Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей
Рассмотрены экстремальные проблемы геометрической теории функций комплексного переменного, связанные с оценками функционалов, заданных на системах частично неналегающих областей. В частности, основное внимание уделено усилению и обобщению некоторых известных результатов данной теории....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49798 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей / И.В. Денега // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 19-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-49798 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-497982013-09-29T03:06:33Z Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей Денега, И.В. Математика Рассмотрены экстремальные проблемы геометрической теории функций комплексного переменного, связанные с оценками функционалов, заданных на системах частично неналегающих областей. В частности, основное внимание уделено усилению и обобщению некоторых известных результатов данной теории. Розглянуто екстремальні проблеми геометричної теорії функцій комплексної змінної, пов'язані з оцінками функціоналів, заданих на системах частково неналягаючих областей. Зокрема, основну увагу приділено підсиленню і узагальненню деяких відомих результатів даної теорії. The paper is devoted to extremal problems of the geometric function theory of complex variables associated with estimates of functionals defined on systems of partially non-overlapping domains. In particular, the investigation is focused on the strengthening and generalization of some known results of this theory. 2012 Article Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей / И.В. Денега // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 19-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49798 517.54 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Денега, И.В. Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей Доповіді НАН України |
| description |
Рассмотрены экстремальные проблемы геометрической теории функций комплексного переменного, связанные с оценками функционалов, заданных на системах частично неналегающих областей. В частности, основное внимание уделено усилению и обобщению некоторых известных результатов данной теории. |
| format |
Article |
| author |
Денега, И.В. |
| author_facet |
Денега, И.В. |
| author_sort |
Денега, И.В. |
| title |
Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей |
| title_short |
Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей |
| title_full |
Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей |
| title_fullStr |
Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей |
| title_full_unstemmed |
Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей |
| title_sort |
некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49798 |
| citation_txt |
Некоторые неравенства для внутренних радиусов частично неналегающих областей / И.В. Денега // Доп. НАН України. — 2012. — № 5. — С. 19-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT denegaiv nekotoryeneravenstvadlâvnutrennihradiusovčastičnonenalegaûŝihoblastej |
| first_indexed |
2025-07-04T11:03:42Z |
| last_indexed |
2025-07-04T11:03:42Z |
| _version_ |
1836714057910976512 |
| fulltext |
УДК 517.54
© 2012
И.В. Денега
Некоторые неравенства для внутренних радиусов
частично неналегающих областей
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Ю. Трохимчуком)
Рассмотрены экстремальные проблемы геометрической теории функций комплексного
переменного, связанные с оценками функционалов, заданных на системах частично не-
налегающих областей. В частности, основное внимание уделено усилению и обобщению
некоторых известных результатов данной теории.
В настоящее время экстремальные задачи о неналегающих областях занимают значитель-
ное место в геометрической теории функций комплексного переменного и имеют богатую
историю (см., например, [1–12]). Впервые экстремальные разбиения рассматривались при
получении оценок произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей.
Эта тематика восходит к статье М.А. Лаврентьева [1] и впоследствии развивалась в ра-
ботах многих иследователей (см., например, [2–12]). В данной работе усилены и обобщены
некоторые результаты этой теории.
Обозначения и определения. Пусть N, R — множество натуральных и веществен-
ных чисел соответственно, C — комплексная плоскость, C = C
⋃
{∞} — ее одноточечная
компактификация, R+ = (0,∞). Пусть r(B, a) — внутренний радиус области B ⊂ C, отно-
сительно точки a ∈ B (см., например, [4, 6, 8]) и χ(t) =
1
2
(t + t−1). Пусть n ∈ N, n > 2.
Систему точек An := {ak ∈ C : k = 1, n} назовем n-лучевой, если |ak| ∈ R
+ при k = 1, n,
0 = arg a1 < arg a2 < · · · < arg an < 2π. Обозначим при этом an+1 := a1, αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
,
αn+1 := α1, k = 1, n.
Для произвольной n-лучевой системы точек An = {ak} и γ ∈ R
+⋃{0} полагаем
L(γ)(An) :=
n∏
k=1
[
χ
(∣∣∣
ak
ak+1
∣∣∣
1
2α
k
)]1− 1
2
γα2
k
n∏
k=1
|ak|1+
1
4
γ(αk+αk−1).
Пусть D — открытое множество в C, содержащее лучевую систему точек An = {ak}nk=1.
Если a ∈ D, то будем говорить, что D(a) есть связная компонента D, содержащая точку a;
Dk(ap) — связная компонента множества D(ap)
⋂
Pk(An), содержащая точку ap, p = k,
k − 1, k = 1, n; Dk(0) — связная компонента множества D(0)
⋂
Pk(An), содержащая точку
w = 0; Dk(∞) — связная компонента множества D(∞)
⋂
Pk(An), содержащая бесконечно
удаленную точку.
Внутренним радиусом r(D, a) открытого множества D относительно точки a назы-
вается внутренный радиус связной компоненты множества D, содержащей точку a.
Пусть открытое множество D содержит точки w = 0, w = ∞ и произвольную n-лучевую
систему точек An = {ak}nk=1, тогда будем говорить, что такое множество удовлетворяет
условию неналегания относительно системы точек An, если множества Dk(ak), Dk(ak+1),
Dk(0) и Dk(∞) попарно не пересекаются для каждого k = 1, n.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 19
Пусть {Bk}nk=1, B∞, B0 — произвольный набор областей таких, что 0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈
∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n. Пусть D̃ =
n⋃
k=1
Bk
⋃
B0
⋃
B∞. Будем говорить, что
система B∞, B0, {Bk}nk=1 удовлетворяет условию частичного неналегания относительно
некоторой системы An, если открытое множество D̃ удовлетворяет условию неналегания
относительно этой же n-лучевой системы точек An. Из определения совершенно очевидно,
что произвольная система взаимно неналегающих областей удовлетворяет условию частич-
ного неналегания.
Введем функцию F (x) = 2x
2+6xx
2+1(2 − x)−
1
2
(2−x)2(2 + x)−
1
2
(2+x)2 , x ∈ (0, 2].
Основные результаты.
Теорема 1. Пусть n ∈ N, n > 2 и γ ∈ (0, 1]. Тогда для любой n-лучевой системы точек
An = {ak}nk=1, L(γ)(An) = 1 и любого набора областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, a0 = 0, k = 0, n,
удовлетворяющего условию частичного неналегания относительно лучевой системы An,
справедливо неравенство
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) 6 γ−
n
4
(
n∏
k=1
αk
) 1
2
[
F
(
2
n
√
γ
)]n
2
. (1)
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда ak и Bk, k = 0, n, являются со-
ответственно полюсами и круговыми областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2.
Следствие 1. Пусть n ∈ N, n > 2 и γ ∈ (0, 1]. Тогда для любой n-лучевой системы
точек An = {ak}nk=1 такой, что |ak| = 1, k = 1, n, и любого набора областей Bk, ak ∈ Bk ⊂
⊂ C, a0 = 0, k = 0, n, удовлетворяющего условию частичного неналегания относительно
лучевой системы An, справедливо неравенство (1). Знак равенства в этом неравенстве
достигается при условиях теоремы 1.
В качестве следствия из теоремы 1 получаем основной результат работы [10]. Из след-
ствия 1 также вытекает основной результат работы [9]. Отметим, что теорема 1 является
значительным обобщением и усилением теоремы 4 работы [5].
Теорема 2. Пусть 0 < γ 6 γ4, γ4 = 2,1. Тогда для любой 4-лучевой системы точек
A4 = {ak}4k=1 такой, что L(0)(A4) = 1, и любого набора областей B0, B1, B2, B3, B4, B∞
(a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, 4), удовлетворяющего условию
частичного неналегания относительно лучевой системы A4, справедливо неравенство
[r(B0, 0)r(B∞,∞)]γ
4∏
k=1
r(Bk, ak) 6 [r(Λ0, 0)r(Λ∞,∞)]γ
4∏
k=1
r(Λk, λk),
где области Λ0, Λ∞, Λk и точки 0, ∞, λk (k = 1, 4) — соответственно круговые области
и полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw8 + (16 − 2γ)w4 + γ
w2(w4 − 1)2
dw2.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
Теорема 3. Пусть 0 < γ 6 γ5, γ5 = 3,2. Тогда для любой 5-лучевой системы точек
A5 = {ak}5k=1 такой, что L(0)(A5) = 1, и любого набора областей B0, B∞, Bk (a0 = 0 ∈
∈ B0 ⊂ C, ∞ ∈ B∞ ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, 5), удовлетворяющего условию частичного
неналегания относительно лучевой системы A5, справедливо неравенство
[r(B0, 0)r(B∞,∞)]γ
5∏
k=1
r(Bk, ak) 6 [r(Λ0, 0)r(Λ∞,∞)]γ
5∏
k=1
r(Λk, λk),
где области Λ0, Λ∞, Λk и точки 0, ∞, λk (k = 1, 5) — соответственно круговые области
и полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw10 + (25− 2γ)w5 + γ
w2(w5 − 1)2
dw2.
Доказательство теоремы 1. Метод доказательства этой теоремы основан на приме-
нении разделяющего преобразования (см. [4–8]) и использует идеи работ [9, 10]. Рассмот-
рим открытое множество D̃ =
n⋃
k=1
Bk
⋃
B0. Используя неравенство r(Bk, ak) 6 r(D̃, ak) =
= r(D̃(ak), ak), получаем rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) 6 rγ(D̃, 0)
n∏
k=1
r(D̃, ak). Пусть Jn(γ) =
= rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak).
Используя методы работ [4–7], получаем
Jn(γ) 6
(
n∏
k=1
αk
)
L(γ)(An)
[
n∏
k=1
rα
2
k
γ(G
(k)
0 , 0)r(G
(k)
1 ,−i)r(G
(k)
2 , i)
] 1
2
,
где G
(k)
0 , G
(k)
1 , G
(k)
2 — круговые области квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 =
(4− α2
kγ)w
2 − α2
kγ
w2(w2 + 1)2
dw2 (0 ∈ G
(k)
0 , −i ∈ G
(k)
1 , i ∈ G
(k)
2 ).
Далее, используя результат, полученный в работе [5] при доказательстве теоремы 4,
приходим к неравенству
Jn(γ) 6 γ−
n
4
(
n∏
k=1
αk
)1/2[ n∏
k=1
F (αk
√
γ)
]1/2
.
Применяя методы работ [9, 10], получаем утверждение теоремы 1.
Доказательство теоремы 2. Аналогично доказательству теоремы 1 получаем
[r(B0, 0)r(B∞,∞)]γ
4∏
k=1
r(Bk, ak) 6 [r(D̃, 0)r(D̃,∞)]γ
4∏
k=1
r(D̃, ak),
где D̃ =
n⋃
k=1
Bk
⋃
B0
⋃
B∞. Далее, согласно методам работ [8, с. 261; 4–6] имеем
[r(B0, 0)r(B∞,∞)]γ
4∏
k=1
r(Bk, ak) 6
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №5 21
6
4
γ
[
4∏
k=1
(
(
√
γαk)
2γα2
k
+2 |1−√
γαk|−(1−
√
γαk)
2
(1 +
√
γαk)
−(1+
√
γαk)
2
)] 1
2
.
Комбинируя методы работ [5, 7, 8], получаем, что и в этом неравенстве максимум дости-
гается при αk = 2/n, k = 1, 4. Случай равенства проверяется непосредственно.
Доказательство теоремы 3 проводится с помощью рассуждений, аналогичных теореме 2.
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
3. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
4. Дубинин В.Н. Метод симметризации в задачах о неналегающих областях // Мат. сб. – 1985. – 128,
№ 1. – С. 110–123.
5. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48–66.
6. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). – С. 3–76.
7. Ковалев Л. В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружности //
Дальневост. мат. сб. – 1996. – 2. – С. 96–98.
8. Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-алгебраические структуры и геометричес-
кие методы в комплексном анализе // Працi Iн-ту мат-ки НАН України. – Київ, 2008. – 308 с.
9. Подвысоцкий Р. В. Об одном неравенстве для внутренних радиусов неналегающих областей // Доп.
НАН Украины. – 2009. – № 12. – С. 33–37.
10. Bakhtin A.K., Bakhtina G. P., Denega I.V. Inequalities in problems on non-overlapping domains // arXiv:
1108.2383.
11. Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окруж-
ности // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 7. – С. 868–886.
12. Бахтiн О.К. Нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей та вiдкритих множин //
Там само. – 2009. – 61, № 5. – С. 596–610.
Поступило в редакцию 25.10.2011Институт математики НАН Украины, Киев
I. В. Денега
Деякi нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв частково неналягаючих
областей
Розглянуто екстремальнi проблеми геометричної теорiї функцiй комплексної змiнної, по-
в’язанi з оцiнками функцiоналiв, заданих на системах частково неналягаючих областей.
Зокрема, основну увагу придiлено пiдсиленню i узагальненню деяких вiдомих результатiв
даної теорiї.
I. V. Denega
Some inequalities for inner radii of partially non-overlapping domains
The paper is devoted to extremal problems of the geometric function theory of complex variables
associated with estimates of functionals defined on systems of partially non-overlapping domains.
In particular, the investigation is focused on the strengthening and generalization of some known
results of this theory.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №5
|