном примере 1Γ (табл. 8) наполняется элементами исходной эм- пирической матрицы парных сравнений, которые являются отношениями альтернатив с номерами 9, 18, 30, 26, 24, 13, 12, 22, 31. Веса, найденные по 1Γ с помощью модифицированной модели 2, приведены в табл. 9. Т а б л и ц а 8 . Эмпирическая матрица 1Γ этапа 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1,0000 0,9075 1,0607 1,0697 1,0995 0,9537 13,1615 12,9572 6,0203 2 1,1019 1,0000 0,9388 1,0980 1,0219 1,1445 5,0710 5,4545 5,5042 3 0,9428 1,0652 1,0000 0,9228 0,9617 1,1300 5,8084 5,7095 13,9316 4 0,9349 0,9107 1,0836 1,0000 1,0079 1,1295 13,1927 5,5223 13,8538 5 0,9095 0,9785 1,0398 0,9922 1,0000 0,9455 5,6447 5,5226 5,2543 6 1,0486 0,8737 0,8850 0,8854 1,0577 1,0000 5,4252 5,5600 5,8774 7 0,0760 0,1972 0,1722 0,0758 0,1772 0,1843 1,0000 0,9052 0,9458 8 0,0772 0,1833 0,1751 0,1811 0,1811 0,1799 1,1047 1,0000 1,1108 9 0,1661 0,1817 0,0718 0,0722 0,1903 0,1701 1,0573 0,9002 1,0000 Модифицированный метод анализа иерархий Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 21 Т а б л и ц а 9 . Веса, найденные по матрице 1Γ этапа 1 Номер альтернативы Вес Позиция по убыванию 9 0,06097410 2 18 0,06259275 1 30 0,05748584 3 26 0,05700369 4 24 0,05655775 5 13 0,05468794 6 12 0,01147551 7 22 0,01147551 8 31 0,01147551 9 В новую последовательность добавляем 2m лучших (с наибольшим ве- сом) альтернатив – альтернативы с номерами 18, 9, 30, 26. Худшая альтер- натива (с наименьшим весом) — под номером 31 — будет первой альтерна- тивой при формировании 2Γ . Остальные 8 для 2Γ берутся из табл. 6. Итак, 2Γ (табл. 10) формируется из парных сравнений альтернатив под номерами 31, 27, 29, 33, 3, 23, 32, 1, 2. Т а б л и ц а 1 0 . Эмпирическая матрица 2Γ этапа 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1,0000 1,0104 1,0273 0,9849 5,8651 1391,2246 5,3942 5,4500 13,6454 2 0,9897 1,0000 0,9694 0,9429 5,6205 1519,9229 5,2898 15,0222 5,9448 3 0,9734 1,0316 1,0000 0,9956 6,2972 1406,0836 5,1820 5,6773 13,7759 4 1,0153 1,0605 1,0044 1,0000 13,1500 533,2543 11,5027 12,8794 5,4825 5 0,1705 0,1779 0,1588 0,0760 1,0000 55,1863 0,9729 0,9156 0,9212 6 0,0007 0,0007 0,0007 0,0019 0,0181 1,0000 0,0067 0,0071 0,0165 7 0,1854 0,1890 0,1930 0,0869 1,0278 149,8346 1,0000 1,0530 0,9691 8 0,1835 0,0666 0,1761 0,0776 1,0922 140,8144 0,9497 1,0000 0,9032 9 0,0733 0,1682 0,0726 0,1824 1,0855 60,4597 1,0319 1,1072 1,0000 Т а б л и ц а 1 1 . Веса, найденные по матрице 2Γ этапа 1 Номер альтернативы Вес Позиция по убыванию 31 0,00110418 2 27 0,00105706 4 29 0,00109047 3 33 0,00112105 1 3 0,00018837 8 23 0,00018837 9 32 0,00019983 6 1 0,00018977 7 2 0,00020448 5 М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 22 Поскольку альтернатива под номером 31 не является лучшей в полу- ченном наборе весов (табл. 11), то в новую последовательность добавляем альтернативы с номерами 33, 31, 29, 27. Строим 3Γ по аналогии с 2Γ (табл. 12). Т а б л и ц а 1 2 . Эмпирическая матрица 3Γ этапа 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1,0000 0,0675 0,0671 1,1217 0,0166 0,0686 0,0188 0,9590 1,1372 2 14,8126 1,0000 0,9275 15,6791 0,0723 1,0815 0,1943 15,6667 16,3955 3 14,9002 1,0782 1,0000 15,7666 0,0682 0,9453 0,0754 6,0142 6,6463 4 0,8915 0,0638 0,0634 1,0000 0,0065 0,1617 0,0070 0,9205 1,0495 5 60,3212 13,8297 14,6729 154,1597 1,0000 14,1328 1,1854 147,5933 159,6461 6 14,5858 0,9246 1,0578 6,1857 0,0708 1,0000 0,0744 6,3526 6,1772 7 53,2085 5,1469 13,2605 143,0801 0,8436 13,4357 1,0000 138,5036 149,3953 8 1,0428 0,0638 0,1663 1,0864 0,0068 0,1574 0,0072 1,0000 1,0078 9 0,8793 0,0610 0,1505 0,9528 0,0063 0,1619 0,0067 0,9923 1,0000 Т а б л и ц а 1 3 . Веса, найденные по матрице 3Γ этапа 1 Номер альтернативы Вес Позиция по убыванию 23 0,00090574 6 4 0,00605951 3 5 0,00529639 5 10 0,00090574 7 11 0,03697101 1 14 0,00560263 4 15 0,03118792 2 16 0,00090574 8 17 0,00090574 9 Поскольку альтернатива под номером 23 не является лучшей в полу- ченном наборе весов (табл. 13), то в новую последовательность добавляем альтернативы с номерами 11, 15, 4, 14. Строим 4Γ по аналогии с 3Γ (табл. 14). Т а б л и ц а 1 4 . Эмпирическая матрица 4Γ этапа 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1,0000 0,9316 0,1638 0,0156 0,0670 1,0361 0,0007 0,1621 0,8173 2 1,0734 1,0000 0,0635 0,0061 0,0697 1,0699 0,0018 0,1732 0,8169 3 6,1054 15,7580 1,0000 0,1818 1,1318 15,5985 0,0196 0,9653 5,4823 4 63,9528 163,5431 5,5004 1,0000 15,8818 158,8093 0,0825 5,7488 148,0140 5 14,9342 14,3560 0,8836 0,0630 1,0000 5,6689 0,0074 0,9098 12,9140 6 0,9652 0,9346 0,0641 0,0063 0,1764 1,0000 0,0018 0,1647 0,8656 7 1388,4185 551,2618 51,1350 12,1148135,9155544,9050 1,0000 128,5940 1232,1875 8 6,1692 5,7741 1,0359 0,1739 1,0992 6,0730 0,0078 1,0000 5,2601 9 1,2236 1,2242 0,1824 0,0068 0,0774 1,1553 0,0008 0,1901 1,0000 Модифицированный метод анализа иерархий Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 23 Т а б л и ц а 1 5 . Веса, найденные по матрице 4Γ этапа 1 Номер альтернативы Вес Позиция по убыванию 17 0,00030470 8 19 0,00032706 6 28 0,00150134 3 6 0,00838226 2 7 0,00132653 5 8 0,00030568 7 20 0,18029530 1 21 0,00145808 4 25 0,00030470 9 Поскольку альтернатива под номером 17 не является лучшей в полу- ченном наборе весов (табл. 15), то в новую последовательность добавляем альтернативы с номерами 20, 6, 28, 21. В завершении первого этапа новая последовательность альтернатив со- держит альтернативы с номерами 18, 9, 30, 26, 33, 31, 29, 27, 11, 15, 4, 14, 20, 6, 28, 21. Этап 2. Матрица 1Γ этапа 2 (табл. 16) формируется по аналогии с 1Γ первого этапа с учетом новой последовательности альтернатив. Т а б л и ц а 1 6 . Эпирическая матрица 1Γ этапа 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1,0000 1,1019 0,9388 1,0980 15,5512 5,5042 5,5642 5,2230 128,4790 2 0,9075 1,0000 1,0607 1,0697 14,6872 6,0203 14,1114 13,4217 133,8741 3 1,0652 0,9428 1,0000 0,9228 6,6037 13,9316 5,1776 5,0699 51,2286 4 0,9107 0,9349 1,0836 1,0000 6,0048 13,8538 5,7781 5,7723 127,3846 5 0,0643 0,0681 0,1514 0,1665 1,0000 1,0153 1,0044 1,0605 12,0811 6 0,1817 0,1661 0,0718 0,0722 0,9849 1,0000 1,0273 1,0104 5,2417 7 0,1797 0,0709 0,1931 0,1731 0,9956 0,9734 1,0000 1,0316 5,4135 8 0,1915 0,0745 0,1972 0,1732 0,9429 0,9897 0,9694 1,0000 5,6147 9 0,0078 0,0075 0,0195 0,0079 0,0828 0,1908 0,1847 0,1781 1,0000 Т а б л и ц а 1 7 . Веса, найденные по матрице 1Γ этапа 2 Номер альтернативы Вес Позиция по убыванию 18 0,01047626 1 9 0,01020534 2 30 0,00962151 3 26 0,00954081 4 33 0,00189101 6 31 0,00190231 5 29 0,00188278 7 27 0,00188278 8 11 0,00188278 9 М.З. Згуровский, А.А. Павлов, А.С. Штанькевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 1 24 В полученном наборе весов (табл. 17) альтернатива под номером 18 сохранила свою позицию лучшей альтернативы. Она участвует в формиро- вании 2Γ (табл. 18), для построения которой также используются альтерна- тивы 15, 4, 14, 20, 6, 28, 21. Альтернативу 18 включаем в новую последова- тельность, поскольку это лучшая альтернатива по первой матрице. Матрица 2Γ этапа 2 имеет размерность 88× . Т а б л и ц а 1 8 . Эмпирическая матрица 2Γ этапа 2 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0,0010 0,0601 1,2886 1,2789 0,0060 0,1367 1,3694 0,5510 2 0,0000 0,0010 0,0051 0,0134 0,0002 0,0010 0,0134 0,0058 3 0,0000 0,0002 0,0010 0,0011 0,0000 0,0002 0,0011 0,0011 4 0,0000 0,0001 0,0009 0,0010 0,0000 0,0002 0,0009 0,0011 5 0,0002 0,0052 0,1203 0,1188 0,0010 0,0121 0,0511 0,1286 6 0,0000 0,0010 0,0053 0,0053 0,0001 0,0010 0,0055 0,0057 7 0,0000 0,0001 0,0009 0,0011 0,0000 0,0002 0,0010 0,0010 8 0,0000 0,0002 0,0009 0,0009 0,0000 0,0002 0,0010 0,0010 Т а б л и ц а 1 9 . Веса, найденные по матрице 2Γ этапа 2 Номер альтернативы Вес Позиция по убыванию 11 0,15275427 1 15 0,00150174 4 4 0,00027723 5 14 0,00027723 6 20 0,02528520 2 6 0,00152488 3 28 0,00027723 7 21 0,00027723 8 В полученном наборе весов (табл. 19) альтернатива под номером 11 со- хранила свою позицию лучшей альтернативы. В новую последовательность ничего не включаем. В завершении второго этапа новая последовательность альтернатив со- держит лишь одну альтернативу под номером 18. Этап 3. Последовательность содержит лишь одну альтернативу (под номером 18), которая и выбирается в качестве победителя. Альтернатива 18 — победитель, что совпадает с исходным идеальным набором весов. Задача нахождения победителя решена правильно. ЛИТЕРАТУРА 1. Павлов А.А., Лищук Е.И., Кут В.И. Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов в методе парных сравнений // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2007. — № 2. — С. 13–21. 2. Павлов А.А., Лищук Е.И., Кут В.И. Многокритериальный выбор в задаче обработки данных матрицы парных сравнений // Вісник НТУУ «КПІ». Модифицированный метод анализа иерархий Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 1 25 Інформатика, управління та обчислювальна техніка. — Киев: ВЕК+, 2007. — № 46. — С. 84–88. 3. Павлов А.А., Кут В.И., Штанькевич А.С. Нахождение весов по матрице парных сравнений с односторонними ограничениями // Вісник НТУУ «КПІ». Інформатика, управління та обчислювальна техніка. — Киев: ВЕК+, 2008. — № 46. — 8 с. 4. Павлов А.А., Кут В.И. Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов по неоднородным матрицам парных сравнений // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2007. — № 3. — С. 3–22. 5. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1989. — 316 с. 6. Saaty T. Multycriteric Decision Making. The Analytic Hierarchy Process. — N.Y.: McGraw Hill International, 1980. — 300 p. 7. Саати Т.Л., Кернс П.К. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1991. — 223 с. 8. Экланд И. Элементы математической экономики. — М.: Мир, 1983. — 245 с. 9. Павлов А.А., Штанькевич А.С., Иванова А.А., Логинов М.И., Кут В.И. Система моделирования оптимизационных методов нахождения весов объектов в задаче многокритериального выбора по матрицам парных сравнений // Адаптивные системы автоматического управления. — 2008. — № 32. — С. 104–111. Поступила 23.11.2009

Модифицированный метод анализа иерархий

Institution

Ähnliche Einträge