Узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій
Запроваджено нове узагальнення класичних конфлюентних гіпергеометричних функцій. Подано деякі їх властивості, зокрема інтегральне зображення, застосування.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49795 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій / Н.О. Вiрченко // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 7-11. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-49795 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-497952013-09-29T03:06:07Z Узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій Вірченко, Н.О. Математика Запроваджено нове узагальнення класичних конфлюентних гіпергеометричних функцій. Подано деякі їх властивості, зокрема інтегральне зображення, застосування. Введено новое обобщение классических конфлюэнтных гипергеометрических функций. Даны их некоторые свойства, в частности интегральные изображения, применения. A new generalization of the classical confluent hypergeometric functions is introduced. Some properties, in particular, integral representations and applications of these functions, are given. 2012 Article Узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій / Н.О. Вiрченко // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 7-11. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49795 517.58/.5892 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Вірченко, Н.О. Узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій Доповіді НАН України |
| description |
Запроваджено нове узагальнення класичних конфлюентних гіпергеометричних функцій. Подано деякі їх властивості, зокрема інтегральне зображення, застосування. |
| format |
Article |
| author |
Вірченко, Н.О. |
| author_facet |
Вірченко, Н.О. |
| author_sort |
Вірченко, Н.О. |
| title |
Узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій |
| title_short |
Узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій |
| title_full |
Узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій |
| title_fullStr |
Узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій |
| title_full_unstemmed |
Узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій |
| title_sort |
узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49795 |
| citation_txt |
Узагальнення конфлюентних гіпергеометричних функцій / Н.О. Вiрченко // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 7-11. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT vírčenkono uzagalʹnennâkonflûentnihgípergeometričnihfunkcíj |
| first_indexed |
2025-07-04T11:03:25Z |
| last_indexed |
2025-07-04T11:03:25Z |
| _version_ |
1836714039492739072 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2012
МАТЕМАТИКА
УДК 517.58/.5892
© 2012
Н.О. Вiрченко
Узагальнення конфлюентних гiпергеометричних
функцiй
(Представлено академiком НАН України М.О. Перестюком)
Запроваджено нове узагальнення класичних конфлюентних гiпергеометричних функцiй.
Подано деякi їх властивостi, зокрема iнтегральне зображення, застосування.
Як вiдомо [1–8], спецiальнi функцiї з’являються при розв’язаннi складнiших диференцiаль-
них рiвнянь при знаходженнi власних функцiй диференцiальних операторiв у деяких кри-
волiнiйних системах координат та iн. Спецiальнi функцiї вiдiграють важливу роль i в теорiї
iнтегральних перетворень. Розв’язання багатьох задач математичної фiзики, теорiї дифе-
ренцiальних рiвнянь, теорiї iмовiрностей та математичної статистики, теорiї теплопровiд-
ностi, аеромеханiки, квантової механiки, астрофiзики, астрономiї, бiомедицини та iн. при-
водить до спецiальних функцiй рiзної природи та складностi.
Рiзноманiтнiсть задач, що породжують спецiальнi функцiї, веде до зростання кiлькостi
спецiальних функцiй — вiд найпростiших функцiй до гiпергеометричних функцiй рiзної
природи.
Гiпергеометричнi функцiї вiдiграють особливо важливу роль як в теорiї, так i в застосу-
ваннях, при розв’язаннi багатьох задач у рiзноманiтних галузях прикладної математики та
фiзики. В останнi десятирiччя посилився iнтерес до узагальнення гiпергеометричних функ-
цiй, дослiджуються частиннi випадки, що мають не тiльки теоретичне, але й практичне
значення, зокрема узагальненi конфлюентнi гiпергеометричнi функцiї. Вони вже знаходять
широке застосування у математичнiй та атомнiй фiзицi, теорiї ймовiрностей, теорiї коду-
вання та iн., використовуються для обчислення невласних iнтегралiв, що вiдсутнi в наявнiй
та довiдковiй науковiй лiтературi.
Конфлюентними (виродженими) гiпергеометричними функцiями називають чотири
функцiї [1]: функцiї Куммера 1Φ1(a; c; z),
⋃
(a; c;x) i двi функцiї Вiттекера Mk,m(x), Wk,m(x).
З цими функцiями вперше зiткнулися фiзики при розв’язаннi рiвняння вигляду
∇2Ψ+
8π2M
h2
(
E +
µ
r
)
Ψ = 0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 7
де
∇2 ≡ ∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
> Ψ = Ψ(r, θ,Φ).
У цiй роботi подамо нове узагальнення функцiй 1Φ1(a; c; z),
⋃
(a; c;x), а саме: r-
узагальненi конфлюентнi гiпергеометричнi функцiї: r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x), r
1Φ
τ
1(a; c;x),
r
1Φ1(a; c;x),
r
⋃τ,β(a; c;x), r
⋃τ (a; c;x), r
⋃
(a; c;x), розглянемо їх основнi властивостi, iнтегральнi зобра-
ження, деякi застосування.
r-узагальненi конфлюентнi гiпергеометричнi функцiї.
1. Запровадимо r-узагальнену конфлюентну гiпергеометричну функцiю r
1Φ
τ,β
1 у виглядi
r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x) ≡ r
1Φ̃1(a; c;x) =
1
B(a, c− a)
1∫
0
ta−1(1− t)c−a−1ext ×
× 1Φ
τ,β
1
(
α; γ;− r
t(1 − t)
)
dt, (1)
де Re c > Re a > 0, {τ, β} ⊂ R, τ − β < 1, r > 0, B(. . .) — бета-функцiя [1], Re γ > Reα > 0,
{α, γ} ⊂ R, 1Φ
τ,β
1 (. . .) — (τ, β)-узагальнена конфлюентна гiпергеометрична функцiя [9]:
1Φ
τ,β
1 =
1
B(a, c− a)
1∫
0
ta−1(1− t)c−a−1
1Ψ1
[
(c; τ);
(c;β);
∣∣∣∣∣ zt
τ
]
dt, (2)
1Ψ1 — узагальненa Fox–Wright функцiя [5].
Зауважимо, що при β = τ в (2) маємо функцiю 1Φ
τ
1 , водночас iз (1) — функцiю r
1Φ
τ
1 ; при
τ = β = 1, r = 0 (1) дає класичну конфлюентну гiпергеометричну функцiю 1Φ1(a; c;x).
Вивчимо властивостi r
1Φ
τ,β
1 .
Теорема 1 (зображення функцiї r
1Φ
τ,β
1 рядом). При виконаннi умов r > 0, Re c > Re a >
> 0, {τ, β} ⊂ R, τ − β < 1, Re γ > Reα > 0 зображення рядом для функцiї r
1Φ
τ,β
1 матиме
вигляд
r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x) =
1
B(a, c− a)
∞∑
n=0
τ,βB
γ
α(a+ n, c− a; r)
xn
n!
, (3)
τ,βB
γ
α − (τ, β) — узагальнена бета-функцiя [7]:
τ,βB
γ
α(x, y; r; δ;ω) =
1∫
0
tx−1(1− t)y−1
1Φ
τ,β
1
(
α; γ;− r
tδ(1− t)ω
)
dt, (4)
тут Rex > 0, Re y > 0, δ > 0, Ω > 0, 1Φ
τ,β
1 — функцiя вигляду (2).
Доведення. Скористаємось означенням (τ, β)-узагальненої бета-функцiї (4), її власти-
востями, зображенням рядом, можливiстю перестановки операцiй iнтегрування i пiдсумо-
вування, матимемо
r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x) =
1
B(a, c− a)
1∫
0
ta−1(1− t)c−a−1ext1Φ
τ,β
1
(
α; γ;− r
t(1 − t)
)
dt =
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
=
1
B(a, c− a)
∞∑
n=0
(xt)n
n!
1∫
0
ta−1(1− t)c−a−1
1Φ
τ,β
1
(
α; γ;− r
t(1 − t)
)
dt =
=
1
B(a, c− a)
∞∑
n=0
τ,βB
γ
α(a+ n, c− a; r)
xn
n!
.
Теорема 2 (диференцiальнi спiввiдношення для r
1Φ
τ,β
1 ). При умовах iснування функцiї
r
1Φ
τ,β
1 справедливi формули
dr1Φ
τ,β
1 (a; c;x)
dx
=
a
c
r
1Φ
τ,β
1 (a+ 1; c + 1;x), (5)
dnr1Φ
τ,β
1 (a; c;x)
dxn
=
(a)n
(c)n
r
1Φ
τ,β
1 (a+ n; c+ n;x). (6)
Теорема 3 (iнтегральнi зображення функцiї r1Φ
τ,β
1 ). При умовах iснування функцiї r
1Φ
τ,β
1
справедливi такi iнтегральнi зображення:
r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x) =
ex
B(a, c− a)
1∫
0
wc−a−1(1− w)a−1e−xw
1Φ
τ,β
1
(
α; γ,− r
w(1 −w)
)
dw, (7)
r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x) =
x1−c
B(a, c− a)
x∫
0
va−1(x− v)c−a−1ev1Φ
τ,β
1
(
α; γ,− rx2
v(x − v)
)
dv, (8)
r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x) =
exp
(
− cx
(d−c)
)
B(a, c− a)
(d− c)1−c
d∫
c
(u− c)a−1(d− u)c−a−1 ×
× exp
(
xu
(d− c)
)
1Φ
τ,β
1
(
α; γ,− r(d− c)
(u − c)(d − u)
)
du, (9)
r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x) =
2
B(a, c− a)
π
2∫
0
tg2a ϕ(cosϕ)2c−1ez sin
2 ϕ
1Φ
τ,β
1
(
α; γ,− 4r
sin2 2ϕ
)
dϕ, (10)
r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x) =
2
B(a, c− a)
∞∫
0
sh2a−1 ω
ch2c−1 ω
ex th2 ω
1Φ
τ,β
1
(
α; γ,−r ch4 ω
sh2 ω
)
dω. (11)
Доведення. Для перевiрки цих iнтегральних зображень скористаємося означенням
функцiї r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x) (формули (1)), виконаємо вiдповiдно замiни змiнних: w = 1− t; v = tx;
u = c + (d − c)t; t = sin2 ϕ; t = sh2 ω/ch2 ω. Пiсля перетворень отримаємо вiдповiдно фор-
мули (7)–(11).
Теорема 4 (про зв’язок функцiї r
1Φ̃1 з класичною виродженою (конфлюентною) гiпер-
геометричною функцiєю). При умовах iснування функцiї r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x), а також при s > 0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 9
α > s; γ > s справедлива формула
∞∫
0
rs−1r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x) dr =
Γ(s)B(s, α− s)
B(a, c− a)B(s, γ − s)
Φ(a+ s; c+ 2s;x), (12)
де Φ(. . .) — класична конфлюентна гiпергеометрична функцiя [1].
Доведення. Застосуємо до функцiї r
1Φ̃1 iнтегральне перетворення Меллiна:
∞∫
0
rs−1r
1Φ
τ,β
1 (a; c;x)dr =
1
B(a, c− a)
∞∫
0
rs−1dr
1∫
0
ta−1(1− t)c−a−1ext ×
× 1Φ
τ,β
1
(
α; γ;− r
t(1− t)
)
dt =
∞∫
0
rs−1dr
1
B(a, c − a)
1∫
0
ta−1(1− t)c−a−1ext ×
× 1
B(α, γ − α)
1∫
0
ωα−1(1− ω)γ−α−1e
−
r
t(1−t)
ω
dω =
=
1
B(a, c−a)B(α, γ −α)
1∫
0
ta−1(1−t)c−a−1ext
1∫
0
ωα−1(1−ω)γ−α−1dω
∞∫
0
rs−1e
−
r
t(1−t)
ω
dr.
Застосувавши до останнього iнтеграла формулу [1]
∞∫
0
e−sttνdt = Γ(1 + ν)s−1−ν ,
використавши простi перетворення, врахувавши, що
1∫
0
ωα−s−1(1− ω)γ−α−1dω = B(α− s, γ − α),
одержимо (12).
2. Запровадимо r-узагальнену конфлюентну функцiю Трiкомi у виглядi
r
⋃τ,β(a; c;x) =
1
Γ(a)
∞∫
0
ta−1(1 + t)c−a−1e−xt
1Φ
τ,β
1
(
α; γ;− r
tδ
)
dt, (13)
де Re a > Re c > 0, {τ, β} ⊂ R; τ > 0; τ − β < 1, {a, c} ⊂ C; δ > 0, r > 0, Reα > Re γ > 0;
Γ(a) — гамма-функцiя [1], 1Φ
τ,β
1 (. . .) — (τ, β)-узагальнена конфлюентна гiпергеометрична
функцiя [9].
Зауважимо, що при r = 0 матимемо класичну конфлюентну гiпергеометричну функ-
цiю
⋃
(a; c;x) [1], при β = τ матимемо r-узагальнену конфлюентну функцiю з 1Φ
τ
1(. . .)
в ядрi (13).
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
Теорема 5 (про зв’язок функцiї r ⋃τ,β(a; c;x) з функцiєю Вiттекера Wk,m(x)). При умо-
вах iснування функцiї r ⋃τ,β(a; c;x) та при умовах
Rex > 0, Re(a− δn) > 0
справедлива формула
r
⋃τ,β(a; c;x) =
exx−
c
2Γ(γ)
Γ(a)Γ(α)
∞∑
n=0
Γ(α+ τn)
Γ(γ + βn)
(−r)n
n!
x
δn
2 Γ(a− δn)W
(x)
1−a+δn
2
, c−δn−1
2
. (14)
Примiтка. Формулу (14) при тих самих умовах можна переписати у виглядi
r⋃τ,β(a; c;x) =
exx−a+ 1
2Γ(γ)√
πΓ(a)Γ(α)
∞∑
n=0
Γ(α+ τn)
Γ(γ + βn)
(−r)n
n!
xδnΓ(a− δn)K 1
2
−a+δn
(
x
2
)
. (15)
Тут K 1
2
−a+δn
(x
2
)
— функцiя Макдональда [1].
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. T. 1. – Москва: Наука, 1965. – 296 с.
2. Aomoto K. Hypergeometric functions: the past, today and . . . (from the complex analytic point of view) //
Sugaku Expositions. – 1996. – 9. – P. 99–116.
3. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – Москва: Физматгиз, 1963. – 358 с.
4. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. – Москва: Наука, 1965. – 588 с.
5. Kilbas A.A., Saigo M. H-Transforms. – London: Chapman and Hall, 2004. – 390 p.
6. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. – Москва: Мир, 1980. – 608 с.
7. Вiрченко Н.О. Узагальненi спецiальнi функцiї та їх застосування // Наук. вiстi НТУ України “КПI”. –
2006. – № 4. – С. 42–49.
8. Virchenko N.O., Kalla S. L., Al-Zamel A. Some results on a generalized hypergeometric function //
J. Integral transforms and special function. – 2001. – 12, No 1. – P. 89–100.
9. Virchenko N. On the generalized confluent hypergeometric function and its application // J. Fract. Calculus
and Appl. Anal. – 2006. – 9, No 2. – P. 101–108.
Надiйшло до редакцiї 04.11.2011НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
Н.А. Вирченко
Обобщение конфлюэнтных гипергеометрических функций
Введено новое обобщение классических конфлюэнтных гипергеометрических функций. Даны
их некоторые свойства, в частности интегральные изображения, применения.
N.O. Virchenko
A generalizaion of the confluent hypergeometric functions
A new generalization of the classical confluent hypergeometric functions is introduced. Some pro-
perties, in particular, integral representations and applications of these functions, are given.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 11
|