Модули над групповыми кольцами локально конечных групп
Изучено RG-модуль A такой, что R — ассоциативное кольцо, A/CA(G) не является минимаксным R-модулем, CG(A)=1, G — локально конечная группа. Рассматривается система Lnm(G) всех подгрупп H≤G, для которых фактормодули A/CA(H) не являются минимаксными R-модулями. Исследован RG-модуль A такой, что Lnm(G)...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49986 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Модули над групповыми кольцами локально конечных групп / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 13-16. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-49986 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-499862013-10-03T03:10:10Z Модули над групповыми кольцами локально конечных групп Дашкова, О.Ю. Математика Изучено RG-модуль A такой, что R — ассоциативное кольцо, A/CA(G) не является минимаксным R-модулем, CG(A)=1, G — локально конечная группа. Рассматривается система Lnm(G) всех подгрупп H≤G, для которых фактормодули A/CA(H) не являются минимаксными R-модулями. Исследован RG-модуль A такой, что Lnm(G) удовлетворяет либо слабому условию минимальности, либо слабому условию максимальности как упорядоченное множество. Описаны свойства локально конечной группы G, которая удовлетворяет заданным условиям. Вивчено RG-модуль A такий, що R — асоціативне кільце, A/CA(G) не є мінімаксним R-модулем, CG(A)=1, G — локально скінченна група. Розглядається система Lnm(G) усіх підгруп H≤G, для яких фактормодулі A/CA(H) не є мінімаксними R-модулями. Досліджено RG-модуль A такий, що Lnm(G) задовольняє або слабку умову мінімальності, або слабку умову максимальності як упорядкована множина. Описано властивості локально скінченної групи G, яка задовольняє ці умови. The author studies an RG-module A such that R is an associative ring, A/CA(G) is not a minimax R-module, CG(A)=1, G is a locally finite group. Let Lnm(G) be a system of all subgroups H≤G such that the quotient modules A/CA(H) are not minimax R-modules. An RG-module A such that Lnm(G) satisfies either weak minimal condition or weak maximal condition as an ordered set is investigated. The properties of a locally finite group G under these conditions are described. 2012 Article Модули над групповыми кольцами локально конечных групп / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 13-16. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49986 512.544 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Дашкова, О.Ю. Модули над групповыми кольцами локально конечных групп Доповіді НАН України |
| description |
Изучено RG-модуль A такой, что R — ассоциативное кольцо, A/CA(G) не является минимаксным R-модулем, CG(A)=1, G — локально конечная группа. Рассматривается система Lnm(G) всех подгрупп H≤G, для которых фактормодули A/CA(H) не являются минимаксными R-модулями. Исследован RG-модуль A такой, что Lnm(G) удовлетворяет либо слабому условию минимальности, либо слабому условию максимальности как упорядоченное множество. Описаны свойства локально конечной группы G, которая удовлетворяет заданным условиям. |
| format |
Article |
| author |
Дашкова, О.Ю. |
| author_facet |
Дашкова, О.Ю. |
| author_sort |
Дашкова, О.Ю. |
| title |
Модули над групповыми кольцами локально конечных групп |
| title_short |
Модули над групповыми кольцами локально конечных групп |
| title_full |
Модули над групповыми кольцами локально конечных групп |
| title_fullStr |
Модули над групповыми кольцами локально конечных групп |
| title_full_unstemmed |
Модули над групповыми кольцами локально конечных групп |
| title_sort |
модули над групповыми кольцами локально конечных групп |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/49986 |
| citation_txt |
Модули над групповыми кольцами локально конечных групп / О.Ю. Дашкова // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 13-16. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT daškovaoû modulinadgruppovymikolʹcamilokalʹnokonečnyhgrupp |
| first_indexed |
2025-07-04T11:25:17Z |
| last_indexed |
2025-07-04T11:25:17Z |
| _version_ |
1836715417221988352 |
| fulltext |
УДК 512.544
© 2012
О.Ю. Дашкова
Модули над групповыми кольцами локально конечных
групп
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
Изучено RG-модуль A такой, что R — ассоциативное кольцо, A/CA(G) не является ми-
нимаксным R-модулем, CG(A) = 1, G — локально конечная группа. Рассматривается
система Lnm(G) всех подгрупп H 6 G, для которых фактормодули A/CA(H) не явля-
ются минимаксными R-модулями. Исследован RG-модуль A такой, что Lnm(G) удов-
летворяет либо слабому условию минимальности, либо слабому условию максималь-
ности как упорядоченное множество. Описаны свойства локально конечной группы G,
которая удовлетворяет заданным условиям.
Пусть A — векторное пространство над полем F . Подгруппы группы GL(F,A) всех автомор-
физмов пространства A называются линейными группами. Если A имеет конечную размер-
ность над полем F , GL(F,A) можно рассматривать как группу невырожденных (n×n)-мат-
риц, где n = dimFA. Конечномерные линейные группы играют важную роль в различных
областях науки и достаточно изучены. В случае, когда пространство A имеет бесконечную
размерность над полем F , ситуация кардинально меняется. Бесконечномерные линейные
группы мало исследованы. Изучение этого класса групп требует дополнительных ограни-
чений. К таким ограничениям относятся различные условия конечности. Одним из таких
условий конечности, которое достойно особого внимания, является финитарность линейной
группы. Группа G называется финитарной, если для каждого ее элемента g подпространст-
во CA(g) имеет конечную коразмерность в A (см., например, [1, 2]). Финитарные линейные
группы изучались многими алгебраистами, и в этом направлении был получен ряд ин-
тересных результатов [2]. В [3] было введено другое условие конечности, налагаемое на
бесконечномерные линейные группы. Авторы ввели понятие центральной размерности бес-
конечномерной линейной группы. Пусть H — подгруппа группы GL(F,A). H действует на
факторпространстве A/CA(H) естественным образом. Авторы определяют centdimFH как
dimF (A/CA(H)). Говорят, что подгруппа H имеет конечную центральную размерность, если
centdimFH конечна, и H имеет бесконечную центральную размерность, если centdimFH
бесконечна.
Пусть G 6 GL(F,A). В [3] рассматривалась система Lid(G) всех подгрупп группы G,
имеющих бесконечную центральную размерность. Чтобы исследовать бесконечномерные
линейные группы, которые по своей структуре близки к конечномерным, следует рассмот-
реть случай, когда система Lid(G) “достаточно мала”. Так, в [3] изучались локально раз-
решимые бесконечномерные линейные группы, у которых Lid(G) удовлетворяет условию
минимальности как упорядоченное множество. Разрешимые бесконечномерные линейные
группы, у которых Lid(G) удовлетворяет условию максимальности как упорядоченное мно-
жество, исследовались в [4].
Слабое условие минимальности и слабое условие максимальности являются наибо-
лее естественными теоретико-групповыми обобщениями обычных условий минимальности
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №6 13
и максимальности. Слабое условие минимальности было введено в рассмотрение Д.И. Зай-
цевым [5], а слабое условие максимальности — Р. Бэром [6]. Пусть G — группа, M — некото-
рое семейство подгрупп группы G. Говорят, что группа G удовлетворяет слабому условию
минимальности для M-подгрупп, если M удовлетворяет слабому условию минимальности,
т. е. если для любого убывающего ряда подгрупп из множества M
G0 > G1 > · · · > Gn > Gn+1 > · · ·
существует натуральное число m ∈ N такое, что индекс |Gn : Gn+1| конечен для каждого
n > m. Группа G удовлетворяет слабому условию максимальности для M-подгрупп, если
M удовлетворяет слабому условию максимальности, т. е. если для любого возрастающего
ряда подгрупп из множества M
G0 6 G1 6 · · · 6 Gn 6 Gn+1 6 · · ·
существует натуральное число m ∈ N такое, что индекс |Gn : Gn+1| конечен для каждого
n > m. В [7] изучались бесконечномерные периодические локально радикальные группы,
у которых Lid(G) удовлетворяет либо слабому условию минимальности, либо слабому усло-
вию максимальности.
Если G 6 GL(F,A), то A можно рассматривать как FG-модуль. Естественным обобще-
нием этого случая является рассмотрение RG-модуля A, где R — кольцо. При этом обоб-
щением понятия центральной размерности подгруппы линейной группы является понятие
коцентрализатора подгруппы, введенное в [8]. Пусть A — RG-модуль, где R — кольцо,
G — группа. Если H 6 G, то фактормодуль A/CA(H), рассматриваемый как R-модуль,
называется коцентрализатором подгруппы H в модуле A.
Исследование алгебраических систем, удовлетворяющих условиям минимальности
и максимальности, остается достаточно актуальным. Примерами таких систем являются
классы нетеровых и артиновых модулей. Напомним, что модуль называется артиновым,
если упорядоченное множество его подмодулей удовлетворяет условию минимальности. Мо-
дуль называется нетеровым, если упорядоченное множество его подмодулей удовлетворяет
условию максимальности. Естественным обобщением классов артиновых и нетеровых моду-
лей является класс минимаксных модулей [9, гл. 7]. R-модуль A называется минимаксным,
если он обладает конечным рядом подмодулей, каждый фактор которого является либо
нетеровым R-модулем, либо артиновым R-модулем.
В [10] исследовался RG-модуль A такой, что R — дедекиндово кольцо, CG(A) = 1,
и коцентрализатор группы G в модуле A не является артиновым R-модулем. Была рас-
смотрена система Lnad(G) всех подгрупп группы G, коцентрализаторы которых в модуле A
не являются артиновыми R-модулями, упорядоченная относительно обычного включения
подгрупп. Изучался такой RG-модуль A, что система Lnad(G) удовлетворяет условию ми-
нимальности как упорядоченное множество, а группа G локально разрешима. Также рас-
сматривался случай, когда система Lnad(G) удовлетворяет условию максимальности как
упорядоченное множество, CG(A) = 1, группа G разрешима, а R является кольцом целых
чисел [11] и дедекиндовым кольцом [12].
В [13] изучался RG-модуль A такой, что R является кольцом целых чисел, CG(A) = 1,
а коцентрализатор группы G в модуле A не является нетеровым R-модулем. На системе
Lnnd(G) всех подгрупп группы G, коцентрализаторы которых в модуле A не являются нете-
ровыми R-модулями, введен порядок относительно обычного включения подгрупп. Иссле-
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №6
довался такой RG-модуль A, что система Lnnd(G) удовлетворяет условию минимальности
как упорядоченное множество, а группа G локально разрешима.
Пусть A — RG-модуль, где R — ассоциативное кольцо, G — группа, Lnm(G) — систе-
ма всех подгрупп группы G, коцентрализаторы которых в модуле A не являются мини-
максными R-модулями, упорядоченная относительно обычного включения подгрупп. Если
Lnm(G) удовлетворяет слабому условию минимальности как упорядоченное множество, бу-
дем говорить, что группа G удовлетворяет условию Wmin−nm. Если же Lnm(G) удовлетво-
ряет слабому условию максимальности как упорядоченное множество, будем говорить, что
группа G удовлетворяет условию Wmax−nm.
В работе рассматривается RG-модуль A такой, что R — произвольное ассоциативное
кольцо, CG(A) = 1, и коцентрализатор группы G в модуле A не является минимаксным
R-модулем.
Пусть MD(G) — множество всех элементов x ∈ G таких, что коцентрализатор группы
〈x〉 в модуле A является минимаксным R-модулем. Так как CA(x
g) = CA(x)g для всех x,
g ∈ G, отсюда вытекает, что MD(G) — нормальная подгруппа группы G.
Очевидно, что черниковская группа удовлетворяет как слабому условию максимально-
сти для подгрупп, так и слабому условию минимальности для подгрупп. Отсюда следует,
что если A — RG-модуль, а группа G является черниковской, то G удовлетворяет как
условию Wmin−nm, так и условию Wmax−nm. Как оказалось, локально конечная группа G,
удовлетворяющая либо условию Wmin−nm, либо условию Wmax−nm, либо черниковская, ли-
бо совпадает с подгруппой MD(G).
Теорема. Пусть A — RG-модуль, R — ассоциативное кольцо, G — группа. Предпо-
ложим, что группа G локально конечна и удовлетворяет либо условию Wmin−nm, либо
условию Wmax−nm. Тогда либо группа G черниковская, либо G = MD(G).
Эта теорема обобщает теорему 3.4 [14]. В [14] было получено описание структуры ло-
кально конечной группы G в случае, когда R — коммутативное кольцо, а условие минима-
ксности заменено условием артиновости.
1. Phillips R.E. The structure of groups of finitary transformations // J. Algebra. – 1988. – 119, No 2. –
P. 400–448.
2. Phillips R.E. Finitary linear groups: a survey. “Finite and locally finite groups” // NATO ASI ser. C. –
Dordrecht: Kluwer, 1995. – 471. – P. 111–146.
3. Dixon M.R., Evans M. J., Kurdachenko L.A. Linear groups with the minimal condition on subgroups of
infinite central dimension // J. Algebra. – 2004. – 277, No 1. – P. 172–186.
4. Kurdachenko L.A., Subbotin I. Ya. Linear groups with the maximal condition on subgroups of infinite
central dimension // Publ. Mat. – 2008. – 50. – P. 103–131.
5. Зайцев Д.И. Группы, удовлетворяющие слабому условию минимальности // Укр. мат. журн. – 1968. –
20. – С. 472–482.
6. Baer R. Polyminimaxgruppen // Math. Ann. – 1968. – 175. – P. 1–43.
7. Muñoz-Escolano J.M., Otal J., Semko N.N. Periodic linear groups with the weak chain conditions on
subgroups of infinite central dimension // Commun. Algebra. – 2008. – 36. – P. 749–763.
8. Курдаченко Л.А. О группах с минимаксными классами сопряженных элементов // Бесконечные
группы и примыкающие алгебраические структуры. – Киев: Институт математики АН Украины,
1993. – С. 160–177.
9. Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya., Semko N.N. Insight into modules over Dedekind domains // Kyiv:
Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, 2008. – 119 p.
10. Дашкова О.Ю. Об одном классе модулей над групповыми кольцами локально разрешимых групп //
Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2009. – 15, № 2. – С. 94–98.
11. Дашкова О.Ю. Об одном классе модулей над целочисленными групповыми кольцами локально раз-
решимых групп // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. – С. 44–51.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №6 15
12. Дашкова О.Ю. Об одном классе модулей над групповыми кольцами разрешимых групп с ограни-
чениями на некоторые системы подгрупп // Фундамент. и прикл. математика. – 2008. – 14, № 7. –
С. 111–119.
13. Дашкова О.Ю. Модули над целочисленными групповыми кольцами локально разрешимых групп с
ограничениями на некоторые системы подгрупп // Доп. НАН України. – 2009. – № 2. – С. 14–19.
14. Дашкова О.Ю. О модулях над групповыми кольцами локально конечных групп // Пробл. физики,
математики и техники. – 2011. – № 4(9). – С. 100–105.
Поступило в редакцию 14.10.2011Днепропетровский национальный университет
О.Ю. Дашкова
Модулi над груповими кiльцями локально скiнченних груп
Вивчено RG-модуль A такий, що R — асоцiативне кiльце, A/CA(G) не є мiнiмаксним R-мо-
дулем, CG(A) = 1, G — локально скiнченна група. Розглядається система Lnm(G) усiх пiд-
груп H 6 G, для яких фактормодулi A/CA(H) не є мiнiмаксними R-модулями. Дослiджено
RG-модуль A такий, що Lnm(G) задовольняє або слабку умову мiнiмальностi, або слабку
умову максимальностi як упорядкована множина. Описано властивостi локально скiнчен-
ної групи G, яка задовольняє цi умови.
O.Yu. Dashkova
Modules over group rings of locally finite groups
The author studies an RG-module A such that R is an associative ring, A/CA(G) is not a minimax
R-module, CG(A) = 1, G is a locally finite group. Let Lnm(G) be a system of all subgroups H 6 G
such that the quotient modules A/CA(H) are not minimax R-modules. An RG-module A such that
Lnm(G) satisfies either weak minimal condition or weak maximal condition as an ordered set is
investigated. The properties of a locally finite group G under these conditions are described.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №6
|