Мінливі множини та їх властивості
Закладено основи теорії мінливих множин. На думку автора, дана теорія, в процесі свого розвитку і вдосконалення, зможе стати одним з інструментів розв'язання шостої проблеми Гільберта....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49796 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Мінливі множини та їх властивості / Я.I. Грушка // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 12-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-49796 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-497962013-09-29T03:06:12Z Мінливі множини та їх властивості Грушка, Я.І. Математика Закладено основи теорії мінливих множин. На думку автора, дана теорія, в процесі свого розвитку і вдосконалення, зможе стати одним з інструментів розв'язання шостої проблеми Гільберта. Заложены основы теории изменчивых множеств. По мнению автора, данная теория, в процессе своего развития и совершенствования, сможет стать одним из инструментов решения шестой проблемы Гильберта. The work lays the foundations of the theory of changeable sets. In author's opinion, this theory, in the process of its development and improvement, can be one of the tools of solving the sixth Hilbert problem. 2012 Article Мінливі множини та їх властивості / Я.I. Грушка // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 12-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49796 510.22 + 51-71 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Грушка, Я.І. Мінливі множини та їх властивості Доповіді НАН України |
| description |
Закладено основи теорії мінливих множин. На думку автора, дана теорія, в процесі свого розвитку і вдосконалення, зможе стати одним з інструментів розв'язання шостої проблеми Гільберта. |
| format |
Article |
| author |
Грушка, Я.І. |
| author_facet |
Грушка, Я.І. |
| author_sort |
Грушка, Я.І. |
| title |
Мінливі множини та їх властивості |
| title_short |
Мінливі множини та їх властивості |
| title_full |
Мінливі множини та їх властивості |
| title_fullStr |
Мінливі множини та їх властивості |
| title_full_unstemmed |
Мінливі множини та їх властивості |
| title_sort |
мінливі множини та їх властивості |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49796 |
| citation_txt |
Мінливі множини та їх властивості / Я.I. Грушка // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 12-18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT gruškaâí mínlivímnožinitaíhvlastivostí |
| first_indexed |
2025-07-04T11:03:31Z |
| last_indexed |
2025-07-04T11:03:31Z |
| _version_ |
1836714045472768000 |
| fulltext |
УДК 510.22 + 51-71
© 2012
Я. I. Грушка
Мiнливi множини та їх властивостi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
Закладено основи теорiї мiнливих множин. На думку автора, дана теорiя, в процесi сво-
го розвитку i вдосконалення, зможе стати одним з iнструментiв розв’язання шостої
проблеми Гiльберта.
Незважаючи на величезнi успiхи сучасної теоретичної фiзики i потужнiсть математичного
апарату, який вона застосовує, вiдома шоста проблема Гiльберта про математично строге
формулювання основ теоретичної фiзики, поставлена ще в 1900 р., остаточно не розв’яза-
на i до сьогоднi [1, 2]. Певнi спроби формалiзацiї окремих фiзичних теорiй було зроблено
в роботах [3–6].
Головним недолiком зазначених робiт є вiдсутнiсть абстрактно-системного пiдходу, а от-
же, як наслiдок, недостатня гнучкiсть, обмеженiсть i штучнiсть їхнiх математичних кон-
струкцiй. На думку автора, однiєю з основних причин такого стану речей є вiдсутнiсть
абстрактного математичного середовища, в рамках якого можна було б строго формулю-
вати закони фiзики. У данiй роботi робиться спроба побудови потрiбного математичного
середовища i з цiєю метою закладаються основи теорiї мiнливих множин.
1. Орiєнтованi множини. З формальної точки зору мiнливi множини є сукупностями
об’єктiв, якi, на вiдмiну вiд елементiв звичайних (статичних) множин, можуть перебувати
в процесi постiйних змiн, а також змiнювати свої властивостi залежно вiд точки зору на них
(областi сприймання). Найпримiтивнiша (стартова) модель сукупностi мiнливих об’єктiв
закладена в нижчеподаному означеннi.
Означення 1. Нехай M — довiльна н е п о р ож ня множина. Довiльне рефлексивне
бiнарне вiдношення ⊳−− на M (тобто таке, що ∀x ∈ M x ⊳−− x) називатимемо орiєнтацiєю,
а пару M = (M,⊳−−) — орiєнтованою множиною. При цьому множину M називатимемо
базовою, або множиною всiх елементарних станiв орiєнтованої множини M, i познача-
тимемо через Bs(M), а вiдношення ⊳−− будемо називати напрямним вiдношенням змiн
(трансформацiй) M i позначати через ←
M
.
У випадку, коли вiдомо, про яку орiєнтовану множину M йде мова, в позначеннi ←
M
символM будемо опускати, вживаючи позначення “←”. Для елементiв x, y ∈ Bs(M) запис
y←x означає, що “елементарний стан y є результатом трансформацiй, або “трансформацiй-
ним продовженням” елементарного стану x”.
Означення 2. Пiдмножина N ⊆ Bs(M) називається транзитивною в M, якщо для
довiльних x, y, z ∈ N з умови z← y i y←x випливає умова z←x. Транзитивна множина
N ⊆ Bs(M) називається максимально транзитивною в M, якщо не iснує транзитивної
множини N1 ⊆ Bs(M) такої, що N ⊂ N1.
Транзитивна пiдмножина L ⊆ Bs(M) називається ланцюгом в M, якщо для довiль-
них x, y ∈ L має мiсце хоч одне iз спiввiдношень y←x або x← y. Ланцюг L ⊆ Bs(M)
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
називається максимальним ланцюгом в M, якщо не iснує ланцюга L1 ⊆ Bs(M) такого,
що L ⊂ L1.
Твердження 1. 1. Для довiльної транзитивної множини N в орiєнтованiй множи-
нi M iснує максимально транзитивна множина Nmax така, що N ⊆ Nmax.
2. Для довiльного ланцюга L в орiєнтованiй множинi M iснує максимальний лан-
цюг Lmax такий, що L ⊆ Lmax.
Твердження 1 доводиться за допомогою аксiоми вибору. Другий пункт твердження 1
є узагальненням принципу максимальностi Хаусдорфа в рамках даної теорiї.
2. Означення часу. Примiтивнi мiнливi множини. У теоретичнiй фiзицi звикли
вважати моменти часу дiйсними числами. Але, оскiльки абстрактна математика дослiджує
об’єкти як завгодно великої потужностi, в наведеному нижче означеннi як моменти ча-
су використано елементи довiльної лiнiйно упорядкованої множини. Таке розумiння часу
близьке до фiлософського уявлення про час як певний “хронологiчний порядок”, узгодже-
ний з процесами змiн.
Означення 3. НехайM — орiєнтована множина i (T,6) — лiнiйно упорядкована мно-
жина. Вiдображення ψ : T 7→ 2Bs(M) називається часом на M якщо:
1) для довiльного x ∈ Bs(M) iснує елемент t ∈ T такий, що x ∈ ψ(t);
2) якщо x1, x2 ∈ Bs(M), x2←x1 i x1 6= x2, то iснують елементи t1, t2 ∈ T такi, що
x1 ∈ ψ(t1), x2 ∈ ψ(t2) i t1 < t2 (тобто має мiсце часова роздiльнiсть послiдовних неоднако-
вих елементарних станiв). При цьому елементи t ∈ T будемо називати моментами часу,
а трiйку P = (M, (T,6), ψ) — примiтивною мiнливою множиною.
На довiльнiй орiєнтованiй множинi завжди можна визначити час. Найпримiтивнiший
спосiб — взяти лiнiйно упорядковану множину (T,6), що мiстить не менше двох елементiв,
i покласти ψ(t) := Bs(M), t ∈ T.
Означення 4. Нехай M — орiєнтована множина. Довiльну сiм’ю множин Y ⊆ 2Bs(M)
таку, що
⋃
A∈Y
A = Bs(M) будемо називати одночаснiстю на M.
Якщо P = (M, (T,6), ψ) — примiтивна мiнлива множина, то, за означенням 3, одноча-
снiстю наM є сiм’я множин Yψ = {ψ(t) | t ∈ T}. Час ψ наM називатимемо породжуючим
для одночасностi Y ⊆ 2Bs(M), якщо Y = Yψ.
Теорема 1. Будь-яка одночаснiсть на довiльнiй орiєнтованiй множинi M має поро-
джуючий час.
Породжуючий час одночасностi в теоремi 1 є не єдиним. Нижче розглядається питання
про єдинiсть (при певних обмеженнях) породжуючого часу одночасностi.
Означення 5. Часи ψ1 : T1 7→ 2Bs(M), ψ2 : T2 7→ 2Bs(M) на орiєнтованiй множи-
нi M будемо називати хронологiчно еквiвалентними (позначення ψ1 ⇑ ψ2), якщо iснує
взаємно однозначна вiдповiднiсть ξ : T1 7→ T2 така, що: 1) ξ є порядковим iзоморфiзмом
мiж T1 i T2 в сенсi [7, ст. 13]; 2) для довiльного t ∈ T1 має мiсце рiвнiсть ψ1(t) =
= ψ2(ξ(t)).
Зауваження 1. Пiдкреслимо, що часи ψ1 i ψ2 в означеннi 5 слiд розумiти спiльно з лi-
нiйно упорядкованими множинами (T1,6 1) i (T2,6 2), на яких вони заданi.
Твердження 2. Вiдношення ⇑ є вiдношенням еквiвалентностi на довiльнiй множинi
часiв довiльної орiєнтованої множини.
Нехай M — орiєнтована множина.
1. Для множин A, B ⊆ Bs(M) будемо вважати, що B←(m)A, якщо iснують такi еле-
менти x ∈ A i y ∈ B, що y←x i x ←/ y.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 13
2. Нехай Q ⊆ 2Bs(M) — деяка система пiдмножин множини Bs(M) i A, B ∈ Q. Будемо
вважати, що B
Q
և(m)A, якщо iснує така послiдовнiсть множин C0, C1, . . . , Cn ∈ Q (n ∈ N),
що C0 = A, Cn = B i Ck←(m)Ck−1, k ∈ {1, . . . , n}.
Означення 6. 1. Одночаснiсть Y ⊆ 2Bs(M) називатимемо чiтко неповторною, якщо:
а) не iснує множин A, B ∈ Y таких, що A
Y
և(m)B i B
Y
և(m)A;
б) для довiльних x, y ∈ Bs(M) таких, що y←x i x 6= y iснують множини A, B ∈ Y
такi, що x ∈ A, y ∈ B i B
Y
և(m)A (це означає, що ця одночаснiсть “чiтко вiдчуває” всi
змiни на орiєнтованiй множинi M).
2. Одночаснiсть Y будемо називати монотонно зв’язною, якщо для довiльних A, B ∈ Y
таких, що A 6= B виконується хоч одна з умов A
Y
և(m)B або B
Y
և(m)A.
3. Нехай P = (M, (T,6), ψ) — примiтивна мiнлива множина. Вiдображення h : T 7→
7→ 2Bs(M) називатимемо хронометричним процесом для часу ψ, якщо h(t) ⊆ ψ(t), t ∈ T
i для довiльних t, τ ∈ T умова t < τ має мiсце тодi i тiльки тодi, коли h(τ)
h(T)
և(m)h(t)
i h(t) 6= h(τ), де h(T) = {h(t) | t ∈ T}.
4. Час ψ на орiєнтованiй множинi M називатимемо внутрiшнiм, якщо для цього часу
iснує хоч один хронометричний процес.
Теорема 2. Для довiльної чiтко неповторної i монотонно зв’язної одночасностi Y
iснує єдиний з точнiстю до хронологiчної еквiвалентностi внутрiшнiй час ψ такий, що
Y = Yψ.
Змiст термiну “внутрiшнiй час” полягає в тому, що такий час можна “вимiряти” за до-
помогою хронометричного процесу. Фiлософський змiст теореми 2 полягає в тому, що не-
повторнiсть картин навколишньої дiйсностi, можливiсть бачити всi змiни в послiдовних
одночасних станах та зв’язнiсть рiзних картин дiйсностi ланцюгами змiн однозначно поро-
джують хiд внутрiшнього часу в “нашому” свiтi.
3. Елементарно-часовi стани та базовi мiнливi множини. Надалi для довiль-
ної примiтивної мiнливої множини P = (M, (T,6), φ) будемо використовувати позначення
Bs(P) := Bs(M), Tm(P) := T, ←
P
:= ←
M
, ψP := φ, 6 P :=6. Коли не виникатиме непоро-
зумiнь, символ P в останнiх трьох позначеннях опускатимемо.
Означення 7. Нехай P — примiтивна мiнлива множина. Пару (t, x) (x ∈ Bs(P), t ∈
∈ Tm(P)) називатимемо елементарно-часовим станом, якщо x ∈ ψ(t). Множину всiх еле-
ментарно-часових станiв P будемо позначати через Bs(P).
Для елементарно-часового стану ω = (t, x) ∈ Bs(P) введемо позначення
bs(ω) := x, tm(ω) := t.
Будемо вважати, що елементарно-часовий стан ω2 ∈ Bs(P) формально послiдовний
елементарно-часовому стану ω1 ∈ Bs(P), i використовувати позначення ω2← (f)ω1, якщо
ω1 = ω2 або bs(ω2)← bs(ω1) i tm(ω1) < tm(ω2).
Вiдношення← (f) показує всi “потенцiйно можливi” трансформацiї елементарно-часових
станiв, якi можна “вписати” в дану примiтивну мiнливу множину. Проте виявляється, що
це вiдношення може “генерувати” такi “паразитичнi трансформацiї”, яких реально нiколи
не було у фiзичнiй системi. Тому, щоб описати реальнi змiни елементарно-часових станiв
певної фiзичної моделi, необхiдно задати деяке “пiдвiдношення” вiдношення ← (f).
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
Означення 8. Нехай, P — примiтивна мiнлива множина. Вiдношення ⊳−− ⊆ ← (f)
на Bs(P) називається базою елементарних процесiв в P, якщо:
1) ∀ω ∈ Bs(P) ω ⊳−− ω;
2) для довiльних x1, x2 ∈ Bs(P) таких, що x2←x1 iснують ω1, ω2 ∈ Bs(P) такi, що
bs(ωi) = x1 (i = 1, 2) i ω2 ⊳−− ω1.
Пару B = (P,⊳−−) називатимемо базовою мiнливою множиною.
Легко бачити, що довiльна примiтивна мiнлива множина P породжує базову мiнливу
множину P(f) = (P,← (f)).
Надалi для довiльної базової мiнливої множини B = (P,⊳−−) будемо використовувати
позначення Bs(B) := Bs(P), Bs(B) := Bs(P), Tm(B) := Tm(P), 6 B :=6 P , ←
B
:= ←
P
ψB := ψP , а для елементарно-часових станiв ω1, ω2 ∈ Bs(B) — ω2←
B
ω1 для констатацiї того
факту, що ω2 ⊳−− ω1. Коли не виникатиме непорозумiнь, символ B в останнiх чотирьох
позначеннях будемо опускати.
Твердження 3. Для довiльної базової мiнливої множини B пара (Bs(B),←) є орiєн-
тованою множиною.
Означення 9. Довiльний максимальний ланцюг L ⊆ Bs(B) називатимемо лiнiєю долi B.
Множину всiх лiнiй долi B будемо позначати через Ld(B).
4. Базовi мiнливi множини, породженi системою абстрактних траєкторiй. Не-
хай M — довiльна множина i (T,6) — довiльна лiнiйно упорядкована множина. Вiдобра-
ження r : D(r) 7→M (D(r) ⊆ T) називатимемо абстрактною траєкторiєю з T в M . Систе-
мою абстрактних траєкторiй з T в M називатимемо довiльну множину R, елементами
якої є абстрактнi траєкторiї з T в M , таку, що
⋃
r∈R
R(r) = M (де D(r) i R(r) — вiдповiдно
область визначення i значень абстрактної траєкторiї r).
Теорема 3. Для довiльної системи абстрактних R траєкторiй з (T,6) в M iснує,
причому єдина, базова мiнлива множина At(R) така, що:
1) Tm(At(R)) = T, 6At(R) = 6; 2) Bs(At(R)) =
⋃
r∈R
r; 3) для довiльних ω1, ω2 ∈
∈ Bs(At(R)) умова ω2 ←
At(R)
ω1 має мiсце тодi i тiльки тодi, коли tm(ω1) 6 tm(ω2) i iснує
траєкторiя r ∈ R така, що ω1, ω2 ∈ r (де r = {(t, r(t)) | t ∈ D(r)}).
Теорема 4. Для довiльної базової мiнливої множини B Ld(B) є системою абстракт-
них траєкторiй з Tm(B) в Bs(B). При цьому At(Ld(B)) = B.
5. Мiнливi системи i процеси. Нехай B — довiльна базова мiнлива множина.
Означення 10. Будь-яку пiдмножину S ⊆ Bs(B) називатимемо мiнливою системою B.
Довiльне вiдображення s : Tm(B) 7→ 2Bs(B) таке, що s(t) ⊆ ψ(t), t ∈ Tm(B) називатимемо
процесом B.
Поняття мiнливої системи можна розглядати, як абстрактне узагальнення поняття фi-
зичного тiла, склад якого, взагалi кажучи, не є постiйним.
Нехай S ⊆ Bs(B) — мiнлива система. Процес
S∼(t) := {x ∈Bs(B) | (t, x) ∈ S}, t ∈ Tm(B),
будемо називати процесом трансформацiй мiнливої системи S. Якщо s — довiльний процес
в B, то s = S∼, де S := {(t, x) | t ∈ Tm(B), x ∈ s(t)}. Отже, довiльний процес завжди
є процесом трансформацiй певної мiнливої системи. Процес трансформацiй L∼, породже-
ний лiнiєю долi L ∈ Ld(B) ⊆ 2Bs(B), будемо називати елементарним процесом. У певному
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 15
сенсi елементарний процес є аналогом елемента звичайної (статичної) множини, оскiльки
з елементарних процесiв, користуючись теоремою 4, можна вiдновити всю базову мiнливу
множину.
6. Загальне означення мiнливої множини.
Означення 11. Нехай
←−
B = (Bα | α ∈ A) — довiльна iндексована сiм’я базових мiнливих
множин, де A — деяка множина iндексiв. Система вiдображень
←−
U = (Uβα | α, β ∈ A),
Uβα : 2
Bs(Bα) 7−→ 2Bs(Bβ), (α, β ∈ A) називається унiфiкацiєю сприймання на
←−
B , якщо:
1) UααA ≡ A для довiльних α ∈ A i A ⊆ Bs(Bα) (де UβαA := Uβα(A));
2) для довiльних α, β ∈ A i A,B ⊆ Bs(Bα) з умови A ⊆ B випливає, що UβαA ⊆ UβαB
(тобто вiдображення Uβα є монотонним);
3) для довiльних α, β, γ ∈ A i A ⊆ Bs(Bα) має мiсце включення
UγβUβαA ⊆ UγαA. (1)
При цьому вiдображення Uαβ (α, β ∈ A) будемо називати вiдображеннями унiфiкацiї, а трiй-
ку Z = (A,
←−
B ,
←−
U ) — мiнливою множиною.
Вiдображення унiфiкацiї визначають, якою ми “будемо бачити” задану мiнливу систему
в iншiй областi сприймання. У випадку класичної механiки або спецiальної теорiї вiдноснос-
тi спiввiдношення (1) переходить у рiвнiсть. Замiна знаку рiвностi на включення зумовлена
тим, що абстрактнiй ситуацiї допускається можливiсть “не бачити” деякi елементарно-часовi
стани iншої областi сприймання.
Нехай Z = (A,
←−
B ,
←−
U ) — мiнлива множина. Для довiльного iндексу α ∈ A пару l =
= (α,Bα) називатимемо областю сприймання, або системою вiдлiку Z. Множину всiх обла-
стей сприймання мiнливої множини Z позначатимемо через Lk(Z). Для довiльної областi
сприймання l = (α,Bα) ∈ Lk(Z) через lˆ позначатимемо базову мiнливу множину Bα. На-
далi в позначеннях Bs(lˆ), Bs(lˆ), Tm(lˆ), ψlˆ, ←
lˆ
та iн. символ “ˆ” будемо опускати. Для
областей сприймання l = (α,Bα), m = (β,Bβ) ∈ Lk(Z) вiдображення унiфiкацiї Uβα будемо
позначати через 〈m ← l,Z〉, або через 〈m ← l〉. Зокрема, включення (1) на мовi зазначе-
них позначень перепишеться у виглядi 〈m ← p〉〈m ← l〉A ⊆ 〈m ← p〉A; l,m, p ∈ Lk(Z),
A ⊆ Bs(l).
7. Видимiсть у мiнливих множинах.
Означення 12. Нехай Z — довiльна мiнлива множина i l, m ∈ Lk(Z). Будемо говорити,
що мiнлива система A ⊆ Bs(l) є:
1) видимою з областi сприймання m, якщо 〈m ← l〉A 6= ∅;
2) нормально видимою з областi сприймання m, якщо будь-яка непорожня пiдсистема
B ⊆ A мiнливої системи A є видимою з m;
3) чiтко видимою з m, якщо A є нормально видимою з m i для довiльної сiм’ї {Aα | α ∈
∈ A} ⊆ 2A мiнливих пiдсистем A такої, що
⊔
α∈A
Aα = A має мiсце рiвнiсть 〈m ← l〉A =
=
⊔
α∈A
〈m ← l〉Aα, де знак
⊔
α∈A
Aα означає диз’юнктне об’єднання, тобто таке об’єднання,
при якому Aα
⋂
Aβ = ∅, α 6= β;
4) невидимою з областi сприймання m, якщо 〈m ← l〉A = ∅.
Будемо говорити, що область сприймання l ∈ Lk(Z) є видимою (нормально видимою,
чiтко видимою) з областi сприймання m ∈ Lk(Z) (позначення l ≻ m (l ≻! m, l ≻!! m)
вiдповiдно), якщо множина Bs(l) є видимою (нормально видимою, чiтко видимою) з m
вiдповiдно.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
Будемо говорити, що мiнлива множина Z є видимою (нормально, чiтко видимою), якщо
для довiльних l,m ∈ Lk(Z) виконується спiввiдношення l ≻ m (l ≻! m, l ≻!! m) вiдповiдно.
Очевидно, що довiльна нормально видима мiнлива множина є видимою. Обернене тверд-
ження, взагалi кажучи, не вiрне.
Теорема 5. Мiнлива множина Z є чiтко видимою тодi i тiльки тодi, коли вона є нор-
мально видимою.
Враховуючи теорему 5, термiном “нормально видима мiнлива множина” надалi корис-
туватись не будемо.
Теорема 6. Мiнлива множина Z є чiтко видимою тодi i тiльки тодi, коли для до-
вiльних l,m, p ∈ Lk(Z) справедлива рiвнiсть 〈m ← p〉〈m ← l〉 = 〈m ← p〉.
Теорема 6. Якщо мiнлива множина Z є чiтко видимою, то для довiльних l,m ∈ Lk(Z)
i A ⊆ Bs(l) множини A i 〈m← l〉A є рiвнопотужнi, причому 〈m← l〉A =
⊔
ω∈A
〈m← l〉{ω}.
При цьому 〈m ← l〉Bs(l) = Bs(m).
Нехай Z — довiльна мiнлива множина i l, m ∈ Lk(Z). Вважатимемо, що l ≺≻ m, якщо
виконується хоч одна з таких умов: l ≻ m або m ≻ l. Вважатимемо, що областi сприй-
мання l,m ∈ Lk(Z) зв’язанi видимiстю в Z (позначення l≡̂m), якщо iснує послiдовнiсть
l0, l1, . . . , lν ∈ Lk(Z) (ν ∈ N) така, що, l0 = l; lν = m; li ≺≻ li−1 (i ∈ {1, . . . , ν}). Легко
перевiрити, що вiдношення ≻!! (а отже, i вiдношення ≻! та ≻) є рефлексивним на Lk(Z).
Тому, згiдно з [8, твердження 5.8, 5.9; теорема 5.8], вiдношення ≡̂ є вiдношенням еквiва-
лентностi на Lk(Z). Класи еквiвалентностi, на якi розбиває вiдношення еквiвалентностi ≡̂
множину Lk(Z), будемо називати класами видимостi Z.
Отже, якщо iснують l,m ∈ Lk(Z) такi, що l 6≡̂ m, то сукупнiсть областей сприйман-
ня Lk(Z) розпадається на “спаралеленi свiти” (класи видимостi). Причому будь-який клас
видимостi є повнiстю невидимим з iнших класiв видимостi.
1. Гладун А.Д. Шестая проблема Гильберта // Потенциал. – 2006. – № 3. – (http://potential.org.ru/Home/
ProblemGilbert).
2. Petunin Yu. I., Klyushin D.A. A structural approach to solving the 6th Hilbert problem // Theory Probab.
and Math. Statistics. – 2005. – Nо 71. – P. 165–179.
3. McKinsey J. C.C., Sugar A. C., Suppes P. Axiomatic foundations of classical particle mechanics // J. Ra-
tion. Mech. and Anal. – 1953. – No 2. – P. 253–272.
4. Schutz J.W. Foundations of special relativity: kinematic axioms for Minkowski space-time. – Lecture Notes
in Mathematics. Vol. 361. – Berlin; New York: Springer, – 1973. – 314 p.
5. da Costa N.C.A., Doria F.A. Suppes predicates for classical physics // The Space of Mathematics: Proc.
of the Intern. Symp. on Structures in Mathematical Theories (San Sebastian, Spain 1990). – Berlin; New
York: W. de Gruyter, 1992. – P. 168–191.
6. Sant’Anna A. S. The definability of physical concepts // Bol. Soc. Paran. Mat. (3s.). – 2005. – 23, No 1–2. –
P. 163–175.
7. Биркгоф Г. Теория решеток. – Москва: Наука, 1984. – 567 с.
8. Карнаух Т.О., Ставровський А.Б. Вступ до дискретної математики. – Київ: ВПЦ “Київський унi-
верситет”, 2006. – 109 с.
Надiйшло до редакцiї 04.08.2011Iнститут математики НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 17
Я.И. Грушка
Изменчивые множества и их свойства
Заложены основы теории изменчивых множеств. По мнению автора, данная теория, в про-
цессе своего развития и совершенствования, сможет стать одним из инструментов ре-
шения шестой проблемы Гильберта.
Ya. I. Grushka
Changeable sets and their properties
The work lays the foundations of the theory of changeable sets. In author’s opinion, this theory,
in the process of its development and improvement, can be one of the tools of solving the sixth
Hilbert problem.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
|