К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами
В терминах комплексного коэффициента сформулированы критерии существования регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произвольных жордановых областях, а также псевдорегулярных и многозначных решений в произвольных конечносвязных областях, ограниченных взаимно непересека...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2012
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50009 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 30-33. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-50009 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-500092013-10-03T03:10:04Z К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. Математика В терминах комплексного коэффициента сформулированы критерии существования регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произвольных жордановых областях, а также псевдорегулярных и многозначных решений в произвольных конечносвязных областях, ограниченных взаимно непересекающимися жордановыми кривыми. У термінах комплексного коефіцієнта сформульовано критерії існування регулярних розв'язків задачі Діріхле для вироджених рівнянь Бельтрамі у довільних жорданових областях, а також псевдорегулярних та багатозначних розв'язків у довільних скінченнозв'язних областях, які обмежені взаємно неперетинними жордановими кривими. In terms of the complex coefficient, we formulate the criteria for the existence of regular solutions of the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations in arbitrary Jordan domains, as well as pseudoregular and multivalued solutions in arbitrary finitely connected domains bounded by disjoint Jordan curves. 2012 Article К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 30-33. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50009 517.5 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами Доповіді НАН України |
| description |
В терминах комплексного коэффициента сформулированы критерии существования регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произвольных жордановых областях, а также псевдорегулярных и многозначных решений в произвольных конечносвязных областях, ограниченных взаимно непересекающимися жордановыми кривыми. |
| format |
Article |
| author |
Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. |
| author_facet |
Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. |
| author_sort |
Ковтонюк, Д.А. |
| title |
К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_short |
К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_full |
К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_fullStr |
К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_full_unstemmed |
К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_sort |
к задаче дирихле для уравнений бельтрами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50009 |
| citation_txt |
К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Доп. НАН України. — 2012. — № 6. — С. 30-33. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kovtonûkda kzadačedirihledlâuravnenijbelʹtrami AT petkoviv kzadačedirihledlâuravnenijbelʹtrami AT râzanovvi kzadačedirihledlâuravnenijbelʹtrami |
| first_indexed |
2025-07-04T11:27:14Z |
| last_indexed |
2025-07-04T11:27:14Z |
| _version_ |
1836715537918328832 |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2012
Д.А. Ковтонюк, И. В. Петков, В. И. Рязанов
К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
В терминах комплексного коэффициента сформулированы критерии существования ре-
гулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произ-
вольных жордановых областях, а также псевдорегулярных и многозначных решений
в произвольных конечносвязных областях, ограниченных взаимно непересекающимися
жордановыми кривыми.
Пусть D — область в комплексной плоскости C и пусть µ : D → C — измеримая функция
с |µ(z)| < 1 п. в. Уравнениями Бельтрами называются уравнения вида
fz = µ(z)fz, (1)
где fz = ∂f = (fx+ ify)/2, fz = ∂f = (fx− ify)/2, z = x+ iy, fx и fy — частные производные
отображения f по x и y соответственно. Функция µ называется комплексным коэффициен-
том, а
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
— (2)
дилатацией уравнения (1). Уравнение Бельтрами (1) называется вырожденным, если
Kµ /∈ L∞(D).
Граничные задачи для уравнений Бельтрами впервые изучались в известной диссерта-
ции Римана, который рассматривал частный случай аналитических функций, когда µ(z) ≡
≡ 0, и работах Гильберта (1904, 1924), который исследовал соответствующую систему
Коши–Римана для действительной и мнимой части аналитических функций f = u + iv,
а также работе Пуанкаре (1910) по приливам. Невырожденные уравнения Бельтрами хоро-
шо изучены (см., например, [1]). Недавние результаты о существовании сильных кольцевых
решений для вырожденных уравнений Бельтрами и развитие теории граничного поведения
кольцевых гомеоморфизмов (см., например, ссылки в [2]) позволяют получить дальнейшие
продвижения в области существования регулярных решений задачи Дирихле.
1. Постановка задачи. Задача Дирихле для уравнений Бельтрами (1) в области D
состоит в нахождении непрерывной функции f : D → C, имеющей частные производные
первого порядка п. в., удовлетворяющей (1) п. в. и такой, что
lim
z→ζ
Re f(z) = ϕ(ζ) ∀ ζ ∈ ∂D (3)
для предписанной непрерывной функции ϕ : ∂D → R. При ϕ(ζ) 6≡ const регулярное решение
такой задачи есть непрерывное в C, дискретное и открытое отображение f : D → C класса
Соболева W 1,1
loc с якобианом Jf (z) = |fz|
2 − |fz|
2 6= 0 п. в., удовлетворяющее условию (3)
и п. в. (1).
Напомним, что отображение f : D → C дискретно, если прообраз f−1(y) каждой точки
y ∈ C состоит из изолированных точек, и открыто, если образ любого открытого множества
U ⊆ D является открытым множеством в C.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №6
Как впервые заметил Боярский (см., например, [1, гл. 1, § 6]), в случае многосвязных
областей задача Дирихле для уравнений Бельтрами, вообще говоря, не имеет решений
в классе непрерывных (однозначных) в C функций. Поэтому естественно возникает вопрос:
нельзя ли в этом случае существование решения задачи Дирихле получить в более ши-
роком классе? Оказывается можно, если решение задачи будем искать в классе функций,
имеющих некоторое количество заранее фиксированных изолированных полюсов внутри
области D. Точнее, при ϕ(ζ) 6≡ const псевдорегулярное решение такой задачи есть непре-
рывное в C, дискретное и открытое отображение f : D → C класса Соболева W 1,1
loc (вне
полюсов) с якобианом Jf (z) = |fz|
2−|fz|
2 6= 0 п. в., удовлетворяющее условию (3) и п. в. (1).
2. О функциях конечного среднего колебания. Говорят, что функция ψ : D → R,
ψ ∈ L1
loc(D), имеет ограниченное среднее колебание по Джону–Ниренбергу (1961), сокр.
ψ ∈ BMO, если
‖ψ‖∗ = sup
B⊂D
1
|B|
∫
B
|ψ(x) − ψB | dxdy <∞, (4)
где точная верхняя грань берется по всем кругам B ⊂ D, а ψB — среднее значение функ-
ции ψ в круге B. Пишем ψ ∈ BMO(D), если ψ ∈ BMO(G), где G — область в C, содержа-
щая D.
Следуя работе [3], говорим, что функция ψ : C → R имеет конечное среднее колебание
в точке z0 ∈ D, пишем ψ ∈ FMO(z0), если
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
|ψ(z) − ψ̃ε| dxdy <∞, (5)
где B(z0, ε) = {z ∈ C : |z − z0| < ε}, а ψ̃ε — среднее значение ψ в B(z0, ε). Пишем ψ ∈
∈ FMO(D), если (5) выполнено для каждой точки z0 ∈ D. Также пишем ψ ∈ FMO(D),
если (5) выполнено для всех z0 ∈ D.
Как известно, L∞(D) ⊂ BMO(D) ⊂ Lp
loc(D) для всех p ∈ [1,∞). Однако FMO(D) не
является подклассом Lp
loc(D) ни для какого p > 1, хотя FMO(D) ⊂ L1
loc(D). Таким образом,
FMO существенно шире BMOloc.
3. О регулярных и псевдорегулярных решениях.
Теорема 1. Пусть D — ограниченная область в C, граница которой состоит из ко-
нечного числа попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть µ : D → C — изме-
римая функция с |µ(z)| < 1 п. в. такая, что
Kµ(z) 6 Q(z) ∈ FMO(D). (6)
Если область D односвязна (n-связна, n > 2), то уравнение Бельтрами (1) имеет регу-
лярное (псевдорегулярное с полюсями в n предписанных внутренних точках D) решение
задачи Дирихле (3) для любой непрерывной функции ϕ : ∂D → R, ϕ(ζ) 6≡ const.
Следствие 1. В частности, заключение теоремы 1 остается в силе, если Kµ(z) 6
6 Q(z) ∈ BMO(D).
Следствие 2. Заключение теоремы 1 также имеет место, если
lim sup
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
Kµ(z) dxdy <∞ ∀ z0 ∈ D. (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №6 31
Здесь и далее подразумевается, что Kµ продолжена нулем вне области D.
Теорема 2. Пусть D — ограниченная область в C, граница которой состоит из ко-
нечного числа попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть µ : D → C — изме-
римая функция с |µ(z)| < 1 п. в. такая, что Kµ ∈ L1(D) и
δ(z0)∫
0
dr
‖Kµ(z0, r)‖1(r)
= ∞ ∀ z0 ∈ D, (8)
где ‖Kµ‖1(z0, r) =
∫
γr
Kµ(z)|dz| — нормы в L1 функции Kµ на окружностях S(z0, r) = {z ∈
∈ C : |z − z0| = r}, 0 < r < δ(z0) < d(z0), d(z0) = sup
z∈D
|z − z0|. Если область D односвязна
(n-связна, n > 2), то уравнение Бельтрами (1) имеет регулярное (псевдорегулярное с по-
люсями в n предписанных внутренних точках D) решение задачи Дирихле (3) для любой
непрерывной функции ϕ : ∂D → R, ϕ(ζ) 6≡ const.
Следствие 3. В частности, заключения теоремы 2 имеют место, если
kz0(ε) = O
(
log
1
ε
)
∀ z0 ∈ D (9)
при ε → 0, где kz0(ε) — среднее значение функции Kµ на S(z0, ε).
Теорема 3. Пусть D — ограниченная область в C, граница которой состоит из ко-
нечного числа попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть µ : D → C — изме-
римая функция с |µ(z)| < 1 п. в. такая, что
∫
D
Φ(Kµ(z)) dxdy <∞, (10)
где Φ: R+ → R+ — неубывающая выпуклая функция, с условием
∞∫
δ
dτ
τΦ−1(τ)
= ∞ (11)
для некоторого δ > Φ(0). Если область D односвязна (n-связна, n > 2), то уравнение
Бельтрами (1) имеет регулярное (псевдорегулярное с полюсями в n предписанных внут-
ренних точках D) решение задачи Дирихле (3) для любой непрерывной функции ϕ : ∂D →
→ R, ϕ(ζ) 6≡ const.
Условие (11) является не только достаточным, но и необходимым для того, чтобы урав-
нения Бельтрами (1) с интегральными ограничениями на дилатацию вида (10) имели ре-
гулярные решения задачи Дирихле (3) для любой непостоянной непрерывной функции
ϕ : ∂D → R.
Наконец, заметим, что соответствующие теоремы могут быть сформулированы в тер-
минах так называемой касательной дилатации KT
µ .
4. О существовании многозначных решений. В многосвязных областях D ∈ C,
помимо псевдорегулярных решений, задача Дирихле (3) для уравнений Бельтрами (1) до-
пускает многозначные решения в духе теории многозначных аналитических функций. Гово-
рим, что дискретное и открытое отображение f : B(z0, ε0) → C, где B(z0, ε0) ⊂ D является
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №6
локальным регулярным решением уравнения (1), если f ∈ W 1,1
loc , Jf 6= 0 и f удовлетво-
ряет (1) п. в. Два локальных регулярных решения f0 : B(z0, ε0) → C и f∗ : B(z∗, ε∗) → C
уравнения (1) будем называть продолжением друг друга, если существует конечная цепь
таких решений fi : B(zi, εi) → C, i = 1, n, что f1 = f0, fn = f∗ и fi(z) ≡ fi+1(z) при
z ∈ Ei : = B(zi, εi) ∩ B(zi+1, εi+1) 6= ∅, i = 1, n − 1. Совокупность локальных регулярных
решений fj : B(zj, εj) → C, j ∈ J , будем называть многозначным решением уравнения (1)
в D, если круги B(zj , εj) накрывают всю область D и fj попарно являются продолжениями
друг друга в этой совокупности. Многозначное решение (1) будем называть многозначным
решением задачи Дирихле (3), если u(z) = Re f(z) = Re fj(z), z ∈ B(zj , εj), j ∈ J , является
однозначной функцией в D, которая удовлетворяет условию (3).
Следующая теорема представляет собой аналог известной теоремы о монодромии для
аналитических функций.
Теорема 4. Любое многозначное решение уравнения Бельтрами (1) в односвязной об-
ласти D является его регулярным однозначным решением.
Теорема 5. Пусть D — ограниченная область в C, граница которой состоит из ко-
нечного числа попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть µ : D → C — изме-
римая функция с |µ(z)| < 1 п. в., удовлетворяющая посылкам теорем 1–3 или следствий
1–3. Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет многозначное решение задачи Дирихле (3) для
любой непрерывной функции ϕ : ∂D → R, ϕ(ζ) 6≡ const.
1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – Москва: Физматгиз, 1959. – 628 с.
2. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On recent advances in the degenerate Beltrami equa-
tions // Укр. мат. вiсн. – 2010. – 7, No 4. – С. 467–515.
3. Ignat’ev A.A., Ryazanov V. I. Конечное среднее колебание в теории отображений // Там само. – 2005. –
2, No 3. – С. 395–417.
Поступило в редакцию 23.08.2011Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
Д.О. Ковтонюк, I. В. Пєтков, В. I. Рязанов
До задачi Дiрiхле для рiвнянь Бельтрамi
У термiнах комплексного коефiцiєнта сформульовано критерiї iснування регулярних роз-
в’язкiв задачi Дiрiхле для вироджених рiвнянь Бельтрамi у довiльних жорданових облас-
тях, а також псевдорегулярних та багатозначних розв’язкiв у довiльних скiнченнозв’язних
областях, якi обмеженi взаємно неперетинними жордановими кривими.
D.A. Kovtonyuk, I. V. Petkov, V. I. Ryazanov
On the Dirichlet problem for Beltrami equations
In terms of the complex coefficient, we formulate the criteria for the existence of regular solutions
of the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations in arbitrary Jordan domains, as well as
pseudoregular and multivalued solutions in arbitrary finitely connected domains bounded by disjoint
Jordan curves.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №6 33
|